Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT tĩnh gia 3

MỤC LỤC
NỘI DUNG

TRANG

I. Mở đầu

1

1.1.Lý do chọn đề tài

1

1.2.Mục đích nghiên cứu

1

1.3.Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

II. Nội dung nghiên cứu

2

2.1.Cơ sở lý luận

3

2.1.1.Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ

3

2.1.2.Kiến thức cơ bản về hàm số lôgarit

4

2.1.3.Sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ

5

2.2.Thực trạng của đề tài
2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề

6

2.3.1.Bài toán lãi suất ngân hàng

6

2.3.1.1.Bài toán1 : Tính lãi đơn

6

2.3.1.2.Bài toán 2 : Tính lãi kép

7

2.3.1.3.Bài toán 3:Vay trả góp
2.3.2.Các bài tập liên quan đến môn vật lý,sinh học và địa lý

10

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

15

III. Kết luận, kiến nghị

6

12
16

3.1. Kết luận

16

3.2. Kiến nghị

16

Tài liệu tham khảo
I.MỞ ĐẦU.

18

1.1.Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết năm 2017 kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, môn
toán sẽ thi theo hình thức trắc nghiệm.Trong số 50 câu trắc nghiệm sẽ có các bài
toán áp dụng kiến thức toán học để giải các bài toán thực tế hoặc các bài toán
liên quan đến các môn học khác.Một thực tế đáng buồn là nhiều học sinh vẫn
còn rất lúng túng thậm chí không biết cách giải khi gặp các câu hỏi liên quan
đến các bài toán vận dụng toán học vào thực tế và vào giải các bài toán liên quan
đến môn học khác.
Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa
học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri
thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng
lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực
thúc đẩy cho mục tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì
thế dạy học toán ở trường trung học phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với
thực tiễn đời sống.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông nhìn
chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở
kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ
năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực
tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên.
Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản
xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông
nói chung cũng như trong chương trình toán 12 nói riêng.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng
và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng
phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý
thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm
cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận
dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống

và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với
hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo
dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì
vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài : “Ứng dụng kiến thức về
hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học
toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’. Với mục đích giúp học sinh lớp
12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài
toán thực tế, các bài toán liên môn. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn
bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia .
1.2.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng
cường vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán có nội
2


dung thực tiễn .
- Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể
hiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn, các bài
toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông. Qua đó thấy
được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”.
- Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác.
- Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường
THPT.
- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ
thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài
là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng của hàm số mũ và lôgarit.
- Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong một số

nội dung của chương trình toán lớp 12.
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 12 và vấn đề tăng cường vận
dụng các bài toán có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vào
giảng dạy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp
giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin.
- Thực nghiệm sư phạm.
II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1.Cơ sở lý luận
Theo nghị quyết số 29-NQ/TW , ngày 4 tháng 11 năm 2013-nghị quyết hội
nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,toàn diện giáo dục và đào tạo nêu
rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt động
học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài”. Trong các văn kiện trình Đại hội XII,Đảng ta nhấn mạnh
sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường,quan điểm,tính nhất quán về sự
cần thiết phải đổi mới căn bản,toàn diện giáo dục,đào tạo,phát triển nguồn nhân
lực.
Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo
dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Ta
đã biết Unesco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là: “ học để biết,
học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình” (Learning to
know, Learning to do, Learning to live together and learning to be 1). Chính vì
thế vai trò của các bài toán có nội dung liên quan đến môn học khác hoặc nội
1

Theo: />
3

dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.
Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,
sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc
đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm
vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai
trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ
mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực
tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có
nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học
là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên,
một số ngành khoa học luôn cần toán học phát triển trước và toán học là
công cụ để lĩnh vực đó phát triển .
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh lớp 12 vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số
bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh.Giúp học sinh chuẩn
bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
Để vận dụng tốt phương trình tham số của đường thẳng ta cần nắm vững kiến
thức trình bày ở chương II trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản nhà xuất bản
giáo dục Việt Nam năm 2009 như sau:
2.1.1.Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ
+Các định nghĩa:
n
123
• a = a.a...a

