Tiểu luận môn LÝ THUYẾT HÀM LỒI SUY RỘNG LỜI TỰA VÀ TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
Tiểu luận
Môn:
LÝ THUYẾT HÀM LỒI SUY RỘNG
Đề tài:
LỜI TỰA VÀ TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI
SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG
TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI.
Học viên thực hiện : Phan Huy Phong
Chuyên ngành : Toán Giải tích
Giảng viên hướng dẫn : PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh
HUẾ, 2013
MỤC LỤC
Trang phụ bìa 1
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 2
1 LỜI TỰA 3
2 TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG
TRONG TRƯỜNG HỢP HÀM KHẢ VI 11
2.1 Những điều kiện cấp 1 đối với tính tựa lồi . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Tính đơn điệu suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết về hàm lồi suy rộng là sự phát triển lý thuyết hàm lồi. Nó mở rộng
các lớp hàm lồi với những tính chất tốt bằng cách giảm dần các khái niệm. Đây
là một môn học khá thú vị và có ý nghĩa ứng dụng cao trong thực tiễn. Được sự
hướng dẫn của thầy Phan Nhật Tĩnh, chúng tôi đã được dịch và tìm hiểu về một
số vấn đề được giao. Vì vậy trong tiểu luận này chúng tôi tìm hiểu về tổng quan
lý thuyết này và từ đó trình bày một số tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính
đơn điệu suy rộng trong trường hợp khả vi. Do đó, nội dung tiểu luận được chia

làm ba chương:
Chương I. Lời tựa. Phần này, chúng tôi làm rõ về lịch sử phát triển của lý
thuyết và những nội dung trọng tâm của nó.
Chương II. Tiêu chuẩn cho tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy
rộng trong trường hợp hàm khả vi. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về
tiêu chuẩn cho hàm giả lồi và tính chất đơn điệu suy rộng đối với lớp hàm khả vi.
Trong quá trình giải quyết vấn đề, chúng tôi đã tham khảo, tìm hiểu các tài
liệu, trao đổi với bạn bè và đặc biệt là thông qua các buổi seminar ở lớp. Qua
đây, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh đã
nhiệt tình giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, chúng tôi xin
cảm ơn thầy đã tạo điều kiện để chúng tôi tiếp cận, tìm hiểu đề tài.
Huế, tháng 05 năm 2013
PHAN HUY PHONG
2
Chương 1
LỜI TỰA
Tính lồi của hàm đóng vai trò trung tâm trong nhiều lĩnh vực của toán ứng
dụng. Một trong những lý do, đó là nó được trang bị rất tốt để giải các bài toán
cực trị. Chẳng hạn, một số điều kiện cần để tồn tại cực tiểu trở thành điều kiện đủ
trong bài toán lồi. Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán thực tế có thể được
mô tả bởi mô hình lồi. Trong nhiều trường hợp, hàm không lồi cho ta biểu diễn
thực chính xác hơn. Những lớp hàm không lồi này được sinh ra mà vẫn giữ một số
tính chất tốt và đặc trưng của hàm lồi. Chẳng hạn, sự có mặt của chúng bảo đảm
những điều kiện cần để có cực tiểu trở thành đủ hoặc cực tiểu địa phương cũng là
cực tiểu toàn cục. Điều này dẫn đến sự ra đời một số khái niệm suy rộng của lớp
hàm lồi. Nó xảy ra trong các lĩnh vực khác nhau như kinh tế, xây dựng, khoa học
quản lý, lý thuyết xác suất và những khoa học ứng dụng khác trong suốt nửa sau
của thế kỉ XX.
Chẳng hạn, một tính chất nổi trội và thường dùng của hàm lồi là các tập mức
con cũng là tập lồi. Nhiều hàm không lồi thuần túy cũng có tính chất này. Nếu xét

lớp tất cả các hàm có các tập mức con là lồi thì ta nhận được lớp các hàm tựa lồi.
Nó rộng hơn nhiều so với lớp các hàm lồi. De Finetti được xem là người đã đưa ra
thuật ngữ hàm tựa lồi vào năm 1949. Tuy nhiên tính tựa lồi đã đóng vai trò quan
trọng trong năm 1928 với định lý minimax của John von Neumann, định lý này
được đưa ra như một giả thuyết kĩ thuật chứ không phải là một loại hàm mới.
Nhiều lớp hàm lồi suy rộng khác cũng được đưa ra sau đó. Những năm gần đây,
bên cạnh hàm lồi suy rộng nhận giá trị thực cũng như giá trị vectơ, các hàm lồi
suy rộng đa trị cũng được tập trung nghiên cứu. Trong suốt 40 năm qua, các hoạt
động nghiên cứu trong lĩnh vực này có dấu hiệu gia tăng đáng kể.
Một điểm nổi bật của tính lồi đó là mối liên hệ gần gũi với tính đơn điệu: một
hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi gradient của nó là ánh xạ đơn điệu. Điều này có
thể mở rộng cho các hàm không khả vi thông qua các đạo hàm suy rộng, các vi
phân dưới và ánh xạ đa trị. Những liên hệ tương tự cũng được phát hiện giữa hàm
lồi suy rộng với ánh xạ đơn điệu suy rộng. Ví dụ: hàm khả vi là tựa lồi khi và chỉ
3
khi gradient của nó tựa đơn điệu.
Mảng ánh xạ đơn điệu suy rộng không mới trong các tài liệu. Thật thú vị là
việc xuất hiện lần đầu của tính đơn điệu suy rộng lại là năm 1936 (trước cả khi ra
đời thuật ngữ này). Đáng lưu ý là điều này được tìm thấy độc lập và gần như cùng
thời gian trong cả 2 bài báo: một là của Georgescu-Roegen (1936) đề cập đến khái
niệm sở thích địa phương trong thuyết tiêu dùng của kinh tế học, và tài liệu kia là
của Wald (1936) chứa đựng chứng minh chặt chẽ đầu tiên về sự tồn tại trạng thái
cân bằng cạnh tranh chung. Điều đáng chú ý là những tiên đề khác nhau về sự ưa
thích được bộc lộ trong thuyết tiêu dùng thực ra là những điều kiện về tính đơn
điệu suy rộng.
Việc thừa nhận mối liên hệ gần gũi giữa trường được thiết lập tốt có sẵn của
tính lồi suy rộng với trường tương đối không phát triển được của tính đơn điệu
suy rộng đã mang lại sự thúc đẩy cho cả hai và dẫn đến sự gia tăng các hoạt động
nghiên cứu chuyên ngành. Ngày nay, tính đơn điệu suy rộng thường được sử dụng
trong việc giải quyết các vấn đề phụ, bất đẳng thức biến phân và trạng thái cân

