(SKKN 2022) dạy học hiệu quả công thức lượng giác ở môn toán lớp 10

MỤC LỤC

1. MỞ ĐẦU...................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài...................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................................3
1.3. Đối tượng nghiên cứu...........................................................................3
1.4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................4
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.......................................4
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM..............................................5
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm..............................................5
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.........5
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề...............................................................6
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ................................................
17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.......................................................................
19
3.1. Kết luận................................................................................................
19
3.2. Kiến nghị..............................................................................................19
Tài liệu tham khảo.....................................................................................21

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong cuộc sống hằng ngày tất cả những gì hiện hữu xung quanh chúng ta
khơng chỉ là do tạo hóa sinh ra, mà nó cịn do chính con người tạo ra nữa. Để tạo ra
những điều kỳ thú đó khơng gì khác đó chính là những tri thức về tốn học, tất cả
những khái niệm về toán học đều được áp dụng vào thực tiễn của nhân loại.
Chẳng hạn như:

- Khi đi qua những cây cầu ta thấy cây cầu được xây dựng bằng cách sử dụng
các kiến thức về lực tác dụng ở những góc khác nhau. Ta nhận thấy rằng cây cầu
gồm nhiều hình tam giác liên kết với nhau, điều gì đã làm nên như vậy, đó là lượng
giác, lượng giác đã được sử dụng khi thiết kế độ dài và độ vững chắc của những
hình tam giác đó.

                                  
- Xe của bạn (hoặc điện thoại) có thể có cài đặt GPS (Global Positioning
System- hệ thống định vị trên mặt đất), việc sử dụng lượng giác cho bạn biết chính
xác bạn đang ở đâu trên bề mặt Trái Đất. GPS sử dụng các dữ liệu từ nhiều vệ tinh
và các kiến thức về hình học trái đất, sau đó sử dụng lượng giác để xác định vĩ độ và
kinh độ của bạn.

                                     
- Hơm nay, có thể bạn sẽ nghe nhạc. Bài hát bạn nghe được ghi âm kỹ thuật số
(một quá trình sử dựng phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng giác) được nén
thành định dạng MP3 sử dụng nén giảm dữ liệu (áp dụng kiến thức về khả năng
phân biệt âm thanh của tai của con người), phép nén này đòi hỏi các kiến thức về
lượng giác.
1


                                       
- Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến những gì bạn có thể làm vào
những thời điểm khác nhau trong ngày. Các biểu đồ thủy triều xuất bản cho ngư dân
là những dự đoán về thủy triều năm trước. Những dự báo này được thực hiện bằng
cách sử dụng lượng giác.

                                         
  

-Hoặc muốn đo chiều cao của núi và cây, muốn đo khoảng cách từ bờ biển đến
một hịn đảo nào đó, người ta có thể được xác định bằng cách sử dụng các hình tam
giác tương ứng và dùng lượng giác để xác định các yếu tố của tam giác đó.

 
- Rồi làm sao để quan sát được một trận động đất, quan sát được chu kỳ hoạt
động của nhịp tim, thì lượng giác cũng giúp chúng ta phân tích để từ đó rút ra được
phương pháp để giải quyết các vấn đề phức tạp một cách dễ dàng hơn.

ECG của một bệnh nhân 26 tuổi.
2


Như vậy, trong thực tế, lượng giác có vai trị quan trọng trong hầu hết các lĩnh
vực khoa học và kỹ thuật.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để con người chiếm lĩnh được nguồn tri thức đó, áp
dụng được nó vào cuộc sống hằng ngày. Để giải quyết được vấn đề này thì giáo dục
dạy học là cách để đưa phần kiến thức quan trọng này đến với nhân loại. Do đó dạy
học là phải làm cho con người thấy được tầm quan trọng của nguồn tri thức đó, thấy
được ứng dụng thực tiễn của khái niệm đó. Để từ đó người học phải tự giác, chủ
động chiếm lĩnh lấy nó.
Qua nghiên cứu của các nhà tâm lí học hứng thú là động lực thúc đẩy con người
tiếp nhận tri thức từ đó tạo ra những sản phẩm thiết thực, cần thiết cho cuộc sống của
nhân loại, khi được làm việc phù hợp với hứng thú thì dù khó khăn như thế nào con
người vẫn cảm thấy thoải mái và quyết tâm để đạt được kết quả cao. Trong hoạt
động học tập hứng thú có vai trị hết sức quan trọng, nếu khơng có hứng thú thì hoạt
động học tập của con người sẽ khơng có hiệu quả.
Cùng với yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học là phát huy tính tích
cực, chủ động của học sinh, tôi nhận thấy rằng việc tạo hứng thú học tập cho học
sinh là điều hết sức cần thiết, đặc biệt là trong việc dạy cho học sinh tiếp cận và vận

