Giải bài toán tìm x trong hệ thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm khắc sâu khái niệm giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7

GIẢI BÀI TOÁN TÌM X TRONG HỆ THỨC
CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI NHẰM KHẮC SÂU KHÁI NIỆM
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CHO HỌC SINH LỚP 7
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Với mục tiêu giáo dục của nước ta là xây dựng nội dung chương trình và
phương pháp giáo dục toàn diện cho thế hệ trẻ, đáp ứng yêu cầu phát triển nhân
lực phục vụ cho quá trình công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, phù hợp với
thực tiễn và truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục ở các nước phát
triển trong khu vực và trên thế giới.
Để thực hiện tốt mục tiêu giáo dục, người giáo viên cần có sự hiểu biết, nắm
chắc những thay đổi về nội dung và phương pháp cũng như những yêu cầu trong
cuộc sống. Đổi mới phương pháp đó chính là lấy học trò làm trung tâm phát huy
tính tích cực học tập của học sinh. Học sinh tự tìm tòi kiến thức, vận dụng
những kiến thức đã học vào quá trình giải bài tập, ứng dụng vào cuộc sống.
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một
cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say
mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học
sinh. Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải
đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học
sinh có thể phát huy tư duy Toán học.
Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chương trình toán THCS tôi nhận
thấy phần:"Giá trị tuyệt đối" là một nội phong phú và đa dạng ở phần đại số của
các lớp.
Trong nhiều năm công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, tôi
nhận thấy đa số học sinh thực sự chưa có phương pháp giải bài tập. Khi gặp các
bài tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế
nào. Với mong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng
này, tôi biên soạn thành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng
nhất định khi giải toán dạng này. Khi được giáo viên ra bài tập đọc đề lên là

bước vào tính toán luôn không cần phân tích đề xem bài tập đó thuộc dạng nào,
phương pháp giải như thế nào, dẫn đến việc học sinh khó suy luận được, ngay cả
học sinh giỏi vẫn mắc sai lầm.
Sự lúng này thể hiện rõ khi các em tham gia giải các bài toán nâng cao về
1


dạng toán có dấu "Giá trị tuyệt đối". Dạng bài tập này hầu như không thiếu trong
thi học kỳ ở các lớp cũng như nhiều kỳ thi khác. Từ những sai lầm và rất lúng
túng của học sinh, tôi đã kiểm tra, phân tích thực trạng tìm ra nguyên nhân chính
là do các em chưa hiểu các tính chất của "Giá trị tuyệt đối" và chưa nắm được
phương pháp giải các bài toán ở dạng này.
Với những lý do trên tôi đ ã tìm tòi nghiên cứu, tham khảo tư liệu và áp
dụng đề tài: “Gỉải bài toán tìm x trong hệ thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
nhằm khắc sâu khái niệm giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7” để dạy cho mọi
đối tượng học sinh trong việc giảng dạy học tập hằng ngày. Nhằm giúp cho các
em học khối 7 khắc phục những sai lầm, biết giải các bài tập loại này một cách
tự tin và hiệu quả làm tiền đề để giải các bài tập dạng này ở các lớp trên.
1.2. Mục đích nghiên cứu :
Đề tài này nhằm giúp cho các em nắm chắc được định nghĩa, các tính chất của
"Giá trị tuyệt đối" và phương pháp giải dạng bài tập tìm x trong hệ thức có chứa
dấu giá trị tuyệt đối và kỹ năng giải bài tập nói chung.
Phát huy tính tích cực chủ động và tạo hứng thú cho học sinh trong học tập,
đặc biệt là trong giải bài tập toán.
Là tài liệu rất cần thiết cho việc ôn luyện học sinh bộ môn toán nói chung
cũng như học sinh giỏi bộ môn toán, và giúp cho giáo viên hệ thống được kiến
thức, phương pháp giải bài tập toán dạng toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối.
1.3. Đối tượng nghiên cứu :
Đề tài này nghiên cứu và áp dụng cho đối tượng học sinh đại trà và bồi dưỡng
học sinh khá giỏi cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng

ngày.
Về mặt kiến thức kỹ năng đề tài chỉ nghiên cứu một số phương pháp giải toán
có liên quan đến định nghĩa, các tính chất của "Giá trị tuyệt đối" và phương
pháp giải dạng bài tập tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối.
1.4. Phương pháp nghiên cứu :
Đọc sách, tham khảo tài liệu
Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.
Cùng trải nghiệm thực tế - nhiều năm dạy toán khối lớp 7.
Thông qua học tập BDTX các chu kì.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, trao đổi cùng đồng nghiệp đã rút
ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.

2


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Trong hoạt động dạy và học theo phương pháp đổi mới người giáo viên phải
giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học tập chủ động
tích cực muốn vậy người giáo viên cần truyền thụ cho học sinh những tri thức
những kĩ năng , phương pháp để học sinh biết cách học , biết cách suy luận, biết
cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thức mới.
Để phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong giải toán,
nhất là giải các bài toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối học sinh cần nắm vững
các kiến thức cơ bản, phương pháp giải , giáo viên cần hiểu rõ bản chất vấn đề ,
tổng hợp kiến thức cung cấp , hệ thống cho học sinh các cách giải.Thông qua
các bài toán về tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối mà phát triển tư duy lô gíc, phát
triển kỹ năng, củng cố và phát triển kiến thức toán của học sinh .
- Các kiến thức thường sử dụng là:
* Định nghĩa:

Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là a là khoảng cách từ điểm a
đến điểm 0 trên trục số.
Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của 0 là số 0.
* Giá trị tuyệt đối của số nguyên dương là chính nó.
* Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dương).
Tổng quát : Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a

;

Nếu a < 0 ⇒ a = −a
Nếu x-a ≥ 0=> = x-a
;
Nếu x-a ≤ 0=> = a-x
Mở rộng : Với biểu thức A(x) ta cũng có:
 A( x) nÕuA(x) ≥ 0
|A( x ) | = 
A(x) < 0
- A(x)nÕu

* Tính chất
- Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
Tổng quát :

a ≥ 0 với mọi a ∈ R

Cụ thể: =0 <=> a=0
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược
lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối
nhau.

3


a = b

Tổng quát : a = b ⇔ 
 a = −b
Mở rộng : a − b = b − a
- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời
nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
Tổng quát : − a ≤ a ≤ a và − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ 0
- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Tổng quát : Nếu a < b < 0 ⇒ a > b
- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
Tổng quát : Nếu 0 < a < b ⇒ a < b
- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
Tổng quát : a.b = a . b
- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
Tổng quát :

a
a
=
b
b

- Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
2

Tổng quát : a = a 2

- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối
của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
Tổng quát : a + b ≥ a + b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0
- Hiệu hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối
của hiệu hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi số hai số cùng dấu và giá trị tuyệt
đối của số bị trừ lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của số trừ .
Tổng quát :

a ≥ b ≥ 0
a − b ≤ a − b và a − b = a − b ⇔ 
a ≤ b ≤ 0

2.2. Thực trạng của vấn đề:
Thực trạng học sinh ở vùng thành phố, nhưng hầu hết gia đình các em trong
lớp kinh tế còn khó khăn, bố mẹ phần lớn kinh doanh buôn bán. Do vậy việc
mua tài liệu tham khảo cho các em còn hạn chế rất nhiều, thời gian quan tâm đến
con cái còn ít. Các em vừa mới làm quen với các tập hợp số mới trong khoảng
thời gian ngắn, nên chưa có thời gian luyện tập nhiều vì thế trong quá trình làm
bài các em thường hay sai dấu dẫn đến kết quả sai. Hơn nữa để làm được các bài
tập về giá trị tuyệt đối các em phải bỏ được dấu giá trị tuyệt đối mà để bỏ được
dấu giá trị tuyệt đối thì lại phải chú ý nhiều đến dấu của biểu thức.
4


