Tài liệu Chuyên đề hàm số luyện thi đại học 12 pdf

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
1



HÀM SỐ
☯
☯☯
☯1. TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản

1. ðịnh nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) xác ñịnh trên K:
+ Hàm số y = f(x) ñược gọi ñồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <

+ Hàm số y = f(x) ñược gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >

2. Qui tắc xét tính ñơn ñiệu

a. ðịnh lí

Cho hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số ñồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến

b. Qui tắc

B1: Tìm tập xác ñịnh của hàm số
B2: Tính ñạo hàm của hàm số. Tìm các ñiểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc
không xác ñịnh.
B3: Sắp xếp các ñiểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng ñồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ

Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự ñồng biến và nghịc biến của hàm số:
3 2 2
4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4
e. y = x( 3), (x > 0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x
x d
− − + + + −
− +

Ví dụ 2.

Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+

Loại 2:
Chứng minh hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác ñịnh.
Phương pháp
+ Dựa vào ñịnh lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2y x x= −
nghịch biến trên ñoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a.

Chứng minh hàm số
2

9y x= −
ñồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
b.

Hàm số
4
y x
x
= + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a.

Hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
b.

Hàm số
2
2 3
2 1

x x
y
x
+
=
+
ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
c.

Hàm số
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên R.

Dạng 2.
Tìm giá trị của tham số ñể một hàm số cho trước ñồng biến, nghịch biến trên khoảng xác ñịnh
cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính ñơn ñiêu của hàm số.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
2



+ Sử dụng ñịnh lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a ñể hàm số
3 2
1

( ) ax 4 3
3
f x x x= + + +
ñồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m ñể hàm số
2 2
5 6
( )
3
x x m
f x
x
+ + +
=
+
ñồng biến trên khoảng
(1; )+∞

Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−
ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó.
Ví dụ 9
Xác ñịnh m ñể hàm số

3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x= − + − + +
ñồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4
mx
y
x m
+
=
+

a.

Tìm m ñể hàm số tăng trên từng khoảng xác ñịnh
b.

Tìm m ñể hàm số tăng trên
(2; )+∞

c.

Tìm m ñể hàm số giảm trên
( ;1)−∞

Ví dụ 11
Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
= − + + + +
. Tìm m ñể hàm số:
a.

Liên tục trên R
b.

Tăng trên khoảng
(2; )+∞

Ví dụ 12 (ðH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)
y x a a x a a
= − − − + + − −
ñồng biến trên
[2:+ )∞

Dạng 3
. Sử dụng chiều biến thiên ñể chứng minh BðT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu ñể hàm số ñơn ñiệu trên một ñoạn.
+ f ( x) ñồng biến trên [a; b] thì

( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥
Ví dụ 1. Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x <
b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠

Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a.

Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 



 

b.

Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) t anx - x
f x
=

a.Chứng minh hàm số ñồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 


 

b. Chứng minh
3
tan , (0; )
3 2
x

x x x
π
> + ∀ ∈

Ví dụ 3
Cho hàm số
4
( ) t anx, x [0; ]
4
f x x
π
π
= − ∈
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
3



a.

Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4
π

b.

Chứng minh rằng
4

tan , [0; ]
4
x x x
π
π
≤ ∀ ∈





 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1
. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:

Dựa vào 2 qui tắc ñể tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác ñịnh.
B2: Tính f’(x). Tìm các ñiểm tại ñó f’(x) = 0 hoặc
f’(x) không xác ñịnh.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác ñịnh.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí
hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x

i
)
B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i
) < 0
thì hàm số có cực ñại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10
y x x x
= + − −
Qui tắc I.
TXð: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3

y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −


+
∞
∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3

+
∞
∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
y
y'
x

Vậy x = -3 là ñiểm cực ñại và y
cñ
=71
x= 2 là ñiểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXð: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x

x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −


y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số ñạt cực ñại tại x = -3
và
y
cñ
=71


Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x

c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)

- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
4



2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y =
f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π

∈
y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Dạng 2
. Xác lập hàm số khi biết cực trị
ðể tìm ñiều kiện sao cho hàm số y = f(x) ñạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm ñược m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn ñiều kiện ñã nêu không ( vì hàm số ñạt cực trị tại a thì
f’(a) = 0 không kể Cð hay CT)
Ví dụ 1.
Tìm m ñể hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 ñạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m
= − + −
.
Hàm số ñạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m
⇔ − + − = ⇔ =

Với m = 1 ta ñược hàm số: y = x
3
– 3x
2

+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= − ⇒ = ⇔

=

tại x = 2 hàm số ñạt giá
trị cực tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác ñịnh m ñể hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x
= + + +

Bài 2. Tìm m ñể hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè
cã C§ hay CT
3
y x mx m x
= − + − +

Bài 3. Tìm m ñể hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 4. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x
= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c
= + + + ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3
và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2

Hướng dẫn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
= − ∀ ≠
+

+ Nếu
0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã hµm sè lu«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.q
≤ ∀ ≠

