(SKKN 2022) một số giải pháp giúp học sinh lớp 10 rèn luyện thao tác tư duy quy lạ về quen thông qua giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 RÈN LUYỆN
THAO TÁC TƯ DUY QUY LẠ VỀ QUEN
THƠNG QUA GIẢI CÁC BÀI TỐN HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC

Người thực hiện: Trần Thái Sơn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

1

THANH HỐ NĂM 2022
1


Mục lục
1.Mở đầu………………………………………………………………………….3
1.1.Lí do chọn đề tài……………………………………………………………....3
1.2.Mục đích nghiên cứu………………………………………………………….3
1.3.Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………………4
1.4.Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………4
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………..4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……………………………………..4
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…………………5
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………………………..5

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục , với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường………………………………………………………17
3.Kết luận và kiến nghị…………………………………………………………18
-Kết luận…………………………………………………………………………..18
-Kiến nghị………………………………………………………………………..19

2

2


1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài:
Giải bài tập tốn là hoạt động chủ yếu khi học tập mơn Tốn ở trường phổ
thông. Thực tiễn giảng dạy cho thấy, trong q trình phát hiện và tìm lời giải các bài
tốn, học sinh thường phải tiến hành biến đổi bài toán đó thơng qua việc liên hệ đến
các kiến thức lý thuyết, các bài tốn có liên quan. Sự liên hệ này hình thành trên cơ sở
so sánh, đối chiếu các dữ kiện, điều kiện của bài toán đã cho với các kiến thức lý
thuyết, các bài toán mà các em đã biết trước đó.
Đứng trước một bài tốn, nếu học sinh có khả năng quy lạ về quen tốt, có thể
liên hệ đến nhiều khái niệm, định lý, quy tắc, bài toán phụ đã biết sẽ giúp biến đổi
các dữ kiện đã cho về gần gũi hơn với kiến thức của bản thân và giải quyết được
bài tốn đó. Ngược lại, đối với những học sinh khả năng liên hệ cịn yếu hoặc do
kiến thức hạn chế sẽ khó khăn cho các em khi chỉ liên hệ được ít khái niệm, mệnh
đề, định lý, quy tắc, bài toán phụ và như vậy việc định hướng giải bài tốn khó
khăn hơn thậm chí bế tắc.
Nhằm thay đổi cách học cho các em học sinh khi bước vào môi trường
THPT, giúp các em tìm thấy niềm vui khi học Tốn cũng như phát huy tính tích
cực, chủ động, tự tìm tịi, tự khám phá, mở rộng kiến thức; sau quá trình dài học
hỏi, rút kinh nghiệm, tôi đã tổng kết “Một số giải pháp giúp học sinh lớp 10 rèn

luyện thao tác tư duy quy lạ về quen thông qua giải các bài toán hệ thức lượng
trong tam giác”. Đề tài sẽ phân tích một số bài tốn theo các thao tác của tư duy,
đặc biệt là quy lạ về quen, làm nền cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo
hướng mới. Hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các giáo viên cũng như học sinh
trong quá trình giảng dạy và học tập.
1.2.Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này đưa ra một số biện pháp nhằm rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ
về quen cho học sinh lớp 10 qua giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác, xa
hơn là giúp các em định hướng, dự đốn, tìm tịi lời giải khi đứng trước một bài tốn
khơng quen thuộc.

3

3


1.3.Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các hệ thức lượng trong tam giác-Chương
II-Hình học 10 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học
sinh
1.4. Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
+ Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu tập thông tin: Điều tra, khảo sát
thực tế việc dạy học phần các hệ thức lượng trong tam giác ở trường THPT Yên
Định 2
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết dựa trên mối liên hệ giữa
các hệ thức lượng giác trong tam giác, giữa các hệ thức lượng giác với hình học
véctơ từ đó giúp học sinh chuyển đổi từ bài toán lạ về bài toán quen.
+ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên các lớp
thực nghiệm và đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Mỗi chủ đề của Toán học đều được xây dựng từ một hệ thống kiến thức cơ
bản, từ những kiến thức cơ bản này học sinh phải biết xâu chuỗi, liên hệ, phân tích,
tổng hợp... để có thể giải quyết được những vấn đề hóc búa hơn
Quy lạ về quen là một thao tác tư duy quan trọng trong q trình học tốn, nó
giúp cho một bài tốn phức tạp có thể được giải quyết trên nền tảng những bài toán
cơ bản quen thuộc.
Rèn luyện thành thục loại tư duy này sẽ giúp cho học sinh sau này có thể “dĩ
bất biến, ứng vạn biến” trước các vấn đề của cuộc sống.
Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác là một nội dung trọng tâm trong
hình học 10, nó là phần ứng dụng lí thú của hình học véctơ mà học sinh mới được
tiếp cận, thơng qua các bài toán hệ thức lượng trong tam giác sẽ vừa giúp học sinh

