BTL Giải tích 2 Chủ đề: Định lí Green

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
-----------------------

BÁO CÁO
BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 15

ĐỊNH LÍ GREEN

GVHD: Đào Huy Cường
Lớp: L30
Nhóm: 15


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG
-----------------------

BÁO CÁO
BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2
ĐỀ TÀI 15

ĐỊNH LÍ GREEN
GVHD: Đào Huy Cường
Lớp: L30
Nhóm: 15
Danh sách thành viên:

1
2
3
4
5

Họ và tên
Mai Quốc Huy
Nguyễn Khoa Tân
Đỗ Quốc Trí
Vũ Ngọc Thuận
Lý Dương Ngọc Khanh

MSSV
2110201
2114726
2012277
2112394
2113690

Phân cơng nhiệm vụ
Bài tập 3,7,9
Cơ sở lý thuyết
Bài tập 14,15,17
Bài tập 20, 22, 25, viết báo cáo
Bài tập 27, viết báo cáo


MỤC LỤC
Chương 1: MỞ ĐẦU .......................................................................................................2

1.1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 2
1.2. Mục đích đề tài ......................................................................................................... 2
1.3. Nội dung đề tài ......................................................................................................... 2
Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ....................................................................................3
2.1. Tích phân kép. .......................................................................................................... 3
2.2. Tích phân đường. ......................................................................................................3
2.2.1. Tích phân đường loại I ....................................................................................3
2.2.2. Tích phân đường loại II ...................................................................................4
2.3. Định lí Green ............................................................................................................ 4
2.3.1. Một số khái niệm liên quan ............................................................................3
2.3.2. Định lí Green ...................................................................................................5
2.3.3. Nghiệm lại định lí Green .................................................................................6
2.4. Ứng dụng định lí Green trong tính diện tích miền phẳng ........................................7
2.5. Mở rộng định lí Green ..............................................................................................7
2.5.1. Với miền D là hợp của hai miền đơn D1 và D2 .............................................. 7
2.5.2. Với miền D có chứa lỗ. ................................................................................... 7
Chương 3: ỨNG DỤNG ................................................................................................. 8
3.1. Các bài toán cơ bản .................................................................................................. 8
Bài toán 1 ...................................................................................................................8
Bài toán 2. ..................................................................................................................9
Bài toán 3 .................................................................................................................10
Bài toán 2. ................................................................................................................11
3.2. Ứng dụng trong tính diện tích miền phẳng và tọa độ tâm ..................................... 13
Bài toán 5 .................................................................................................................13
Bài toán 6. ................................................................................................................15
3.3. Ứng dụng tìm momen qn tính của bản phẳng ....................................................16
Bài tốn 7 .................................................................................................................16
3.4. Ứng dụng trong bài tốn tìm cơng của lực ............................................................ 18
Bài toán 8 .................................................................................................................18
Bài toán 9 .................................................................................................................20

Bài toán 10 ...............................................................................................................20
TỔNG KẾT ................................................................................................................... 21
1. Nội dung đạt được ..................................................................................................... 21
2. Hạn chế ...................................................................................................................... 21
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................22

1


Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Giải tích là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự
nhiên và kỹ thuật. Sự phát triển của nhiều ngành khoa học như Vật lí học, Hóa học,…
đều gắn liền với sự phát triển của Tốn học nói chung và Giải tích nói riêng.
Giải tích hàm số nhiều biến là một nội dung quan trọng của chương trình Giải
tích 2, có tính ứng dụng thực tiễn rất cao trong đời sống, kinh tế, khoa học, kĩ thuật…
Một trong những bài tốn thực tế trong vật lí đó là đi tìm cơng của một trường lực khi
nó làm một vật di chuyển trên một quỹ đạo cụ thể… lí do ra đời của tích phân đường.
Trong một số trường hợp đặc biệt, ta xem xét quỹ đạo của vật thể mà trường lực tác
động khiến nó di chuyển là đường cong kín, điều này làm cho việc tính tốn tích phân
đường rất mất thời gian khi phải chia đường cong ra nhiều phần đơn giản rồi mới lấy
tích phân, một số trường hợp tìm cận của tích phân đường khá phức tạp... Để giải
quyết bài toán trên, người ta có một định lí đặc biệt đẻ chuyển từ tích phân đường
sang tích phân kép nhằm đơn giản hóa q trình tính tốn. Đó là định lí Green.
Để hiểu rõ hơn về bản chất, ý nghĩa, nội dung, cách thức tính tốn cũng như
ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực, nhóm được phân cơng đề tài số 15: “Định lí
Green”
1.2. Mục đích đề tài
Đề tài của nhóm sẽ làm rõ các khái niệm, định nghĩa, tính chất, giới thiệu được
các trường hợp, phương pháp chung nhất để tính tích phân đường bằng định lí Green

Từ đó giới thiệu và giải quyết một số bài toán thực tế mà có thể sử dụng định lí
Green nhằm tính tốn tích phân đường.
1.3. Nội dung đề tài
Bài báo cáo được chia làm hai phần chính:
-

Phần lý thuyết - cơ sở lý thuyết: định nghĩa, tính chất; các cơng thức tính tốn;

-

Phần bài tập tính tốn - ứng dụng thực tế.

