CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH DÙNG TRONG MẠNG NEURAL

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

BÀI TẬP LỚN MÔN CHUYÊN ĐỀ
ĐỀ TÀI:

CHƯƠNG 6 : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH DÙNG
TRONG MẠNG NEURAL.

Giảng viên hướng dẫn
Học viên cao học
Lớp

: TS LÊ DŨNG
: ĐỖ XUÂN PHONG
HOÀNG VĂN SAO
THÂN VĂN TRƯỜNG
: KTTT1B

Hà Nội, tháng 02/2022


6. Các phép biến đổi tuyến tính dùng trong mạng Neural
Nội dung:
Các mục tiêu
Lý thuyết và các ví dụ:
- Các phép biến đổi tuyến tính
- Các biểu diễn bằng ma trận
- Biến đổi cơ sở
- Vector riêng và giá trị riêng

- Diagonalization
Tóm tắt các kết quả
Các vấn đề đã được giải quyết
Phần kết
Xem thêm
Bài tập
Mục tiêu:
Chương này sẽ tiếp tục cơng việc của chương 5 trong việc trình bày các cơ sở tốn
học cho việc phân tích các mạng Neural của chúng ta. Trong chương 5 chúng ta đã
xem xét lại các không gian vectơ; trong chương này chúng ta sẽ khám phá các phép
biến đổi tuyến tính khi chúng ap dụng cho các mạng nơron.
Như chúng ta đã thấy trong các chương trước, việc nhân một véc tơ với một ma trận
trọng số là một trong những phép toán cơ bản được thực hiện bởi các mạng nơron.
Phép toán này là một phép biến đổi tuyến tính. Chúng ta sẽ tìm hiểu các phép biến
đổi tuyến tính nói chung và xác định các đặc điểm cơ bản của chúng. Các khái
niệm trong chương này, như giá trị riêng, vector riêng và biến đổi cơ bản, sẽ rất
quan trọng cho việc hiểu các chủ đề mạng neural như thế khi học thực thi (bao gồm
cả luật Widrow-Hoff và lan truyền ngược lại) và sự hội tụ mạng Hopfield.
Lý thuyết và các ví dụ:
Nhớ lại mạng Hopfield được thảo luận trong chương 3. (xem hình 6.1) đầu ra của
mạng được cập nhập một cách đồng bộ theo phương trình
a(t +l) = satlin(Wa(t) + b)
(6.1)
Chú ý rằng tại mỗi lặp lại đầu ra của mạng được nhân lại với một ma trận trọng số
W. Hiệu quả của phép phép toán lặp lại này là gì? Chúng ta có thể xác định được
đầu ra của mạng sẽ hội tụ tại một vài giá trị trạng thái ổn định, dẫn đến vô cùng, hay
là là dao động? Trong chương này chúng ta sẽ trình bày cơ sở để trả lời các câu hỏi
này, cùng với nhiều vấn đề khác về các mạng neural được mô tả trong cuốn sách
này.

Các phép biến đổi tuyến tính
Chúng ta bắt đầu vơi một vài định nghĩa chung
∗ Phép biến đổi tuyến tính
Một phép biến đổi tuyến tính gồm 3 phần
1. Một tập các thành phần X= { }, gọi là miền (domain),
2. Một tập các thành phần Y = { }, gọi là dải (range), và
3. Một quy tắc liên kết
với một thành phần
∗ Phép biến đổi tuyến tính: một phép biến đổi A được gọi là tuyến tính nếu:

1. Với mọi
2. Đối với mọi x ∈ X, a ∈ R, A(ax) = a A(x)
Quan sát, ví dụ, phép biến đổi nhận được bằng cách quay các vectơ trong miền
với một góc quay θ, như hình trên. Hai hình tiếp theo mơ tả rằng thuộc tính 1 được
thỏa mãn đối với việc quay. Chúng thể hiện rằng nếu ban muốn quay một tổng 2 véc
tơ, bạn cũng có thể quay từng véc tơ trước và sau đó mới cộng chúng. Hình thứ 4
mơ tả thuộc tính 2. Nếu bạn muốn quay một véc tơ đã vẽ theo tỉ lệ, bạn có thể quay
nó trước và sau đó vẽ nó theo tỷ lệ. Do đó phép quay là một phép tốn tuyến tính.
Các biểu diễn ma trận


