Chuyên Đề Hàm sinh và Ứng dụng Toán rời rạc

Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

Hàm Sinh và Ứng Dụng
Mục lục
1 Tổng quan về hàm sinh
1.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Các phép toán đối với hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.1

Phép cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3.2

Nhân với hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.3

Tích 2 hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.4

Phép dịch phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3.5

Phép dịch trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.6

Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Một số đẳng thức thường dùng liên quan đến hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4
2

2

Ừng dụng của Hàm sinh giải các bài toán

4

2.1

Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Tìm cơng thức tổng qt của dãy truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1


Hàm sinh và Ứng dụng

1

Ngô Văn Thành 20200591

Tổng quan về hàm sinh

1.1

Giới thiệu

Trong toán học, hàm sinh là một cách mã hóa một dãy số vơ hạn {an } bằng cách coi chúng như các hệ số
của một chuỗi lũy thừa chính thức. Chuỗi này được gọi là hàm sinh của chuỗi. Không giống như một chuỗi
thông thường, chuỗi lũy thừa chính thức khơng bắt buộc phải hội tụ : trên thực tế, hàm sinh không thực
sự được coi là một hàm , và "biến" vẫn là một giá trị không xác định . Các hàm tạo lần đầu tiên được giới
thiệu bởi Abraham de Moivrevào năm 1730, để giải quyết vấn đề tái diễn tuyến tính tổng quát.
Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (Công
thức Taylor), chuyển các bài toán về dãy số thành những bài toán về hàm số. Đây là phương pháp mạnh để
giải các bài tốn về dãy số mà đơi khi ta hồn tồn bó tay với các phương pháp khác.
Ý tưởng phương pháp hàm sinh: Giả sử ta cần tìm cơng thức tổng quát của dãy số {an } nào đó. Từ
∞

ai xi của dãy số. Và từ đó hệ số ai của xi trong khai

cơng thức truy hồi ta tìm được hàm sinh là f (x) =
i=0

triển f (x) thành chuỗi lũy thừa chính là số hạng thứ i của dãy {an }.

1.2

Định nghĩa

Định nghĩa: Hàm sinh của dãy số thực a0 , a1 , a2 , ...an , ... là hàm số được xác định bởi:
G(x) = a0 + a1 x1 + a2 x22 + ... + an xnn ...
Ta nói hàm G(x) mang đầy đủ thông tin về dãy (an ), hệ số của xn chính là số hạng an của dãy.
Nếu dãy là hữu hạn: a0 , a1 , a2 , ...am , ... thì các hệ số từ am+1 sẽ bằng 0. Hàm sinh lúc đó sẽ trờ thành đa
thức bậc m.
Ví dụ:
n
k

• Hàm G(x) = (1 + x)n là hàm sinh của dãy số ak =
n

G(x) = (1 + x)n =
k=0

• Hàm

n
n
n n
+
x + ... +
x
0
1
n

1

là hàm sinh của {1, 2, 3, 4...} vì:
(1 − x)2
1
=
1 − ax

1.3

n k
x =
k

vì:

∞

(k + 1)xk = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ....
k=0

Các phép toán đối với hàm sinh

F (x) và G(x) lần lượt là hàm sinh của 2 dãy {an } và {bn }

1.3.1

Phép cộng
∞

∞

ak xk ±

F (x) ± G(x) =
k=0

∞

bk x k =
k=0

(ak ± bk )xk
k=0

Như vậy F (x) + G(x) là hàm sinh của dãy {an + bn } ⇒ ta có phép cộng hàm sinh
1
1
Ví dụ 1: F (x) =
,G(x) =
là hai hàm sinh của dãy {1, 1, 1, 1, ...} và {1, 2, 3, 4, ...}
1−x
(1 − x)2

2


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

∞

∞
k

F (x) + G(x) =

x +
k=0

∞
k

(k + 2)xk = 2 + 3x + 4x2 + 5x3 + ...

