Phép biến đổi tuyến tính

Phép biến đổi tuyến tính

1 BÀI GIẢNG TUẦN 9 : PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH PHẠM XUÂN ĐỒNG ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong giải tích, ta đã làm quen mối quan hệ đối số và hàm số (đầu vào − đầu ra). Trong ĐSTT liệu có sự tương tự nào như vậy không? đầu vào quy tắc đầu ra quan hệ tên x∈R f y∈R y = f(x) : 2 số Hàm số v = (v1,…,vn)∈Rn T w = (w1,…,wm)∈Rm w = T(v) : 2 véc tơ (bộ số) Phép biến đổi (ánh xạ) Trường hợp đơn giản nhất. đầu vào quy tắc đầu ra tính chất x∈R nhân với số a y = ax ∈R a(x + t) = ax + at , a(cx) = cax với ∀ x,t ∈R , c∈R v = (v1,…,vn)∈Rn nhân với ma trận Am×n w = Av ∈Rm A(v+u) = Av + Au , A(cv) = cAv với ∀ v,u ∈Rn , c∈R 9.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH I. ĐỊNH NGHĨA: Một phép biến đổi T từ không gian vectơ V vào không gian vectơ W được gọi là một phép biến đổi tuyến tính nếu với mọi v, u ∈∈∈∈ V , mọi c ∈∈∈∈ R thỏa mãn các tính chất sau: (a) T(v + u) = T(v) + T(u) (b) T(cv)= cT(v). V : gọi là không gian nguồn, W gọi là không gian đích. Ký hiệu T : V →→→→ W v : đầu vào thuộc không gian nguồn V , T(v) : đầu ra thuộc không gian đích W . Chú ý 1: Nếu T là phép biến đổi tuyến tính, thì: (1) T(0) = 0 (vì T(0) = T(0.v) = 0.T(v) = 0). (2) T(−v) = −T(v) , ∀∀∀∀ v∈∈∈∈V. (3) T(cv + du) = cT(v) + dT(u) với ∀∀∀∀ v, u ∈∈∈∈ V và ∀∀∀∀ c, d ∈∈∈∈R. (Kết hợp 2 tính chất (a) và (b) làm 1) Ý nghĩa: Đầu ra của một véc tơ là tổ hợp tuyến tính đầu ra của 1 nhóm véc tơ (thường chọn là các véc tơ cơ sở) II. CÁC VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI T : Rn →→→→ Rm Ví dụ 1: Cho T là phép quay một véc tơ góc 900 theo chiều ngược kim đường hồ trong mặt phẳng tọa độ. Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không? Giải: Phép quay một góc 900 biến ),()(),( xyvTyxv −=⇒= Cách 1: Gọi ),(11yxu = , Rdc ∈, . Ta có: )),((),()(1111dxcxdycydycydxcxTducvT ++−=++=+)()(),(),(11udTvcTdxdycxcy +=−+−= Cách 2: AvyxxyyxTvT =−=−==0110),(),()( nên T là phép biến đổi tuyến tính Ví dụ 3: Hỏi phép biến đổi )2,(),,( zxyzzyxT −+= có phải là phép biến đổi tuyến tính không? Giải: Gọi ),,( zyxv = , ),,(111zyxu = , Rdc ∈, . Ta có: ))(2)(),()((),,()(1111111dzczdxcxdycydzczdzczdycydxcxTducvT +−++++=+++=+)()()2,()2,(1111udTvcTzxyzdzxyzc +=−++−+= Ví dụ 4: Hỏi phép biến đổi sau có phải là phép biến đổi tuyến tính không? (a) T(v) = ||v|| (b) ),(),(2xyyxT = (c) )1,(),( xyxT −= Giải: (a) Ta có |||||||||||| uvuv +≤+ và ||||.|||||| vccv = nên không thỏa mãn 2 điều kiện của phép biến đổi tuyến tính. (b) 1)(),())(,(),()(22≠∀≠=== cvcTcxycxccycycxTcvT nên T không phải là phép biến đổi tuyến tính. (c) )0,0()1,0()0( ≠=T nên T không phải là phép biến đổi tuyến tính. 2 Ví dụ 5: Cho T là phép biến đổi tuyến tính =−=312)(,011)(21vTvT với ==10,0121vv . Tính T(v) với bất kỳ v = (x1, x2)∈R2 Giải: Ta có 2211vxvxv += nên )()()(2211vTxvTxvT += Avxxxx =−=+−=2121301121312011−=⇒301121A Chú ý 2: (4) Dấu hiệu nhận biết một phép biến đổi không phải là tuyến tính nếu đầu ra của nó chứa lũy thừa (mũ ≠ 1), hoặc tích, hoặc độ dài, hoặc hằng số ≠ 0. (5) Nếu biết )(), .,(),(21 nvTvTvT với T là phép biến đổi tuyến tính và nvv , .,1 là một cơ sở, thì có thể xác định )(vT với v là véc tơ bất kỳ. (Vì AvvTxvTxvTvxvxvnnnn=++=⇒++= )( .)