(SKKN 2022) định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

MỤC LỤC

Trang
1.Mở đầu
2
1.1. Lý do chọn đề tài
2
1.2. Mục đích nghiên cứu
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
ĐỊNH
CHO
HỌC
SINH LỚP 12 THPT GIẢI MỘT
2.1.
Cơ sởHƯỚNG
lí luận của sáng
kiến
kinh nghiệm
3
2.2.SỐ
Thực

trạng
vấn đề VỀ
trướcTÍNH
khi áp ĐƠN
dụng sáng
kiến CỦA
kinh nghiệm
4
BÀI
TOÁN
ĐIỆU
HÀM SỐ DỰA
2.2.1.
ĐốiHAI
với giáo
viên
4
VÀO
HAY
NHIỀU ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC Ở MỨC ĐỘ
2.2.2. Đối với học sinh
4
VẬN
DỤNG
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
5
2.3.1. Phương pháp giải nhanh các bài tốn khơng có tham số về
tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở
5
mức độ vận dụng

2.3.2. Phương pháp giải nhanh các bài tốn có tham số về tính
đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở
10
mức độ vận dụng
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
15
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
18
Người
thực
hiện:
Phạm
Văn
Q
3.1. Kết luận
18
Chức
vụ:
Tổ
trưởng
chun
mơn
3.2. Kiến nghị
18
SKKN
thuộc
lĩnh
vực
(mơn):

Tốn
Tài liệu tham khảo
19
Danh mục: Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng
đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp
20
cao hơn xếp loại từ C trở lên

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

THANH HOÁ, NĂM 2022
1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Bài tốn về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị là bài toán thường xuất hiện
ở các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia (từ năm 2019 trở về trước) cũng
như các kỳ thi tốt nghiệp THPT, vì vậy nó ln được sự quan tâm đặc biệt đối
với học sinh cũng như giáo viên. Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục
đã chuyển môn tốn sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên các bài tốn
về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị càng trở nên đa dạng và phong phú,
đồng thời kiến thức trải rất rộng và có tính phân hóa cao. Mặt khác vì hình thức
thi trắc nghiệm khách quan nên phần lớn các bài tốn tính đơn điệu của hàm số
dựa vào đồ thị cần phải suy luận logic và hầu như ít sử dụng được máy tính cầm
tay, đặc biệt hơn trong những năm gần đây các bài tốn về tính đơn điệu của
hàm số dựa vào đồ thị ở mức độ vận dụng thường có xu hướng gắn với đồ thị
hàm số cho trước làm cho giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm tịi
lời giải, vì để giải quyết được các bài tốn loại này u cầu địi hỏi phải có kiến
thức tổng hợp về hàm số và đồ thị, kỹ năng đọc đồ thị và sự tương giao của đồ

thị, đồng thời phải linh hoạt trong việc vận dụng kiến thức đơn điệu của hàm số
vào từng bài toán cụ thể. Ngoài ra, các tài liệu tham khảo trong những năm gần
đây mới chỉ tổng hợp phân loại các dạng bài tốn về tính đơn điệu của hàm số ở
mức độ nhận biết, thơng hiểu, cịn ở mức độ vận dụng mới chỉ dừng lại ở các
y = f ( x)
dạng bài tốn về tính đơn điệu của hàm số
khi biết đồ thị hàm số
y = f '( x )
mà học sinh quen gọi là các bài toán đơn điệu “hàm ẩn”. Tuy nhiên
khi gặp những bài tốn về tính đơn điệu của hàm số liên quan đến hai hay nhiều
đồ thị trở thì học sinh thường lúng túng, khơng biết định hướng khi tìm lời giải,
hơn nữa những dạng tốn trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những
2


bài toán đơn lẻ và trong các đề thi thử. Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương
pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong q trình
ơn thi tốt nghiệp THPT. Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong
quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài
“Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải một số bài toán về tính đơn điệu
của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng”
nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt kết quả tốt
nhất trong các kì thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thơng qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướng
được cách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số số bài tốn
về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ
vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng. Từ đó kích thích khả năng tư duy,
phát triển tư duy hàm của học sinh cũng như sự ham hiểu biết và u thích mơn
học của học sinh.

1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức về hàm số, đồ thị của hàm số trong chương trình tốn THPT.
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài tốn khơng có tham số
về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ
vận dụng
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài tốn có tham số về
tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận
dụng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản về hàm số, đồ thị của hàm số
2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số
K
Kí hiệu
là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
y = f ( x)
K
xác định trên . Ta nói:
y = f ( x)
x1; x2
K
Hàm số
đồng biến (giảm) trên
nếu với mọi cặp
thuộc

f ( x1 )
f ( x2 )
x1
x2
K
mà nhỏ hơn
thì
lớn hơn
, tức là:
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
.

