Chuyên đề GTLN - GTNN

¤n
Thi TNPT 2009
Vấn đềâ 3 : Gía trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
D
o o
D
o o
ĐN : Cho hàm số y = f(x) liên tục có TXĐ là D. Kí hiệu:
f(x) M, x D
GTLN là M = max f(x)
x D : f(x ) M
f(x) m, x D
GTNN là m = min f(x)
x D : f(x ) m
Do đó : m f(x) M, x D

≤ ∀ ∈
⇔

∃ ∈ =


≥ ∀ ∈
⇔

∃ ∈ =

≤ ≤ ∀ ∈
g
g

g
g
g
g
i
i
i
ª Cách 1 : f liên tục trên [a;b]
1. TXĐ
2. ĐH : Tìm y tính f(a),f(b),f(x )
y = 0 x ? là các nghiệm của đạo hàm trên [a;b]
3. KLuận : M = max{f(a),f(b),f(x
′
→
′
⇔ =
i
)}
m = min{f(a),f(b),f(x )}
ª Cách 2 : D [a;b] hoặc f không liên tục trên [a;b]
1. TXĐ
2. ĐH : Tìm y BBT
3. KLuận
≠
′
→
2
Chú ý :
1. f có thể không có GTLN,GTNN
2. y không co ù GTLN

3. y không co ù GTNN
4. Nếu y 0 . Đôi khi tìm GTLN,GTNN của y M,m?
→ + ∞
→ − ∞
≥ →
o
ª Cách 3 : Miền giá trò ( Dùng GTLN,GTNN để cm BĐT )
1. TXĐ
2. Xét pt ẩn x : f(x) y = 0 (*) , y là tham số
3. Pt (*) có n x D điều kiện y M, m ?
−
∈ → →
o o o
o
ª Cách 4 : Bất đẳng thức
1. Dùng BĐTđể cm : f(x) M, x D hay f(x) m, x D
2. Phải chỉ ra ít nhất một x D: f(x ) M hay f(x ) m
( Tìm một x D để dấu "=" xảy ra )
Chú ý:
≤ ∀ ∈ ≥ ∀ ∈
 
∈ = =
 
∈
sin[u(x)] 1; cos[u(x)] 1 với u(x) có nghóa
sin[u(x)] cos[u(x)] 2 với u(x) có nghóa
ª Cách 5: Lượng giác hoá, đại số hoá,đặt ẩn phụ.
Dùng PP đổi biến số để đ
≤ ≤
± ≤

g
g
ưa vế 4 cách ở trên
B. VÍ DỤ
3 2
2
1 3
3 6 3 2
: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của các hàm số liên tục trên một đo
y = x x trên đoạn [ 1; 3 ]
Giải
TXĐ : D = [ 1; 3 ]
Đạo hàm : y x x
LOẠI 1
x(x
ạn :
y

) ;
−
′ ′
= − = −
2
2
0
0 3 2 0
2
4 2 0
0 4
2 4

2 2 4 0
[ 1; 3 ]
[ 1; 3 ]
x [ 1; 3 ]
x(x )
x
Ta có : y(2) = , y(1) = , y(3) =
Vậy : M = max y y(3) = , m = min y y(2) =
y x x
Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ] . Vì x

= ∉
= ⇔ − = ⇔

=

− −
= = −
= + −
= − − ≥ 2 2x⇔ − ≤ ≤
- 1 -
¤n
Thi TNPT 2009
2
2 2
2 2
2 2
0
1 0 1 0 4 2
4

4 4
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 1
3
1
[ 1; 3 ]
[ ; ]
x
x x
y , y x x x
x x
x x
Ta có: y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( 2) =
x
y = trên [0 ; 2]
x
Hàm số xác đònh và
−

≥

′ ′
= − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ =

− =


− −

= − = − =
= = − −
−
+
2
0 2
5
0
1
1 2 1
2 1 0 1
4
2 2
2 2
1 2 2 0 1
[ 0; 2 ]
[ ; ]
liên tục trên D = [0 ; 2]
y , x [0 ; 2]
(x )
Ta có: y(0) = ,y( )
Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( ) =
y = x sin2x trên [ ; ]
TXĐ : D = [ ; ]
y cos x , y
′
= > ∀ ∈
+
− =
= = −