dụng công thức lượng giác bởi công thức lượng giác là một trong những nội dung
kiến thức cơ bản, quan trọng. Chính vì vậy việc giảng dạy cơng thức lượng giác cho
học sinh lớp 10 cần phải có những biện pháp thích hợp để từ đó nâng cao được hiệu
quả học tập của học sinh. Đây là động lực để tôi nghiên cứu thêm về đề tài “ Dạy
học hiệu quả cơng thức lượng giác ở mơn tốn lớp 10”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Bản thân tơi nghiên cứu đề tài này với mục đích:
- Chia sẻ với đồng nghiệp một số biện pháp tạo hứng thú cho học sinh khi tiếp
cận công thức lượng giác để học sinh hiểu rõ bản chất giúp học sinh nhớ lâu và vận
dụng tốt các cơng thức lượng giác vào giải tốn. Từ đó có thể áp dụng rộng rãi cho
tất cả các giáo viên dạy toán ở các trường trung học phổ thông và trang bị cho các
em học sinh lớp 10 một nền tảng kiến thức vững chắc cho toàn bộ q trình học sau
này.
- Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ mơn tốn ở trường THPT.
- Tạo cho học sinh một động lực một niềm say mê đối với công thức lượng
giác.
3


- Bản thân học tập và rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao trình độ và nghiệp
vụ sư phạm.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Một số biện pháp tạo hứng thú cho học sinh khi học công thức lượng giác
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu cơ sở lý thuyết.
Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu.
Qua các tiết thực nghiệm trên lớp.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
Phương pháp phỏng vấn, tọa đàm.
Phương pháp quan sát và kiểm tra sư phạm.

1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
- Sáng kiến kinh nghiệm này không trình bày lại kiến thức của sách giáo khoa.
- Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một vấn đề trong dạy học mơn tốn ở
trường trung học phổ thơng có tính chun sâu dưới dạng chun đề.
- Sáng kiến kinh nghiệm này đưa ra một vấn đề mà các đồng nghiệp cũng như
học sinh đang quan tâm, tìm hiểu. Từ đó họ có thể tiếp tục nghiên cứu để phát huy
tối đa tính năng quan trọng và phong phú của cơng thức lượng giác trong dạy và học
mơn tốn ở trường Trung học phổ thông.
- Các kiến thức, nội dung chưa được trình bày cụ thể, rõ ràng trên bất cứ tài liệu
nào.

4


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Hứng thú là thái độ đặc biệt của cá nhân đối với một đối tượng nào đó, có ý
nghĩa đối với cuộc sống và có khả năng mang lại khoái cảm cho cá nhân trong quá
trình hoạt động, mang lại hiệu quả cao cho hoạt động của mình.
Hứng thú biểu hiện ở sự tập trung cao độ, ở sự say mê, hấp dẫn bởi nội dung
hoạt động, ở bề rộng và chiều sâu của hứng thú. Hứng thú làm nảy sinh khát vọng
hành động, làm tăng hiệu quả hoạt động nhận thức, tăng sức làm việc.
Hứng thú trong tiếp cận công thức lượng giác là thái độ lựa chọn đặc biệt của
người học đối với quá trình của sự lĩnh hội tri thức, là cảm nhận được sự cần thiết
của công thức lượng giác trong việc học mơn tốn nói riêng trong các mơn học khác
và trong cuộc sống nói chung.
2.2.

Thực trạng của vấn đề

Qua nhiều năm dạy học tôi nhận thấy hầu hết các em thường gặp khó khăn khi
tiếp cận cơng thức lượng giác, việc học thuộc, nhớ công thức và vận dụng được cơng
thức là một cơng việc khá khó khăn đối với đại đa số học sinh. Vì vậy muốn hình
thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh người thầy cần phải
tạo cho học sinh một nguồn cảm hứng, phải tổ chức cho học sinh hoạt động một
cách tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững được kiến thức, có kỹ năng và
sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn.
+) Thuận lợi:
- Đa số phụ huynh của học sinh đều rất quan tâm đến việc học tập của con em
mình, ln tạo điều kiện tốt nhất để các em được đến trường đầy đủ
- Các thầy cô giáo đều rất tâm huyết, yêu nghề và cố gắng hết sức vì sự phát
triển và thành đạt của các em học sinh.
- Nhà trường luôn tạo điều kiện, xây dựng cơ sở vật chất, trang bị các trang
thiết bị cần thiết cho việc dạy và học của cả thầy lẫn trò như: máy chiếu, bảng phụ.
+) Khó khăn:
- Đây là phương pháp tác động vào tâm lý mỗi học sinh nên giáo viên cần phải
hiểu tâm lý, tâm tư, nguyện vọng của các em.
- Đòi hỏi giáo viên phải có nhiều kỹ năng khác ngồi kỹ năng sư phạm
- Năng lực học sinh không đồng đều nên đôi khi việc tạo hứng thú là sự máy
móc, khơng hiệu quả.
5


