Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, dấu căn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.74 KB, 20 trang )
PHẦN 1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A). PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Dạng có bản
−=
<
=
≥
⇔
=
≥
⇔=•
±=⇔=•
BA
A
BA
A
BA
B
BA
BABA
0
0
0
2
2). Các dạng khác
- Ta thường xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối trên mỗi
khoảng. Giải phương trình trên mỗi khoảng đó.
- Có thể đặt ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình:
11
2
=−+ xx
Giải
11
2
=−+ xx
=
=
⇔
−=∨=
=∨=
≤≤−
⇔
+−=−
−=−
≤≤−
⇔
−±=−
≥−
⇔
−=−⇔
0
1
21
10
11
11
11
11
)1(1
01
11
2
2
2
2
2
x
x
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
x
xx
Vậy x=1; x= 0
Ví dụ2 :Giải phương trình
( )
2
2 4 3 1x x x− + − =
Giải:
+ Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:
• Trường hợp 1:
0
1 2
x
x
≤
< ≤
ta có:
2 2
3 5
(1) 3 4 3 3 1 0
2
x x x x x
±
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ =
.
Hai giá trị này đều không thuộc khoảng đang xét nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
• Trường hợp 2:
0 1x< ≤
ta có
2 2
1 5
(1) 4 3 1 0
2
x x x x x
− ±
⇔ − − + = ⇔ + − = ⇔ =
. Ta thấy
1 5
2
x
− +
=
thỏa mãn.
• Trường hợp 3: x > 2 ta có
2 2
1 29
(1) 4 3 7 0
2
x x x x x
− ±
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ =
. Ta thấy
1 29
2
x
− +
=
thỏa mãn.
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm
1 5
2
1 29
2
x
x
− +
=
− +
=
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
956
2
+−=− xxx
Giải
956
2
+−=− xxx
=
=
⇔
−+−=−
+−=−
⇔
3
1
956
956
2
2
x
x
xxx
xxx
Vậy: x= 1; x= 3
Ví dụ 4: Giải phương trình: (|x|+ 1)
2
= 4|x|+ 9
Giải
(|x|+ 1)
2
= 4|x|+ 9
Đặt t= |x| với
0≥t
PT: (t+ 1)
2
= 4t + 9
−=
=
⇔=−−⇔
)(2
4
082
2
loait
t
tt
Với t= 4 thì |x|= 4
4
±=⇔
x
Vậy x= 4; x= – 4
Ví dụ 5: Giải và biện luận |x
2
– 2x +m|+x=0
Giải
|x
2
– 2x +m|+x=0
m
mcóTa
mxx
mxx
x
xmxx
x
xmxx
41
49
)2(0
)1(03
0
2
0
2
2
1
2
2
2
2
−=∆
−=∆
=+−
=+−
≤
⇔
±=+−
≥−
⇔
−=+−⇔
Biện luận
+
2
411
2
493
0
m
x
m
xm
−−
=∨
−−
=≤
+ m> 0: Vô nghiệm
III) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1). 2 1 2 1 4x x− + + =
( 1)x = ±
7).
821
22
+−=− xxx
9
( )
2
x =
2). 2 3 4x x− + − =
1 9
( ; )
2 2
x =
8).
x
x
x
=
−
−
2
1
2
1 3
( )
2
x
±
=
3). 2 2 2 1 5x x+ + − =
(PTVN) 9).
5
232
23
=
−++
−−
xx
xx
23 3
( ; )
9 23
x = −
4).
243 −=+ xx
1
( 3; )
2
x = − −
10).
2
1 1
2
( 2)
x x
x x
− + +
=
−
(x=5)
6).
11
2
=+− xx
(x=0; – 1; 1) 11).
1223
2
+=+− xxx
( 5 21)x = ±
Bài 2: Giải các phương trình sau
2 2 2 2
2
2 2 2
2 1 17 1
1) 2 2 ( ; ) 5) 2 2 1 ( 1; ; 1 2)
3 4 3
2) 2 2 1 ( 1;3;5) 6) 3 2 2 1 ( 5 21)
3) 4 3 3 ( 0; 5) 7) 12 2 ( 5; 7)
1 1 3 17
4) 2 3 ( 1; ; )
2 4
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
x
− ±
− − = + = − − = − = − − ±
− − = = ± − + − = = ±
− + = + = + − = − − = ±
+
− = =
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau
0224).2
13).1
2
=−+−−+
−=+
mmxxx
xmx
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
|x
2
– 2x + m| = x
2
+ 3x – m – 1
B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Các dạng cơ bản
>
≥
<
⇔
>−
<
>
≥
⇔
>
−<
⇔>•
<
>
⇔
<−
<
<
≥
⇔<<−⇔<•
<+−⇔<⇔<•
22
22
22
0
0
0
0
0
0
0
0))((
BA
B
B
BA
A
BA
A
BA
BA
BA
BA
B
BA
A
BA
A
BABBA
BABABABA
2). Các dạng khác
- Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị
tuyệt đối và giải bất phương trình trên từng khoảng.
