Chủ đề tính thể tích và khoảng cách luyện thi thpt quốc gia

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

ÔN THI THPT QUỐC GIA VỚI CHỦ ĐỀ

TÍNH THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
Nguyễn Bá Tuấn – Trường THPT Xuân Thọ, Đồng Nai
Theo cấu trúc đề thi THPT Quốc gia, thường có một bài toán tính thể tích khối đa diện và tính
khoảng cách trong hình học không gian (Câu 7). Đối với học sinh trung bình, đa số các em làm
được phần tính thể tích, riêng phần tính khoảng cách tương đối khó, tuy nhiên nếu học sinh nắm
vững các kiến thức căn bản là có thể làm được. Vì vậy, chúng tôi lựa chọn viết chuyên đề này nhằm
giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng để làm tốt câu tính thể tích và tính khoảng cách trong các
đề thi THPT Quốc gia.
Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ và tính
khoảng cách bằng nhiều phương pháp. Tùy vào từng bài toán mà chúng ta lựa chọn phương pháp
nào sao cho việc tính toán thuận lợi và hiệu quả nhất, việc này xin dành cho bạn đọc.
Để có thể làm tốt các bài toán tính thể tích và khoảng cách, cần nắm vững các kiến thức căn
bản sau :
• Góc giữa hai mặt phẳng : là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng cùng
vuông góc với giao tuyến. Như vậy, để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta phải :
1- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
2- Quan sát để tìm trong mỗi mặt phẳng một đường thẳng vuông góc với giao tuyến, hai đường
thẳng này cắt nhau tại một điểm trên giao tuyến. Nếu không tìm thấy thì phải tìm cách vẽ thêm
hình.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng. Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta phải :
1- Tìm hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng.
2- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa nó và hình chiếu của nó.
Cần nhớ các công thức tính diện tích tam giác, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…
Hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác
thường. Công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ…
Việc đầu tiên và hết sức quan trọng cần phải làm là vẽ đúng hình vẽ. Nếu không vẽ đúng hình,

chúng ta sẽ không xác định được chiều cao khối chóp (hoặc lăng trụ), không xác định được các
góc… Từ đó không tính được thể tích của khối chóp (hoặc lăng trụ). Vì vậy, giáo viên cần hướng
dẫn từng bước cho học sinh vẽ đúng hình:
1) Vẽ đáy :
• Hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi được biểu diễn là hình bình hành,
thông thường cạnh bên trái và cạnh phía trên vẽ bằng nét đứt (bị che khuất), cạnh bên
phải và cạnh phía dưới vẽ bằng nét liền (nhìn thấy)
• Hình thang được biểu diễn là một hình thang, thường đáy lớn nằm ở phía trên và vẽ bằng
nét đứt
• Hình tam giác vuông, tam giác đều, tam giác cân … được biểu diễn là một tam giác
thường, các cạnh phía trên thường vẽ bằng nét đứt
2) Xác định hình chiếu vuông góc của đỉnh trên đáy, từ đó vẽ đỉnh và đường cao khối chóp
(hoặc lăng trụ).
3) Vẽ các cạnh, các đường còn lại : cạnh nào, đường nào bị che khuất vẽ bằng nét đứt; cạnh
nào, đường nào nhìn thấy vẽ bằng nét liền.

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

1


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

NỘI DUNG :
Phần 1 : TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1
Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là : V = S .h
3
Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là : V = S .h
Thể tích của khối hộp bằng tích diện tích đáy với chiều cao của nó.

Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

I- Phương pháp hình học sử dụng trực tiếp các công thức:
Các bước tiến hành như sau :
1) Xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích: nhiều bài toán chiều cao này được xác
định ngay từ đề bài, nhưng có những bài toán việc xác định chiều cao phải dựa vào các định
lý về quan hệ vuông góc trong chương trình lớp 11, Với các bài toán, đề bài không cho trước
hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy, trong trường hợp này cần lưu ý các tính
chất sau :
-

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào năm trong mặt
phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

2) Xác định các góc được cho trong đề bài (nếu có)
3) Tính diện tích đáy
4) Tính thể tích khối đa diện

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥ (ABCD) , góc
giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Giải :
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD
ABCD là hình vuông ⇒ AD ⊥ CD , suy ra CD ⊥ ( SAD )

⇒ SDA = 600
Trong tam giác vuông SAD, ta có :
SA = AD.tan SDA = a tan 600 = a 3
Diện tích hình vuông ABCD : S ABCD = a 2

Thể tích khối chóp S.ABCD :

1
1
a3 3
VS . ABCD = SA.S ABCD = a 3.a 2 =
3
3
3
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a,

AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 450.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (Tốt nghiệp THPT 2011)
Giải :
SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD) ⇒ SCA = 450 ⇒ ∆SAC vuông cân tại A

⇒ SA = AC = AD 2 = a 2

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

2


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Diện tích hình thang ABCD : S ABCD =

AB + CD
. AD
2

3a + a
a = 2a 2
2
Thể tích khối chóp S.ABCD :
1
1
2a 3 2
2
VS . ABCD = SA.S ABCD = a 2.2a =
3
3
3
=

Ví dụ 3 : Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a,
A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính thể
tích tứ diện IABC . (Đại học khối D – 2009)
Giải :
Trong tam giác vuông A ' AC :

AC = A ' C 2 − A ' A2 = 9a 2 − 4a 2 = a 5
Trong tam giác vuông ABC :

BC = AC 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a
ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên kẻ
IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC )
IH //A ' A ⇒

IH
CI

2
2
4a
=
= ⇒ IH = A ' A =
A' A A'C 3
3
3

Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC =

1
1
AB.BC = a.2a = a 2
2
2

1
1 4a
4a 3
Thể tích khối tứ diện IABC : VIABC = IH .S ∆ABC = . .a 2 =
3
3 3
9
3a
, hình chiếu vuông
2
góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD. (Đại học khối A – 2014)

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =

Giải :
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD )
Do đó SH ⊥ HD
Ta có : HD = AH 2 + AD 2 =

a2
a 5
+ a2 =
4
2

9 a 2 5a 2
−
=a
4
4
Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
1
a3
VS . ABCD = SH .S ABCD = .a.a 2 =
3
3
3
SH = SD 2 − HD 2 =

Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính thể tích khối chóp

S.ABC theo a. (Đại học khối D – 2011)

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

3


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Giải :
Kẻ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ( SBC ) ⊥ ( ABC )
⇒ SH ⊥ ( ABC ) , SH = SB.sin SBC = a 3
1
1
Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = BA.BC = 3a.4a = 6a 2
2
2
Thể tích khối chóp S.ABC :
1
1
VS . ABC = SH .S ∆ABC = a 3.6a 2 = 2a 3 3
3
3