3


y = f ( x)

K

x1; x2

Hàm số
nghịch biến (tăng) trên
nếu với mọi cặp
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
x2
K
thuộc

mà nhỏ hơn
thì
nhỏ hơn
, tức là:
x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
;
K
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
được gọi chung là hàm số
[ 1]
K
đơn điệu trên
2.1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
* Định lí
y = f ( x)
K
Cho hàm số
có đạo hàm trên
f '( x ) > 0
f ( x)
x
K
K
a) Nếu
với mọi thuộc
thì hàm số
đồng biến trên
f '( x ) < 0
f ( x)
x

K
K
b) Nếu
với mọi thuộc
thì hàm số
nghịch biến trên
* Chú ý
Ta có định lí mở rộng sau đây.
f ' ( x ) ≥ 0 ( f ' ( x ) ≤ 0 ) , ∀x ∈ K
y = f ( x)
K
có đạo hàm trên . Nếu
Giả sử hàm số
f '( x ) = 0
và
chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến)
[ 1]
K
trên
2.1.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
y = f ( x)
( a ; b)
Cho hàm số
xác định trên khoảng
và có đạo hàm tại
x0 ∈ ( a ; b )
. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.
* Định lí
y = f ( x)
x0

Đạo hàm của hàm số
tại điểm
là hệ số góc của tiếp tuyến
M 0 ( x0 ; f ( x0 ) )
M 0T
của (C) tại điểm
* Định lí
y = f ( x)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
tại điểm
M 0 ( x0 ; f ( x0 ) )
y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )
y0 = f ( x0 )
là:
, trong đó
[2]

4


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
- Trước đây bài tốn về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị cho trước
trong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016) chỉ là một bài áp dụng
trực tiếp đồ thị đã khảo sát ở câu trước đó vì vậy mức độ nhận thức cũng khơng
địi hỏi q cao
- Hiện tại với hình thức thi trắc nghiệm và đặc biệt là đề thi THPT Quốc
gia các năm gần đây cũng như kỳ thi Tốt nghiệp THPT các năm 2020, 2021 và
các đề tham khảo của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các đề thi thử của các trường
THPT, các câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị cho trước đã xuất

hiện nhiều hơn, rộng hơn. Đặc biệt thường xuyên xuất hiện những câu hỏi về
tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận
dụng. Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy
nguồn tham khảo của giáo viên cũng như học sinh còn hạn chế còn hạn chế.
- Các giáo viên chưa có nhiều tài liệu và thời gian nghiên cứu những dạng
tốn về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước, vì vậy
chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải
những bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho
trước ở mức độ vận dụng.
2.2.2. Đối với học sinh
- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về
kinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về mơn tốn của các
em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.
- Với lớp bài tốn vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận
và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý
thức tìm tịi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài
toán.
- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em cịn ít.
- Việc thi trắc nghiệm địi hỏi học sinh khơng chỉ hiểu đúng bản chất bài
tốn mà cịn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa.
- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài tốn bài tốn về tính đơn
điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước các em chưa được tiếp
xúc nhiều, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng. Bên cạnh đó các em cịn
chưa định hướng được phương pháp đúng đắn khi tiếp xúc với các bài toán về
tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận
dụng nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này.
Trước tình hình đó tơi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài tốn về
tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận
dụng bằng cách “ định hướng” cho học sinh cách giải một số bài tập ở dạng này
một cách “chính xác” và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy và kích

thích sự ham học tập của các em.

5


2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Phương pháp giải nhanh các bài tốn khơng có tham số về tính đơn
điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng
y = f ( x), y = g ( x )
¡
Bài 1: Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị các đạo hàm
f ′( x ) g ′( x)
g ′( x)
,
(đồ thị
là đường đậm hơn) như hình vẽ. Hàm số
h( x) = f ( x − 1) − g ( x − 1)
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

1 
 ;1÷
2 
A.
.
* Phân tích:

B.

( 1;+∞ )

.

C.

( 2;+∞ )

.

D.

 1
 −1; ÷
2


Với bài tốn này thì ta định hướng tìm lời giải bằng cách tìm đạo hàm
h '( x ) < 0
x
sau đó cho
và tìm các khoảng giá trị của
* Giải:
h′( x) = f ′ ( x − 1) − g ′( x − 1)
Ta có:
.
h( x) = f ( x − 1) − g ( x − 1)
⇔ h′( x) < 0
Khi đó:
nghịch biến

⇔ f ′ ( x − 1) − g ′( x − 1) < 0 ⇔ f ′( x − 1) < g ′( x − 1)

h '( x )

,

1
1


−
2
<
x
−
1
<
−
−
1
<
x
<
⇔
2⇔
2.


0 < x − 1 < 1
1 < x < 2

⇒

Chọn D

* Nhậ

n xét: Đây là bài tốn khá quen thuộc nên việc tìm ra lời giải bài tốn

cũng khơng phải là vấn đề, chỉ cần lưu ý khi đọc đồ thị hai hàm
g '( x ) .

f '( x )

và

6


Bài 2: (Mã đề 101 – Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018) Cho hai hàm số
y = f ( x) y = g ( x)
y = f ′( x )
y = g′( x )
,
. Hai hàm số
và
có đồ thị như hình vẽ
y = g′( x )
bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
.