+ Nếu q > 0 thì:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q
f x
x
x q

= − −
+ + −

= = ⇔

+

= − +


Lập bảng biến thiên ñể xem hàm ñạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3.
Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m ñể hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào ñó.’
Phương pháp

B1: Tìm m ñể hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:
•

Hàm số
3 2
ax ( 0)y bx cx d a
= + + + ≠
có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
5



•

Cực trị của hàm phân thức
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Giả sử x
0
là ñiểm cực trị của y, thì giá trị của y(x
0
) có thể
ñược tính bằng hai cách: hoặc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x
= =

Ví dụ . Xác ñịnh m ñể các hàm số sau có cực ñại và cực tiểu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =

3 2
mx m
a x mx m x b
x
+ − −
+ + + −
+

Hướng dẫn.
a. TXð: R

2
' 2 6y x mx m= + + +
.
ðể hàm số có cực trị thì phương trình:
2
2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m+ + + =

2
3
' 6 0
2
m
m m
m
>

∆ = − − > ⇔

< −



b. TXð:
{ }
\ 2−¡


2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
µm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai
nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
+ + − + − − + + +
= =
+ +
= ⇔ + + + =
∆ > − − >

 
⇔ ⇔ ⇔ <
 
− + + ≠ ≠
 

Bài 1. Tìm m ñể hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx= − +

Bài 2. Tìm m ñể hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2  12 13y x x= + − − . Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 4. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= − + + −
. Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.

Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m ñể hàm số có cực trị
Bài 6. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu.

Dạng 4. Tìm tham số ñể các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm ñiều kiện ñể hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet ñể thoả mãn tính chất.
Ví dụ .
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
6

Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a

x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y =
f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1

d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Bài 5. Xác ñịnh m ñể hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + +

Bài 6. Tìm m ñể hàm số
3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè
cã C§ hay CT
3
y x mx m x
= − + − +
Bài 7. Tìm m ñể hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 8. Tìm m ñể hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x
= − + −

Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c
= + + +
ñạt cực tiểu tại ñiểm x = 1, f(1) = -3
và ñồ thị cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
ñạt cực ñại tại ñiểm x = -2 và f(-2) = -2

Bài 11. Tìm m ñể hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx
= − +
Bài 12. Tìm m ñể hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m

− + + +
=
−
luôn có cực ñại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
2  12 13y x x
= + − −
. Tìm a ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực tiểu của
ñồ thị cách ñều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + − . Tìm m ñể hàm số có cực ñại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m ñể hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2
2 4

2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại và cực tiểu.






 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi đại học (Chun ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chun ðề
7



•

ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
( )

;
a b
:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên





Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
•

ðể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1:
Tìm các giá trò x
i

[ ]
;
a b
∈ (i = 1, 2, ..., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2:
Tính
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )

n
f a f x f x f x f b

B3:
GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y x
x
= + trên khoảng
(0; )
+∞

Hướng dẫn:

Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )
+∞

2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )x
= − ∉ +∞

Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x
= + + − trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn

Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2

[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈
∈
= −

= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

= −

− −
− = − = − − = = −

= −
−
=

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]
d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 +
trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a
∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
π π



TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
•

y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn:
0 0
lim ( ) , hc lim ( )
x x
f x y f x y
→+∞ →−∞
= =

GTLN
-
+
y
y'
b
x
0
a
x
GTNN
+
-
y
y'

b
x
0
a
x
+
∞
∞∞
∞
+
∞
∞∞
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
∞∞
∞
1
0
x
Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
8

•

x = x
0
là tiệm cận ñứng của (C) nếu một trong các ñiều kiện sau ñựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞

•

ðường thẳng y = ax + b (
0a ≠
) ñược gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai ñiều kiện sau thoả
mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0
x x
f x f x
→+∞ →−∞
− −

II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )

P x
y
Q x
=

Phương pháp
•

Tiệm cận ñứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác ñịnh tiệm cận ñứng.
•

Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên ñược xác ñịnh bằng
cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )x
ε
với
lim ( ) 0
x
x
ε
→∞
=
thì y = ax + b là tiệm cận
xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2

2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x
− −
− −

Hướng dẫn
a. Ta thấy
2 2
2 1 2 1
lim ; lim
2 2
x x
x x
x x
− +
→− →−
− −
= −∞ = +∞
+ +
nên ñường thẳng x= 2 là tiệm cận ñứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2

2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim
3
x
x x
x
−
→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận ñứng của ñồ thị hàm số.

+
1
2
3
y x
x
= + −
−
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
x x
x
→∞ →∞
−
=
−
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của ñồ thị hàm
số.
c. Ta thấy
2
1
2
lim .
1
x
x
x
+

→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là ñường tiệm cận ñứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận ñứng.
+
2
2
2
1 2
2
lim 0
1
1
1

x
x
x x
x
x
→+∞
+
+
= =
−
−
. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số.



Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ
2
ax ( 0)y bx c a= + + >

Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +

Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi ñó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→−∞
=
khi ñó
( )
2
b
y a x
a
= − +
có tiệm cận xiên bên tr ái

Giáo viên: Nguyễn Việt Bắc Luyện thi ñại học (Chuyên ðề Hàm Số 12)
- Thư viện ðề Thi Trắc Nghiệm, Bài Giảng, Chuyên ðề
9



VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè:
2
9 18 20y x x= − +

H−íng dÉn
2
9( 2) 6y x= − +

Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
10



Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=

lim ( )

0
f x
x x

lim ( )
0
g x
x x

Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0
f x
x x
g x


L


Tuỳ ý 0
+ +


L > 0 0
- -

- +


L < 0 0
+ -



Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y = d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1

Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3

x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x
g. y = x- 3 +
h. y =
2(x- 1) 1
x
x

+

Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1

1
.
4
x
a
x
x
c y
x
+

+
=




Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y
x m x m

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
2 2

3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+

Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
+ +
=

tạo với hai trục
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x
+ +
=

(1)
a.

Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)A
b.

Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
y x= tại hai điểm phân biệt.
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
11

4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1:
Khảo sát và vẽ hàm số
3 2
(a 0)y ax bx cx d= + + +

Phơng pháp
1.

Tìm tập xác định.
2.

Xét sự biến thiên của hàm số
a.

Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b.

Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b.

Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phơng trình:
3 2
3 1x x m + =

Hớng dẫn
a.
1. TXĐ:
D =
Ă

2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực
3 3
2 3
3 3
2 3
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x

x x
+ +

+ = + = +
+ = + =

c.

Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=

= + = + =

=


Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) và (2; + )
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y
CĐ
=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y

CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0y =
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+
'' 0 6 6 0 1y x x= + = =
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
3 2
3 1y x x= + và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Phơng trình có 1 nghiệm.

3 phơng trình có 2 nghiệm
-1< m < 3: Phơng trình có 3 nghiệm.
m = -1: Phơng trình có 2 nghiệm
m < -1: Phơng trình có 1nghiệm
m
=






Các bài toán về hàm bậc ba

Bài 1(TNTHPT 2008)

Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
3
-



+



-1
--
+
0
0
2
0
+



-

y
y'
x
2
-2
-5 5
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
12



b.

Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1x x m+ =


Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)

Cho hàm số y = x
3
- 3x
2

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đ cho.
b.

Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m =
có 3 nghiệm phân biệt.

Bi 3 (TNTHPT - 2007)

Cho hm s y=
3
3 2
x x
+
cú ủ th l (C) .
a/ Kho sỏt v v ủ th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti ủim A(2 ;4) .

Bi 4 (TNTHPT - 2006)

Cho hm s y=
3 2
3
x x
+
cú ủ th (C) .
a/ Kho sỏt v v ủ th hm s .
b/ Da vo ủ th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2

3
x x
+
-m=0 .

Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)

Cho hm s y=
3 2
6 9
x x x
+
cú ủ th l (C) .

a/ Kho sỏt v v ủ th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti ủim
có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0
.
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ủng thng y=x+m
2
-m ủi qua trung ủim ca ủon thng ni cc ủi
vo cc tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=
3 2 3
3 4
x mx m
+
.
a/ Kho sỏt v v ủ th hm s khi m=1 .

b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti ủim cú honh ủ x=1 .

Bài 7 (ĐH- A- 2002)

Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= + + +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1
b.

Tìm k để phơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k + + =
có 3 nghiệm phân biệt.
c.

Viết phơng trình đờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a.

Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007)

Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= + +
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b.

Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1
a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b.

Tìm m để nghiệm của phơng trình y= 0 thuộc đờng thẳng y = x+ 1

Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
13



Bài 3
Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + +

a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b.

Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)

Cho hàm số
3
3 2y x x= +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b.

Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đờng thẳng d cắt (C ) tại 3
điểm phần biệt. (Gợi ý đờng thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b.

Tìm m để hàm số đ cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 8

Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
2 2x mx m x +

a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b.

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
14




Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng

Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho 0a


Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu
2
' 0 2 (2 ) 0y x ax b = + = có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
<



Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.


Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)
Cho hàm số
4 2
2y x x=

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b.

Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b.

Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị
Giỏo viờn: Nguyn Vit Bc Luyn thi ủi hc (Chuyờn Hm S 12)
- Th vin Thi Trc Nghim, Bi Ging, Chuyờn
15



Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +
2 2
a x x x
d x x
+ + +
= 1

Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= +
a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b.

Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a.

Giải phơng trình
4 2
2 1 0x x + =
b.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1x x +
c.

Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
4 2
2 1 0x x m + =
Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số
4 2
m

2 (C )y x mx= +
a.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b.

Hy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
5 4y x x= +
2.

Xác định m để phơng trình
4 2 2
5 3 0x x m + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x
=

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b.

Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2y k x=

Bài 7
Cho hàm số
4 2 3 2
2y x mx m m= +
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b.

Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đ cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)
Cho hàm số
4 2
2 2y x x m= +
(C
m
)

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b.

Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c.

Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.