SKKN giải pháp giúp học sinh trung bình, yếu kém giải nhanh các bài toán hoán vị chỉnh hợp tổ hợp và một số bài toán thực tế của hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

MỤC LỤC
Trang
1.MỞ ĐẦU................................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.................................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu..........................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.........................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................2
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ...............................................2
2.1.
Cở
sở
luận........................................................................................................2

lí

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng biện pháp.................................................3
2.3. Biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề........................................................3
2.3.1. Nêu định nghĩa, phân tích định nghĩa và các ví dụ để học sinh nhận biết
được Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp…………………………………………… .. 4-11
2.3.2. Bài tập trắc nghiệm…………………………………………………… 11-13
2.3.3. Bài tập vận dụng……………………………………………………… 13-14
2.4. Hiệu quả mà biện pháp đã đạt được………………………………………… 14
2.5. Kết quả, minh chứng về sự tiến bộ của học sinh sau khi áp dụng biện pháp…
14
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.............................................................................15
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................17
DANH MỤC SKKN ĐẠT GIẢI ............................................................................18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong kì thi THPT quốc gia, mơn Tốn là mơn thi bắt buộc đối với tất cả các
đối tượng học sinh bằng hình thức trắc nghiệm khách quan. Tuy nhiên đối với

những giáo viên dạy bộ mơn Tốn như tơi, đang cơng tác tại Trung tâm GDNNGDTX Ngọc lặc là một bài tốn khó. Bởi đối tượng học sinh, các em bị hổng kiến
thức từ các lớp dưới. Học sinh vào học tại Trung tâm là các đối tượng học sinh thi
không đậu vào các trường THPT và những học sinh nhận thấy mình khơng đủ khả
năng thi vào các trường phổ thơng. Bên cạnh đó, học sinh đều có hồn cảnh khó


khăn, phụ huynh không quan tâm đến việc học tập của con cái. Vì vậy gánh nặng
dồn hết lên vai của những người giáo viên như tôi.
Nắm bắt được đối tượng học sinh và nhiệm vụ phải làm để đưa học sinh đến
với kì thi tốt nghiệp THPT, với đối tượng học sinh ở mức trung bình và yếu kém.
Những học sinh trung bình và yếu kém đa phần kiến thức ở các lớp dưới bị hổng,
kỹ năng tính tốn yếu, chưa nắm được phương pháp học mơn tốn, năng lực tư duy
bị hạn chế, tự ti, rụt rè, thiếu hào hứng trong học tập dẫn đến giải bài tập trắc
nghiệm các em sẽ lúng túng không nhận biết và chưa phân biệt được các dạng bài
tập, tốn rất nhiều thời gian khi làm một bài thi trắc nghiệm.
Đa số gia đình các em có hồn cảnh khó khăn, phụ huynh không quan tâm
đến việc học của con cái, các em khơng có ý thức học tập cao nên đa phần các em
khơng có máy tính cầm tay để sử dụng. Vì vậy tơi chú trọng đến các bài tập nhận
biết và thơng hiểu.
Chương trình mơn tốn lớp 11 có rất nhiều nội dung, trong đó phần Hốn vịChỉnh hợp-Tổ hợp nằm trong chương II: Tổ hợp - Xác suất – Đại số và Giải tích
11 là phần nội dung kiến thức mà cấu trúc đề thi của Bộ giáo dục và đào tạo năm
nào cũng có, tuy số lượng bài ít nhưng chủ yếu là bài tập ở mức độ nhận biết. Khi
dạy tại Trung Tâm GDNN-GDTX Ngọc lặc tôi cũng đã và đang áp dụng một số
phương pháp như.
- Khi dạy học theo từng bài thì giáo viên hướng dẫn các em tiếp thu kiến
thức mới và vận dụng vào giải những bài tập trong sách giáo khoa.
- Giáo viên cũng đưa ra hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh làm.
- Hệ thống các dạng toán và phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng đối
tượng học sinh.
- Giáo viên cũng định hướng, hướng dẫn các em sử dụng máy tính để làm

bài trắc nghiệm ( phần ít học sinh có máy tính để sử dụng).
Ngồi ra, phần này tơi nhận thấy kiến thức được liên hệ, vận dụng vào thực
tế rất nhiều. Đa phần các bài toán đều liên quan đến kiến thức thực tế