2


Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Tích phân kép.
Cho hàm số � = (�, �) ≥ 0, ∀(�, �) ∈ �

Định nghĩa: Tích phân kép của hàm số � = (�, �) trên miền D là:
�

� �, � ���� =

�

� �, � �� = lim

�,�→∞

�

�

�=1 �=1

�(�∗��, �∗�� )∆�∆�

Nếu giới hạn này tồn tại. Lúc này � = (�, �) được gọi là hàm khả tích trên D

Tính chất của tích phân kép:

2. Nếu D=D1+D2 và f(x,y) khả tích trên D 4. Nếu f(x,y) khả tích trên D
�

� �, � �� =

�1

� �, � �� +

�2

� �, � ��

�

3. Nếu f (x,y) và | f (x,y) | khả tích trên D
�

� �, � �� =

�

=

|� �, � |��

�� =

�

2.2. Tích phân đường.

�

�

� �, � ��

6. Nếu f (x,y) và g(x,y) khả tích trên D và
f (x,y) ≤ g(x,y), ∀(�, �) ∈ � thì

(� �, � ± � �, � )��
� �, � �� ±

�

� �, � ��

5. Nếu D là miền đóng, bị chặn thì:

4. Nếu f (x,y) và g(x,y) khả tích trên D
�

(�� �, � )�� = �.

� �, � ��

�

� �, � �� ≤

�

� �, � ��

2.2.1. Tích phân đường loại I.
Định nghĩa: Nếu � = (�, �) là hàm số xác định trên đường cong trơn

thì

tích phân đường loại I của f dọc theo C là:

��

�(�, �)�ℓ = lim
�→0

�

�=1

�(�� , �� )∆ℓ�

Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại I không phụ thuộc hướng của
đường cong C:

��

�(�, �)�ℓ =
3

��

�(�, �)�ℓ


Tính chất của tích phân đường loại I:
�.
�.
�.

��
��
��

1�ℓ = �
��(�, �)�ℓ = �.

��

�(�, �)�ℓ

[�(�, �) + �(�, �)]�ℓ =

�. Nếu C = C1 + C2 thì

��

��

�(�, �)�ℓ +

��

�(�, �)�ℓ

[�(�, �) + �(�, �)]�ℓ =

2.2.2. Tích phân đường loại II

��

�(�, �)�ℓ +

��

�(�, �)�ℓ

Định nghĩa: Nếu �(�, �) = (�(�, �), �(�, �)) là hàm vector xác định trên đường

.Khi đó tích phân đường loại II của � dọc theo

cong trơn

��

�(�, �)�� + �(�, �)�� =

��

�(�, �)�� +

��

là:

�(�, �)��

Chú ý: Theo định nghĩa, tích phân đường loại II phụ thuộc hướng lấy tích phân
trên cung

:

2.3. Định lí Green

��

�(�, �)�� + �(�, �)�� = −

��

�(�, �)�� + �(�, �)��

2.3.1. Một số khái niệm liên quan
a) Đường cong đơn. Đường cong �(�), � ≤ � ≤ � được gọi là đơn, nếu nó khơng
tự cắt nhau ở giữa hai đầu mút, tức là:

� < �� < �� < � ⟹ �(��) ≠ �(�� )

b) Đường cong kín. Đường cong �(�), � ≤ � ≤ � được gọi là kín nếu điểm đầu và
điểm cuối trùng nhau, tức là:

�(�) = �(�)

4


HÌNH 2.1. Các dạng đường cong
trong mặt phẳng
Nguồn: Giáo trình Giải tích 2

c) Đường cong trơn từng khúc. Đường cong C được xác định bởi
� = �(�)
� = �(�)

� ∈ [�, �]

được gọi là trơn từng khúc nếu C có thể chia thành nhiều đoạn nhỏ và trên mỗi
đoạn nhỏ này �'(�) và �'(�) là những hàm liên tục.

d) Chiều dương của đường cong đơn, kín. Cho đường cong phẳng đơn, kín C và
gọi D là miền phẳng được giới hạn bởi C.

Ta quy ước chiều dương của đường cong phẳng đơn kín C là chiều mà nếu ta
đi theo chiều đó thì ta sẽ thấy miền D ln nằm bên tay trái. Chiều ngược lại
được gọi là chiều âm.

(a) Đường cong C với chiều dương

(b) Đường cong C với chiều âm

HÌNH 2.2. Chiều dương, chiều âm của đường cong đơn, kín

Nguồn: Jame Stewwart Calculus E.7 tr.1084

2.3.2. Định lí Green.
Định lý Green đưa ra mối quan hệ giữa tích phân đường trên một đường
cong đơn, kín C và tích phân kép trên miền phẳng D giới hạn bởi C.
Định lí: Cho C là đường cong phẳng đơn kín trơn từng khúc và D là miền phẳng
giới hạn bởi C. Nếu P và Q có các đạo hàm riêng liên tục trên một miền mở chứa
D, thì:

5


�

��� + ��� =±

�

��
��
−
����
��
��

Chú ý 1: Tích phân lấy dấu (+) nếu chiều của C là chiều dương, lấy dấu (−) nếu
chiều của C là chiều âm.
Chú ý 2: Vế trái của cơng thức trên có thể viết thành

�

�. ��, trong đó F=Pi+Qj.

