BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHĐỀ TÀI LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ

lOMoARcPSD|11424851

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 6: LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ

Giảng viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hữu Hiệp
Nhóm thực hiện: Nhóm 6
Lớp: L03

1


lOMoARcPSD|11424851

DANH SÁCH THÀNH VIÊN
STT

HỌ VÀ TÊN

MÃ SỐ SINH VIÊN

1

LÊ QUỐC QUYỀN

2112155

2

NGUYỄN NHÂN VIỆT QUỐC

2112147

3

NGUYỄN MINH QUÝ

2112159

4

LÊ KHÁNH TÂN

2110525

5

ĐẶNG XUÂN THẮNG

2112328

2


lOMoARcPSD|11424851

MỤC LỤC
DANH SÁCH THÀNH VIÊN..................................................................................2
LỜI MỞ ĐẦU...........................................................................................................4
I. GIỚI THIỆU CHUNG..........................................................................................5
1. Lý thuyết đồ thị..............................................................................................5
2. Sơ lược về thuật toán Floyd Warshall..........................................................5
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT..........................................................................................6
III. THUẬT TOÁN FLOYD WARSHALL.............................................................9
1. Ý tưởng, cách giải..........................................................................................9
2. Giải thuật tốn trong matlab.......................................................................10
IV. VÍ DỤ..................................................................................................................12
1. Ví dụ 1............................................................................................................ 12
2. Ví dụ 2............................................................................................................ 13
3. Ví dụ 3............................................................................................................ 14
V.TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................17
VI.TỔNG KẾT........................................................................................................17
VII.NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN........................................................................17

3


lOMoARcPSD|11424851

LỜI MỞ ĐẦU
Với sự ra đời của Internet, tất cả các trường học hiện nay đều đã áp dụng các kiến thức, kĩ
năng và hiểu biết về công nghệ thông tin trong các môn học nhằm nâng cao hiệu quả dạy
và học.
Trong khoa học máy tính và trong tốn học, thuật tốn tìm đường đi ngắn nhất trong đồ
thị là một bài toán thường được vận dụng trong các ứng dụng tin học. Trong các ứng
dụng thực tế, bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của một đồ thị có một ý

nghĩa to lớn. Ví dụ, bài tốn chọn một hành trình tiết kiệm nhất (về tiêu chuẩn khoảng
cách, thời gian hoặc chi phí) trên một mạng lưới giao thơng đường bộ, đường thủy,...Hiện
nay có rất nhiều các phương pháp để giải các bài toán như vậy. Thế nhưng thơng thường,
các thuật tốn được xây dựng dựa trên cơ sở lý thuyết đồ thị là hiệu quả cao nhất. Sau
đây chúng ta sẽ xét đến thuật toán Floyd Warshall, một trong những thuật tốn tìm đường
đi ngắn nhất được xây dựng dựa trên lí thuyết đồ thị. Mong thầy và các bạn theo dõi và
góp ý để chủ đề của chúng em được hoàn thiện hơn.

4


lOMoARcPSD|11424851

I. GIỚI THIỆU CHUNG:
1. Lịch sử lý thuyết đồ thị:
Bài tốn bảy cây cầu Euler, cịn gọi là Bảy cầu ở Konigsberg là bài toán nảy sinh từ thành
phố Konigsberg, Phổ. Bài tốn đặt ra là tìm một tuyến đường mà đi qua mỗi cây cầu một
lần và chỉ đúng một lần (bất kể điểm xuất phát hay điểm tới). Năm 1736, Leonhard Euler
đã chứng minh rằng bài toán này là khơng có lời giải. Kết quả này là cơ sở phát triển của
lý thuyết đồ thị.
Năm 1852 Francis Guthrie đưa ra bài toán bốn màu về vấn đề liệu chỉ với bốn màu có thể
tơ màu một bản đồ bất kì sao cho khơng có hai nước nào cùng biên giới được tơ cùng
màu. Bài tốn này được xem như đã khai sinh ra lý thuyết đồ thị và chỉ được giải sau một
thế kỉ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel (1932 -) và Wolfgang Haken (1928 - ).
2. Sơ lược về thuật toán Floyd Warshal:
2.1. Giới thiệu:
Thuật toán Floyd–Warshall cịn được gọi là thuật tốn Floyd được Robert Floyd tìm ra
năm 1962.
Thuật tốn Floyd là một thuật tốn giải quyết bài tốn tìm đường đi ngắn nhất trong một
đồ thị có hướng dựa trên các đỉnh trung gian. Khi cần chỉ ra đường đi ngắn nhất của mọi