(n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R)

n thua so

• a1 = a ; ∀a
• a0 = 1 ; ∀a ≠ 0
−n
• a =

1

a

m
n
an = am

•

(n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R \ { 0} )

;

n

;

( a > 0;m∈ ¢,n∈ ¢+ )

+Các tính chất: Cho a,b là các số thực dương,m,n là các số thực thùy ý:
am.an = am+ n ;
n

n

n

(a.b) = a .b

Hàm số mũ:

;

am
n

a

= am− n ;

(am)n = (an)m = am.n

a n an
( ) = n
b
b

Dạng: y = ax ; ( a > 0 , a ≠ 1 )

4

• Tập xác định: D = R
x
• Tập giá trị
:
T = R+ ( vì a > 0
• Tính đơn điệu:

∀x∈ R ở đây R+ = (0; +∞ ) )

: y = ax đồng biến trên ¡

*a>1

* 0 < a < 1 : y = ax nghịch biến trên ¡
• Đồ thị hàm số mũ:
y

y=ax

1

y

y=ax
1

x

0

0
a>1

x

0
2.1.2.Kiến thức cơ bản về hàm số lôgarit
Định nghĩa Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 :

loga N = M

log a N có nghĩa khi và chỉ khi

Điều kiện có nghĩa:

⇔

aM = N

0 < a ≠ 1 và N >0

Các tính chất:
+ loga 1= 0(0< a ≠ 1) ;

loga a = 1(0< a ≠ 1)

;

loga aM = M(0< a ≠ 1,∀M)

+ alogaN = N(0< a ≠ 1,N > 0)
M
N

+ loga(N.M) = loga N + loga M(0< a ≠ 1,M,N > 0) ; loga( ) = loga M − loga N
+ loga Nα = α.loga N(0< a ≠ 1;N > 0,α ∈ R)
. Công thức đổi cơ số

Đặc biệt: loga N2 = 2.loga N

• loga N = loga b.logb N(0< a,b ≠ 1;N > 0)
• logb N =
•

loga N
loga b

(0< a,b ≠ 1;N > 0)

Hệ quả

• loga b =

1
(0< a,b ≠ 1)
logb a
1
k

và log k N = loga N(0< a ≠ 1;N > 0;k ≠ 0)
a

5


Dạng y = loga x ( a > 0 , a ≠ 1 )

Hàm số lôgarít

• Tập xác định: D = R + (với R+ = (0; +∞) )
T=R
• Tập giá trị
• Tính đơn điệu:
*a>1
: y = loga x đồng biến trên R+
* 0 < a < 1 : y = loga x nghịch biến trên R+
• Đồ thị của hàm số lôgarit:
y

O

O

'

+ ( a x ) = a x .lna ; ( a u ) = a u .lna.u'
'
+ ( ex ) = ex

y=logax

x

1

a>1
'

y

y=logax

x

1

0
'
; ( eu ) = eu .u'

'
'
1
u'
+ ( log a x ) =
; ( log a u ) =
xlna
u.lna

' u'
' 1
+ ( lnx ) = ,(x > 0) ; ( ln u ) = , (Trong đó u = u(x) có đạo hàm theo x)
x
u
2.1.3.Sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ
- Sự tăng trưởng(hay suy giảm) mũ được đặc trưng bởi một hàm số mà đạo hàm
của nó tại mỗi điểm đều tỉ lệ với giá trị của hàm số tại điểm đó với hệ số tỉ lệ
không đổi,tức là hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện: f '( x) = kf ( x) (1)
(xét trên một khoảng nào đó) trong đó k là một hằng số khác 0 nào đó.Số k gọi
là tỉ lệ tăng trưởng khi k > 0 và được gọi là tỉ lệ suy giảm khi k <0.
Người ta đã chứng minh được rằng: Hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện (1) khi
và chỉ khi nó có dạng y = Cekx (với C là hằng số tùy ý) (2)
Ví dụ trong thực tế,nhiều hiện tượng tự nhiên, xã hội có tính chất tăng
trưởng( hay suy giảm) mũ như : vấn đề lãi kép liên tục,vấn đề tăng trưởng dân
số,vấn đề sinh sôi của vi trùng,vấn đề phân hủy của phóng xạ...
2.2.Thực trạng của đề tài
6


- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về
hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán thực tế,các bài toán liên quan đến vật
lý,sinh học,địa lý,hóa học có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh đều gặp khó
khăn khi giải các bài toán dạng này.
- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực
tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’ cho
ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến thực tế một cách dễ hiểu hơn đối
với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trở lên.
- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế
nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’ kích

thích sự sáng tạo tính ham học hỏi,ham khám phá của học sinh.
- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế
nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’ giúp
học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được “vẻ đẹp’’ và tính thực
tiễn của toán học.
- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế
nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’
có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con
đường tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt.
2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1.Bài toán lãi suất ngân hàng.
2.3.1.1.Bài toán1 : Tính lãi đơn .
Một người gửi số tiền M vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với lãi suất r%
trên một kỳ hạn,gọi Tn là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau n kỳ
hạn.Hãy tính Tn.
Cách giải: Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 1 kỳ hạn là: M+M.r
Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 2 kỳ hạn là: M+Mr +Mr =M(1+2r)
Cứ như thế ta tính được số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là:
Tn=M(1+n.r) ( I)
Ví dụ 1. Ông A gửi 100.000.000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với
lãi suất 0,6% trên một tháng.Tính cả vốn lẫn lãi ông A có được sau 7 tháng,biết
rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A gửi tiền.
Giải
Ta có số tiền ông A thu được cả vốn lẫn lãi sau 7 tháng là:
100000000(1+7.0,006) = 104200000 đồng
2.3.1.2.Bài toán 2 : Tính lãi kép.
Ta đã biết lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền vốn mà còn tính trên
số tiền lãi do tiền vốn đó sinh ra thay đổi theo định kỳ.

7

Dạng 1: Lãi kép, gửi một lần: Một người gửi số tiền M vào ngân hàng
theo thể thức lãi kép với lãi suất r% trên một kỳ hạn,gọi T n là tổng số tiền cả vốn
lẫn lãi người đó có được sau n kỳ hạn.Hãy tính Tn.
Cách giải: Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 1 kỳ hạn là: M(1+r)
Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 2 kỳ hạn là:M(1+r)(1+r) = M(1+r)2
Cứ như thế ta tính được số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là:
Tn =M(1+r)n-1 + M(1+r)n-1.r = M(1+r)n
Vậy :

Tn =M(1+r)n (II)

Trong đó: M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) trên một kỳ hạn, n là số kỳ hạn,
Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn.
Từ công thức (II):Tn =M(1+r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:
Tn
M
n=
ln(1 + r )
ln

(IIa) và r = n

Tn
−1
M

(IIb) ;

M=

Tn

(1 + r ) n

(IIc)

Ví dụ 2. Ông B gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi
suất 0,6% trên một tháng.Tính cả vốn lẫn lãi ông B có được sau 7 tháng,biết
rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông B gửi tiền
Giải
Ta có số tiền ông B thu được cả vốn lẫn lãi sau 7 tháng là:
100000000(1+.0,006)7 = 104276360,6 đồng
Nhận xét .So với thể thức lãi đơn cho ở Ví dụ 1 thì thể thức gửi tiết kiệm lãi
kép ở Ví dụ 2 người gửi có lợi hơn.
Ví dụ 3. Ông C gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi
suất 0,63% trên một tháng.Hỏi để được 120000000đ thì ông C phải gửi tiết kiệm
trong bao lâu,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông C
gửi tiền
Giải
120000000
Áp dụng công thức (IIa) ta có số tháng phải gửi là: n = 100000000 ≈ 29, 03 (tháng)
ln(1 + 0, 63%)
ln

Vậy ông C cần phải gửi 29 tháng
Ví dụ 4. Ông D gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép trong
thời gian 8 tháng thì nhận được cả vốn lẫn lãi là 105739137 đồng.Hãy tìm lãi
suất hàng tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông

D gửi tiền.
8


Giải
Áp dụng công thức (IIb) ta có lãi suất hàng tháng là: r = 8

105739137
− 1 ≈ 0, 7%
100000000

Dạng 2: Lãi kép, gửi định kỳ:
Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng. Ta có bài toán: Một người
cứ vào cuối mỗi tháng lại gửi số tiền là M vào ngân hàng theo thể thức lãi kép
với lãi suất r % trên một tháng.Tính tổng số tiền T n cả vốn lẫn lãi mà người đó
có được ở thời điểm cuối tháng thứ n.
Cách giải:
Cuối tháng thứ nhất và cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền :T1 = M
Cuối tháng thứ hai người đó có số tiền là:
T2 = M (1 + r ) + M = M [(1 + r ) + 1] =