Với r là vector vị trí của vật, nếu r(t) là một hàm theo biến t thì có thẻ viết thành:

�

�(�(�)). �'(�). ��

Chú ý 3: So sánh với định lí cơ bản của Giải tích hàm một biến.
�

�

�'(�)�� = �(�) − �(�)

ta thấy có sự tương tự với định lý Green, cả hai cơng thức đều có hàm dưới dấu

tích phân vế trái là các đạo hàm, hàm dưới dấu tích phân vế phải là các nguyên
hàm tương ứng trong miền lấy tích phân.
��
��
−
���� =
��
��

�

��ê� �

��� + ���

2.3.3. Nghiệm lại định lí Green, trường hợp D là một miền đơn.
Để ý rằng định lí Green sẽ được chứng minh
nếu cho thấy được:

�

�(�, �)�� =−

�

�(�, �)�� =

�

�

��
���� và
��

��
����
��

HÌNH 2.3.

Mơ tả miền D như sau: � = (�, �)|� ≤ � ≤ �, �� (�) ≤ � ≤ �� (�)
Khi đó:

�

��
���� =
��

�

�

�2 (�)

�1 (�)

��
(�, �)���� =

��

Từ hình 2.3, dễ dàng nhận thấy:

�2

�(�, �)�� =

�4

�(�, �)�� = 0
6

�

�

[�(�, �2 (�)) − �(�, �1 (�))]��


→

�1

�

�

�(�, �)�� =

�(�, �)�� =
=

�

�

�

�1

�(�, �1 (�))�� và

�(�, �)�� +

�(�, �1 (�))�� −

�

�

�3

�3

�(�, �)�� =−

�(�, �)�� +

�2

�(�, �2 (�))�� =−

Tương tự, chứng minh được:

�

�(�, �)�� =

�

�

�

�

�(�, �2 (�))��

�(�, �)�� +

��
����
��

�4

�(�, �)��

��

����
��

2.4. Ứng dụng của định lí Green trong tính diện tích miền phẳng
Một trong những ứng dụng phổ biến của định lí Green là tính diện tích miền
phẳng D:
� = �� =

�

���� =

2.5. Mở rộng định lí Green

�

��� =−

�

��� =

1
2

�

��� − ���

2.5.1. Với miền D là hợp của hai miền đơn D1 và D2.

Giả sử miền D cho như hình 2.4, có thể viết D =
D1 ∪D2, với D1 và D2 đều là hai miền đơn, biên của
D1 là C1 ∪ C3 và D2 là C2 ∪ (-C3).

Định lí Green áp dụng cho trường hợp này là:

�1 ∪�2

� �� + � �� =

�

2.5.2. Với miền D có chứa lỗ.

�� ��
−
����
�� ��

HÌNH 2.4.

Giả sử miền D cho như hình 2.5, được giới hạn bởi
hai đường cong đơn, kín C1 và C2. C1 có chiều ngược
chiều kim đồng hồ, C2 có chiều cùng chiều kim đồng
hồ.
Định lí Green áp dụng cho trường hợp này là:
�1

� �� + � �� +

�2

� �� + � �� =

�
7

�� ��
−
��
�� ��

HÌNH 2.5.


Chương 3: ỨNG DỤNG
4.1. Các bài toán cơ bản
Bài toán 1: (Trích câu 3 trang 1089 James Stewart E7) Tính tích phân đường bằng hai
cách: trực tiếp và bằng định lí Green
đỉnh (0,0), (1,0) và (1,2).

�

�� �� + �2 �3 �� với C là tam giác có các

GIẢI
Đặt: � =

�

�� �� + �2 �3 ��

Tính tích phân đường trực tiếp:
Chọn chiều của đường cong C và chia tam giác C thành 3
đường thẳng phân biệt như trên hình 3.1 có các phương trình
như sau:
C1: y = 0 (x: 0 → 1) ⇒dy = 0dx
C2: x = 1 (y: 0 → 2) ⇒dx = 0dy

C3: y = 2x (x: 1 → 0) ⇒dy = 2dx

Tích phân I có thể viết lại như sau:

�=

�1

���� + �2 �3 �� +

= �1 + �2 + �3

�2

���� + �2 �3�� +

�3

���� + �2 �3 ��
HÌNH 3.1.

Tính từng tích phân:
�1 =
�2 =
�3 =

�1
�2
�3

�� �� + �2 �3 �� =
�� �� + �2 �3 �� =
�� �� + �2 �3 �� =

1
0
2
0
0
1

�. 0 . �� + �2 . 03 . 0�� = 0
1. �. 0�� + 12 . �3 �� =

2
0

�3 �� = 4

�. 2��� + �2 . (2�)3 . 2�� =

10 2
Vậy � = �1 + �2 + �3 = 0 + 4 −
=
3
3

Tính tích phân đường bằng định lí Green:

8

0
1

(2�2 + 16�5 )�� =−

10
3


��
��
= � và � = �2 �3 →
= 2��3
��
��
Dựa vào hình 3.1, ta xác định được miền � =

Đặt � = �� →

�, � : 0 ≤ � ≤ 1, 0 ≤ � ≤ 2� ,

đồng thời chiều của C đi ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân là chiều dương.
Theo định lí Green:

�

���� + �2 �3 �� =
1

=

0

�

2��3 − � ���� =

1
� �4 − �
2

4
2
= �6 − �3
3
3

1
0

�=2�
�=0

=

�� =

1
0

4 2 2
− =
3 3 3

1

0

��

2�

0

(2��3 − �)��

� 8�4 − 2� �� =

1
0

8�5 − 2�2 ��

Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Wolfram
Tính tích phân trực tiếp:
HÌNH 3.2. Kiểm chứng kết quả
bằng cách tính tích phân đường
loại 2 trực tiếp.