()( .1111) Đó là lý do phép nhân ma trận (là tổ hợp tuyến tính các cột) có tính tuyến tính giống T. III. CÁC VÍ DỤ VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI T: V →→→→ W Ví dụ 6: Gọi ∈== RdcbadcbaAM ,,,|. Cho 2: RMT → với +−=cbdaAT )( Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không? Giải: ++++−+=++++=+)()()()()(111111111ccbbddaaddccbbaaTAAT+−=cbda+−+1111cbda)()(1ATAT += )( .)( AkTkAT ==. Kết luận: T là phép biến đổi tuyến tính. Ví dụ 7: Cho=4321B và phép biến đổi MMT →: với BXXT =)(. Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không? Giải: )()()()()()(1111XdTXcTdXBcXBdXcXBdXcXT +=+=+=+ nên T là phép biến đổi tuyến tính. Ví dụ 8: Gọi F là không gian vectơ gồm tất cả những hàm có đạo hàm trên [a, b]. Gọi D là phép lấy đạo hàm hàm số D(f ) = f ‘ ( đạo hàm của f ). Hỏi D có phải là phép biến đổi tuyến tính không? Giải: D là một phép biến đổi tuyến tính vì: D(cf + dg) = (cf + dg)’ = cf ‘ + dg’ = cD(f) + dD(g). IV. ĐỊNH NGHĨA ẢNH VÀ NHÂN. Cho T : V →→→→ W là một phép biến đổi tuyến tính. Ảnh của T là tập {T(v) | v∈∈∈∈V} (tập các đầu ra ứng với mọi v ) Nhân của T là tập {v∈∈∈∈V | T(v) = 0} (tập các đầu vào ứng với ảnh là véc tơ không) Chú ý 3: (5) Với phép biến đổi tuyến tính T : Rn →→→→ Rm với T(v) = Av thì: Ảnh của T là C(A) = {Av | v∈∈∈∈Rn} = {T(v) | v∈∈∈∈Rn} (cũng là không gian con của Rm) Nhân của T là N(A) = {v∈∈∈∈Rn | Av = 0} ={v∈∈∈∈Rn | T(v) = 0} (cũng là không gian con của Rn) Ví dụ 9: Cho T : R2 → R2 xác định bởi +=0)(21xxvT với =21xxv . Tìm nhân và ảnh của T. Giải: Cho −=−=⇒−=⇔=+⇒=1100)(1111221xxxvxxxxvT . Vậy nhân của T là tập −11c (đường thẳng) Do +=+=01)(0)(2121xxxxvT nên ảnh của T là tập 011c (đường thẳng) 3 Ví dụ 10: Cho T : R3 → R2 xác định bởi −+=31212)(xxxxvT với =321xxxv. Tìm nhân và ảnh của T. Giải: Cho −=−=⇒=−=⇔=−=+⇒=1222220200)(333331123121xxxxvxxxxxxxxvT Vậy nhân của T là tập −112c Do −++=−+=10)2(01)(2)(31213121xxxxxxxxvT lấp đầy R2 nên ảnh của T là R2. 9.2 MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉC TƠ Cho không gian véc tơ n chiều V có cơ sở v1,…,vn và véc tơ bất kỳ v = (x1,…,xn) ∈∈∈∈V . Khi đó có một cách biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của véc tơ cơ sở là v = c1v1 +…+ cnvn . Ta có nói tọa độ của =nxxv M1 trong cơ sở tự nhiên và tọa độ =nccv M1 trong cơ sở ), .,(1 nvv Ví dụ 11: Tìm tọa độ của =85v trong cơ sở ===21,5321vvS Giải: 1,221538521212211−==⇒+=⇔+= ccccvcvcv. Tọa độ Sv−=12 II. XÂY DỰNG MA TRẬN CỦA MỘT PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH BẤT KỲ. Cho biến đổi tuyến tính T: V→ W, từ không gian n chiều V có cơ sở v1,…,vn vào không gian m chiều W có cơ sở w1,…,wm. Bây giờ ta chỉ ra tồn tại ma trận A cỡ m×n sao cho AvvT =)( . Gọi các cột của [ ]nccA .1= Để tìm cột 1 của A ta tìm ảnh của WwawavTmm∈++=11111 .)( hay ), .,()(1111 maavT = (1) Mặt khác: )0, ,0,1(.0 0.1211=+++=nvvvv nên [ ]1211)0, .,0,1.( )( ccccAvvTn=== (2). Từ (1), (2) : ), .,(1111 maac =. Tương tự nếu ảnh của véc tơ vj là jmjjmmjjjcaawawavT ==++= ), .,( .)