Chuyên đề GTLN-GTNN của hàm số luyện thi THPTQG

Website: tailieumontoan.com

CHUYÊN ĐỀ
GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019
(Sản phẩm của tập thể thầy cô Tổ 12-STRONG TEAM)

Câu 1.

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
 π
2
2
0; 2  . Khi đó M + m là
11
31
A.
.
B.
.
2
2

Câu 2.

M + m nằm trong khoảng nào?
B. ( 0;1) .

C. ( 1; 2 ) .

D. ( 3;5 ) .

x2 − 8x
trên đoạn
x +1

M − m bằng

A. −3 .

B.

1
.
2

C.

26
.
5

D.

24
.
5

Giá trị nhỏ nhất hàm số f ( x) = x 4 − x 2 + 13 trên [ −2;3] là phân số tối giản có dạng
a + b bằng
A. 53 .

Câu 5.

61
.
4

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

[ 1;3] . Khi đó

Câu 4.

D.

3
2
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x + 3x − 3 trên đoạn

[ 1;3] . Khi đó
A. ( 2; 4 ) .
Câu 3.

C. 15 .

2sin x + 3
trên đoạn
sin x + 1

B. 55 .

C. 57 .

a
. Khi đó
b

D. 59 .

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x+3+ 6− x .

Khi đó M . m bằng
A. 3 .
Câu 6.

Gọi M

B. 3 + 3 2 .
C. 3 2 .
D. 9 2 .
và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 4 x 2 − 8 2 x 2 + 3x + 2 + 6 x + 2019 trên đoạn [0;2]. Tính M + m
Câu 7.

A. 4026 + 8 2 .
B. 4016 .
C. 4022 .
D. 4026 − 8 2 .

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 4 x 2 − 4mx + m 2 − 2m + 2 trên đoạn [ 0; 2] bằng 3 . Số các phần tử của S là
D. 5 .
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x + 1 với
2 + sin 2 x
A. 2 .

Câu 8.

B. 3 .

C. 4 .

x ∈ ¡ . Khi đó M + 3m bằng
A. 1 + 2 2 .
Câu 9.

B. −1 .

C. 1.

D. 2 .

Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 4 ) 4 − x 2 + x 2 ( 4 − x 2 ) + 4 x + 2007 thuộc khoảng nào
dưới đây?
1


Website: tailieumontoan.com

A. ( 2019; 2024 ) .

B. ( 2024; 2028 ) .

C. ( 2028; 2032 ) .

D. ( 2015; 2019 ) .

2
3
Câu 10. Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x − cos x trên đoạn
3

[ 0; π ] .

A.

2
.
3

B.

2
.
3

C. 0 .

D.

B.

9
.
4

C.

9
.
2

D.

2 2
.
3
1
1
+
Câu 11. Cho hai số thực a , b đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
bằng
log ab a log 4 ab b
A.

4
.
9

1
.
4

3
2
2
Câu 12. Cho hàm số y = − x + mx − ( m + m + 1) x . Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao

cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ −1;1] bằng −6 . Tính tổng các phần tử của S .
A. 0 .

C. −4 .

B. 4 .

D. 2 2 .

Câu 13. Cho hình chóp S . ABC . Mặt phẳng ( P ) song song với đáy cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt
tại D , E , F . Gọi D1 , E1 , F1 tương ứng là hình chiếu vng góc của D , E , F lên mặt phẳng

( ABC ) (tham khảo hình vẽ bên). V

là thể tích khối chóp S . ABC . Giá trị lớn nhất của thể tích

khối đa diện DEFD1 E1 F1 bằng:

A.

V

.
6

B.

V
.
12

Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
A. 19 .

C.

D.

2V
.
3

1 + x + 3 − x − m − 3 + 2 x − x 2 ≤ 2 có nghiệm.

B. 18 .

Câu 15. Cho hàm số y =

4V
.
9

C. 17 .

D. 16 .

sin x + m 2
. Giá trị của m thuộc khoảng nào sau đây thì hàm số đạt giá trị lớn
sin x − 2

nhất là −1 .
A. ( −1;0 ) .

B. ( −4;3) .

C. ( 4;6 ) .

D. ( 0;1) .

2x
x
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = e − 4e + m trên đoạn

[ 0;ln 4]
A. 3 .

bằng 6 ?
B. 4 .

C. 1.

D. 2 .

2
Câu 17. Cho m = log a 3 ab với a > 1 , b > 1 và P = log a b + 16 log b a . Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá
trị m thuộc khoảng

2


Website: tailieumontoan.com

1 
A.  ;1÷ .
2 

B. ( −1;3) .

C. ( 1;3) .

D. ( 3;8 ) .

4
2
Câu 18. Cho hàm số f ( x) = 8cos x + a cos x + b , trong đó a , b là các tham số thực. Gọi M là giá trị

lớn nhất của hàm số. Tính tổng a + b khi M nhận giá trị nhỏ nhất.
A. a + b = −7 .
B. a + b = −9 .
C. a + b = 0 .
Câu 19. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) = 4 ( sin x + cosx ) +

4

sau đây?
 3
A.  1; ÷.
 2

2
trên đoạn
sin x.cos 2 x
2

3 
B.  ;2 ÷ .
2 

D. a + b = −8 .

M
π π 
12 ; 4  . Khi đó tỉ số m thuộc khoảng nào
 5
C.  2; ÷.
 2

Câu 20. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số y =

5 
D.  ;3 ÷.
2 

1 4 19 2
x − x + 30 x + m có giá trị lớn
4
2

nhất trên đoạn [ 0; 2] không vượt quá 20 . Số phần tử của tập hợp S bằng?
A. 12.

B. 13.
C. 14.
D. 15.
Câu 21. Cho hàm số f ( x ) = x - 2 x . Có bao nhiêu giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số
2

f ( 1 + sin x ) + m bằng 5.
A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Câu 22. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x + 3 x − 72 x + 90 + m trên đoạn [ −5;5] là 2018 . Trong
3

2

các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A. 1600 < m < 1700 .

B. m = 400 .
C. m < 1618 .

D. 1500 < m < 1600 .

Câu 23. Xét hàm số f ( x ) = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
2

trên [ −1;3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b .
A. 3 .

C. −4 .

B. 4 .

D. 2 .
x − y −1
x + y +1
= 4x +
Câu 24. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 và 2
. Tìm giá trị nhỏ
2y
x2 − y + m ( 2x − y )
nhất của giá trị lớn nhất của biểu thức P =
khi m thay đổi?
x +1
A. 2 − 3 .

B.

3 −1.

C.

2 −1 .

D. 1 + 2 .

2

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x) = e x + 3 x 4 − 1 . Xét các mệnh đề:
(I): Hàm số có tập xác định là D = [−1;1] .
(II): Hàm số có tập xác định là D = ¡ .
(III): Hàm số khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
(IV): Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.
Số mệnh đề đúng là:
A. 1.
B. 4.
C. 3.