M
M
[(1 + r ) 2 − 1] = [(1 + r ) 2 − 1]
[(1 + r ) − 1]
r

Cuối tháng thứ ba người đó có số tiền là:
T3 =

M
M
M
M
[(1 + r ) 2 − 1](1 + r ) + M = [(1 + r ) 2 − 1](1 + r ) + .r = [(1 + r )3 − 1]
r
r
r
r

Cứ như thế cuối tháng thứ n,người đó có số tiền là:
Vậy: Tn =

M
[(1 + r ) n − 1]
r

Tn =

M
[(1 + r ) n − 1]
r

(III). Trong đó M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%)

hàng tháng, n là số tháng, Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (III) ta cũng tính được các đại lượng khác như sau:
Tn .r
+ 1)
M=

M
(IIIa); và n =
(IIIb)
n
[(1 + r ) − 1]
ln(1 + r )
Tn .r

ln(

Trường hợp 2: Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng.
Giải như trường hợp 1 với chú ý là cuối tháng thứ nhất người đó có số tiền là
T1 = M (1 + r )

T có số tiền có được vào tháng thứ n là: Tn =

M
[(1 + r ) n − 1](1 + r )
r

(IV)

Trong đó M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) hàng tháng, n là số tháng, T n là
tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (IV) suy ra M =

Tn .r

(1 + r )[(1 + r ) n − 1]

( IVa )

và n =

ln(

Tn .r
+ 1)
M (r + 1)
( IVb )
ln(1 + r )
9


Ví dụ 5(Trích đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Yên Hòa – Hà Nội)
Bác Bình cần sửa lại căn nhà với chi phí 1 tỉ đồng.Đặt kế hoạch sau 5 năm phải
có đủ số tiền trên thì mỗi năm bác Bình cần gửi vào ngân hàng một khoản tiền
tiết kiệm như nhau gần nhất bằng giá trị nào sau đây,biết rằng lãi suất của ngân
hàng là 7% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
A. 162 triệu đồng.

B. 162,5 triệu đồng.

C. 162,2 triệu đồng.

D. 162,3 triệu đồng.
Giải

Áp dụng công thức (IV): Tn =
M=

M=

Tn .r

(1 + r )[(1 + r ) n − 1]
T5 .0, 07

M
[(1 + r ) n − 1](1 + r ) suy ra:
r

.Thay số n = 5, T5 = 1000000000, r = 0, 07 ta có:

5

(1 + 0, 07)[(1 + 0, 07) − 1]

=

1000000000.0, 07
(1 + 0, 07)[(1 + 0, 07)5 − 1]

= 162514667, 7 đồng

Do đó ta chọn đáp án B.
Ví dụ 6(Trích đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Tiên Du 1 – Bắc Ninh).
Một sinh viên X trong thời gian học 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm
10 triệu đồng với lãi suất bằng 3%/năm(thủ tục vay một lần vào thời điểm đầu
năm học).Khi ra trường X thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng nhưng

phải chịu lãi suất 8%/ năm. Sau 1 năm thất nghiệp sinh viên X cũng tìm được
việc làm và bắt đầu trả nợ dần.Tính tổng số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong
4 năm đại học và 1 năm thất nghiệp?
A.46.538.667 đồng

B. 43.091.538 đồng

C. 48.621.980 đồng

D. 45.188.656 đồng
Giải

Nhận xét: Bài toán này khi tính tiền nợ 4 năm mà sinh viên X nợ ngân hàng
cũng tương tự như bài toán lãi kép gửi định kỳ nhưng ở đây ta hiểu là sinh viên
nợ ngân hàng trái với gửi tiết kiệm định kỳ.Ta có các bước giải như sau:
Bước 1: Tính số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong 4 năm đại học.
M
[(1 + r ) n − 1](1 + r ) , ở đây thay n =4 , M=10000000
r
10000000
4
đồng, r = 3% =0,03, ta có T4 = 0, 03 [(1 + 0, 03) − 1](1 + 0, 03) đồng

Áp dụng công thức (IV) Tn =

Bước 2: Tính tổng số tiền nợ của sinh viên X.