(111. Chú ý 5: (6) Cột j của A là tọa độ của ảnh T(vj) trong không gian W. Ví dụ 12: Cho phép biến đổi tuyến tính T : R3 → R2 được xác định: +−−=3213132)(xxxxxvT với ),,(321xxxv =. Tìm ma trận của T trong cơ sở tự nhiên. Giải: Ta tính: ==12))0,0,1(()(1TeT , −==10))0,1,0(()(2TeT , −==31))1,0,0(()(3TeT ⇒ ma trận của T là −−=311012A. Kiểm tra kết quả: +−−=−−=3213132132311012xxxxxxxxAv Ví dụ 13: Cho phép biến đổi tuyến tính T : R3 → R2 được xác định: +−−=3213132)(xxxxxvT với ),,(321xxxv =. Tìm ma trận của T trong cặp cơ sở −=2111v , −=1102v , −=0123v3R∈ và =121w , =352w2R∈ 4 Giải: Ta tính: =−=80))2,1,1(()(1TvT , −=−=41))1,1,0(()(2TvT , −−=−=34))0,1,2(()(3TvT Tìm tọa độ của ảnh trong cơ sở S = {w1, w2 } ∈ R2. Giả sử =−=⇔+=⇔+=1640351280)(212122111ccccwcwcvT hay tọa độ trong cơ sở w1, w2 là SvT−=1640)(1 Tương tự: SvT−=923)(2, SvT−=23)(1 nên ma trận của T là −−−=291632340B Ví dụ 14: Tìm ma trận của T trong ví dụ 7 với tập cơ sở của không gian M là: =====1000,0100,0010,00014321MMMMS Giải: SBMMT )0,3,0,1(030100014321)(11====,SMT )3,0,1,0()(2= , SMT )0,4,0,2()(3= SMT )4,0,2,0()(4= Vậy ma trận của T là: =4030040320100201A Ví dụ 15: Phép biến đổi D: P2 → P1 , lấy đạo hàm các đa thức bậc không quá 2 trong không gian P2 thành các đa thức bậc không quá 1 trong không gian P1 . Cho cơ sở của P2 là 1, x, x2 và cơ sở của P1 là 1, x. Tìm ma trận của D Giải: Ta có: xD .01.00)1( +== , xxD .11.01)( +== , xxxD .21.02)(2+== nên ma trận của D là =200010A Kiểm tra lại: với bất kỳ 22Pcxbxav ∈++= 122)()( PcxbcxbxavD ∈+=′++=⇒ Nếu viết v , D(v) dưới dạng tọa độ thì: ==cbacbcbaD2000102AvvD =⇒ )( Ví dụ 16: Phép lấy tích phân T trên miền [0, x], từ đa thức bậc không quá 1 thành đa thức bậc không quá 2 là phép tính ngược của phép lấy đạo hàm, cũng là phép biến đổi tuyến tính. Cho cơ sở của P1 là 1, x và cơ sở của P2 là 1, x, x2 . Tìm ma trận của T. Giải: Ta có 2.0.11.0)1( xxxT ++==, 22).2/1(.01.0)2/1()( xxxxT ++== nên ma trận của T là =2/100100B hay ==CBCBCBT2/1001002/0BwwT =⇒ )( Ta thấy IAB = nhưng =100010000BA. (Tức là: tích phân trước, đạo hàm sau thì không đổi, ngược lại sẽ thay đổi) Chú ý 6: (7) Với phép biến đổi tuyến tính T: Rn →→→→ Rm với T(v) = Av thì ma trận của T trong cặp cơ sở tự nhiên cũng là A , còn trong cặp cơ sở khác sẽ có ma trận B thường khác A. (Xem lại ví dụ 5, 12, 13) (8) Với không gian véc tơ nói chung (đa thức, ma trận,… ), khi các véc tơ biểu diễn qua tập cơ sở thì tọa độ của nó là véc tơ n-chiều. Điều này giúp cho mọi phép biến đổi tuyến tính đều đưa được về dạng T(v) = Av tương ứng với cặp cơ sở của 2 không gian nguồn và đích. (9) Tóm lai: Để tìm các cột ma trận A, thì tìm ảnh của từng véc tơ cơ sở trong không gian nguồn, sau đó xác định tọa độ của ảnh trong không gian đích. (Xem lại ví dụ 13, 14,15, 16) CÁC Ý CHÍNH BÀI GIẢNG TUẦN 9 1. Khái niệm phép biến đổi tuyến tính. 2. Ảnh và nhân của một phép biến đổi tuyến tính. 3. Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính. . 9 1. Khái niệm phép biến đổi tuyến tính. 2. Ảnh và nhân của một phép biến đổi tuyến tính. 3. Ma trận của một phép biến đổi tuyến tính. . luận: T là phép biến đổi tuyến tính. Ví dụ 7: Cho=4321B và phép biến đổi MMT →: với BXXT =)(. Hỏi T có phải là phép biến đổi tuyến tính không?