bằng.
Tập sách đầu tiên viết riêng cho tính lồi suy rộng, đó là Proceedings of a NATO
Advanced Study Institute (Báo cáo của viện nghiên cứu cấp cao NATO) được tổ
chức bởi Avriel, Schaible và Ziemba ở Vancouver, Canada từ ngày 4-15 tháng 8 năm
1980; "Generalized Concavity in Optimization and Economics" (Tính lõm suy rộng
trong tối ưu hóa và kinh tế học) của Schaible và Ziemba (1981, Academic Press)
(học viện báo chí). Tiếp sau đó là chuyên đề "Generalized Concavity" (tính lõm suy
rộng) của Avriel, Diewert, Schaible, Zang (1988, Plenum Publishing Corporation)
(nhà xuất bản Plenum). Cả hai tập sách này đều xác nhận mối liên hệ gần gũi
giữa hàm lồi suy rộng trong toán với ứng dụng thích hợp của nó, đặc biệt trong lý
thuyết kinh tế, nơi mô tả lĩnh vực này ngay từ đầu.
Mordecai Avriel là người đã khởi xướng chuyên đề đầu tiên về sự suy rộng của
tính lồi năm 1978. Ngay sau đó ông cũng đề xuất tổ chức hội nghị quốc tế về chủ
đề này. Ông thường nhấn mạnh tầm quan trọng của những ứng dụng tính lồi suy
rộng trong lý luận. Điều này cho thấy phạm vi nghiên cứu liên ngành của đề tài
này.
Từ 2 tập sách ban đầu này đã có một lượng lớn các kiến thức mới được tích
lũy, được trình bày riêng biệt trong các tài liệu nghiên cứu, đã dẫn đến sự ra đời
của ý tưởng giới thiệu những kết quả nghiên cứu chính về tính lồi suy rộng và tính
đơn điệu suy rộng trong một quyển sách chỉ nam.
Tập sách này gồm 14 chương được biên soạn bởi các chuyên gia hàng đầu thuộc
các lĩnh vực khác nhau nghiên cứu về tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng.
Mỗi chương bắt đầu từ những vấn đề rất cơ bản và sau đó phát biểu khéo léo nội
dung của nó. Chúng tôi đưa ra nhiều tài liệu trong lĩnh vực này và có một số chủ
4
đề không đưa vào. Chúng tôi tin rằng việc xuất bản sách tổng hợp viết theo từng
chương có thể lấp các khoảng cách.
Các chương được chia thành 2 phần của cuốn sách, điều này phụ thuộc vào
trọng tâm là tính lồi suy rộng hay tính đơn điệu suy rộng.
Chương 1 được soạn bởi Frenk và Kassay , cung cấp kiến thức về giải tích lồi

và tựa lồi trong không gian hữu hạn chiều. Vì phần này nghiên cứu chủ yếu trên
các tập đã biết, chẳng hạn các tính chất đại số và tôpô quan trọng nhất của không
gian con tuyến tính, tập affine, tập lồi và lồi đều, nón. Các kết quả tách nổi tiếng
cũng được trình bày và sau đó dùng để suy ra các biểu diễn đối ngẫu cho các tập
lồi (lồi đều). Phần tiếp theo chủ yếu nghiên cứu các hàm lồi, tựa lồi, tựa lồi đều.
Qua đó cho thấy việc nghiên cứu này có thể quy về nghiên cứu trên các tập được
khảo sát ở phần trước. Ví dụ: biểu diễn tương đương của kết quả tách các tập lồi
được sử dụng cho biểu diễn đối ngẫu của một hàm. Kết quả quan trọng trong phần
này là định lý Fenchel-Moreau đối với các hàm tựa lồi đều trong giải tích lồi và
sự suy rộng của nó. Phần cuối của chương trình bày một số ứng dụng quan trọng
của giải tích lồi và tựa lồi đối với thuyết tối ưu hóa, thuyết trò chơi và nghiên cứu
hàm tựa lồi đều thuần nhất dương.
Chương 2 được trình bày bởi Crouzeix, phần này dành cho đặc trưng cấp 1 và
2 của hàm lồi suy rộng, tiêu chuẩn cấp 1 đối với tính đơn điệu suy rộng. Đặc trưng
cấp 1 của hàm lồi (tựa lồi, giả lồi, ) suy rộng khả vi bao gồm các đặc trưng trong
điều kiện ánh xạ gradient đơn điệu (tựa đơn điệu, giả đơn điệu, ) suy rộng. Đặc
trưng cấp 2 của tính lồi suy rộng liên quan đến đặc trưng cấp 1 của tính đơn điệu
suy rộng. Trong đó sự hạn chế của dạng toàn phương (nửa) xác định dương trên
không gian con tuyến tính rất quan trọng. Nghiên cứu toàn diện vấn đề chính là
nội dung trình bày trong phần này. Chương bao gồm có một số ứng dụng quan
trọng của hàm Cobb-Douglas, điều kiện để một hàm là hàm toàn phương lồi suy
rộng, lồi, ánh xạ affine đơn điệu suy rộng, phương pháp điểm trong và tính tách
được cộng tính.
Tính lồi của đồ thị trên (epigraph), là cấu trúc hình học đẹp của hàm lồi được
biết đến trong giải tích lồi, có nhiều mối liên hệ mật thiết với tính đơn điệu và khả
vi theo hướng. Đối với hàm tựa lồi, đồ thị trên không lồi nhưng các tập mức con
vẫn lồi. Tương tự các hàm lồi, cấu trúc hình học của các tập mức con kéo theo các
tính chất liên tục và khả vi quan trọng của hàm tựa lồi. Chương 3 được viết bởi
Crouziex, cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự tranh luận trong giải tích tựa lồi giữa
tính chính quy hóa tựa lồi và sự tăng của nón, cũng như các tính chất liên tục và

khả vi đối với hàm tựa lồi. Trong trường hợp không có đạo hàm theo hướng, các
đạo hàm suy rộng như đạo hàm Dini trên và dưới có thể dùng được. Trong các
trường hợp xác định, các đạo hàm này liên hệ với các đối tượng hình học quan
trọng như: nón chuẩn tắc với các tập mức con và tựa vi phân dưới của hàm tựa lồi
5
tại một điểm cho trước. Vai trò và lợi ích của các vấn đề này đều được khảo sát
triệt để trong phần này.
Tính lồi được biết đến trong lý thuyết tối ưu hóa vô hướng cổ điển, đóng vai
trò cơ sở vì nó bảo đảm các tính chất quan trọng như: cực tiểu địa phương cũng là
cực tiểu toàn cục; điểm dừng là cực tiểu địa phương (điều kiện cần tối ưu thứ nhất
cũng là điều kiện đủ). Những kết quả này đạt được trong trường hợp vô hướng
có ảnh hưởng lớn đến lĩnh vực tối ưu hóa vectơ, điều này đang được phát triển
tốt trong thập niên gần đây. Trong tối ưu hóa vectơ, khái niệm cực tiểu thường
được xem như một nón thứ tự trên không gian ảnh của hàm mục tiêu. Nón này chỉ
cảm sinh một thứ tự bộ phận, đây là lý do chính tại sao một số phương pháp mở
rộng khái niệm tính lồi suy rộng trong tối ưu hóa vectơ. Chương 4 được soạn bởi
Cambini và Martein, bàn luận về quy luật của tính chất lồi suy rộng trong vấn đề
tối ưu hóa vectơ và vô hướng trong hữu hạn chiều. Trường hợp giá trị vô hướng,
bài toán cực trị với hàm tựa lồi, tựa tuyến tính, giả lồi, giả tuyến tính, preinvex,
invex đều được nghiên cứu. Trường hợp giá trị vectơ, điều kiện tối ưu được suy ra
cho lớp hàm lồi suy rộng khả vi giá trị vectơ cho trước, gồm có các hàm C- tựa lồi,
(C