Qua giảng dạy và qua các bài kiểm tra đầu năm tôi thấy kết quả bài làm của
học sinh rất thấp. Lý do học sinh không có điểm cao là do học sinh không nắm
được cách giải hoặc nắm chưa sâu cho nên học sinh còn mắc nhiều sai lầm dẫn
đến bài giải sai. Các em chưa biết cách suy luận, chưa biết cách trình bày lời giải
một bài toán, đôi khi các em tìm ra được kết quả nhưng không biết cách trình
bày bài giải.

Một số em chưa nắm vững được định nghĩa, các tính chất cũng như chưa nắm
vững được cách giải hoặc vận dụng chưa thành thạo.
Qua kiểm tra khảo sát đầu năm của hai lớp 7A1 và 7A2 kết quả như sau:
Lớp

Sĩ
số
7A1 42
7A2 40
Tổng 82

Giỏi
SL %
2
4,76
1
2,5
3
3,6

Khá
SL %
10
23,8
8
20
18
21,95

Trung bình

SL
%
14
33,33
15
37,50
29
35,37

SL
13
14
27

Yếu
%
30,95
35,00
32,93

Kém
SL %
3
7,14
2
5,00
5
6,10

Trong số các bài kiểm tra của học sinh tôi thấy số các bài trình bày được lời

giải hoàn chỉnh (nhóm 1) rất ít, mà trong phần trình bày bài giải của các em vẫn
còn chưa lô gíc. Nhóm 2 đa số các em viết kết quả đúng hoặc chưa đầy đủ
nhưng chưa biết cách trình bày hoặc trình bày theo cách suy diễn của các em mà
không có lô gíc hoặc thiếu căn cứ .
Ví dụ : Tìm x biết:
a/ x + 3 = −4
Lời giải của học sinh: Vì không có giá trị nào thoả mãn
Vậy không tìm được x.
Lời giải đầy đủ: Vì x + 3 ≥ 0 với mọi x , nên không có giá trị nào của x để
x + 3 = −4

Vậy không tìm được x để x + 3 = −4
b/ x − 2 = 5
Lời giải của học sinh: x − 2 = 5 ⇒ x - 2 = 5 ⇒ x = 5 + 2 = 7
Vậy x = 7.
Lời giải đầy đủ:
Ta có: x − 2 = 5 suy ra: x – 2 = 5 ⇒ x = 2 + 5 = 7
hoặc x – 2 = - 5 ⇒ x = 2 – 5 = - 3
Vậy x ∈ { 7;−3}
5


Nhóm 2 các em làm còn sai
Ví dụ : Tìm x biết: a/ x + 3 = −4
Lời giải của học sinh: x + 3 = −4 ⇒ x+ 3 = - 1 ⇒ x = -1 – 3 = - 4
Vậy x = - 4
Cho dù trước khi làm bài kiểm tra các em cũng đã được học lý thuyết và
phương pháp làm bài nhưng chưa được luyện tập nhiều nên kết quả còn thấp.
Sau khi trả bài cho các em tôi nhận xét rồi hướng dẫn lại cách làm, sau đó cho
các em lên bảng trình bày lời giải thì các em trình bày lại được.

