Phép biến đổi tuyến tính
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.65 KB, 4 trang )
1
BÀI GIẢNG TUẦN 9 : PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
PHẠM XUÂN ĐỒNG
ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong giải tích, ta đã làm quen mối quan hệ đối số và hàm số (đầu vào − đầu ra). Trong ĐSTT liệu có sự
tương tự nào như vậy không?
đầu vào quy tắc đầu ra quan hệ tên
x∈R
f
y∈R
y = f(x) : 2 số Hàm số
v = (v
1
,…,v
n
)∈R
n
T
w = (w
1
,…,w
m
)∈R
m
w = T(v) : 2 véc tơ (bộ số) Phép biến đổi (ánh xạ)
Trường hợp đơn giản nhất.
đầu vào quy tắc đầu ra tính chất
x∈R
nhân với số a
y = ax ∈R a(x + t) = ax + at , a(cx) = cax với ∀ x,t ∈R , c∈R
v = (v
1
,…,v
n
)∈R
n
nhân với ma trận A
m×n
w = Av ∈R
m
A(v+u) = Av + Au , A(cv) = cAv với ∀ v,u ∈R
n
, c∈R
9.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
I. ĐỊNH NGHĨA:
Một phép biến đổi T từ không gian vectơ V vào không gian vectơ W được gọi là một phép biến đổi
tuyến tính nếu với mọi v, u ∈
∈∈
∈ V , mọi c ∈
∈∈
∈ R thỏa mãn các tính chất sau:
(a) T(v + u) = T(v) + T(u) (b) T(cv)= cT(v).
V : gọi là không gian nguồn, W gọi là không gian đích. Ký hiệu T : V →
→→
→ W
v : đầu vào thuộc không gian nguồn V , T(v) : đầu ra thuộc không gian đích W .
Chú ý 1: Nếu T là phép biến đổi tuyến tính, thì:
(1) T(0) = 0 (vì T(0) = T(0.v) = 0.T(v) = 0).
(2) T(−v) = −T(v) , ∀
∀∀
∀ v∈
∈∈
∈V.
(3) T(cv + du) = cT(v) + dT(u) với ∀
∀∀
∀ v, u ∈
∈∈
∈ V và ∀
∀∀
∀ c, d ∈
∈∈
∈R. (Kết hợp 2 tính chất (a) và (b) làm 1)
Ý nghĩa: Đầu ra của một véc tơ là tổ hợp tuyến tính đầu ra của 1 nhóm véc tơ (thường chọn là các véc tơ cơ sở)
II. CÁC VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI T : R
n
→
→→
→ R
m
Ví dụ 1: Cho T là phép quay một véc tơ góc 90
0
theo chiều ngược kim đường hồ trong mặt phẳng tọa độ. Hỏi T có phải
là phép biến đổi tuyến tính không?
Giải: Phép quay một góc 90
0
biến
),()(),( xyvTyxv −=⇒=
Cách 1: Gọi
),(
11
yxu =
, Rdc ∈, . Ta có:
)),((),()(
1111
dxcxdycydycydxcxTducvT ++−=++=+
)()(),(),(
11
udTvcTdxdycxcy +=−+−=
Cách 2:
Av
y
x
xyyxTvT =
−
=−==
01
10
),(),()(
nên T là phép biến đổi tuyến tính
Ví dụ 3: Hỏi phép biến đổi )2,(),,( zxyzzyxT −+= có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
Giải: Gọi ),,( zyxv = , ),,(
111
zyxu = , Rdc ∈, . Ta có:
))(2)(),()((),,()(
1111111
dzczdxcxdycydzczdzczdycydxcxTducvT +−++++=+++=+
)()()2,()2,(
1111
udTvcTzxyzdzxyzc +=−++−+=
Ví dụ 4: Hỏi phép biến đổi sau có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
(a) T(v) = ||v|| (b)
),(),(
2
xyyxT =
(c)
)1,(),( xyxT −=
Giải: (a) Ta có |||||||||||| uvuv +≤+ và ||||.|||||| vccv = nên không thỏa mãn 2 điều kiện của phép biến đổi tuyến tính.