• Nhận xét : các bài toán tính thể tích trong các đề thi rất cơ
bản.
II- Phương pháp phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ
bản hoặc bằng cách so sánh thể tích với một khối cơ bản khác :
Trong một số bài toán, việc tính trực tiếp thể tích một khối đa diện gặp nhiều khó khăn : hoặc
là khó xác định chiều cao, hoặc khó tính được diện tích mặt đáy. Trong trường hợp này, người ta
thường phân chia, so sánh, liên hệ với một khối đa diện khác mà việc tính thể tích khối đa diện này

dễ dàng hơn.
Với loại bài toán này, người ta thường áp dụng kết quả sau : Cho khối chóp S.ABC, trên các
đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S.
Khi đó :

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '
=
⋅
⋅
VS . ABC
SA SB SC

Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc SC cắt SB, SC,
SB ' 2
SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết rằng : AB = a,
= . Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
SB 3
(Ví dụ trang 17, sách bài tập hình học 12 – chương trình chuẩn)
Giải :

Ta có :

VS . AB ' D ' 2 2 4 VS . B 'C ' D '
= ⋅ = ,
VS . ABD 3 3 9
VS .BCD

a) Gọi H là tâm hình vuông ABCD ⇒ SH ⊥ ( ABCD) .
Mp(P) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’.
Ta có : BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC, do đó BD // (P), từ đó suy

ra (P) cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’ // BD
Kẻ HE // AC’, khi đó : EC’= EC và
SC ' SH ' SB ' 2
=
=
=
SE
SH
SB 3
SC '
2
SE − SC ' 1
EC ' 1
Suy ra : 1 −
= 1− ⇔
= ⇔
=
SE
3
SE
3
SE 3
2
2
Do đó : SC ' = SE = ⋅ 3EC ' = 2 EC ' = CC '
3
3
Vậy C’ là trung điểm của SC .
2 2 1 2
= ⋅ ⋅ =

3 3 2 9

1
 4 2 V
VS . AB 'C ' D ' = VS . AB 'C ' + VS . B 'C ' D ' =  +  S . ABCD = VS . ABCD
3
9 9 2

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

4


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Ta có : SC ⊥ ( P ) ⇒ SC ⊥ AC ' nên theo chứng minh trên, AC’ vừa là đường cao vừa là đường
trung tuyến của ∆SAC nên AS = SC, suy ra ∆SAC đều. Từ đó ta có : SH =

AC 3 a 6
=
2
2

1
1 a 6 2 a3 6
VS . ABCD = .SH .S ABCD = ⋅
a =
3
3 2
6
3

3
1 a 6 a 6
=
Suy ra : VS . AB 'C ' D ' = .
3 6
18
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5 cm, đường chéo AC = 4
cm. Đoạn thẳng SO = 2 2 cm, SO ⊥ ( ABCD ) với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Gọi M là trung điểm của cạnh SC, giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN. (Đại học khối A - 2004)

Giải :
Ta có : AB //CD ⇒ AB //( SCD )
⇒ ( ABM ) ∩ ( SCD ) = MN //AB //CD ( N ∈ SD )
Vì M là trung điểm SC nên N là trung điểm của SD.
Ta có : VS . ABMN = VS . ABN + VS .BMN
VS . ABN SN 1
1
1
=
= ⇒ VS . ABN = VS . ABD = VS . ABCD
VS . ABD SD 2
2
4
VS .BMN SM SN 1
1
1
=
.
= ⇒ VS .BMN = VS .BCD = VS . ABCD

VS . BCD SC SD 4
4
8

1
1
3
Suy ra : VS . ABMN = VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD
4
8
8
Ta có : OB = AB 2 − AO 2 = 5 − 4 = 1 ⇒ BD = 2OB = 2 (cm)
1
1
Diện tích hình thoi ABCD : S ABCD = AC.BD = .4.2 = 4 (cm 2 )
2
2
1
1
8 2
(cm3 )
Thể tích khối chóp S,ABCD : VS . ABCD = .SO.S ABCD = .2 2.4 =
3
3
3
3
3 8 2
Suy ra : VS . ABMN = VS . ABCD = .
= 2 (cm3 )
8

8 3
Nhận xét : Hình thang ABMN có thể tính được diện tích, tuy nhiên việc xác định chiều cao từ đỉnh
S đến mặt phẳng (ABMN) rất phức tạp, vì vậy cách tính trên là hợp lý.

III- Phương pháp tọa độ trong không gian :
Các bước tiến hành như sau :
1) Lập một hệ tọa độ phù hợp với đề bài : đây là việc quan trọng nhất quyết định cho việc tính
toán ở các bước tiếp theo là đơn giản hay phức tạp.
2) Tính toán và tìm tọa độ các điểm, các vectơ cần thiết.
3) Tính thể tích dựa vào các công thức sau :

VABCD. A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  . AA ' =  BA, BC  .BB ' = ...
VABCD =

1
1
 AB, AC  . AD =  BA, BC  .BD = ...



6
6

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

5


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Ví dụ 1 : Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a,

A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính thể
tích tứ diện IABC . (Đại học khối D – 2009)
Giải :
Xét hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ :
Ta có : B (0; 0;0), A(0; a;0)

AC = A ' C 2 − A ' A2 = 9a 2 − 4a 2 = a 5
BC = AC 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a
nên C (2a; 0;0)
ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng nên kẻ
IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC )

IH
CI
2
2
4a
=
= ⇒ IH = A ' A =
A' A A'C 3
3
3
1
2a
2
2a
 2a 2 a 4 a 
, HP = AB =
Kẻ HQ //BC , HP //AB , suy ra : HQ = BC =
⇒I ; ; 

3
3
3
3
 3 3 3 
 2a 2a 4 a 
Ta có : BA = (0; a; 0), BC = (2a; 0;0), BI =  ; ; 
 3 3 3 
a 0 0 0 0 a
2
;
;
Nên :  BA, BC  = 
 = ( 0;0; −2a )
 0 0 0 2a 2 a 0 
1
1 2a
2a
4a 3
2 4a


Vậy : VIABC = VBACI =  BA, BC  .BI = 0. + 0. − 2a .
=
6
6
3
3
3
9

IH //A ' A ⇒

Nhận xét : So với cách giải trực tiếp bằng phương pháp hình học (ví dụ 3, mục I), cách giải này
phức tạp hơn.
Nếu cho a = 1 (đơn vị độ dài) thì việc tính toán trở nên giống các bài toán tọa độ không
gian thông thường. Sau khi tính được kết quả, đối với thể tích ta nhân thêm a 3 , diện tích nhân
thêm a 2 và khoảng cách nhân thêm a .
3a
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
, hình chiếu vuông
2
góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD. (Đại học khối A – 2014)
Giải :
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD)
Do đó SH ⊥ HD
Ta có : HD = AH 2 + AD 2 =

a2
a 5
+ a2 =
4
2

9 a 2 5a 2
−
=a
4
4
Xét hệ trục tọa độ Hxyz như hình vẽ :