Như chúng ta đã đề cập ở phần đầu của chương này, nhân ma trận là một ví dụ của
một phép biến đổi tuyến tính. Chúng ta cũng có thể thấy rằng bất kỳ một phép biến
đổi tuyến tinhs nào giữa hai khơng gian véc tơ có thể được biểu diễn bới một ma
trận ( như trong chương trước chúng ta đã trình bày rằng bất kỳ một véc tơ tổng
quát nào trong không gian véc tơ thứ nguyên hữu hạn có thể được biểu diễn bởi một
cột các số. Để thể hiện điều này chúng ta sẽ sử dụng phần lơnc các khái niệm trong
chương trước.
Cho {

} là một cơ sở của không gian véc tơ X, và {
} là
cơ sở của không gian véc tơ Y. Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ hai véc tơ x ∈ X
và y ∈Y
và
(6.2)
A là một phép biến đổi tuyến tính với X và Y (A: X → Y), t hì
A(x) = y
(6.3)
Có thể được viết

Vì A là một phép tốn tuyến tính, phương trình (6.4) có thể được viết

Vì các vector A( ) là các thành phần của Y, nên chúng có thể được viết như là các
tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở đối với Y:

(lưu ý rằng phép quay được dùng cho các hệ số của khai triển này,

, đã không

được chọn ngẫu nhiên). Nếu chúng ta thay phương trình (6.6) vào phương trình 6.5
chúng ta nhận được

Thứ tự của các tổng có thể được đảo ngược, để đưa ra

Phương trình này có thể được sắp xếp lại, để nhận được


Nhắc lại rằng vì

tạo ra một tập cơ sở nên chúng nhất thiết phải độc lập. Điều này

có nghĩa là mỗi hệ số nhân với
phương trình (5.4)), do đó

trong phương trình (6.9) phải bằng khơng (xem

Đây chỉ là phép nhân ma trận, như trong

Chúng ta có thể tổng kết các kết quả này như sau: đối với bất kỳ phép biến đổi
tuyến tính nào giữa hai khơng gian vector thứ nguyên hữu hạn có một biểu diễn ma
trận. Khi chúng ta nhân ma trận này với khai triển vector của vector “x”, chúng ta sẽ
nhận được khai triển vector của vector chuyển đổi “y”.
Luôn nhớ rằng biểu diễn ma trận không phải là duy nhất (chỉ là biểu diễn của một
vector tổng quát bởi một cột các số không phải là duy nhất – xem chương 5). Nếu
chúng ta thay đổi tập cơ sở đối với miền (domain) hoặc đối với dải (range), thì biểu
diễn ma trận cũng sẽ thay đổi. Chúng ta sẽ sử dụng lập luận này cho lợi thế của
chúng ta trong các chương sau.
Một ví dụ của một biểu diễn ma trận, xem xét phép biến đổi quay. Hãy tìm
một biểu diễn ma traan cho phép biến đổi này. Bước quan trọng được đưa ra trong
phương trình (6.6). Chúng ta phải biến đổi mỗi vector cơ sở cho miền (domain) và
sau đó khai triển nó ở dạng các vector cơ sở của dải (range). Trong ví dụ này
domain và range giống nhau (X=Y=R 2), để đơn giản chúng ta sẽ dùng cơ sở chuẩn
cho cả hai (
), như thể hiện trong hình bên cạnh.

Bước đầu tiên là bến đổi vector cơ sở đầu tiên và khai triển kết quả vector đã
chuyển dưới dạng các vector cơ sở. Nếu chúng ta quay s 1 ngược chiều kim đồng hồ
một góc θ chúng ta sẽ nhận được.