D. 2.

Câu 26. Cho hàm số y = f (x ) = −x 4 + 24x 2 − 140 và hàm số g (x ) = f ( x 2 + 4x + 16) − x 2 − 4x + 3 .
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g ( x ) trên [ −4;0] là:
A. 2.

B. 8.

C. 14.

Câu 27. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + sin x + 1 + cos x là.
3

D. 18.


Website: tailieumontoan.com

A. ymin = 4 + 2 .

B. ymin = 4 − 2 .

D. ymin = 1 .

C. ymin = 2 .

Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4 ( km ) . Trên bờ biển có một
cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC = 7 ( km ) . Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ
vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6 ( km / h ) rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc
10 ( km / h ) (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là
nhanh nhất.

.
A. 9km .
B. 6km .
C. 3km .
D. 4km .
Câu 29. Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép
dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy
·

xác định vị trí đó. ( BOC
gọi là góc nhìn).
A. 2,1 m.
C. 2, 4 m.

B. 2, 2 m.
D. 2,6 m.

( )

2
Câu 30. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 2020 m . Người chủ muốn mở rộng khuôn viên

thành khu sinh thái mới có dạng hình trịn ngoại tiếp mảnh vườn cũ. Diện tích nhỏ nhất của
phần đất được mở rộng thêm gần nhất với kết quả nào sau đây (tham khảo hình vẽ dưới).

( )

2
A. 3173 m .

( )

( )

2
B. 12692 m .

2
C. 1153 m .

( )

2
D. 10672 m .

Câu 31. Ông A dự định sử dụng hết 6,5 m 2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể). Bể cá có
dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? (Trích đề thi chính
thức THPT năm 2018).
A. 2, 26 m3 .
B. 1, 61m3 .
C. 1,33m3 .
D. 1,50 m3 .
Câu 32. Một doanh nghiệp kinh doanh xe máy mỗi tháng bình quân bán được 1000 chiếc xe cùng loại
với giá 35 triệu đồng mỗi chiếc. Để gia tăng lợi nhuận nên doanh nghiệp quyết định thay đổi
giá bán. Theo thông kê của doanh nghiệp, nếu giảm giá 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số sẽ tăng
4


Website: tailieumontoan.com

thêm 50 chiếc so với bình quân và ngược lại nếu tăng giá bán 1 triệu đồng/chiếc thì doanh số
giảm tương ứng 50 chiếc so với bình quân, giá gốc mỗi chiếc xe là 30 triệu đồng, mỗi chiếc xe
bán ra được hưởng chiếc khấu 8%(trên giá gốc) từ công ty. Hỏi doanh nghiệp phải bán với giá
bao nhiêu để được lợi nhuận cao nhất.
A. 41 triệu.
B. 41,1 triệu.
C. 41,2 triệu.
D. 41,3 triệu.

Câu 33. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) như hình vẽ:

1 3 3 2 3
Xét hàm y = g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
4
2
A. min g ( x ) = g ( −1) .
B. min g ( x ) = g ( 1) .
[ −3;1]

[ −3;1]

g ( x ) = g ( −3) .
C. min
[ −3;1]

D. min g ( x ) =
[ −3;1]

g ( −3) + g ( 1)
.
2

Câu 34. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức: ( xy −1) 22 xy −1 = ( x 2 + y ) 2 x

2

+y

. Tìm

giá trị nhỏ nhất ymin của y .
A. ymin = 3 .
B. ymin = 3 .
C. ymin = 1 .
D. ymin = 2 .
Câu 35. Cho các số thực x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1. Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức S = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3x) + 25 xy. Tổng M + m bằng
A.

391
.
16

B.

383
.
16

C.

49
.
2

D.

25

.
2

2
Câu 36. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 1 x + log 1 y ≤ log 1 ( x + y ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu
2

2

2

thức P = x + 3 y là
17
25 2
.
D.
.
2
4


x+ y+z
Câu 37. Cho các số thực x, y , z thỏa mãn log16  2
÷= x ( x − 2) + y ( y − 2) + z ( z − 2) .
2
2
 2x + 2 y + 2z +1 
A. 9.

B. 8.

C.

x+ y−z
bằng?
x+ y+z
1
2
2
1
A. − .
B. .
C. − .
D. .
3
3
3
3
Câu 38. Cho các số thực 0 < y < 1 ≤ x ≤ 3 thỏa mãn x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 3xy − x + y = 0 . Giá trị lớn nhất,
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F =

nhỏ nhất của biểu thức P = 2 x + y là M , m . Tính M + m ?
A. 12

B.

5
2

C.

5

27
4

D.

37
4


Website: tailieumontoan.com

Câu 39. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
H=

A.

x + 3y
y + 3z
z + 3x
1
+ 2
+ 2
+
z + 3 ( x + y + 1) x + 3 ( y + z + 1) y + 3 ( z + x + 1) 4 ( x + y + z − 1)
2

53

.
40

Câu 40. Cho hàm số

B.
y = f ( x)

499
.
380

C.

liên tục trên ¡

20
.
16

có đồ thị

D.
y = f ′( x)

21
.
16

như hình vẽ. Đặt

g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x − 1) . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y = g ( x ) trên đoạn [ −3;3] bằng
2

A. g ( 0 ) .

B. g ( 1) .

C. g ( 3) .

D. g ( −3) .

2
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 2 + 2sin 2 x − m ( 1 + cos x ) = 0 có nghiệm

 π π
x ∈ − ;  ?
 2 2
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 42. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

2.6 f ( x ) + ( f 2 ( x ) − 1) .9 f ( x ) − 3.4 f ( x ) .m ≥ ( m2 − m ) .22 f ( x ) đúng với mọi x ∈ ¡ .

A. 1.

B. 3 .

C. 5 .

6

D. 6 .


Website: tailieumontoan.com
2
'
2
Câu 43. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ( 0; +∞ ) , thỏa mãn 3x.f ( x ) − x . f ( x ) = 2 f ( x ) , f ( x) ≠ 0 với

x ∈ ( 0; +∞ ) và f (1) =

1
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
2

y = f ( x) trên đoạn [ 1; 2] . Tính M + m .
21
9
.
D.

.
10
10
Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau
A.

6
.
5

B.