4

4


rèn luyện tốt tư duy quy lạ về quen, vừa giúp các em củng cố kiến thức về hình học
véctơ.

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Thực trạng một bộ phận không nhỏ học sinh có cách học thụ động, trơng chờ
hồn tồn từ thầy cô, một phần do bị cuốn vào guồng quay tiếp thu kiến thức mới
và hoàn thành lượng lớn bài tập của giáo viên, một phần do cách truyền thụ của
giáo viên chưa hồn tồn kích thích sự tị mị, tự tìm tịi, mở rộng kiến thức của học
sinh.
Các hệ thức lượng trong tam giác là chủ đề quan trọng, lí thú và có nhiều ứng
dụng thực tế của hình học 10 tuy nhiên nhiều học sinh cịn gặp khó khăn trong việc
chiếm lĩnh kiến thức của chủ đề này

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Giải pháp 1: Trong quá trình dạy học, giáo viên hướng dẫn, tổ chức cho học sinh
thể hiện một kiến thức dưới nhiều dạng khác nhau để tạo nên sự thuận lợi nhất cho
các em khi huy động kiến thức giải quyết bài tốn mới.
Ví dụ 1. Định lý cosin trong SGK hình học lớp 10 cho ta mối quan hệ giữa các
cạnh và góc trong một tam giác qua các công thức:

a 2 = b2 + c 2 − 2bc.cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca.cos B

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cosC
Giáo viên có thể khắc sâu định lí đó bằng cách nhấn mạnh các dạng ứng dụng, chẳng
hạn:
- Tính độ dài của một cạnh khi biết hai cạnh kia và góc xen giữa hai cạnh đó.

- Tính góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh, chẳng hạn cosA =
5

5

b2 + c2 − a2
2bc


- Nhận dạng tam giác, chẳng hạn tam giác ABC nhọn khi và chỉ khi các cạnh của nó
a 2 < b 2 + c 2
 2
2
2
b < a + c

c 2 < a 2 + b 2


thoả mãn các hệ thức sau:
.
- Chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh và độ lớn góc trong
một tam giác.
Các ứng dụng này có thể được thể hiện dưới các công thức, chẳng hạn
b2 + c 2 − a 2
cos A =
2bc

a 2 = b2 + c2 − 4S.cot A

(1a)
(1b)

Nhờ những cách viết đó mà gợi ý cho ta liên hệ, huy động kiến thức hợp lý
khi giải các bài toán sau:
Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng các số
ba cạnh của một tam giác nào đó.

a 2 ,b 2 ,c 2

cũng là

Giả thiết bài tốn nói về điều kiện các góc của tam giác ABC đồng thời kết
luận của bài toán cần chứng minh tổng hai số trong ba số

a 2 ,b 2 ,c 2

lớn hơn số còn

b +c >a
lại, tức là
và hai bất đẳng thức tương tự. Điều này gợi ý cho ta sử dụng
cách viết (1a) để giải. Thật vậy, vì tam giác ABC nhọn nên cosA >0 ⇔
2

b2 + c2 − a 2 > 0
a 2 ,b2 ,c 2

6

2

⇔

2

b2 + c 2 > a 2

. Tương tự với hai bất đẳng thức còn lại suy ra

là ba cạnh của một tam giác nào đó.