- Công thức lượng giác là khái niệm các em được làm quen lần đầu, các phép
tốn biến đổi cơng thức rất đa dạng, do đó khi học sinh chưa hiểu rõ dễ bị ngộ nhận
và mắc sai lầm.
- Trong quá trình học các em thiếu tập trung, kỹ năng vận dụng lý thuyết và các
thủ thuật biến đổi còn hạn chế. Khi làm bài cịn máy móc thiếu tính linh hoạt.
- Tinh thần vượt khó, thái độ và động cơ học tập chưa cao, các em còn chây lỳ
và dựa giẫm vào người khác.

2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
2.3.1. Những điều cần biết về Công thức lượng giác
Công thức lượng giác dùng để biểu thị một đại lượng tương quan giữa các cạnh
và góc của một tam giác.
Các cơng thức tính lượng giác khá nhiều và có điểm “na ná” giống nhau. Vì
vậy, các bạn cần phải hiểu bản chất của vấn đề và có mẹo học để tránh nhầm lẫn và
có thể hồn thành bài tập một cách tốt nhất.

sin  

a
b
a sin 
b cos 
, cos   , tan   
, cot   
h
h
b cos 
a sin 

Để tạo cho học sinh dễ nhớ và tạo hứng thú cho học sinh, việc học thuộc và ghi
nhớ cơng tức được cụ thể hóa thông qua các bài thơ sau:
Bài thơ học công thức lượng giác cơ bản:
Sin: đi học (cạnh đối – cạnh huyền)
Cos: khơng hư (cạnh đối – cạnh huyền)
Tang: đồn kết (cạnh đối – cạnh kề)
Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)
Bài thơ ghi nhớ cơng thức tính tang, cotang:
Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos
Côtang cãi lại
Cos nằm trên sin!
6


2.3.2. Các công thức lượng giác cần nhớ
Các ký hiệu cơ bản của lượng giác gồm có : sin, cos, tan, cot. Những đại lượng
này đều có mối liên hệ với nhau. Trong chương trình tốn trung học phổ thơng các
định lý đều đã được chứng minh, học sinh có thể ứng dụng luôn các công thức lượng
giác để xử lý bài tập. Chỉ khi áp dụng đúng công thức, học sinh mới có thể làm đúng
được các bài tốn lượng giác, mới tìm ra được nghiệm đúng của các phương trình
lượng giác hoặc xử lý các bài tốn hình phẳng, hình khơng gian theo đúng hướng.
Dưới đây là một số công thức lượng giác cơ bản mà học sinh được học trong
chương trình tốn học phổ thơng.
a. Giá trị lượng giác các cung liên quan đặc biệt
Mục tiêu: Biết quan hệ giữa các giá trị lượng giác của một góc(cung) có liên
quan đặc biệt: đối nhau, bù nhau, hơn kém  , phụ nhau.
Để đạt được mục tiêu giáo viên yêu cầu học sinh hoạt động nhóm làm các
phiếu học tập sau:
Chia lớp thành 4 nhóm, các nhóm thực hiện trước ở nhà.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1:
¼
¼
- Cho cung AM   và AM '   . Hãy xác định điểm M ' trên đườn tròn lượng
giác.

- Biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của cung có số đo  và 
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
¼

¼
- Cho cung AM   và AM '     . Hãy xác định điểm M ' trên đườn tròn lượng
giác. - Biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của cung có số đo  và

 

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
¼

¼

- Cho cung AM   và AM '     . Hãy xác định điểm M ' trên đườn tròn lượng
giác. - Biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của cung có số đo  và
  .
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4

¼
AM '   
¼
2
- Cho cung AM   và
. Hãy xác định điểm M ' trên đường tròn lượng

giác.
7




- Biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của cung có số đo  và 2

.

+ Thực hiện trên lớp:
- Học sinh cử đại diện trình bày câu hỏi trong phiếu học tập đã chuẩn bị ở nhà.
- Giáo viên quan sát, theo dõi các học sinh.
- Các học sinh quan sát phương án trả lời của bạn.
- Học sinh đặt câu hỏi cho bạn để hiểu hơn về câu trả lời.
+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:
Giáo viên nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận
và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm cịn lại tích cực, cố
gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.
- Giáo viên tổng hợp các câu trả lời của học sinh và chốt lại kiến thức.
1) Cung đối nhau:  và  .
3) Cung hơn kém  :  và    .
cos     cos 

sin      sin 

tan      tan 

cot      cot  .