3

h ( x ) = f ( x + 4) − g  2x − ÷
2


Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 31 
9 
 31

 25 
 5; ÷
 ;3 ÷
 ; +∞ ÷
 6; ÷
 5
4 
5

 4 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

* Phân tích: Với các bài tốn đơn điệu của hàm số thì học sinh khá quen với bài
y = f '( x )
toán “hàm ẩn” như cho đồ thị hàm số
yêu cầu tím các khoảng đơn
f ( x)
g ( x)
f '( x )
điệu của hàm
hoặc hàm
mà sau khi đạo hàm lên sẽ thấy hàm
.
y = f ′( x )
y = g′( x )
Tuy nhiên với bài toán này đề bài cho hai đồ thị hàm số
và
3

h ( x ) = f ( x + 4) − g  2x − ÷
2

và yêu cầu tìm khoảng đồng biến của hàm
. Thực
sự mà nói nếu vẫn theo lối mịn cũ của những bài “hàm ẩn” như bài 1 thì ta rất
khó định hướng, hơn nữa với các điểm cụ thể trên hình vẽ ta sẽ sử dụng như thế
nào? Vì vậy để định hướng giải bài toán ta phải đánh giá được khoảng giá trị của
3
2x −
x+4
2
và

, từ đó dựa vào các giá trị cụ thể của hai đồ thị đã cho ta sẽ đánh
3

h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷
2

giá dấu của hàm số
theo các đáp án của đề bài.
* Giải:

7


3

h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷
2

Ta có
.
9 
25
∀x ∈  ;3 ÷
< x+4<7⇒3< x+4<7
4 
4
Dựa vào đồ thị,
, ta có
,
f '( x )

( 3 ; 7)
Vì trong khoảng
hàm số
đồng biến (đồ thi là đường đi lên)
⇒ f ' ( x + 4 ) > f ' ( 3) = 10
(*)
9 
∀x ∈  ;3 ÷⇒ 3 < 2 x − 3 < 9
4 
2 2
Mặt khác:
,
 9
3 ; ÷
g '( x )
 2
Vì trong khoảng
hàm số
đồng biến nên
3

9
g '  2 x − ÷< g ' ÷< g ' ( 8) = 5
2

2
(**)
3

9 

h′ ( x ) = f ′ ( x + 4 ) − 2 g ′  2 x − ÷ > 10 − 2.5 = 0, ∀x ∈  ;3 ÷
2

4 
Từ (*) và (**) suy ra
9 
 ;3 ÷
4 
Do đó hàm số đồng biến trên
⇒
Chọn B
* Nhận xét: Đây là bài tốn khá khó đối với học sinh nếu chưa được tiếp cận,
h '( x )
khi giải bài toán này học sinh thường chỉ tính được đạo hàm
chứ khơng
h '( x )
biết đánh giá
dựa vào các đáp án. Bài tốn này địi hỏi về tư duy hàm của
học sinh ở mức cao, biết đánh giá giá trị hàm số và vận dụng tính đơn điệu của
đồ thị hàm số một cách trục quan từ hình vẽ
8


Bài 3: Cho hai hàm số

f ( x)

và

g ( x)

f '( x )

g '( x )

có đồ thị các đạo hàm
và
h ( x ) = f ( x − 1) − g ( 2 x )
như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
đồng biến trên các
khoảng nào dưới đây?

1

 1
 5
−1 ; ÷
0; ÷


2 ; ÷
( −1;0 )
2
2




 2
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
* Phân tích: Đây là bài tốn hồn tồn tương tự bài toán 2 nên ta sẽ định hướng
h '( x )
h '( x )
cho học sinh tính
và đánh giá
dựa vào đồ thị theo các đáp án đề bài
đã cho
* Giải:
h′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − 2 g ′ ( 2 x )
Ta có
.
 1
∀x ∈  0; ÷⇒ −1 < x − 1 < − 1
f '( x )
 2
2
Với
. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm
nghịch
1

 1
f ' ( x − 1) > f '  − ÷ > 3

 −1 ; − ÷
2

 2
biến trên
nên:
(*)
 1
∀x ∈  0; ÷⇒ 0 < 2 x < 1.
g '( x )
 2
Mặt khác:
Dựa vào đồ thị hàm
ta thấy hàm số
3
0
;
1
⇒
g
'
2
x
<
g
'
1
=
(
)

(
)
(
)
g '( x )
2
đồng biến trên
(**)
3
h′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − 2 g ′ ( 2 x ) > 3 − 2. = 0 ⇒
2
Từ (*) và (**) suy ra:
Hàm số đồng
biến
9


⇒

Chọn C
* Nhận xét: So với bài 1 thì bài 2 được đánh giá “dễ” hơn, các dữ kiện bài tốn
cho trùng khớp với cách đánh giá, vì vậy nếu đã từng làm dạng tốn này rồi thì
học sinh sẽ dễ dàng tìm ra lời giải hơn.
y = f ( x ), y = g ( x ), y = h( x )

Bài 4: Cho ba hàm số
. Đồ thị của ba hàm số
y = f ′( x) y = g ′( x) y = h′( x)
,
,

được cho như hình vẽ.