Tính tích phân bằng định lí Green:
HÌNH 3.3. Kiểm chứng kết quả
bằng cách dùng định lí Green.

Nhận xét: Sử dụng định lí Green giúp chúng ta tính tích phân đường loại 2 khi C là
đường cong kín nhanh hơn so với việc phải tách thành nhiều tích phân nhỏ hơn khi
tính trực tiếp.
Bài tốn 2: (Trích câu 7 trang 1090 James Stewart E7) Dùng định lí Green để tính tích
phân đường (lấy chiều tích phân là chiều dương):
�

�+e

�

�� + 2� + ��� �2 �� với C là đường cong giới hạn bởi hai parabol

� = �2 và � = �2

Đặt � = � + e

�

GIẢI
��
��
→
= 1 và � = 2� + ��� �2 →
=2
��
��
9


Dựa vào hình 3.4, ta xác định được miền
�, � : 0 ≤ � ≤ 1, �2 ≤ � ≤ � , đồng

�=

thời chiều của C đi ngược chiều kim hồ nên
chiều lấy tích phân là chiều dương.
Theo định lí Green:

�

� �� + � �� =

Suy ra:

�

�+e

�

��
��
−
����
��
��

�

2

�� + 2� + cos � �� =

HÌNH 3.4.

2 − 1 ���� =

�

Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Matlab
- Khai báo các biến, P(x,y) và Q(x,y)

=

1

0

1

0

��

�

�2

��

� − �2 d� =

I = 1/3

syms x; syms y;
P = y+exp(sqrt(x))
Q = 2*x+cos(y^2)

1
3

HÌNH 3.5. Kết quả tính tốn bằng
Matlab

- Tính tích phân đường loại 2 bằng Green:
func = diff(Q,x)-diff(P,y)

I = int(int(func, x^2, sqrt(x)), 0, 1)

Bài toán 3: (Trích câu 9 trang 1090 James Stewart E7) Dùng định lí Green để tính tích
phân đường (lấy chiều tích phân là chiều dương):
�

�3 �� − �3 �� với C là đường tròn �2 + �2 = 4
GIẢI

Đặt � = �3 →

��
��
= 3�2 và � =− �3 →
=− 3�2
��
��

Chiều của C đi ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân là chiều dương.
Theo định lí �����:
→

�

�3 �� + �3 �� =

�

� �� + � �� =
�

�

��
��
−
����
��
��

−3�2 − 3�2 ����
10


Chuyển tích phân kép sang tọa độ cực
� = �. cos �
Đặt: � = �. sin �
Miền D được xác định như sau:
D = { �, 0 : 0 ≤ � ≤ 2, 0 ≤ � < 2�}
Vậy ta có:

�

�3 �� + �3 �� =
=− 3
=− 3

�
�

�

−3�2 − 3�2 ����

�2 + �2 ���� =− 3
2

� . �. ���� =− 3

2�

�

�

3

HÌNH 3.6. Đường tròn �2 + �2 = 4vẽ
bằng Geogebra

(�. cos � )2 + (�. sin � )2 . |J|. ����

� ���� =− 3

2�

0

��

16
�� =− ���
4
0
Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Matlab.
=− 3

2

0

3

� �� =− 3

2�

0

2

�4
��
4
0

Thay vì chuyển sang tọa độ cầu, ta xác định miền D trong tọa độ Decarst như sau:
�=

�, � : − 2 ≤ � ≤ 2, − 4 − �2 ≤ � ≤

- Khai báo các biến, P(x,y) và Q(x,y)

4 − �2

I = -24*pi

syms x; syms y;
P = y^3
Q = -x^3

HÌNH 3.7. Kết quả tính tốn bằng
Matlab

- Tính tích phân đường loại 2 bằng Green:
func = diff(Q,x)-diff(P,y)
I1 = int(func,y ,-sqrt(4-x^2) ,sqrt(4-x^2))
I = int(I1,x,-2 ,2)

Bài tốn 4: (Trích câu 15 trang 1090 James Stewart) Nghiệm lại định lí Green bằng cách
tính tích phân đường và tích phân kép. Khi biết P(x, y) = y2ex và Q(x,y) = x2ey, với
C bao gồm đường thẳng đi từ (-1,1) đến (1,1) tiếp đo là đường cong parabol � =
2 − �2 đi từ (1,1) trở về (-1,1).

GIẢI

11


Đặt: � =

�

�2 �� �� + �2 �� ��

Tính tích phân đường trực tiếp:
Chia đường cong C thành 2 đường cong
phân biệt như trên hình 3.9:
C1: y = 1 (x: -1 → 1) ⇒dy = 0dx

C2: � = 2 − �2 (x: 1 → -1) ⇒dy = -2xdx
Tích phân I có thể viết lại như sau:

�=

�1

�2 �� �� + �2 �� �� +

Tính từng tích phân:
�1 =
�2 =

�1
�2

2 �

�2

HÌNH 3.8.