, C
§
)- giả lồi, (C

, C
§
)- giả tuyến tính, (C, η)- invex, với C là nón thứ tự của

không gian ảnh.
Chương 5 được viết bởi Lực, cũng giải quyết bài toán tối ưu vectơ nhưng trong
tình huống tổng quát hơn, đó là không gian vectơ tôpô Hausdorff thực và dưới
dạng giải tích phi tuyến. Lớp các hàm vectơ lồi suy rộng khác nhau đều được giới
thiệu và nghiên cứu. Những kết quả tồn tại nghiệm hữu dụng và những tính chất
cấu tạo như tính compact, tính liên thông của các tập nghiệm cũng được khảo sát,
chứng minh. Các điều kiện tối ưu cũng được cung cấp cho 3 loại đạo hàm: đạo
hàm cổ điển, đạo hàm liên tiếp và các xấp xỉ Jacobian. Phần cuối của chương bàn
luận về phương pháp vô hướng hóa để giải bài toán tối ưu vectơ.
Một chủ đề trung tâm trong tối ưu là lý thuyết đối ngẫu lồi. Cho trước một bài
toán cực tiểu lồi gốc, một mặt nhúng nó vào một họ các bài toán cực tiểu nhiễu và
sau đó cân đối với các nhiễu này, một mặt kết hợp nó với một vấn đề đối ngẫu. Tồn
tại những mối quan hệ chặt chẽ giữa bài toán gốc và đối ngẫu giúp ích cho việc
phân tích các tính chất của bài toán ban đầu, và đặc biệt để đạt được điều kiện
tối ưu hóa. Chúng cũng được dùng để hệ thống các thuật toán số. Trong trường
hợp các vấn đề xuất hiện trong ứng dụng thuộc các khoa học khác nhau, đặc biệt
trong kinh tế học, các vấn đề đối ngẫu thường có giả thuyết đẹp mang lại một sự
động lực mới để phân tích chúng. Chương 6 được soạn bởi Martínez-Legaz, bàn
về đối ngẫu lồi suy rộng và các ứng dụng kinh tế của nó. Việc mở rộng lý thuyết
đối ngẫu lồi cho trường hợp lồi suy rộng được dựa vào sơ đồ đối ngẫu suy rộng
Fenchel-Moreau và vào lý thuyết chung của sự liên hợp. Trong giải tích tựa lồi sự
liên hợp các tập mức rất hữu dụng. Sơ đồ đối ngẫu tổng quát Fenchel-Moreau và
6
các liên hợp này cũng được đề cập chi tiết trong chương này. Phần cuối chương
dành cho các ứng dụng trong kinh tế học như: tính đối ngẫu giữa hàm tiện ích trực
tiếp và gián tiếp trong thuyết người tiêu dùng, tính đơn điệu của hàm nhu cầu và
thuyết người tiêu dùng trong trường hợp thiếu hàm tiện ích.
Khái niệm vi phân dưới của hàm lồi tại một điểm cho trước trong miền xác
định của nó đóng vai trò chính trong giải tích lồi. Thực vậy vi phân dưới đóng 2
vai trò khác nhau. Một là tính địa phương: nó trang bị một xấp xỉ địa phương cho

hàm lồi trong một lân cận của một điểm cho trước. Một vai trò khác là tính toàn
cục: nó là công cụ để xây dựng siêu phẳng tựa cho đồ thị trên của hàm lồi. Những
sự suy rộng của ý kiến đầu về vi phân dưới dẫn đến giải tích không trơn, trong
khi đó ý kiến thứ hai dẫn đến tính lồi trừu tượng. Tính lồi trừu tượng chính là nội
dung của Chương 7, được viết bởi Rubinov và Dutta. Một trong những kết quả cơ
bản của giải tích lồi là: mỗi hàm lồi nửa liên tục dưới là bao hình trên (cận trên bé
nhất theo từng điểm) của tất cả các hàm affine được làm trội bởi một hàm. Động
lực chính để phát triển tính lồi trừu tượng ở chỗ sự biểu diễn bao hình rất thuận
lợi, kể cả khi ta xét bao hình trên của các tập gồm các hàm không affine. Hai kiểu
đối tượng được nghiên cứu trong khuôn khổ tính lồi trừu tượng là: hàm lồi trừu
tượng và tập lồi trừu tượng. Hàm lồi trừu tượng có thể được miêu tả thông qua
biểu diễn bao hình của các hàm không nhất thiết tuyến tính hay các hàm affine sơ
cấp. Tập lồi trừu tượng được định nghĩa thông qua tính chất sau: một điểm không
thuộc tập lồi trừu tượng có thể tách khỏi tập đó bởi một hàm sơ cấp. Chương này
trình bày các định nghĩa chính liên quan đến tính lồi trừu tượng và đưa ra các ví
dụ về hàm lồi trừu tượng dựa vào các tập khác nhau của hàm hàm sơ cấp, gồm có
các hàm tựa lồi trừu tượng. Một số ứng dụng của tính lồi trừu tượng cũng được
trình bày ở đây như: sơ đồ đối ngẫu Minkowski, liên hợp Fenchel-Moreau và bất
đẳng thức loại Hadamard đối với hàm tựa lồi.
Chương 8 được trình bày bởi Frenk và Schaible, được dành cho Fractional
Programing (lập trình phân thức). Nó kết luận phần 1 của quyển sách, tập trung
vào tính lồi suy rộng. Những chương trình phân thức là các bài toán tối ưu tỉ số
bao hàm một hay một số tỉ số trong hàm mục tiêu. Chẳng hạn: hàm mục tiêu
thường không lồi nhưng lồi suy rộng trong trường hợp tử thức và mẫu thức lồi,
lõm hay affine. Một tài liệu bao quát có thể so sánh điều đó với các lớp bài toán
tối ưu hóa khác đang được phát triển. Trong suốt 40 năm qua chương trình phân
thức được lợi từ sự tiến bộ của tính lồi suy rộng và ngược lại.
Chương bắt đầu với tóm tắt về những ứng dụng rộng lớn khác nhau của chương
trình phân thức tỉ số đơn, min-max và tổng các tỉ số. Những ứng dụng gần đây
chú trọng. Một số trường hợp nghiên cứu cũng được đề cập đến. Tóm tắt về những