3

k ( x) = f ( x + 7) + g (5 x + 1) − h  4 x + ÷
2


Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
 5 
5

3 
 3 
 − ;0 ÷
 ; +∞ ÷
 ;1÷
 − ;1÷
 8 
8

8 
 8 
A.
.
B.
.
C.

.
D.
* Phân tích: Khi mới tiếp cận ta thấy bài toán khá rắc rối, đặc biệt sau khi đạo
3

k ′( x) = f ′( x + 7) + 5 g ′(5 x + 1) − 4h′  4 x + ÷
k '( x ) > 0
2

hàm ta được
thì việc giải
k '( x )
sẽ trở nên ko khả thi vì có tới ba đồ thị, vì vậy ta sẽ đánh giá đạo hàm
theo các giá trị của đáp án để từ đó tìm ra lời đáp án bài toán
* Giải:
3

k ′( x) = f ′( x + 7) + 5 g ′(5 x + 1) − 4h′  4 x + ÷
2

Ta có:
.

10


3 
x ∈  ;1÷
8 
Khi

thì



 f ′( x + 7) > 10
7.375 < x + 7 < 8


2,875
<
5
x
+
1
<
6
⇒

 g ′(5 x + 1) > 2 ⇒ 5 g ′(5 x + 1) > 10


3
3
3
3 < 4 x + < 5,5
h′  4 x + ÷ < 5 ⇒ −4h′  4 x + ÷ > −20

2
2
2

 


.

3

3 
k ′( x ) = f ′( x + 7) + 5 g ′(5 x + 1) − 4h′  4 x + ÷ > 0 , ∀x ∈  ;1÷
2

8 
Do đó
.
3

3 
k ( x) = f ( x + 7) + g (5 x + 1) − h  4 x + ÷
 ;1÷
2


8 
Hàm số
đồng biến trên
.
⇒
Chọn C
* Nhận xét: Như vậy các bài tốn ở dạng này địi hỏi học sinh phải có kỹ năng
đọc đồ thị thật thành thạo đồng thời biết vận dụng linh hoạt việc đánh giá giá trị

hàm số để tìm được khoảng đơn điệu của hàm số thông qua các đáp án cho trước
Bài 5: Cho hàm số y = f ( x) , y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng
( −4;3) , hàm số y = e− x+10 f ( x) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

C. 3
D. 4
* Phân tích: Bài tốn cho đồ thị hàm số y = f ( x) , y = f '( x) nhưng lại hỏi
A. 1

B. 2

− x +10
f ( x) nên để sử dụng giả thiết từ việc
khoảng nghịch biến của hàm số y = e
đọc đồ thị thì ta phải làm xuất hiện sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ( x) và

y = f '( x) . Từ định hướng này ta đạo hàm hàm số y = e− x +10 f ( x) và làm xuất

11


hiện phương trình:

f ( x ) − f '( x )

y' = 0

, từ đó dựa vào đồ thị đã cho ta sẽ tìm được số

nghiệm của phương trình

và sẽ tìm được số khoảng nghịch biến.
Giải:
y ' = −e − x +10 f ( x) + f '( x ).e − x +10 = e − x+10 [ − f ( x) + f '( x) ]
Ta có:

Dựa vào đồ thị, ta có:
Bảng biến thiên:
x
y'

 x = a, −4 < a < −3

3
y ' = 0 ⇔ f '( x) = f ( x) ⇔  x = b, − < b < 0
2

 x = c, 0 < c < 3

a

-4
+

0

−3
2

-3
-

-

-

0

c

0

b

+

+

3

0

-

y
− x +10
f ( x) có hai khoảng nghịch
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = e
biến ( a, b); (c;3)
⇒
Chọn B

* Nhận xét: Nhìn chung các bài tốn dạng này khơng có một phương pháp cụ
thể nào tối ưu để giải quyết được tất cả các bài toán, mỗi bài toán ta phải biết tư
duy, tống hợp và xâu chuỗi các kiến thức đã học để vận dụng linh hoạt vào bài
toán cụ thể. Tuy nhiên nếu đề bài đã cho hai hay nhiều đồ thị thì ta phải để ý đến
sự tương giao và phải độc đồ thị một cách chính xác, từ đó vận dụng triệt để các
giả thiết bài toán đã cho để tìm ra hướng giải bài tốn.

2.3.2. Phương pháp giải nhanh các bài tốn có tham số về tính đơn điệu của
hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng
y = f ( x)
y = g ( x)
¡
Bài 1: Cho hàm số
và
là hai hàm số liên tục trên có đồ thị
y = f '( x )
y = g '( x )
hàm số
và
như hình vẽ. Gọi ba giao điểm A, B, C của
y = f '( x )
y = g '( x )
a, b, c
và
trên hình vẽ lần lượt có hồnh độ là
.