SH = SD 2 − HD 2 =

 a
 a
 a

Ta có : A  − ; 0; 0  , B  ; 0; 0  , C  ; a; 0  , S ( 0; 0; a )
 2
 2
 2

a

Do đó : BA = ( − a;0; 0 ) , BC = ( 0; a; 0 ) , BS =  ;0; a 
2


GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

6


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

 0 0 0 − a −a 0 
2
 BA, BC  = 
;
;
 = ( 0;0; − a )



0 0
a
a 0 0
Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
1 a
a3
2


VS . ABCD =  BA, BC  .BS = 0. + 0.0 − a .a =
3
3 2
3
Nhận xét : Rõ ràng so với cách giải trực tiếp bằng phương pháp hình học (ví dụ 4, mục I), cách
giải này dài dòng, phức tạp hơn.
Phần 2 : TÍNH KHOẢNG CÁCH
Các bài toán tính khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại
học và Cao đẳng trong những năm trước đây và kỳ thi THPT quốc gia năm 2015.
Có nhiều phương pháp để tính khoảng cách :
1- Phương pháp trực tiếp bằng cách xác định hình chiếu vuông góc từ một điểm đến một
mặt phẳng (hoặc đường thẳng) hoặc xác định đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau.
2- Phương pháp thể tích.
3- Phương pháp tọa độ trong không gian.
Hai dạng toán thường gặp là:
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

A- Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
I - Phương pháp trực tiếp :
Các bước tiến hành như sau :
1) Xác định hình chiếu vuông góc của điểm cần tính khoảng cách trên mặt phẳng cần tính
khoảng cách tương ứng, bước này rất quan trọng vì nhờ việc xác định này mà ta có đủ dữ
liệu để tính toán trong bước tiếp theo
2) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Pitago, hệ thức lượng giác trong
tam giác thường, để tính khoảng cách.
Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường
vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :
a) H là trực tâm của tam giác ABC;
1
1
1
1
b)
=
+
+
.
2
2
2
OH
OA OB OC 2
(Bài tập 4, trang 105, SGK Hình học lớp 11 - chương trình chuẩn)
Giải :
Theo các bước trên, đề bài đã cho hình chiếu vuông góc của
O trên mp(ABC) là H, ta chứng minh H là trực tâm của tam
giác ABC. Sau đó áp dụng hệ thức trong tam giác vuông để

tính khoảng cách. Lời giải bài toán như sau:
a) Kẻ OH ⊥ ( ABC ) , Ta có :
BC ⊥ OH (OH ⊥ ( ABC ) 
 ⇒ BC ⊥ ( AOH )
BC ⊥ OA (OA ⊥ (OBC ) 
⇒ BC ⊥ AH
Tương tự ta chứng minh được AB ⊥ CH và AC ⊥ BH , suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

7


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
b) Gọi K = AH ∩ BC .
1
1
1
=
+
(1)
2
2
OK
OB OC 2
1
1
1
Trong tam giác vuông OAK, OH là đường cao nên :
=

+
(2)
2
2
OH
OA OK 2
1
1
1
1
=
+
+
Từ (1) và (2), ta có :
2
2
2
OH
OA OB OC 2
Vì H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên d (O, ( ABC )) = OH

Trong tam giác vuông OBC, OK là đường cao nên :

Nhận xét : Bài toán cho H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên
mặt phẳng (ABC). Mấu chốt của bài toán là phải xác định được vị trí
hình chiếu vuông góc H của điểm O nằm ở đâu trên mặt phẳng
(ABC). Để xác định vị trí của điểm H thông thường ta làm như sau:
- Tìm một đường thẳng thuộc mp(ABC) nằm trong mặt phẳng đáy
cùng với điểm O, đó chính là đường thẳng BC, từ O kẻ
OK ⊥ BC tại K.

- Kẻ OH ⊥ SK tại H, ta chứng minh OH ⊥ ( ABC )
⇒ d (O,( ABC )) = OH
Các ví dụ sau sẽ làm rõ thêm nhận xét trên.
Kết quả của bài toán trên có một ứng dụng rất hiệu quả trong việc giải một số bài toán tính
khoảng cách trong phần “Quan hệ vuông góc” của hình học không gian.

Đối với một số bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, nhiều khi chúng ta
khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng mà phải tính thông qua một điểm khác
thuận lợi hơn (thường là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh đến đáy). Thông thường chúng ta sử
dụng kết quả của bài toán sau để tính :
Bài toán : Cho mặt phẳng (α ) và đường thẳng d cắt (α )
tại A, trên d lấy hai điểm B và C (khác điểm A) sao cho
AC = k . AB . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của
B và C trên mặt phẳng (α ) .
∆ABH đồng dạng với ∆ACK :
CK AC
=
= k ⇔ CK = k .BH
BH AB
Hay: d (C , (α )) = k .d ( B, (α ))

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại B, góc ACB = 300 , AC = a 3.
SA ⊥ ( ABC ) và SA = a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Giải :
Theo lược đồ ở trên, trước hết ta xác định hình chiếu vuông góc H của A trên mp(SBC), rồi áp dụng
hệ thức trong tam giác vuông để tính khoảng cách. Lời giải như sau :
Kẻ AD ⊥ BC ( D ∈ BC ) , tam giác ADC vuông tại D :
a 3
2
Kẻ AH ⊥ SD ( H ∈ SD)

SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAD) ⇒ BC ⊥ AH
AH ⊥ SD 
 ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH
AH ⊥ BC 
Trong tam giác vuông SAD , ta có :
AD = AC.sin ACD =

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

8


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
1
1
1
1
4
7
a 21
= 2+
= 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
2
2
AH
SA SD
a 3a
3a
7
a 21

Vậy : d ( A, ( SBC )) =
7
Ví dụ 3 : Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a,
A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC. (Đại học khối D – 2009)

Giải :
Kẻ AK ⊥ A ' B tại K, BC ⊥ ( A ' AB ) ⇒ BC ⊥ AK
Suy ra AK ⊥ ( A ' BC ) ⇒ AK ⊥ ( IBC )
⇒ d ( A, ( IBC )) = AK
Trong tam giác vuông A ' AB :
1
1
1
1
1
5
=
+
= 2+ 2 = 2
2
2
2
AK
A' A
AB
4a
a
4a
2a 5

2a 5
⇒ AK =
. Vậy d ( A, ( IBC )) =
5
5

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng (SAC) theo a . (Đại học khối D – 2011)

Giải :
Với bài toán này ta khó tính trực tiếp khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (SAC) mà phải tính thông qua điểm H là chân
đường vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC)
Lời giải như sau :
Kẻ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ( SBC ) ⊥ ( ABC )
⇒ SH ⊥ ( ABC ) , SH = SB.sin SBC = a 3

BH = SB.cos SBC = 3a , HC = BC − BH = a
Trong tam giác ABC, kẻ HE ⊥ AC ( E ∈ AC ) , kẻ
HK ⊥ SE ( K ∈ SE ) , ta chứng minh HK ⊥ ( SAC )
SH ⊥ AC 
Thật vậy,
 ⇒ AC ⊥ ( SHE ) ⇒ AC ⊥ HK
HE ⊥ AC 
HK ⊥ SE 
 ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( H , ( SAC )) = HK
HK ⊥ AC 
BC = 4 HC ⇒ d ( B, ( SAC )) = 4d ( H , ( SAC ))
Tam giác vuông HEC đồng dạng với tam giác vuông ABC nên :