ứng dụng của chương trình phân thức này củng cố cho sự tương thích của tính lồi
suy rộng với các môn học ứng dụng, đặc biệt là đối với khoa học quản lý. Điều
7
này bổ sung cho sự trình bày những ứng dụng tính lồi suy rộng trong lý thuyết
kinh tế ở Chương 6. Tóm tắt những ứng dụng của lập trình phân thức kéo theo sự
phân tích cụ thể chương trình phân thức min-max, bao gồm tỉ số đơn và chương
trình phân thức min-max cổ điển được giới hạn hơn. Cơ sở của phân tích là phép
xấp xỉ tham số. Đầu tiên, thuật toán Dinkelbach gốc được đưa ra và các tính chất
hội tụ của nó được phân tích. Khi đó tính đối ngẫu được đưa ra để đáp ứng với
chương trình phân thức max-min đối ngẫu và những quan hệ đối ngẫu đều được
chứng minh. Cuối cùng thuật toán Dinkelbach đối ngẫu được trình bày và suy ra
những tính chất hội tụ của nó.
Chương đầu tiên của phần hai quyển sách là Chương 9, viết bởi Hadjisavvas và
Schaible. Nó được bắt đầu với giới thiệu sự biểu diễn của 9 loại ánh xạ đơn điệu
suy rộng và chỉ ra liên kết giữa những ánh xạ này và các hàm lồi suy rộng khả vi:
một hàm thuộc vào 1 trong 9 lớp hàm lồi suy rộng nếu và chỉ nếu gradient của nó
thuộc vào lớp ánh xạ đơn điệu suy rộng tương ứng. Phần cuối chương trình bày
tiêu chuẩn đối với ánh xạ đơn điệu suy rộng. Đầu tiên trình bày về ánh xạ khả
vi rồi đến các ánh xạ không khả vi (Lipschitz địa phương hay chỉ liên tục). Cuối
cùng đề cập chi tiết đến trường hợp đặc biệt ánh xạ affine vì sự thích hợp của nó
với chương trình toàn phương lồi suy rộng và các bài toán phụ tuyến tính đơn điệu
suy rộng.
Các hàm lồi suy rộng không nhất thiết khả vi. Trong trường hợp này, gradient
của nó thường được thay bởi đạo hàm suy rộng xấp xỉ. Chương 10 viết bởi Komlósi
về việc nghiên cứu các hàm lồi suy rộng không trơn với các lớp đạo hàm suy rộng
đặc biệt. Một số kết quả được trình bày sự liên kết giữa tính đơn điệu suy rộng của
đạo hàm suy rộng với tính lồi suy rộng của hàm suy rộng trong phần bàn luận. Sự
phong phú các khái hiệu khác nhau của đạo hàm suy rộng đã thúc đẩy việc giải
quyết tiên đề, trong đó có khái niệm trừu tượng xấp xỉ bậc 1. Lợi ích của xấp xỉ
bậc 1 tựa lồi trong lý thuyết tối ưu cũng được khảo sát. Cụ thể, các hàm tựa khả

vi trên suy rộng được nghiên cứu, và các định lý loại Farkas tựa lồi và điều kiện
tối ưu loại KKT đang được chứng minh.
Mối quan hệ giữa hàm lồi suy rộng và ánh xạ đơn điệu suy rộng cũng được xấp
xỉ bởi vi phân dưới thay cho các đạo hàm suy rộng. Đối với hàm không lồi, tiêu
chuẩn vi phân dưới Fenchel-Moreau không thỏa mãn. Điều này dẫn đến Clarke,
Rockafellar và những nhà toán học khác đưa ra các vi phân dưới khác nhau. Trong
chương 11 viết bởi Hadjisavvasm, trình bày mối liên hệ giữa tính lồi suy rộng của
hàm nửa liên tục dưới với tính đơn điệu suy rộng của vi phân dưới của chúng. Việc
hợp nhất xấp xỉ này gồm đa phần các vi phân dưới. Một số loại mới của tính đơn
điệu suy rộng, như tính đơn điệu suy rộng cyclic và tính tựa đơn điệu riêng cũng
được giới thiệu. Khái niệm sau cùng được chứng minh có liên hệ gần gũi với bất
đẳng thức biến phân Minty. Cuối cùng, trình bày một số kết quả gần đây về cực
8
đại của toán tử giả đơn điệu và mối quan hệ của nó với tính liên tục.
Tính đơn điệu suy rộng không loại trừ khái niệm đối ngẫu của tính lồi suy
rộng. Chẳng hạn khái niệm giả đơn điệu xuất hiện lần đầu trong bài toán phụ.
Chương 12 viết bởi Yao và Chadli giải thích tầm quan trọng của khái niệm này
trong những bài toán phụ và các bất đẳng thức biến phân. Phần đầu của chương
trình bày những kết quả gần đây về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với bài
toán phụ và bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều dưới tính giả
đơn điệu. Đưa ra một ứng dụng của bài toán phụ về trạng thái cân bằng tới hạn
của đĩa đàn hồi mảnh. Phần tiếp theo trình bày về tính giả đơn điệu tôpô và hơn
nữa những kết quả tồn tại nhận được và một số ứng dụng. Khái niệm tính giả đơn
điệu tôpô được đưa ra bởi Brézis năm 1968 đối với toán tử phi tuyến để thu được
định lý tồn tại đối với phương trình khả vi từng phần eliptic tựa tuyến tính và
parabolic. Trong phần cuối, đưa ra một số khả năng mở rộng đối với bài toán phụ
và bất đẳng thức biến phân, và trình bày sự tương đương giữa một số vấn đề, gồm
có các bài toán phụ, các bài toán tối thiểu yếu tố và các bài toán bất đẳng thức
biến phân.
Bài toán cân bằng đưa ra sự hợp nhất và chung nhất cho tối ưu hóa, các bài

toán phụ và bất đẳng thức biến phân. Thông thường, đa số việc nghiên cứu trên
các khía cạnh khác nhau của bài toán cân bằng đều bị giới hạn bởi vấn đề tính
đơn điệu. Tuy nhiên, giả thiết tính đơn điệu tham gia làm hạn chế đối với nhiều
bài toán ứng dụng, đặc biệt trong kinh tế học và khoa học quản lý. Trong suốt
thập kỉ gần đây, các bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng đã được khảo sát kỹ
lưỡng hơn và nhiều tiến triển đã đạt được trong những hướng khác nhau. Chương
13 được viết bởi Konnov, trình bày những kết quả cơ bản trong lý thuyết và xây
dựng phương pháp giải cho bài toán cân bằng đơn điệu suy rộng và bất đẳng thức
biến phân. Trong đó bài toán cân bằng giá trị vectơ cũng được đề cập đến.
Chắc chắn lợi ích đầu tiên của tính đơn điệu suy rộng (trước cả khi xuất hiện
thuật ngữ này) đã được tìm thấy cách đây 68 năm trong ngành kinh tế học. Như
đã nói ở trên, nó tồn tại độc lập trong một bài báo của Georgescu-Roegen (1936),
đưa ra khái niệm sở thích địa phương trong lý thuyết người tiêu thụ, và trong bài
báo của Wald (1936) chứa chứng minh gốc đầu tiên của sự tồn tại cân bằng chung
cạnh tranh. Những tiến bộ đáng kể sẽ được trình bày trong Chương 14 được viết
bởi John. Chương này đưa ra nhiều ví dụ quan trọng về cách dùng tính lồi suy
rộng và tính đơn điệu suy rộng trong kinh tế. Ví dụ đầu tiên là lý thuyết người
tiêu thụ. Phép xấp xỉ hàm tiện ích tăng thêm tầm quan trọng cho tính tựa lõm và
giả lõm của hàm. Phép xấp xỉ quan hệ nhu cầu được thể hiện bởi các tính chất
đơn điệu suy rộng, trong tài liệu kinh tế điều đó được xem như các tiên đề trong
thuyết ưa chuộng bộc lộ. Trong trường hợp sở thích không bắc cầu lồi (lần lượt
nửa lồi chặt hay lồi chặt), các tính chất đơn điệu suy rộng khác nhau của lượng
9
cầu xuất hiện khá tự nhiên. Ví dụ thú vị thứ hai là lý thuyết cân bằng chung. Sự
tương thích của lượng cầu giả đơn điệu vượt quá so với tính ổn định của trạng thái
cân bằng sẽ được chấp nhận bởi biểu diễn của nó như là nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân Minty.
Nghiên cứu về tính lồi suy rộng và tính đơn điệu suy rộng vẫn được tiếp diễn
và những kết quả khoa học đã đạt được rất nhiều. Chúng được trình bày thường
xuyên hằng năm trong nhiều hội thảo chuyên ngành, đặc biệt ở Hội nghị khoa học