7
.
5

C.

f ( x) +m
+ 4 f ( x ) + m ≤ 5 f ( x ) + 2 + 5m đúng với mọi x ∈ ( −1; 2 ) khi và chỉ khi
Bất phương trình 3

A. − f ( −1) < m < 1 − f ( 2 ) .

B. − f ( −1) ≤ m ≤ 1 − f ( 2 ) .

C. − f ( 2 ) < m < 1 − f ( −1) .

D. − f ( 2 ) ≤ m ≤ 1 − f ( −1) .

4 x 2 + 3x ≥ x + 1 + 1

Câu 45. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
2
3
 x ( x + 5 ) ( 2 x − 1) + ( x − 2 x + m ) = 0
7
5
A. m = .
B. m = .
C. m = −1 .
2
2

( 1)
( 2)
D. m =

7
.
8

4
3
2
Câu 46. Đề bài: Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn f ( x ) − xf ( 1 − x ) = x − 5 x + 12 x − 4 với mọi x thuộc

D = { x ∈ ¡ : x 4 − 10 x 2 + 9 ≤ 0} . Gọi M , m lần lượt là GTLN, GTNN của f ( x ) trên tập D .
Tính giá trị của biểu thức S = 21m + 6 M + 2019
A. 2235.

B. 2223.

C. 2319.

D. 1623.

Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm của bất phương
trình

log 22 x + 3log 1 x 2 − 7 < m ( log 4 x 2 − 7 ) chứa khoảng ( 256; + ∞ ) .
2

A. 7 .

B. 10 .

Câu 48. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4

C. 8 .

(

) (
x

2 +1 +

)

2 −1

x

D. 9 .

thuộc khoảng nào sau đây.

A. ( 2; 4 ) .
B. ( 3;5 ) .
C. ( 4;5 ) .
D. ( 5;6 ) .
Câu 49. Trong một kho có nhiều miếng tơn hình chữ nhật khác nhau đủ loại kích thước có cùng chu vi
là 240 cm. Một bác thợ hàn dự định làm một chiếc thùng hình trụ khơng đáy từ một mảnh tơn
trong số đó. Hỏi bác thợ hàn cần chọn miếng tơn có chiều rộng và chiều dài bằng bao nhiêu để
thể tích chiếc thùng là lớn nhất?
7


Website: tailieumontoan.com

A. 40 cm; 80 cm.

B. 50 cm; 70 cm.

C. 60 cm; 60 cm.

D. 30 cm; 90 cm.

Câu 50. Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ≥ 0 , y ≥ 1 ; x + y = 3 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P = x 3 + 2 y 2 + 3 x 2 + 4 xy − 5 x lần lượt bằng
A. 20 và 15

B. 20 và 18

C. 18 và 15

D. 15 và 13

Câu 51: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất
của hàm số y = f ( 2sin x ) trên ( 0; π ) là:

A. 5 .

C. 3 .

B. 4 .
HẾT

8

D. 2 .


Website: tailieumontoan.com

BẢNG ĐÁP ÁN
1.D

2.A

3.B

4.B

5.D

6.C

7.A

8.C

9.B

10.C

11.B

12.A

13.C

14.D

15.B

16.D

17.B

18.A

19.B

20.D

21.B

22.A

23.C

24.A

25.D

26.A

27.D

28

29.C

30.C

31.D

32.D

33.A

34.D

35.A

36.A

37.B

38.D

39.D

40.D

41.C

42.C

43.C

44.D

45.D

46.A

47.C

48.B

49.A

50.A

51.C
Câu 1.

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
 π
2
2
0; 2  . Khi đó M + m là
11
31
A.
.
B.
.
2
2

C. 15 .

D.

2sin x + 3
trên đoạn

sin x + 1

61
.
4

Lời giải
Chọn D
 π
Đặt t = sin x . Với x ∈  0;  thì 0 ≤ sin x ≤ 1 hay 0 ≤ t ≤ 1 .
 2
2t + 3
Khi đó y = f (t ) =
, với t ∈ [ 0;1] .
t +1
−1
< 0 , ∀t ∈ [ 0;1] nên hàm số f (t ) nghịch biến trên đoạn [ 0;1] .
Ta có f '(t ) =
(t + 1) 2
5
f ( t ) = f ( 0) = 3 .
Suy ra m = min f ( t ) = f ( 1) = và M = max
t ∈[ 0;1]
t ∈[ 0;1]
2
61
2
2
Vậy M + m = .
4

Câu 2.

3
2
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x + 3x − 3 trên đoạn

[ 1;3] . Khi đó
A. ( 2; 4 ) .

M + m nằm trong khoảng nào?
B. ( 0;1) .

C. ( 1; 2 ) .
Lời giải

Chọn A
3
2
Xét hàm số f ( x ) = − x + 3x − 3 trên đoạn [ 1;3] .
2
Ta có f ′ ( x ) = −3 x + 6 x .

 x = 0 ∉ [ 1;3]
Khi đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
.
 x = 2 ∈ [ 1;3]
9

D. ( 3;5 ) .

Website: tailieumontoan.com
3
2
Ta có BBT của hàm số f ( x ) = − x + 3x − 3 trên đoạn [ 1;3] .

Gọi x1 , x2 là hai nghiệm trên đoạn [ 1;3] (giả sử x1 < x2 ) của phương trình − x 3 + 3 x 2 − 3 = 0 .
3
2
Khi đó ta có BBT của hàm số g ( x ) = − x + 3x − 3 trên đoạn [ 1;3] .

3
2
Từ BBT ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y = − x + 3x − 3 trên đoạn [ 1;3] bằng 3 và giá trị
3
2
nhỏ nhất của hàm số y = − x + 3x − 3 trên đoạn [ 1;3] bằng 0 .

Do đó M = 3 , m = 0 . Vậy M + m = 3 .
Câu 3.

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

[ 1;3] . Khi đó

x2 − 8x
trên đoạn
x +1

M − m bằng

A. −3 .

B.

1
.
2

C.

26
.
5

D.

24
.
5

Lời giải
Chọn B
x2 − 8x
trên [ 1;3] .
x +1
( 2 x − 8) ( x + 1) − x 2 + 8 x = x 2 + 2 x − 8
′
f
x

=
(
)
Ta có
.
2
2
( x + 1)
( x + 1)
Xét hàm số f ( x ) =

 x = 2 ∈ [ 1;3]
2
Khi đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ x + 2 x − 8 = 0 ⇔ 
.
 x = −4 ∉ [ 1;3]
−7
−15
Ta có f ( 1) =
; f ( 3) =
; f ( 2 ) = −4 .
2
4
7
f ( x ) = −4 khi x = 2 .
Do đó M = max f ( x ) = − khi x = 1 và m = min
x∈[ 1;3]
x∈[ 1;3]
2
7

1
Vậy M − m = − − ( −4 ) = .
2
2
Câu 4.

Giá trị nhỏ nhất hàm số f ( x) = x 4 − x 2 + 13 trên [ −2;3] là phân số tối giản có dạng
a + b bằng
10

a
. Khi đó
b


Website: tailieumontoan.com

A. 53 .

B. 55 .

C. 57 .
Lời giải

D. 59 .

Chọn B
Tập xác định: D = ¡ .

2

( TM )
x = −
2

Ta có f ′( x) = 4 x3 − 2 x . Khi đó f ′( x) = 0 ⇔  x = 0 ( TM )
.