2) Cung bù nhau:  và    .
sin       sin 

cos        cos 
tan        tan 

cot        cot  .

sin        sin 

cos        cos 
tan       tan 

cot       cot  .




2
4) Cung phụ nhau: và
.


sin      cos 
2



cos      sin 
2



tan      cot 
2




cot      tan  .
2


8


Giáo viên nêu cách ghi nhớ bằng câu thơ sau để học sinh thuộc công
thức ngay sau khi tiếp nhận công thức và nhớ công thức được lâu hơn:
Cos đối – Sin bù – Phụ chéo
Lệch pi tang, cotang.
Để khắc sâu hơn nữa công thức vừa học giáo viên hướng dẫn học sinh làm
các bài toán sau:
Bài 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có sin  A  B   sin C .
Hướng dẫn giải:
- Do A, B, C là ba góc trong một tam giác nên ta có đẳng thức nào?
A B C 

- Để chứng minh được kết quả như yêu cầu đề bài, từ đẳng thức trên ta làm
gì tiếp theo?
Rút ra A  B    C và suy ra sin  A  B   sin    C 
- Sử dụng công thức nào để dẫn đến kết quả?
Sử
dụng
công
thức:
cung
bù
nhau.
sin  A  B   sin    C   sin C

Khi

đó:

.

Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
Hướng dẫn giải:

tan

AC
B
 cot
2
2.

AC  B
 
2 2.
Do A  B  C   nên 2

tan

AC
B
 B 
 tan     cot .
2

2
2 2

Khi đó:
b. Các cơng thức lượng giác cơ bản
Mục tiêu : Hiểu được hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc
(cung). Vận dụng được các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản để tính tốn, chứng
minh các hệ thức đơn giản.
Giáo viên u cầu học sinh thực hiện hoạt động này ở nhà:
AM   .
AM có sđ ¼
Trên đường trịn lượng giác cho cung ¼


2
2
H1. Tính giá trị biểu thức: T  sin   cos  (  bất kì)

H2. Chứng minh
H3. Chứng minh

1  tan 2  
1  cot 2  




,     k , k  ¢ 
2
.

cos  
1

2

1
sin 2 

,

   k , k  ¢ 

.

k


tan  .cot   1,   
,k ¢
2

.
H4. Chứng minh

+ Thực hiện trên lớp:
- Học sinh lên bảng trình bày sản phẩm đã chuẩn bị trước ở nhà.
- Giáo viên quan sát, theo dõi và cho học sinh khác nhận xét.
- Giáo viên chốt kiến thức và tuyên dương những học sinh có phương án
trả lời đúng.
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:

sin 2   cos 2   1
1

1  tan 2  
,


 k , k  ¢
2
cos 2 
1
1  cot 2  
,   k , k  ¢
sin 2 
k
tan  .cot   1,

, k ¢
2

Ghi nhớ cơng thức sâu hơn bằng các bài toán sau:
sin  

Bài 1: Cho
Hướng dẫn giải:

3

 
5 , với 2

. Tính cos  .

- Giả thuyết đã cho sin  . Vậy để tính cos  ta sử dụng công thức nào?
sin 2   cos2   1

- Em hãy rút cơng thức tính cos  ?


cos    1  sin 2 


 
- Từ dữ kiện 2
ta rút ra điều gì?
tan   

Bài 2: Cho
Hướng dẫn giải:
Ta có:

cos 2  

4
3
   2
5 với 2
. Tính sin  và cos  .

1



1  tan 2 

25
.
41

5
3
cos  
.
   2
41
2
Vì
nên

Bài 3: Cho



Từ đó:

5
.
41

sin   tan  .cos   

4
.
41


 k , k  ¢
2
.

cos   sin 
3

Chứng minh: cos 
Hướng dẫn giải:
cos   sin 

Ta có:

Suy ra:

cos   

3

cos 



 tan 3   tan 2   tan   1.

cos   sin 
1  tan 2  .  1  tan  
cos 
cos 
=
1

2

.





3
2
= tan   tan   tan   1.

c. Các công thức lượng giác
Mục tiêu: Tạo sự thích thú, khơi gợi trí tị mị cho học sinh về kiến thức của bài
mới
Giáo viên vẫn giao nhiệm vụ về nhà cho mỗi học sinh là trả lời các câu hỏi sau và
trình bày kết quả của mình vào giấy.
0
0
Bài 1:1) Cho a  45 , b  30 . Tính cos a.cos b  sin a.sin b .