quốc tế về Tính đơn điệu và tính lồi suy rộng được tổ chức vào mỗi 3 năm. Cho
đến nay, đã có 7 hội nghị chuyên đề được tổ chức. Gần đây nhất được tổ chức với
chủ đề "Khai thác nhóm tính lồi suy rộng". Đây là sự kết hợp của vài trăm nhà
nghiên cứu, trang web của họ () cung cấp nhiều thông tin
cũ và mới về các hội nghị, các báo cáo, các ấn bản
Chúng tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến ông Dr. John Martindale, Nhà
xuất bản Học viện Kluwer đã ủng hộ cho sự ra đời của tập sách này.
NICOLAS HADJISAVVAS
SANDOR KOMLOSI
SIEGFRIED SCHAIBLE
10
Chương 2
TIÊU CHUẨN CHO TÍNH LỒI SUY
RỘNG VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY
RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP HÀM
KHẢ VI
Trong phần này chúng tôi dịch và tìm hiểu từ trang 90 đến trang 97, chương II
của [1]. Đó là những đặc trưng cấp 1 và 2 của hàm tựa lồi (giả lồi) và đặc trưng
cấp 1 của ánh xạ đơn trị tựa đơn điệu (giả đơn điệu).
2.1 Những điều kiện cấp 1 đối với tính tựa lồi
Cho tập con lồi C của không gian tuyến tính E và f : C → R, khi đó ta có các
định nghĩa sau:
i) f lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và t ∈ (0, 1), ta có
f(x + t(y − x)) ≤ f(x) + t(f(y) − f(x));
ii) f lồi chặt trên C nếu với mọi x, y ∈ C, x = y và t ∈ (0, 1), ta có:
f(x + t(y − x)) < f(x) + t(f(y) − f(x));
iii) f tựa lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và t ∈ (0, 1), ta có:
f(x + t(y − x)) ≤ max{f(x), f(y)};
iv) f tựa lồi chặt trên C nếu với mọi x, y ∈ C, x = y và t ∈ (0, 1) ta có:
f(x + t(y − x)) < max{f(x), f(y)}.

11
Cho a ∈ C, d ∈ E, ta định nghĩa:
I
a,d
= {t ∈ R| a + td ∈ C},
và với mỗi t ∈ I
a,d
: f
a,d
(t) = f(a + td).
Khi đó, hàm f lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) trên C nếu và chỉ nếu f
a,d
là
lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) trên I
a,d
với mọi a ∈ C, d ∈ E. Dựa vào định
nghĩa hàm lồi (lồi chặt, tựa lồi, tựa lồi chặt) ta dễ dàng chứng minh điều này.
Chứng minh. Xét a ∈ C, d ∈ E, với mọi t
1
, t
2
∈ I
a,d
, λ ∈ (0, 1), ta có a + t
1
d, a +
t
2
d ∈ C, do đó
λ(a + t

1
d) + (1 − λ)(a + t
2
d) ∈ C hay λt
1
+ (1 − λ)t
2
∈ I
a,d
.
Giả sử f lồi trên C. Ta có
f
a,d
(λt
1
+ (1 − λ)t
2
) = f

a + [λt
1
+ (1 − λ)t
2
]d

= f

λ(a + t
1
d) + (1 − λ)(a + t

2
d)

≤ λf(a + t
1
d) + (1 − λ)f(a + t
2
d) = λf
a,d
(t
1
) + (1 − λ)f
a,d
(t
2
).
Do đó f
a,d
lồi trên I
a,d
.
Ngược lại, giả sử f
a,d
lồi trên I
a,d
, ∀a ∈ C, d ∈ E. Khi đó với mọi a, b ∈ C, λ ∈
[0, 1] ta có
f

λa + (1 − λ)b


= f(b + λ(a − b)) = f
b,a−b
(λ) ⇒ λ ∈ I
b,a−b
.
Với mọi λ
1
, λ
2
∈ [0, 1], α ∈ (0, 1), ta có
f
b,a−b

αλ
1
+ (1 − α)λ
2

≤ αf
b,a−b
(λ
1
) + (1 − α)f
b,a−b
(λ
2
)
= αf


b + λ
1
(a − b)

+ (1 − α)f

b + λ
2
(a − b)

Mặt khác
f
b,a−b

αλ
1
+ (1 − α)λ
2

= f

b + [αλ
1
+ (1 − α)λ
2
](a − b)

= f

α[b + λ

1
(a − b)] + (1 − α)[b + λ
2
(a − b)]

.
Chọn λ
1
= 1, λ
2
= 0 suy ra f là hàm lồi. Vậy ta có điều phải chứng minh. Các kết
luận còn lại chứng minh tương tự, dựa vào định nghĩa của các hàm trên.
Vì những điều kiến cấp 1 và 2 đối với hàm lồi nhiều biến được suy ra từ điều
kiện tương ứng cho hàm một biến thực. Do đó chúng ta tập trung vào hàm tựa lồi
một biến thực.
Cho hàm θ : I → R khả vi trên khoảng I ⊂ R. Khi đó, θ là tựa lồi trên I khi
và chỉ khi tồn tại t ∈ [−∞, +∞] để θ không tăng trên I ∩ [−∞, t] và không giảm
trên I ∩ [t, +∞], và một trong hai khoảng I ∩ [−∞, t] và I ∩ [t, +∞], có thể rỗng.
Vì vậy, chúng ta suy ra ngay mỗi một điều kiện sau:
12
i. ∀t
1
, t
2
∈ I, θ(t
1
) < θ(t
2
) ⇒ θ


(t
2
)(t
1
− t
2
) ≤ 0;
ii. ∀t
1
, t
2
∈ I, θ(t
1
) ≤ θ(t
2
) ⇒ θ

(t
2
)(t
1
− t
2
) ≤ 0;
iii. ∀t
1
, t
3
∈ I, t
1

< t
2
< t
3
, θ(t
1
) < θ(t
2
), θ

(t
2
) = 0 ⇒ θ(t
2
) ≤ θ(t
3
);
iv. ∀t
1
, t
2
∈ I, θ

(t
1
)(t
2
− t
1
) > 0 ⇒ θ


(t
2
)(t
2
− t
1
) ≥ 0
là điều kiện cần và đủ để θ tựa lồi trên I.
Những đặc trưng này vẫn đúng cho các hàm tổng quát.
Mệnh đề 2.1.1. Giả sử f : C → R là khả vi trên tập con lồi C của E. Khi đó
mỗi điều kiện trong các điều kiện sau:
i) ∀x, y ∈ C, f(y) < f(x) ⇒ ∇f(x), y − x ≤ 0;
ii) ∀x, y ∈ C, f(y) ≤ f(x) ⇒ ∇f(x), y − x ≤ 0;
iii) ∀x, x − h ∈ C, f(x − h) < f(x), ∇f(x), h = 0
⇒ f(x) ≤ f(x + th), ∀t > 0 thỏa mãn x + th ∈ C;
iv) ∀x, y ∈ C, ∇f(x), y − x > 0 ⇒ ∇f (y), y − x ≥ 0,
là điều kiện cần và đủ cho f tựa lồi trên C.
Nhận xét 2.1.2. Đề cập đến tính khả vi nghĩa là xác định cấu trúc tôpô nào đó
trên không gian E và ta có thể sử dụng một số loại khả vi nào đó. Song ở đây
những điều kiện cực tiểu chỉ đòi hỏi: bất kỳ hàm f khả vi trên E cũng đủ suy ra
hàm một biến f
a,d
khả vi, a ∈ C, d ∈ E.
Nếu f lồi và ∇f(x) = 0 thì f đạt cực tiểu tại x. Song bản chất của điều kiện
tối ưu này không được bảo toàn đối với các hàm tựa lồi, chẳng hạn hàm f(t) = t
3
tựa lồi nhưng không có cực tiểu. Điều này thúc đẩy sự ra đời lớp các hàm giả lồi.
Cho tập lồi C và hàm f : C → R, khi đó:
i) f được gọi là giả lồi trên C nếu ∀x, y ∈ C, f (y) < f(x) ⇒ ∇f(x), y −x < 0;