cặp đỉnh trong đồ thị thì thuật tốn Floyd chính là công cụ giúp ta thực hiện chỉ trong một
lần chạy. Hơn thế nữa, cách tiếp cận và cài đặt của nó cũng khá đơn giản và quen thuộc.
2.2. Tác dụng:
Thuật tốn Floyd-Warshall được thiết kế để tính tốn đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp
điểm trong đồ thị có hướng.
2.3. Ưu điểm:
- Tìm được đường đi ngắn nhất giữa tất cả các điểm trong đồ thị với trọng số âm hoặc
dương, trong đồ thị có hướng hoặc vơ hướng.
- Chỉ với một lần chạy thuật toán sẽ cho ta kết quả.
- Phát hiện được chu trình âm trong đồ thị.

5


lOMoARcPSD|11424851

2.4. Nhược điểm:
- Trong đồ thị khơng được có vịng nào có tổng các cạnh là âm, nếu có vịng như vậy ta
khơng thể tìm được đường đi ngắn nhất (mỗi lần đi qua vòng này độ dài quãng đường lại
giảm, nên ta có thể đi vơ hạn lần.)
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Đồ thị:
Định nghĩa 1.1: Đồ thị là một tập các điểm gọi là đỉnh nối với nhau bởi các cạnh.
Thông thường, đồ thị được vẽ dưới dạng một tập các điểm (đỉnh, nút) nối với nhau
bởi các đoạn thẳng (cạnh).
Định nghĩa 1.2: Hai đỉnh u và v của đồ thị vô hướng G được gọi là kề nhau nếu (u,v)
là cạnh của đồ thị G. Nếu e= (u,v) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với
hai đỉnh u và v, hoặc cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u và v sẽ
được gọi là các đỉnh đầu của cạnh (u,v).
Ta gọi bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng là số cạnh liên thuộc với nó và sẽ

ký hiệu là deg(v).
Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập, đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo.
Định lý 1: Giả sử G = (V,E) là đồ thị vơ hướng với m cạnh. Khi đó tổng bậc của tất cả các
đỉnh bằng hai lần số cung.
2. Đồ thị vơ hướng và đồ thị có hướng:
2.1. Đồ thị vơ hướng: là một cặp khơng có thứ tự G=(V, E), trong đó:
● V là tập các đỉnh hoặc nút.
● E, tập các cạnh. Hai đỉnh thuộc một cạnh được gọi là các đỉnh đầu cuối của cạnh đó.

Hình 2.2.1: đồ thị vô hướng

6


lOMoARcPSD|11424851

2.2. Đồ thị có hướng: là một cặp khơng có thứ tự G=(V, A), trong đó:
● V là tập các đỉnh hoặc nút.
● A là tập các cạnh có hướng hoặc gọi là cung.
Một cạnh e = (u, v) được coi là có hướng từ u tới v; u được gọi là điểm đầu/gốc và v
được gọi là điểm cuối/ngọn của cạnh.

Hình 2.2.2: đồ thị có hướng
3. Đơn đồ thị và đa đồ thị:
3.1. Đơn đồ thị: là đồ thị được tạo thành từ tập hợp các đỉnh nối bởi các cạnh, trong
đó các cạnh có hướng liên kết với chúng thỏa điều kiện: nếu x và y là hai đỉnh thì đồ
thị chỉ được phép có tối đa một trong hai cung (x, y) hoặc (y, x).
3.2. Đa đồ thị: là đồ thị mà không thỏa mãn đơn đồ thị. Đa đồ thị có hướng là một
đồ thị có hướng, trong đó, nếu x và y là hai đỉnh thì đồ thị được phép có cả hai cung
(x, y) và (y, x).