- Dùng ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
1241).2
3332).1
2
+≥−
−<−−
xx
xxx
Giải
3332).1
2
−<−− xxx
52
23
31
50
31
06
032
05
032
3332
032
3332
032
2
2
2
2
2
2
2
2
<<⇔
>∨−<
<<−
<<
≥∨−≤
⇔
<+−−
<−−
<−
≥−−
⇔
−<++−
<−−
−<−−
≥−−
⇔ x
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
Vậy: 2< x< 5
1241).2 +≥− xx
≥
≤
⇔
≥
>
≤
≤
⇔
+≥+−
<−
+≥−
≥−
⇔
1
0
1
4
1
0
4
1
1241
041
1241
041
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Vậy
10 ≥≤ xhoacx
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a bất phương trình:
2 2
2 3x x a x x a− + ≤ − −
Giải: Bất phương trình tương đương với:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 0 (2 5 )( 2 ) 0
5
0
( )
2
2 5 0
2
2 0
5
2 5 0
2
2 0
0
2
x x a x x a x x a x x a x x x a
x
I
x x
x a
x a
x
x x
II
x a
x
x a
− + ≤ − − ⇔ − + − − − ≤ ⇔ − + ≤
≤ ≤
− ≤
≥ −
+ ≥
⇔ ⇔
≥
− ≥
+ ≤
≤
≤ −
• Trường hợp 1:
5
2 0 0 ( ) 0 ;( ) 2
2
a a I x II x a− ≤ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ −
.Vậy nghiệm hệ là
5
0
2
2
x
x a
≤ ≤
≤ −
• Trường hợp 2:
5 5 5
0 2 0 ( ) 2 ;( ) 0
2 4 2
a a I a x II x< − < ⇔ − < < ⇒ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤
.Vậy nghiệm hệ là
5
2
2
0
a x
x
− ≤ ≤
≤
• Trường hợp 3:
0
5 5
2 ( ) ;( )
5
2 4
2
2
x
a a I VN II
x a
≤
− ≥ ⇔ ≤ − ⇒ ⇔
≤ ≤ −
.Vậy nghiệm hệ là
0
5
2
2
x
x a
≤
≤ ≤ −
III). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
2
2
2
2 2
2
2 2
1) 6 ( 6 1 7)
2) 5 6 ( 1 2 3 6)
3) 5 4 2 ( 2 2 4)
1 1
4) 3 2 1 ( )
4 2
5) 5 9 6 (1 3)
6) 2 4 0 ( 2 1)
1
7) 1 2 )
2
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
− − < < < +
− < − < < ∨ < <
− + > − < + ∨ ≥
− − < − − < < −
− + < − < <
− + − > > ∨ < −
− − < > −
8) 1 2 3 ( 0 2)
2
9) 3 5 3 ( )
3
x x x x x
x x x x
− + − > − < ∨ >
− + − < >
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
2
2
2
2
2
2
1). 2 4 2 , ( 3 5) 6). 2 (0 1)
3
4 2
2). 1,( ) 7). 1 ( 5 2 1)
2 5 2
2 5 3 1
3). 1 0 (3 2) 8). 3 ( 2 1)
3 1
2 2 3
10 3 1 1 3
4). 3 (3 ) 9). 1 ( )
5 6 3 1 4 2 4 2
5).
x x
x x x x x x
x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
+ −
≤ − + − ≤ ∨ ≥ ≥ < ≤
+ +
−
≤ ≥ − > − < < − ∨ > −
+ + +
− − +
+ > ≠ > < < − ∨ > −
− + +
− −
≥ < ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤
− + +
2
3
1 ( 4 1 1 4)
4
x
x x x
x
< ≤ − ∨ − ≤ ≤ ∨ ≥
−
C). MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
I). PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
( )
2 2
2 1 0 1x x m x m− − − + =
có nghiệm.
Giải:Đặt
1 0t x= − ≥
ta có t
2
-1=x
2
-2x nên pt (1) trở thành:t
2
-mt+m
2
-1=0 (2).
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm
0t ≥
• Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm t=0
2
0 1 0 1P m m⇔ = ⇔ − = ⇔ = ±
.
• Trường hợp 2: phương trình (2) có nghiệm
2
1 2
0 0 1 0 1 1t t P m m< < ⇔ < ⇔ − < ⇔ − < <
.
• Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm
2
2
1 2
2 3 2 3
3 3
3 4 0
0
1
2 3
, 0 0 1 0 1 .
1
3
0 0
0
m
m
m
t t P m m
m
S m
m
−
≤ ≤
− + ≥
∆ ≥
>
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ ⇔ < <
< −
> >
>
Đáp số:
2 3
1
3
m− ≤ ≤
Ví dụ 2: Cho phương trình :
2
2 1x x m x− + = −
a) Giải phương trình với m=0.
b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành
2
1 (*)t m t+ − =
a) Với m = 0 ta có
2 2
3 5
0
0 0
1 5
2
1 5
2
1 1 0
1 5
2
2
t
x
t t
t
t t t t
t
x
+
≥
=
≥ ≥
± +
⇔ ⇔ ⇔ = ⇒
± ±
− = ± ± − =
=
+
=
b) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
2 2
0 0
(*)
1 1 0
t t
t m t t t m
≥ ≥
⇔ ⇔
+ − = ± ± + − =
.Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi
phương trình t
2
– t + m – 1 = 0 và t
2
+ t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm phân biệt. Nhưng phương
trình t
2
+ t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0).
Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
2
2
2
2
1). 2 1 0
1 1
2).4 2 6 0
3). 1 0
4). 4 2 2 0
x mx x m
x x
x
x
x x m
x x x m m
− + − + =
+ + − − =
+ + =
+ − − + − =
II). PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ : Thường sử dụng phương pháp này khi tham số đứng độc lập.
Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2x x m− =
.
Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số
2 ;y x x y m= − =
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
) ( 2) 1
) 2 1
)( 3) 1
a x x x m
b x x x m
c x x m
+ + + =
− + − + =
− − =
.
PHẦN 2
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ
A). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Các dạng cơ bản
3
3
2
0
)0(0
BABA
BA
B
BA
BA
BhayA
BA
=⇔=•
=
≥
⇔=•
=
≥≥
⇔=•
2). Các dạng khác
- Đặt điều kiện cho
0
2
≥AlàA
n
, nâng cả hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử căn
thức
Lưu ý:
1212
22
0.
++
=⇔=
=
≥
⇔=
nn
nn
BABA
BA
BA
BA
- Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản
II). MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
2
2
2
1). 4 2 2
2). 25 1
3). 3 9 1 2
x x x
x x
x x x
+ − = −
− = −
− + + =
Giải
2
2 2 2
1). 4 2 2
2 0 2
4 2 ( 2) 3 0
2
3
0 3
x x x
x x
x x x x x
x
x
x x
+ − = −
− ≥ ≥
⇔ ⇔
+ − = − − =
≥
⇔ ⇔ =
= ∨ =
2
2 2 2
2). 25 1
1 0 1
1
4
4 3
25 ( 1) 2 2 24 0
x x
x x
x
x
x x
x x x x
− = −
− ≥ ≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
= ∨ = −
− = − − − =
2 2
2 2 2
3). 3 9 1 2 3 9 1 2
2
2 0 2
3
1
3
3 9 1 ( 2) 2 5 3 0
2
x x x x x x
x
x x
x
x x
x x x x x
− + + = ⇔ − + = −
≥
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
= ∨ = −
− + = − − − =
Ví dụ 2: Giải các phương trình :
2
0
0
1) 2 3 0 2 3 3
1 3
2 3
x
x
x x x x x
x x
x x
≥
≥
− + = ⇔ + = ⇔ ⇔ ⇔ =
= − ∨ =
+ =
2
2) 4 1 1 2 4 1 2 1
1 1
4 4
2 2
4 1 2 (1 )(1 2 ) 1 2 (1 )(1 2 ) 2 1
1
4
1 1
2
1
2 2
0
7
2
0
(1 )(1 2 ) 4 4 1
2
x x x x x x
x x
x x x x x x x x
x
x
x x
x x
x x x x
+ − − = − ⇔ + = − + −
− ≤ ≤ − ≤ ≤
⇔ ⇔
+ = − + − − + − − − = +
− ≤ ≤
− ≤ ≤
⇔ ≥ − ⇔ ⇔ =
= ∨ = −
− − = + +
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:
Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của
phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
1
( 3)( 1) 4( 3) (1)
3
x
x x x m
x
+
− + + − =
−
.
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Giải: Đặt
2
1
( 3) ( 3)( 1)
3
x
X x X x x
x
+
= − ⇒ = − +
−
nên pt (1) đưa về :X
2
+4X-m=0 (2)
a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành
2
1
4 3 0
3
X
X X
X
= −
+ + = ⇔
= −
+ Nếu
2
3
3
1
1 1 ( 3)
1 ( 3)( 1)
3
2 4 0
3
1 5
1 5
<
<
+
= − ⇔ − = − ⇔ ⇔
= − +
−
− − =
<
⇔ ⇔ = −
= ±
x
x
x
X x
x x
x
x x
x
x
x
+ Nếu
2
3
3
1
3 3 ( 3)
9 ( 3)( 1)
3
2 12 0
3
1 13
1 13
<
<
+
= − ⇔ − = − ⇔ ⇔
= − +
−
− − =
<
⇔ ⇔ = −
= ±
x
x
x
X x
x x
x
x x
x
x
x
b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm
0 4 0 4m m
′
⇔ ∆ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
.
Giả sử nghiệm là X
0
thì
0
1
( 3)
3
x
x X
x
+
− =
−
.
+ Nếu X
0
= 0 thì x = – 1
+ Nếu X
0
> 0 thì
2
0
2
0
3
1 4
( 3)( 1)
x
x X
x x X
>
⇔ = + +
− + =
+ Nếu X
0
< 0 thì
2
0
2
0
3
1 4
( 3)( 1)
x
x X
x x X
<
⇔ = − +
− + =
Vậy với
4m ≥ −
thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình
3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − =
.