Như có thể thấy trong hình bên trái. Hai hệ số trong khai triển này tạo thành cột đầu
tiên của biểu diễn ma trận.
Bước tiếp theo là chuyển đổi vector cơ sở thứ hai. Nếu chúng ta quay s 2 ngược
chiều kim đồng hồ một góc θ chúng ta sẽ nhận được


Như được thấy trong hình bên trái phía dưới này. Từ khai triển này chúng ta nhận
được cột thứ 2 của ma biểu diễn ma trận. Biểu diễn ma trận đầy đủ do đó cho bởi:

Ta thấy rằng khi nhân một vector với ma trận phương trình (6.14), thì vector này
được quay một góc θ
Nói tóm lại, để nhận được biểu diễn ma trận của một phép biến đổi chúng ta sử
dụng phương trình (6.6). Chúng ta chuyển đổi mỗi vector cơ sở đối với miền
(domain) và khai triển nó dưới dạng các vector cơ sở đối với dải (range). Các hệ số
của mỗi khai triển tạo ra một cột của ma trận.
Để kiểm tra hình ảnh quá trình tạo một biểu diễn ma trận, dùng các phép biến đổi
tuyến tính biểu diễn thiết kế mạng neural
Biến đổi cơ sở
Chúng ta để ý từ phần trước mà biểu diễn ma trận của phép biến đổi tuyến tính
khơng phải là duy nhất. Biểu diễn sẽ phụ thuộc vào những tập cơ sở nào được sử
dụng cho domain và range của phép biến đổi đó. Trong phần này chũng ta sẽ thảo
luận một cách chính xác một biểu diễn ma trận thay đổi như thế nào khi các tập cơ
sở thay đổi.
Xem xét một chuyển đổi tuyến tính A: x → Y. Cho {
} là một cơ sở cho
không gian vector X và cho {
} là một cơ sở cho không gian vector Y.
Do đó, bất kỳ vectỏ x ϵ X có thể viết được

Và bất kỳ một vector y ϵY có thể viết được

Như thể nếu
Thì biểu diễn ma trận sẽ là:

A(x) = y

(6.17)

Hoặc
Ax = y.
(6.19)
Bây giờ giả sử là chúng ta sử dụng các tập cơ sở khác nhau cho X và Y. Cho tập {
} là một cơ sở mới cho X, và tập {
Với các cơ sở mới, vector x ∈ X được viết:

} là cơ sở mới cho Y.

và vector y ϵY được viết như sau:

Điều này dẫn tời một biểu diễn ma trận mới:

Hoặc
Mối liên hệ giữa A và

là gì? Để tìm ra, chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa hai tập

cơ sở. Đầu tiên, vì mỗi là một thành phần của X, chúng có thể khai triển dưới
dạng cơ sở ban đầu đối với X:

Tiếp theo, vì mỗi là một thành phần của Y, nên chúng có thể được khai triển dưới
dạng cơ sở ban đầu đối với Y:

Do đó, các vecotr có thể viết được như là các cột của các con số:


Định nghĩa một ma trận mà các cột của nó là
Sau đó chúng ta có thể viết phương trình (6.20) ở dạng ma trận:
Phương trình này biểu diên các mối quan hệ giữa hai biểu diễn khác nhau của
vector x. (lưu ý rằng điều này thực tế là giống với phương trình (5.43). Bạn có thể
muốn xem lại mơ tả các vector cơ sở tương hỗ của chúng ta trong chương 5.)
Bây giờ định nghĩa một ma trận mà các cột của nó là :
Điều này cho phép chúng ta viết phương trình (6.21) ở dạng ma trận,
mà nó sau đó biểu thị các mối liên hệ giữa cho hai biểu diễn khác nhau của vector y.
Bây giờ thay phương trình (6.28) và phương trình (6.30) vào phương trình (6.19):
Nếu chúng ta nhân cả hai vế của phương trình này với