10

Vì sau khi ra trường lãi suất ngân hàng là 8% nên tổng số tiền nợ của sinh viên
X là : T4 (1 + 0, 08) =

10000000
[(1 + 0, 03) 4 − 1](1 + 0, 03)(1 + 0, 08) ≈ 46538667 đồng
0, 03

Do đó chọn đáp án A
2.3.1.3.Bài toán 3:Vay trả góp.
Một người cần vay số tiền là M,lãi suất r(%) hàng tháng,n là số tháng phải
trả,A là số tiền phải trả vào hàng tháng để sau n tháng là hết nợ. Hãy tính A.
Cách giải:
Số tiền gốc cuối tháng 1: M+ M.r – A = M(r+1) – A
Số tiền gốc cuối tháng 2:
[ M(r+1) – A]+ [ M(r+1) – A]r – A = M(r+1)2 – A[(r+1)+1]
Số tiền gốc cuối tháng 3:
[M(r+1)2 – A[(r+1)+1]](1+r) –A = M(r+1)3 – A[(r+1)2+(r+1)+1]
.......
Số tiền gốc cuối tháng n: M(r+1)n – A[(r+1)n-1+(r+1)n-2+....+(r+1)+1]
Trả hết nợ sau n tháng,số tiền sẽ bằng 0 do đó:
M(r+1)n – A[(r+1)n-1+(r+1)n-2+....+(r+1)+1] = 0
Đặt x = r + 1. Ta có: Mxn =A(xn-1+xn-2 +....+ x + 1)
⇒ A=

Mx n
( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1)

Vậy A =

M (1+ r )n .r

(1+ r )n −1

=

Mxn ( x−1)
x n −1

=

M (1+ r )n .r
(1+ r )n −1

(V)

Trong đó M là số tiền cần vay ,r(%) là lãi suất hàng tháng,n là số tháng phải
trả,A là số tiền phải trả vào hàng tháng để sau n tháng là hết nợ.
Từ công thức
Và M =

M (1+ r )n .r
(V): A =
(1+ r )n −1

A[(1 + r )n − 1]
(1 + r ) n .r

suy ra n = log
(1+ r )

A

A
= A − Mr
A − Mr
ln(1 + r )
ln

( Va )

( Vb )

Ví dụ 7(Trích đề thi minh họa của Bộ Giáo dục & Đào tạo)
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông
muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày
vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng,
số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ
11


ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng
trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay
đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
100.(1, 01)3
A. m =
(triệu đồng).
3

C. m =

B. m =

100.1, 01
(triệu đồng).
3

(1, 01)3
(1, 01)3 − 1

D. m =

(triệu đồng) .

120.(1,12)3
(1,12)3 − 1

(triệu

đồng).

Giải
Ta áp dụng kết quả của bài toán 3:
Ta có lãi suất 12% / 1 năm tương ứng 1%/ tháng
Gọi M là số tiền gốc mà ông A vay, M = 100 triệu,lãi suất r = 1%/tháng,số tiền trả mỗi
lần là m. Số tháng trả n = 3. Thay A= m, M= 100 triệu, r= 0,01 và n = 3 vào công thức
(V):

M (1+ r )n .r
A=
(1+ r )n −1

m=

100(1+0,01)3.0,01
(1,01)3
=
(1+0,01)3 −1
(1,01)3 −1

ta có :

(triệu đồng) => chọn đáp án B

Ví dụ 8(Trích đề khảo sát lớp 12,sở Giáo dục & Đào tạo Thanh Hóa năm 2017)
Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa
thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng
tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu).Hỏi
sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng.
A. 21

B. 23

C. 22

D. 24

Giải
Áp dụng kết quả bài toán 3 ta thấy ở đây cho số tiền vay M = 100000000đồng,
lãi suất hàng tháng r=0,7% = 0,007 và số tiền hàng tháng A = 5000000 đồng,cần
tính số tháng n, ta chỉ cần thay vào công thức ( Va ):
n = log (1+ r )