6


Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

minh tam giác ABC đều.

 b3 + c 3 − a 3
= a2

 b+c−a
a = 2b cos C

. Chứng

Phương trình thứ nhất của hệ cho ta mối liên hệ giữa các cạnh nhưng có chứa

cos A =

1
2

⇒
cả lũy thừa bậc ba, bình phương. Biến đổi ta có a2 =b2 +c2 – bc
(dùng
(1a)). Phương trình thứ hai lại gợi cho ta dùng (1a) để chỉ ra b = c. Từ đó có được kết
luận.

Bài tốn 1.3: Cho tam giác ABC. Chứng minh
a2 + b2 + c2
cot A + cot B + cot C =
4S

.

Đối với bài tốn này có sự xuất hiện của các cạnh, cot các góc và diện tích
của tam giác nên ta sẽ dùng công thức dạng (1b). Từ (1b) ta có:

a 2 = b 2 + c 2 − 4S.cot A
cot B =

Tương tự:

cot A =

⇒

c2 + a 2 − b2
a2 + b2 − c2
cot C =
4S
4S
,

Cộng các đẳng thức lại ta được:

b2 + c2 − a 2
4S

.

.

a 2 + b2 + c 2
⇔ cot A + cot B + cot C =

4S

Bài toán 1.4: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta ln có
2(acosA + bcosB +

7

c cos C

7

)≤a+b+c


Bài toán này yêu cầu cao hơn các bài toán trước đó bởi nó gắn với việc
chứng minh một bất đẳng thức. Tuy nhiên nếu liên hệ được đến các dạng khác nhau
của định lý cơsin thì ta có định hướng: nhận thấy vai trò của acos A, bcos B,
c cos C
như nhau nên ta sẽ thử chứng minh acosA + bcosB ≤ c
(1)
Áp dụng định lý hàm số cosin, bất đẳng thức trên

⇔

b2 + c 2 − a 2
c2 + a 2 − b2
a.
+ b.
≤c
2bc

2ac

⇔ (ac - bc)2 - (a2 - b2)2 ≤ 0

⇔ (a - b)2 (c2- (a+b)2 ) ≤ 0 ⇔ (a - b)2 (a + b + c ) (c - a - b) ≤ 0
⇔ (a - b)2 (c2 - (a + b)2) ≤ 0 ⇔ (a - b)2 (a + b + c) (c - a - b) ≤ 0 (luôn đúng)
Tương tự : bcosB + ccosC ≤ a (2) và ccosC + acosA ≤ b (3)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được điều phải chứng minh
Giải pháp 2: Xây dựng chuỗi các bài tốn tăng dần độ khó xuất phát từ kiến thức
lý thuyết học sinh đã được học. Chuỗi các bài tốn này khơng những khắc sâu
được lý thuyết mà còn rèn luyện được cho các em thao tác tư duy quy lạ về quen.
Ví dụ 2.
Bài tốn 2.1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng
uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0
(1).
Bài tốn này có thể hướng dẫn để học sinh độc lập giải theo nhiều cách khác
nhau. Ngoài cách chứng đã được trình bày trong SGK có thể hướng dẫn để học sinh
giải theo cách khác nhằm tạo ra các bài tốn mới. Chẳng hạn, có thể hướng dẫn học
sinh giải cách sau:

8

8


A

Kẻ CE//GA và CF//GB ta có tứ giác
GECF là một hình bình hành. Do đó
uuur uuu
r uuur
GC = GE + GF
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được
uuur
uuu
r uuur
uuu
r
GE = −GB GF = −GA
,
.
uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuur r
GC = −GB − GA ⇔ GA + GB + GC = 0
Suy ra:

E
G

B

C

M
F

Giáo viên đặt vấn đề nhằm tạo ra tình huống cho học sinh suy nghĩ: Khi G
khơng cịn là trọng tâm tam giác ABC, mà G là một điểm bất kỳ thì kết quả sẽ như
thế nào?.
≡
Gợi ý cho học sinh đặc biệt hóa điểm G, bằng cách cho G I, với I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Liệu có thể dùng cách tương tự để giải khơng?
Lời giải sẽ biến đổi như thế nào?.