4. Ma trận kề của đồ thị:
Xét đơn đồ thị vô hướng G= (V,E), với tập đỉnh V={1,2,…,n}, tập cạnh E={e1,e2,
e }.

…, m

Ta gọi ma trận kề của đồ thị G là ma trận A=(aịj) thỏa
aij=
Ví dụ: Cho đồ thị như hình vẽ:

7


lOMoARcPSD|11424851

Hình 2.4.1: Đồ thị vơ hướng
Ma trận kề của đồ thị này là A=
Giải thích: Có đường nối từ A đến B nên phần tử a12=1, khơng có đường nối từ D
đến C nên a43=0. Tương tự cho các phần tử cịn lại.
Ví dụ: Cho đồ thị có trọng số như hình

Hình 2.4.2: Đồ thị có trọng số
Ma trận kề của đồ thị này là A=
Ví dụ: Cho đồ thị có hướng và có trọng số như hình

8


lOMoARcPSD|11424851

Hình 2.4.3: Đồ thị có hướng và có trọng số
Ma trận kề của đồ thị này là A=
III. THUẬT TOÁN FLOYD WARSHALL
1. Ý tưởng, cách giải
1.1. Ý tưởng:
Từ bài toán đã cho, chuyển các số liệu về dạng ma trận trọng số A. Mỗi ô A[i,j] được lấp
đầy bởi khoảng cách từ đỉnh i tới đỉnh j, nếu khơng có đường đi nào từ đỉnh i tới đỉnh j
thì ơ đó sẽ có giá trị là ∞. Sau bước lặp thứ k, A[i,j] chứa độ dài đường đi ngắn nhất từ
đỉnh i đến đỉnh j (có thể đi qua đỉnh khác rồi đến j), các đỉnh nó đi qua có chỉ số không
vượt quá k.
1.2. Cách giải:
Bước 1: Viết ma trận kề A của đồ thị
Bước 2: Chọn lần lượt từng đỉnh của đồ thị làm đỉnh trung gian. Giả sử chọn đỉnh k
làm đỉnh trung gian. Ta giữ nguyên hàng k, cột k của ma trận A, giữ nguyên các
phần tử trên đường chéo của A.
Bước 4: Kí hiệu Ak là ma trận A sau lần lặp thứ k, khi đó Ak[i,j] được tính theo cơng
thức sau:
Ak[i,j] = min( Ak-1[i,j], Ak-1[i,k] + Ak-1[k,j] )
Bước 4: Sau đó, ta thực hiện n lần lặp. Sau lần lặp thứ k, ma trận A sẽ chứa độ dài
các đường đi ngắn nhất chỉ đi qua các đỉnh thuộc {1,2,...,k}.
Bước 5: Do đó, sau n lần lặp ta nhận được ma trận A chứa độ dài các đường đi ngắn
nhất.
2. Giải thuật toán trong matlab:
Các hàm matlab cơ bản được sử dụng trong bài tốn:
Lệnh

Cú pháp

Ý nghĩa

Clear

clear all

-Xóa hết mọi giá trị, biến, dữ liệu ban đầu

Input

A=input(‘tên biến’)

-Nhập vào 1 giá trị cho biến A

Min

N= Min (A,B)

-Nhập giá trị N bởi giá trị của biến nhỏ hơn trong

9


lOMoARcPSD|11424851

hai biến A và B
Length

length(

-Tính chiều dài vector

Ones

ones(N,N)

-Tạo ra ma trận các phần tử 1 cấp N

For

for

-Tạo vòng lặp

If-else-

If-(else)-end

-Câu lệnh if xác định điềều kiện hoặc 1 nhóm điềều

end

kiện xảy ra thì cho phép thực hiện các câu lệnh

Fprintf

Fprint(‘ tên biến’)

-Thực hiện ghi định dạng vào màn hình

Disp

disp(S)

-Xuất giá trị của biến S ra màn hình.

10


lOMoARcPSD|11424851

Đoạn code được sử dụng trong Matlab:

11


lOMoARcPSD|11424851

IV. VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Ở khu nhà của A, các địa điểm 1,2,3,4,5 (lần lượt là khu mua sắm, ngân
hàng, công viên, trường học, siêu thị) cách nhau những qng đường như hình vẽ
mơ tả. Hãy tìm đường đi ngắn nhất giữa các địa điểm trên.