Hướng dẫn: Đặt
3 6X x x= + + −
.Đưa về phương trình:X
2
– 2X – 3 = 0
Ví dụ 3: Giải phương trình
3
3
1 2 2 1x x+ = −
.
Hướng dẫn: Đặt
3
3
3
3
1 2
2 1 1 2
1 2
x y
y x y x
y x
+ =
= − ⇔ + = ⇒
+ =
.Đáp số: x=1;
1 5
2
x
− ±
=
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ < + +
.
Hướng dẫn: Đặt
1
2
t x
x
= +
. Bất phương trình trở thành
2
2
2 5 2 0
1
2
t
t t
t
>
− + > ⇔
<
Trường hợp 1:
3
2
2
2
3
0 2
2
x
t
x
> +
> ⇔
< < −
Trường hợp 2:
1
2
t <
.Bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải phương trình
– 4
)2)(4( xx +−
=
2
x
– 2x – 8 (1)
Hướng dẫn: Đặt t =
)2)(4( xx +−
(t
≥
0)
(1) trở thành: – 4t = –
2
t
⇔
=
=
4t
0t
* Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ,
khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ
phương trình. Cụ thể:
+ Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức
∆
chính phương (
∆
=
)x(g
2
, g(x) là một
đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t)
thì đặt x = ty.
Ví dụ 6: Giải phương trình
(4x – 1)
1x
2
+
= 2
2
x
+ 2x + 1 (1)
Hướng dẫn: Đặt t =
1x
2
+
(t
≥
1)
(1) trở thành (4x – 1)t = 2
2
t
+ 2x – 1
∆
=
2
)3x4( −
(chính phương)
⇒
t =
4
)3x4()1x4( −±−
⇔
−=+
=+
1x21x
2
1
1x
2
2
Ví dụ 7: Giải phương trình
2
2
x
– 3x + 2 = x
2x3 −
(1)
Hướng dẫn: Đặt t =
2x3 −
(t
≥
0)
(1) trở thành
2
t
+ xt – 2
2
x
= 0.
• Cách 1:
∆
= 9
2
x
(chính phương)
⇒
t =
2
x3x ±−
⇔
−=−
=−
x22x3
x2x3
• Cách 2: phương trình đẳng cấp
⇒
đặt x = ty:
2
t
+ y
2
t
– 2
2
y
2
t
= 0
⇔
2
t
(1 + y – 2
2
y
) = 0.
Ví dụ 8: Giải phương trình
2(1 – x)
1x2x
2
−+
=
2
x
– 2x – 1.
+ Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và
∆
cũng không chính phương thì coi t và x là 2
ẩn của 1 hệ phương trình.
Ví dụ 9: Giải phương trình
2
x
+
5x +
= 5 (1)
Hướng dẫn: Đặt t =
5x +
(t
≥
0)
Ta có hệ phương trình
+=
=+
5xt
5tx
2
2
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0.
⇔
+=
−=
1xt
xt
⇔
+=+
−=+
1x5x
x5x
Ví dụ 10: Giải phương trình
2
x
+ 4x =
6x +
(1)
Hướng dẫn:
• Nếu đặt t =
6x +
(t
≥
0) ta được hệ
+=
=+
6xt
tx4x
2
2
→
khó khăn
• Ta dự kiến đặt
6x +
= at + b để đưa về hệ phương trình đối xứng:
Ta có hệ phương trình:
−+=+
+=+
222
2
b6xabt2ta
batx4x
hệ này đối xứng nếu
−=
=
=
=
2
2
b6b
1a
4ab2
1a
⇔
=
=
2b
1a
. Như vậy ta đặt t + 2 =
6x +
(t
≥
– 2)
Khi đó có hệ pt đối xứng:
+=+
+=+
2xt4t
2tx4x
2
2
(ĐS
3 17 5 13
; )
2 2
x
− − − +
=
Ví dụ 11: Giải phương trình
7
2
x
+ 7x =
28
9x4 +
(x > 0)
Hướng dẫn:
Dự đoán đặt
28
9x4 +
= at + b ta tìm được a = 1, b =
2
1
để có hệ phương trình đối xứng. Như vậy sẽ
đặt t +
2
1
=
28
9x4 +
.
Ví dụ 12: Giải phương trình
1x
x
−
+
x
1x −
=
2
3
(1)
Hướng dẫn:
Đặt t =
1x
x
−
⇒
x
1x −
=
t
1
(t > 0)
(1) trở thành: t +
t
1
=
2
3
⇔
2
2
t
– 3t +
2
= 0.
Ví dụ 13: Giải phương trình
1x +
+
x4 −
+
)x4)(1x( −+
= 5 (1)
Hướng dẫn:
Đặt t =
1x +
+
x4 −
⇒
)x4)(1x( −+
=
2
5t
2
−
(1) trở thành: t +
2
5t
2
−
= 5.