⇒ HE =

AB.HC
=
AC

AB.HC

=

3a.a

=

HE HC
=
AB AC

3a
5

BA + BC
16a + 9a
1
1
1
1
25
28

3a
3a 7
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HK =
=
2
2
2
HK
SH
HE
3a 9a
9a
14
2 7
2

2

Vậy d ( B, ( SAC )) = 4.d ( H , ( SAC )) =

2

2

6a 7
7

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

9


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Ví dụ 5 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600 .
Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). (Đại học khối B – 2014)
Giải :
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) và A ' CH = 600

a 3
3a
. 3=
2
2
Kẻ HK ⊥ AC tại K, HI ⊥ AK tại I
Suy ra HI ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ d ( H , ( ACC ' A ')) = HI

Do đó : A ' H = HC.tan 600 =

a
a 3
sin 600 =
2
4
Trong tam giác vuông A ' KH :
1
1
1

4
16
52
3a 13
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HI =
2
2
2
HI
A'H
HK
9a 3a
9a
26
Do
HK = AH .sin HAK =

BA = 2 HA ⇒ d ( B, ( ACC ' A ')) = 2d ( H , ( ACC ' A ')) = 2 HI =
Vậy d ( B, ( ACC ' A ')) =

3a 13
13

3a 13
13

II- Phương pháp thể tích :
Các bước giải của phương pháp này như sau :

1) Giả sử bài toán yêu cầu tìm khoảng cách từ đỉnh S của một hình chóp (hoặc lăng trụ) nào đó.
Ta tìm thể tích của khối chóp (hoặc lăng trụ) này theo một cách khác mà không dựa vào
đỉnh S này.
2) Tính diện tích đáy đối với đỉnh S
3V
V
3) Tính khoảng cách dựa vào công thức : với khối chóp h =
, với khối lăng trụ h =
vớ i
S
S
V , S , h lần lượt là thể tích, diện tích đáy, chiều cao của một khối chóp (hoặc lăng trụ) nào
đó.

Ví dụ 1 : Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a,
A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC. (Đại học khối D – 2009)
Giải :
Ta có : d ( A, ( IBC )) = d ( A, ( A ' BC ))
Theo ví dụ 3 ở phần 1, mục I, ta có :

AC = A ' C 2 − A ' A2 = 9a 2 − 4a 2 = a 5
BC = AC 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a
BC ⊥ ( A ' AB ) ⇒ BC ⊥ A ' B

A ' B = A ' C 2 − BC 2 = 9a 2 − 4a 2 = a 5
Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = a 2
1
1
2a 3

Thể tích tứ diện A ' ABC : VA ' ABC = . AA '.S ∆ABC = .2a.a 2 =
3
3
3
1
1
Diện tích tam giác A’BC : S ∆A ' BC = A ' B.BC = .a 5.2a = a 2 5
2
2

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

10


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
3.VA ' ABC
2a 3
2a 5
Gọi d = d ( A, ( IBC )) thì : d =
= 2
=
S ∆A ' BC
5
a 5

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC = 300 . Tính khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng (SAC) theo a . (Đại học khối D – 2011)
Giải :

Kẻ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) , SH = SB.sin SBC = a 3

BH = SB.cos SBC = 3a , HC = BC − BH = a
Trong tam giác ABC, kẻ HE ⊥ AC ( E ∈ AC )
SH ⊥ AC 
Ta có
 ⇒ AC ⊥ ( SHE ) ⇒ AC ⊥ SE
HE ⊥ AC 
Tam giác vuông HEC đồng dạng với tam giác vuông ABC :
HE HC
=
AB AC
AB.HC
AB.HC
3a.a
3a
⇒ HE =
=
=
=
AC
5
BA2 + BC 2
16a 2 + 9a 2

9a 2 2a 21
SE = SH + HE = 3a +
=
25
5

2

2

2

1
1 2a 21
.5a = a 2 21
SE. AC = .
2
2
5
Theo ví dụ 5 ở phần 1, mục I, ta có : VB.SAC = VS . ABC = 2a 3 3

Diện tích tam giác SAC : S ∆SAC =

Gọi d là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) thì : d =

3.VB.SAC 6a 3 3 6a 7
= 2
=
S ∆SAC
7
a 21

III- Phương pháp tọa độ trong không gian :
Các bước tiến hành như sau :
1) Lập một hệ tọa độ phù hợp với đề bài: đây là việc quan trọng nhất quyết định cho việc tính
toán ở các bước tiếp theo là đơn giản hay phức tạp.

2) Tính toán và tìm tọa độ các điểm, vectơ cần thiết.
3) Lập phương trình mặt phẳng mà ta cần tính khoảng cách đến nó.
4) Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng theo công thức sau :
Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 là :
d ( M 0 ,(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

Ví dụ 1 : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một
vuông góc nhau. Cho OA = a, OB = b, OC = c . Tính khoảng cách
từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c .
Giải :
Lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có : O(0; 0;0)
B (b;0; 0), C (0; c; 0), A(0;0; a )
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, mặt phẳng

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

11


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
x y z
+ + −1 = 0
b c a
Khoảng cách từ điểm O đến mp(ABC) là :

(ABC) có phương trình là :

d (O,( ABC )) =

−1
1 1
1
+ 2+ 2
2
b
c
a

=

abc
a b + b2c2 + c2 a 2
2 2

Nhận xét : các bạn có thể so sánh với cách tính của ví dụ 1, mục I
Ví dụ 2 : Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2a,
A ' C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC. (Đại học khối D – 2009)
Giải :
Lập hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ :
Ta có : B (0; 0;0), A(0; a;0)

AC = A ' C 2 − A ' A2 = 9a 2 − 4a 2 = a 5
BC = AC 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a
nên C (2a; 0;0) , A '(0; a; 2a )
Mặt phẳng (IBC) chính là mặt phẳng (A’BC)
Viết phương trình mp(A’BC):

Ta có : BC = (2a; 0;0), BA ' = ( 0; a; 2a )
 a 2a 2a 0 0 a 
2
2
n =  BA ', BC  = 
;
;
 = ( 0; 4a ; −2a )
0
0
0
2
a
2
a
0


Mặt phẳng (IBC) đi qua B (0; 0;0) nhận n = (0; 4a 2 ; −2a 2 ) làm một vectơ pháp tuyến nên có phương
trình là : 4a 2 y − 2a 2 z = 0
Khoảng cách từ điểm A(0; a;0) đến mp(IBC) là : d ( A, ( IBC )) =