(b) 1)(),())(,(),()(
22
≠∀≠=== cvcTcxycxccycycxTcvT nên T không phải là phép biến đổi tuyến tính.
(c)
)0,0()1,0()0( ≠=T
nên T không phải là phép biến đổi tuyến tính.
2
Ví dụ 5: Cho T là phép biến đổi tuyến tính
=
−=
3
1
2
)(,
0
1
1
)(
21
vTvT
với
=
=
1
0
,
0
1
21
vv
.
Tính T(v) với bất kỳ v = (x
1
, x
2
)∈R
2
Giải: Ta có
2211
vxvxv +=
nên
)()()(
2211
vTxvTxvT += Av
x
x
xx =
−=
+
−=
2
1
21
30
11
21
3
1
2
0
1
1
−=⇒
30
11
21
A
Chú ý 2:
(4) Dấu hiệu nhận biết một phép biến đổi không phải là tuyến tính nếu đầu ra của nó chứa lũy thừa (mũ ≠ 1), hoặc
tích, hoặc độ dài, hoặc hằng số ≠ 0.
(5) Nếu biết
)(),...,(),(
21 n
vTvTvT
với T là phép biến đổi tuyến tính và
n
vv ,...,
1
là một cơ sở, thì có thể xác định
)(vT
với v là véc tơ bất kỳ. (Vì
AvvTxvTxvTvxvxv
nnnn
=++=⇒++= )(...)()(...
1111
)
Đó là lý do phép nhân ma trận (là tổ hợp tuyến tính các cột) có tính tuyến tính giống T.
III. CÁC VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI T: V →
→→
→ W
Ví dụ 6: Gọi
∈
== Rdcba
dc
ba
AM ,,,|
. Cho
2
: RMT →
với
+
−
=
cb
da
AT )(
Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
Giải:
+++
+−+
=
++
++
=+
)()(
)()(
)(
11
11
11
11
1
ccbb
ddaa
ddcc
bbaa
TAAT
+
−
=
cb
da
+
−
+
11
11
cb
da
)()(
1
ATAT +=
)(...)( AkTkAT ==
. Kết luận: T là phép biến đổi tuyến tính.
Ví dụ 7: Cho
=
43
21
B
và phép biến đổi MMT →: với
BXXT =)(
. Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
Giải: )()()()()()(
1111
XdTXcTdXBcXBdXcXBdXcXT +=+=+=+ nên T là phép biến đổi tuyến tính.
Ví dụ 8: Gọi F là không gian vectơ gồm tất cả những hàm có đạo hàm trên [a, b].
Gọi D là phép lấy đạo hàm hàm số D(f ) = f ‘ ( đạo hàm của f ). Hỏi D có phải là phép biến đổi tuyến tính không?
Giải: D là một phép biến đổi tuyến tính vì: D(cf + dg) = (cf + dg)’ = cf ‘ + dg’ = cD(f) + dD(g).
IV. ĐỊNH NGHĨA ẢNH VÀ NHÂN.
Cho T : V →
→→
→ W là một phép biến đổi tuyến tính.
Ảnh của T là tập {T(v) | v∈
∈∈
∈V} (tập các đầu ra ứng với mọi v )
Nhân của T là tập {v∈
∈∈
∈V
| T(v) = 0} (tập các đầu vào ứng với ảnh là véc tơ không)
Chú ý 3:
(5) Với phép biến đổi tuyến tính T : R
n
→
→→
→ R
m
với T(v) = Av thì:
Ảnh của T là C(A) = {Av | v∈
∈∈
∈R
n
} = {T(v) | v∈
∈∈
∈R
n
} (cũng là không gian con của R
m
)
Nhân của T là N(A) = {v∈
∈∈
∈R
n
| Av = 0} ={v∈
∈∈
∈R
n
| T(v) = 0} (cũng là không gian con của R
n
)
Ví dụ 9: Cho T : R
2
→ R
2
xác định bởi
+
=
0
)(
21
xx
vT
với
=
2
1
x
x
v . Tìm nhân và ảnh của T.