(k + 1)x =
k=0

k=0

Là hàm sinh của dãy {2, 3, 4, 5, ...}
1.3.2

Nhân với hằng số

Cho dãy a0 , a1 , a2 , ... và hàm G(x) là hàm sinh của dãy số trên.
Hàm CF(x)=

∞
k=0

Cak xk (với C là hằng số) là hàm sinh của dãy Ca0 , Ca1 , Ca2 , ... ⇒ Ta có Phép nhân

với hằng số
Ví dụ 2: Dãy {1, 2, 3, 4, ...} có hàm sinh F (x) =

1
.
(1 − x)2

Ta có:
∞

(k + 1)xk

2G(x) = 2

k=0

= 2(1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...)
= 2 + 4x + 6x2 + 8x3 + ...

là hàm sinh của dãy {2, 4, 6, 8, ...}
1.3.3

Tích 2 hàm sinh

Đặt C(x) = F (x) · G(x). Khai triển tích:
∞

∞

ak xk )(

C(x) = F (x) · G(x) = (
k=0

k=0

∞

bk xk ) =

k

(

ai bk−i )xk

k=0 i=0

⇒ Ta được tích 2 hàm sinh hay cịn gọi là phép chập.
Khi đó hệ số của xn trong khai triển C(x) là: a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + ... + an−2 b2 + an−1 b1 + an b0
Chú ý : Trong các bài toán ứng dụng hàm sinh, chúng ta rất hay sử dụng công thức trên.
∞

an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + ... là hàm sinh của {an }

Ví dụ 3: f (x) =
n=0

∞

1
Ta biết:
= 1 + x + x2 + ... =
xn
1−x
n=0
∞

Do đó. f (x)

∞

1
=
an xn
xn =
1 − x n=0
n=0

∞

n

(

ai )xk = a0 + (a0 + a1 )x + (a0 + a1 + a2 )x2 + ...

k=0 i=0

n

1
là hàm sinh của dãy {
ai }
Vậy f (x)
1−x
i=0
1.3.4

Phép dịch phải

Ta có: xk .F (x) = a0 xk + a1 xk+1 + a2 xk+2 + ...
Là hàm sinh của dãy {0, 0, 0...0, 0, a1 , a2 , a3 , ...an } ⇒ Ta có Phép dịch phải.
k

Ví dụ 4:
xk
= xk (1 + x + x2 + x3 + ...) = xk + xk+1 + xk+2 + xk+3 + ...
1−x
Là hàm sinh của dãy {0, 0, 0...0, 0, 1, 1, 1, ...1}
k

• Với f (x) là hàm sinh của dãy (an ) Ta được:

3


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

f (αx) là hàm sinh của dãy {a0 , αa1 , α2 a2 , ...}
f (xn ) là hàm sinh của dãy {a0 , 0, 0.., 0, a1 , 0, 0.., 0, a2 ...}
n−1

1.3.5

n−1

Phép dịch trái

Nếu f (x) là hàm sinh của dãy {an } thì
f (x) − a0 − a1 x − ... − ak−1 xk−1
g(x) =
với k>0 là hàm sinh của dãy {an+k } ⇒ Ta có Phép dịch trái.
xk
1.3.6

Đạo hàm
∞

an xn là hàm sinh của dãy {a0 , a1 , a2 , ...} thì:

Nếu f (x) =
∞

n=0

nan xn−1 là hàm sinh của dãy {a1 , 2a2 , 3a3 , ...}

f (x) =
n=1

Ví dụ 5: f (x) =

1
= 1 + x + x2 + x3 + ...
1−x
∞

f (x) =

1
= 1 + 2x + 3x2 + ... =
(n + 1)xn
(1 − x)2
n=0

là hàm sinh của dãy {1,2,3,..}.

1.4

Một số đẳng thức thường dùng liên quan đến hàm sinh
∞

1
1−x

xn

1 + x + x2 + x3 + ... =

n=0
∞

1
1 − ax

2 2

an xn

3 3

1 + ax + a x + a x + ... =
n=0

∞

1
1+x

(−1)n xn

1 − x + x2 − x3 + ... =
n=0

1
1 − xk

k

1+x +x

2k

+x

3k

∞

1
1 + xk

1 − xk + x2k − x3k + ... =

1
(1 − x)2

1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... =

xnk
n=0

(−1)n xnk
n=0
∞

∞

1
(1 − ax)2

2 2

1 + 2ax + 3a x + ... =

(n + 1)xn
n=0

(n + 1)an xn
n=0

n
n 2
n 3
1+
x+
x +
x + ... =
1
2
3

n

(1 + x)