4a 3
16a + 4a
4

4

=

2a 5
(do a > 0 )
5

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy,
BAD = 1200 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA = 450 . Tính theo a khoảng cách từ điểm D
đến mặt phẳng (SBC). (Đại học khối D – 2013)
Giải :
BAD = 1200 ⇒ ABC = 600 ⇒ ∆ABC đều
a 3
⇒ AM =
và MAD = 900
2
Tam giác SAM vuông tại A, có SMA = 450
a 3
⇒ ∆SAM vuông cân tại A ⇒ SA = AM =
2
Lập hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ , ta có :

a 3
 a 3 a 

a 3
A(0;0;0), M 
; 0;0  , C 
; ;0  , D(0; a;0), S  0; 0;

2 
 2
  2 2 


Mặt phẳng (SBC) chính là mặt phẳng (SMC)

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

12


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
 a 3
a 3
 a 
Ta có : MC =  0; ;0  , MS =  −
;0;

2
2 
 2 


a

2
n =  MC , MS  = 

0


0
a 3

2

0
;a 3
2

a

a2 3 
2   a2 3
;
=
;0;


a 3
4 
  4
a 3
−
0
2 −
2

0

0


a 3

Mặt phẳng (SBC) đi qua S  0;0;
 nên có phương trình là :
2


2
2
a 3
a 3
a 3
a2 3
a2 3
3a 3
x+
z
x
z
−
=
0
⇔
+
−
=0


4
4 
2 
4

4
8
3a 3
−
8
a 6
Khoảng cách từ điểm D (0; a;0) đến mặt phẳng (SBC) là : d ( D, ( SBC )) =
=
4
4
4
3a 3a
+
16 16

B- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
I - Phương pháp trực tiếp :
Cách giải của phương pháp này như sau :
1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng đó. Vì vậy, nếu như ta xác định được đoạn vuông góc chung đó thì coi
như đã tính được độ dài đoạn vuông góc chung. Với những bài toán yêu cầu tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì việc tìm đoạn vuông góc
chung tương đối dễ dàng.
2) Đối với bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc
nhau, việc xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này không phải lúc nào
cũng dễ dàng. Hơn nữa trong nhiều bài toán người ta chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau mà không yêu cầu xác định đoạn vuông góc chung.
Với những bài toán khó xác định đoạn vuông góc chung như vậy, người ta thường chuyển
việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d 2 về các bài toán sau: (xem
nhận xét trang 117, SGK Hình học lớp 11).

a) Nếu d1 //( P ) và d 2 ⊂ ( P ) thì d (d1 , d 2 ) = d (d1 , ( P ))
Với A là điểm bất kỳ thuộc d1 , do d1 //( P ) ⇒ d (d1 , ( P )) = d ( A, ( P ))
b) Nếu d1 ⊂ ( P ), d 2 ⊂ (Q ) và ( P )//(Q ) thì d (d1 , d 2 ) = d (( P ), (Q ))
Do ( P )//(Q ) nên khoảng cách giữa ( P ) và (Q ) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Như vậy, nhiều bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về bài toán
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD . (Ví dụ trang 118, SGK Hình học
11)
Giải :
Với bài toán này, dễ thấy BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

13


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Nên ta sẽ tìm đoạn vuông góc chung của SC và BD
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, kẻ OH ⊥ SC
Ta có BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ OH
Suy ra : OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD
AC a 2
=
Ta có : OC =
2
2

SC = SA2 + AC 2 = a 2 + 2a 2 = a 3
Tam giác vuông SAC đồng dạng tam giác vuông OHC :
a 2
a.
SA SC
SA.OC
2 =a 6
=
⇒ OH =
=
OH OC
SC
6
a 3
Vậy d ( SC , BD) =

a 6
6

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD , H là giao điểm của CN với DM . Biết SH ⊥ ( ABCD) và
SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . (Đại học khối A – 2010)

Giải :
∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN .
Mặt khác SH ⊥ ( ABCD) ⇒ DM ⊥ SH ,
suy ra DM ⊥ ( SHC ) ⇒ DM ⊥ SC
Theo cách giải ở trên, do DM ⊥ SC nên ta tìm đoạn
vuông góc chung của DM và SC
Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) , ta có HK là đoạn vuông góc

chung của DM và SC , do đó d ( DM , SC ) = HK

a2 a 5
=
4
2
CD 2 2a
∆CHD đồng dạng ∆CDN ⇒ HC =
=
CN
5
Trong tam giác vuông SHC , HK là đường cao nên:
1
1
1
1
5
19
2a 57
=
+
= 2+ 2 =
⇒ HK =
.
2
2
2
2
HK
SH

HC
3a
4a
12a
19
2a 57
Vậy : d ( DM , SC ) =
19
Ví dụ 3 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông có BA = BC = a , cạnh bên
AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
(Đại học khối D – 2008)
CN = CD 2 + DN 2 = a 2 +

Giải :
Gọi N là trung điểm của BB’ ⇒ MN //B ' C ⇒ B ' C //( AMN )
Do đó : d ( B ' C , AM ) = d ( B ' C , ( AMN )) = d (C , ( AMN ))
Vì M là trung điểm của BC nên d (C , ( AMN )) = d ( B, ( AMN ))
Gọi BH = d ( B, ( AMN ))
Tam giác ABC có BA = BC = a nên vuông tại B
Ta có BA, BM , BN đôi một vuông góc nên :

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

14


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
1
1
1

1
1
2
4
7
=
+
+
= 2+ 2+ 2 = 2
2
2
2
2
BH
AB
BM
BN
a
a
a
a
a 7
⇒ BH =
7
a 7
Vậy d ( AM , B ' C ) =
7

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt

phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. (Đại học khối A – 2011)
Giải :
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan SBA = 2a 3
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N
⇒ MN //BC và N là trung điểm AC.
BC
AB
MN =
= a, AM = BM =
=a
2
2
Qua N, kẻ đường thẳng d song song với AB
Từ A, kẻ AH ⊥ d ( H ∈ d ) , kẻ AK ⊥ SH ( K ∈ SH )
AB //d ⇒ AB //HN ⇒ AB //( SHN )
Do đó d ( AB, SN ) = d ( AB, ( SHN )) = d ( A, ( SHN ))
Tam giác SAH vuông tại A, có: AK ⊥ SH và AH = MN = a
SA. AH
SA. AH
2a 3.a
2a 39
d ( AB, SN ) = AK =
=
=
=
2

2
2
2
SH
13
SA + AH
12a + a
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính theo a khoảng cách giữa
hai đường thẳng SB, AC. (THPT Quốc gia năm 2015)
Giải :
SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA là chiều cao khối chóp
Xác định góc giữa SC và mp(ABCD) :
Do

SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AC

là hình chiếu của SC trên

mp(ABCD), suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là SCA = 450
Trong tam giác vuông SAC :
SCA = 450 ⇒ ∆SAC vuông cân tại A nên SA = AC = a 2
Qua B, kẻ đường thẳng d //AC , kẻ AM ⊥ d ⇒ AC //( SBM )
Suy ra d ( AC , SB ) = d ( AC , ( SBM )) = d ( A, SBM ))
Kẻ AN ⊥ SM , ta chứng minh d ( A, ( SBM )) = AN
Ta có