Chính các câu hỏi và gợi ý của giáo viên gợi tò mò cho học sinh trong quá
trình đi tìm lời giải và đề xuất bài tốn mới. Học sinh tích cực suy nghĩ, các em
cũng thử vận dụng cách giải vừa được hướng dẫn để tìm lời giải.
uur uu
r uu
r
IC =IE +IF
Kẻ CE//IA, CF//IB, ta có:
uu
r
uu
r
uu
r
uu
r
IE
IB
IE =-k.IB

Do
và
ngược hướng tức là
(k > 0), với k
uu
r
IE CF MC AC
uu
r b uu
r
= uu
=
r = =
b
=
IE
=IB
IB IB MB AB
c
c
nên k
hay
.

Tương tự
Vậy khi G
9

uu
r a uur

IF =- IA
c
≡

nên

uur b uu
r a uur
uu
r
uur uur r
IC =- IB- IA
c
c ⇔ aIA + bIB + cIC = 0

I ta có bài toán nào?
9

(2)


Bài tốn 2.2: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, BC = a, AC = b và tâm I
uu
r
uur uur r
aIA + bIB + cIC = 0
đường trịn nội tiếp tam giác đó. Chứng minh rằng:
.
Tổng qt với điểm M bất kì nằm trong tam giác ABC. Giáo viên có thể gợi ý
như sau: Bằng cách tương tự như trên ta dựng hình bình hành GECF nhận MC làm

đường chéo, trong đó ME và MF lần lượt thuộc các đường thẳng AM, BM như các
bài toán 1 và 2 (hình vẽ).
uuur uuur uuur
MC = ME + MF
Theo quy tắc hình bình hành ta vẫn có:

Từ đó:

uuur
uuur
ME uuur MF uuur
CF uuur CE uuur
MC = −
MB −
MA ⇔ MC = −
MB −
MA
MB
MA
MB
MA
uuur
S uuur S uuur
⇔ MC = − b MB − a MA
Sc
Sc

Hay

uuur

uuur
uuur r
Sa MA + Sb MB + Sc MC = 0

(Với Sa=

Vậy với M bất kì nằm trong tam giác
uuur
uuur
uuur r
Sa MA + Sb MB + Sc MC = 0
ABC, ta có:
.

S∆MBC

, Sb=

S∆MAC

, Sc =

S ∆MAB

)

A

E
M

Bài tốn 2.3: Cho tam giác ABC và M là một
điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác. B
uuur
uuur
uuur r
F
Sa MA + Sb MB + S c MC = 0
Chứng minh rằng:
trong đó Sa, Sb, Sc lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MCA, MAB.

C

Chính cách gợi ý, dẫn dắt của giáo viên hướng học sinh tích cực suy nghĩ để
tìm lời giải đáp cho các câu hỏi. Có thể học sinh khơng thể đưa ra ngay câu trả lời
nhưng đó sẽ là đề tài để các em trao đổi, thảo luận với nhau mà thơng qua đó sẽ
nắm vững hơn các kiến thức thuộc chuỗi các bài tốn này.
Giải pháp 3: Tạo cho HS thói quen nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau.
10

10


Trong q trình tìm định hướng giải bài tốn thì học sinh khơng chỉ nhìn bài
tốn từ một góc độ mà phải xem xét từ nhiều phía, khơng chấp nhận một cách quen
thuộc hoặc duy nhất. Từ đó ln tìm tòi đề xuất được nhiều cách giải khác nhau
cho một bài tốn. Tìm nhiều lời giải cho một bài tốn giúp cho học sinh có cái nhìn
tồn diện, biết hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng và phương pháp
giải toán một cách chắc chắn, mềm dẻo linh hoạt.
Ví dụ 3: (Bài 7, trang 70 SGK hình học 10 nâng cao)

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến
kẻ từ B và C vng góc với nhau là: b2 + c2 = 5a2 (1)
Phân tích: Điều kiện hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau tương
đương với một trong các điều kiện sau:
- tam giác GBC vuông tại G
- tam giác GBN vuông tại G;
- tam giác GCM vuông tại G
- Chuyển đổi sang ngôn ngữ
vectơ taucó:
uur uuur
uuur uuur
BM.CN = 0;GB.GC = 0
1
GE = BC
2
(trong tam giác
vuông GBC)