A
=>
A − Mr

n = log (1+0,007)

5000000
≈ 21, 62
5000000 − 100000000.0, 007

Do đó số tháng để trả hết nợ là 22 tháng. Ta chọn đáp án C

12


2.3.2.Các bài tập liên quan đến môn vật lý,hóa học,sinh học và địa lý:
Bài 1 (Trích đề khảo sát lớp 12,sở Giáo dục & Đào tạo Thanh Hóa, tháng
4 năm 2017). Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi Ra 226 là 1062 năm
( tức là một lượng Ra 226 sau 1062 năm phân hủy thì chỉ còn một nửa).Sự phân
hủy được tính theo công thức S = A.ert ,trong đó A là lượng chất phóng xạ ban
đầu,r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy,S là lượng còn
lại sau thời gian phân hủy t.Hỏi 5 gam Ra 226 sau 4000 năm phân hủy còn lại bao
nhiêu gam(làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?
A. 0.886 (gam)
B. 1,023 (gam)
C. 0,795 (gam)
D.0,923 (gam)
Giải
1
2

Gọi T là chu kì bán rã, suy ra : A = A.er .T ⇒ r =

Do đó: S = 5.e

−

ln 2
.4000
T

− ln 2
.
T

4000

 1 1602
= 5.  ÷
≈ 0,886 (gam)
2

Ta chọn đáp án A.
Bài 2 (Bài tập 46 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao trang 97,NXB
Giáo dục Việt Nam năm 2012).Chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni Pu 239
là 24360 năm( tức là một lượng plutôni Pu 239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ
còn lại một nửa).Sự phân hủy được tính theo công thức S = A.ert ,trong đó A là
lượng chất phóng xạ ban đầu,r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian
phân hủy,S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu 239 sau bao
nhiêu năm phân hủy sẽ còn một gam?.

Giải
Bước 1: Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm của Pu 239 .
1

− ln 2

≈ −0, 000028.
Áp dụng công thức : S = A.ert ta có .10 = 10.er.24360 ⇒ r =
2
24360

Bước 2: Tính thời gian để 10 gam Pu 239 sẽ phân hủy còn một gam.
Thay S =1(gam),A =10(gam) ,r= −0, 000028 vào công thức S = A.ert ta có:
1 = 10.e −0.000028t ⇒ t =

− ln10
≈ 82235 (năm)
−0, 000028

Vậy sau khoảng 82235 năm thì 10 gam Pu 239 sẽ phân hủy còn một gam.
Bài 3. ( Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 475,tháng 1 năm 2017).
Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ
cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây bị chết thì hiện
13


tượng quang hợp của nó cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa.
Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp,chuyển hóa
thành nitơ 14. Gọi P(t) là số phần trăm các bon 14 còn lại trong bộ phận cây sinh
t

trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức P(t ) = 100.(0,5) 570 (%) .
Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ,người ta thấy lượng các
bon 14 còn lại trong gỗ là 65,21(%). Hãy xác định niên đại của công trình kiến
trúc đó.
A. 3574 năm.

B. 3754 năm

C. 3475 năm

D. 3547 năm.

Giải
t

Thay P(t) = 65 thay vào công thức P(t ) = 100.(0,5) 570 (%) ta có:
t
100.(0,5) 570

⇒

t
= 65 ⇔ (0,5) 570

t

t

65

1
65
100
=
⇔ ( ) 570 =
⇔ 2 570 =
100
2
100
65

t
100
100
= log 2 (
) ⇒ t = 5750 log 2 (
) ≈ 3574 ( năm) .Từ đó ta chọn đáp án A
5750
65
65

Bài 4. ( Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 476,tháng 2 năm 2017).
Người ta thả một lá vào một hồ nước.Giả sử sau t giờ,bèo sẽ sinh sôi kín mặt
hồ.Biết rằng sau mỗi giờ,lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và
tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín
A.

t
(giờ)
3

B.