�2 �� �� + �2 �� �� = �1 + �2

2 �

� � �� + � � �� =

1

−1
1

�2 �� �� + �2 �� �� =

−1

2 �

2 1

1 � �� + � � . 0�� =

1

−1

2

�� �� = � −

(2 − �2 )2 �� �� + �2 �2−� . ( − 2�)�� =

1 49
48
+
− 9� =
− 8�
�
�
�
Tính tích phân đường bằng định lí Green (tính tích phân kép):
Vậy � = �1 + �2 = � −

1
�

49
− 9�
�

��
��
= 2�� � và � = �2 �� →
= 2�� �
��
��
Dựa vào hình 3.1, xác định được miền � = �, � : − 1 ≤ � ≤ 1, 1 ≤ � ≤ 2 − �2 ,

Ta có � = �2 �� →

đồng thời chiều của C đi ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân là chiều dương.
Theo định lí Green:
�=
=

�
1

−1

��
��
−
���� =
��
��
2

�

�

�

2� � − 2� � ���� =

(2��2−� − �� . (2 − �2 )2 )�� =

48

− 8�
�

1

−1

��

2−�2

0

2�� � − 2�� � ��

Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Wolfram
Tính tích phân trực tiếp:
HÌNH 3.9. Kiểm chứng kết quả
bằng cách tính tích phân đường
loại 2 trực tiếp.

Tính tích phân bằng định lí Green:
12


HÌNH 3.10. Kiểm chứng kết quả
bằng cách dùng định lí Green.

4.2. Ứng dụng trong tính diện tích hình phẳng, tọa độ tâm hình phẳng.
Bài tốn 5: (Trích câu 20 trang 1090 James Stewart) Cho một đường tròn C với bán kính

bằng 1, lăn dọc theo bên ngồi đường trịn �2 + �2 = 16, một điểm cố định P trên
C vạch ra một đường cong và được gọi là một epicycloid, với phương trình tham

số � = 5 ��� � − ��� 5�, � = 5 ��� � − ��� 5�. Vẽ đồ thị của epicycloid và sử
dụng định lí Green để tìm diện tích mà nó giới hạn.
GIẢI

Vẽ đồ thị của epicycloid: Từ hai phương trình
tham số x(t) và y(t), dễ dàng vẽ được đường
cong epicycloid trong tọa độ Descart bằng
cách thay các giá trị t trong đoạn [0,2 � ] vào
hai phương trình trên.

Sử dụng hàm Curve( ) để vẽ đồ thị từ

phương trình tham số trong Geogebra:

HÌNH 3.11. Đồ thị epicycloid dùng
Geogebra

Tính diện tích giới hạn bởi epicycloid:
Từ hai phương trình tham số, tính vi phân của x và y theo t (0 ≤ � ≤ 2�)

� = 5 ��� � − ��� 5� → �� = �'(�)�� = (5 ��� � − ��� 5�)'� �� = (5 ��� 5� − 5 ��� �)��
� = 5 ��� � − ��� 5� → �� = �'(�)�� = (5 ��� � − ��� 5�)'� �� = (5 ��� � − 5 ��� 5�)��
Gọi D là miền đóng có biên là đường cong C

epicycloid. Dễ thấy C là một đường con đơn giản,
khép kín, trơn từng khúc. Chọn chiều đi của
đường cong C ngược chiều kim đồng hồ, miền D

nằm bên trái đường cong C, chiều lấy tích phân là
chiều dương.
Sử dụng cơng thức thứ ba để tính diện tích
miền D bao bởi epicycloid bằng định lí Green:

13

HÌNH 3.12.


�=

�

1
2
1
=
2
1
=
2
=

1
���� =
2
2�

0

2�

0
2�
0

1
��� − ��� =
2

�

2�

0

�(�). �'(�) − �(�). �'(�) ��

(5���� − ���5�)(5���5� − 5����) − (5���� − ���5�)(5���5� − 5 ���5�) ��

(30 − 30����. ���5� − 30����. ���5�)��
30�� +

2�

0

−15[���( − 4�) − ���6�]�� − 15[���( − 4�) + ���6�]��

−15���6� 2�

= 30� +
= 30�
4
0
Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Matlab
Khai báo các phương trình tham số:
syms t
x = 5*cos(t)- cos(5*t)
y = 5*sin(t)- sin(5*t)

Tính đạo hàm x và y theo tham số t:
xt = diff (x, 1)
yt = diff (y, 1)

Tính diện tích A bằng định lí Green:

xt = 5*sin(5*t) - 5*sin(t)
yt = 5*cos(t) - 5*cos(5*t)
func =
(5*cos(5*t)-5*cos(t))*(cos(5*t)-5*cos(t))
+(5*sin(5*t)-5*sin(t))*(sin(5*t)-5*sin(t))
A = 30*pi

HÌNH 3.13. Kết quả giải bài toán bằng Matlab

func = x*yt-y*xt
A = 1/2* int(func, 0, 2*pi)