π π
− −
π π
−
′ ′
= − = ⇔ −
2 2
2 2
1
2 2 0 2
2 6
3 3
6 6 2 6 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4
5
3
[ ; ]
[ ; ]
cos x cos x x ( xem lại phần cực trò )
Ta có : y( ) , y( ) , y( ) , y( )
Vậy : M = max y y( ) , m = min y y( )
(TNPT - 04) y = 2sinx s
π π
π π
−
−
π
= ⇔ = ⇔ = ±
π π π π π π π π

− = − + = − − = − =
π π π π
= = = − = −
−
3
3
2 2 2
0
4
0
3
1 1
2 4 0 2 4 0
2
2
1 2 2 2
3 3
2
in x trên [0 ; ]
TXĐ : D = [ ; ]
Đặt t = sinx , x [0 ; ] nên t [ ;1] , ta được : y = 2t t = g(t)
y t , y t t t ( vì t 0)
Ta có : g( ) = , g(0) = 0 , g(1) =
Vậy : M
π
π
∈ π ∈ −
′ ′
= − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ≥
0 0 1

0 0 1
4 3 2
3 2 2
1 2 2 1 1
3 4
2 2 2
0 0 0 0 0
6 4 4 1
4 12 8 4 3
[ ; ] [ ; ]
[ ; ] [ ; ]
= max y maxg = g( ) = khi t = sin x x
m = min y min g = g( ) = khi t = sinx x x
y = x x x trên [ 1;1]
TXĐ : D = [ 1;1]
y x x x x[x x
π
π
π
= ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ = ∨ = π
− + + −
−
′
= − + = −
2
2
0
2 0 4 3 2 0 1
2 1 1

1 10
10 0 1
1
7
1
1 1
[ 1;1]
[ 1;1]
x
] , y x[x x ] x
x [ ; ]
Ta có : y(0) = 1, y(1) = 2 , y( )
Vậy : M = max y y( ) = , m = min y y( ) =
cosx
y
cos x cosx
TXĐ : D
Đặt t = cosx , t [ ; ]
−
−

=

′
+ = ⇔ − + = ⇔ =

= ∉ −


− =

= − =
+
=
+ +
=
∈ −
¡
- 2 -
¤n
Thi TNPT 2009
2
2
2 2 2
1 2
0
2 0
2 1 1
1 1
2
1 0 1
3
0 1 0 0
2
[ 1;1]
t t t
t
thì y = = g(t) , t [ 1;1] , g = ;g = 0 t t
t [ ; ]
t t (t t )
Ta có : g(0) = 1 , g( ) ,g( )

Vậy : M = max y max g = g( ) = khi t = cosx x k ,k

−
+ − −

=
′ ′
∈ − ⇔ − − = ⇔

= − ∉ −

+ + + +
− = =
π
= ⇔ = ⇔ = + π ∈
¡
¢
2 2
2
1 0 1 1 2
2
8
1 1
1 1 2 1
[ 1;1]
m = min y min g = g( ) = khi t = sin x x k ,k
y = 2cosx + cos2x
Cách 1: y = 2cosx + (2cos x ) 2cos x 2cosx
Đặt : t cos x,t [ ; ] thì y = 2t t g(t)
g = 4t + 2 ; g = 0

−
π
= − − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈
− = + −
= ∈ − + − =
′ ′
¡
¢
1
2
1 3
1 1 1 3
2 2
1 3 1 1 2
1 3 1 1
2
2 2 2 2 6
[ 1;1]
[ 1;1]
4t + 2 = 0 t =
Ta có : g( ) , g( ) ,g( )
Vậy : M = max y max g = g( ) khi t = cos x x k , k
m = min y min g = g( ) khi t = sin x x k ,k
Cá
−
−
⇔ ⇔ −
− = − − = − =
= = ⇔ = ⇔ = π ∈
π

= − = − − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈
¡
¡
¢
¢
3
2 2 2 2 2 4
2 2
3
3 2 4
2
4 0 0
2 2 3 3
0
2
ch 2 : Vì hàm số có chu kì T = 2 nên ta xét hàm số trên D = [0 ; 2 ]
x x
y = sinx sin x (sin x sin x) sin cos
x
sin = 0
x x
y = 0 sin cos x , x , x = , x = ,
x
cos
π π
′
− − = − + = −


π π

′
⇔ − = ⇔ ⇔ = = π


=


2
2 2
2 3 4 3
2 3
3 2 3 2
2 4 3
3 3 2
9 4 3 4 4
4 3 4 4 4 3 0
x = 2
Ta có : y(0) = 3 , y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy : M = max y y(0) = y(2 ) = 3
m = min y y( ) y( )
y x x trên [ ; ]
Cách 1:
Xét t x x ,x [ ; ] , t = 0 x x
π
π π
= − = − π =
= π
π π
= = = −
= − + −

= − + ∈ − ⇔ − + = ⇔
¡
¡
1 3
2 4 0 2 4 0 2
x ,x
t x , t x x
= =
′ ′
= − = ⇔ − = ⇔ =
Bảng biến thiên của t :
- 3 -
x
4−
1 2 3 4
′
y

−
−
0 + +
y
35 3
0 0

1−
¤n
Thi TNPT 2009
Suy ra bảng biến thiên của y :

4 35
1 3 0
[ 4;4]
[ 4;4]
Vậy : M = max y y( )
m = minx y y( ) y( )
−
−
= − =
= = =
2
2
1
2
2
1
2
1
2
4 3 4 1 3 4
4 3
4 3 1 3
2 4 4 1 3 4
2 4 1 3
2 4 0
2
0
2 4 0 2
y x x nếu x [ ; ] [ ; ]
Cách 2: Vì y x x =

y x x nếu x ( ; )
y x nếu x ( ; ) ( ; )
y
y x nếu x ( ; )
y x
x (loại)
y
y x x (nhận)
Ta c

= − + ∈ − ∪

= − +

= − + − ∈


′

= − ∈ − ∪
′
=

′
= − + ∈

′

= − =


=
′
= ⇔ ⇔


′
= − + = =


ó : y(2) = 1 , y( 4) = 35 , y(1) = 0 , y(3) = 0 , y(4) = 3−
4 35
1 3 0
[ 4;4]
[ 4;4]
Vậy : M = max y y( )
m = minx y y( ) y( )
−
−
= − =
= = =
2
2 3
2
1
10 1 2
1
1 2
1
1
3

2 1 0 2
5
1 2
1 0
2
[ 4;4]
[ 4;4]
x
y = trên [ ; ]
x
TXĐ : D [ ; ]
x
y , y = 0 x = 1 .
(x )
Ta có : y(1) = ,y( ) ,y( )
Vậy : M = max y y( )
m = minx y y( )
k) y sinx sin x
TXĐ : D . Đặt : t =
−
−
+
−
+
= −
−
′ ′
= ⇔
+
− = =

= =
= − =
= + −
= ¡
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
0 2 0 2
2 2
0
1
2
1 0 1 2
sinx , t [ 1;1] ta được hàm số y = t + t xác đònh và liên tục trên [ 1;1]
t t t
Lúc đó : y = 1 ;y = t t t t
t t
t
t
t t
Ta có : y( ) ,y( )
∈ − − −
− −
′ ′
− = ⇔ − − = ⇔ − =
− −


≥

⇔ ⇔ =

− =


− = =
- 4 -
x
4−
1 2 3 4
′
y

−
−
0 + +
y
35 1 3
0 0
¤n
Thi TNPT 2009
2
2 2
1 0 1 1 2
2
1 2 1 1 2
2

11
[ 4;4]
[ 4;4]
Vậy : M = max y y( ) khi t = sin x x k ,k
m = minx y y( ) khi t = sinx x k ,k
y = cos x sinx
Biến đổi : y = (1 sin x) sinx sin x sinx 1
Đặt : t = sin
−
−
π
= = ⇔ = ⇔ = + π ∈
π
= − = − ⇔ = − ⇔ = − + π ∈
+
− + = − + +
¢
¢
2
1
2 1 2 1 0
2
1 7
1 1 1 1
2 4
x , t [ 1;1] thì y = t t 1 = g(t)
g = t , g = 0 t t
Ta có: g( ) ,g( ) ,g( )
∈ − − + +
′ ′