Vì vậy tôi thấy rằng giáo viên cần rèn luyện cho học sinh phương pháp giải
cũng như rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán nói chung cũng như dạng toán
tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối nói riêng nhằm giúp các em hiểu và làm được
thành thạo bài tập toán. Để các em cảm thấy môn toán không khó như các em
vẫn cảm nhận, từ đó nâng cao chất lượng dạy học toán.
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Trước hết giáo viên cho học sinh ôn tập và nắm vững định nghĩa, các tính
chất của giá trị tuyệt đối.Sau đó cho học sinh làm quen dần với các dạng toán
với các phương pháp của các dạng toán ấy rồi cho học sinh luyện giải các dạng
toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối. Sau mỗi dạng bài giáo viên: nêu phương
pháp giải → lấy ví dụ → cho học sinh tự luyện các bài tương tự.
Các dạng toán: Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị
tuyệt đối:
Dạng 1: A(x)= k (Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước)
Dạng toán này yêu cầu học sinh yêú, kém đều phải làm được tất cả đại trà
đều phải làm tốt.
Để giải được dạng toán này học sinh chỉ cần vận dụng được tính chất : giá trị
tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của
nó và giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ( a ≥ 0 với mọi a ∈ R)
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt
đối của mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có A( x) = 0 ⇒ A( x) = 0
 A( x) = k
 A( x) = − k

- Nếu k > 0 thì ta có: A( x) = k ⇒ 
Ví dụ: 1.1: Tìm x, biết:

6

a/ x − 1 = −5

;

b/ = 4

c) 2 x − 5 = 4

;

Giải:
a) Ta có: x − 1 ≥ 0 với mọi giá trị của x
Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn x − 1 = −5
b/ Giải : Ta có : = 4 . Suy ra:
= 4 ⇒ x = 4 hoặc x = - 4
Vậy x = 4 hoặc x = - 4
c/ 2 x − 5 = 4
Giải : Ta có : 2 x − 5 = 4 . Suy ra:
* 2x-5 = 4 ⇒ 2x = 4 + 5 = 9 ⇒ x = 4,5
Hoặc 2x-5 = - 4 ⇒ 2x = 5 - 4 ⇒ 2x = 1 ⇒
Vậy x = 4,5 hoặc x = 0,5

x = 0,5

Dạng 2: A(x)= B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
Dạng toán này yêu cầu học sinh đại trà phải làm được.
Để giải được dạng toán này học sinh chỉ cần vận dụng được tính chất :
a = b

a =b ⇔
 a = −b
a = b
 a = −b

*Cách giải: Vận dụng tính chất: a = b ⇔ 
 A( x) = B ( x )

ta có: A( x) = B( x) ⇒ 
 A( x) = − B ( x)
Ví dụ: 2.1: Tìm x, biết:

5x − 4 = x + 2

Giải : Ta có: 5 x − 4 = x + 2 Suy ra:
* 5x - 4 = x+2 ⇒ 5x - x =2+4 ⇒ 4x = 6 ⇒ x = 1,5
Hoặc: 5x – 4 = -x - 2 ⇒ 5x + x = - 2+ 4 ⇒ 6x= 2 ⇒ x= 1/3
Vậy x = 1,5 hoặc x = 1/3
Dạng 3: A(x)= B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
Dạng toán này yêu cầu học sinh trung bình trở lên phải làm được.
*Cách giải:
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá
trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:

A( x ) = B ( x) (1)

Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*)
 A( x) = B ( x )

(1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒ 

 A( x) = − B ( x)
7


( Đối chiếu giá tri x tìm được với đkiện (* )
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a ≥ 0 ⇒ a = a

Nếu a < 0 ⇒ a = −a

Ta giải như sau: A( x) = B( x)

(1)

+ Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x)= B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với
điều kiện )
+ Nếu A (x)<0 thì (1)trở thành: -A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với
điều kiện)
Ví dụ: 3.1: Tìm x, biết: Tìm x ∈ Q biết =2x
Giải :
* Xét x+ ≥ 0 ⇒ x ≥ -

2
5

2
2
2
⇒ -x=- ⇒ x=
5

5
5
2
( Thoả mãn điều kiện x ≥ - )
5
2
* Xét x+ < 0 ⇒ x < 5
2
2
2
2
T a có x+ = - 2x ⇒ x + 2x = - ⇒ 3x = - ⇒ x = - :3 = 5
5
5
15
2
( Không thoả mãn điều kiện x < - )
5
2
Vậy x =
5

Ta có x+

= 2x ⇒ x – 2x = -

Một số dạng toán dành cho học sinh khá, giỏi.
Đối với mỗi dạng toán này giáo viên cho học sinh nêu cách giải tổng quát, yêu
cầu học sinh phân tích cách làm của mình, sau đó giáo viên nêu cách làm(có
phân tích). Giáo viên làm mẩu rồi cho hs luyện tập.

Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
*Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x ) + B ( x ) + C ( x) = m

Căn cứ bảng xét dấu xét trên từng khoảng để giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện
tương ứng )
Ví dụ4.1 : Tìm x biết rằng x − 1 + x − 3 = 2x − 1 (1)
 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu
thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
8


x – 1 = 0 ⇔ x = 1; x – 1 < 0 ⇔ x < 1; x – 1 > 0 ⇔ x > 1
x- 3 = 0 ⇔ x = 3; x – 3 < 0 ⇔ x < 3; x – 3 > 0 ⇔ x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:
Giải: Xét

x
x–1
x–3

1
0

-

3
+
-

0

+
+

Xét khoảng x < 1 ta có: (1) ⇔ (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 ⇔ -2x + 4=2x – 1
⇔ x = 5/4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng 1 ≤ x ≤ 3 ta có: (1) ⇔ (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 ⇔ 2 = 2x – 1
⇔ x = 3/2 ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng x > 3 ta có: (1) ⇔ (x – 1 ) + (x – 3 )= 2x – 1 ⇔ - 4 = -1 ( Vô lí)
Kết luận: Vậy x =3/2.
Ví dụ4.2 : Tìm x, biết: a) 2 x − 6 + x + 3 = 8
Ta lập bảng xét dấu
x
x+3
2x-6

-

-3
0

3
+
-

0

+

+

Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
* Nếu x < -3
Khi đó phương trình trở thành
6 - 2x - x - 3 = 8
-3x = 8 - 3
-3x = 5
x = - ( không thỏa mãn x<-3)
* Nếu - 3 ≤ x ≤ 3
6 - 2x + x + 3 = 8
- x = -1
x = 1 ( thỏa mãn - 3 ≤ x ≤ 3)
* Nếu x >3
2x - 6 + x + 3 = 8
3 x = 11
x = ( thỏa mãn x >3)
 11 
 3

Vậy x ∈ 1; 
9


Dạng 5: A + B = 0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất
đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0
khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A + B = 0

A ≥0


Bước1: đánh giá:  B ≥ 0 ⇒ A + B ≥ 0

A = 0
B = 0

Bước2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ 
Ví dụ5.1: Tìm x biết : + = 0
Giải: Ta có: ≥ 0 với mọi x ;

≥

0 với mọi x

 x + 1 = 0  x = −1
⇒ + =0 ⇔ 
⇒
x − 1 = 0 x = 1
⇒ không có giá trị nào của x thoả mãn + = 0

Ví dụ5.2: Tìm x, y thoả mãn: 3x − 4 + 3 y + 5 = 0
Giải: Ta có: 3x − 4 ≥ 0 với mọi x
3 y + 5 ≥ 0 với mọi y
4

x=

3 x − 4 = 0

3x = 4

3
⇒
⇒
Suy ra: 3x − 4 + 3 y + 5 = 0 ⇔ 
3
y
+
5
=
0
3
y
=
−
5


y = − 5

3
4 − 5

3 3 


Vậy x ∈  ;

* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay

đổi
* Cách giải: Ta có:

A + B ≤ 0 (1)

 A ≥ 0
⇒ A + B ≥0

 B ≥ 0

(2)

A = 0
B = 0

Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔ 

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất
không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các
bài tương tự.
Dạng 6: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:

10


A(x)+ B(x)+ C(x)= D(x) (1)

Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Ví dụ6.1: Tìm x, biết: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x (1)

