Handbook special functions
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H A N D B O O K
O F
Special Functions
Derivatives, Integrals, Series
and Other Formulas
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H A N D B O O K
O F
Special Functions
Derivatives, Integrals, Series
and Other Formulas
Yury A. Brychkov
Computing Center of the Russian
Academy of Sciences
Moscow, Russia
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Chapman & Hall/CRC
Taylor & Francis Group
6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300
Boca Raton, FL 33487-2742
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10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
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Contents
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1.1.
Elementary Functions
1.2.
The Hurwitz Zeta Function ζ (ν, z )
1.3.
The Exponential Integral Ei (z )
1.4.
The Sine si (z ) and Cosine ci (z ) Integrals
1.5.
The Error Functions erf (z ) and erfc (z )
1.6.
The Fresnel Integrals S (z ) and C (z )
1.7.
The Generalized Fresnel Integrals S (z, ν ) and C (z, ν )
1.8.
The Incomplete Gamma Functions γ (ν, z ) and Γ(ν, z )
1.9.
The Parabolic Cylinder Function Dν (z )
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1.10.
The Bessel Function Jν (z )
1.11.
The Bessel Function Yν (z )
1.12.
The Hankel Functions Hν(1) (z ) and Hν(2) (z )
1.13.
The Modified Bessel Function Iν (z )
1.14.
The Macdonald Function Kν (z )
1.15.
The Struve Functions Hν (z ) and Lν (z )
1.16.
The Anger Jν (z ) and Weber Eν (z ) Functions
1.17.
The Kelvin Functions berν (z ), beiν (z ), kerν (z ) and keiν (z )
1.18.
The Legendre Polynomials Pn (z )
1.19.
The Chebyshev Polynomials Tn (z ) and Un (z )
1.20.
The Hermite Polynomials Hn (z )
1.21.
The Laguerre Polynomials Lλn (z )
1.22.
The Gegenbauer Polynomials Cnλ (z )
1.23.
The Jacobi Polynomials Pn(ρ,σ ) (z )
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1.24.
The Complete Elliptic Integrals K (z ), E (z ) and D (z )
1.25.
The Legendre Function Pνµ (z )
1.26.
The Kummer Confluent Hypergeometric Function
1 F 1 (a ; b ; z )
1.27.
The Tricomi Confluent Hypergeometric Function Ψ(a; b; z )
1.28.
The Whittaker Functions Mµ,ν (z ) and W µ,ν (z )
1.29.
The Gauss Hypergeometric Function 2 F1 (a, b; c; z )
1.30.
The Generalized Hypergeometric Function p Fq ((ap ); (bq ); z )
Limits
2.1.
Special Functions
H
L
Indefinite Integrals
3.1.
Elementary Functions
3.2.
Special Functions
www.pdfgrip.com
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Definite Integrals
4.1.
Elementary Functions
4.2.
The Dilogarithm Li2 (z )
4.3.
The Sine Si (z ) and Cosine ci (z ) Integrals
4.4.
The Error Functions erf (z ), erfi (z ) and erfc (z )
4.5.
The Fresnel Integrals S (z ) and C (z )
4.6.
The Incomplete Gamma Function γ (ν, z )
www.pdfgrip.com
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4.7.
The Bessel Function Jν (z )
4.8.
The Bessel Function Yν (z )
4.9.
The Modified Bessel Function Iν (z )
4.10.
The Macdonald Function Kν (z )
4.11.
The Struve Functions Hν (z ) and Lν (z )
H
L
H
H
L
H
L
H
L
4.12.
The Kelvin Functions berν (z ), beiν (z ), kerν (z ) and keiν (z )
4.13.
The Airy Functions Ai (z ) and Bi (z )
4.14.
The Legendre Polynomials Pn (z )
www.pdfgrip.com
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4.15.
The Chebyshev Polynomials Tn (z )
4.16.
The Chebyshev Polynomials Un (z )
4.17.