− + ⇔ − + = ⇔ =
= − − = − =
1
1 1 1 1 2
2
[ ;1]
Vậy : M = max y max g g( ) khi t = sin x x k ,k
−
π
= = = ⇔ = ⇔ = + π ∈
¡
¢
1
1 7 1 1 5
2 2
2 4 2 2 6 6
[ ;1]
m =min y = min g g( ) khi t = sinx x k ,x k với k
−
π π
= = − ⇔ = ⇔ = + π = + π ∈
¡
¢
3
3 3 2
3 2
2 2
12 2 2
1 2 1 2 1
1 1 2 1

1
3 4 1 0 3 4 1 0 1
3
1
1 1
3
y = sin x cos x sin x
Biến đổi : y = sin x ( cos x) sinx y sin x sin x sin x
Đặt : t sin x,t [ ; ] ta được y = t t t g(t)
g t t , g t t t ,t
Ta có : g( ) , g( )
− + +
+ − + + ⇒ = + + +
= ∈ − + + + =
′ ′
= + + = ⇔ + + = ⇔ = − =
− = =
23
27
1 1 2
2
1 23
3 27
1 1 1 1
2 2
3 3 3 3
[ 1;1]
[ 4;4]
[ 1;1]
, g(1) = 5

Vậy : M = max y max g g(1) = 5 khi t = sin x x k ,k
m = minx y max g g( )
khi t = sin x x arcsin k , x arcsin k với k
−
−
−
π
= = ⇔ = ⇔ = + π ∈
= = =
⇔ = ⇔ = + π = π − + π ∈
¡
¢
¢
- 5 -
¤n
Thi TNPT 2009
13 2 6
1 1 1 1
0 2 6 4
2 2 2 6 2 2 2 6
2
2
[2;6]
y = x x
Hàm số xác đònh và liên tục trên D = [2;6]
y = , y = 0 x x x
x x x x
Ta có : y(2) = 2 , y(6) = 2 , y(4) = 2
Vậy : M =max y = y(4) = 2
m =m

− + −
′ ′
− ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
− − − −
2
2 2
2 2
2 2
1
14 1
1 1
1 2 2
1 0 1 2 0
2
1 1
2 1 2 1
1 0
2 2 2 2
2
2
[2;6]
[ ; 1]
in y = y(2) = y(6) = 2
y = x x
Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ]
x x
y x , y x x
x x
Ta có : y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy : M = max y = y( )

−
−
= −
−
′ ′
= − − = = ⇔ − = ⇔ = ±
− −
− = − = ± =
=
1
1
2
2 1
2 2
[ ; 1]
m = min y = y( )
−
− = −
2
15
2 3
2
2 4 1 1 3 1
x nếu 2 x 1
y =
x + 2 nếu 1< x 3
Hàm số xác đònh và liên tục trên D [ ; ]
x nếu 2 x 1
y , y = 0 x = 0
1 nếu 1< x 3

Ta có : y(0) = 0 , y( ) ,y( ) ,y( )
Vậy :


− ≤ ≤

− ≤


= −

− < <
′ ′
= ⇔

− <

− = = = −
2 3
2 3
2 4
1
[ ; ]
[ ; ]
M = max y = y( ) =
m = min y = y(3) =
−
−
−
−

16
0
2 2
0
2
y sin x cos x
sinx
ĐK : k x k ,k
cosx
= +
π

≥
⇔ π ≤ ≤ + π ∈

≥

¢
4
4
0
2
2
0
4
2 2 2 2
8 1
4 2
8
4

[ ; ]
Vì hàm số tuần hoàn với chu kì 2 nên ta chỉ cần xét D = [0 ; ]
sinx cosx sinx cosx
y ; y x
cosx sin x cosx sin x
Ta có : y( ) , y(0) = 1 , y( )
Vậy : M =max y = y( )

