(SKKN 2022) Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán xét tính đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

0
Mục
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4
3
3.1
3.2

MỤC LỤC
Nội dung
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận của sáng kiến
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề

Hệ thống kiến thức liên quan
Hướng dẫn học sinh tiếp cận các quy tắc tìm các khoảng đơn
điệu
Hướng dẫn học sinh các giải quyết nhanh một số loại toán
Bài tập tương tự
Kết quả nghiên cứu
KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
Kết luận
Kiến nghị

0

Trang
1
1
2
2
2
2
2
3
4
4
5
5
19
19
19
19
20

1
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình Toán học lớp 12, bài toán về hàm số giữ một vai trị quan
trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây
với các mức độ khác nhau từ dễ đến khó. Đối với các bài tốn về xét tính đơn điệu
của hàm ẩn, hàm hợp, hàm có dấu giá trị tuyệt đối khó cịn địi hỏi học sinh phải
có tư duy tốt, nên đối với học sinh đại trà thường để mất điểm trong các kì thi. Đối
với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc,
làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.
Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các
đề thi tốt nghiệp THPT. Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu của
hàm số có những nội dung hay, khó và thường liên quan đến đồ thị hàm ẩn khi
biết đồ thị hoặc bảng xét dấu đạo hàm . Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự
tư duy nhiều hơn từ học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong những
phần kiến thức quan trọng của học sinh thi tốt nghiệp THPT . Trong các đề thi
chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài tốn tìm khoảng đơn điệu của hàm số và các
bài toán liên quan đến hàm ẩn thường nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận
dụng cao, là bài toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10.
Cái khó ở bài tốn này được đa phần các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận
xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất là đề bài được cho biết bởi đồ thị hoặc
bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) , nếu học sinh không nắm chắc kiến thức sẽ
rất dễ sai lầm sang hàm số y  f ( x) ; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy tính đạo
hàm hàm hợp, tư duy xét dấu, tư duy đồ thị hàm số, dặc biệt là tư duy hàm số có
dấu giá trị tuyệt đối đây là những tư duy khó đối với học sinh phổ thơng; yếu tố
thứ ba, bài tốn địi hỏi sự biến đổi phức tạp không phụ thuộc biến số dễ gây sai
sót, nhầm lẫn trong tính tốn cho học sinh.
Kì thi tốt nghiệp THPT năm học 2021 – 2022 đang đến gần,với mong muốn

có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được
điểm tối đa các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số, đặc biệt là hàm số ẩn,
hàm hợp hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối … từ đó các em cũng có thể giải quyết
một cách dễ dàng các bài toán hàm số liên quan đến tìm số cực trị, tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất…
Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân đã rất tâm đắc
tự rút ra trong q trình thực tế giảng dạy ơn thi THPT Quốc gia (nay là TN
THPT), tôi đã quyết định chọn đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải
nhanh một số bài tốn xét tính đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa
dấu giá trị tuyệt đối’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm
học 2021 – 2022 và hy vọng thông qua đề tài này cung cấp cho học sinh cái nhìn
tổng quan hơn về phương pháp giải để từ đó có định hướng tốt tìm ra lời giải

1


2
nhanh các bài toán về hàm số ẩn. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận
xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen và thành thạo với loại toán tìm
khoảng đơn điệu của hàm số y  f  x  liên quan đến hàm ẩn, hàm hợp, hàm có
dấu giá trị tuyệt đối … một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất.
- Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi muốn học sinh khơng
cịn cảm thấy sợ hay lo lắng khi gặp bài toán về hàm số ẩn, hàm hợp, hàm có
giá trị tuyệt đối . Từ đó giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài tốn khó liên
quan đến như tìm cực trị, GTLN,NN…
Qua đó rèn luyện các kỹ năng tốn học và định hướng phát triển cho học sinh
những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn, năng lực giải quyết vấn đề.