Giải: Cho
−
=
−
=⇒−=⇔=+⇒=
1
1
00)(
1
1
1
1221
x
x
x
vxxxxvT . Vậy nhân của T là tập
−1
1
c (đường thẳng)
Do
+=
+
=
0
1
)(
0
)(
21
21
xx
xx
vT
nên ảnh của T là tập
0
1
1
c (đường thẳng)
3
Ví dụ 10: Cho T : R
3
→ R
2
xác định bởi
−
+
=
31
21
2
)(
xx
xx
vT với
=
3
2
1
x
x
x
v
. Tìm nhân và ảnh của T.
Giải: Cho
−=
−=⇒
=
−=
⇔
=−
=+
⇒=
1
2
2
2
2
202
0
0)(
3
3
3
3
31
12
31
21
x
x
x
x
v
xx
xx
xx
xx
vT
Vậy nhân của T là tập
−
1
1
2
c
Do
−+
+=
−
+
=
1
0
)2(
0
1
)(
2
)(
3121
31
21
xxxx
xx
xx
vT lấp đầy R
2
nên ảnh của T là R
2
.
9.2 MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉC TƠ
Cho không gian véc tơ n chiều V có cơ sở v
1
,…,v
n
và véc tơ bất kỳ v = (x
1
,…,x
n
) ∈
∈∈
∈V . Khi đó có một cách
biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của véc tơ cơ sở là v = c
1
v
1
+…+ c
n
v
n
.
Ta có nói tọa độ của
=
n
x
x
v M
1
trong cơ sở tự nhiên và tọa độ
=
n
c
c
v M
1
trong cơ sở
),...,(
1 n
vv
Ví dụ 11: Tìm tọa độ của
=
8
5
v
trong cơ sở
=
==
2
1
,
5
3
21
vvS
Giải:
1,2
2
1
5
3
8
5
21212211
−==⇒
+
=
⇔+= ccccvcvcv
. Tọa độ
S
v
−
=
1
2
II. XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA MỘT PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH BẤT KỲ.
Cho biến đổi tuyến tính T: V→ W, từ không gian n chiều V có cơ sở v
1
,…,v
n
vào không gian m chiều W có cơ sở
w
1
,…,w
m
. Bây giờ ta chỉ ra tồn tại ma trận A cỡ m×n sao cho
AvvT =)(
.
Gọi các cột của
[ ]
n
ccA ...
1
=
Để tìm cột 1 của A ta tìm ảnh của
WwawavT
mm
∈++=
11111
...)(
hay
),...,()(
1111 m
aavT =
(1)
Mặt khác:
)0,..,0,1(.0....0.1
211
=+++=
n
vvvv
nên
[ ]
1211
)0,...,0,1.(..)( ccccAvvT
n
===
(2).
Từ (1), (2) :
),...,(
1111 m
aac =
. Tương tự nếu ảnh của véc tơ v
j
là
jmjjmmjjj
caawawavT ==++= ),...,(...)(
111
.
Chú ý 5:
(6) Cột j của A là tọa độ của ảnh T(v
j
) trong không gian W.
Ví dụ 12: Cho phép biến đổi tuyến tính T : R
3
→ R
2
được xác định:
+−
−
=
321
31
3
2
)(
xxx
xx
vT
với
),,(
321
xxxv =
.
Tìm ma trận của T trong cơ sở tự nhiên.
Giải: Ta tính:
==
1
2
))0,0,1(()(
1
TeT
,
−
==
1
0
))0,1,0(()(
2
TeT
,
−
==
3
1
))1,0,0(()(
3
TeT
⇒ ma trận của T là
−
−
=
3
1
1
0
1
2
A
. Kiểm tra kết quả:
+−
−
=
−
−
=
321
31
3
2
1
3
2
3
1
1
0
1
2
xxx
xx
x
x
x
Av
Ví dụ 13: Cho phép biến đổi tuyến tính T : R
3
→ R
2
được xác định:
+−
−
=
321
31
3
2
)(
xxx
xx
vT
với
),,(
321
xxxv =
.