3

Phần này tôi chỉ chú trọng đến các dạng bài tập nhận biết và thông hiểu cho
học sinh. Tôi mạnh dạn đưa ra “Giải pháp giúp học sinh trung bình, yếu kém
giải nhanh các bài toán Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp và một số bài toán thực
tế của Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Khi lựa chọn đề tài này, mục đích của tôi là giúp các em học sinh của Trung
tâm GDNN-GDTX Ngọc lặc có học lực trung bình và yếu kém biết phân biệt
được hoán vị, chỉnh hợp, tố hợp. Các em biết áp dụng kiến thức để làm các bài
tốn có liên quan, ở mức độ nhận biết và thơng hiểu. Ngồi ra, các em cịn biết vận
dụng kiến thức, các phép tốn vào thực tế. Để từ đó giúp các em u thích học mơn
tốn hơn và biết được vai trị của mơn Tốn trong đời sống hàng ngày.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu các dạng toán về Hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp và các bài toán thực tế của Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp
- Đề tài này tơi thực hiện ở hai lớp 11a1 và 11a2 của Trung tâm GDNNGDTX Ngọc lặc, các em là những học sinh chủ yếu có học lực trung bình và yếu
kém
Vì vậy tơi đưa ra những bài tốn thực tế, đơn giản, dễ hiểu và đã đạt được
kết quả như mong đợi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Khi thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng phương pháp
- Nhận biết định nghĩa về Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Phân tích định nghĩa giúp học sinh khắc sâu định nghĩa về hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp.

- Làm các bài tập có liên quan và các bài tập ứng dụng thực tế về hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
Hốn vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp là những kiến thức được áp dụng rất nhiều
vào thực tế. Tuy nhiên, trong phần này học sinh rất dễ bị nhầm lẫn giữa các khái
niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, đặc biệt là học sinh trung bình và yếu kém. Do
các em khơng dành nhiều thời gian học bài, tư duy kém, các em hổng kiến thức. Vì
vậy việc khắc sâu kiến thức từng phần cho học sinh là rất cần thiết. Để làm được
điều này trước tiên ta phải nêu định nghĩa của Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp. Sau đó
ta phân tích định nghĩa và đưa ra các ví dụ cho học sinh làm. Vì đối tượng là học


4

sinh trung bình và yếu kém, nên các ví dụ đưa ra đơn giản, thực tế để học sinh có
thể dễ hình dung ra cách làm, hiểu được bản chất của Hốn vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp.
Từ đó, các em nắm vững hơn kiến thức và áp dụng làm được các bài tập có liên
quan. Chúng ta đưa ra các bài toán trắc nghiệm để học sinh làm quen với đề thi tốt
nghiệp THPT. Ngồi ra, giáo viên cịn đưa thêm nhiều ví dụ thực tế để học sinh
làm, cho các em tự tính tốn và tự sắp xếp cơng việc hợp lí như tổ chức giải bóng
chuyền cho các chi đoàn trong Trung Tâm vào dịp 26/3; tổ chức văn nghệ vào
20/11;…Để từ đó các có hứng thú hơn trong học tập và thấy được vai trị của mơn
tốn trong đời sống hàng ngày nói chung và kiến thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
được áp dụng trong đời sống hàng ngày nói riêng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng biện pháp
Trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh, tôi nhận thấy học sinh
nắm kiến thức không vững do các em bị hổng kiến thức ở lớp dưới, học sinh không
dành nhiều thời gian học tập, khơng tập trung học trên lớp. Vì vậy việc làm nhanh
các bài tập trắc nghiệm rất khó khi các em vận dụng các kiến thức đã học. Thực

trạng của các tiết học mơn tốn như sau:
- Học sinh khơng học bài cũ, khơng nắm vững lí thuyết đã học nên không áp
dụng làm được các bài tập trắc nghiệm.
- Học sinh tư duy kém dẫn đến việc khơng hình dung ra các dạng bài tập
phải giải quyết thế nào, làm như thế nào, làm những gì.
- Giờ tốn khơng sôi nổi học bài, do các em tự ti, không mạnh dạn phát biểu
bài. Làm cho tiết học nhàm chán, không tạo sự hứng thú trong giờ học. Một số em
sợ học mơn tốn.
- Nhiều thuật tốn khó hiểu, khơng thực tế nên học sinh khơng hình dung ra
cách làm.
- Chưa biết vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế
Trước khi áp dụng các biện pháp tơi có làm khảo sát tại lớp 11a1, 11a2
Trung tâm GDNN-GDTX Ngọc lặc. Kết quả thu được như sau.
LỚP