AM ⊥ BM 
 ⇒ BM ⊥ ( SAM ) ⇒ BM ⊥ AN và SM ⊥ AN nên AN ⊥ ( SBM )
SA ⊥ BM 

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

15


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Vậy d ( A, ( SBM )) = AN
Ta có MBA = BAC = 450 (so le trong) ⇒ ∆MAB vuông cân tại M ⇒ AM =

AB
a
=
2
2

Tam giác vuông SAM có AN ⊥ SM nên :
a
a 2.
2
SA. AM
SA. AM
2 = a = a 10 . Vậy d ( SB, AC ) = a 10
AN =
=
=
5
SM
5
SA2 + AM 2

a2 a 5
2
2a +
2
2

II- Phương pháp thể tích :
Cách giải của phương pháp này như sau :
•

Đưa bài toán tìm khoảng cách giữa hai đương thẳng chéo nhau về bài toán tìm khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng

•

Các bước còn lại thực hiện giống như bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt
phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. (Đại học khối A – 2011)
Giải :
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan SBA = 2a 3
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N
⇒ MN //BC và N là trung điểm AC.
BC

AB
MN =
= a, AM = BM =
=a
2
2
Gọi K là trung điểm của BC ⇒ AB //NK ⇒ AB //( SNK ) và
AB
NK =
=a
2
Do đó d ( AB, SN ) = d ( AB, ( SNK )) = d ( M , ( SNK ))
1
1 1
a2
S ∆ABC = . .2a.2a =
4
4 2
2
3

Diện tích tam giác MNK : S ∆SMNK =

1
1
a 2 a3
Thể tích khối chóp S.MNK : VS .MNK = .SA.S ∆MNK = .2a 3. =
3
3
2

3
BC
Kẻ AH ⊥ NK ( AH //BC ) ⇒ AH = BK =
=a
2
NK ⊥ AH 
2
2
2
2
 ⇒ NK ⊥ ( SAH ) ⇒ NK ⊥ SH , SH = SA + AH = 12a + a = a 13
NK ⊥ SA 

1
1
a 2 13
Diện tích tam giác SNK : S ∆SNK = .SH .NK = .a 13.a =
2
2
2
3.V
3.V
1
a3 3
2a 39
Đặt h = d ( M , ( SNK )) , ta có : VM .SNK = h.S ∆SNK ⇒ h = M .SNK = S .MNK = 2
=
3
13
S ∆SNK

S ∆SNK
a 13
2
Nhận xét : So với cách tính trực tiếp ở ví dụ 4, mục I, cách này quá dài và phức tạp.

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

16


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Ví dụ 2 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông có BA = BC = a , cạnh bên
AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
(Đại học khối D – 2008)
Giải :
Gọi N là trung điểm của BB’ ⇒ MN //B ' C ⇒ B ' C //( AMN )
Do đó : d ( B ' C , AM ) = d ( B ' C , ( AMN )) = d (C , ( AMN ))
Vì M là trung điểm của BC nên d (C , ( AMN )) = d ( B, ( AMN ))
Ta có : S ∆ABM =

1
1 1
a2
S ∆ABC = . .BA.BC =
2
2 2
4
Thể tích khối tứ diện NABM :
1
1 a 2 a2 a3 2

VNABM = .NB.S ∆ABM = .
. =
3
3 2 4
24
Kẻ BH ⊥ AM ( H ∈ AM ) ⇒ AM ⊥ ( BHN ) ⇒ AM ⊥ NH

AM = AB 2 + BM 2 = a 2 +

a2 a 5
=
4
2

Trong tam giác vuông ABM :

a
a.
AB.BM
a 5
BH . AM = AB.BM ⇒ BH =
= 2 =
AM
5
a 5
2
2
2
a
a

a 70
NH = BN 2 + BH 2 =
+
=
2 5
10
2
1
1 a 70 a 5 a 14
.
=
Diện tích tam giác AMN : S ∆AMN = .NH . AM = .
2
2 10
2
8
3.VBAMN 3.VNABM
1
Gọi h = BH = d ( B, ( AMN )) , ta có : VBAMN = h.S ∆AMN ⇒ h =
=
3
S ∆AMN
S ∆AMN

a3 2
a 7
= 28 =
7
a 14
8

a 7
7
Nhận xét : So với cách tính trực tiếp ở ví dụ 3, mục I, cách này quá dài dòng và phức tạp.

Vậy d ( AM , B ' C ) = h =

III- Phương pháp tọa độ trong không gian :
Các bước tiến hành như sau :
1) Lập một hệ tọa độ phù hợp với đề bài: đây là việc quan trọng nhất quyết định cho việc tính
toán ở các bước tiếp theo là đơn giản hay phức tạp.
2) Lấy trên mỗi đường thẳng một điểm thích hợp, tính toán và tìm tọa độ các điểm đó và các
điểm cần thiết khác.
3) Tính tọa độ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, vectơ tạo bởi hai điểm đã chọn ở
bước 2
4) Giả sử đường thẳng d1 đi qua điểm M 1 và có vec tơ chỉ phương là u1 , đường thẳng d 2 đi
qua điểm M 2 và có vec tơ chỉ phương là u2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
d1 , d 2 là :
d (d1 , d 2 ) =

u1 , u2  .M 1M 2
n.M 1M 2


, với n = u1 , u2 
=
u1 , u2 
n



GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

17


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Ví dụ 1 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông có BA = BC = a , cạnh bên
AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
(Đại học khối D – 2008)
Giải :
Lập hệ trục tọa độ Bxyz như hình vẽ :
a

Ta có : B (0; 0;0), A(0; a;0) , C (a; 0;0), B '(0; 0; a 2), M  ;0; 0 
2

Ta có :
a

AM =  ; − a; 0  là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM.
2


(

B ' C = a;0; − a 2

)

là vectơ chỉ phương của đường thẳng B’C.