10t
(giờ)
3

C. t − log 3 (giờ)

1
cái hồ.
3
t

D. log 3 (giờ)

Giải
Theo giả thiết sau t giờ có 10 lá bèo(số bèo phủ kín mặt hồ)
t

Gọi n (giờ) là thời gian để bèo phủ kín
Sau n giờ có 10n lá bèo( phủ kín

1
cái hồ.
3

1
hồ)
3

1
⇒ 10n = .10t ⇒ n = t − log 3. Ta chọn đáp án C.
3

Bài 5. (Trích đề thi thử nghiệm của Bộ giáo dục &Đào tạo năm 2017)
Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công
thức s(t) = s(0). 2t .Trong đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t) là số
14


lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625
nghìn con. Hỏi sau bao lâu,kể từ lúc ban đầu,số lượng vi khuẩn A là 10 triệu
con?
A. 48 phút

B.19 phút

C.7 phút

D. 12 phút

Giải
Theo giả thiết ta có: 625000 = s(0). 23 ⇒ s (0) = 78125
Khi số vi khuẩn là 10 triệu con thì: 107 = s (0).2t ⇒ 2t = 128 ⇒ t = 7 .
Ta chọn đáp án C
Bài 6. Theo số liệu của tổng cục thống kê,dân số Việt Nam năm 2016 là
94104871 người.Tỷ lệ tăng dân số hằng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức
1,07%. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức: S = A.e Nr (trong đó A là
dân số của năm lấy mốc tính,S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hằng

năm).Với tốc độ tăng dân số như vậy thì vào năm 2030 dân số của nước ta là
bao nhiêu?
A. 110971355 người

B. 109312397 người

C. 108118331 người

D. 109225445 người.
Giải

Thay A = 94104871 ,r = 0,0107, N = 2030 - 2016 = 14 vào công thức S = A.e Nr
ta có dân số Việt Nam năm 2030 là: 94104871. e14.0,0107 ≈ 109312397 (người)
Ta chọn đáp án B.
Bài 7. (Trích đề thi thử chuyên Đại học Vinh lần 2 năm 2017)
Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên
nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên.Theo OECO
(Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới),
khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh
tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất
tăng thêm 2o C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi
nhiệt độ trái đất tăng thêm 5o C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu
giảm 10%. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm to C, tồng
giá trị kinh tế toàn cầu giảm f(t)% thì f(t) = k.at (trong đó a, k là

15


các hằng số dương).Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C
thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ?

A. 9,3oC

B. 7,6oC

C. 6,7oC

D. 8,4oC

Giải

Theo đề bài ta có:

 ka 2 = 3%
3%
(1) . Ta cần tìm t thỏa mãn k.at = 20%. Từ (1) ⇒ k = 2 và
 5
a
 ka = 10%
a=3
⇒

10
3

3%
a

2

Khi

.at = 20% ⇒ at −2 =

k.at

đó:

=

20%

20
20
⇒ t = 2 + log 10
⇒ t ≈ 6, 7 .Do đó ta chọn đáp án
3
3
3
3

C.
Bài 8. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được
cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm
tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng,
khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công
thức M (t ) = 75 − 20 ln(t + 1), t ≥ 0 (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì
nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 15% ?
A. 19,09 tháng

B. 20,05 tháng

C. 21 tháng

D. 22 tháng

Giải
Theo công thức đã cho ở đề bài thì ta cần tìm t thỏa mãn
75 − 20 ln(t + 1) ≤ 15 ⇔ ln(t + 1) ≥ 3 ⇔ t ≥ 19, 09 . Do đó ta chọn đáp án A.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2015-2016 và tiếp tục hoàn thiện
vào năm học 2016-2017. Kết quả thu được là rất khả quan. Sau đây là kết quả
kiểm nghiệm:
Năm học 2015-2016 (Kiểm nghiệm ở lớp 12A3):
Kết quả
Tổng số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
học sinh
SL % SL %
SL
%
Trước khi áp
dụng SK

48

01

2.1

07

14.6

17

35.4

Yếu, kém
SL
%
23

47.9
16


Sau khi áp
dụng SK

48

09

18.7
5
24

50.0

9

18.75

Năm học 2016-2017(Kiểm nghiệm ở lớp 12B2):
Kết quả
Tổng số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
học sinh
SL % SL %
SL
%
Trước khi áp
dụng SK
Sau khi áp
dụng SK