Ví dụ 14: Giải phương trình
xx
2
+
+
)x1(x7 ++
= 3 +
2
(1)
Hướng dẫn:
Đặt
xx
2
+
= t (t
≥
0)
(1) trở thành: t +
7t
2
+
= 3 +
2
⇔
7t
2
+
= 3 +
2
– t (dạng 1 căn)
⇔
−+=+
≥+
22
)t23(7t
023
Ví dụ 15: Giải phương trình
xx
2
+
+
7xx
2
++
= 3 +
2
(1)
Hướng dẫn:
Đặt
++=
+=
7xxv
xxu
2
2
(1) trở thành: u + v = 3 +
2
.
Ta có hệ phương trình
=−
+=+
7uv
23vu
22
Ví dụ 16: Giải phương trình
3(2 +
2x −
) = 2x +
6x +
Hướng dẫn:
Đặt
+=
−−=
6xv
2x3u
Ví dụ 3: Giải phương trình
1x −
+ 2
4x +
+
9x2 −
+ 4
1x3 +
= 25 (1)
Giải.
Đặt f(x) = VT(1), xét trên [
2
9
,
∞+
)
Ta thấy f ’(x) > 0,
∀
x >
2
9
⇒
f(x) đồng biến trên [
2
9
,
∞+
)
⇒
nếu (1) có nghiệm thì nghiệm đó
duy nhất. Xét thấy f(5) = 0
⇒
x = 5 là nghiệm duy nhất.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
1)
141 =−−+ xx
(x=3)
2)
7825 =+++ xx
(x=4)
Bài 1:Tìm điều kiện của m để phương trình
2
2 2 1x x m x+ − = −
a) Có nghiệm thực.
b) Có 1 nghiệm thực
c) Có 3 nghiệm thực
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với:
2
1
2
3 6 1
x
m x x
≥
= − + −
. Dùng đồ thị.
Bài 2: Tìm điều kiện của m để phương trình
2
2
16 4 0
16
m
x
x
− − − =
−
có nghiệm thực.
Hướng dẫn: Đặt
(
]
2
16 0;4t x t= − ⇒ ∈
. Phương trình trở thành
2
4 0 4
m
t t t m
t
− − = ⇔ − =
. Lập
bảng biến thiên của hàm số y = t
2
– 4t, ta có:
4 0m− ≤ ≤
IV). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1:Giải các phương trình
2
2
2
27583
1)3 34 3 3 1 :
9
1 1 1 1
2) 5 5 : 17; 21
2 2 2 2
1
3) 3 9 1 2 0 :
2
11
4) 2 9 4 3 1 : ; 0
3
5) 5 1 3 2 1 0 : 2
6) 2 3 5 2 4 6 0 : 2
x x kq x
x x kq x x
x x x kq x
x x x kq x x
x x x kq x
x x x x kq x
+ − − = =
−
+ + = = + = −
−
− + + − = =
+ = − + + = =
− − − − − = =
− + − − + − = =
7). 3 1 4 1 : 5
47
8). 3 4 2 7 :
24
x x kq x
x x x x kq x
+ − + = =
−
+ + + = + + + =
xxx 2114).9 −=−−+
x=0
Bài 2: giải các phương trình
1)
42 −=− xx
(x=6)
2)
02193
2
=−++− xxx
1
(x )
2
= −
3)
5234
2
−=−+− xxx
(
5
14
=x
)
4)
7122 =−− xx
(
5=x
)
5)
1232
2
+=+− xxx
(
)
3
153 ±−
=x
4)
24
4
4
22
xx
=−
(
22±=x
)
Bài 3: Giải các phương trình sau
1)
13492 ++−=+ xxx
(
11
x 0 x )
3
= ∨ =
2)
012315 =−−−−− xxx
(x=2)
3)
1723 =+−− xx
(
9
=
x
)
4)
38 +=−+ xxx
(
1
=
x
)
5)
21 +=++ xxx
(
3
323 +−
=x
)
6)
431 +−=+ xx
(
0
=
x
)
Bài 4: Giải các phương trình
1) (x + 5)(2 – x) = 3
x3x
2
+
. (x=1;x=-4)
2)
x3 −
+
1x −
– 4
3xx4
2
−−
= – 2. (x=2)
3)
2
x
+
7x +
= 7. x=2 ; (
1 1
29
2 2
x = −
)
4)
3
2
)x2( −
+
3
2
)x7( +
–
3
)x7)(x2( +−
= 3. ptvn
5)
193327
222
++=+++++ xxxxxx
(x=1;x=-2)
6)
36333
22
=+−++− xxxx
(x=1;x=2)
7)
123
22
=−+−+− xxxx
(
1 1
5
2 2
x = ±
)
8)
16522252
22
=−+−++ xxxx
(
7
1;
2
x x
−
= =
)
9)
112626
22
=−+−+ xxxx
(x=1;x=5)
10)
22
4324 xxxx −+=−+
(x=2;x=0;
2 1
14
3 3
x
−
= −
)
11)
253294123
2
+−+−=−+− xxxxx
(x=2)
12)
( )
122114
22
++=+− xxxx
(
4
3
x =
)
Bài 5: Giải các phương trình
1)
xxxx 33)2)(5(
2
+=−+
(x 1 x 4)= ∨ = −
2)
5)4)(1(41 =−++−++ xxxx
(x 0 x 3)= ∨ =
3)
01312
2
=+−+− xxx
(x 1 x 2 2)= ∨ = −
4)
112
3
−−=− xx
(x 1 x 2 x 10)= ∨ = ∨ =
5)
4)5)(2(52 =−++−++ xxxx
(
2
533 ±
=x
)
6)
16212244
2
−+−=−++ xxxx
(x=5)
7)
36333
22
=+−++− xxxx
(x=1;x=2)
8)
253294123
2
+−+−=−+− xxxxx
(x=2)
B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Dạng cơ bản
2
A 0
A B B 0
A B
≥
< ⇔ >
<
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
≥
<
> ⇔
≥
>
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4x x x x x x− + + − + ≥ − +
Giải: Điều kiện để các căn thức có nghĩa:
4
1
x
x
≥
≤
• Trường hợp 1:
4x ≥
. Ta viết bất phương trình dưới dạng :
( )
( )
( 1)( 2) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 4) 1 2 3 2 1 4
2 3 2 4 2 4 4 3
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
− − + − − ≥ − − ⇔ − − + − ≥ − −
⇔ − + − ≥ − ⇔ − − − ≥ − − −
Vì
4x
≥
nên vế trái dương còn vế phải âm, bất phương trình được nghiệm đúng. Vậy
4x
≥
.