Và AC = (a; − a;0)


a a
0
0
 −a


2;2
n =  AM , B ' C  = 
;
 0 − a 2 −a 2 a a



−a 

0 


a2 2 2 
2a 4
a 2 14
=  a 2 2;
+ a4 =
; a  ⇒ n = 2a 4 +
2

4
2



Suy ra : d ( AM , B ' C ) =

a

n. AC

=

3

a3 2
2−
2

=

a 7
7

a 2 14
2
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt
phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. (Đại học khối A – 2011)

Giải :
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và
( SAB) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC
Lập hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ, với trục Ay //BC
⇒ Ay ⊥ Ax
n

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan SBA = 2a 3
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N
⇒ MN //BC và N là trung điểm AC.
BC
AB
MN =
= a, AM = BM =
=a
2
2
Ta có : A(0;0;0), B (2a;0; 0), S (0; 0; 2a 3), N (a; a;0)
AB = (2a;0; 0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB
SN = (a; a; −2a 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng SN
Và AN = (a; a; 0)

0
n =  AB, SN  = 
a


0

2a 2a

;
− 2a 3 −2a 3 a a
;

0

0
2
2
 = 0; 4a 3; 2a
a 

(

)

n = 48a 4 + 4a 4 = 2a 2 13

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

18


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Suy ra : d ( AB, SN ) =

n. AN

=

n

4a 3 3
2a

2

13

=

2a 39
13

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính theo a khoảng cách giữa
hai đường thẳng SB, AC. (THPT Quốc gia năm 2015)
Giải :
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA là chiều cao khối chóp
Lập hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ
Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên
mp(ABCD), suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là
SCA = 450
Trong tam giác vuông SAC :
SCA = 450 ⇒ ∆SAC vuông cân tại A nên SA = AC = a 2
Ta có : A(0;0;0), B (a; 0;0), C (a; a;0), S (0;0; a 2)

AC = (a; a; 0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC
SB = (− a;0; a 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng SB
Và AB = (a; 0; 0)

a a a
a
0 0
n =  AC , SB  = 
;
;
= a 2 2; − a 2 2; a 2
 0 a 2 a 2 − a − a 0 



(

)

n = 2a 4 + 2a 4 + a 4 = a 2 5
Suy ra : d ( AC , SB ) =

n. AB
n

=

a3 2
a

2

5

=

a 10
5

Phần 3 : MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÌNH NÓN, HÌNH TRỤ, HÌNH CẦU
1- Hình nón :
• Diện tích xung quanh : S xq = π rl
•

Diện tích đáy : Sñ = π r 2

1
1
Thể tích : V = Sñ .h = π r 2 h
3
3
Trong đó: r là bán kính đáy, h là chiều cao và l là độ dài đường sinh

Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sñ

Ví dụ 1 : Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa
thiết diện là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
(Bài tập 3 trang 39, SGK Hình học 12)
Giải :
Ta có : độ dài đường sinh l = r 2 + h 2 = 202 + 252 = 5 41 (cm)
a) Diện tích xung quanh của hình nón :

S xq = π rl = π .25.5 41 = 125π 5 (cm 2 )

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

19


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
b) Thể tích khối nón :
1
1
12500π
V = π r 2 h = π .(25) 2 .20 =
(cm3 )
3
3
3
c) Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB cân tại đỉnh S, O là tâm
của hình tròn đáy, I là trung điểm của dây cung AB, kẻ OH ⊥ AI
Ta có OH ⊥ ( SAB ) ⇒ d (O, ( SAB )) = OH = 12 (cm) ,
SO = h = 20 (cm) , OB = r = 25 (cm)
Trong tam giác vuông SOI vuông tại O :
1
1
1
1
1
1
1
1

OH ⊥ SI :
=
+ 2 ⇔
=
−
= 2− 2
2
2
2
2
2
OH
SO OI
OI
OH
SO
12 20

⇒ OI = 15 (cm)
SI .OH = SO.OI ⇔ SI =

SO.OI 20.15
=
= 25 (cm)
OH
12

BI = OB 2 − OI 2 = 252 − 152 = 20 (cm)
Diện tích thiết diện SAB là : S ∆SAB = SI .BI = 25.20 = 500 (cm 2 )

Ví dụ 2 : Cắt hình nón đỉnh S bằng một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có
cạnh huyền bằng a 2 .
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt phẳng
chứa đáy hình nón một góc 600 . Tính diện tích tam giác SBC.
(Bài tập 9 trang 40, SGK Hình học 12)
Giải :
Gọi thiết diện qua trục là tam giác vuông cân SAB vuông cân tại
đỉnh S, tâm O của hình tròn đáy là trung điểm của AB.
Ta có AB = a 2
AB a 2
Bán kính đáy r =
=
2
2
AB a 2
Chiều cao h = SO =
=
2
2

a2 a2
Độ dài đường sinh l = SA = SO + OA =
+
=a
2
2
2

2

a) Diện tích xung quanh : S xq = π rl = π .

a 2
π a2 2
.a =
2
2

2

 a 2  π a2
Diện tích đáy : Sd = π r = π 
 =
2
 2 
2

1
1 π a 2 a 2 π a3 2
Thể tích khối nón : V = Sñ .h = .
.
=
3
3 2
2
12
b) Gọi H là trung điểm của BC, suy ra BC ⊥ (SOH ) ⇒ SHO = 60 0
a 2
a 6

,
Tam giác SOH vuông tại O : SH =
= 2 =
3
3
sin SHO
2
SO

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

20


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
HC = SC 2 − SH 2 = l 2 − SH 2 = a2 −

6a 2 a 3
=
9
3

Diện tích tam giác SBC : S∆SBC = SH .HC =

a 6 a 3 a2 2
.
=
3
3
3

2- Hình trụ :
• Diện tích xung quanh : S xq = 2π rl = 2π rh
•

Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + Sñ

Diện tích đáy : Sñ = π r 2
Thể tích : V = Sñ .h = π r 2 h

Trong đó: r là bán kính đáy, h là chiều cao và l là độ dài đường sinh và h = l

Ví dụ 1 : Một hình trụ có bán kính đáy r và đường cao h = r 3 .
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB
và trục của hình trụ bằng 300 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
(Bài tập 7 trang 39, SGK Hình học 12)
Giải :
Gọi OO’ là trục của hình trụ, ta có OO ' = h = r 3
a) Diện tích xung quanh của hình trụ :
S xq = 2π rl = 2π rh = 2π r.r 3 = 2π r 2 3
b) Thể tích của khối trụ:

V = π r 2 h = π r 2 .r 3 = π r 3 3
c) Kẻ đường sinh AA’, ta có AA’ vuông góc với mặt phẳng chứa đáy
nên AA ' //OO ' ⇒ BAA ' = 300 .
Do OO ' //AA ' ⇒ d (OO ', AB) = d (OO ',( ABA ')) = d (O ',( ABA '))
Gọi I là trung điểm của A’B, ta có :
O ' I ⊥ AB '

 ⇒ O ' I ⊥ ( ABA ') ⇒ d (O ',( ABA ')) = O ' I
O ' I ⊥ AA ' 
Tam giác ABA’ vuông tại A’ : A ' B = AA '.tan BAA ' = r 3.