ii) f được gọi là giả lồi chặt trên C nếu ∀x, y ∈ C, x = y, f(y) ≤ f (x) ⇒
∇f(x), y − x < 0.
Dễ thấy hàm lồi khả vi thì giả lồi. Theo Mệnh đề 2.1.1, hàm giả lồi khả vi thì tựa
lồi. Đồng thời một hàm giả lồi chặt khả vi thì cũng tựa lồi chặt.
Cũng như tính lồi và tính tựa lồi, tính giả lồi cũng được đặc trưng thông qua
các hàm một biến thực. Thực vậy, f giả lồi (chặt) trên C nếu và chỉ nếu với mọi
a ∈ C, d ∈ E, hàm một biến f
a,d
là giả lồi (chặt) trên I
a,d
. Liên hệ với điều kiện
cuối trong Mệnh đề 2.1.1, chúng ta có đặc trưng của tính giả lồi như sau:
13
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử f là khả vi trên tập lồi C. Khi đó ba điều kiện sau là
tương đương:
i) f giả lồi trên C;
ii) ∀x, y ∈ C, ∇f(x), y − x > 0 ⇒ ∇f(y), y − x > 0;
iii) ∀x, y ∈ C, ∇f(y), x − y ≥ 0 ⇒ ∇f(x), x − y ≥ 0.
Chứng minh. Dễ thấy (ii) ⇔ (iii). Bây giờ ta chứng minh (iii) ⇔ (i).
Giả sử (iii) đúng và f không giả lồi. Khi đó tồn tại x, y ∈ C thỏa f(y) < f(x)
và ∇f (x), y − x ≥ 0. Từ (iii) suy ra ∇f

x + t(y − x)

, y − x ≥ 0, ∀t ∈ (0, 1).
Ta có f
x,y−x
(t) = f(x + t(y − x)). Do đó
f


x,y−x
(t) = ∇f(x + t(y − x)), y − x ≥ 0.
Suy ra f
x,y−x
(t) là hàm không giảm. Nên f
x,y−x
(0) ≤ f
x,y−x
(1), hay f (x) ≤ f(y).
Mâu thuẫn giả thiết. Vậy f là giả lồi.
Ngược lại, giả sử f là giả lồi nhưng không thỏa (iii). Khi đó tồn tại x, y ∈ C
sao cho ∇f(x), y − x ≥ 0 và ∇f(y), y − x < 0.
Vì f giả lồi nên theo định nghĩa ta có ∇f (x), y − x ≥ 0 suy ra f(y) ≥ f(x).
Mặt khác f giả lồi nên f tựa lồi. Theo Mệnh đề 2.1.1(ii), ∇f(y), x − y > 0 ⇒
f(x) > f(y) (mâu thuẫn).
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử f khả vi trên tập lồi C. Khi đó hai điều kiện sau tương
đương:
i) f giả lồi chặt trên C;
ii) ∀x, y ∈ C, x = y, ∇f(x), y − x ≥ 0 ⇒ ∇f(y), y − x > 0.
Chứng minh. Giả sử (ii) đúng và f không giả lồi chặt. Khi đó tồn tại x, y ∈
C, x = y thỏa f(y) ≤ f(x) và ∇f(x), y − x ≥ 0. Với mọi t ∈ (0, 1), ta có
∇f(x), (x + t(y − x)) − x ≥ 0. Do đó theo (ii)
∇f(x + t(y − x)), (x + t(y − x)) − x > 0
hay f

x,y−x
(t) = ∇f(x + t(y − x)), y − x > 0.
Suy ra hàm f
x,y−x
(t) liên tục và tăng nên f

x,y−x
(1) > f
x,y−x
(0) ⇒ f(y) > f(x).
Mâu thuẫn giả thiết nên f giả lồi chặt.
Ngược lại, giả sử f là giả lồi chặt nhưng không thỏa mãn (ii). Khi đó tồn tại
x, y ∈ C, x = y, thỏa ∇f(x), y −x ≥ 0 và ∇f(y), y −x ≤ 0 hay∇f(y), x−y ≥
0. Do f là giả lồi chặt nên từ hai bất đẳng thức trên suy ra f(y) > f (x) và
f(x) > f(y) (mâu thuẫn). Vậy (ii) đúng.
14
Mệnh đề sau là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.
Mệnh đề 2.1.5. Cho f là khả vi và giả lồi trên tập lồi C. Giả sử tại x ∈ C ta có
∇f(x) = 0. Khi đó f đạt cực tiểu toàn cục tại x.
Chứng minh. Với mọi y ∈ C ta có ∇f(x), y − x = 0 (vì ∇f(x) = 0). Do f giả
lồi nên ta suy ra f(y) ≥ f(x), ∀y ∈ C.
Trong trường hợp, hàm giả lồi trên tập lồi mở thì nó chính là hàm tựa lồi khả
vi đạt giá trị nhỏ nhất tại những điểm mà tại đó gradient của hàm triệt tiêu. Đó
là nội dung của định lý sau.
Định lý 2.1.6. Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở C.
i) Nếu f giả lồi trên C thì f cũng tựa lồi trên C và đạt cực tiểu toàn cục tại bất
kỳ x ∈ C thỏa ∇f(x) = 0.
ii) Nếu f tựa lồi trên C và có một cực tiểu địa phương tại bất kỳ x ∈ C thỏa
∇f(x) = 0 thì f giả lồi trên C.
Chứng minh. Dễ thấy (i) được suy ra từ Mệnh đề 2.1.5. Ta chứng minh (ii) bằng
phản chứng.
Giả sử f không giả lồi trên C. Khi đó tồn tại a ∈ C, d ∈ E thỏa a + d ∈ C,
f(a + d) < f(a) và ∇f(a), d ≥ 0. Vì f tựa lồi nên theo Mệnh đề 2.1.1(i), ta có
∇f(a), d ≤ 0. Do đó ∇f(a), d = 0.
Đặt θ = f
a,d

. Khi đó θ là tựa lồi trên [0, 1] và θ

(0) = ∇f(a), d = 0. Hơn nữa
θ(1) < θ(0) nên θ(t) ≤ θ(0), ∀t ∈ [0, 1]. Đặt
t = max{t ∈ [0, 1]| θ(t) = θ(0)}.
Khi đó t ∈ [0, 1), θ(t) = θ(0) và θ(t) > θ(t), ∀t ∈ (t, 1]. Nếu t > 0, do θ là tựa
lồi thì θ(t) ≥ θ(t), ∀t ∈ [0, t]. Do đó θ