chúng ta nhận được

Một so sánh giữa phương trình (6.32) và phương trình (6.32) suy ra phép tốn sau
đối với mộ chuyển đổi cơ sở:
Kết quả quan trọng này, mà nó mơ tả mối quan hệ giữa hai biểu diễn ma trận bất kỳ
của một biến đổi tuyến tính được đưa ra, được gọi là một phép chuyển đổi đồng
dạng (similarity transform) [Brog91]. Nó sẽ được dùng nhiều trong các chương sau.
Hóa ra là với việc chọn các vector cơ sở bên phải chúng ta có thể nhận được một
biểu diễn ma trận mà nó biểu lộ các đặc tính chủ yếu của phép chuyển đổi tuyến
tính nó biểu diễn. Điều này sẽ được mơ tả trong phần tiếp theo.
ví dụ như các bộ cơ sở dùng để biến đổi, ta hãy xem lại ví dụ quay vector của phần
trước. Trong phần đó một biểu diễn ma trận được trình bày bằng cách dùng tập có
sở chuẩn {

}. Và ta hay tìm một biểu diễn mới dùng cơ sở {
}, nó được thể
hiện trong hình bên cạnh. (chú ý rằng trong ví dụ này bộ cơ sở như nhau được dùng
cho cả hai main và range.)
Bước đầu tiên là khai triển
và dưới dạng bộ cơ sở chuẩn, như trong phương
trình (6.24) và phương trình (6.25). Bằng cách xem xét ký hính bên cạnh chúng ta
thấy rằng:


Theo đó chúng ta có thể viết

Bây giờ chúng ta có thể tạo ma trận
Và, bởi vì chúng ta đang dùng cùng bộ cơ sở cho cả domain và range của phép biến
đổi,
(6.38)
Bây giờ chúng ta có thể tính tốn biểu diễn ma trận mới từ phương trình (6.33):

(6.39)
Chọn, chẳng hạn, trường hợp mà θ = 30o.
Và
Để kiểm tra rằng các ma trận này là chính xác, ta hãy thử một vector kiểm tra
, nó tương ứng với
(lưu ý rằng vector được biểu diễn bởi x và
hai). Vector kiểm tra chuyển đổi sẽ là

là

một thành phần của tập cơ sở thứ

nó sẽ tương ứng với với
=
Chúng ta có thể kiểm tra để thấy được như thế nào nếu tương ứng với y? Cả hai
nên là những biểu diễn của cùng một vector, y, dưới dạng hai tập cơ sở khác nhau; y


dùng cho cơ sở {
} và
dùng cho cơ sở {
}. Trong chương 5 chúng ta
dùng các vector cơ sở tương hỗ để chuyển một biểu diễn thành một biểu diễn khác
(xem phương trình (5.43). Dùng khái niệm này chúng ta có

Điều này kiểm tra kết quả trước đó của chúng ta. Các vector được hiển thị trong
hình bên trái. Kiểm tra bằng hình ảnh thấy rằng hai biểu diễn, y và , đã đưa ra bởi
phương trình (6.43) và phương trình (6.44), là hợp lý.

Giá trị riêng và giá trị vecto
Trong phần cuối chúng ta sẽ thảo luận về giá trị riêng và giá trị vecto của các phép
biến đổi tuyến tính. Những giá trị này sẽ giúp chúng ta trả lời được những câu hỏi
quan trọng về hoạt động của mạng neural ví dụ như câu hỏi liên quan đến sự ổn
định của mạng Hopfield mà chúng ta đã đề cập ở đầu chương.
Trước hết ta định nghĩa như thế nào là giá trị riêng và giá trị vecto. Xét biến đổi
tuyến tính A: X --> X. Những vecto z ε X khác 0 và thỏa mãn

Trong đó z là giá trị vecto và λ là giá trị riêng. Chú ý rằng khái niệm giá trị vecto là
một không gian vecto vì nếu z thỏa mãn (6.46) thì az cũng thỏa mãn.
Do đó một giá trị vecto của một biến đổi cho trước đại diện cho một hướng mà bất
kỳ vecto nào theo hướng đó khi biến đổi sẽ tiếp tục chỉ về cùng một hướng nhưng
sẽ tỉ lệ theo giá trị riêng. Xét lại ví dụ về góc quay ở những phần trước. Liệu có

vecto nào mà khi bị quay đi 30o sẽ lại tiếp tục chỉ về hướng giống như vậy? Câu trả
lời là không, đây là trường hợp khơng có giá trị riêng.
Bằng cách nào có thể tính tốn được giá trị riêng và giá trị vecto? Giả thiết rằng 1
vecto cơ sở được chọn cho khơng gian vecto n chiều X. Khi đó, ma trận X biểu diễn
cho phương trình 6.46 như sau