11a1
11a2

TỔNG
SỐ
34
31

Biết giải các bài toán về
Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

Chưa biết giải các bài toán về
Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

SL

%

SL

%

14

41%

20

59%

10

32%

21

68%


5

2.3. Biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Với thực trạng đó, tơi đưa ra các dạng bài tập có trong các đề thi THPT, là các
bài tập ở dạng nhận biết, thông hiểu dễ nhớ, dễ làm, các bài toán liên quan đến
thực tế gần gủi trong đời sống thường ngày. Ngoài những kiến thức cần phải truyền

đạt trong sách giáo khoa, tôi đưa ra một số cách giải dễ làm, dễ hiểu cho học sinh.
Để từ đó học sinh tự tin hơn, hứng thú hơn trong các tiết học
2.3.1. Nêu định nghĩa, phân tích định nghĩa và các ví dụ để học sinh
nhận biết được Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp; các ví dụ có ứng dụng thực tế
- Trước tiên, chúng ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu được thế nào là Hoán
vị, thế nào là Chỉnh hợp, thế nào là Tổ hợp.
- Dựa vào định nghĩa mà sách giáo khoa đã giới thiệu, giáo viên phân tích định
nghĩa rồi chỉ ra các dấu hiệu nhận biết được Hoán vị, cỉnh hợp, Tổ hợp. Học sinh
phân biệt, nhận dạng được các dạng bài tập có liên quan.
- Lấy các ví dụ, bài tập có tính thực tế để học sinh dễ hiểu, dễ hình dung để giải
quyết vấn đề
a. Hoán vị
+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả sắp xếp thứ tự
của n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
GV phân tích định nghĩa: Ta thấy tập hợp A có n phần tử, ta sắp xếp n phần tử
theo một thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp cho ta một kết quả. Phép tính đó gọi là
hốn vị của n phần tử trong tập hợp A.
+ Kí hiệu: Pn = n! = n.(n-1)(n-2)……3.2.1
Hốn vị có nghĩa là ta hốn đổi vị trí của các phần tử trong một tập hợp nào
đó, mỗi cách thay đổi vị trí đó cho ta một kết quả
* Ví dụ:
Giáo viên lấy các ví dụ đơn giản, cụ thể để học sinh dễ hình dung ra dạng bài tập
này
Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ
số 1; 2; 3 ?
Hướng dẫn
+ Cách thứ nhất: Liệt kê
- Gv: Yêu cầu học sinh liệt kê tất cả các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số
1; 2; 3
Các số đó là: 123; 132; 231; 213; 312; 321

6

Vậy ta lập được 6 số từ ba chữ số đã cho
+ Cách thứ hai: Dùng quy tắc nhân
- Gv phân tích đề để định hướng cho học sinh làm theo công thức
Theo đề bài cho ba chữ số, lập các số có ba chữ số khác nhau từ ba chữ số đã
cho. Tập hợp A này gồm 3 phần tử, mỗi cách sắp xếp 3 phần tử cho ta một kết
quả. Vì các số tạo thành là số có ba chữ số khác nhau. Vậy
Chữ số thứ nhất ta có 3 cách lựa chọn
Chữ số thứ hai có 2 cách lựa chọn
Chữ số thứ ba có 1 cách lựa chọn
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số các số được lập từ ba chữ số đã cho là
3.2.1 = 6 (số)
Hay

Pn =3! = 3.2.1 = 6

Hoặc học sinh có thể sử dụng máy tính, thao tác nhấn 3!= … cho ta kết quả
cần tìm.
Như vậy, ta đưa ra ví dụ đơn giản để học sinh có thể kiểm nghiệm kết quả bằng
cách liệt kê các số tìm được.
Ví dụ 2: Bài toán thực tế hơn về cách sắp xếp chỗ ngồi cho 4 bạn
Lấy 4 bạn đang có mặt trong lớp học Ngân, Long, Oanh, Trang. Hãy sắp xếp 4
bạn vào một bàn gồm bốn chỗ ngồi ?
Hướng dẫn:
+ Cách 1: Liệt kê
Ngay trên lớp, giáo viên có thể dành ra một bàn khơng có bạn nào ngồi để ta
xếp chỗ ngồi cho bốn bạn Ngân, Long, Oanh, Trang. Mỗi cách xếp ta có thể liệt kê

lên bảng cho các em dễ A C B D quan sát. Hoặc ta có thể làm tương
tự như sách giáo khoa, ta
viết A, B, C, D thay cho tên của bốn
bạn và viết ACBD để mô tả cách xếp chỗ
Cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau:
A ngồi đầu : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADCB, ADBC
B ngồi đầu : BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDCA, BDAC
C ngồi đầu : CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA
D ngồi đầu : DABC, DACB, DCAB, DCBA, DBAC, DBCA