Vì x + 1 ≥ 0 với mọi x
x + 2 ≥ 0 với mọi x
x + 3 ≥ 0 với mọi x

Suy ra: 4x ≥ 0 với mọi x ⇒ x ≥ 0 ⇒ x + 1 ≥ 0 ; x + 2 ≥ 0 ; x + 3 ≥ 0
Nên (1) trở thành: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x
⇒ 3x – 4x = - 1 – 2 – 3
⇒
-x =-6
⇒
x=6
Vậy x = 6.
Dạng 7: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong
1 4
Ví dụ7.1: Tìm x, biết: 2 x − 1 + =
2 5
1 4
= . Suy ra:
2 5

Giải: Ta có: 2 x − 1 +
* + =

⇒

= -

⇒

=

3
13



2 x − 1 = 10
2 x = 10
x =
⇒ 
⇒
⇒
2 x − 1 = − 3
2 x = 7
x =

10
10



Hoặc + = -

⇒

13
20
7
20

=- - =-

13
( không tìm được x)
10

 13 7 
; 
 20 20 

Vậy x ∈ 

Dạng 8: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b xét khoảng giá trị của ẩn số.
Ví dụ8.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: x − 1 + 4 − x = 3
Ta có: x − 1 + 4 − x ≥ x − 1 + 4 − x = 3
Nên x − 1 + 4 − x = 3 khi (x – 1)( 4 – x) ≥ 0 ⇒ (x – 1)( x – 4) ≤ 0
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
⇒ 
⇒
. Vậy 1 ≤ x ≤ 4
x − 4 ≤ 0 x ≤ 4

Dạng 9 : Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:

11


* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A ≥ m (1)

Đánh giá: B ≤ m (2)
A = m
B = m

Từ (1) và (2) ta có: A = B ⇔ 

2
Ví dụ 9.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2)

Giải: Ta có: x + 2 + x − 1 = x + 2 + 1 − x ≥ x + 2 + 1 − x = 3 với mọi x
(y+2)2 ≥ 0 ⇒ - (y+2)2 ≤ 0 ⇒ 3 - (y+2)2 ≤ 3 với mọi y
 x + 2 + x − 1 = 3
− 2 ≤ x ≤ 1
2
⇔
Suy ra: x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2) ⇔ 
2
 y = −2

( y + 2) = 0

Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh
chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về giá trị tuyệt đối nhằm giúp học
sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về giá trị tuyệt
đối.
Các bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2 3x − 1 + 1 = 5

b)

1
2

x
−1 = 3
2

c) − x +

f) 7,5 − 3 5 − 2 x = −4,5 ;

e) 2 2 x − 3 = ;

2 1
+ = 3,5
5 2

g) x +

d) x −

1
1
=2
3
5

4
− − 3,75 = − − 2,15

15

Bài 2. Tìm x, biết:
a) 5 x − 4 = x + 2 ;

b) 2 x − 3 − 3x + 2 = 0

c) 2 + 3x = 4 x − 3 ;

d) 7 x + 1 − 5 x + 6 = 0

Bài 3. Tìm x, biết:
1/ a) 1 / 2 x = 3 − 2 x ; b) x − 1 = 3x + 2 ;

c) 5 x = x − 12 ;

d) 7 − x = 5 x + 1

2/ a) 9 + x = 2 x ; b) 5 x − 3x = 2 ;

c) x + 6 − 9 = 2 x

d) 2 x − 3 + x = 21

3/ a) 4 + 2 x = −4 x b) 3x − 1 + 2 = x

c) x + 15 + 1 = 3x

d) 2 x − 5 + x = 2

4/ a) 2 x − 5 = x + 1 b) 3x − 2 − 1 = x

c) 3x − 7 = 2 x + 1

d) 2 x − 1 + 1 = x

5/ a) x − 5 + 5 = x

c) 3x − 4 + 4 = 3x

d) 7 − 2 x + 7 = 2 x

b) x + 7 − x = 7

Bài 4: Tìm x, biết:
1
5

1
5

1
5

1/ a) 2 − x + x − + 8 = 1,2 ;
c) 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 12 ;