12

Gọi

h( x) = g ( x) − f ( x)

, khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
y = h( x)
( a ; c)
A. Hàm số
đồng biến trên khoảng
y = h( x)
( a ; b)
B. Hàm số
đồng biến trên khoảng
y = h( x)
( b ; c)
C. Hàm số
đồng biến trên khoảng
y = h( x)
( a ; c)
D. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
* Phân tích: Đây là bài tốn chứa tham số nhưng ở mức độ vừa phải, chỉ cần
kỹ năng đọc đồ thị ở mức cơ bản mà cụ thể là sự tương giao của hai đồ thị là ta
h '( x ) = g '( x ) − f '( x )
( a ; c)
có thể xét được dấu của hàm số
trên
. Hơn nữa ta
y = h( x)
( a ; c)

chỉ cần lập được bảng biến thiên của hàm số
trên
là bài toán
được giải quyết.
Giải:
h '( x ) = g '( x ) − f '( x )
Ta có:
x = a
h '( x ) = 0 ⇔ f '( x ) − g '( x ) = 0 ⇔  x = b

 x = c

b< x
Trên miền
h '( x ) = g '( x ) −
nên
a< xTrên miền
h '( x ) = g '( x ) −
nên

y = f '( x )

y = g '( x )

y = f '( x )

y = g '( x )

thì đồ thị
nằm phía dưới đồ thị hàm số
f ' ( x ) > 0 ⇔ h ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( b ; c )
thì đồ thị
nằm phía trên đồ thị hàm số
f ' ( x ) < 0 ⇔ h ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a ; b )

Ta có bảng biến thiên đồ thị hàm số

h( x) = g ( x) − f ( x)

trên khoảng

( a ; c)
13


y = h( x)

( b ; c)

Từ bảng biến thiên ta có hàm số
đồng biến trên khoảng
⇒
Chọn C
* Nhận xét: Bài tốn này được giải theo quy trình “cơ bản” của việc xét tính
đơn điệu hàm số đó là: Tính đạo hàm; Xét dấu đạo hàm(dựa vào sự tương giao
của hai đồ thị); lập bảng biến thiên và kết luận về các khoảng đơn điệu. Điều
này là khá quen thuộc với học sinh nên việc định hướng cho học sinh là khá
thuận lợi.

y = f ( x)

y = g ( x)

Bài 2: Cho hai hàm số
và
có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng
y = f ( 2 x − 1)
y = g ( ax + b )
hai hàm số
và
có cùng khoảng nghịch biến. Khi đó
4a + b
giá trị biểu thức
bằng:

0

A. .

B.

−2

.

C.

−4

.

3

D. .

y = f ( x)

* Phân tích: Ở bài này dữ kiện bài toán cho đồ thị hai hàm số
và
y = g ( x)
y = f ( 2 x − 1)
y = g ( ax + b )
và hai hàm số
và
có cùng khoảng nghịch
y = f ( 2 x − 1)
biến vì vậy ta sẽ khai thác tính đơn điệu của hàm số
(khơng có
y = f ( 2 x − 1)
y = g ( ax + b )
tham số) từ đó ta sẽ cho hai hàm số
và
có cùng
y = f ( 2 x − 1)
khoảng nghịch biến thông qua khoảng nghịch biến của hàm số
, từ
a
b
đó sẽ tìm được và

Giải:
14


y = f ( x)

y = f ( x)

⇔1< x < 3
ta có:
nghịch biến
⇔ 1 < 2x − 1 < 3 ⇔ 1 < x < 2
nghịch biến
y = f ( 2 x − 1)
( 1 ; 2)
⇒
hàm số
nghịch biến trên khoảng
x < 0
⇔
y = g ( x)
y = g ( x)
x > 2
Từ đồ thị hàm số
ta có:
nghịch biến
y = g ( ax + b )
y ' = g ' ( ax + b ) = a.g ' ( ax + b )
Xét hàm số
ta có:

y = g ( ax + b )
a>0
⇔ y ' = a.g ' ( ax + b ) < 0
* Nếu
ta có:
nghịch biến
b

x
<
−

a

 ax + b < 0
x > 2 − b
g ' ( ax + b ) < 0 ⇔ 
 ax + b > 2 ⇔ 
a
⇔
Từ đồ thị hàm số
⇒ y = f ( 2 x − 1)

⇒

hàm số

b

 −∞ ; − ÷

a


y = g ( ax + b )

 2−b

; + ∞÷

 a


nghịch biến trên khoảng
và
y = f ( 2 x − 1)
y = g ( ax + b )
Vì hai hàm số
và
có cùng khoảng nghịch biến nên
trường hợp này không thỏa mãn.
y = g ( ax + b )
a<0
⇔ y ' = a.g ' ( ax + b ) < 0
* Nếu
ta có:
nghịch biến
2−b
b
g ' ( ax + b ) > 0 ⇔ 0 < ax + b < 2 ⇔
< x<−

a
a
⇔
y = f ( 2 x − 1)

y = g ( ax + b )

Vậy để hai hàm số
và
2 − b
 a = 1 a = −2
⇔
⇒ 4a + b = −4

b
b
=
4

− = 2
 a
thì :
⇒
Chọn C

có cùng khoảng nghịch biến

y = f ( x)

y = g ( x)