1
(1 − x)n

∞

+ ... =

n

i=0

n i
x
i

x2
xn
1 + nx + n(n + 1) + ... + n(n + 1)...(n + k − 1) ! = ... =
2!
n
∞

ex

∞

k=0

n+k−1 k
x

k

x
x2
x3
xn
1+ +
+
+ ... =
1!
2!
3!
n!
n=0

2

Ừng dụng của Hàm sinh giải các bài toán

2.1

Bài toán đếm

Để giải 1 bài toán đếm bằng phương pháp hàm sinh, điều quan trọng nhất trước hết là làm thế nào để xây
dựng hàm sinh sao cho đúng. Hàm sinh có thể được áp dụng trong các bài toán đếm, các bài toán chọn các
4


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

phần tử từ một tập hợp thông thường sẽ dẫn đến hàm sinh. khi hàm sinh được áo dụng theo cách này, hệ
số của xn chính là số cách chọn n phần tử.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách chọn k phần tử phân biệt từ tập hợp có n (n>k) phần tử.

Bằng cơng thức tổ hợp ta có đáp án ngay là:

n
. nhung ta sẽ giải quyết bằng phương pháp hàm sinh. •
k

Xét 1 tập hợp gồm có 1 phần tử là {a1 } Ta có:
Số phần tử được chọn

Số cách chọn

0

1

1

1

≥2

0

⇒ Hàm sinh cho số cách chọn k phần tử từ tập hợp có 1 phần tử {a1 } là hàm sinh của dãy {1, 1, 0, 0, ..} là

G(x) = 1 + x
• Xét 1 tập hợp gồm có 2 phần tử là {a1 , a2 } Ta có:
Số phần tử được chọn

Số cách chọn

0

1

1

2

2

1

≥3

0

⇒ Hàm sinh cho số cách chọn k phần tử từ tập hợp có 2 phần tử {a1 , a2 } là hàm sinh của dãy
{1, 2, 1, 0, 0...} là G(x) = 1 + 2x + x2 = (1 + x)2 ) = (1 + x)(1 + x)
• Tiếp túc áp dụng cho các tập hợp hồm 3 phần tử, 4 phần tử,.....Ta được Hàm sinh cho số cách chọn các
phần tử từ tập hợp có n phần tử là:
(1 + x)(1 + x)(1 + x)...(1 + x) = (1 + x)n

(∗)

Số cách chọn ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử chính là hệ số của xk trong khai triển hàm (*)
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn ra n phần tử từ tập hợp gồm có k phần tử (n>k). Trong đó mỗi phần
tử có thể được chọn nhiều lần
Chia tập hợp k phần tử thành k phần tử con {ai } sao cho mỗi tập hợp con có 1 phần tử duy nhất và
không trùng nhau. Với mỗi tập hợp {ai } ta có:
Số phần tử

Số cách chọn

0

1

1

1

2

1

...

...

n

1

⇒ Hàm sinh cho số cách chọn (có lặp) từ tập hợp có 1 phần tử {ai } là hàm sinh của dãy {1, 1, 1...} là

1
G(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... =
1−x
Vậy hàm sinh cho số cách chọn (có lặp) từ k tập hợp có 1 phần tử {ai } là:
1
1
1
1
...
=
1−x1−x 1−x
(1 − x)k

5

(∗)


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

Hệ số của xn trong hàm (*) chính là số cách chọn n phần tử (có lặp) từ tập hợp gồm k phần tử. Khai triển
hàm (*):
∞

1
k(k + 1) 2 k(k + 1)(k + 2) 3
1
n

=
= 1 + kx +
x +
x + ... =
Cn+k−1
xn
k
k
(1 − x)
(1 − x)
2!
3!
n=0
n
Hệ số của xn : Cn+k−1

Bài 1:(Bài tốn chia kẹo Euler): Có bao nhiêu cách chia 12 cái kẹo cho 3 bạn Linh, Thanh, Hoa, sao cho
Linh phải có ít nhất 4 cái, Thanh và Hoa đều có ít nhất 2 cái, riêng Hoa khơng được nhiều hơn 5 cái.
Bài giải
Hàm sinh cho số cạch chọn kẹo cho Linh là:
Số kẹo

Số cách chọn

0

0

1

0

...