2) Biết

cos150 

6 2
4
. Tìm một hệ thức liên hệ với câu 1 theo a và b .

0
0
Bài 2: :1) Cho a  60 , b  45 . Tính cos a.cos b  sin a.sin b .

cos1500 

6 2
4
. Tìm một hệ thức liên hệ với câu 1 theo a và b .

2) Biết
- Đến giờ học giáo viên cho học sinh đổi chéo bài và tự kiểm tra sản phẩm của
các bạn khác. - Giáo viên điều hành, quan sát, hướng dẫn.
- Gọi học sinh thảo luận, nhận xét bài làm của các bạn.


- Giáo viên đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tổng hợp kết quả.
* Công thức cộng.
cos(a  b) cos a cos b  sin a sin b
cos(a  b) cos a cos b  sin a sin b
sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a
sin(a  b) sin a cos b  sin b cos a
tan a  tan b

tan( a  b) 
1  tan a tan b
tan a  tan b
tan( a  b) 
1  tan a tan b
- Học sinh thực hiện các bài tập sau:
Bài 1: Khơng dùng máy tính, áp dụng cơng thức tính
1 2
3 2
2 6
cos 750  cos  450  300   cos 450.cos300  sin 450.sin 300  .

.

2 2
2 2
4
Bài 2: Khơng dung máy tính, áp dụng cơng thức tính
sin 750  cos  900  750   cos150  cos  450  300 

2 3
2 1
6 2
.

. 
2 2
2 2
4
Giáo viên cho học sinh ghi nhớ công thức bằng bài thơ sau:

cos 450.cos300  sin 450 sin 300 

Cách nhớ công thức
Cos thì cos cos sin sin
Sin thì sin cos cos sin rõ ràng
Cos thì đổi dấu hỡi nàng
Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!
Tan một tổng hai tầng cao rộng
Trên thượng tầng tan cộng cùng tan
Hạ tầng số 1 ngang tàng
Dám trừ đi cả tan tan oai hùng
Hoặc: Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
*Công thức nhân đôi


Yêu cầu: chuẩn bị ở nhà nội dung sau:
-Từ công thức cộng đối với sin và cos nếu thay a  b thì cơng thức thay đổi ra
sao ?
2
2
2
- Tính sin a; cos a; tan a theo cos 2a ?
Thực hiện trên lớp:
- Đến giờ học giáo viên cho học sinh đổi chéo bài và tự kiểm tra sản phẩm của các
bạn khác.
- Giáo viên điều hành, quan sát, hướng dẫn.
- Gọi học sinh thảo luận, nhận xét bài làm của các bạn.
- Giáo viên đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và

tổng hợp kết quả.
*Công thức nhân đôi:
sin 2a  2 sin a cos a
cos 2a cos 2 a  sin2 a 2 cos 2 a  1 1  2 sin2 a
2 tan a
tan 2a 
1  tan 2 a
1  cos 2a
cos 2 a 
2
1  cos 2a
sin 2 a 
2
1  cos 2a
tan 2 a 
1  cos 2a
Chú ý công thức hạ bậc:

Bài tập áp dụng để ghi nhớ cơng thức:
Bài 1: Hãy tính cos 4 theo cos 
Giáo viên gợi ý: - dùng công thức nhân đơi để phân tích cos 4
- dùng cơng thức nhân đơi phân tích cos 2
4
2
- Được: cos 4  8cos   8cos   1

cos
8 ( không dùng máy tính).
Bài 2: Tính


8
- dùng cơng thức nhân đơi phân tích
A  sin  cos cos 2 cos 4
Bài 3: Đơn giản biểu thức :
cos

-Thêm bớt để dùng công thức nhân đôi của sin


Ghi nhớ bằng thơ:

Sin gấp đôi = 2 sin cos
Cos gấp đơi = bình cos trừ bình sin
= hai bình cos trừ 1
= 1 trừ hai bình sin
Chỉ nhớ cơng thức nhân đơi của cos trên rồi từ đó có thể suy ra công thức hạ bậc.
Tang gấp đôi=Tang đôi ta lấy đơi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
* Cơng thức biến đổi tích thành tổng
u cầu: Dùng công thức cộng thực hiện phép biến đổi sau
1
 cos     cos    
2
1
 cos     cos    
2
1
 sin     sin   
2

Thực hiện trên lớp:
- Đến giờ học giáo viên cho học sinh đổi chéo bài và tự kiểm tra sản phẩm của
các bạn khác.
- Giáo viên điều hành, quan sát, hướng dẫn.
- Gọi học sinh thảo luận, nhận xét bài làm của các bạn.
- Giáo viên đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tổng hợp kết quả.
*Cơng thức biến đổi tích thành tổng :
1
cos a cos b  [cos( a  b)  cos( a  b)]
2
1
sin a sin b   [cos(a  b)  cos( a  b)]
2
1
sin a cos b  [sin( a  b)  sin( a  b)]
2
- Yêu cầu học sinh thực hiện phép tính:
1.