The Hermite Polynomials Hn (z )
4.18.
The Laguerre Polynomials Lλn (z )
4.19.
The Gegenbauer Polynomials Cnλ (z )
4.20.
The Jacobi Polynomials Pn(ρ,σ ) (z )
4.21.
The Complete Elliptic Integral K (z )
K
K
K
K
K
www.pdfgrip.com
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K
K
K
K
K
K
H
L
K
K
4.22.
The Complete Elliptic Integral E (z )
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
H
L
E
E
E
4.23.
4.24.
K
The Complete Elliptic Integral D (z )
D
D
K
The Generalized Hypergeometric Function p Fq ((ap ); (bq ); z )
K
Finite Sums
5.1.
E
The Psi Function ψ (z )
www.pdfgrip.com
E
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5.2.
The Incomplete Gamma Functions γ (ν, z ) and Γ(ν, z )
5.3.
The Bessel Function Jν (z )
5.4.
The Modified Bessel Function Iν (z )
5.5.
The Macdonald Function Kν (z )
5.6.
The Struve Functions Hν (z ) and Lν (z )
H
L
5.7.
The Legendre Polynomials Pn (z )
5.8.
The Chebyshev Polynomials Tn (z ) and Un (z )
5.9.
The Hermite Polynomials Hn (z )
5.10.
The Laguerre Polynomials Lλn (z )
www.pdfgrip.com
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✝✝
5.11.
The Gegenbauer Polynomials Cnλ (z )
5.12.
The Jacobi Polynomials Pn(ρ,σ ) (z )
5.13.
The Legendre Function Pνµ (z )
5.14.
The Kummer Confluent Hypergeometric Function
1 F 1 (a ; b ; z )
5.15.
The Tricomi Confluent Hypergeometric Function Ψ(a; b; z )
5.16.
The Gauss Hypergeometric Function 2 F1 (a, b; c; z )
www.pdfgrip.com
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5.17.
The Generalized Hypergeometric Function p Fq ((ap ); (bq ); z )
5.18.
Multiple Sums
Infinite Series
6.1.
Elementary Functions
6.2.
The Psi Function ψ (z )
6.3.
The Hurwitz Zeta Function ζ (s, z )
6.4.
The Sine Si (z ) and Cosine ci (z ) Integrals
6.5.
The Fresnel Integrals S (x) and C (x)
6.6.
The Incomplete Gamma Function γ (ν, z )
www.pdfgrip.com
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6.7.
The Parabolic Cylinder Function Dν (z )
6.8.
The Bessel Functions Jν (z ) and Yν (z )
6.9.
The Modified Bessel Function Iν (z )
6.10.
The Struve Functions Hν (z ) and Lν (z )
H
L
H
H
H
H
H
H
6.11.
The Legendre Polynomials Pn (z )
6.12.
The Chebyshev Polynomials Tk (z ) and Uk (z )
www.pdfgrip.com
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6.13.
Hermite Polynomials Hn (z )
6.14.
The Laguerre Polynomials Lλn (z )
6.15.
The Gegenbauer Polynomials Cnλ (z )
6.16.
The Jacobi Polynomials Pn(ρ,σ ) (z )
6.17.
The Generalized Hypergeometric Function p Fq ((ap ); (bq ); z )
www.pdfgrip.com
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The Connection Formulas
7.1.
Elementary Functions
7.2.
Special Functions
H
J
L
E
K
E
Representations of Hypergeometric Functions
and of the Meijer G Function
8.1.
The Hypergeometric Functions
www.pdfgrip.com
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(a p )
(b q )
8.2.
The Meijer Function Gm,n
z
p,q
8.3.
Representation in Terms of Hypergeometric Functions
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Preface
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Chapter 1
The Derivatives
1.1. Elementary Functions
1.1.1. General formulas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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1.1.2. Algebraic functions
1.
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1.1.3. The exponential function
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