...

3

0

4

1

≥4

1

Và số kẹo của linh khơng được q 8 cái vì Thanh và Hoa mỗi người đếu có ít nhất 2 cái. Vậy hàm sinh cho
số cách chọn kẹo của Linh là:
A(x) = x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = x4 (1 + x + x2 + x3 + x4 ) = x4

1 − x5
1−x

Tương tự ta có số cách chọn kẹo của Thanh và Hoa lần lượt là:
B(x) = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = x2 (1 + x + x2 + x3 + x4 ) = x2
C(x) = x2 + x3 + x4 + x5 = x2 (1 + x + x2 + x3 ) = x2

1 − x5

1−x

1 − x4
1−x

Vậy hàm sinh cho số cách chia 12 cái kẹo thỏa mãn đề bài là:
G(x) = A(x)B(x)C(x)
1 − x5 2 1 − x5 2 1 − x4
.x
.x
1−x
1−x
1−x
x8 (1 − x5 )2 (1 − x4 )
=
(1 − x)3
= x4

= x8 .(1 − 2x5 + x10 )(1 − x4 )

1
(1 − x)3
∞

= x8 .(1 − 2x5 + x10 )(1 − x4 )

i
Ci+2
xi
i=0

Ta cần tìm hệ số của x12 trong khai triển hàm G(x).
G(x) = ....x8 .1. − x4 .

2 0
6 4
6
x + x8 .1.1.
x + ... = ... + x12 −1 +
0
4
4

+ ...

6
=14
4
⇒ Có 14 cách chia 12 cái kẹo cho 3 bạn Linh, Thanh, Hoa thỏa mãn đề bài.
Vậy hệ số của x12 trong khai triển G(x) là: −1 +

Bài 2: Có bao nhiêu cách chia 12 cái kẹo khác nhau cho 3 người.Sao cho mỗi người đều có ít nhất 1 cái.
Tổng qt có bao nhiêu cách phân phối n đồ vật vào trong k cái hộp sao không hộp nào rỗng.

6


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

Bài giải:
Nhận xét:Nếu như ở bài 1, thì hàm sinh cho số cách phân phối đồ sẽ là f (x) = x + x2 + ....+ và hệ số của
xn là an là số cách phân phối cho n đồ vật. Nhưng ở bài tập này, số đồ vật là khác nhau, n đồ vật sẽ có n!
hốn vị nên số cách phân phối cho n đồ vật khác nhau phải nhân thêm với n!
x2
x3
Vậy hàm sinh cho cách phân phối n đồ vật vào k hộp là: G(x) = x +
+
+ ....
2!
3!
xn
Ta cần tìm hệ số của
n!

k

.

G(x) = (ex + (−1))k
k

=
i=0

k
(−1)i (ex )k−i
i

=

k
k
k
k
(−1)0 ekx +
(−1)1 e(k−1)x +
(−1)2 e(k−2)x + ... +
(−1)k e0x
0
1
2
k

=

k
k n xn
(k − 1)n xn
(k − 2)n xn
k
k
k
(−1)0
+
(−1)1
+
(−1)2
+ ... +

(−1)k
0
n!
1
n!
2
n!
k
n=0
n=0
n=0

∞

∞

xn
n!
n=0

=

xn
n!
n=0

Vậy hệ số của

∞

k
k
k
k
(−1)0 (k − 0)n +
(−1)1 (k − 1)n +
(−1)2 (k − 2)n + ... +
(−1)k (k − k)n
0
1
2
k

∞

=

∞

k

i=0

xn
là
n!

k
(−1)i (k − i)n
i

k

i=0

(00 = 1)

k
(−1)i (k − i)n . Là số cách phân phối n đồ vật vào k chiếc hộp sao cho
i

khơng có hộp nào rỗng.
Thay số cho n=12, k=3. Ta có số cách phân phối là: 519156 cách.
Bài 3: Có bao nhiêu cách để đồi tờ tiền n đô ra các tờ tiền 1 đô, 2 đô, 5 đơ. Sao cho khơng có q 4 tờ
1 đơ. Thay số với n=7 và n=8
Bài giải :
Hàm sinh cho số tiền được đổi ra từ tờ tiền 1 đô là:
A(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 =