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp và quy tắc xét dấu đạo hàm.
- Kiến thức về so sánh nghiệm của phương trình.
- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số.
- Kiến thức liên quan đến các phép đối xứng, phép tịnh tiến đồ thị.
- Học sinh lớp 12B, 12E năm học 2021 – 2022 trường THPT Nga Sơn.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
sát thực tế dạy học phần xét tính đơn điệu của hàm số và các bài toán liên quan ở
trường THPT Nga Sơn để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng các
phương pháp tìm các khoảng đơn điệu của hàm ẩn, hàm số hợp, hàm số có giá trị
tuyệt đối trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo
khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và
Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình và tài liệu về dạy học theo định hướng
phát triển năng lực học sinh.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp
thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
2


3
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải
quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm
được lời giải của một lớp các bài tốn. Trong dạy học giáo viên là người có vai trị

thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương
thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách
học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm
vụ quan trọng của người giáo viên.
Với mục đích giúp học sinh xử lí tốt các bài tốn xét tính đơn điệu của hàm ẩn,
hàm hợp, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong bài viết của mình, tơi đề cập
đến ba loại tốn như sau:
Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f  x  , y  f  x  , y  f  x 
Loại 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g  x   f u  x   , g  x   f u  x  
Loại 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g  x   f u  x    v  x 
và hàm số g  x   f u  x    v  x 
2.2. THỰC TRẠNG
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách: giải nhanh một số bài tốn xét tính đơn
điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối là rất cần thiết
vì các lí do sau:
Thứ nhất, học sinh trường THPT Nga Sơn có điểm đầu vào cịn thấp, gia đình có
điều kiện kinh tế cịn khó khăn dẫn đến khả năng tư duy của học sinh còn chậm
ảnh hưởng rất nhiều đến việc tiếp thu kiến thức đặc biệt là những vùng kiến thức
khó.
Thứ hai, trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 chỉ đề cập đến các kiến thức về
hàm số y  f  x  thông thường, cụ thể mà không đề cập đến các hàm số hợp, tuy
nhiên trong khi các đề thi tốt nghiệp THPT gần đây thì thường xuyên xuất hiện
những bài tốn về hàm số hợp. Chính vì vậy, trong q trình giảng dạy và ơn thi
giáo viên cần định hướng giúp học sinh tìm tịi,nghiên cứu để các em có thể đưa ra
các phương pháp phù hợp cho từng dạng tốn về xét tính đơn điệu của hàm số. Từ
đó giúp học sinh có thể tự xử lí được các bài toán tương tự và làm nền tảng cốt lõi
để giải quyết các bài toán về hàm số trong quá trình học tập cũng như khi đi thi.
Thứ ba, mơn tốn đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc
nghiệm, từ đó địi hỏi học sinh phải giải một bài tốn một cách nhanh nhất nhờ
vào việc sử dụng các kết quả đã được đúc kết và rút ra ở phần phương pháp, từ đó

tiết kiệm thời gian.
3


4
Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi đưa ra ba loại tốn mà
trong q trình giảng dạy thường gặp và một số bài tập tự luyện. Mong rằng bài
viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các em
có một tài liệu hữu ích trong q trình học tập, đồng thời cùng trao đổi, học hỏi
với các đồng nghiệp.
2.3. GIẢI PHÁP
2.3.1. Hệ thống các kiến thức liên quan:
a) Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
y  f ( x) xác định trên K. Ta nói:
+ Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 thì
f ( x1 )  f ( x2 )

+ Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1  x2 thì
f ( x1 )  f ( x2 )

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu
trên K.
b) Định lý:
Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K
a. Nếu f ( x)  0, x  K và f ( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng
biến trên K
b. Nếu f ( x)  0, x  K và f ( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch
biến trên K
c) Đạo hàm của hàm số hợp
+ Hàm số hợp: Giả sử u  g ( x) là hàm số của x, xác định trên khoảng  a; b  và

lấy giá trị trên khoảng  c; d  ; hàm số y  f  u  là hàm số của u xác định trên  c; d 
và lấy giá trị trên ¡ . Khi đó ta lập một hàm số y  f (u )  f  g  x   xác định trên
 a; b  và lấy giá trị trên ¡ .Ta gọi hàm y  f  g  x   là hàm hợp của hàm số
y  f  u  với u  g  x  .