(G là trọng tâm tam giác ABC, E, M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB)
Từ việc phân tích bài tốn theo các khía cạnh khác nhau như trên ta có các lời giải
sau:
Lời giải 1:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau

11

11

2

⇔ ∆GBC
⇔

vng tại G

2

2  2 
2
⇔
 mb ÷ +  mc ÷ = a
2
2
2
3  3 
⇔ GB + GC = BC

4 2
mb + mc2 ) = a 2
(
9
⇔ b 2 + c 2 = 5a 2

(đpcm)

Lời giải 2:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: BM ⊥ CN

⇔ ∆GMC

vuông tại G
2

⇔ GC 2 + GM 2 = MC 2

2

2
2  1  b
⇔  mc ÷ +  mb ÷ =
4
3  3 

⇔ b 2 + c 2 = 5a 2

(đpcm)

Lời giải 3:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB

Ta có: BM ⊥ CN

r uuur 1 uuu
r uuu
r
1 uuu

uuuu
r uuur
⇔ ( BA + BC ) (CA + CB ) = 0
⇔ BM .CN = 0
2
2

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
⇔ BA.CA + BA.CB + BC.CA + BC.CB = 0

r 2 uuu
r 2 uuu
r uuu
r 2 uuur uuu
r uuu
r uuur2
1  uuu

⇔ BA + CA − BA − CA + BC CA − BA − BC = 0

2 

(

1
⇔ ( c 2 + b 2 − a 2 ) − 2a 2 = 0
2
12

12

)

(

)


⇔ b 2 + c 2 = 5a 2

(đpcm)

Lời giải 4:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau
uuu
r uuur
⇔ GB.GC = 0

⇔

⇔ GA2 = GB 2 + GC 2
2

r uuur 2
1  uuu
GB + GC − GB 2 − GC 2  = 0

2 

(

(vì

2

)

uuu
r
uuu
r uuur
GA = −GB − GC

)

2

2  2  2 
⇔  ma ÷ =  mb ÷ +  mc ÷ ⇔ ma2 = mb2 + mc2 ⇔ b 2 + c 2 = 5a 2
3  3  3 

(đpcm)

Lời giải 5:
Gọi E là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau

⇔ ∆GBC

⇔ GE =
vng tại G

9
⇔ ma2 = a 2 ⇔ b 2 + c 2 = 5a 2
4

1
1
a
BC ⇔ ma =
2
3
2

(đpcm)

Cũng chính nhờ rèn luyện khả năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ
khác nhau học sinh hình thành thói quen nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cách
tồn diện. Từ đó đứng trước một bài tốn học sinh nhìn nhận theo nhiều hướng
khác nhau, dưới “con mắt” đại số, hình học, giải tích…và có thể đưa ra được nhiều
lời giải từ các hướng khác nhau đó.

13

13


Giải pháp 4: Tranh thủ mọi cơ hội cho học sinh thực hiện các hoạt động trí tuệ
như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá.. và các thao tác tư duy như so sánh, xét
tính tương tự, quy lạ về quen...
Thơng tin cần thiết cho việc giải bài tốn hầu hết còn ở dạng tiềm ẩn, cho
nên, việc lý giải thơng qua các thao tác tư duy giúp tìm ra mối liên hệ giữa tập hợp
các điều kiện tường minh hay tiềm ẩn với các u cầu của bài tốn.
Ví dụ 4 : Từ bài toán: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta ln có:
MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + GA2+ GB2 + GC2
(1)
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2 + MB2 +MC2 = k2, k là một số cho trước.
Đây là bài tốn trong SGK Hình học lớp 10, phần lớn học sinh dễ dàng giải
được bài toán này nhờ kiến thức vectơ. Bằng các hoạt động, giáo viên hướng dẫn
học sinh đặc biệt hoá bài toán trong các trường hợp sau ta sẽ có được bài toán mới:
Hoạt động 1: Đặc biệt hoá điểm M đối với công thức (1).
∆
- Cho điểm M trùng với tâm O đường trịn ngoại tiếp ABC ta có kết quả như
thế nào?
- Từ đó cho học sinh phát biểu bài toán mới.
∆
“Gọi G và O lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
Chứng minh rằng: GA2+ GB2 + GC2 = 3(R2 – OG2)”.
Hoạt động 2: Đặc biệt hoá điểm M để đại lượng T = MA2 + MB2 +MC2 lớn
nhất, nhỏ nhất.
- Đại lượng T = MA2 + MB2 +MC2 lớn nhất, nhỏ nhất khi nào?
Học sinh đưa ra câu trả lời:

T = MA2 + MB2 +MC2 lớn nhất, nhỏ nhất khi và chỉ khi MG lớn nhất, nhỏ nhất.
Từ đó GV đưa ra các vấn đề:
- Tìm điểm M trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC để T lớn nhất, nhỏ
nhất?
Trả lời:
α α
≡
Ta có MG2 = OM2 + OG2 – 2OM.OG.cos ( là góc giữa OM và OG, G
O). Suy ra:
14

14


α
⇔ α
⇔
+ MG lớn nhất khi và chỉ khi cos = -1
= 1800
M là giao điểm của
tia GO với đường tròn (O).
α
⇔ α
⇔
+ MG bé nhất khi và chỉ khi cos = 1
= 00
M là giao điểm của tia
OG với đường trịn (O).
- Tìm M trên một cạnh của tam giác ABC ( chẳng hạn trên cạnh BC) để T bé
nhất?

Trả lời:
M là hình chiếu của G lên BC.
- Tìm M trên đường thẳng d bất kì để T bé nhất?
Trả lời:
M là hình chiếu của G trên d.
Hoạt động 3: Đặc biệt hoá tam giác ABC.
∆
- Cho ABC đều cạnh a, G là trọng tâm, khi đó với mọi điểm M công thức
(1) viết lại như thế nào?
Trả lời:
a 3
3

∆
Do ABC đều nên GA = GB = GC =
. Do đó:
MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + a2,
- Nếu cho M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC thì cơng thức (1)
viết lại như thế nào?
Trả lời:
a 3
3

M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC nên MG =
. Do đó: MA2 +
MB2 +MC2 = 2a2 = 6R2.
Hoạt động 4: Khái quát hoá bài toán.
- Nếu ta thay đổi giả thiết tam giác thành tứ giác ABCD ta sẽ có các kết quả
như thế nào?.
- Hãy khái quát bài toán cho n điểm A1, A2, A3,…, An ?

15

15


Trả lời:
Trong mặt phẳng cho hệ n điểm A1, A2, A3,…, An :
a. CMR tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn:

uuur uuur
uuur r
GA1 + GA2 + ... + GAn = 0

Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ n điểm.
b. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta ln có:

MA12 + MA2 2 + ... + MAn 2 = nMG 2 + GA12 + GA2 2 + ... + GAn 2
Như vậy xuất phát từ một bài toán đơn giản, bằng cách tổ chức các hoạt
động đặc biệt hoá, khái quát hoá đã thu được một kết quả khá thú vị.
Giải pháp 5: Hướng dẫn học sinh đề xuất và chứng minh các bài toán mới xuất
phát từ các bài toán quen thuộc đã biết, đã chứng minh từ đó góp phần phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh...
Ví dụ 5: Khi dạy về chủ đề hệ thức lượng trong tam giác, giáo viên cũng có thể
hướng dẫn học sinh đề xuất và chứng minh các bài toán mới, chẳng hạn: xuất phát
b2 + c2 − a 2
2bc

từ các công thức cosA =
thức (sinA + cosA)2 ≤ 2 (*) ta được:

và sinA =

2S
bc

đã biết, kết hợp với bất đẳng

.
2

 2S b 2 + c 2 − a 2 
≤ 2 ⇔ b 2 + c 2 − a 2 + 4 S ≤ 2 2bc
 bc +
÷
2bc



Như vậy ta có bài tốn:
Bài tốn 5.1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta ln có
b 2 + c 2 − a 2 + 4S ≤ 2 2bc
(1)
Đẳng thức xảy ra khi sinA = cosA ⇔ tanA = 1 ⇔ A = 450.
16

16


Đến đây ta có thể cho ra bài tốn:
b 2 + c 2 − a 2 + 4S = 2 2bc

Bài toán 5.2: Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện
Tính góc A.