Chúng ta cũng có thể tính diện tích A func1 =
(5*cos(5*t)-5*cos(t))*(cos(5*t)-5*cos(t))

func2 =
(5*sin(5*t)-5*sin(t))*(sin(5*t)-5*sin(t))
A1 = 30*pi
A2 = 30*pi

theo hai cơng thức cịn lại:
func1 = x*yt
func2 = -y*xt
A1 = int(func1, 0, 2*pi)
A2 = int(func2, 0, 2*pi)

HÌNH 3.14. Kết quả giải bài tốn bằng Matlab

Tổng qt: Với bài tốn tính diện tích giới hạn bởi epicycloid được tạo thành khi cho:
cho một đường trịn bán kính a, lăn dọc bên ngồi đường trịn cố định bán kính b.
Diện tích được giới hạn bởi epicycloid đã được chúng minh là [3]:
� = �(� + �)(�� + �)

HÌNH 3.16. Minh họa cách tạo ra một
epicycloid tổng quát.
Nguồn: thực hiện bởi Zoltán Kovács
/>
[3] Nguồn: xem tại mục Tài liệu tham khảo

14


Bài tốn 6: (Trích câu 22 trang 1090 James Stewart) Cho D là miền giới hạn bởi một
đường cong đơn giản, khép kín, trơn từng khúc C trong mặt phẳng Oxy. Sử dụng
định lí Green chứng minh rằng tọa độ của tâm (�,�) của miền D là:

�=

1
2�

�

�2 ��

� =−

Trong đó A là diện tích của miền D
GIẢI

1
2�

�

�2 ��

Trọng tâm của bản phẳng: Tọa độ trọng tâm (� ,� ) của bản phẳng chiếm một miền D
có mật độ khối lượng �(x, y) là [2]
�=

1
�

�

� �(�, �) ��

�=

Trong đó khối lượng m

�=

�

1
�

� �(�, �) ��

�

(∗)

�(�, �) ��

Giống với trọng tâm của bản phẳng khi mật độ � là một hằng số ta được cơng thức

tính tâm: (m = ��)
�=

1
��

�

� � �� =

1
�

�

� ��

�=

1
��

� � �� =

�

1
�

�

� ��

Chứng minh: Để chứng minh momen qn tính có thể tính bằng cơng thức (*), ta cần
chứng minh hai tích phân đường loại 2 đó có thể đưa về tích phân kép như trên.
Chọn chiều của đường biên C của bản phẳng ngược chiều kim đồng hồ, chiều lấy
dấu tích phân là chiều dương. Áp dụng định lí Green:

Tọa độ � với
1
�=
2�

�

1
� �� =
2�
2

Tọa độ � với
1

�

�

� =−

1

2� �

� �� (�)

�(�, �) = 0
�

�(�, �) =

�(�2 ) �(0)
1
−
�� =
��
��
2�

�(�, �) =−

�2 �� =−

1

2�

1 2
�
2�

�

�(0)
��

−

�(�2 )

��

�

1 2
�
2�

2��� =

�(�, �) = 0

�� =−

1

2�

�

1
�

�

−2��� =

[2] Công thức đã được chứng minh, nguồn chứng minh xem tại mục Tài liệu tham khảo
15

� �� (�)


Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Matlab chuyển từ tích phân đường
loại hai sang tích phân kép
+ Chứng minh công thức tọa độ �

Ham duoi dau tich phan kep la:
I = x/A

- Khai báo các biến, P(x,y) và Q(x,y)
syms x; syms y;
syms A
P = 0
Q = 1/(2*A)*x^2

HÌNH 3.17. Hàm dưới dấu tích
phân kép sau khi áp dụng định lí

- Tính tích phân đường loại 2 bằng Green:
disp ("Hàm dưới dấu tích phân kép là:")
I = diff(Q,x)-diff(P,y)

Green
Ham duoi dau tich pha kep la:

+ Chứng minh công thức momen quán tính đối với I = y/A
trục Oy:

HÌNH 3.18. Hàm dưới dấu tích

P = -1/(2*A)*y^2
Q = 0
disp ("Hàm dưới dấu tích phân kép là:")
I = diff(Q,x)-diff(P,y)

phân kép sau khi áp dụng định lí
Green

3.3. Ứng dụng tìm momen qn tính của bản phẳng
Bài tốn 7: (Trích câu 25 trang 1090 James Stewart) Một bản phẳng có mật độ khối lượng
là một hằng số �(x, y) = � chiếm một vùng trong mặt phẳng Oxy được giới hạn bởi
một đường cong đơn giản, khép kín C. Chứng minh rằng mơmen qn tính đối với
các trục tọa độ là:

�� =−

�
3

�

�3 ��

GIẢI

�� =

�
3

�

�3 ��

Momen quán tính: Một bản phẳng với mật độ khối lượng là �(x, y) chiếm một miền D.
Momen quán tính của bản phẳng đối với trục Ox và Oy được tính bằng tích phân kép
trên miền D như sau [2]
�� =

Với �� = ����.
Chứng minh:

�

�2 �(�, �)��

�� =

�

�2 �(�, �)��

Do mật độ khối lượng là một hằng số �(x, y) = � nên:
�� =

�

�2 ���

�� =

�

�2 ���

[2] Công thức đã được chứng minh, nguồn chứng minh xem tại mục Tài liệu tham khảo
16