7

Như vậy có 24 cách, mỗi cách cho ta một hoán vi tên của bốn bạn
+ Cách thứ 2 : Dùng quy tắc nhân
- Có bốn cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất
- Sau khi chọn một bạn, cịn ba bạn nữa. Có ba cách chọn cho bạn vào vị trí số hai
- Sau khi chọn hai bạn rồi, cịn lại hai bạn nữa. Có hai cách chọn cho bạn vào vị trí
số ba
- Sau khi chọn ba bạn rồi, cịn lại một bạn. Có một cách chọn cho bạn ở vị chí số
bốn
Theo quy tắc nhân, ta có số cách xếp chỗ ngồi là
4.3.2.1 = 24 (cách)
Hay

P = 4! = 24

Qua 2 ví dụ này, là các ví dụ thực tế, học sinh có thể liệt kê các trường hợp có
thể xảy ra. Sau đó các em đối chiếu với cơng thức tính, từ đó các em có thể kiểm
nghiệm được kết quả mình tìm được thơng qua cơng thức. Giúp các em hình dung

ra được bài tập dạng Hoán vị được thực hiện trong trường hợp nào.
Giáo viên nhấn mạnh một lần nữa cho học sinh : Cho tập hợp A gồm n phần tử
(n1). Ta sắp xếp thứ tự cả n phần tử đó, mỗi cách sắp xếp cho ta một kết quả gọi là
hốn vị và ta sử dụng cơng thức tính
Pn = n! = n.(n-1)(n-2)……3.2.1
b. Chỉnh hợp
* Giáo viên giới thiệu định nghĩa
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1). Kết quả của việc lấy k phần tử
của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử đã cho
Kí hiệu :

= n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)

Chú ý: Với quy ước 0! = 1, ta có

= ,

.

* Giáo viên phân tích định nghĩa
Trong tập hợp A có n phần tử ta lấy k phần tử từ n phần tử đó trong tập hợp
A . Sau đó ta sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự nào đó, mỗi cách sắp xếp cho ta
một kết quả thì được gọi là Chỉnh hợp chập k của n phần tử
Ví dụ 3:


8

Lập được bao nhiêu số gồm hai chữ số khác nhau từ ba chữ số 1;2;3 ?

Hướng dẫn
+ Cách 1: Liệt kê
Gv: Yêu cầu học sinh liệt kê các số có hai chữ số khác nhau từ ba chữ số 1;2;3
Các số đó là: 12; 21; 13; 31; 23; 32
Vậy có thể lập được 6 số có hai chữ số từ ba chữ số đã cho
+ Cách 2: Dùng quy tắc nhân
Theo đề bài cho ba chữ số, lập các số có hai chữ số khác nhau từ ba chữ số đã
cho. Tập hợp A này gồm 3 phần tử, ta lấy 2 phần tử từ 3 phần tử trong tập hợp A
mỗi cách sắp xếp 2 phần tử cho ta mỗi kết quả. Vì các số tạo thành là số có hai
chữ số khác nhau. Vậy
- Chữ số thứ nhất có ba cách lựa chọn
- Chữ số thứ hai có hai cách lựa chọn
Theo quy tắc nhân, ta có
3.2 = 6 (số)
Bài toán này thuộc dạng toán chỉnh hợp. Ta lấy hai phần tử từ ba phần tử trong
tập hợp A. Với mỗi cách sắp xếp 2 phần tử đó cho ta mỗi kết quả khác nhau. Vậy
ta có

= = 3! = 6
Vậy nếu bài toán khi xác định nó thuộc dạng chỉnh hợp, ta hướng dẫn học sinh
áp dụng cơng thức để tính. Vì có nhiều bài tốn có nhiều cách sắp xếp ta khơng liệt
kê hết được. Đây là ví dụ để học sinh làm hai cách, giúp các em đối chiếu được kết
quả, các em được kiểm nghiệm thực tế khi áp dụng công thức. Ta có thể đưa ra ví
dụ 4 như sau
Ví dụ 4:
Một nhóm học tập có năm bạn A, B, C, D, E. Có bao nhiêu cách phân cơng ba
bạn là trực nhật, trong đó một bạn quét lớp, một bạn lau bảng, một bạn sắp bàn
ghế.
Hướng dẫn:
Cách 1: Liệt kê các trường hợp