2

 x = 2 (TM)

2  51
Ta lại có: f  −
÷
÷= ,
 2  4

 2  51
f 
÷
÷ = , f ( 0 ) = 13 , f ( −2 ) = 25 , f ( 3) = 85 nên giá trị nhỏ nhất
 2  4

51
2
tại x = ±
.
4
2
Suy ra a = 51 và b = 4 . Vậy a + b = 55 .

của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −2;3] là

Câu 5.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x+3+ 6− x .

Khi đó M . m bằng
B. 3 + 3 2 .

A. 3 .

C. 3 2 .
Lời giải

D. 9 2 .

Chọn D

x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
⇔
⇔ −3 ≤ x ≤ 6 .
6 − x ≥ 0
x ≤ 6

Điều kiện xác định của hàm số là 
Ta có y′ =

6− x − x+3
1
1
=
=
−
2 x + 3 2 6 − x 2 ( x + 3) ( 6 − x ) 2

Khi đó y′ = 0 ⇔ 3 − 2 x = 0 ⇔ x =

3 − 2x

( x + 3) ( 6 − x ) (

6− x + x+3

).

3
∈ [ −3;6] .
2

 3
 2

Ta lại có y ( −3) = 3 ; y  ÷ = 3 2 ; y ( 6 ) = 3 .

y = 3 tại x = 3 và x = 6 .
y = 3 2 tại x = 3 và x∈min
Do đó M = xmax

[ −3; 6]
∈[ −3; 6]
2
Suy ra M = 3 2 , m = 3 . Vậy M . m = 9 2 .
Câu 6.

Gọi M

và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = 4 x 2 − 8 2 x 2 + 3x + 2 + 6 x + 2019 trên đoạn [0;2]. Tính M + m
A. 4026 + 8 2 .

B. 4016 .

C. 4022 .
Lời giải

D. 4026 − 8 2 .

Chọn C
y = 4 x 2 − 8 2 x 2 + 3x + 2 + 6 x + 2019 = 2(2 x 2 + 3 x + 2) − 8 2 x 2 + 3 x + 2 + 2015
Đặt t = 2 x 2 + 3x + 2 . Hàm số đã cho trở thành y = f (t ) = 2t 2 − 8t + 2015 .

11


Website: tailieumontoan.com
2

3 7

Ta có 2 x + 3 x + 2 = 2  x + ÷ + .
4 8

2

2

3  3 11  
3   9 121 
x ∈ [ 0; 2] ⇒ x + ∈  ;  ⇒  x + ÷ ∈  ;
⇒ 2 x 2 + 3 x + 2 ∈ [ 2;16] ⇒ t ∈  2; 4  .

4 4 4  
4  16 16 
Suy ra max y = max f (t ) và min y = min f (t ) .
[0;2]

[ 2;4]

[0;2]

[ 2 ;4]

Ta có: f ′ ( t ) = 4t − 8 ⇒ f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 2 ∈  2; 4  .
Do f

( 2 ) = 2019 − 8

y = max f (t ) = f (4) = 2015
2 ; f ( 2 ) = 2007 , f ( 4 ) = 2015 . Suy ra max
[0;2]
[ 2;4]

y = min f (t ) = f (2) = 2007 ⇒ M = 2015; m = 2007 ⇒ M + m = 4022 .
và min
[0;2]
[ 2;4]
Câu 7.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 4 x 2 − 4mx + m 2 − 2m + 2 trên đoạn [ 0; 2] bằng 3 . Số các phần tử của S là
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .
D. 5 .
Lời giải
Tác giả:Phạm Tiến Hùng; Fb: Hùng Phạm Tiến

Chọn A
m

+ Hàm số có a = 4 > 0 và đỉnh của parabol là I  ; 2 − 2m ÷ .
2

m
+ Nếu < 0 ⇔ m < 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] là

2
min y = y ( 0 ) = m 2 − 2m + 2 nên min y = 3 ⇔ m 2 − 2m + 2 = 3 ⇔ m = 1 ± 2 ⇒ m = 1 − 2 .
m
+ Nếu 0 ≤ ≤ 2 ⇔ 0 ≤ m ≤ 4 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] là
2
1
m
min y = y  ÷ = 2 − 2m nên min y = 3 ⇔ 2 − 2m = 3 ⇔ m = − (loại).
2
2
m
> 2 ⇔ m > 4 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] là
+ Nếu
2
min y = y ( 2 ) = m 2 − 10m + 18 ⇒ min y = 3 ⇔ m 2 − 10m + 18 = 3 ⇔ m 2 − 10m + 15 = 0

Câu 8.

 m = 5 − 10
⇔
⇒ m = 5 + 10 .
 m = 5 + 10
+ Vậy giá trị cần tìm là m = 1 − 2 hoặc m = 5 + 10 . Vậy S có số phần tử là 2.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x + 1 với
2 + sin 2 x
x ∈ ¡ . Khi đó M + 3m bằng
A. 1 + 2 2 .

B. −1 .

C. 1.
Lời giải

Chọn C
− 2 ≤ t ≤ 2
Đặt t = sin x + cos x ⇒  2
.
t = 1 + sin 2 x
1− t
t +1
f ′ t = 0 ⇔ t =1.
Khi đó: f ( t ) = 2
; f ′( t ) = 2
( t + 1) t 2 + 1 ; ( )
t +1
12

D. 2 .


Website: tailieumontoan.com

(

)

Ta có: f − 2 =

1− 2
; f

3

( 2 ) = 1+ 3 2 ;
(

)

Suy ra M = f ( 1) = 2 ; m = f − 2 =

f ( 1) = 2 .

1− 2
.
3

Vậy M + 3m = 1 .
Câu 9.

Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 4 ) 4 − x 2 + x 2 ( 4 − x 2 ) + 4 x + 2007 thuộc khoảng nào
dưới đây?
A. ( 2019; 2024 ) .

B. ( 2024; 2028 ) .

C. ( 2028; 2032 ) .

D. ( 2015; 2019 ) .

Lời giải
Chọn B

TXĐ: D = [ −2; 2] .

)

(

2
2
2
2
Ta có f ( x ) = x ( 4 − x ) + 2 x 4 − x + 4 x + 4 − x + 2007 .

Đặt t = x + 4 − x 2 .
Khi đó: t ′ = 1 −

x ≥ 0
; t′ = 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ 
2.
2
2 ⇔ x =
4− x
4 − x = x
x

Ta có t ( −2 ) = −2 , t

2

( 2) = 2

2 , t ( 2 ) = 2 . Do đó t ∈  −2; 2 2  .
2

Mặt khác, t = 4 + 2 x 4 − x
2

2

 t2 − 4 
t2 − 4
và x 2 ( 4 − x 2 ) = 
⇒ x 4− x =
÷.
2
 2 
2

Bài tốn chuyển thành:
2

 t2 − 4 
2
“ Tìm GTLN của hàm số g ( t ) = 
÷ + t − 4 + 4t + 2007 trên đoạn  −2; 2 2  .’’
 2 
 t2 − 4 
3
3
′
Ta có g ( t ) = 2 

÷.t + 2t + 4 = t − 2t + 4 ; g ′ ( t ) = 0 ⇔ t − 2t + 4 = 0 ⇔ t = −2 .
2



(

)

Mặt khác, g ( −2 ) = 1999 và g 2 2 = 2015 + 8 2 .