1
2

1
2

1
5

b) 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x
d) 3 x + 4 − 2 x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 5

12


2/ a) 2 x − 6 + x + 3 = 8

b) x + 5 + x − 3 = 9

;

d) x + 1 + x − 2 + x + 3 = 6

c) x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2
Bài 5:Tìm x, y thoả mãn:
1.a) x − 2007 + y − 2008 = 0 ; b) x − y + y +

9
= 0;
25

2/a) 5 x + 1 + 6 y − 8 ≤ 0

b) x + 2 y + 4 y − 3 ≤ 0

3. a) x − y − 2 + y + 3 = 0

b) x − 3 y

2007

+ y+4

c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0
c) x − y + 2 + 2 y + 1 ≤ 0

2008

=0

Bài 6: Tìm x, biết:
a) x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5 x
b) x +

1
2
3
100
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
101

101
101
101

c) x +

1
1
1
1
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 50 x
1.3
3.5
5.7
97.99

d) x +

1
1
1
1
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100 x
1.2

2.3
3.4
99.100

Bài 7: Tìm x, biết:
1/ a) 2 x − 1 +
2/ a) 2 x − 1 −

1 4
1
= ; b) x 2 + 2 x − = x 2 + 2 ;
2
2 5

1 1
= ;
2 5

b)

1
3 2
x +1 − =
2
4 5

;

3

2
2
c) x x + 4 = x

2
c) x x +

3
=x
4

Bài 8: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x + 2 + x − 3 = 5

b ) x +1 + x − 6 = 7

c) 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8

Bài 9: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
12

1.a) x − 5 + 1 − x = y + 1 + 3
6

c) x − 1 + 3 − x = y + 3 + 3

b) y + 3 + 5 =

10

( 2 x − 6) 2 + 2
8

d) 2 x + 3 + 2 x − 1 = 2( y − 5) 2 + 2

2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục:
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy Toán 7, bản
thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần giá trị tuyệt đối của một số, học sinh tiếp nhận
kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân
biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến định nghĩa, tính chất của giá
trị tuyệt đối và từ đó hầu hết giải được các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó
13


và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát. Qua đó rèn luyện cho
học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy
được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi
học bộ môn này.
Từ chỗ rất lúng túng khi gặp các bài toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối, thì
nay phần lớn các em đã biết vận dụng những kỹ năng được bồi dưỡng để giải
thành thạo nhiều bài toán phức tạp. Điều đáng mừng là có nhiều em đã biết trình
bày lời giải một bài toán với lập luận chặt chẽ, có nhiều sáng tạo trong giải toán,
có nhiều cách giải nhanh và thông minh.
Qua đề tài này, kiến thức kỹ năng của học sinh được củng cố một cách vững
chắc, sâu sắc, kết quả học tập của học sinh luôn được nâng cao.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh về các dạng bài tập bản thân giáo viên
cũng được nâng cao dần kiến thức cũng như phương pháp truyền thụ góp phần
nâng cao chất lượng giảng dạy và hiệu quả đào tạo của thầy và trò.
Kết quả qua một số lần kiểm tra như sau:
Lần 1: Trước khi chưa áp dụng nội dung và phương pháp trên