Yêu cầu học sinh liệt kê một số trường hợp làm trực nhật theo yêu cầu của đề bài
Quét lớp

Lau bảng

Sắp bàn ghế


9

A
A
C
C
B
…

C
D
B
A
C
…

D
C
E
B
D
…

Có rất nhiều cách phân cơng làm trực nhật theo các nhiệm vụ như đề bài yêu
cầu. Học sinh liệt kê hết các trường hợp mất rất nhiều thời gian, có thể thiếu trường
hợp. Vì vậy với bài tập này, ta định hướng cho học sinh cách xác định bài toán
thuộc dạng nào
Ta thấy, tập hợp A gồm năm phần tử, ta lấy ba phần tử từ năm phần tử của tập
hợp đó. Với mỗi cách sắp xếp ba phần tử cho ta các kết quả khác nhau. Vậy bài
toán này thuộc dạng Chỉnh hợp, chỉnh hợp chập 3 của 5.
Ta có

= = = = 5.4.3 = 60
Tuy nhiên với bài tốn này, ta cũng có thể hướng dẫn học sinh làm theo quy tắc
nhân.
- Có năm cách chọn học sinh quét lớp
- Có bốn cách chọn học sinh lau bảng
- Có ba cách chọn học sinh kê bàn ghế
Áp dụng quy tắc nhân, ta có
5.4.3 = 60 (cách)
Với cách này học sinh mất thời gian hơn. Vì vậy ta nên định hướng cho học
sinh dạng toán để áp dụng cơng thức. Ngồi ra, các bài tốn trắc nghiệm trong đề
thi tốt nghiệm THPT phần này, các đáp án đề thường ra dưới dạng công thức.
c. Tổ hợp
Gv: Nêu định nghĩa
+ Định nghĩa: Giả sử tập hợp A có n phần tử (n1). Mỗi tập hợp con gồm k phần tử
của A được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
+ Chú ý:
Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện . Tuy vậy, tập hợp khơng có phần
tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng

10

Gv phân tích định nghĩa
Tập hợp A có n phần tử, ta lấy k phần tử từ n phần tử . Với mỗi cách sắp xếp k
phần tử đó ln cho ta một kết quả thì gọi là tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
Vậy ta thấy tổ hợp có điểm giống và khác với chỉnh hơp
Điểm giống: Đều lấy ra k phần tử từ n phần tử của tập hợp A
Điểm khác:
- Chỉnh hợp: Với mỗi cách sắp xếp k phần tử cho ta các kết quả khác nhau.
- Tổ hợp : Với mỗi cách sắp xếp của k phần tử khi lấy ra từ n phần tử ln
cho ta một kết quả.
+ Kí hiệu và định lí của tổ hợp

=
Yêu cầu học sinh phân biệt kí hiệu của chỉnh hợp và tổ hợp. Chỉ ra điểm khác
của công thức chỉnh hợp và tổ hợp.
Mối quan hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp

= =
Ví dụ 5:
Một tổ có 10 người, cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu
cách lập
Hướng dẫn:
Ta thấy, tập hợp này có 10 phần tử ta lấy ra 5 phần tử. Với mỗi cách sắp xếp 5
phần tử đó ln cho ta một kêt quả
Chẳng hạn, 5 phần tử đó là A, B, C, D, E ta sắp xếp theo thứ tự khác B, A, C, D,
E thì hai cách sắp xếp này cho ta một kết quả. Vậy bài toán này thuộc dạng toán tổ
hợp. Vậy ta có số cách lập đồn đại biểu gồm 5 người là

= = = = 2.3.7.6 = 252

Hs có thể thao tác trên máy tính cầm tay để đưa ra kết quả
Ví dụ 6:
Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu
cho hai đội bất kì đều gặp nhau đá đúng một lần?
Hướng dẫn:


11

Ta lấy ra hai đội từ 16 đội bóng. Vì 2 đội găp nhau đúng một lần, nên ta lấy ra hai
đội là một sự lựa chọn
Vậy số trận đấu cho 2 đội bất kì gặp nhau một lần là