Giải: Từ hình vẽ trên ta lập được ma trận biểu diễn đường đi như sau:

Giải thích: Ma trận 5*5 được lập nên bởi các phần tử hàng i cột j ứng với khoảng cách
giữa các địa điểm với nhau khi đã cho sẵn, với các đường đi chưa xác định được thì ta
nhập vào giá trị tại chỉ số đó là ∞ , khoảng cách từ điểm đó đến chính nó sẽ là 0.
Đây là kết quả của VD1 sau khi cho chạy trên phần mềm Matlab:

12

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

Khi đó ta có thể hiểu là đường đi ngắn nhất từ 3 đến 1 sẽ bằng 7km, tức là từ đường đi từ
công viên qua ngân hàng rồi đến khu mua sắm sẽ là đường ngắn nhất, tương tự với các
cặp địa điểm cịn lại.
2. Ví dụ 2: Giả sử bạn có 5 người bạn là Quyền, Quốc, Quý, Tân, Thắng. Bạn biết
một vài con đường và chiều dài quãng đường dẫn đến nhà các bạn đó (bản đồ bên
dưới). Nhưng bạn không biết đi đường nào ngắn nhất, tuy nhiên nhờ tìm hiểu về
thuật tốn Floyd Warshall bạn đã có thể tìm được hướng đi ngắn nhất. Hãy tạo ma
trận đường đi ngắn nhất giữa nhà mỗi bạn.

Giải: Từ bản đồ trên ta có ma trận sau:

(Quy ước các phần tử của ma trận tương tự như ví dụ 1)
Ta sử dụng thuật toán Floyd Warshall để biến đổi ma trận trên:

Sau đây là kết quả của VD2 chạy trên phần mềm Matlab:

13

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

Từ ma trận kết quả, ta biết được quãng đường ngắn nhất giữa mỗi nhà.
3. Ví dụ 3: Tìm đường đi ngắn nhất từ Điện Biên đến Côn Đảo? Biết sơ đồ đường đi

như hình vẽ:

Giải: Giả sử các hàng, cột thứ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lần lượt là Điện Biên, Hà Nội, Hải Phòng, Vinh,
Đà Năng, Nha Trang, Cần Thơ. Ta sẽ có được ma trận trọng số như sau:

Đây là kết quả của VD3 chạy trên phần mềm Matlab:

14

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

Do đó ma trận đường đi ngắn nhất sẽ là:

Vậy đường đi ngắn nhất từ Điện Biên đến Côn Đảo là 1672 (đvđd)
Kết luận: Qua các ví dụ trên, ta có thể thấy nhờ có thuật tốn Floyd Warshall ứng dụng
lý thuyết đồ thị mà các bài toán thực tế tìm đường đi ngắn nhất giữa các đỉnh trở nên dễ
dàng hơn. Thêm vào đó, do cách lập trình thuật tốn trên cơng cụ Matlab khơng q phức
tạp nên thuật toán Floyd Warshall rất lợi hại trong nhiều trường hợp so với các thuật tốn
tìm đường đi ngắn nhất khác.

15

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

V.TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]:Đại số tuyến tính - Đặng Văn Vinh
[2]: />[3]: />[4]:Wikipedia.
VI.TỔNG KẾT
Với sự phân công chuẩn bị kỹ lưỡng và cùng với sự nổ lực cố gắng hết mình, nhóm đã
hồn thành đề tài được giao và Matlab đã cho ra kết quả như mong muốn.
Qua phần bài tập lớn này nhóm đã biết được :
-

Thao tác giải toán trên Matlab.

-

Làm bài toán trở nên sinh động hơn, nâng cao sự hứng thú đối với môn học.

-

Trau dồi kỹ năng học tập và làm việc nhóm hiệu quả.

-

Nâng cao tinh thần trách nhiệm và thắt chặt tính đồn kết của các thành viên trong
nhóm.

VII.NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

-..............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

16

Downloaded by nhung nhung ()