3
A'B r
= r , BI =
=
3
2
2

r2 r 3
O ' I = OB − BI = r − =
4
2
2

2

2

Vậy d ( AB, OO ') = d (OO ', AB) =

r 3
2

Ví dụ 2 : Cho hình trụ có bán kính r và chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh
AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy , còn cạnh BC và AD không phải là
đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa

hình vuông và mặt phẳng đáy.
(Bài tập 10 trang 40, SGK Hình học 12)
Giải :
Gọi O’O là trục của hình trụ. Kẻ hai đường sinh CC’ và DD’.
Ta có D’C’ // DC và D’C’ = DC
ABCD là hình vuông nên AB // DC và AB = DC
Suy ra AB // C’D’ và AB = D’C’ ⇒ ABC ' D ' là hình bình hành
GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

21


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Hình bình hành ABC ' D ' nội tiếp trong một đường tròn nên là hình
chữ nhật.
Suy ra AC ' là đường kính của hình tròn đáy : AC ' = 2r
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD, ta có AC = a 2
Xét tam giác vuông ACC’ vuông tại C’ :

r 10
2
5r 2
Diện tích hình vuông ABCD là : SABCD = a 2 =
2
Ta có AB ⊥ ( BCC ') suy ra góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và
AC 2 = AC '2 + CC '2 ⇔ 2a2 = 4r 2 + r 2 ⇔ a =

mặt phẳng đáy là CBC '
BC ' = BC 2 − CC '2 =

5r
r 6
− r2 =
2
2
2

r 6
BC '
3
Xét tam giác vuông BCC’ vuông tại C’ : cos CBC ' =
= 2 =
BC r 10
5
2

3- Hình cầu :
Diện tích mặt cầu : S = 4π r 2

4
Thể tích khối cầu : V = π r 3
3

Trong đó: r là bán kính

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, BAD = 60 0 .
SB ⊥ ( ABCD ) và góc giữa SD và đáy bằng 600
a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
b) Xác định tâm của mặt cầu và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ACD.
Giải :

Hình thoi ABCD có BAD = 60 0 nên hai tam giác ABD và
BCD là hai tam giác đều cạnh bằng a. Suy ra BD = a,

OA = OC =

a 3
, AC = a 3
2

SB ⊥ ( ABCD ) ⇒ SDB = 60 0 , SB = BD.tan SDB = a 3
a) Kẻ CK vuông góc với đường thẳng AB tại K , ta có :
CK ⊥ SB 
 ⇒ CK ⊥ (SAB) ⇒ d (C ,(SAB)) = CK
CK ⊥ AB 
Tam giác ACK vuông tại K có CAK = 30 0 nên :

1 a 3
CK = AC.sin CAK = a 3. =
2
2
a 3
2
b) Do BA = BD = BC = a nên SB là trục của hình tròn ngoại tiếp tam giác ACD.
Trong mặt phẳng (SBC), đường trung trực của SC cắt SB tại I, ta có IS = IC
Vì I ∈ SB ⇒ IA = ID = IC , suy ra IA = ID = IC = IS ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ACD. Bán kính mặt cầu r = SI

Vậy d (C ,(SAB)) =

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

22


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Tam giác vuông SHI đồng dạng với tam giác vuông SBC :
SC = SB 2 + BC 2 = 3a2 + a2 = 2a ⇒ r = SI =

4a2

2.a 3
4
4 8a 3 32π a 3 3
Thể tích khối cầu : V = π r 3 = π .
=
3
3
9
27

=

SI SH
SH .SC SC 2
=
⇒ SI =
=
SC SB
SB
2.SB

2a 3
3

3

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
cùng vuông góc với đáy, biết AB = a, BC = 2a, SA = 2a .
a) Tính thể tích khối tứ diện SABC theo a.
b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD và tính diện tích mặt cầu đó theo a.
Giải :
(SAB) ⊥ ( ABCD ), (SAD ) ⊥ ( ABCD ) và (SAB) ∩ (SAD ) = SA suy ra SA ⊥ ( ABCD )
a) Diện tích tam giác ABC: S∆ABC =

1
AB.BC = a2
2

Thể tích khối tứ diện SABC :
1
1
VS . ABC = .SA.S∆ABC = .2a.a2 = a3
3
2
b) Gọi I là trung điểm của SC
Tam giác SAC vuông tại A nên IS = IA = IC
Ta có : CD ⊥ (SAD ) ⇒ CD ⊥ SD ⇒ tam giác SCD
vuông tại D, do đó : IS = IC = ID
Suy ra IS = IA = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện SACD

SC
Bán kính mặt cầu r = IS =
2
3a
AC = AB 2 + BC 2 = a2 + 4a2 = a 5 , SC = SA 2 + AC 2 = 4a2 + 5a2 = 3a ⇒ r =
2
2
9a
Diện tích mặt cầu : S = 4π r 2 = 4π .
= 9π a 2
4

CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP
1- Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , ABC = 300 , SBC là tam giác đều cạnh
a và mặt bên ( SBC ) vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABC và
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). (Đại học khối A, A1 – 2013)

Đáp số : VS . ABC

a3
a 39
=
, d (C , ( SAB )) =
16
13

2- Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông , tam giác A ' AC vuông cân,
A ' C = a . Tính thể tích của khối tứ diện ABB ' C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( BCD ') theo a. (Đại học khối D – 2012)

Đáp số : VABB 'C ' =

a3 2
a 6
, d ( A, ( BCD ')) =
48
6

3- Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BC. (Đại học khối D – 2014)

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

23


www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam
Đáp số : VS . ABC

a3 3
a 3
=
, d ( SA, BC ) =
24
4

4- Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABCD và khoảng cách
từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) . (Đại học khối B – 2013)

Đáp số : VS . ABCD =

a3 3
a 21
, d ( A, ( SCD )) =
6
7

5- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD = 1200 , SO
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính
thể tích của khối chóp S . ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a.

Đáp số : VS . ABCD =

a3 3
3a
, d ( AB, SC ) =
8
4

6- Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AB = 2a, BC = a , SA ⊥ ( ABCD) . Góc
giữa mặt phẳng (SBC) và đáy (ABCD) bằng 450 . Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho
MD = 2 MC . Tính theo a thể tích của khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng ( SBM ) .

Đáp số : VS . ABCD =

4a 3
3a 22

, d ( A, ( SBM )) =
3
11

7- Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có AB = a, BC = 2a, ACB = 300 , hình chiếu vuông góc của
A ' trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC , góc giữa AA ' và mặt
phẳng ( ABC ) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách giữa
hai đường thẳng B ' C ' , A ' C .
2a 51
17
8- Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và
(ABC) bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. (Đại học khối B – 2010)

Đáp số : VABC . A ' B 'C ' = a 3 , d ( B ' C ', A ' C ) =

Đáp số : VABC . A ' B 'C ' =

3a 3 3
7a
, R=
8
12

KẾT LUẬN :
Chuyên đề này là một tài liệu nhỏ phần nào giúp cho các em học sinh trường THPT Xuân Thọ
rèn luyện kỹ năng làm bài tập. Đối với học sinh trung bình, yếu nếu có ý chí vượt khó, chịu cố gắng
sẽ làm được phần tính thể tích. Các em khá, giỏi có thể làm được cả phần tính khoảng cách, giúp
các em tự tin cho kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 sắp tới.
Tuy đã có nhiều cố gắng, do thời gian hạn chế nên tài liệu chắc chắn còn nhiều thiếu sót,

chúng tôi xin rất biết ơn sự góp ý luôn được mong đợi từ quý Thầy Cô và các em học sinh.

GV: Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ, Đồng Nai

24