= = 120
Qua ví dụ này, ta thấy ta đã tính được số trận bóng khi có 16 đội bóng tham gia
dựa vào kiến thức tốn học, cách tính nhanh, chính xác. Khi đó để tổ chức một giải
bóng đá gồm 16 đội tham dự, ta có thể dựa vào số trận đã tính được để sắp xếp thời
gian một cách hợp lí, tổ chức giải một cách phù hợp
Cịn rất nhiều các bài toán thực tế của phần này, Giáo viên có thể lấy thêm cho
học sinh làm. Trong quá trình làm, giáo viên nên phân tích và hướng cho các em sử
dụng các cơng thức về Hốn vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp để các em làm nhanh hơn và
nhớ cơng thức sâu hơn
Với kiến thức phần Hốn vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp ta thấy áp dụng vào các bài
toán thực tế rất nhiều. Tuy nhiên việc lĩnh hội kiến thức phần này của học sinh rất
mơ hồ, các em khơng phân biệt được đâu là Hốn vị, đâu là Chỉnh hợp, đâu là Tổ
hợp. Nhưng qua cách phân tích định nghĩa, làm các ví dụ thực tế, đơn giãn, dễ hiếu
học sinh đã biết phân biệt đâu là bài toán liên quan đến Hoán vị, đâu là bài toán
liên quan đến Chỉnh hợp, đâu là bài toán liên quan đến Tổ hợp. Qua các ví dụ và
kiến thức dạy ở phần này, giáo viên cũng thường xuyên định hướng cho các em áp
dụng vào thực tế. Ví dụ, sau bài này chúng ta có thể yêu cầu học sinh sử dụng ngay

để lập kế hoạnh phân công các bạn trực nhật hoặc dự tính số trận bóng chuyền của
các chi đoàn trong Trung Tâm được tổ chức vào dịp 20/11, 26/3. Tạo cho các em
hứng thú trong học tập và thấy được vai trị của tốn học trong đời sống hằng ngày.
Khi các em tính được số trận bóng ta sẽ có kế hoạch hợp lí tổ chức. Tốn học
khơng chỉ là học trên sách vở, tốn học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế.
* Giáo viên giao các bài tập liên quan đến Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp để học
sinh tự phân tích và nhận các bài toán.
Bài 1:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ
số khác nhau?
Giải:


12

Tập hợp A này có năm phần tử, ta lấy cả năm phần tử đó. Mỗi cách thay đổi vị
trí của 5 phần tử cho ta mỗi kết quả khác nhau. Vậy bài toán này là hoán vị của 5
phần tử
P = 5! = 120
Vậy có 120 số có năm chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5
Bài 2:
Cho tập hợp A = . Có bao nhiêu tập hợp con của A có 3 phần tử ?
Giải:
Tập hợp con của tập hợp A gồm 3 phần tử. Ví dụ hoặc ….
Với tập con có 3 phần tử , ta có thay đổi vị trí các phần tử trong tập hợp này thì
cũng cho ta một kết quả
Vậy ta đã lấy 3 phần tử từ tập hợp có 5 phần tử, mỗi tập hợp con gồm 3 phần tử
của tập hợp A. Do đó, đây là bài toán tổ hợp chập 3 của 5 phần tử đã cho

= = 10

Vậy có 10 tập hợp con của A gồm 3 phần tử.
Bài 3:
Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Giải:
Ta lấy 4 bóng đèn từ 6 bóng đèn khác nhau. Vì các bóng đèn khác nhau nên
mỗi lần thay đổi vị trí của 4 bóng đèn được lấy ra sẽ cho chúng ta những kết quả
khác nhau. Vậy đây là Chỉnh hợp chập 4 của 6, ta có

= = 360
Vậy có 360 cách mắc 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau
* Tuy nhiên kiến thức phần này cũng có trong đề thi tốt nghiệp THPT, vì vậy
giáo viên đưa ra các bài toán trắc nghiệm khách quan để các em làm cho quen dạng
và định hướng bài toán một cách nhanh nhất, hồn thiện bài một cách nhanh nhất
và chính xác nhất. Vì đối tượng học sinh ở Trung tâm GDNN-GDTX đa số là học
sinh trung bình và yếu kém nên tôi cũng đưa ra các dạng bài tập trắc nghiệm khách
quan ở mức nhận biết và thông hiểu
2.3.2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1:


13

Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là
B.52

A.