+ Đạo hàm của hàm số hợp
Nếu hàm số u  g ( x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại u là
yu thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là: yx  yu .ux

+ Đạo hàm của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối: y  f ( x) 

f 2 ( x)  y 

2 f ( x ). f ( x )
f 2 ( x)

d) Phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị  C  . Khi đó với số a  0 ,ta có: Đồ thị các hàm số:
+ Hàm số y  f ( x)  a là tịnh tiến  C  theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
+ Hàm số y  f ( x)  a là tịnh tiến  C  theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.

4


5
+ Hàm số y  f ( x  a) là tịnh tiến  C  theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
+ Hàm số y  f ( x  a ) là tịnh tiến  C  theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
+ Hàm số y  f  x  có đồ thị bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm bên

phải Oy và bỏ phần đồ thị  C  nằm bên trái Oy; Lấy đối xứng phần đồ thị  C  nằm

bên phải Oy qua Oy. Hàm số y  f  x  có đồ thị bằng cách: Giữ nguyên phần đồ
thị  C  nằm trên Ox và bỏ phần đồ thị  C  nằm dưới Ox; Lấy đối xứng phần đồ thị

 C  nằm bên bên dưới Ox qua Ox.
e) Sự tương giao của các đồ thị
Giả sử hàm số y  f  x  có đồ thị là  C1  và hàm số y  g  x  có đồ thị là  C2  .
Khi đó hồnh độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị  C1  và  C2  là nghiệm của
phương trình f  x   g  x  ; Giả sử x0 , x1 ,... là các nghiệm của phương trình thì tọa độ
các giao điểm của  C1  và  C2  là M 0 ( x0 ; f ( x0 )), M 1 ( x1; f ( x1 )),...
* Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y  f  x  và trục hoành: Hoành độ giao điểm
của đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành là nghiệm của phương trình f  x   0
2.3.2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận các quy tắc tìm các khoảng đơn điệu của
hàm số, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Đặt vấn đề với các câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Nêu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  ?
* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  là:
+ Bước 1: Tìm tập xác định.
+ Bước 2: Tính đạo hàm f ( x) . Tìm các điểm xi  i  1, 2,3,.., n  mà tại đó đạo
hàm bằng 0 hoặc không xác định.
+ Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
+ Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Câu hỏi 2: Nêu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  , y  f  x  khi
biết đồ thị (bảng xét dấu) của hàm số y  f   x  ?
Câu hỏi 3: Phát biểu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số hợp?
Từ đó u cầu học sinh tìm các khoảng đơn điệu của một số hàm số y  f  x  .
Qua đó hình thành các “thói quen” trong giải toán
2.3.3. Hướng dẫn học sinh cách giải quyết nhanh một số loại tốn
Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f  x  , y  f  x   1
5

6
Và y  f  x   2  khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số y  f ( x)
Phương pháp:
Bước 1: Tìm nghiệm xi  i  1, 2,..., n  của phương trình f   x   0 (là các
hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x) với trục hoành)
Bước 2: Xét dấu f   x 
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số, suy ra kết quả tương ứng
Đối với hàm số (1) và (2) ta thực hiện xong các bước trên rồi sử dụng phép
biến đổi đồ thị hàm số.
* Chú ý:
+ Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hồnh ta gọi đó là các nghiệm đơn của
phương trình: f   x   0
+ Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) tiếp xúc với trục hồnh ta gọi đó là các nghiệm
kép (nghiệm bội chẵn) của phương trình: f   x   0
+ Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) nằm trên trục hoành suy ra khoảng đồng biến
tương ứng với phần đồ thị đó
+ Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) nằm dưới trục hoành suy ra khoảng nghịch biến
tương ứng với phần đồ thị đó
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và có đồ thị của hàm số
y  f   x  như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng
 1;1 .
B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  1; 2  .
C. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  2;1 .
D. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng
 0; 2  .
Hướng dẫn: Chọn đáp án D
+ Từ đồ thị hàm số y  f ( x) ta có f ( x)  0  x   ; 2   (0; 2)
và f ( x)  0  x   2;0   (2; )