1 − x5
1−x

Hàm sinh cho số tiền được đổi ra từ tờ tiền 2 đô là:
B(x) = 1 + x2 + x4 + .... =

1
1 − x2

Hàm sinh cho số tiền được đổi ra từ tờ tiền 5 đô là:
C(x) = 1 + x5 + x10 + ... =

1
1 − x5

Hàm sinh cho số tiền n đô được đổi ra các tờ tiền 1 đô, 2 đô, 5 đô thỏa mãn đề bài là:
1 − x5 1
1
1
=
G(x) = A(x)B(x)C(x) =
1 − x 1 − x2 1 − x5
(1 − x)(1 − x2 )
∞

∞

x2k .

G(x) =
k=0

xi
i=0

n
xn = x2k+i ⇒ n = 2k + i ⇒ 2k ≤ n hay k ≤ .
2
n
Vậy hệ số của xn là k + 1 với k ∈ N, k ≤
2
Áp dụng với n=7 và n=8. Ta có số cách chọn đều là 5.

7


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

Bài 4: Vào dịp năm mới Thành được người thân mừng tuổi tổng cộng 30 tờ tiền. Hỏi có bao nhiêu cách
phân phối 30 tờ tiền đó vào 5 cái bao lì xì. Sao cho, 2 bao lì xì đầu có số tờ tiền chẵn và khơng có q
10 tờ , số tiền trong 3 bao lì xì cịn lại có 4 hoặc 5 tờ, khơng có bao lì xì nào rỗng.
Bài giải:
Hàm sinh cho số tờ tiền trong 2 bao lì xì đầu là:
A(x) = x2 + x4 + x6 + x8 + x10

2

= x2 (1 + x2 + x4 + x6 + x8 )

2

1 − x10
1 − x2

= x4

2

Hàm sinh cho số tờ tiền trong 3 bao lì xì cịn lại là:
B(x) = x4 + x5

3

1 − x2
1−x

3

= x12 (1 + x) = x12

3

Số cách chia 30 tờ tiền vào 5 bao lì xì là hệ số của x30 trong khai triền A(x)B(x)
2

3

1 − x10
1 − x2
x12
2
1−x
1−x
10
20
(1 − 2x + x ) (1 − x2 )3
= x16
(1 − x2 )2
(1 − x)3
(1 − 2x10 + x20 )(1 − x2 )
= x16

(1 − x)3

A(x)B(x) = x4

∞

= x16 (1 − 2x10 + x20 )(1 − x2 )
k=0

k+2 k
x
k

Ta cần xác định hệ số của x30 ; x30 có thể được tạo thành từ:
14 + 2 14
16 30
•x16 .1.1.
x =
x
14
14
12 + 2 12
14 30
•x16 .1.(−x2 ).
x =−
x
12
12
4+2 4
6 30

•x16 .(−2x10 ).1.
x = −2.
x
4
4
2+2 2
4 30
•x16 .(−2x10 ).(−x2 ).
x = 2.
x
2
2
16
14
6
4
Vậy hệ số của x30 là:
−
− 2.
+ 2.
= 11
14
12
4
2
Bài 5: Có bao nhiêu cách sưu tầm 20 cái bút từ 4 bạn nam và 6 bạn nữ. Biết rằng mỗi người có ít nhất
1 cái, mỗi bạn nam có nhiều nhất 4 cái, mỗi bạn nữ có nhiều nhất 7 cái.
Bài giải:
Hàm sinh cho số cái bút được chọn ra từ 4 bạn nam là:
A(x) = (x + x2 + x3 + x4 )4 = x4 (1 + x + x2 + x3 )

4

= x4

1 − x4
1−x

4

Hàm sinh cho số cái bút được chọn ra từ 6 bạn nữ là:
B(x) = (x + x2 + x3 + x4 + x5 + x7 )6 = x6 (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 )
Số cách chọn 20 cái bút chính là hệ số của x20 trong khai triển A(x)B(x)