Để chứng minh momen qn tính có thể tính bằng cơng thức (*), ta cần chứng
minh hai tích phân đường loại 2 đó có thể đưa về tích phân kép như trên.
Chọn chiều của đường biên C của bản phẳng ngược chiều kim đồng hồ, chiều lấy
dấu tích phân là chiều dương. Áp dụng định lí Green:
Mơmen qn tính đối với trục x với
�
�(�, �) =− �3
3
�� =−

�
3

�

�3 �� =−

�
3

�

�(�, �) = 0

�(0) �(�3 )
�
−
�� =−
��
��
3
=

Mơmen qn tính đối với trục y với

�
�� =
3

�

�
� �� =
3
3

�(�, �) = 0
�

�

�
3

�

�(�, �) =

�(�3 ) �(0)
�
−
�� =
��
��
3
=

�
3

−3�2 ��

3�2 �� =

� 3
�
3

3�2 ��

�
�

�

��2 �� (�)

3�2 �� =

�

��2 �� (�)

Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Matlab chuyển từ tích phân đường
loại hai sang tích phân kép
+ Chứng minh cơng thức momen qn tính đối với Ham duoi dau tich phan kep la:
I = p*y^2

trục Ox:
- Khai báo các biến, P(x,y) và Q(x,y)

HÌNH 3.19. Hàm dưới dấu tích

syms x; syms y;
syms p
P = -p/3*y^3
Q = 0

phân kép sau khi áp dụng định lí
Green

- Tính tích phân đường loại 2 bằng Green:
disp ("Hàm dưới dấu tích phân kép là:")
I = diff(Q,x)-diff(P,y)

Ham duoi dau tich pha kep la:

+ Chứng minh cơng thức momen qn tính đối với I = p*x^2
trục Oy:
P = 0
Q = p/3*x^3
disp ("Hàm dưới dấu tích phân kép là:")
I = diff(Q,x)-diff(P,y)

17

HÌNH 3.20. Hàm dưới dấu tích

phân kép sau khi áp dụng định lí
Green


3.4. Ứng dụng trong bài tốn tìm cơng của lực
Bài tốn 8: (Trích câu 14 trang 1090 James Stewart) Sử dụng định lí Green để tính
�

�. �� với F (x,y) = ( �2 + 1, tan−1 �), C là tam giác đi từ (0,0) đến (1,1) đến

(0,1) trở về (0,0)

GIẢI
Đặt P = �2 + 1 và Q = tan−1 �.

Đường cong kín C là tam giác, chiều của C đi
ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân là
chiều dương.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm (0,0)
và (1,1) là: y = x.
Dựa vào đồ thị, ta xác định được miền D

HÌNH 3.21.

D: {(x,y) | 0 ≤ � ≤ 1, � ≤ � ≤ 1}
Theo định lí Green:

�

�. �� =
=

� �� + � �� =

�

�

1

�

��
��
−
���� =
��
��

� ���−1 �
�( �2 + 1)
−
���� =
��
��

�

1

0

��

� ���−1 �
�( �2 + 1)
−
����
��
��
1

ln 1 + �2
1
�
−1
=
�� = ��� � −
2−
2
1 + �2
0 1+�
Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Wolfram

�

(

1
0

1
− 0) ��
1 + �2
=

� ln 2
−
4
2

HÌNH 3.22. Kiểm chứng kết

quả bằng Wolfram.

Nhận xét: Nếu xem F (x,y) = ( �2 + 1, tan−1 �) là một lực có hai thành phần biến đổi
theo tọa độ, thì công do lực này sinh ra khi di chuyển một vật đi dọc theo tam giác

theo chiều đã chọn là cơng dương và có độ lớn như đã tính tốn. Bài tốn này là một
ví dụ điển hình của ứng dụng tích phân đường loại hai trong vật lí- kĩ thuật.

18


Bài tốn 9: (Trích câu 17 trang 1090 James Stewart) Sử dụng định lí Green để tìm cơng
được thực hiện bởi lực F(x,y) = x(x+y) i + xy2 j, khi đi từ gốc tọa độ dọc theo trục
Ox đến (1,0), sau đó dọc theo đường thẳng đến điểm (0,1), cuối cùng đi dọc theo
trục Oy trở về gốc tọa độ.
GIẢI
��
��
= � và � = ��2 →
= �2
��
��
Đường cong kín C là tam giác, chiều của C đi

Đặt � = �(� + �) →

ngược chiều kim hồ nên chiều lấy tích phân là
chiều dương.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm (1,0)
và (0,1) là: y = 1 − x.

Dựa vào đồ thị, ta xác định được miền D
D: {(x,y) | 0 ≤ � ≤ 1, 0 ≤ � ≤ 1 − �}

Theo định lí Green, cơng thực hiện bởi lực F:
W=

=

�

�. �� =
1

0

��

1

�
1−�

0

� �� + � �� =
(�2 − �) �� =

�
1

0

��
��
−
���� =
��
��

��.

3

�
− ��
3

1−�

HÌNH 3.23.