Ta có bảng biến thiên:

x
-2
0
2
f ( x)

-

0

+

f ( x)

6

0

-

0

+
+


7

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
x



f  x

-2
+

0

-1
-

0

2
+

0



4
-

0

+

Hàm số y  2 f ( x)  2021 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới
đây?
A.  1; 2 
B.  2; 1
C.  2; 4 
D.  4; 2 
Hướng dẫn: Chọn A
+ Tính đạo hàm y  2 f ( x)
+ Hàm số y  2 f ( x)  2021 nghịch biến y  2 f ( x)  2021  2 f   x   0  f ( x)  0
+ Từ bảng xét dấu ta thấy f ( x)  0  x   ; 2    1; 2    4;  
Ta chọn đáp án A
Nhận xét : Qua 2 ví dụ trên ta thấy khi học nắm vững được phương pháp thì sẽ
dễ dàng giải quyết được bài tốn mà khơng bị lúng túng thậm chí nhầm lẫn giữa
đồ thị hàm số y  f ( x) với hàm y  f ( x) đã học.
Loại 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g ( x)  f u  x   , g ( x)  f u  x   (3)
khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y  f ( x)
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u   x  . f  u  x   .
Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  .
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2
Đối với hàm số (3) ta sử dụng công thức y  f ( x)  f ( x)  y 

2 f ( x). f ( x)
f 2 ( x)

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x   .
Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến
 g   x   0 ) (*)

Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ đó
kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

7


8
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
y  f  2  x  đồng biến trên khoảng

A.  2;  

B.  2;1

C.  ; 2 

D.  1;3

Hướng dẫn: Chọn B
Cách 1:
 x  (1; 4)

Từ đồ thị hàm số y  f '( x) ta thấy f '( x)  0 với 
 x  1

nên f ( x) nghịch

biến trên khoảng  1; 4  và trên khoảng  ; 1 suy ra g ( x)  f ( x) đồng
biến trên các khoảng (4; 1) và  1;  . Khi đó: hàm số f (2  x) đồng
biến biến trên khoảng (2;1) và  3;  
Cách 2:
 x  1
.
1  x  4

Dựa vào đồ thị của hàm số y  f   x  ta có f   x   0  
Ta có  f  2  x      2  x   . f   2  x    f   2  x  .

Để hàm số y  f  2  x  đồng biến thì  f  2  x     0  f   2  x   0
 2  x  1
x  3


.
1  2  x  4
 2  x  1

Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu của f   x  như sau:

Hàm số y  f  5  2 x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  3; 4  .

B.  1;3 .

C.   ;  3 .

D.  4;5 .

Hướng dẫn: Chọn D
5  2 x   3
x  4


Ta có y  f   5  2 x   2 f   5  2 x   y  0  2 f   5  2 x   0  5  2 x  1   x  3 .
5  2 x  1
 x  2

Ví dụ 1,2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo 8số [4]


9
 5  2 x  3
x  4
5  2 x  1
; f  5  2x  0  

 1  5  2 x  1
2  x  3
 3  5  2 x  1

f   5  2x   0  
x  2

.
3  x  4

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  f  5  2 x  đồng biến trên khoảng  4;5 
. Ta chọn đáp án D
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu như sau:

2
Hàm số y  f  x  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  2;1 .
B.  4; 3 .
C.  0;1 .
Hướng dẫn: Chọn D

D.  2; 1 .

2
Ta có: Đặt: y  g ( x )  f  x  2 x  ; g ( x)   f ( x 2  2 x)    2 x  2  . f ( x 2  2 x)

g ( x)  0   2 x  2  . f ( x 2  2 x)  0
 x  1

 x  1
 x  1  2
 2
x

2
x



2(
VN
)
2 x  2  0

 2
  x  1  2
2

x  2x  1
 f ( x  2 x)  0
x 1

2

 x  2 x  3
 x  3

(Trong đó: x  1  2 ; x  1  2 là các nghiệm bội chẵn của PT:
x2  2 x  1 )

+ Ta có bảng biến thiên

Ví dụ 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo9số [4]


10

2

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f  x  2 x  nghịch biến trên

khoảng  2; 1 . Ta chọn D.
Chú ý: Cách xét dấu g ( x) :

2
Chọn giá trị x  0   1; 1  2   x  2 x  0  g (0)  f (0)  0 ( dựa theo

bảng xét dấu của hàm f ( x) ). Suy ra g ( x)  0 x   1; 1  2  , sử dụng

quy tắc xét dấu đa thức “ lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của g ( x) trên
các khoảng cịn lại
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) , đồ thị hàm số y  f ( x) như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  4;6  .

B.  1;2  .

Hướng dẫn: Chọn B

C.   ; 1 .

D.  2;3 .

 3  x

Tacó: y  f  3  x   f   3  x    3  x f   3  x  ( x  3)
 3  x  1 L 
 x  1


x  7
 f  3  x   0
3  x

 3  x  1 N 
f  3  x   0  
f  3  x   0  


3 x
3

x

4
N
  x  2
3  x  0


 x  3 L
x  4


Ta có bảng xét dấu của f   3  x  :

10

11

Từ bảng xét dấu ta thây hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng  1;2  .

Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  . Biết rằng hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ
bên dưới.

2
Hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng

A.  0;1 .
Hướng dẫn: Chọn B
Cách 1:

B.  1;0  .

C.  2;3 .

D.  2; 1 .

2
2
Đặt y  g  x   f  3  x  . Ta có: g   x   2 x. f   3  x  .

x  0
g   x   0  2 x. f   3  x 2   0  
2
 f  3  x





x  0
x  0

2
 x  3
3  x  6

.


3  x 2  1
 x  2
0


3  x 2  2
 x  1

Bảng xét dấu của g   x  :

2
Suy ra hàm số y  f  3  x  đồng biến trên mỗi khoảng:

 3; 2  ,  1;0  ,  1; 2  ,  3;   .
2
Vậy hàm số y  f  3  x  đồng biến trên khoảng  1;0  .

Cách 2:
Dựa vào đồ thị của y  f   x  ta chọn y  f   x    x  6   x  1  x  2  .
2
Đặt y  g  x   f  3  x  . Ta có:

g   x   2 x. f   3  x 2   2 x  9  x 2   4  x 2   1  x 2  .

11


12
x  0
 x  3
.
g  x  0  
 x  2

 x  1

Bảng xét dấu của g   x  :

2
Suy ra hàm số y  f  3  x  đồng biến trên mỗi khoảng:  3; 2  ,  1;0  ,  1; 2 

,  3;   . Vậy hàm số y  f  3  x 2  đồng biến trên khoảng  1;0  .

Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  . Biết đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ sau

2
Hàm số g  x   f  2 x  3x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

1 1

1





C.   ;  .
3
1

A.  ; . B.  ;   .
3 2
2

Hướng dẫn: Chọn C





1

D.  2;  .


2

Cách 1. Ta có g   x    2  6 x  . f  2 x  3x 2 
g   x   0   2  6 x  . f  2 x  3x

2



2  6 x  0
1

 0  2 x  3 x 2  1  x  .Bảng xét dấu của g   x 
3
 2 x  3x 2  2


12


13
1

2
Từ bảng trên ta có hàm số g  x   f  2 x  3x  đồng biến trên khoảng   ; 
3



Cách 2: g   x    2  6 x  . f  2 x  3x 2 

2

Để hàm số g  x   f  2 x  3x  đồng biến thì

Ví dụ 4,5,6 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số [5]
2  6 x  0
 2  6 x  0
g   x   0   2  6 x  . f  2 x  3 x 2   0  

 
2
2

 f  2 x  3x   0
 f  2 x  3x   0

2  6 x  0
Trường hợp 1.  
2
 f  2 x  3x 

1

x


3
1


x
2

2 x  3x  1
3
0

2
  2 x  3 x  2

1


2  6 x  0
x 

3
Trường hợp 2.  
hệ vô nghiệm
2
2
 f  2 x  3x   0


1  2 x  3x  2

1

2
Vậy hàm số g  x   f  2 x  3x  đồng biến trên khoảng   ; 
3




Loại 3: * Bài tốn tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g ( x)  f u  x    v( x)
khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y  f ( x)
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  .
Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  .
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của
hàm số.
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  .
Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến
 g   x   0 ) (*)

Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ
đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách 3: (Trắc nghiệm)
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u  x  . f  u  x    v  x  .

13


14
Bước 3: Hàm số g  x  đồng biến trên K  g   x   0, x  K ; (Hàm số
g  x  nghịch biến trên K  g   x   0, x  K ) (*)

Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g   x  để loại
các phương án sai.
* Bài toán tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g  x   f u  x    h  x 

Bước 1: Xét tính đơn điệu cảu hàm số f u  x    h  x 
Bước 2: Sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị hàm số có dấu giá trị tuyệt
đối để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g  x 
Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x

1
2
3
4





0
0
0
0
f  x



3
Hàm số y  3 f  x  2   x  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  ; 1 .
Hướng dẫn: Chọn B

B.  1;0  .

C.  0; 2  .

D.  1;   .

2
Ta có: y  3  f   x  2    x  3 

2
Với x   1;0   x  2   1; 2   f   x  2   0 , lại có x  3  0  y  0; x   1;0 

Vậy hàm số y  3 f  x  2   x  3x đồng biến trên khoảng  1;0  .
Chú ý:
2
+) Ta xét x   1; 2    1;    x  2   3; 4   f   x  2   0; x  3  0
3

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 2  nên loại hai phương án A, D.
+) Tương tự ta xét
x   ; 2   x  2   ;0   f   x  2   0; x 2  3  0  y  0; x   ; 2 

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  nên loại hai phương án B.
Ví dụ 2 : Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số
g  x   f  1  2 x   x 2  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

14


15



A. 1; .
2
3







B.  0; .
2
1



C.  2; 1 .



D.  2;3 .

Hướng dẫn: Chọn A
Ví dụ 1,2 Ta
được
x   ftừ 1tài
 2liệu
x  tham

x 2  xkhảo
 gsố'  [5]
x   2 f '  1  2 x   2 x  1
cótham
: g  khảo
Đặt t  1  2 x  g   x   2 f   t   t g '  x   0  f '  t    t
’

2

Vẽ đường thẳng y  

x
và đồ thị hàm số f '  x  trên cùng một hệ trục
2

t

 2  t  0

Hàm số g  x  nghịch biến  g '  x   0  f '  t     
2
t  4
3
1
x
 2  1  2 x  0  2
1 2x
2



Như vậy f   1  2 x  
.
2
4  1  2 x
 x3

2

3
1 3

2
Vậy hàm số g  x   f  1  2 x   x  x nghịch biến trên  ; và  ;  .
2
2 2


 



2
Mà 1;    ; nên hàm số g  x   f  1  2 x   x  x nghịch biến trên khoảng 1; 
 2 2 2
 2
3

1 3

3

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên ¡ . Hàm số y  f   x  có đồ thị như
hình vẽ. Hàm số g  x   f  x  1 

2019  2018 x
đồng biến trên khoảng nào dưới
2018

đây?