• Trường hợp 2:
1x ≤
. Ta viết bất phương trình dưới dạng :
( )
(1 )(2 ) (1 )(3 ) 2 (1 )(4 ) 1 2 3 2 1 4x x x x x x x x x x x− − + − − ≥ − − ⇔ − − + − ≥ − −
Khả năng 1: x = 1 là nghiệm.
Khả năng 2: x < 1 bất phương trình tương đương với
2 3 2 4 2 4 4 3x x x x x x x− + − ≥ − ⇔ − − − ≥ − − −
.
Vế trái âm, vế phải dương, bất phương trình vô nghiệm.
Vậy nghiệm của bất phương trình là:
4x ≥
hoặc x =1
C). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: giải các bất phương trình sau
1)
26
2
+≥−+ xxx
(
3−≤x
)
2)
1)1(2
2
+≤− xx
(
311 ≤≤∨−= xx
)
3)
xxx <−− 12
2
(
4≥x
)
4)
xxx −>−+ 2652
2
(
110 ≥∨−≤ xx
)
5)
3
7
3
3
)16(2
2
−
−
>−+
−
−
x
x
x
x
x
Bài 3: Giải các bất phương trình
2
2
2
1
1) 4 3 1 ( ; 1);( 3)
3
2
2) 4 5 2 3 ( )
3
1
3) 4 1 ( 4);(0 ; )
6
7
4) ( 1)(4 ) 2 ( 1 ; )
2
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
− + < + < ≤ ≥
− + + ≥ >
+ + < ≤ − ≤ <
+ − > − − ≤ <
5)
3x +
–
1x −
<
2x −
(
2
21
3
x >
)
6)
02162
2
>+−+− xxx
(
3 1
7; 3
2 2
x x≤ − >
)
7)
xxx 31415 ≤−−+
(
1
4
x >
)
8)
7 1 3 18 2 7 ( 9)x x x x+ − − ≤ + ≥
9)
5 1 1 2 4 ( 10 2)x x x x x− − − > − < ∨ ≥
10)
2 3
5 4 3 ( 3 4 )
3
x x x x x+ − + > + ≥ − ∨ < − +
11)
2
51 2
1 ( 5; 1 2 13; 1; 1 2 13)
1
x x
x x x x
x
− −
< < − ≥ − − > ≤ − +
−
12)
2
1 1 4 2 1 1
3 ( ; ;0 )
4 2 2
x
x x x
x
− −
< < − ≥ − < ≤
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
1)
12411 −+−≥+ xxx
(
54
≤≤
x
)
2)
1553 >+− xx
(
4
>
x
)
3)
xxx ≤+−+ 12
(
3
323 +−
≥x
)
4)
2 2
2 5 4 2 4 3 ( 1; 1 2 6; 1 2 6; 1)x x x x x x x x+ + ≤ + + ≤ − ≥ − − ≤ − + ≥ −
5)
2 2
2 4 3 3 2 1 ( 3; 1)x x x x x x+ + − − > ≥ − ≤
6)
xxxx 271105
22
−−≥++
(
13
≥∨−≤
xx
)
7)
2855)4)(1(
2
++<++ xxxx
(– 9< x< 4)
Bài 5: Giải và biện luận các bất phương trình sau:
1)
mx2 −
≥
x
2)
3x2
2
+
< x – m
3)
mx −
–
m2x −
>
m3x −
III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Phương pháp này dựa vào việc khảo sát một vài tính chất đặc biệt nào đó của hàm số để
dẫn đến kết luận nghiệm cho phương trình, bất phương trình đang xét.
Ví dụ : Giải bất phương trình:
9 2 4 5x x+ + + >
.