(t) = 0. Hơn nữa nếu t = 0 thì ta có ngay
θ

(0) = 0.
Đặt x = a + td, khi đó ∇f (x), d = θ

(t) = 0 và vì f không đạt cực tiểu địa
phương tại x nên ∇f(x) = 0.
Chọn k sao cho ∇f(x), k > 0 (chẳng hạn chọn k = ∇f(x) đối với E = R
n
hay E là không gian Hilbert). Vì a + d ∈ C, C mở, f liên tục tại a + d ∈ C và
f(a + d) < f(a) = f(x), nên tồn tại r > 0 sao cho:
a + d + rk ∈ C và f (a + d + rk) < f(x).
Mà f tựa lồi nên theo Mệnh đề 2.1.1(i) ta có
∇f(x), a + d + rk − x ≤ 0.
15
Mặt khác
∇f(x), a + d − x + rk
= ∇f(x), d − td + rk
= (1 − t)∇f(x), d + ∇f(x), rk = r∇f(x), k > 0.
Suy ra mâu thuẫn. Vậy f là giả lồi.
Nhận xét 2.1.7. Chú ý ở đây không yêu cầu tính liên tục của ∇f (x). Lập luận

tương tự đối với hàm 2 biến. Vì vậy, điều kiện đủ để hàm khả vi f trên E là sự
thu gọn tính khả vi của f trên không gian con affin 2 chiều của E. Định lý 2.1.6
được đưa ra bởi Crouzeix-Ferland, một bản khác về hàm khả vi theo hướng được
đưa ra bởi Komlósi.
Ta có một hệ quả được suy trực tiếp từ định lý trên:
Hệ quả 2.1.8. Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở C và gradient của f không
triệt tiêu trên C. Khi đó f là giả lồi trên C khi và chỉ khi f là tựa lồi trên đó.
2.2 Tính đơn điệu suy rộng
Một cách tương tự, ta có tính đơn điệu có liên quan đến tính lồi, tính đơn điệu
suy rộng liên quan đến tính lồi suy rộng. Trong chương này, chúng ta đề cập đến
gradient của các hàm nên ở đây ta chỉ quan tâm đến tính lồi suy rộng của ánh xạ
đơn trị.
Cho C là tập lồi của E, F : C → E

, E

là không gian đối ngẫu của E. Khi đó:
i) F đơn điệu trên C nếu
∀x
1
, x
2
∈ C ⇒ F (x
1
), x
2
− x
1
 ≤ F (x
2

), x
2
− x
1
;
ii) F giả đơn điệu trên C nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, F (x
1
), x
2
− x
1
 > 0 ⇒ F (x
2
), x
2
− x
1
 > 0;
điều này tương đương với
∀x
1
, x
2
∈ C, F (x
1

), x
2
− x
1
 ≥ 0 ⇒ F (x
2
), x
2
− x
1
 ≥ 0;
iii) F tựa đơn điệu nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, F (x
1
), x
2
− x
1
 > 0 ⇒ F (x
2
), x
2
− x
1
 ≥ 0;
16

iv) F giả đơn điệu chặt nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, x
1
= x
2
, F (x
1
), x
2
− x
1
 ≥ 0 ⇒ F (x
2
), x
2
− x
1
 > 0.
Tính tựa đơn điệu được đưa ra bởi Hassouni và độc lập với Karamardian và
Schaible; tính giả đơn điệu của Karamardian. Trường hợp, tính giả đơn điệu áp
dụng cho ánh xạ không âm trên quỹ đạo dương chính là tiên đề yếu cho các hàm
được ưa thích phát hiện được.
Dễ thấy ánh xạ đơn điệu là giả đơn điệu và ánh xạ giả đơn điệu là tựa đơn
điệu. Giả sử f : C → R là khả vi trên tập lồi C. Khi đó bên cạnh các đặc trưng
của hàm lồi được biết đến, chúng ta có đặc trưng các hàm lồi suy rộng được suy
từ Mệnh đề 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4.

Mệnh đề 2.2.1. Nếu f lồi (giả lồi, giả lồi chặt, tựa lồi) trên C khi và chỉ khi ∇f
đơn điệu (giả đơn điệu, giả đơn điệu chặt, tựa đơn điệu) trên C.
Cũng như tính lồi (suy rộng) của hàm số, đặc trưng tính đơn điệu (suy rộng)
của ánh xạ được suy ra từ đặc trưng của ánh xạ 1 biến thực. Với a ∈ C, d ∈ E,
đặt:
I
a,d
= {t ∈ R| a + td ∈ C}.
Với mỗi t ∈ I
a,d
, ta định nghĩa:
F
a,d
(t) = F (a + td), d.
Dễ thấy F đơn điệu (giả đơn điệu, giả đơn điệu chặt, tựa đơn điệu) trên C khi và
chỉ khi với mọi a ∈ C, d ∈ E, F
a,d
là đơn điệu (giả đơn điệu, giả đơn điệu chặt, tựa
đơn điệu) trên I
a,d
. Hơn nữa, tính đơn điệu suy rộng và tính lồi suy rộng được bảo
toàn qua phép dời affine sau:
Mệnh đề 2.2.2. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính, A : X → Y là ánh
xạ tuyến tính, a ∈ Y , C là tập lồi con của X, D là tập lồi con của Y thỏa mãn
A(C) + a ⊂ D.
i) Giả sử f : D → R là tựa lồi (giả lồi) trên D và g : C → R được định nghĩa
g(x) = f(Ax + a). Khi đó g : C → R là tựa lồi (giả lồi) trên C.
ii) Giả sử F : D → Y

là tựa đơn điệu (giả đơn điệu) trên D và đặt G : C → X


được định nghĩa G(x) = A
t
F (Ax + a). Khi đó G là tựa đơn điệu (giả đơn
điệu) trên C.
Chứng minh. i) Giả sử f : D → R và g : C → R, g(x) = f(Ax + a), ∀x ∈ C.
Chứng minh f tựa lồi thì g là tựa lồi. Với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có
g

λx + (1 − λ)y

= f

A(λx + (1 − λ)y) + a

= f

λA(x) + (1 − λ)A(y) + a

f

λ[Ax + a] + (1 − λ)[Ay + a]

≤ max{f(Ax + a), f(Ay + a)} = max{g(x), g(y)}.
17
Trường hợp f giả lồi suy ra g giả lồi được chứng minh tương tự.
ii) Giả sử F : D → Y

và G : C → X


, G(x) = A
t
F (Ax + a), ∀x ∈ C. Chứng
minh F tựa đơn điệu thì G cũng tựa đơn điệu.
Với mọi x
1
, x
2
∈ C thỏa G(x
1
), x
2
−x
1
 > 0, ta chứng minh G(x
2
), x
2
−x
1
 ≥
0. Ta có
G(x
1
), x
2
− x
1
 > 0 ⇔ A
t

F (Ax
1
+ a), x
2
− x
1
 > 0
⇔ F (Ax
1
+ a), Ax
2
− Ax
1
 > 0
⇒ F (Ax
2
+ a), Ax
2
− Ax
1
 ≥ 0 (vì F tựa đơn điệu)
⇔ G(x
2
), x
2
− x
1
 ≥ 0.
Chứng minh tương tự cho trường hợp F giả đơn điệu.
Ta có định lý tương ứng với Định lý 2.1.6 như sau:

Định lý 2.2.3. Cho F liên tục trên tập lồi mở C. Khi đó F giả đơn điệu trên C
khi và chỉ khi F là tựa đơn điệu trên C và với mọi a ∈ C thỏa F(a) = 0,với mọi
d ∈ E thỏa a + d ∈ C, tồn tại t ∈ (0, 1) sao cho F (a + td), d ≥ 0.
Chứng minh. Điều kiện cần được suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh điều kiện
đủ bằng phương pháp phản chứng. Giả sử F không giả đơn điệu. Khi đó tồn tại
x, x + h ∈ C sao cho F (x), h ≥ 0 và F (x + h), h < 0.
Với mọi t ∈ (0, 1), do F tựa đơn điệu, ta có
F (x + h), (1 − t)h < 0
⇒F (x + th), (x + h) − (x + th) = F (x + th), (1 − t)h ≤ 0
⇒F (x + th), h ≤ 0.
Đặt
t = sup
t∈[0,1]
{t| F (x + th), h ≥ 0}, a = x + th, d = (1 − t)h.
Khi đó F (a), d = 0, 0 ≤ t < 1 và F (a + td), d < 0, ∀t ∈ (0, 1]. Do đó theo giả
thiết ra có F (a) = 0. Chọn k sao cho F (a), k > 0. Do F liên tục nên tồn tại r > 0
sao cho F (a + d + rk), d + rk < 0. Vì F là tựa đơn điệu nên F (a), d + rk ≤ 0.
Điều đó suy ra
0 < rF (a), k ≤ 0. (mâu thuẫn)
Hệ quả sau liên quan đến trường hợp đặc biệt F không triệt tiêu trên C, nó là
bản sao tựa như Hệ quả 2.1.8.
18
Hệ quả 2.2.4. Cho F liên tục trên tập lồi mở C và F (x) = 0, ∀x ∈ C. Khi đó F
là giả đơn điệu trên C khi và chỉ khi F tựa đơn điệu trên C.
Giả sử F khả vi trên C. Đưa ra điều kiện sau:
∀h ∈ E, F (x), h = 0 ⇒ F

(x)h, h ≥ 0. (Sdp)
Khi đó (Sdp) cho ta điều kiện cần cho tính tựa đơn điệu (giả đơn điệu) sau:
Mệnh đề 2.2.5. Giả sử F : C → E


là khả vi trên tập lồi C ⊂ E. Nếu F tựa đơn
điệu trên C thì (Sdp) đúng với mọi x ∈ int(C).
Chứng minh. Giả sử F là tựa đơn điệu nhưng không thỏa (Sdp) với bất kì x ∈
int(C) và h ∈ E. Khi đó với x ∈ int(C), tồn tại h ∈ E sao cho F (x), h = 0 và
F

(x)h, h ≤ 0. Ta có
F

(x)h, h ≤ 0 ⇔ lim
t↓0
F (x + th) − F(x)
t
, h ≤ 0
⇒ F (x + th), h ≤ 0.
F

(x)h, h ≤ 0 ⇔ lim
−t↑0
F (x − th) − F(x)
−t
, h ≤ 0
⇒ F (x − th), h ≥ 0.
Do đó tồn tại t > 0 sao cho x − th ∈ C, x + th ∈ C và
F (x + th), h < 0 < F (x − th), h.
Suy ra
F (x + th), (x + th) − (x − th) = 2F (x + th), h < 0
và
F (x − th), (x + th) − (x − th) = 2F (x − th), h > 0.

Vì vậy F không tựa đơn điệu.
Điều kiện này là cần nhưng không đủ. Chẳng hạn xét f (t) = −t
4
, t ∈ R. Khi
đó f không tựa lồi và đạo hàm của nó không tựa đơn điệu nhưng (Sdp) vẫn đúng
với ∇f. Điều kiện đủ được cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.6. Cho F : C → E

khả vi trên tập lồi C ⊂ E và thỏa mãn điều sau
với mọi x ∈ C:
∀h ∈ E, h = 0, F (x), h = 0 ⇒ F

(x)h, h > 0. (dp)
Khi đó F là giả đơn điệu chặt trên C.
19
Chứng minh. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh với x, x + h ∈ C thỏa F (x), h ≥ 0 thì
F (x + h), h ≥ 0 bằng phương pháp phản chứng. Giả sử điều trên không xảy ra,
đặt
t = sup{t ∈ [0, 1]| F (x + th) ≥ 0}.
Khi đó t ∈ [0, 1), ta có F (x + th), h ≥ 0 và F (x + th), h < 0, ∀t ∈ (t, 1]. Do F
liên tục nên F (x + th), h = 0.
Theo giả thiết F

(x + th)h, h > 0. Mặt khác
F

(x + th)h, h = lim
λ↓0
F (x + th + λh) − F(x + th)
λ

, h < 0.
Mâu thuẫn. Do đó F (x + h), h ≥ 0.
Tiếp theo ta giả sử F không giả đơn điệu chặt trên C. Khi đó tồn tại a, b ∈
C, a = b thỏa F (a), b − a ≥ 0 và F (b), a − b ≥ 0.
Do đó với mọi t ∈ [0, 1] ta có
F (b + t(a − b)), a − b ≥ 0;
F (a + t(b − a)), b − a ≥ 0.
Suy ra F (a + t(b − a)), b − a = 0, ∀t ∈ [0, 1].
Do đó F

[a + t(b − a)](b − a), (b − a) > 0 (theo (dp)), ∀t ∈ [0, 1].
Mặt khác
F

[a + t(b − a)](b − a), (b − a)
= lim
λ↓0
F (a + t(b − a) + λ(b − a)) − F(a + t(b − a))
λ
, b − a.
Vì F (a + t(b − a)), b − a = 0 và với λ > 0 đủ bé ta có F (a + (t + λ)(b −
a)), b − a = 0 nên F

(a + t(b − a))(b − a), b − a = 0. (mâu thuẫn). Vậy F giả
đơn điệu chặt.
Điều kiện (dp) là đủ nhưng không cần cho tính giả đơn điệu chặt. Chẳng hạn
xét f(t) = t
2
, t ∈ R. Ta có f là giả lồi (thậm chí là lồi chặt) nhưng không thỏa
điều kiện (dp) tại điểm mà đạo hàm bằng 0.

Nếu so sánh điều kiện (Sdp) và (dp) thì đó lần lượt là điều kiện cần cho tính
đơn điệu và đủ cho tính đơn điệu chặt:
∀x ∈ C, h ∈ E ⇒ F

(x)h, h ≥ 0; (p)
∀x ∈ C, h ∈ E, h = 0 ⇒ F

(x)h, h > 0. (sp)
Ta thấy (Sdp) và (dp) bao hàm dạng toàn phương xác định (nửa xác định)
F

(x)h, h trên không gian con tuyến tính, mà không gian này trực giao với F (x)
thay cho toàn bộ không gian.
20
Tài liệu tham khảo
[1] Nicolas H., Sandor K., Siegfried S., Jean-Pierre C., et all, Handbook of Gener-
alized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer Science & Business
Media, Inc. Boston, 2005.
21