15


16

A.  2 ; 3 .
B.  0 ; 1 .
Hướng dẫn: Chọn C
Ta có g   x   f   x  1  1 .

C.  -1 ; 0  .

D.  1 ; 2  .

 x  1  1  x  0

.
g   x   0  f   x  1  1  0  f   x  1  1  
 x 1  2

x  3
2019  2018 x
Từ đó suy ra hàm số g  x   f  x  1 
đồng biến trên khoảng  -1 ; 0  .
2018

Ví dụ 4: Cho hàm số đa thức f  x  có đạo hàm trên ¡ . Biết f (0)  0 và đồ thị
hàm số y  f ( x) như hình sau.

2
Hàm số g  x   4 f  x   x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  4;   .
B.  0; 4  .
Hướng dẫn: ChọnB
2
Xét hàm số h  x   4 f  x   x trên ¡ .

C.  ; 2  .

D.  2; 0  .

Vì f  x  là hàm số đa thức nên h  x  cũng là hàm số đa thức và h  0   4 f  0   0 .
1
Ta có h  x   4 f   x   2 x . Do đó h  x   0  f   x    x .
2

16

17
1
2

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x , ta có
h  x   0  x   2;0; 4

Suy ra bảng biến thiên của hàm số h  x  như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g  x   h  x  như sau:

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  0; 4  .
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ có đồ thị hàm số y  f ( x) cho như hình
vẽ

2
Hàm số g ( x)  2 f  x  1   x  2 x  2020 đồng biến trên khoảng nào?

A. (0;1) .
Hướng dẫn: Chọn A

B. (3;1) .

C. (1;3) .

D. (2; 0) .

Ta có đường thẳng y  x cắt đồ thị hàm số y  f ( x)
tại các điểm x  1; x  1; x  3 như hình vẽ bên
Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có

 x  1
 1  x  1
f ( x)  x  
và f ( x)  x  
.
1  x  3
x  3
+ Trường hợp 1: x  1  0  x  1 , khi đó ta có

g ( x)  2 f  1  x   x 2  2 x  2020 .

17


18
Ta có g ( x)  2 f   1  x   2(1  x) .
 1  1  x  1 0  x  2
g ( x)  0  2 f   1  x   2(1  x)  0  f   1  x   1  x  

.
1  x  3
 x  2
0  x  1
Kết hợp điều kiện ta có g ( x)  0  
.
 x  2

+ Trường hợp 2: x  1  0  x  1 , khi đó ta có
g ( x)  2 f  x  1  x 2  2 x  2020 . g ( x )  2 f   x  1  2( x  1)
 x  1  1

x  0
g ( x)  0  2 f   x  1  2( x  1)  0  f   x  1  x  1  

.
1  x  1  3
2  x  4
Kết hợp điều kiện ta có g ( x)  0  2  x  4 .

2
Vậy hàm số g ( x)  2 f  x  1   x  2 x  2020 đồng biến trên khoảng (0;1) .

2.3.4. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hàm số f ( x) như hình vẽ.
2
Hàm số y  f  cos x   x  x đồng biến trên khoảng
A.  2;1 .

B.  0;1 .

 1; 2 
Ví dụ 3,4,5 được tham khảo từ tài liệu tham khảoC.
số [4] .

D.  1;0  .

Câu 2. Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ.
9
2

Hàm số g ( x)  f  3x 2  1  x 4  3x 2 đồng biến trên

khoảng nào dưới đây.
 2 3  3
 2 3
;

 0;
.
.
B.
3
3 
3 





A.  

C.  1; 2  .



D.  


3 3
;
.
3 3 



Câu 3. Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

2
3

Hàm số y  f  2 x  1  x3  8 x  5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
18


19
A.   ; 2  .
Câu 4. Cho hàm số

B.  1;   .



2

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình bên dưới
Hàm số g( x) = f ( x2 + 2x + 2) nghịch biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ?
A. ( - ¥ ;- 1- 2 2) .
B. ( - ¥ ;1) .
C.