Hoặc

Nghĩa là số cột của ma trận [A-λI] là độc lập, do đó định thức của ma trận bằng 0:

Định thức này là một đa thức bậc n. Do đó phương trình 6.49 ln có n nghiệm,
trong đó có những nghiệm giống nhau.
Quay lại ví dụ về góc quay. Nếu chúng ta dùng tập hợp cơ sở được chuẩn hóa thì
ma trận của biến đổi sẽ là

Do đó có thể viết lại phương trình 6.49 như sau

Hoặc

Nghiệm của phương trình là

Như chúng ta dự đoán ban đầu, biến đổi này khơng có giá trị riêng thực. Điều này
nghĩa là bất kỳ vecto thực nào được biến đổi nó sẽ chỉ về một hướng mới.
Xét ma trận sau:


Để tìm được giá trị riêng chúng ta phải giải phương trình:

Hoặc

Và giải ra các nghiệm chính là những giá trị riêng

Giải phương trình (6.48) ta tìm được những giá trị vecto

Thay lần lượt các giá trị λ1, λ2. Với λ1:

Hoặc

Vậy giá trị vecto đầu tiên sẽ là

Với λ2:

Hoặc


Do đó giá trị vecto thứ 2 là:

Để kiểm tra kết quả, chúng ta xét như sau:

Sự chéo hóa
Với n giá trị riêng phân biệt, ta sẽ có n giá trị vecto độc lập (Brog91). Do đó những
giá trị vecto tạo ra một tập cơ bản cho vecto không gian của biến đổi. Xét ma trận
của biến đổi trước (phương trình 6.54) sử dụng những giá trị vecto là những vecto
cơ bản. Từ (6.33) ta có:

Chú ý rằng đây là ma trận chéo. Nếu ta có những giá trị riêng phân biệt ta hồn tồn
có thể chéo hóa ma trận bằng cách dùng các giá trị vecto như là những vecto cơ bản.
Q trình chéo hóa được tóm tắt như sau. Xét

trong đó {z1, z2,..., zn} là những giá trị vecto của ma trận A.


trong đó {λ1, λ2,..., λn} là những giá trị riêng của ma trận A.
Kết quả này rất hữu ích khi chúng ta phân tích hoạt động của những mạng neural ở
các chương sau.
Tóm tắt kết quả
Những biến đổi
Một biến đổi gồm 3 phần:
1. Tập các giá trị X = {xi} được gọi là miền
2. Tập các giá trị Y = {yi} được gọi là dải giá trị và
3. Luật mối liên hệ giữa mỗi giá trị xi với mỗi giá trị yi.
Biến đổi tuyến tính
Một biến đổi A là tuyến tính nếu:
1. Với tất cả các x1, x2 thuộc X, A(x1+x2) = A(x1) + A(x2).
2. Với tất cả x thuộc X, a thuộc R, A(ax) = aA(x).
Biểu diễn dưới dạng ma trận
Xét {v1, v2,..., vn} là tập cơ bản của khôn gian vecto X, và xét {u 1, u2,...., um} là tập
cơ bản của không gian vecto Y. Xét A là biến đổi tuyến tính với vùng X và dải Y:

Các hệ số của ma trận được lấy như sau:

Sự thay đổi cơ bản

Giá trị riêng và giá trị vecto


Chéo hóa

Trong đó {z1, z2,..., zn} là những giá trị vecto của ma trận vng A.

P6.1
Xét mạng đơn tầng có chức năng biến đổi tuyến tính được chỉ ra trong hình P6.1.
Liệu sự biến đổi từ vecto đầu vào đến vecto đầu ra có là tuyến tính?