sin

5

.sin
24
24

Cách học thuộc bằng thơ:

2.

cos

7
5
sin
12
12


Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ
*Cơng thức biến đổi tích thành tổng
u cầu:
H1. Nhắc lại cơng thức biến đổi tích thành tổng?
    u

H2. Từ các công thức biến đổi tích thành tổng ở trên .Nếu đặt     v
uv
u v

; 
2
2 )thì ta được các cơng thức nào?
tứclà (

Cơng thức biến đổi tổng thành tích.

uv
u v
2 cos
cos
2
2 .
*cos u + cos v =
*cos u - cos v =

2sin

uv uv
sin
2
2

2sin

uv
u v
cos
2
2 .

2cos

uv uv
sin
2
2

*sin u + sinv =

*sin u - sinv =
Thực hiện ví dụ 1: Chứng minh rằng:




sin   cos  2 sin      2 cos   
4
4


1.





sin   cos   2 sin      2 cos   
4
4


2.
Cơng thức biến tổng thành tích:
sin tổng lập tổng sin cô
cô tổng lập hiệu đôi cô đơi chàng
cịn tan tử cộng đơi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng hai tan)

một trừ tan tích mẫu mang thương sầu
gặp hiệu ta chớ lo âu,
đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng
VẬN DỤNG THỰC TẾ.


Bài 1: Giải quyết một số bài toán áp dụng công thức lượng giác trong thực tế.
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của
mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày cho bởi công
 t  
  t 3
h  6 cos   cos  
 16 8 
 16 8
thức


 12

. Mực nước cao nhất của kênh trong ngày có

thể đạt tới là bao nhiêu?
Lời giải

  t     t 3
h  6cos   cos  
 16 8   16 8

1   t  


  
 t  
12
 6. cos    cos   3cos  
2  8 4

 2 
 8 4

 t  
 cos     1
 8 4
Với 0  t  24 thì mực nước cao nhất khi h lớn nhất
.
Do đó mực nước cao nhất có thể đạt tới là 15 (m).

Bài 2: Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O , với vận tốc ban đầu là v
(m/s), theo phương hợp với trục hồnh Ox một góc  ,
phương trình

y

0  


2 , là parabol có

g
x 2   tan   x
2

2v cos 
, trong đó g là gia tốc trọng trường (
2

g  9,8 m / s 2 ) (giả sử lực cản của khơng khí không đáng kể). Gọi tầm xa của quỹ
đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với trục Ox (xem hình

vẽ).

 
 0; 
v

Khi khơng đổi, thay đổi trong khoảng  2  , hỏi với giá trị  nào thì tầm xa
của quỹ đạo đạt giá trị lớn nhất? Tính giá trị lớn nhất đó ( xmax ) theo v .

Lời giải
Tầm xa của quỹ đạo thỏa phương trình:
0

g
v 2 sin 2
2
x

tan

x

x




2v 2 cos 2 
g
(vì x  0 ).


Ta có:

x

v 2 sin 2 v 2



 sin 2  1  2    
g
g . Dấu “=” xảy ra
2
4.

v2

x


max
g .
4 và

Vậy tầm xa của quỹ đạo đạt giá trị lớn nhất khi

Bài 3 : Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người
ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB =12m cùng thẳng hàng với
chân C của tháp để đặt hai giác kế (hình 1 và hình 2). Chân của giác kế có chiều
cao h = 1,3m . Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc
°
°
·
·
chiều cao CD của tháp. Người ta đo được DA1C1 = 49 và DB1C1 = 35 . Tính chiều
cao CD của tháp đó.

Lời giải
Gọi
x=

x = C1 D ,

°
°
ta có phương trình: 12 = x.cot 35 - x.cot 49 . Từ đó ta có

12
» 21, 472 ( m)
cot 35 - cot 49°
.
°

Do đó chiều cao CD của tháp là: 21, 472 +1,3 = 22, 772 ( m) .

Như chúng ta thấy các công thức lượng giác rất dễ nhầm lẫn do khá giống
nhau. Để có thể ghi nhớ dễ dàng, sau mỗi cơng thức đều có một số đoạn thơ vui.