D.25

Hướng dẫn:

Lấy 2 học sinh từ 5 học sinh. Ta đã lấy 2 phần tử từ tập hợp có 5 phần tử, với 2
phần tử này ta đặt ở vị trí khác nhau cho ta một kết quả. Vậy đây là bài toán về Tổ
hợp chập 2 của 5.
Đáp án đúng :

A

Học sinh khoanh vào đáp án A
Bài 2
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số gồm hai chữ số khác
nhau?
A.28

B.

D.82

Hướng dẫn :
Tập hợp này gồm 8 phần tử, ta lấy ra hai phần tử từ 8 phần tử đó. Mỗi cách sắp
xếp của hai phần tử lấy ra cho ta các kết quả khác nhau. Vậy bài toán này là bài
toán về Chỉnh hợp, đây là chỉnh hợp chập 2 của 8.
Đáp án đúng :

C

Yêu cầu học sinh khoanh vào đáp án C
Bài 3
Số cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh của lớp là
A.

B.5!

D. 355

Giải:
Lấy ra 5 học sinh từ 35 học sinh. Với 5 học sinh được lấy ra thì với cách sắp
xếp như thế nào thì cũng cho ta một kết quả. Vậy những tập hợp chứa 5 phần tử là
tập con của tập hợp gồm 35 phần tử. Bài toán này là bài toán Tổ hợp Chập 5 của
35
Đáp án đúng là: A
Yêu cầu học sinh khoanh vào đáp án A

Bài 4:


14

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 2, 3, 4, 5.

B.44

A.

D.4!

Giải:
Vì số tự nhiên này có 4 chữ số khác nhau được lấy từ 4 chữ số đã cho. Với
mỗi cách thay đổi vị trí các chữ số cho ta một kết quả. Vậy đây là bài toán về
Hoán vị
P = 4! = 24

Đáp án đúng là

D

Yêu cầu học sinh khoanh vào đáp án

D

2.3.3. Bài tập vận dụng
a. Bài tập tự luận và bài tập ứng dụng thực tế.
Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn A, B, C, D vào bốn chiếc ghế kê thành
hàng ngang ?
Bài 2. Cần phân cơng ba bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao
nhiêu cách phân cơng khác nhau ?
Bài 3. Một khai trịn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt màu khác
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó ?
Bài 4. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác 0 và khác nhau ?
Bài 5. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành
a. Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người ?
b. Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người ?
Bài 6. Nhân dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam 20/11. Ban chấp hành Đoàn tổ
chức giải bóng chuyền cho 8 chi đồn trong trung tâm, với cách thức đấu vòng tròn
hai đội gặp nhau một lần. Hỏi có bao nhiêu trận đấu diễn ra ?
b. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một nhóm 34 học sinh ?
B.234

A.

D. 34!

Bài 2. Cho tập hợp M gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử củ M là
A.

C.

D. 102

Bài 3. Số chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử (1) là
A.

B.

C. k!

D.( n – k)!


15

Bài 4. Một lớp có 45 học sinh, có bao nhiêu cách cử một nhóm gồm 15 bạn làm
trực tuần quét dọn khuân viên nhà trường hàng ngày trong đợt dịch COVID-19 ?
A.

B.

D. 4515

C. 34!

Bài 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp10 học sinh thành một hàng dọc ?
A. 55

B.10!

C. 4!

D. 5

Bài 6. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một nhóm 7 học sinh ?
A. 27

B.

D. 72

C.

Bài 7. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn gồm 5 chỗ ?
A. 25

C. 55

B.P5

D.

Bài 8. Cho tập hợp S = . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau
được lập từ các phần tử của tập hợp S ?
A. 35

B.

C. 3!

D.

Bài 9. Số các tập hợp con gồm 3 phần tử của một tập hợp gồm 6 phần tử là
A.2

B.

C.

D. 3!

Bài 10. Cần chon ra 3 người từ một tổ 30 người, khi đó số cách chọn là
A. 10

B.

C. 32

D. 6

2.4. Hiệu quả của biện pháp đã thực hiện.
Qua việc giảng dạy theo biện pháp trên học sinh có tiến bộ rõ rệt thể hiện ở
các điểm sau.
- Học sinh chủ động làm được bài, các em đã biết liên hệ thực tế đưa ra được
đáp án đúng khi giao các bài tập trắc nghiệm tương tự.