6

12.5

Yếu, kém
SL
%

43

2

4.6

9

20.9

21

49

11

25.5

43

13

30.2

24

55,9

4

9.3

2

4.6

Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy rằng đa số học sinh rất hào
hứng với các bài toán thực tế mà tôi đã trình bày ở trên. Các em cảm thấy tự tin
hơn khi giải các bài toán thực tế ở trong các đề thi khảo sát của trường và của Sở
giáo dục và Đào tạo.Ngoài ra các em không ngừng sưu tầm các bài toán thực tế
khác trên Internet để làm phong phú thêm kiếm thức của mình để tự tin khi dự
thi THPT quốc gia và tự tin bước vào thị trường lao động sản xuất sau khi các
em tốt nghiệp THPT.
Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi đã được giáo viên trong tổ đánh giá
cao và các đồng nghiệp hưởng ứng cùng áp dụng trong phạm vi tổ. Qua đó đã
đóng góp một phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu quả giáo dục của trường
THPT Tĩnh Gia 3.
III.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Việc vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán
thực tế đã thể hiện được cho học sinh thấy khả năng ứng dụng toán học vào
cuộc sống thực tiễn và cũng là một mục tiêu xuyên suốt, một nhiệm vụ quan
trọng trong dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông. Dạy học môn toán ở nhà
trường phổ thông rất cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp
toán học vào những môn học khác trong nhà trường. Thông qua môn toán để
hiểu rõ bài học môn học khác và ngược lại thông qua môn khác để yêu thích và
hứng thú học toán hơn.
Ngoài ra còn được vận dụng giải thích các sự việc trong cuộc sống thông
qua những hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường

như nhà máy ngoài ruộng đồng vv… Để tìm lời giải, đối chiếu với thực tiễn để
kiểm tra và điều chỉnh. Việc tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực
tiễn vào dạy học môn toán dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luôn muốn ứng
dụng tri thức và phương pháp toán học để giải thích, phê phán và giải quyết
những sự việc xảy ra trong cuộc sống.
17


3.2.Kiến nghị
Cần coi trọng và cần thiết phải tìm ra những biện pháp tích cực hơn, hiệu
quả hơn nữa ngay từ khi học sinh còn ngồi trên nghế nhà trường, cụ thể ở ngay
từ trong các bài mà học sinh được học cần lồng và tăng cường làm đậm nét hơn
nữa mạch ứng dụng toán học và toán học ứng dụng. Qua đó không những học
sinh được củng cố các kiến thức đã học mà quan trọng hơn là hình thành rèn
luyện cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng tư duy, suy
luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống tương lai của mỗi người và
góp phần cho đất nước thêm phồn vinh.
Qua nghiên cứu và áp “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải
một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường
THPT Tĩnh Gia 3’’ tôi thu được hiệu quả nhất định, để học tập môn toán của
các em có kết quả cao hơn và kiến thức vững hơn. Tôi kính mong đồng nghiệp
và hội đồng khoa học của trường THPT Tĩnh Gia 3 cũng như hội đồng khoa học
của Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài của tôi
hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng
học sinh.
Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các cấp
tôi xin chân thành cảm ơn nhiều. Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe,
hạnh phúc, thành đạt.

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi minh họa,thử nghiệm và đề thi tham khảo của Bộ giáo dục & đào
tạo năm 2017.
2.Nguyễn Văn Xá (2017).Thử sức trước kỳ thi.Tạp chí toán học và tuổi trẻ,
475,7-10.
3.Đặng Thị Quỳnh Hoa (2017).Thử sức trước kỳ thi.Tạp chí toán học và tuổi
trẻ, 476, 28-31.
4. Đề khảo sát lớp 12,sở Giáo dục & Đào tạo Thanh Hóa, tháng 4 năm 2017.
5.Đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Yên Hòa – Hà Nội.
6.Đề thi thử THPT quốc gia, trường THPT Tiên Du 1 – Bắc Ninh.
7. Đề thi thử THPT quốc gia chuyên Đại học Vinh lần 2 năm 2017.
8.Trần Văn Hạo và Vũ Tuấn(2009).Sách giáo khoa Giải tích 12,Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam,Hà Nội.
9.Đoàn Quỳnh và Nguyễn Huy Đoan(2012).Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng
cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,Hà Nội.
10. UNESCO />
19


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 04 năm
2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Vi Thanh Hoàng

20