Cách học này giúp cho học sinh hạn chế nhầm lẫn và nhớ bài rất nhanh giúp học
sinh có hứng thú với học tập hơn. Thực ra, học toán bằng thơ khơng phải là cách
học mới. Đây có thể được coi là cách học cơng thức tính lượng giác dễ dàng nhất
và được các thầy cô sử dụng nhiều nhất. Khi đã phân tích và hiểu bản chất vấn đề,
cách học bằng thơ sẽ giúp cho các bạn vừa học, vừa vui, vừa nhớ bài một cách
nhanh chóng nhất. Hãy thử áp dụng những bài thơ “thần chú “ này trong quá trình
học lượng giác ta sẽ thấy lượng giác sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Cùng với mẹo học cơng thức lượng giác như vậy thì thường xun làm bài
tập về các công thức lượng giác sẽ giúp bạn nhìn ra được rất nhiều những điểm thú
vị và có kỹ năng áp dụng kiến thức thuần thục. Khi đã rèn luyện được tư duy, mọi
vấn đề đều trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Các bạn học sinh vẫn thường truyền tai nhau :” Khó như lý, bí như hình, linh
tinh như đại “.. Trong q trình học Tốn, phương pháp học vô cùng quan trọng và
quyết định phần lớn thành cơng của các bạn. Vì thế, ngay từ khi làm quen với
những kiến thức phổ thông cơ bản là cơng thức lượng giác, hãy tạo cho mình một
nền tảng thật vững chắc để dễ dàng hơn trong việc chinh phục mơn Tốn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
Sau q trình dạy học và thực nghiệm cho thấy:
- Đối với giáo viên: việc tạo hứng thú trong học tập giúp cho việc dạy học của
giáo viên dễ dàng hơn, giờ dạy không bị nhàm chán, thu hút được sự chú ý của học
sinh, giúp cho học sinh cảm thấy việc học nhà sinh động hơn bởi đó khơng phải là
làm những bài tập sách giáo khoa, không phải làm một bài tốn nâng cao nào mà
chỉ là sự tìm tịi, khám phá một khái niệm mới.
- Đối với học sinh: giúp học sinh chủ động, tích cực, thu hút được học sinh
tham gia xây dựng bài một cách hào hứng, đồng thời giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ

và phát huy tối đa khả năng sáng tạo của mình. Sản phẩm của các em đó là sự kết
hợp độc đáo giữa kiến thức văn chương và toán học, tạo cho các em cảm giác
khơng bị nhàm chán khi học tốn học. Khơng những thế nó cịn giúp cho các em
phát triển năng lực thuyết trình, năng lực phản biện và kỹ năng bảo vệ ý kiến của
mình.
Từ khi áp dụng cách tạo hứng thú cho học sinh vào dạy học tôi thấy việc
giảng dạy của tôi nhẹ nhàng hơn, việc dạy học theo kiểu hàn lâm cơ nói trị nghe
đã khơng cịn nữa, mà thay vào đó là sự kết hợp hài hịa giữa cơ và trị, cơ và trị có
sự trao đổi, tương tác lẫn nhau. Có khi việc giảng bài khơng phải là cơ mà chính là
các em học sinh đang giảng bài cho nhau, đang trao đổi với nhau, đang hỗ trợ cho
nhau trong việc tìm tịi và chiếm lĩnh tri thức. Điều này không chỉ phát huy được
khả năng cho các em học sinh khá giỏi mà cịn khêu gợi, khêu khích các em có học


sinh học lực trung bình, yếu cũng phải tham gia, phải tìm tịi để được như các bạn,
được bày tỏ ý kiến, được tham gia tranh luận cùng các bạn. Bởi việc học qua bạn
bè như vậy các em thấy thoải mái hơn, dễ dàng hơn, đúng như câu thành ngữ “học
thầy không tày học bạn”.
- Đối với nhà trường: nâng cao được chất lượng dạy và học của giáo viên và
học sinh, từ đó tạo nên được các thế hệ học sinh sáng tạo, biết tự rèn luyện kỹ năng
sống, năng động, sáng tạo, độc lập trong công việc và có một khối óc phát triển
tồn diện, đáp ứng được mọi nhu cầu của xã hội.
Kết quả đạt được của những lớp tôi dạy như sau:
Lớp