8

6

= x6

1 − x7
1−x

6


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

4

1 − x4
1 − x7
x6
1−x
1−x
4 4
(1 − x ) (1 − x7 )6
= x10
(1 − x)10

6

A(x)B(x) = x4

4

= x10
k=0

4
k

6

−x4

k
n=0

∞

6
i+9 i
(−x7 )n
x
n
i
i=0

Ta cần xác định hệ số của x20 ; x20 có thể được tạo thành từ:
10 + 9 10
19 20
•x10 .1.1.
x =
x
10
10
6
3+9 3
6 12 20
•x10 .1.
− x7 .
x =−
x
1
3
1
3

4
6+9 6
4 15 20
•x10 .
− x4 .1.
x =−
x
1
6
1
6
4 8
2+9 2
4 11 20
•x10 .
x .1.
x =
x
2
2
2
2
19
6 12
4 15
4 11
Vậy hệ số của x20 là:
−
−
+

10
1
3
1
6
2
2

= 71368

Bài 6 : Phương trình:
a + b + c + d = 18
Có bao nhiêu nghiệm ngun khơng âm X = {a, b, c, d} sao cho b ≥ 3, c ≥ 4, d ≥ 5
Bài giải:
Xét Hàm sinh:
A(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... =

1
1−x

x3
1−x
x4
4
5
6
C(x) = x + x + x + ... =
1−x
x5
5

6
7
D(x) = x + x + x + ... =
1−x
Số nghiệm X thỏa mãn điều kiện đề bài chính bằng hệ số của x18 trong khai triển A(x)B(x)C(x)D(x)
B(x) = x3 + x4 + x5 + ... =

A(x)B(x)C(x)D(x) =

1
x3
x4
x5
x12
=
= x12 [1 + (−x)]4 = x12
1−x1−x1−x1−x
(1 − x)4
∞

= x12
k=0

Lấy k=6, hệ số của x18 là:

k+3
k

∞

k=0

−4
(−x)k
k

k+3 k
x (−1)2k
k
=

9
6

= 84.

Bài 7: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: a + b + c + d = 20 với 1 ≤ a ≤ 4; 3 ≤ b, c, d ≤ 8

Bài giải:

9


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

Hàm sinh cho số nghiệm của phương trình là:
F (x) = (x + x2 + x3 + x4 )(x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 )3
1 − x4 9 (1 − x6 )3

x
1−x
(1 − x)3
(1 − x4 )(1 − x6 )3
= x10
(1 − x)4
=x

3

= x10 (1 − x4 )
k=0

∞

3
n+3 n
(−x6 )k
x
k
n
n=0

Ta cần tìm hệ số của x20 ;x20 có thể được tạo thành từ:
13 10
13 20
•x10 .1.1.
x =
x
10

10
3 6 7 4
3
7 20
•x10 .1. −
x .
x =−
.
x
1
4
1
4
9 6
9 20
•x10 . − x4 .1.
x =−
x
6
6
3 6
3 20
•x10 . − x4 . −
x .1 =
x
1
1
13
3
7

9
3
Vậy hệ số của x20 là:
−
.
−
+
= 100
10
1
4
6
1

2.2

Tìm cơng thức tổng quát của dãy truy hồi


 a0 = 0
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định:
a
n+1 = 2an + 1, n ≥ 1

. Tìm an

Bài giải :
Giả sử: f (x) là hàm sinh của dãy {an } ⇒ f (x) ↔ {0, 2a0 + 1, 2a1 + 1, ...}
1
, và: {2a0 , 2a1 , 2a2 , ...} ↔ 2f (x). Bằng phép dịch phải:

Ta có:{1, 1, 1, ...} ↔
1−x
x
↔ {0, 1, 1, 1, ...}
1−x
2xf (x) ↔ {0, 2a0 , 2a1 , 2a2 , ...}
x
Bằng phép cộng ta được: 2xf (x) +
↔ {0, 2a0 + 1, 2a1 + 1, 2a2 + 1, ...}
1−x
x
x
⇒ 2xf (x) +
= f (x) ⇒ f (x) =
.
1−x
(1 − x)(1 − 2x)
Bây giờ ta cần khai triển f (x) thành chuỗi lũy thừa.
x
2
1
f (x) =
= x(
−
)
(1 − x)(1 − 2x)
1 − 2x 1 − x
∞

f (x) = x(2

∞
n n

)2 x −
n=0

∞
n

x =
n=0

(2n+1 − 1)xn+1
n=0

Vậy số hạng tổng quát của dãy trên là an = 2n − 1

 a1 = 1
Ví dụ 2: Tìm an biết:
a
n+1 = an + an−1 + ... + a1 , n ≥ 2
Bài giải:

10

(1)
(2)

Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

Gọi f(x) là hàm sinh của dãy số cần tìm. Ta có:
f (x) = a1 x + a2 x2+ ... + an xn + ...
= a1 x + a1 x2 + (a1 + a2 )x3 + (a1 + a2 + a3 )x4 + ... + (a1 + a2 + ... + an−1 )xn + ...
= a1 (x + x2 + ... + xn + ...) + a2 (x3 + x4 + ... + xn + ..) + a3 (x4 + x5 + ... + xn + ..) + ...
= a1 x + a1 x(x + x2 + ....) + a2 x2 (x + x2 + ...) + ...
= x + (x + x2 + x3 + ...)(a1 x + a2 x2 + ...)
=x+(

1
xf (x)
x(1 − x)
− 1).f (x) = x +
⇒ f (x) =
1−x
1−x
1 − 2x
∞

∞
n n

Ta cần khai triển f (x) thành chuỗi: f (x) = x(1 − x)
∞

2 x =
n=0

∞

f (x) = (x + 2x2 ) +
2n xn+1 − x2 −
2n−1 xn+1 = x + x
n=2
n=2

 a1 = 1, a2 = 1
Vậy
 a = 2n−2 , n ≥ 3

∞
n n+1

2 x
2

2n xn+2

−

n=0
∞
2
n−1 n+1

n=0

x

n=2

n

Bài 1: Có bao nhiêu cách bước lên cầu thang gồm n bậc. Mỗi lần có thể bước lên 1 bậc hoặc 2 bậc. Thay
số với n=50 (dãy Fibonacci).
Bài giải:
Để lên bậc thang thứ n, ta có 2 cách sau:
Cách 1: Từ bậc thang thứ n-1 rồi bước thêm 1 bước 1 bậc
Cách 2: Từ bậc thang thứ n-2 rồi bước thêm 1 bước 2 bậc.
Vậy số cách lên đến bậc n = số cách lên bậc (n-1) + số cách lên bậc (n-2)
Gọi An là số cách bước lên bậc thang thứ n, ta có: Fn = An−1 + An−2 , A1 = 1, A2 = 2.
Là dãy Fibonacci.

 Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 3
 F = 0, F = 1
0

1

Số cách lên bậc n chính là số hạng thứ (n+1) của dãy. Giả sử G(x) là hàm sinh cho dãy {Fn }, ta có:
G(x) = F0 + F1 x + F2 x2 + F3 x3 + ...

(3)

−xG(x) = −F0 x − F1 x2 − F2 x3 − ...

(4)

−x2 G(x) = −F0 x2 − F1 x3 − F2 x4

(5)

Cộng từng về của ba đẳng thức (1), (2) và (3) cho nhau ta được:
(1 − x − x2 )G(x) = F0 + (F1 − F0 )x + (F2 − F1 − F0 )x2 + .... = x
√
√
x
1
1
1
1+ 5
1− 5
⇒ G(x) =
=√
−
với a1 =
, a2 =
1 − x − x2
2
2
5 1 − a1 x 1 − a2 x
1
G(x) = √
5

∞

∞

an1 xn −
n=0
∞

an2 xn
n=0

1
=√
(an1 − an2 ) xn
5 n=0
√ n
∞
1
1+ 5
√
=
−
2
5
n=0
11

√
1− 5
2

n

xn


Hàm sinh và Ứng dụng

Ngô Văn Thành 20200591

Vậy ta được:
1
Fn = √
5

√
1+ 5
2

Thay số với n=40 ta có F41 = 165580414

12

n

−

√
1− 5
2

n