Giải: Xét hàm số
9 2 4y x x= + + +
, ta thấy ngay hàm số này đồng biến trên tập xác định
2x
≥ −
.Ta
có f(0) = 5 do đó :
+ Với x > 0 thì f(x) > f(0) = 5 nên x > 0 là nghiệm.
+ Với
2 0 ( ) (0) 5x f x f− ≤ ≤ ⇒ ≤ =
nên
2 0x
− ≤ ≤
không là nghiệm.Tóm lại: x>0 là nghiệm.
IV. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
1). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2 4y x x= − + −
và áp dụng để giải phương trình:
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức :
2 2 2
2( ) ( )a b a b+ ≥ +
.ta có:
( )
2
2( 2 4 ) 2 4 2x x x x y− + − ≥ − + − ⇒ ≥
. Do đó y lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi:
2 4 3x x x− = − ⇔ =
.Mặt khác
2 2
6 11 ( 3) 2 2.x x x x− + = − + ≥ ∀
nên:
2
2
2 4 2
2 4 6 11 3
6 11 2
x x
x x x x x
x x
− + − =
− + − = − + ⇔ ⇔ =
− + =
Ví dụ 2: Giải phương trình
x3
+
x
1
= 4
8
x
(1)
Giải.
MXĐ: x > 0
Có
4
x
1
x3 +
=
8
x
1
x
1
xxxxxx +++++++
≥
8
x
(2)
∀
x > 0 (BĐT Côsi)
Vậy (1)
⇔
dấu “=” ở (2) xảy ra
⇔
x
=
x
1
⇔
x = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình
2x −
+
x4 −
=
2
x
– 6x + 11. (1)
Giải.
* Cách 1
[ ]
2
)1(VT
≤
(
2
1
+
2
1
)(x – 2 + 4 – x) = 4. (BĐT Bunhiacopxki)
⇒
VT
≤
2.
VP(1) =
2
)3x( −
+ 2
≥
2.
Vậy (1)
⇔
=
=
2)1(VP
2)1(VT
⇔
=−
−
=
−
03x
1
x4
1
2x
⇔
x = 3.
* Cách 2
Đặt
A x 2 4 x= − + −
2 2 2
A 2 2 (x 2)(4 x) A 2 (x 2) (4 x) A 4= + − − ⇒ ≤ + − + − ⇒ ≤
(BĐT Côsi)
⇒ VT ≤ 2 với 2 ≤ x ≤ 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x – 2 = 4 – x ⇔ x = 3
Mặt khác VP =
2 2
x 6x 11 (x 3) 2 2− + = − + ≥
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3
Suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ
2
x 2 4 x 2
x 3
x 6x 11 2
− + − =
⇔ =
− + =
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 4: Giải phương trình
3x7x3
2
+−
+
4x3x
2
+−
=
2x
2
−
+
1x5x3
2
−−
(1)
Giải.
Viết
3x7x3
2
+−
=
)2x(21x5x3
2
−−−−
4x3x
2
+−
=
)2x(32x
2
−−−
Vậy (1)
⇔
≥−−
≥−
=−
01x5x3
02x
02x
2
2
⇔
x = 2.
Ví dụ 5: Giải phương trình
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
(1)
Giải.
2 2 2
(1) 3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)⇔ + + + + + = − +
VT(1) 5, VP(1) 5, x⇒ ≥ ≤ ∀
VT(1) 5
(1) x 1 0 x 1
VP(1) 5
=
⇔ ⇔ + = ⇔ = −
=
Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình
V. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
2
1 1 4x
3
x
− −
<
Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương
(
)
2
2
2 2
4x
3
x 1 1 4x
x 0 x 0
4x 3 3 1 4x 3 1 4x 4x 3
<
+ −
≠ ≠
⇔ ⇔
< + − − > −
Để
2
1 4x−
có nghĩa thì
1 1
x
2 2
− ≤ ≤
. Vì x ≤
1
2
⇒ 4x – 3< 0
Do đó (1),(2)
x 0
1 1
x
2 2
≠
⇔
− ≤ ≤
. Tập nghiệm
{ }
1 1
S ; \ 0
2 2
= −
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
2
12x 8
2x 4 2 2 x
9x 16
−
+ − − >
+
(1)
Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình tương đương
( )
2
2
6x 4 2(6x 4)
(3x 2) 9x 16 2 2x 4 2 2 x 0
2x 4 2 2 x
9x 16
− −
> ⇔ − + − + + − >
+ + −
+
(2)
Lại thực hiện phép nhân liên hợp
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
(2) (3x 2) 9x 16 4 12 2x 4 8 2x 0
(3x 2) 9x 8x 32 16 8 2x 0
(3x 2) x 2 8 2x x 2 8 2x 0 (3)
⇔ − + − − + − >
⇔ − + − − − >
⇔ − − − + + − >
Để
2
8 2x−
có nghĩa thì -2 ≤ x ≤ 2. Do
2
x 2 8 x 2 8 2x≥ − ⇒ + + − >
0 nên
(
)
2
2 2
(3) (3x 2) x 2 8 2x 0
3x 2 0 3x 2 0
(I) (II)
x 2 8 2x 0 x 2 8 2x 0
⇔ − − − >
− > − <
⇔ ∨
− − > − − <
Giải (I)
4 2
x 2
3
⇔ < ≤
Giải (II)
2
2 2
2
x 0
0 x<
2 2
2 x 0 0 x< 2 x<
3
3 3
8 2x 0
x 32 8x
<
≤
⇔ ∨ ⇔ − ≤ < ∨ ≤ ⇔ − ≤
− ≥
< −
Vậy
2 4 2
S 2; ;2
3 3
= − ∪
÷
VI. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA:
Phương pháp này nhằm chuyển một số loại phương trình, bất phương trình vô tỷ về phương trình,
bất phương trình lượng giác.
1). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1:Giải phương trình:
(
)
2 2
1 1 1 2 1x x x+ − = + −
Giải: Điều kiện:
1 1x
− ≤ ≤
. Đặt
sin , ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
. Ta có phương trình:
3
1 cos sin (1 2cos ) sin sin 2 2 cos 2cos .sin
2 2 2
t t t
t t t t t+ = + = + ⇔ =
Vì
; cos 0
2 2 2
t
t
π π
∈ − ⇒ ≠
,ta được:
1
2 3
6
sin
2
2 2
1
2
t
x
t
x
t
π
π
=
=
= ⇔ ⇔
=
=
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
( )
5
2 5
1 1x x− + ≤
.
Giải: Điều kiện:
0 1x
≤ ≤
. Đặt x=cost với
0
2
t
π
≤ ≤
. Ta có
5
5
2
sin cos 1t t+ ≤
.
Do
5
5 2 2
2
sin sin ;cos cost t t t≤ ≤
nên
5
5 2 2
2
sin cos sin cos 1. 0;
2
t t t t t
π
+ ≤ + = ∀ ∈
nên bất phương trình
có nghiệm là mọi
[ ]
0;1x∈
VII. NHIỀU CĂN BẬC LẺ:
* Nâng lũy thừa:
3
A
+
3
B
=
3
C
⇔
A + B + 3
3
AB
(
3
A
+
3
B
) = C
⇒
A + B + 3
3
AB
3
C
= C (Bước này không tương đương)
⇔
3
3
ABC
= C – A – B
⇔
27ABC =
3
)BAC( −−
Ví dụ 1. Giải phương trình
3
1x2 −
+
3
1x −
=
3
1x3 +
. (1)
Giải:
(1)
2 2
3 3
3 3
2x 1 x 1 3 (2x 1) . x 1 3 2x 1. (x 1) 3x 1⇒ − + − + − − + − − = +
( )
( )
3 3
3
3 3
3
3
3
3 2
3x 2 3 (2x 1)(x 1) 2x 1 x 1 3x 1
3 (2x 1)(x 1) 2x 1 x 1 1
(2x 1)(x 1). 3x 1 1
(2x 1)(x 1)(3x 1) 1
6x 7x 0
x 0 (loai)
7
x
7
6
x (nhan)
6
⇔ − + − − − + − = +
⇔ − − − + − =
⇒ − − + =
⇔ − − + =
⇔ − =
=
⇔ ⇔ =
=
Ví dụ 2. Giải phương trình
3
1x −
+
3
2x −
=
3
3x2 −
(1)
Giải.
(1)
⇔
x – 1 + x – 2 + 3
3
1x −
3
2x −
(
3
1x −
+
3
2x −
) = 2x – 3
⇒
2x – 3 + 3
3
)2x)(1x( −−
3
3x2 −
= 2x – 3
⇔
1
2
3
( )
2
x
x
x loai
=
=
=
Vậy x= 1; x=2
* Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
3
x10 −
+
3
1x −
= 3. (1)
Giải.
Đặt u =
3
x10 −
v =
3
1x −
Ta có hệ
=+
=+
9vu
3vu
33
(ĐS x= 9; x= 2)
VIII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ
* Cách 1: Làm mất căn lần 1: đặt 1 ẩn phụ.
Làm mất căn lần 2: nâng lũy thừa.
* Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ.
Các ví dụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
3
7x +
–
x
= 1 (1)
Hướng dẫn
+Cách 1: Đặt t =
x
(t
≥
0)
(1) trở thành
3
2
7t +
= t + 1
⇔
2
t
+ 7 =
3
t
+ 3
2
t
+ 3t + 1
⇔
(t – 1)(
2
t
+ 3t + 6) = 0 (Bạn đọc tự giải) (ĐS x=1)
+Cách 2: Đặt
=
+=
xv
7xu
3
có hệ
=−
=−
7vu
1vu
23
Ví dụ 2. Giải phương trình
3x +
–
3
x
= 1 (1)
Hướng dẫn
+ Cách 1: Đặt t =
3
x
, (1) trở thành:
1t
3
+
= t + 1
+ Cách 2: Đặt
=
+=
3
xv
3xu
có hệ
=−
=−
3vu
1vu
32
(ĐS
1; 2 2)x x= =