- Vì dạng bài tập có tích chất trực quan nên học sinh dễ nhớ, dễ làm và thực
tế nên các em nhớ lâu và phân biệt được các dạng bài tập mà trước đây các em
chưa có.
- Tiết học trở nên sơi nổi, tạo hứng thú học tập mơn tốn cho các em. Tiết
học khơng cịn bị nhàm chán bởi các em đã chủ động làm được bài.
- Học sinh đã biết vận dụng các hình ảnh thực tế để phân tích bài toán. Qua
đây phần nào giúp cho các em tập trung, tư duy hình ảnh thực tế vào bài học
2.5. Kết quả, minh chứng về sự tiến bộ của học sinh sau khi áp dụng
biện pháp.
Sau khi áp dụng biện pháp và khảo sát lại lớp 11a1, 11a2 của Trung tâm
GDNN-GDTX Ngọc lặc năm học 2020-2021, tôi nhận được kết quả như sau:


16

LỚP

TỔNG SỐ

Biết giải các bài toán về
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Chưa biết giải các
bài toán về hoán vị, chỉnh hợp,
tổ hợp.

SL

%

SL

%

11a1

34

33

97%

1

3%

11a2

31

29

94%

2

6%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Nếu trước đây học sinh hoàn toàn làm theo hướng dẫn của giáo viên thì

giờ đây các em chính là người đã tự mình chủ động, nhanh nhẹn phân tích được
các yếu tố của bài toán và biết lựa chọn đáp án cho các câu hỏi trắc nghiệm, cịn
giáo viên giờ chỉ đóng vai trò là củng cố và chốt lại kiến thức.
- Giải pháp này giúp học sinh biết vận dụng kiến thức căn bản về việc giải
nhanh, chính xác một số dạng bài tập trắc nghiệm phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ
hợp và một số “mẹo” khi giải toán trắc nghiệm nhằm giúp học sinh có hứng thú
học tập mơn tốn.
- Đưa ra các kỹ năng và có ví dụ minh họa bằng các câu hỏi của các đề thi
năm trước và có phân tích phương pháp giải nhanh, để loại trừ đáp án sai và chọn
ra đáp án đúng nhanh nhất.
- Học sinh biết hình dung, liên hệ kiến thức thực tế với những bài toán, để
các em phân biệt được hoán vi, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Những kỹ năng trong biện pháp này giúp các em giải nhanh một số bài
toán, lại dễ hiểu và tiết kiệm thời gian mà kết quả lại đúng.
- Đa số học sinh có học lực yếu kém nên tôi chọn những dạng bài tập đơn
giản, trực quan cho các em dễ nhớ, dễ nhận biết. Qua đây tạo cho các em hứng thú
học tập mơn tốn và khởi đầu cho những dạng bài tập sau.
- Ngồi ra các em cịn biết áp dụng để làm các bài toán thực tế. Giúp các em
hiểu được vai trị của tốn học trong đời sống hàng ngày
Do đề tài được xây dựng trên cơ sở là học sinh của Trung tâm GDNNGDTX Ngọc lặc. Phạm vi của sáng kiến hẹp, chưa được toàn diện, chưa đầy đủ các
giải pháp để giúp học sinh trung bình, yếu kém nắm bắt kiến thức tốt hơn. Do đó,
sáng kiến khơng tránh khỏi thiếu xót và cịn hạn chế. Vì vậy, tơi rất mong được sự
góp ý của các thầy cô, đồng nghiệp để nội dung sáng kiến đầy đủ và phong phú
hơn.


17

Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thanh hóa, ngày 03 tháng 5 năm 2022

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
NGƯỜI VIẾT

Nguyễn Thị Mai Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, Đại số và Giải tích lớp 11
2. Sách bài tập Đại số và Giải tích lớp 11
3. Toàn cảnh 3 năm thi THPT quốc gia 2017-2018-2019 của tác giả Vũ Ngọc
Thành
4. Chuyên đề Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp của tác giả Nguyễn Hữu Biên
5. Chinh phục kiến thức Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp cẩm nang cho mùa thi của
tác giả Nguyễn Hữu Biên
6. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp – Lý thuyết và các dạng bài tập


18

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Mai Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên -Trung tâm GDNN-GDTX Ngọc Lặc

TT Tên đề tài SKKN

1.

Một số kinh nghiệm hướng

Cấp đánh giá Kết quả
xếp loại
đánh giá Năm
học
xếp loại
đánh giá xếp
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
(A,
B, loại
Tỉnh...)
hoặc C)


19

dẫn học sinh làm tốt hơn các Cấp huyện
bài toán tìm x có chứa dấu giá
trị tuyệt đối
2.
3.
4.
5.

...

Xếp loại B

2014-2015