* Nhận xét: Bài toán này cho đồ thị là hàm số
và
vì vậy
chúng ta phải thành thạo trong việc đọc đồ thị để từ đồ thị rút ra được các
khoảng đơn điệu, hơn nữa học sinh cũng phải lưu ý khi tính đạo hàm của hàm số
15


y = g ( ax + b )

hợp và việc giải tìm khoảng nghịch biến của hàm số
cũng phải
a
biết xét các trường hợp của tham số
để tránh sai sót. Về mức độ tư duy bài
tốn này cũng khơng địi hỏi cao nên việc định hướng cho học sinh cũng không
phải là vấn đề
f ( x)
g ( x)
Bài 3: Cho hai hàm số
và
có một phần đồ thị biểu diễn đạo hàm
f ′( x)
g′( x )
và
như hình vẽ.

y = h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − a 2 x + 2022

Biết rằng hàm số
luôn tồn tại một khoảng
( α;β )
a
đồng biến
. Số giá trị nguyên dương của thỏa mãn là
3
4
2
1
A. .
B. .
C. .
D. .
* Phân tích:

Đây là bài tốn chứa tham số nên việc định hướng lời giải sẽ khó
h( x)

khăn hơn, tuy nhiên khi đạo hàm hàm số
ta được:
2
h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) − a
h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x )
. Từ đồ thị ta thấy nếu
thì
h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( x ) ≥ g ′ ( x ) ⇔ a ≤ x ≤ b
khi đó khoảng đồng biến
h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) − a 2 ≥ 0
( a ; b)

là
. Tuy nhiên thực tế bài tốn lại có
g '( x )
⇔ f ′( x ) ≥ g′( x ) + a2
, vì vậy ta nghĩ đến việc tịnh tiến đồ thị
để làm xuất
2
g '( x ) + a
( a ; b)
hiện đồ thị
sao cho vẫn tồn tại khoảng
như trên, tức là tịnh
g '( x )
f '( x )
tiến sao cho vẫn còn phần đồ thị
“nằm dưới” đồ thị
. Đó chính là
hướng giải của bài toán

16


* Giải:

Ta có:
y = h( x)

y′ = h′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) − a 2
y′ ≥ 0

.

Hàm số
đồng biến khi
⇔ f ′( x ) − g′( x ) − a2 ≥ 0 ⇔ f ′( x ) ≥ g′( x ) + a2
y = g′( x ) + a2

y = g′( x )

Đồ thị hàm số
là đồ thị hàm số
tịnh tiến lên phía trên
2
a
đơn vị.
y = h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − a 2 x + 2022
Hàm số
luôn tồn tại một khoảng đồng biến
( α;β )
a 2 < 12 ⇔ −2 3 < a < 2 3
khi:
.
*
a ∈ { 1;2;3}
a ∈ Z+
Mà
, suy ra:
.
⇒
Chọn C

Để giải được bài toán này ta phải liên hệ được phép tịnh tiến đồ thị
* Nhận xét:
với đọc đồ thị một cách chính xác cũng như sự tương giao của hai đồ thị
f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e

a≠0

Bài 4: Cho hai hàm số
với
và
2
g ( x ) = px + qx − 3
y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số
đi qua gốc
y = g ( x)
tọa độ và cắt đồ thị hàm số
tại bốn điểm có hồnh độ lần lượt là
y = f ( x) − g ( x)
−2; − 1; 1; m
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hồnh độ
15
−
y = x 4 − 2.h ( x )
x = −2
2
có hệ số góc bằng
. Khi đó hàm số
đồng biến trên

khoảng nào sau đây?

17


( 0 ; + ∞)

( −5 ; 0 )

( 4 ; 0)

( −∞ ; − 5)

A.
.
B.
C.
.
D.
.
* Phân tích: Mới nhìn vào đề bài ta thấy nhiệm vụ bài toán khá khó khăn vì
h( x)
h '( x )
phải tìm được
hoặc
mà lượng tham số lại rất nhiều. Chính vì tham
f ( x)
g ( x)
số q nhiều nên ta khơng thể tìm được cụ thể hàm số
và

. Tuy nhiên
f ( x)
g ( x)
bài tốn lại cho rõ ràng các hồnh độ giao điểm của hai hàm số
và
vì vậy ta sẽ hướng cho học sinh tìm phương trình hồnh độ giao điểm
f ( x) − g ( x)
h( x)
−2; − 1; 1; m
dựa vào các nghiệm
đó cũng chính là tìm được
.
Tuy nhiên cũng phải lưu ý cho học sinh về giả thiết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
15
−
y = f ( x) − g ( x)
x = −2
2
tại điểm có hồnh độ
có hệ số góc bằng
để từ đó ta
15
h′ ( −2 ) = −
2
có dữ kiện
. Đến đây coi như bài tốn được giải quyết
Giải:
y = f ( x)
e = 0.
+ Đồ thị hàm số

đi qua gốc tọa độ nên
h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ax 4 + bx 3 + ( c − p ) x 2 + ( d − q ) x + 3
+ Xét hàm số:
= a ( x + 2 ) ( x + 1) ( x − 1) ( x − m )
Đồng nhất hệ số 2 đa thức ta được