(

)

Do đó, giá trị lớn nhất của f ( x ) bằng 2015 + 8 2 ∈ ( 2024; 2028 ) đạt tại x = 2 .
2
3
Câu 10. Tính tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x − cos x trên đoạn
3

[ 0; π ] .
A.

2
.
3

B.

2
.
3

C. 0 .

D.

2 2
.
3

Lời giải
Chọn C
2
3
Xét hàm số y = f ( x ) = cos x − cos x trên đoạn [ 0; π ] .
3
2 3
Đặt t = cos x . Ta có t ∈ [ −1;1] và hàm số đã cho trở thành y = g ( t ) = t − t .
3

13


Website: tailieumontoan.com


2
t=

′
y
=
0

1
−
2
t
=
0



2
⇔
⇔
y ′ = 1 − 2t 2 ; 
.

t ∈ [ −1;1]
2
t ∈ [ −1;1]
t = −

2
2


 2

2
2
2
1
1
=−
=
g ( −1) = − , g ( 1) = , g  −
, g 
.
÷
÷
÷
÷
3
3
3
 2 
 2  3
 2

2
2
2
g ( t ) = g 
=
min
g
t
=

g
−
=−
(
)
Vậy max
,
÷

÷
÷

÷
−
1;1
[
]
[ −1;1]
3
 2  3
 2 
2
2
π 
 3π 
hay max y = f  ÷ =
, min y = f  ÷ = −
.
0;
π

0;
π
[ ]
3
4 3 [ ]
 4 
Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là

2 
2
+  −
÷= 0 .
3  3 ÷


Nhận xét: Ta có x ∈ [ 0; π ] ⇒ π − x ∈ [ 0; π ] và f ( π − x ) = − f ( x ) .
Do đó nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x0 thì sẽ đạt giá trị nhỏ nhất tại π − x0 và giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất là hai số đối nhau. Vậy tổng cần tìm bằng 0 .
1
1
+
Câu 11. Cho hai số thực a , b đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
bằng
log ab a log 4 ab b
A.

4
.
9

B.

9
.
4

C.

9
.
2

D.

1
.
4

Lời giải
Chọn B
Ta có S =

1
1
+
= log a ( ab ) + log b 4 ab
log ab a log 4 ab b

= 1 + log a b +

1
5
1
( logb a + 1) = log a b + 4 log b + 4 .
4
a

Đặt x = log a b . Do a , b > 1 nên x > 0 . Khi đó S = x +

1 5
+ .
4x 4

Cách 1.
Ta có S = x +

1 5
1
1 5 9
+ ≥ 2 x.
+ = (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x và x ).
4x 4
4
4x 4 4

1
1


1

x =
x = ±
4x ⇔ 
2⇒x= .
Dấu " = " xảy ra ⇔ 
2
 x > 0
 x > 0
9
1
Vậy min S = tại log a b = ⇔ b = a .
4
2
Cách 2.
1 5
+
Ta có S = x +
4x 4
1 5
+ trên khoảng ( 0; +∞ ) , ta có
Xét hàm số f ( x ) = x +
4x 4

14


Website: tailieumontoan.com

1
1

1
4 x2 −1 ; ′
f ( x ) = 0 ⇔ x = − ∉ ( 0; +∞ ) hoặc x = ∈ ( 0; +∞ ) .
=
2
2
4x
2
2
4x
Bảng biến thiên:
f ′( x) = 1−

9
1
khi x = .
4
2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có min f ( x ) =
( 0 ;+∞ )

Vậy min S =

9
1
tại log a b = ⇔ b = a .
4
2

3
2
2
Câu 12. Cho hàm số y = − x + mx − ( m + m + 1) x . Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao

cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ −1;1] bằng −6 . Tính tổng các phần tử của S .
A. 0 .

C. −4 .
Lời giải

B. 4 .

D. 2 2 .

Chọn A
Ta có: y ' = −3 x 2 + 2mx − m 2 − m − 1; ∀x ∈ ¡
Mà ∆ ' = −2m 2 − 3m − 3 < 0; ∀m ∈ ¡
Suy ra y ' < 0; ∀x ∈ [ −1;1] .
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên [ −1;1]
y = y ( 1) = −6 .
Suy ra min
[ −1;1]
2
Lại có y ( 1) = −2 − m .

m = 2
2
Do đó −2 − m = −6 ⇔ 
.

 m = −2
Vậy tổng các phần tử của S bằng 0 .
Câu 13. Cho hình chóp S . ABC . Mặt phẳng ( P ) song song với đáy cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt
tại D , E , F . Gọi D1 , E1 , F1 tương ứng là hình chiếu vng góc của D , E , F lên mặt phẳng

( ABC ) (tham khảo hình vẽ bên). V

là thể tích khối chóp S . ABC . Giá trị lớn nhất của thể tích

khối đa diện DEFD1 E1 F1 bằng:

15


Website: tailieumontoan.com

A.

V
.
6

B.

V
.
12

C.

4V
.
9

D.

2V
.
3

Lờigiải
Chọn C

Mặt phẳng ( P ) song song với đáy cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt tại D , E , F
⇒DE , DF , EF song song với mặt phẳng ( ABC ) .
DE SD
=
.
AB SA
S ∆DEF
SD
AD SA − SD
= x2 .
= x với 0 < x < 1 . Khi đó:
=
= 1 − x và
Đặt
S
SA
SA

SA
∆ABC
⇒ Hai tam giác DEF và ABC đồng dạng theo tỉ số

Do D1 , E1 , F1 tương ứng là hình chiếu vng góc của D , E , F lên mặt phẳng ( ABC ) nên
khối đa diện DEFD1 E1 F1 là một hình lăng trụ đứng có chiều cao DD1 và đáy là ∆DEF .
DD1 AD
=
= 1 − x ⇒ DD1 = ( 1 − x ) h .
Gọi h là chiều cao của hình chóp S . ABC thì
h
AS
Thể tích khối đa diện DEFD1 E1 F1 là:
1
VDEFD1E1F1 = DD1.S∆DEF = ( 1 − x ) h.S∆ABC .x 2 = 3 ( x 2 − x 3 ) . h.S ∆ABC = 3 ( x 2 − x 3 ) V .
3
Cách 1:
Xét hàm số f ( x ) = 3 ( x − x
2

3

)

x = 0
với 0 < x < 1 , ta có f ′ ( x ) = 3 x ( 2 − 3 x ) ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 
.
x = 2
3


Ta có BBT:
16


Website: tailieumontoan.com

Dựa vào BBT thì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên ( 0;1) tại x =

2
, giá trị lớn nhất là
3

4V
2 4
.
max f ( x ) = f  ÷ = nên giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện DEFD1 E1F1 bằng
0;1
( )
9
3 9
Cách 2:
2
3
Ta có: 3 ( x − x ) =

3

3
4

3 x + x + 2 − 2x  3 8 4
x.x.(2 − 2 x) ≤ 
= . = hay VDEFD1E1F1 ≤ V .
÷
2
9
2
3
 2 27 9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 − 2 x ⇔ x =

2
.
3

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối đa diện DEFD1 E1 F1 bằng
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
A. 19 .