Lớp

Sĩ
số
7A1 42
7A2 40
Tổng 82

Giỏi
SL
2
1
3

Khá
%
SL
4,76 10
2,50 8
3,60 18

Trung bình
%
SL
%
23,80 14
33,33
20,00 15
37,50
21,95 29

35,37

Yếu
SL
13
14
27

Kém
%
SL
30,95 3
35,00 2
32,93 5

%
7,14
5,00
6,10

Yếu
SL
8
7
15

Kém
%
SL
19,05 0

17,50 0
18,29 0

%
0
0
0

Lần 2 : Sau khi sử dụng nội dung và phương pháp trên
Lớp

Sĩ
số
7A1 42
7A2 40
Tổng 82

Giỏi
SL
4
3
7

Khá
%
SL
9,52 15
7,50 14
8,54 29

Trung bình
%
SL
%
35,71 15
35,71
35,00 16
40,00
35,36 31
37,81

Lần 3: Khi các em đã hình thành kỹ năng vận dụng và làm thành thạo các dạng
bài tập này thì kết quả đạt được như sau:

14


Lớp
7A1
7A2

Sĩ
số
42
40

Tổng 82

Giỏi
SL %

10
23,81
9
22,5
0
19
23,17

Khá
SL %
20 47,62
19 47,50
39

Trung bình
SL
%
12
28,57
12
30,00

47,56 24

Yếu
SL
0
0

29,27 0

%
0
0

Kém
SL %
0
0
0
0

0

0

0

Đây là kết qủa kiểm tra thực tế của hai lớp học đại trà khối 7 của trường do
bản thân tôi trực tiếp giảng dạy khi thực hiện đề tài này. Ngoài ra các em còn
biết vận dụng các kiến thức đã được tiếp thu để giải những bài tập khó hơn và
phức tạp hơn nhiều.

3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

3.1. Kết luận.
Phần " Các bài tập tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối " ở lớp 7 là một nội
dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học
sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy,
trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa về giá trị tuyệt

đối và các tính chất của giá trị tuyệt đối.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống
bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về cách lập
luận và trình bày của học sinh .
Với mỗi dạng giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải tổng quát
để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ được.
3.2. Đề xuất.
Trong quá trình thực hiện chuyên đề, tôi nhận thấy để làm tốt chuyên đề này,
yêu cầu giáo viên và học sinh phải tiến hành theo những bước sau đây:

- Đối với giáo viên
- Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa và tài liệu tham khảo.
- Tránh một số sai lầm mà học sinh vướng mắc, ngộ nhận.
- Giúp học sinh suy nghĩ để tìm ra phương pháp giải bài tập làm chủ yếu.
- Trong quá trình dậy cần để các em nắm vững lý thuyết vận dụng và giải bài tập
sau đó nâng dần bài toán lên giúp các em tư duy cao hơn.
- Trước khi đưa ra một tính chất, một dạng toán cần cho các em khắc sâu nắm
vững để nhận dạy tốt.
15


- Trước khi chưa làm bài tập phải nghiên cứu kỹ và giải bằng nhiều cách.
- Khi đưa ra một bài toán bao giờ cũng yêu cầu học sinh giải bằng nhiều cách
(nếu có ) sau đó tìm lời giải hay nhất.

Đối với học sinh
- Học vững lý thuyết trước khi làm bài tập.
- Rèn thói quen không phụ thuộc nhiều vào sách vở.
- Đứng trước một vấn đề cần tìm ra được hướng giải quyết (Vận dụng định
nghĩa, hay khái niệm, hay tính chất nào vào để giải).

- Đứng trước một bài toán phải phân tích kỹ đề bài để tìm ra hướng giải.
- Với mỗi bài toán phải rút ra nhận xét cho bản thân các bài toán về giá trị tuyệt
đối có rất nhiều ứng dụng trong thực tế cũng như trong các dạng toán khác.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần
giá trị tuyệt đối. Trong quá trình giảng dạy chắc chắn chưa thể hoàn hảo được. Rất
mong nhận được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới
được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nước nhà.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 3 năm
2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết:

Nguyễn Thị Thanh
MỤC LỤC
NỘI DUNG
1: Mở đầu
2: Nội dung SKKN
2.1. Cơ sở lý luận
2.2. Thực trạng của vấn đề
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục
3: Kết luận và đề xuất

TRANG
1

3
3
4
6
14
15

16


17