3 = 2ma ( 1)

.
18


y = f ( x) − g ( x)

+ Theo bài, tiếp tuyến của đồ thị hàm số
15
15
−
h′ ( −2 ) = −
x = −2
2
2
có hệ số góc bằng
nên
.
h ' ( −2 ) = a ( −2 + 1) ( −2 − 1) ( −2 − m )
Mà:
Nên:
15
h′ ( −2 ) = − ⇔ 2a ( m + 2 ) = 5

( 2)
2

Từ

( 1) , ( 2 )

tại điểm có hoành độ

1
a= ;m=3
2

suy ra
.
1
1
1
7
1
h ( x ) = ( x + 2 ) ( x + 1) ( x − 1) ( x − 3 ) = x 4 − x 3 − x 2 + x + 3
2
2
2
2
2

Vậy
4
⇒ y = x − 2.h ( x ) = x 3 + 7 x 2 − x − 6 ⇒ y ' = = 3x 2 + 14 x − 1

Hàm số

y = x 4 − 2.h ( x )

đồng biến

−7 − 2 13
≈ −4,74
x <
3
2
= 3 x + 14 x − 1 > 0 ⇔ 

−7 + 2 13
x>
≈ 0,07

3

⇔ y' =

⇒

Chọn D
Để giải được bài tốn này địi hỏi mức độ tư duy tổng hợp, vận

* Nhận xét:
dụng các kiến thức về đồ thị, tương giao của hai đồ thị cũng như kiến thức về
tiếp tuyến của hàm số phải tốt. Học sinh phải biết chuyển từ đồ thị sang phương
trình hồnh độ giao điểm cũng như phương pháp “đồng nhất hệ số” để tìm ra

h( x)
h( x)
hàm số
. Khi tìm được hàm số
thì bài tốn được giải quyết

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng thành công ở lớp 12 trường THPT
Hậu Lộc 3 và đã mang lại những kết quả tích cực đối với học sinh cũng như
đồng nghiệp giáo viên.
- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần đồ
thị hàm số, đặc biệt là những bài toán về số nghiệm của phương trình thơng qua
19


đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng đã giúp tơi có những kiến thức mới và kinh
nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em. Từ đó định hướng cho các em
cách phát hiện và tư duy trong việc giải các bài toán ở mức độ vận dụng.
- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham
khảo và hướng dẫn cho học sinh khi giải các bài toán về số nghiệm của phương
trình thơng qua đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng
- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toán
giúp học sinh phát triển tư duy hơn. Học sinh có khả năng định hướng được cách
làm với những dạng bài tập khó khác. Học sinh tự tin hơn trong quá trình làm
bài, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập. Việc làm các bài tập đồ thị
hàm số nói chung và bài tập về số nghiệm của phương trình thơng qua đồ thị cho
trước của các em trở nên nhanh chóng và chính xác. Cụ thể, tôi cho các em một
số bài kiểm tra phần số nghiệm của phương trình thơng qua đồ thị cho trước
trong từng quá trình trước và sau khi áp dụng phương pháp giải bài tập về số

nghiệm của phương trình thơng qua đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng, kết quả
như sau:
Bài kiểm tra số 1: ( Trước khi áp dụng sáng kiến)
Đề bài:
Bài 1: (Mã đề 102 – Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018) Cho hai hàm số
y = f ( x) y = g ( x)
y = f ′( x )
y = g′( x )
,
. Hai hàm số
và
có đồ thị như hình vẽ
y = g′( x )
bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
. Hàm số
9

h ( x ) = f ( x + 7) − g  2x + ÷
2

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 16 
 2; ÷
 5

.

 3 
 − ;0 ÷
 4 
B.
.

C.

 16

 ; +∞ ÷
5


.

 13 
 3; ÷
 4
D.
.

20


f ( x)

g ( x)

Bài 2: Cho hai hàm số

và
có một phần đồ thị biểu diễn đạo hàm
f ′( x )
g′( x )
a
và
như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
y = h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − a 2 x + 2019
để hàm số
tồn tại một khoảng đồng biến
( α;β )
?

1
A. .
Kết quả:
Lớp

Sĩ số

12A1
12A2

44
41

B.

2

3
C. .

.

Đúng 0 câu
SL
Tỉ lệ
29
66.0%
32
78.0%

Đúng 1 câu
SL
Tỉ lệ
14
32.0 %
9
22.0 %

D.

4

.

Đúng 2 câu
SL
Tỉ lệ

1
2.0 %
0
0%

Bài kiểm tra số 2: ( Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm)
Câu 1: Cho hàm số
hàm số

A. 1 .

y = e− x . f ( x )

y = f ( x ) , y = f '( x )

0; 2
có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng ( ) ,

có bao nhiêu khoảng đồng biến?