.

Tương tự với các BĐT (sinB + cocB)2 ≤ 2 và (sinC + cosC)2 ≤ 2 ta lần lượt
thu được
c 2 + a 2 − b 2 + 4 S ≤ 2 2ca
(2)
a 2 + b 2 − c 2 + 4S ≤ 2 2ab
(3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta suy ra được:
a2 + b2 + c2 + 12S ≤

2 2

(ab + bc + ca).

Từ đó, ta có thể đặt bài tốn:
Bài toán 5.3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta ln có
a2 + b2 + c2 + 12S ≤

2 2

(ab + bc + ca).

Khai thác các bài toán xuất phát từ kiến thức các em đã biết từ dễ đến khó gợi
cho các em tị mị và niềm tin vào khả năng giải tốn của bản thân mình. Điều này
khơng chỉ giúp các em giải các bài toán giáo viên đưa cho mà cịn khuyến khích
các em sáng tạo các bài tốn mới, các em tích cực hơn khi tham gia giải các bài

tốn trên lớp và khơng cịn tiếp nhận kiến thức một cách thụ động.
Ví dụ 6: Ở ví dụ 3 ta có thể khai thác để kiến tạo bài tốn mới. Ví dụ 3 liên quan
đến các yếu tố trong tam giác, vì vậy ta liên hệ giữa công thức (1) với các công
thức quen thuộc về các yếu tố trong tam giác cho ta các kết quả sau :
⊕ Liên hệ đến các công thức

17

17


2(b 2 + c 2 ) − a 2
2(a 2 + c 2 ) − b 2
2(a 2 + b 2 ) − c 2
2
2
m =
; mb =
; mc =
;
4
4
4
2
a

Ta có: (1)

9
3

⇔ ma2 = a 2 ⇔ ma = a ⇔ GA = a
4
2

(2)

(G là trọng tâm của tam giác ABC)
(1)

⇔ mb2 + mc2 = ma2

(3)

⊕ Liên hệ đến các cơng thức
2S = a.ha = b.hb = c.hc
⇔
Ta có: (1)

1 1
5
+ 2= 2
2
hb hc ha

(4)

⊕ Liên hệ đến các công thức:
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
a 2 + b2 − c 2

cosA=
, cosB=
, cosC=
2bc
2ac
2ab

Ta có:

(1)

2(b 2 + c 2 )
2a 2
cosA=
cosA=
5bc
bc

(5)

⊕ Liên hệ đến các công thức:
b2 + c2 − a2
c2 + a 2 − b2
a2 + b2 − c2
cot A =
, cot B =
, cot C =
4S
4S
4S

18

18


Ta có: (1)

a2
⇔ cot A = ⇔ S = a 2 tan A
S
⇔ cot A =

(1)

(1)
(1)

(6)

b2 + c 2
5S

(7)

b2 + c 2
⇔ cot B + cot C =
10 S

(8)

⇔ 2(cot B + cot C ) = cot A

(9)

⊕ Liên hệ đến cơng thức:
9OG2 = 9R2-(a2+b2+c2)

(vì

uuur uuu
r uuu
r uuur
OG = OA + OB + OC

)

((O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC)

Ta có: (1)

2
⇔ OG 2 = R 2 − a 2
3

⊕ Liên hệ đến công thức:
uuur uuu
r uuu
r uuur
OH = OA + OB + OC

(10)

hay

uuur
uuur
OH = 3OG

(H là trực tâm tam giác ABC)

Ta có: 9OH2 = 9R2-(a2+b2+c2)
(1)

⇔ OH 2 = 9 R 2 − 6a 2

(11)

Như vậy, qua việc khai thác kiến thức cơ bản từ SGK sẽ tạo được cho học sinh
hứng thú, tích cực tư duy sáng tạo Tốn học. Đồng thời giúp học sinh nắm vững, vận
dụng linh hoạt kiến thức cơ bản đã học vào nghiên cứu phát triển bài toán hoặc vận
dụng linh hoạt vào giải toán sẽ tạo cho học sinh có thói quen tự nghiên cứu, phát
hiện, giải quyết vấn đề.
19