4V
.
9

1 + x + 3 − x − m − 3 + 2 x − x 2 ≤ 2 có nghiệm.

B. 18 .

C. 17 .
Lời giải

D. 16 .

Chọn D
Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 3 .
1 + x + 3 − x − m − 3 + 2x − x2 ≤ 2
⇔

1 + x + 3 − x − m ≤ 2 + 3 + 2x − x2

 1+ x + 3 − x − m ≥ 0

2 ( 1)
⇔
2
1
+
x
+
3
−
x
−
m
≤
2
+
3
+
2

x
−
x


1
1
−
; t ' = 0 ⇔ x = 1.
Đặt t = 1 + x + 3 − x ⇒ t ' =
2 1+ x 2 3 − x

(

)

Dựa vào bảng biến thiên ⇒ t ∈  2; 2 2 
m ≤ max t
m ≤ t

 2;2 2 




m ≤ 2 2
4
1
⇔
1

⇔
⇔
( ) 
. Hệ ( ) có nghiệm

m ≥ min f ( t ) .
t
f ( t)
m ≥ t − = f ( t )
m ≥ min

 2;2 2 




4
 2;2 2 

3
Xét hàm số f ( t ) trên đoạn  2; 2 2  có f ' ( t ) = 1 − t < 0 ∀t ∈  2; 2 2  .

(

)

f ( t ) = f 2 2 = 2 2 − 16 .
Do đó f ( t ) nghịch biến trên  2; 2 2  ⇒ min

 2;2 2 

17


Website: tailieumontoan.com

Yêu cầu bài toán ⇔ 2 2 − 16 ≤ m ≤ 2 2 .
Vậy có 16 giá trị m thỏa mãn.
sin x + m 2
Câu 15. Cho hàm số y =
. Giá trị của m thuộc khoảng nào sau đây thì hàm số đạt giá trị lớn
sin x − 2
nhất là −1 .
A. ( −1;0 ) .
B. ( −4;3) .
C. ( 4;6 ) .
D. ( 0;1) .
Lời giải
Chọn B

Đặt t = sin x, ( t ∈ [ −1;1] ) hàm số trở thành
y=

t + m2
−2 − m 2
⇒ y'=
< 0 , ∀t ∈ [ −1;1]
2
t−2
( t − 2)

−1 + m 2
Kho đó do hàm số lng nghịch biến nên giá trị lớn nhất là y ( −1) =
.
−3
−1 + m 2
Theo giả thuyết
= −1 ⇔ m = ± 2 .
−3
2x
x
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = e − 4e + m trên đoạn

[ 0;ln 4]

bằng 6 ?

A. 3 .

B. 4 .

C. 1.
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
x
2
Xét x ∈ [ 0;ln 4] . Đặt t = e ⇒ t ∈ [ 1; 4] . Đặt g ( t ) = t − 4t + m với t ∈ [ 1; 4] .
Do đó: g ′ ( t ) = 2t − 4 . Xét g ′ ( t ) = 0 ⇔ 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2 (nhận).

Ta có: g ( 1) = m − 3 ; g ( 2 ) = m − 4 ; g ( 4 ) = m .
2x
x
Suy ra giá trị nhỏ nhất của f ( x ) = e − 4e + m trên [ 0;ln 4] sẽ thuộc A = { m − 3 ; m − 4 ; m }

.
 m = 10 ⇒ A = { 7;6;10}
 Xét m − 4 = 6 ⇔ 
.
 m = −2 ⇒ A = { 5;6; 2}
f ( x) = 6 .
Ta thấy m = 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán là [min
0;ln 4]
 m = 9 ⇒ A = { 5;6;9}
 Xét m − 3 = 6 ⇔ 
.
 m = −3 ⇒ A = { 7;6;3}
 m = 6 ⇒ A = { 2;3;6}
 Xét m = 6 ⇔ 
.
 m = −6 ⇒ A = { 10;9;6}
f ( x) = 6 .
Ta thấy m = −6 thỏa mãn yêu cầu bài tốn là [min
0;ln 4]
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
Câu 17. Cho m = log a 3 ab với a > 1 , b > 1 và P = log a b + 16 log b a . Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá
trị m thuộc khoảng

1 

A.  ;1÷ .
2 

B. ( −1;3) .

C. ( 1;3) .
18

D. ( 3;8 ) .


Website: tailieumontoan.com

Lời giải
Chọn B
1

 m = ( 1 + log a b )
3
Với a > 1 , b > 1 , ta có: 
.
log a b > 0
16
16 2 8 8
2
8 8
= t2 +
= t + + ≥ 3. 3 t 2 . . = 12 .
Đặt t = log a b ( t > 0 ) ⇒ P = log a b +
log a b

t
t t
t t
8
⇔ t3 = 8 ⇔ t = 2 .
t

2
Dấu bằng xảy ra khi t =

Vậy GTNN của biểu thức P = 12 khi log a b = 2 . Suy ra m =

1
( 1 + 2) = 1 .
3

4
2
Câu 18. Cho hàm số f ( x) = 8cos x + a cos x + b , trong đó a , b là các tham số thực. Gọi M là giá trị

lớn nhất của hàm số. Tính tổng a + b khi M nhận giá trị nhỏ nhất.
A. a + b = −7 .
B. a + b = −9 .
C. a + b = 0 .
Lời giải
Chọn A

D. a + b = −8 .

4

2
Xét f ( x) = 8cos x + a cos x + b .

Đặt t = cos 2 x ⇒ t ∈ [ 0;1] ⇒ f (t ) = 8t 2 + at + b và M = max f (t ) .
Khi đó:

M ≥ f ( 0) = b
M ≥ b


 M ≥ f ( 1) = 8 + a + b ⇒  M ≥ 8 + a + b


2M ≥ 4 + a + 2b
 M ≥ f  1 ÷ = 2 + a + b
2
2

⇒ 4M ≥ b + 8 + a + b + 4 + a + 2b ≥ 4

⇒ M ≥1.
Dấu bằng xảy ra
⇔ b = 8+ a +b =

4 + a + 2b
= 1 và các số b ; 8 + a + b ; −4 − a − 2b cùng dấu.
2

 a = −8
⇔

.
b = 1
Vậy P = a + b = −7 .
Câu 19. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x ) = 4 ( sin x + cosx ) +
4

sau đây?
 3
A.  1; ÷.
 2

2
trên đoạn
sin x.cos 2 x
2

3 
B.  ;2 ÷ .
2 

M
π π 
12 ; 4  . Khi đó tỉ số m thuộc khoảng nào
 5
C.  2; ÷.
 2

Lời giải
Chọn B

Ta có f ( x ) = 4 ( sin x + cosx ) +
4

2
8
2
= 4 ( 1 + sin 2 x ) + 2 .
2
sin x.cos x
sin 2 x
2

19

5 
D.  ;3 ÷.
2 


Website: tailieumontoan.com

1
π π 
π π 
Đặt t = sin 2 x , x ∈  ;  ⇒ 2 x ∈  ;  ⇒ ≤ t ≤ 1 .
2
12 4 
6 2
8
1

2
Khi đó hàm số đã cho có dạng g ( t ) = 4 ( 1 + t ) + 2 với ≤ t ≤ 1 .
t
2
16 8
3
2
Ta có g ′ ( t ) = 8 ( 1 + t ) − 3 = 3 ( t − 1) ( t + 2t + 2t + 2 ) .
t
t
1 
Suy ra g ′ ( t ) ≤ 0, ∀t ∈  ;1 .
2 
Ta có bảng biến thiên

min g ( t ) = g ( 1) = 24 = m

Từ bảng biến thiên, ta có
Khi đó tỉ số

1 
 2 ;1
 

1
g ( t ) = g  ÷ = 41 = M
và max
1 
2
 2 ;1





M 41  3 
=
∈  ;2 ÷
m 24  2  .

Câu 20. Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số y =

1 4 19 2
x − x + 30 x + m có giá trị lớn
4
2

nhất trên đoạn [ 0; 2] không vượt quá 20 . Số phần tử của tập hợp S bằng?
A. 12.

B. 13.

C. 14.
Lời giải

D. 15.

Chọn D
1 4 19 2
x − x + 30 x + m
4

2
1 4 19 2
Xét g ( x ) = x − x + 30 x + m trên đoạn [ 0; 2] . Ta có g '( x) = x 3 − 19 x + 30
4
2
Đặt f ( x ) = y =

 x = −5 ∉ [ 0; 2]

g ' ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 19 x + 30 = 0 ⇔  x = 3 ∉ [ 0; 2]

 x = 2 ∈ [ 0; 2]

g ( x ) = max { g ( 0 ) , g ( 2 ) } = max { m , m + 26} = m + 26
Khi đó max
[ 0;2]
 m ≤ m + 26 ≤ 20
 −13 ≤ m ≤ −6
y = max f ( x ) = max { m , m + 26 } ≤ 20 ⇔ 
⇔
Do đó max
[ 0;2]
[ 0;2]
 −20 ≤ m ≤ −13
 m + 26 ≤ m ≤ 20
⇔ −20 ≤ m ≤ −6
Suy ra S = { m ∈ ¢ | −20 ≤ m ≤ −6} . Khi đó số phần tử của tập hợp S bằng 15 phần tử.

2
Câu 21. Cho hàm số f ( x ) = x - 2 x . Có bao nhiêu giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số

f ( 1 + sin x) + m bằng 5.
A. 0.

B. 2.

C. 4.
Lời giải
20

D. 5.


Website: tailieumontoan.com

Chọn B
Đặt t = 1 + sin x . Suy ra t Ỵ [ 0; 2] . Ta có:

f ( 1 + sin x ) + m = f ( t ) + m = t 2 - 2t + m .
2
Đặt u = t 2 - 2t . Với t Ỵ [ 0; 2] thì u Ỵ [- 1;0] . Khi đó t - 2t + m = u + m .
2
u +m
f ( 1 + sin x ) + m = max f ( t ) + m = max t - 2t + m = max
Suy ra, max
[- 1;0]
0;2
0;2
[ ]
[ ]

¡

= max { - 1 + m ; m } .
[- 1;0]

ém = 6
ê
é- 1 + m = 5 êm =- 4
f ( 1 + sin x) + m = 5 Û ê
Û ê
Vậy max
êm = 5
¡
êm = 5 .
ê
ê
ë
êm =- 5
ë
Thử lại ta thấy với m =- 4 hoặc m = 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
2
Câu 22. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x + 3 x − 72 x + 90 + m trên đoạn [ −5;5] là 2018 . Trong

các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
A. 1600 < m < 1700 .
B. m = 400 .
C. m < 1618 .
Lời giải
Chọn A

3
2
Xét hàm số g ( x ) = x + 3 x − 72 x + 90 trên đoạn [ −5;5] .

D. 1500 < m < 1600 .

'
2
Ta có: g ( x ) = 3 x + 6 x − 72 .

 x = 4 ∈ [ −5;5]
g' ( x) = 0 ⇔ 
.
 x = −6 ∉ [ −5;5]
g ( −5 ) = 400, g ( 5 ) = −70, g ( 4 ) = −86 .
g ( x ) = g ( −5 ) = 400.
Suy ra: xmax
∈[ −5,5]
f ( x ) = 400 + m ⇔ 2018 = 400 + m ⇔ m = 1618 .
Do đó: xmax
∈[ −5,5]
Vậy chọn

A.

2
Câu 23. Xét hàm số f ( x ) = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

trên [ −1;3] . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b .
A. 3 .

B. 4 .

C. −4 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C
 max { A , B } ≥ A
⇒ 2 max { A , B } ≥ A + B ≥ A + B .
Ta có 
 max { A , B } ≥ B
A+ B
Hay max { A , B } ≥
( 1) . Dấu “ = ” xảy ra khi A = B .
2
 max { A , B } ≥ A
⇒ 2 max { A , B } ≥ A + B = A + − B ≥ A + ( − B ) .
Tương tự 
max
A
,
B
≥
B
{
}

A− B

Suy ra max { A , B } ≥
( 2 ) . Dấu “ = ” xảy ra khi A = − B .
2
21


Website: tailieumontoan.com
2
Xét hàm số g ( x ) = x + ax + b , có g ′ ( x ) = 0 ⇔ x =

−a
.
2

−a
∉ [ −1;3] ⇔ a ∉ [ −6; 2] . Khi đó M = max { 1 − a + b , 9 + 3a + b } .
2
Áp dụng bất đẳng thức ( 1) ta có M ≥ 4 + a + b > 2 .
Trường hợp 1:

Trường hợp 2:


a 2 
−a
∈ [ −1;3] ⇔ a ∈ [ −6; 2] . Khi đó M = max  1 − a + b , 9 + 3a + b , b −  .
4 
2


Áp dụng bất đẳng thức ( 1) và ( 2 ) ta có


a2
M ≥ max  5 + a + b , b −
4

Suy ra M ≥ 2 .