�

�2 − � ����

0

1
−1

− �3 + 6�2 − 6� + 1 �� =
=
12
0 3
Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Wolfram

HÌNH 3.23. Kiểm chứng kết quả
bằng Wolfram

Bài tốn 10: (Trích câu 25 trang 1090 James Stewart) Tính tích phân
2�� � + (�2 − �2 ) �
�(�, �) =
(x2 + y2 )2

�

�. �� trong đó:

Với C là bất kì dường cong đơn, kín có chiều dương nào bao quanh gốc tọa độ.

GIẢI
2��
�� 2�(�2 − 3�2 )
�2 − �2
�� 2�(�2 − 3�2 )
Đặt � = 2
→
=
và � = 2
→

=
(x + y2 )2 ��
(x2 + y2 )3
(x + y2 )3 ��
(x2 + y2 )3
19


Gọi C’ là đường trịn có hướng ngược chiều
kim đồng hồ với tâm là gốc tọa độ và bán kính là
a. Trong đó a đủ nhỏ để C’ nằm bên trong C.
Gọi D là miền giới hạn bởi C và C’. Biên có
chiều dương của miền D là C ∪ (-C’). Theo cơng
thức mở rộng định lí Green với miền D có lỗ:

�

→

��� + ��� +

�

−�'

��� + ��� =
=

��� + ��� =−

−�'

�
�

��� + ���

HÌNH 3.24.

��
��
−
����
��
��

2�(�2 − 3�2 )
2�(�2 − 3�2 )
−
���� = 0
(x2 + y2 )3
(x2 + y2 )3

Do C’ là đường trịn kín nên dặt x=a cos t ; y = a sin t và r(t) = a cos t i +a sin t j
Ta lại có:
�'

��� + ��� =−
=−
=

2�

0

2�

0

−�'

��� + ��� =−

2�

0

�(�(�)). �'(�)��

2 �cos � �sin � ( − �sin �) + (�2 sin2 � − �2 cos2 �)(�cos t)
��
(�2 cos2 � + �2 sin2 �)2

�3 cos3 � + �3 sin2 �. cos �
�� =
(�2 cos2 � + �2 sin2 �)2

2�

0

Kiểm chứng bằng phần mềm: Kiểm chứng bằng Wolfram

cos �
�� = 0
�

HÌNH 3.25. Kiểm tra kết quả
tính

�

��
��

−

��
��

����

HÌNH 3.25. Kiểm tra kết quả
tính

20

�'

��� + ���

TỔNG KẾT
1. Nội dung đạt được
Đề tài này đã nêu lên các khái niệm, định nghĩa, tính chất, các cơng thức liên
quan đến định lí Green. Cũng như giới thiệu ý nghĩa quan trọng nhất của định lí này,
đó là tính tích phân đường bằng cách đưa về tích phân kép trên miền D bao bởi đường
cong đơn, kín trơn từng khúc C, đơn giản hóa q trình tính tốn thay vì phải tách
thành nhiều tích phân đơn giản hơn khi tính tốn trực tiếp.
Đồng thời giới thiệu một số phần mềm, cơng cụ tính tốn như Matlab,
Wolfram,.. giúp kiểm tra tính chính xác kết quả, giảm thời gian tính tốn, hỗ trợ tính
tốn những tích phân phức tạp cũng như kiểm chứng lại định lí Green.
Bên cạnh đó cịn giới thiệu một số bài toán và ứng dụng thực tiễn của định lí
Green trong thực tế mà tích phân đường cũng như tích phân kép làm được như: tính
cơng của lực, tìm khối tâm, momen qn tính, diện tích của bản phẳng,.. từ đó giúp
chúng ta có kinh nghiệm giải các bài tốn tương hoặc xử lí các tình huống thực tế sau
này.
2. Hạn chế
Do hạn chế về thời gian và kiến thức chun mơn, đề tài của nhóm chưa thực
sự đi sâu vào phân tích tính chất cũng như chưa thực sự chứng minh một cách đầy đủ
định lí Green.
Các phần mềm kiểm tra kết quả của bài toán chưa thực sự phong phú, đa
dạng,… việc kiểm tra bằng phần mềm cũng chỉ thông qua vệc kiểm tra kết quả cuối
cùng chứ chưa kiểm tra tính đúng đắn trong q trình biens dổi trung gian.
Có thể phát sinh một số lỗi nhỏ trong việc dùng kí hiệu, cơng thức tốn học
cũng như trong bố cục trình bày của bài báo cáo. Một số bài toán được giải chưa có sự
sáng tạo, độc đáo,…
Những hạn chế của bài báo cáo sẽ được nhóm nghiêm túc rút kinh nghiệm và
sẽ là những kinh nghiệm quá báu sau này cũng như trong các đề tài khác…

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lê Xuân Đại (Chủ biên), Giáo trình Giải tích 2, Chương 7: Tích phân đường,
tr.140-168
[2] James Stewart, Calculus. Early Transcendentals. Sixth Edition, Thomson
Brooks/Cole, 2008, tr.1084_1092.
[3] Wolfram Alphawiki: Cách tính diện tích epicycloid tổng quát. Truy cập:
.
[4] Zoltán Kovács, Minh họa cách tạo ra epicycloid bằng phần mềm Geogebra. Truy
cập: />[5] Gradesaver. Giải thích các bài tốn Calculus James Stewarrt. Truy cập:

[6] Wikipedia. Truy cập:

22