Tìm ma trận của T trong cặp cơ sở
−=
2
1
1
1
v
,
−
=
1
1
0
2
v
,
−
=
0
1
2
3
v
3
R∈ và
=
1
2
1
w
,
=
3
5
2
w
2
R∈
4
Giải: Ta tính:
=−=
8
0
))2,1,1(()(
1
TvT
,
−
=−=
4
1
))1,1,0(()(
2
TvT
,
−
−
=−=
3
4
))0,1,2(()(
3
TvT
Tìm tọa độ của ảnh trong cơ sở S = {w
1
, w
2
} ∈ R
2
.
Giả sử
=
−=
⇔
+
=
⇔+=
16
40
3
5
1
2
8
0
)(
2
1
2122111
c
c
ccwcwcvT
hay tọa độ trong cơ sở w
1
, w
2
là
S
vT
−
=
16
40
)(
1
Tương tự:
S
vT
−
=
9
23
)(
2
,
S
vT
−
=
2
3
)(
1
nên ma trận của T là
−−
−
=
2916
32340
B
Ví dụ 14: Tìm ma trận của T trong ví dụ 7 với tập cơ sở của không gian M là:
=
=
=
==
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
4321
MMMMS
Giải:
S
BMMT )0,3,0,1(
03
01
00
01
43
21
)(
11
=
=
==
,
S
MT )3,0,1,0()(
2
=
,
S
MT )0,4,0,2()(
3
=
S
MT )4,0,2,0()(
4
=
Vậy ma trận của T là:
=
4030
0403
2010
0201
A
Ví dụ 15: Phép biến đổi D: P
2
→ P
1
, lấy đạo hàm các đa thức bậc không quá 2 trong không gian P
2
thành các đa thức
bậc không quá 1 trong không gian P
1
. Cho cơ sở của P
2
là 1, x, x
2
và cơ sở của P
1
là 1, x. Tìm ma trận của D
Giải: Ta có:
xD .01.00)1( +==
,
xxD .11.01)( +==
,
xxxD .21.02)(
2
+==
nên ma trận của D là
=
200
010
A
Kiểm tra lại: với bất kỳ
2
2
Pcxbxav ∈++=
1
2
2)()( PcxbcxbxavD ∈+=
′
++=⇒
Nếu viết v , D(v) dưới dạng tọa độ thì:
=
=
c
b
a
c
b
c
b
a
D
200
010
2
AvvD =⇒ )(
Ví dụ 16: Phép lấy tích phân T trên miền [0, x], từ đa thức bậc không quá 1 thành đa thức bậc không quá 2 là phép tính
ngược của phép lấy đạo hàm, cũng là phép biến đổi tuyến tính. Cho cơ sở của P
1
là 1, x và cơ sở của P
2
là 1, x, x
2
. Tìm
ma trận của T.
Giải: Ta có
2
.0.11.0)1( xxxT ++==
,
22
).2/1(.01.0)2/1()( xxxxT ++==
nên ma trận của T là
=
2/10
01
00
B hay
=
=
C
B
C
B
C
B
T
2/10
01
00
2/
0
BwwT =⇒ )(
Ta thấy IAB = nhưng
=
100
010
000
BA
. (Tức là: tích phân trước, đạo hàm sau thì không đổi, ngược lại sẽ thay đổi)
Chú ý 6:
(7) Với phép biến đổi tuyến tính T: R
n
→
→→
→ R
m
với T(v) = Av thì ma trận của T trong cặp cơ sở tự nhiên cũng là
A , còn trong cặp cơ sở khác sẽ có ma trận B thường khác A. (Xem lại ví dụ 5, 12, 13)
(8) Với không gian véc tơ nói chung (đa thức, ma trận,… ), khi các véc tơ biểu diễn qua tập cơ sở thì tọa độ của
nó là véc tơ n-chiều. Điều này giúp cho mọi phép biến đổi tuyến tính đều đưa được về dạng T(v) = Av tương ứng
với cặp cơ sở của 2 không gian nguồn và đích.
(9) Tóm lai: Để tìm các cột ma trận A, thì tìm ảnh của từng véc tơ cơ sở trong không gian nguồn, sau đó xác định
tọa độ của ảnh trong không gian đích. (Xem lại ví dụ 13, 14,15, 16)
CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 9
1. Khái niệm phép biến đổi tuyến tính.
2. Ảnh và nhân của một phép biến đổi tuyến tính.
3. Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính.