Hình 6.1 Mạng đơn neural.
Phương trình của mạng là

Để biến đổi này là tuyến tính cần thỏa mãn:


Kiểm tra điều kiện thứ nhất

So sánh với

2 phương trình chỉ bằng nhau khi b = 0. Do đó , biến đổi này khơng phải là biến đổi
tuyến tính. Những biến đổi điển hình như vậy gọi là những biến đổi affine.
P6.2 Chúng ta đã thảo luận trong chương 5. Phép chiếu có phải là một biến đổi
tuyến tính?
Phép chiếu của vecto X lên vecto v được tính

Trong đó (x,v) là tích trong của x với v.
Chúng ta xét xem biến đổi này có thỏa mãn 2 điều kiện của phép biến đổi tuyến tính
hay khơng. Xét điều kiện thứ nhất:

Kiểm tra điều kiện thứ hai:

Như vậy, phép chiếu là một biến đổi tuyến tính.
P6.3 Xét biến đổi A được tạo bởi ánh xạ vecto x trong miền R 2 theo đường x1 + x2 =
0. Tìm ma trận của biến đổi này theo tiêu chuẩn cơ bản trong R2.

Hình 6.2 Biến đổi ánh xạ
Phương trình (6.6) chỉ ra cách tìm ma trận này

Ta cần biến đổi mỗi vecto cơ bản của miền sau đó mở rộng kết quả theo khái niệm
vecto cơ bản theo các dải. Mỗi lần mở rộng ta lại có được một cột của ma trận.
Trong trường hợp này tập cơ bản cho cả domain và dãy là {s 1, s2}. Thực hiện biến
đổi thứ nhất trước. Nếu ta ánh xạ s1 theo đường x1 + x2 = 0, ta có:

Cho ta cột đầu tiên của ma trận. Biến đổi đến s2:

Cho ta cột thứ 2 của ma trận. Kết quả cuối cùng:

Kiểm tra kết quả bằng cách biến đổi vecto x = [1,1]T


Sự ánh xạ của x được biểu diễn như trong hình 6.3:

Hình 6.3 Kiểm tra hoạt động ánh xạ.
(Bạn có thể đoán được giá trị riêng và giá trị vecto của biến đổi này khơng? Sử
dụng biến đổi tuyến tính dùng mạng neural để kiểm tra. Tính tốn các kết quả giá trị
riêng và giá trị vecto, sử dụng chức năng của Matlab để kiểm tra dự đốn)
P6.4 Xét khơng gian số phức. Đây là không gian vecto X, và coi tập cơ bản là {1 +
j, 1 -j). Xét A: X --> X là sự kết hợp
i. Tìm ma trận biến đổi A theo tập cơ bản đã cho ở trên.
ii. Tìm giá trị riêng và giá trị vecto của biến đổi.
iii. Tìm ma trận biểu diễn A theo giá trị vecto.
i. Để tìm ma trận của biến đổi, ta biến đổi mỗi vecto cơ bản:

Từ đó suy ra ma trận biểu diễn:

Để tìm những giá trị riêng, ta dùng phương trình (6.49)

Vậy các giá trị riêng là λ 1 = 1; λ 2 = -1. Để tìm các giá trị vecto, sử dụng phương
trình (6.48)


Cho λ = λ 1 = 1 ta có

Hay
Vì vậy véc tơ riêng đầu tiên sẽ là:

Hay bất kỳ tích vô hướng nào khác. Với véc tơ riêng thứ hai ta sử dụng

Hay
Do đó véc tơ riêng thứ hai sẽ là

Hay bất kỳ tích vơ hướng nào khác của nó.
Chú ý rằng trong khi các véc tơ riêng này có thể là các cột số, trong thực tế chúng là
các số phức. Ví dụ:

Kiểm tra rằng chúng là các véc tơ riêng thực

iii. Để thực hiện phép chuyển đổi cơ sở ta cần sử dụng phương trình (6.33):


Trong đó

(Chúng ta đang sử dụng cùng một cơ sở cho miền xác định và tập xác định). Vì vậy

ta có

Được suy ra từ phương trình (6.69), ta có thể chéo hóa biểu diễn ma trận
P.65-Chéo hóa ma trận sau :

Bước đầu tiên là tìm trị riêng

V
ậy các trị riêng là

Với

Hoặc :

Vì vậy véc tơ riêng thứ nhất là :

. Để tìm các véc tơ riêng,


Hay bất kỳ tích vơ hướng nào khác của nó.
Với

Hoặc
Do đó véc tơ riêng thứ hai sẽ là :

Hay bất kỳ tích vơ hướng nào khác.
Để chéo hóa ma trận ta sử dụng phương trình (6.69).