π
π
π
π
′ ′
= − + = ⇔ = ⇔ =
π π
= =
π
=
0
2
1
2
[ ; ]
m = min y = y(0) = y( )
π
π
=
- 6 -
¤n
Thi TNPT 2009

2
2
2
2
2 1
17
1
2 1
1
2 4
0
1
cos x cosx
y
cosx
t t
TXĐ : D . Đặt t = cosx , t [0;1] ta được : y = = g(t) với t [0;1]
t
t t
g = ,t [0;1] , g (t) = 0 chỉ tại t = 0 nên g(t) đồng biến trên [0;1]
(t )
Vì : g(
+ +
=
+
+ +
= ∈ ∈
+
+
′ ′

≥ ∈
+
¡
0 1
0 1
0 1 1 2
1 2 1 0
1 0 0
2
[ ; ]
[ ; ]
) ,g( )
Vậy : M =max y = max g g( ) khi t = 1 cosx sin x x k ,k
m =min y =ming y(0) = khi t = 0 cosx cosx x k ,k
= =
= = ⇔ = ⇔ = ⇔ = π ∈
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + π ∈
¡
¡
¢
¢
2
2
1 2 3
: Tìm GTNN và GTLN của các hàm số liên tục trên D [aLOẠ ;b
y x x
I
T
] :

XĐ : D
=
≠
− +
= ¡
2 2 0 2 2 0 1 y x , y x x
′ ′
= − = ⇔ − = ⇔ =
Bảng biến thiên

2
Vậy : Không có GTLN .
m =min y = y(1) =
¡
3 4
2 4 3 y x x
TXĐ : D
= −
= ¡
2 3 2 2
12 12 0 0 0 1 y x x = 12x (1 x) , y 12x (1 x) x ,x
′ ′
= − − = ⇔ − = ⇔ = =
Bảng biến thiên

1 1Vậy : M =max y = y( ) =
Không có GTNN
¡
4
3 y x với x > 0 .

x
= +
- 7 -
x
−∞
1
+∞
′
y

−
0 +
y
+∞

+∞
2
x
−∞
0 1
+∞

y
′
+ 0 + 0
−
y
1
−∞

−∞
¤n
Thi TNPT 2009
2
4
1
4 4 4
2 4 4 4 2
4
(0;+ )
Cách : Áp dụng bđt Côsi cho hai số dương x và .
x
Ta có : x + x . y , x (0;+ ) .Dấu "=" xảy ra x = x x
x x x
Vậy : M = max y
∞
≥ = ⇔ ≥ ∀ ∈ ∞ ⇔ ⇔ = ⇔ =
=
2
2 2
0
4 4
1 0 1 0 4 2
Cách 2 :
TXĐ : D ( ; )
y , y x x
x x
= +∞
′ ′
= − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

Bảng biến thiên

0
4
( ; )
Vậy : Không có GTLN
m = min y = y(2) =
+∞
4 3
3
6 3
3 0 6 3 0 2
2 3 2 3
y x x
TXĐ : D = ( ; ]
x x
y x , y x x
x x
= −
−∞
−
′ ′
= − − = = ⇔ − = ⇔ =
− −
Bảng biến thiên

2 2Vậy : M =max y = y( ) =
Không có GTNN
¡
{ }

2
2 2
2
2
1
1
1
1 2
0
0 2 0
2
1
1
x x
5 y
x
TXĐ : D = \
x x x x
x
Xét hàm số g(x) = ; g (x) = ,g x x
x
x
(x )
− +
=
−
− + −

=
′ ′

= ⇔ − = ⇔

=
−

−
¡
Bảng biến thiên g
- 8 -
x
−∞

2−
0 2
+∞
y
′
+ 0
−

−
0 +
y

+∞

+∞
4
x
−∞

2 3
+∞
y
′
+ 0
−

−

y
2
−∞

−∞