Sĩ số Xếp loại
Giỏi
SL
%
10A2 44

12
27,3
%
10A6 42
6
14,3
%

Khá
SL
23
24

%
52,3
%
57,1
%

Trung bình
SL
%
9
20,4
%
12
28,6
%

Yếu

SL
0

%

0

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Chúng ta cần thay đổi cách nghĩ, cách làm về giáo dục, trong đó việc nâng
cao chất lượng và hiệu quả giáo dục là hết sức quan trọng, việc tạo hứng thú cho
học sinh trong dạy học là việc làm hết sức cần thiết trong đổi mới phương pháp
dạy học
Việc tạo hứng thú cho học sinh không yêu cầu đồ dùng và thiết bị dạy học
hiện đại, phức tạp mà chỉ cần dùng bảng phụ, giấy khổ A 0; A4; A3, phấn màu, bút
màu và các thiết bị dạy học cần thiết khác để học sinh chuẩn bị bài trước ở nhà, nó
thích hợp với cơ sở vật chất của tất cả các trường hiện nay. Do đó tạo hứng thú cho


học sinh có thể áp dụng cho bất kỳ trường nào, với bất cứ đối tượng học sinh nào
và bất cứ mơn học nào.
Đối với dạy học mơn tốn, việc tạo hứng thú cho học sinh có thể được áp
dụng cho tất cả các tiết dạy kể cả lý thuyết, luyện tập, ơn tập chương. Học sinh có
hứng thú với môn học giúp các em hiểu sâu, nhớ lâu, vận dụng tốt kiến thức, nâng
cao kỹ năng giải quyết vấn đề, đảm bảo được yêu cầu: nhận biết- thông hiểu- vận
dụng.
Để sử dụng hiệu quả phương pháp tạo hứng thú cho học sinh giáo viên
cần phải hướng dẫn ở tiết trước những công việc học sinh cần chuẩn bị, giao cho
tổ, nhóm hoặc từng cá nhân, động viên thái độ tự học, tự nghiên cứu của học sinh.
Qua thời gian áp dụng nội dung của đề tài này tôi thấy hiệu quả đạt được là

khá cao mà quá trình dạy học lại đơn giản, do đó bản thân tơi thấy đây là giải pháp
thúc đẩy quá trình đổi mới phương pháp dạy họ theo hướng tích cực hiệu quả nhất.
Kính mong các đồng chí, bạn bè, đồng nghiệp đóng góp ý kiến, tôi xin chân
thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị
Với giải pháp của đề tài “Một số biện pháp tạo hứng thú cho học sinh khi
học công thức lượng giác” và đã trải nghiệm ở đơn vị, tôi mạnh dạn đưa ra những
kiến nghị sau:
- Đối với học sinh: phải chuẩn bị đầy đủ các đồ dùng học tập, hình thành thói
quen tự nghiên cứu, suy nghĩ, chủ động trong học tập.
- Đối với giáo viên: tích cực vận dụng, sáng tạo trong việc dạy học và soạn
giảng, có thể tổ chức cho học sinh các cuộc thi sang tác các bài thơ về công thức
lượng giác để tăng thêm hứng thú học tập cho học sinh. Tiếp tục nghiên cứu, hoàn
thiện phương pháp nhằm mang lại hiệu quả cao hơn cho học sinh.
- Đối với tổ chuyên môn : thường xuyên tổ chức các buổi trao đổi về phương
pháp dạy học tích cực, để khắc phục các khó khăn, tồn tại trong quá trình giảng
dạy. Tăng cường thao giảng, hội thao để học hỏi và rút kinh nghiệm nhằm nâng cao
hiệu quả dạy và học.
- Đối với nhà trường: tăng cường đầu tư trang thiết bị phục vụ tốt cho giảng
dạy bằng phương pháp mới này, trang bị tài liệu về phương pháp dạy học mới cho
giáo viên và học sinh tham khảo.
- Đối với ngành: hỗ trợ thêm về thiết bị như: máy tính, máy chiếu đa năng,
máy chiếu vật thể nhằm phục vụ tốt cho công tác dạy và học của giáo viên và học
sinh.


- Đối với phụ huynh: kiểm tra đôn đốc việc chuẩn bị bài, học bài của con em
mình ở nhà, tạo điều kiện và khuyến khích các con tích cực, chủ động trong học
tập.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, khơng sao chép
nội dung của người khác.

Lê Thị Khánh Chung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Phương pháp dạy học mơn tốn- Nguyễn Bá Kim,2004- NXB Đại học
Sư phạm.

[2]. Chuẩn kỹ năng- kiến thức của Bộ Giáo dục- Đào tạo.


[3]. Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học mơn tốn ở trường phổ
thơng-Trần Trung, Đặng Xn Cương, Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh
nam, 2011- NXB Giáo dục Việt nam.

[4]. Tài liệu tập huấn chuyên môn do Sở Giáo dục- Đào tạo tổ chức.

[5]. Sách giáo khoa đại số lớp 10.

[6]. Bài tập đại số 10 nâng cao- Phan Huy Khải, 2011- NXB Giáo dục Việt
Nam

[7]. Giáo trình tâm lý học lứa tuổi và sư phạm- PGS.TS. Nguyễn Thị Tứ

[8]. Tài lệu mạng Internet