B. 3 .
y = f ( x)

y = g ( x)

C. 2 .

D. 4 .

Câu 2: Cho hai hàm số

và
có đồ thị biểu diễn đạo hàm
f '( x )
g '( x )
y = f ( x ) − g ( x + 2)
và
như hình vẽ. Biết rằng hàm số
đồng biến
(α ; β )
β −α = 8
trên
thỏa giá trị lớn nhất của
, phương trình tiếp tuyến với đồ
21


y = g ( x)

thị
y = f ( x)

x1 = 11

y = 3x + 2

tại điểm
là
và phương trình tiếp tuyến với đồ thị
f ( 9)
x2 = 9

y = ax + 1
tại điểm
là
. Giá trị của
bằng:

A.
Kết quả:

13

.

B.

28

.

C.

−26

.

D.

22

.

Đúng 0 câu
Đúng 1 câu
Đúng 2 câu
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
SL
Tỉ lệ
12A1
44
0
0%
15
34 %
29
66 %
12A2
41
2
4.9%
19
46.3 %
20
48.8%
* So sánh kết quả thu được từ hai bảng ta thấy sau khi áp dụng phương
pháp giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ
thị cho trước thì học sinh làm bài tốt hơn và khả năng tư duy phát triển hơn.
Điển hình là có những câu khó dạng mới gặp các em vẫn làm tốt.

Lớp

Sĩ số

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua việc vận dụng đề tài đã nghiên cứu vào trong quá trình giảng dạy và
học tập của học sinh đã thu đươc những kết quả tích cực như bảng số liệu đã
phân tích. Đề tài đã giúp cho giáo viên rất nhiều trong việc truyền đạt tư tưởng,
phương pháp và kiến thức cho học sinh. Bản thân học sinh khi được giảng dạy
thông qua đề tài đã giúp các em phát triển được tư duy, biết định hướng để giải
một bài tốn. Khơi dậy ở các em niềm thích thú, sự ham học hỏi và đặc biệt giúp
các em đạt hiệu quả cao nhất khi làm bài tập cũng như thi Tốt nghiệp THPT sắp
tới.
Việc áp dụng đề tài không chỉ dừng lại ở một số bài tốn về tính đơn điệu
của hàm số thông qua hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng mà cịn
có thể mở rộng hơn nữa ở nhiều dạng toán khác. Bản thân đề tài là động lực cho
mỗi giáo viên và học sinh tìm tịi phát triển hơn nữa để có được những phương
pháp, cách truyền thụ kiến thức và cảm hứng cho học sinh tốt hơn.

22


3.2. Kiến nghị
Đối với Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thơng qua việc chấm sáng
kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ
biến rộng rãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng
triển khai áp dụng hiệu quả. Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài
nguyên” của Sở và triển khai kho “tài nguyên” đó đến tồn bộ các trường THPT
trong tồn Tỉnh để các giáo viên tồn Tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi.

Đối với trường THPT Hậu lộc 3: Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựa
chọn cần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ, nhóm. Cần có những bản lưu
trong thư viện để giáo viên và học sinh tham khảo.
Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, những
hạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện
sáng kiến hơn nữa.
Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc
áp dụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình. Phản hồi những mặt tích
cực. những mặt hạn chế của sáng kiến.
Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học
Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hồn
thiện hơn nữa.
Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2022
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
ĐƠN VỊ
nghiệm của tôi, không sao chép nội
dung của người khác
Người viết sáng kiến

Phạm Văn Quí
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK giải tích 12 – Nhà xuất bản giáo dục 2008
2. SGK Đại số và Giải tích 11 – Nhà xuất bản giáo dục 2008
3. Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018, 2019, Đề tốt nghiệp THPT năm
2020, 2021 của Bộ giáo dục và đào tạo
4. Website:
5. Website:

23

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Văn Quí
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn, Trường THPT Hậu
Lộc 3
Kết quả
Cấp đánh
đánh giá Năm học
T
giá xếp loại
Tên đề tài SKKN
xếp loại đánh giá
T
(Phòng,
(A, B,
xếp loại
Sở, Tỉnh...)
hoặc C)
Một số phương pháp giải
1
Cấp Sở
C
2007-2008
phương trình khơng mẫu mực
24

2

3

4

5

6

7

Một số cách giải bài toán so
sánh nghiệm của phương trình
bậc hai với một số
Định hướng cho học sinh phát
hiện và giải quyết vấn đề với
bài toán tọa độ trong mặt
phẳng từ các tính chất của
đường trịn
Định hướng cho học sinh lớp
12 THPT giải nhanh một số
dạng bài tập tích phân ở mức
độ vận dụng
Định hướng cho học sinh lớp
12 THPT giải nhanh một số
dạng bài tập trắc nghiệm về
môđun của số phức ở mức độ
vận dụng
Định hướng cho học sinh lớp

12 THPT giải các bài tốn tích
phân thơng qua đồ thị cho
trước ở mức độ vận dụng
Định hướng cho học sinh lớp
12 THPT giải bài tốn tìm số
nghiệm của phương trình dựa
vào đồ thị cho trước ở mức độ
vận dụng

Cấp Sở

C

2013-2014

Cấp Sở

B

2014-2015

Cấp Sở

C

2017-2018

Cấp Sở

C

2018-2019

Cấp Sở

C

2019-2020

Cấp Sở

C

2020-2021

25