Trong đó

Vì vậy ta có :

P6.6-Xét phép biến đổi sau
cơ sở chuẩn là :

trong đó biểu diễn ma trận đối với tập

Tìm ma trận cho phép biến đổi đối với các tập cơ sở sau :


Bước đầu tiên là lập các ma trận

Bây giờ ta sử dụng phương trình (6.33) để lập biểu diễn ma trận mới

Vậy đây là ma trận chuyển đổi từ tập cơ sở T sang W.
P6.7-Xét phép biến đổi

2
một tập cơ sở của R được cho như sau

i.

Tìm ma trận chuyển đổi A đối với tập cơ sở V nếu nó được cho bởi

ii.

Xét tập cơ sở
. Tìm ma trận chuyển đổi A đối với tập
cơ sở W nếu nó được cho bởi

i.

Mỗi một phương trình trong hai phương trình cho ta một cột của ma trận,
như được xác định trong phương trình (6.6). Vì vậy ma trận có dạng

ii.

Ta có thể biểu diễn tập véc tơ cơ sở W dưới dạng cột theo tập véc tơ cơ sở V


Ta có thể lập ma trận cơ sở mà ta cần để thực hiện biến đổi đồng dạng

Biểu diễn ma trận mới có thể thu được từ phương trình (6.33)

P6.8-Xét khơng gian véc tơ

của các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2.

Một cơ sở của không gian véc tơ này là
i.
ii.
i.

Tìm ma trận của phép biến đổi này đối với tập cơ sở V
Tìm trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi
Bước đầu tiên là biến đổi mỗi véc tơ cơ sở

Ma trận của phép biến đổi được cho bởi

ii.

. Xét phép biến đổi vi phân

Để tìm trị riêng ta phải giải


Vậy tất cả ba trị riêng đều bằng 0. Để tìm các véc tơ riêng ta cần giải

Với

ta có

Điều này có nghĩa

Vì vậy ta có véc tơ riêng đơn

Do đó đa thức mà đạo hàm là tích vơ hướng của chính nó chỉ có đa thức hằng (đa
thức bậc khơng).
P6.9-Xét phép biến đổi
. Hai ví dụ của véc tơ biến đổi được cho
trong hình P6.4. Để tìm ma trận chuyển đổi của phép biến đổi này đối với tập
cơ sở chuẩn.


Hình P6.4. Biến đổi của bài tốn P6.9
Với bài tốn này ta không biết các véc tơ cơ sở biến đổi như thế nào, nên ta không
thể sử dụng phương trình (6.6) để tìm biểu diễn ma trận. Tuy nhiên ta biết chuyển
đổi của hai véc tơ và ta biết cách biểu diễn của hai véc tơ đó đối với tập cơ sở. Từ
hình P6.4 ta viết các phương trình sau

Sau đó ta kết hợp hai phương trình thu được

Vì vậy

Đây là biểu diễn ma trận của phép biến đổi liên quan tới tập cơ sở chuẩn.
Quy trình này được sử dụng trong “Neural Network Design Demonstration Linear
Transformations”.

Phần kết
Trong chương này ta đã xem lại các tính chất của phép biến đổi tuyến tính và ma
trận quan trọng nhất đối với nghiên cứu của chúng ta về mạng nơ ron. Các khái
niệm về trị riêng, véc tơ riêng, chuyển đổi cơ sở (phép biến đổi đồng dạng) và chéo
hóa sẽ được tiếp tục sử dụng suốt phần còn lại. Nếu khơng có nền tảng về đại số
tuyến tính, các nghiên cứu của chúng ta về mạng nơ ron sẽ rất nông cạn.