1
1
2
2
 ⇔ M ≥ 20 + 4a + a ⇔ M ≥ 16 + ( a + 2 ) .
8
8


a = −2

 a = −2
a2

Vậy M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M = 2 khi 5 + a + b = − b ⇔ 
.
4
b = −1



1 − a + b = 9 + 3a + b
Do đó a + 2b = −4 .
x − y −1
x + y +1
= 4x +
Câu 24. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 và 2
. Tìm giá trị nhỏ
2y

x2 − y + m ( 2x − y )
nhất của giá trị lớn nhất của biểu thức P =
khi m thay đổi?
x +1
A. 2 − 3 .

B.

3 −1.

C. 2 − 1 .
Lời giải

D. 1 + 2 .

Chọn A
x − y −1
⇔ 2 x + 2 y +1 + x + 2 y + 1 = 22 x + y + 2 x + y ( *)
y
2
t

t
Xét hàm g ( t ) = 2 + t , ta có: g ′ ( t ) = 2 .ln 2 + 1 > 0 ∀ t ∈ ¡ ⇒ g ( t ) đồng biến trên ¡
x + y +1
= 4x +
Ta có: 2

Khi đó phương trình ( *) ⇔ 2 x + y = x + 2 y + 1 ⇔ y = x − 1 .
x 2 − x + 1 + m ( x + 1)
x2 − x + 1
=
+ m . Giả sử max P = M
Thay vào ta được: P =
x +1
x +1
x2 − x + 1
∀ x ∈ [ 0; 2] , ta có bảng biến thiên như sau:
Xét hàm f ( x ) =
x +1

{

f ( x ) = 1 , min f ( x ) = 2 3 − 3 khi đó: M = max m + 1 ; m + 2 3 − 3
Ta tìm được: max
[ 0;2]
[ 0;2]
Như vậy: M ≥ m + 1 ; M ≥ 3 − 2 3 − m ⇒ 2 M ≥ m + 1 + 3 − 2 3 − m ≥ 4 − 2 3 .
22

}

Website: tailieumontoan.com

Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 1 − 3 ⇒ M min = 2 − 3 .
2

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x) = e x + 3 x 4 − 1 . Xét các mệnh đề:
(I): Hàm số có tập xác định là D = [−1;1] .
(II): Hàm số có tập xác định là D = ¡ .
(III): Hàm số khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
(IV): Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.
Số mệnh đề đúng là:
A. 1.
B. 4.
C. 3.
Lời giải
Chọn D
TXĐ: D = ¡ .

D. 2.

 2 2
4
x3
x2
2
x2
= 2x  ex +
Ta có y = f ( x) = e x + 3 x 4 − 1 ⇒ y ' = 2 x.e + .


3 3 ( x 4 − 1) 2
3 3 ( x 4 − 1) 2



÷
÷


Cho y ′ = 0 ⇔ x = 0
2
x2
x2
e
+
.
> 0, ∀x ∈ ¡ \ { −1;1} ).
( Vì
3 3 ( x 4 − 1) 2
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.
Các mệnh đề đúng là (II), (IV).
Câu 26. Cho hàm số y = f (x ) = −x 4 + 24x 2 − 140 và hàm số g (x ) = f ( x 2 + 4x + 16) − x 2 − 4x + 3 .
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g ( x ) trên [ −4;0] là:
A. 2.

B. 8.

C. 14.

Lời giải

Chọn A
x = 0
y ′ = −4 x 3 + 48 x; y ′ = 0 ⇔ 
 x = ±2 3
Bảng biến thiên

23

D. 18.


Website: tailieumontoan.com

Ta có g ′( x) =

x+2
x + 4 x + 16
2

[f ′( x 2 + 4 x + 16) − 2]

x 2 + 4 x + 16 ≥ 2 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có f ′( x 2 + 4x + 16) < 0

Do

Ta có f ′( x 2 + 4x + 16) − 2 < 0 với mọi x ∈ ¡ nên g ′(x ) = 0 ⇔ x = −2
Ta có bảng biến thiên

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g ( x ) trên [ −4;0] bằng 2.
Câu 27. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + sin x + 1 + cos x là.
A. ymin = 4 + 2 .

B. ymin = 4 − 2 .

C. ymin = 2 .
Lời giải

Chọn D
Tập xác định D = ¡ .
Nhận xét: 1 + sin x ≥ 0,1 + cos x ≥ 0, y > 0 .
Do đó y 2 = sin x + cos x + 2 + 2 sin x + cos x + sin x.cos x + 1 .

π

Đặt t = sin x + cos x = 2 sin  x + ÷, − 2 ≤ t ≤ 2 .
4

t 2 −1
.
2
Khi đó bài tốn quy vê tìm GTNN ymin của hàm số:
⇒ sin x cos x =

f ( t ) = y2 = t + 2 + 2

(
(

)
)

1 2
( t + 2t + 1) = t + 2 + 2 t + 1
2

 1 − 2 t + 2 − 2, khi − 2 ≤ t ≤ −1

=
.
 1 + 2 t + 2 + 2, khi − 1 ≤ t ≤ 2


(
(

)
)

 1 − 2 < 0, khi − 2 < t < −1

f '( t ) = 
.
 1 + 2 > 0, khi − 1 < t < 2

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.
24

D. ymin = 1 .


Website: tailieumontoan.com

Câu 28. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4 ( km ) . Trên bờ biển có một
cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC = 7 ( km ) . Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ
vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6 ( km / h ) rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc
10 ( km / h ) (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là
nhanh nhất.

.
A. 9km .

B. 6km .

C. 3km .
Lời giải

D. 4km .

Chọn D
Đặt MC = x .
Quãng đường AM = AB 2 + BM 2 = 16 + ( 7 − x ) 2 ⇒ thời gian đi quãng đường AM là
16 + ( 7 − x )
6

2

(giờ). Quãng đường MC = x ⇒ thời gian đi quãng đường MC là

Tổng thời gian đi từ A đến C là y =
1
Đạo hàm y ′ = 6 .

x−7
16 + ( 7 − x )

2

+

x
(giờ).
10

1
1
2
16 + ( 7 − x ) + x (với 0 ≤ x ≤ 7 ).
6
10

1
2
10 ; y ′ = 0 ⇔ 6 16 + ( 7 − x ) = 10 ( 7 − x ) ⇔ x = 4 .

1
41

37
65 , y ( 7 ) =
, y ( 4) =
.
6
30
30
37
Vậy GTNN là y ( 4 ) =
, tức là khoảng cách x = 4 (km).
30
Giá trị y ( 0 ) =

Câu 29. Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép
dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy
·
xác định vị trí đó. ( BOC
gọi là góc nhìn).
A. 2,1 m.
C. 2, 4 m.

B. 2, 2 m.
D. 2,6 m.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Bình; Fb: Nguyễn Văn Bình
Chọn C

25