19


2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường:

Thông qua việc đưa ra một lớp các bài toán hệ thức lượng trong tam giác
đồng thời nêu các dạng bài tập thường gặp yêu cầu học sinh nhớ và biết cách áp
dụng vào những bài tốn cụ thể tơi thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập
hơn, kết quả kiểm tra tốt hơn rõ rệt
Cụ thể như sau:
Lớp không áp dụng đề tài
Số HS Điểm dưới 5
thực
SL
%
Lớp
nghiệ
m
10C2
42
4
9.5
Lớp áp dụng đề tài

Lớp
10C3

Số HS
thực
nghiệ
m
42

Điểm dưới 5

Điểm 5-6
SL
%

Điểm 7-8
SL
%

19

16

45.2

Điểm 5-6

38.1

Điểm 7-8

Điểm 9-10
SL
%
3

7.2

Điểm 9-10

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

10

23.8

22

52.4

10

23.8

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Thực tiễn giảng dạy cho thấy các biện pháp đưa ra góp phần tăng hứng thú
học tập mơn Tốn (các em sẽ tích cực hơn trong tham gia vào các hoạt động trên lớp)
khi thấy được mối liên hệ, mạch kiến thức của một số dạng tốn; hình thành thói
quen học tập, nhìn nhận các bài toán theo hệ thống, trong các mối quan hệ. Nếu
thường xuyên rèn luyện cho học sinh được khả năng này, các em có cơ hội để nắm
vững, khắc sâu kiến thức lý thuyết cũng như thực hành giải toán tự chủ, linh hoạt
sáng tạo hơn.
- Đề tài này chỉ đưa ra một số giải pháp giúp rèn luyện phương pháp tư duy
quy lạ về quen với đối tượng học sinh khá, giỏi nhưng với từng đối tượng học sinh
giáo viên có thể thêm bớt một số bài tốn cho phù hợp với trình độ của các em.
20

20


- Hầu hết các ví dụ đưa ra trong bài viết đều xuất phát từ các bài toán trong
sách giáo khoa hoặc sách bài tập. Điều đó cho thấy tiềm năng rất lớn của sách giáo
khoa và sách bài tập, nếu biết khai thác hoặc hướng dẫn cho học sinh khai thác.
- Dù đã được kiểm nghiệm qua giảng dạy nhưng đề tài vẫn không tránh khỏi
những hạn chế. Rất mong các q thầy cơ cùng các đồng nghiệp góp ý, trao đổi để
giúp cho những giải pháp nêu ra ngày càng đạt hiệu quả cao hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Qua đây tơi xin có một số đề suất như sau:
- Để áp dụng được đề tài, học sinh (và bản thân người giáo viên) cần có thời
gian và kinh nghiệm trong quá trình học và làm bài tập. Với thời lượng theo phân
phối chương trình hiện nay, việc truyền tải các nội dung kiến thức của sách giáo
khoa cũng đòi hỏi mỗi giáo viên phải đầu tư cho bài giảng rất nhiều mới có được
hiệu quả tốt nhất.

- Tơi hy vọng rằng những vấn đề được trình bày trong sáng kiến này có thể
dùng làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp đang giảng dạy lớp 10 ở các
trường phổ thơng, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của tỉnh nhà.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hố, ngày 10 tháng 5 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

Trần Thái Sơn

21

21


Tài liệu tham khảo
[1]. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đồnh, Trần Đức Hun.
Hình học 10. NXB Giáo dục, 2006.
[2]. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên.
Bài tập hình học 10. NXB Giáo dục, 2006.
[3]. Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị.
Hình học 10 nâng cao. NXB Giáo dục, 2006.
[4]. Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam. Bài tập hình
học 10 nâng cao. NXB Giáo dục, 2006.
[5]. Nguyễn Thái Hòe, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXB Giáo
dục, 2001.
[6]. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm,
2008.

[7]. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi
giải toán, NXB Hà Nội, 2004.
[8]. Đào Tam. Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.
NXB Đại học sư phạm, 2005.

22

22