Câu 5. Cho hàm số

1

D.  1;  .

C.  1;7  .

y = f ( x) .

( 1;2

)

D.

2- 1 .

(2

)

2 - 1;+¥ .

Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình bên dưới
Hàm số g( x) = f ( x + 2x + 3- x + 2x + 2) đồng biến
trên khoảng no sau õy ?
2

A. ( C.

2

Ơ ;- 1) .

ổ
1
ỗ
ỗ ;+Ơ
ỗ
ố2

B.

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

ổ
1ử
ỗ
- Ơ; ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ố
ứ
2ữ

D. ( -

1;+Ơ ) .

2.4. KT QU NGHIấN CU
Thụng qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng toán xét các
khoảng đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đồng
thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng tốn tơi thấy học sinh thoải mái,
tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn. Từ đó kết quả kiểm tra tiến bộ
rõ rệt.
Trong năm học 2021 – 2022, qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học
sinh của các lớp 12B và 12E mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong
thời gian làm bài ngắn hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều. Kết quả khảo sát và thực
nghiệm cụ thể như sau:
Kết quả kiểm tra lần 1
Điểm dưới 5 Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
Số HS
Lớp
thực
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

nghiệm
22,22
%
27,27
12E 33
9
%
Kết quả kiểm tra lần 2
Lớp
Điểm dưới 5
12B

36

8

23

63,997
%

5

13,88
%

0

0%

22

66,67%

2

6,06%

0

0%

Điểm 5-6
19

Điểm 7-8

Điểm 9-10


20
Số HS
thực SL
nghiệm

%

SL

12B

36

0

0

10

12E

33

0

0

11

%
27,77
%
48,49
%

SL
24
15

%

44,46
%
45,45
%

SL

%

10

27,77
%

2

6,06%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên nắm
chắc cơ sở lý thuyết, chủ động trong việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa và phát
huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải và đưa
ra hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh
vận dụng hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng một cách có hệ thống thì sẽ
tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực
hành giải toán hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ động
và sự sáng tạo trong việc học của học sinh.
Đề tài đã được tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng cả về chất lượng,
nội dung và hình thức, rất mong hội đồng KH nghành xét duyệt và phổ biến rộng

rãi giúp giáo viên và học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy và học tập.
3.2. Kiến nghị:
Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ
của học sinh làm mục đích chính, ln trau dồi kiến thức, khơng ngừng tìm tịi,
nghiên cứu phương pháp mới, phù hợp với từng đối tượng học sinh, nhằm đem lại
hiệu quả cao nhất trong quá trình giảng dạy.
Đối với học sinh: cần có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, nhiệt tình, tích
cực, chủ động tiếp cận kiến thức một cách khoa học.
Đối với nhà trường: nhân rộng các đề tài khoa học trong nhà trường để đồng
nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý và vận dụng trong q trình dạy học.
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những
thiếu sót, tơi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hồn
thiện hơn, cũng như ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy,
đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
20


21

XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 24/ 05/ 2022
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, khơng sao chép nội
dung của người khác.
Người viết:
Lê Diễm Hương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Chuyên đề luyện thi vào đại học – Đại số - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục
[2]. Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống
Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục
[3]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2020 – Phan Đức Tài –
Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam
[4]. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT và đề thi THPT QG các năm của
Bộ GD& ĐT – Nguồn internet
[5]. Các chun đề luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2022 của Nguyễn Bảo
Vương

21


22

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
Lê Diễm Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải phương trình, hệ

Kết quả
Năm học
Cấp đánh đánh
đánh giá xếp
giá xếp loại giá xếp
loại
loại
Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
Hóa
C
2015 – 2016

phương trình và bất phương
trình bằng phương pháp
nhân lượng liên hợp
22


23

23