(SKKN 2022) Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ
SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA BÀI
TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Hà Ngọc Long
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2022


MỤC LỤC
Nội dung

1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.

1
2.3.
2
2.3.
3
2.4
3
3.1
3.2

Trang
MỞ ĐẦU ---------------------------------------------------------------------------1
Lí do chọn đề tài ------------------------------------------------------------------1
Mục đích nghiên cứu ------------------------------------------------------------1
Đối tượng nghiên cứu -----------------------------------------------------------1
Phương pháp nghiên cứu -------------------------------------------------------2
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM --------------------------2
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ---------------------------------2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề ------------------------------------------------------------------------3
Hệ thống kiến thức về khoảng cách trong khơng gian. ------------3
Phương thức 1: Các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau trong các bài tốn về hình chóp.-------------------Phương thức 2: Các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau trong các bài tốn về hình lăng trụ. -----------------Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường --------------------------------KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ --------------------------------------------------Kết luận ------------------------------------------------------------------------------Kiến nghị ----------------------------------------------------------------------------Tài liệu tham khảo ----------------------------------------------------------------Danh mục các đề tài SKKN ----------------------------------------------------

6
11

15
16
16
17
18
19


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong
quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao địi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm
hiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến
thức và các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục Việt Nam có viết:
“Phương pháp giáo dục Phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng
phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Trong thời gian giảng dạy, tơi
ln nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đối
tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, kỹ năng giải toán cho học sinh một
cách tốt nhất.
Ngày nay trong đổi mới giáo dục toán học ở Việt Nam đã đặc biệt quan tâm
đến phát triển năng lực của học sinh. Các năng lực then chốt như: Năng lực tự chủ
và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo,
năng lực tính tốn, ... Việc nghiên cứu phương pháp tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau trong khơng gian góp phần hình thành và phát triển các
năng lực nói trên đặc biệt là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Để có năng lực
cần phải có tri thức. Tri thức tốn học nói chung, tri thức về khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau trong khơng gian đóng vai trị là điều kiện thúc đẩy các
hoạt động nhằm phát triển các năng lực của người học. Chính vì lí do nói trên, tơi

chọn đề tài:
“Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 11 thơng qua
bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian”
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Việc nghiên cứu đề tài với mục tiêu sau:
Bổ sung một số kĩ thuật để giải một số dạng toán về khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau nhằm làm phong phú thêm vai trò của phương pháp tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Đề tài cũng đặc biệt quan tâm việc phát triển và mở rộng các bài tốn trong
chương trình Phổ thơng nhằm góp phần phát triển cho học sinh năng lực giải quyết
vấn đề và sáng tạo.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
1


Nghiên cứu vai trị của phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong trường Phổ thông.
Nghiên cứu các phương thức mở rộng và phát triển các bài tốn trong
chương trình trung học Phổ thơng.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
a, Nghiên cứu tài liệu, nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau trong chương trình tốn học Phổ thơng.
b, Điều tra
- Thực dạy và kết quả kiểm tra
- Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp
+ Trao đổi với các em học sinh về cách học.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong học tập cũng như trong cuộc sống, học sinh sẽ gặp các tình huống có

vấn đề cần giải quyết. Việc nhận ra tình huống có vấn đề và giải quyết các tình
huống đó một cách thành cơng chính là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là khả năng của học sinh nhận ra các mâu
thuẫn nhận thức trong các vấn đề học tập hoặc trong các vấn đề trong cuộc sống và
tìm ra được phương pháp để giải quyết mâu thuẫn, vượt qua các khó khăn và trở
ngại, từ đó học sinh tiếp thu được kiến thức, kĩ năng mới hoặc giải quyết vấn đề
trong thực tiễn.
Sách giáo khoa và nhiều tài liệu đã trình bày kiến thức về phương pháp tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khơng gian. Tuy nhiên với thời
lượng chương trình cịn ít nên chưa đề cập sâu được các kiến thức cũng như hệ
thống bài tập áp dụng phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau trong không gian. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi bổ sung thêm một số kiến
thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian đồng thời
chọn lọc một số bài toán mà trước đây các tác giả đã giải bằng các cách khác, tôi
hướng dẫn học sinh giải bằng cách phù hợp hơn. Như vậy học sinh không chỉ giải
theo một cách giải cũ mà ln tìm tịi các cách giải mới. Qua đó phát triển được
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cũng như phát triển được năng lực học tập
của bản thân.
2


2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương trình tốn học lớp 11, nội dung khoảng cách được đánh giá là
một nội dung quan trọng và khó với học sinh. Mặc dù số tiết phân phối chương
trình ít nhưng chúng ta thấy dạng tốn khoảng cách, đặc biệt là bài tốn tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian luôn gặp trong các
đề thi. Có thể nói khó khăn chung của học sinh khi học hình khơng gian là kĩ năng
dựng hình, đọc hình, làm sao để bóc tách hình khơng gian đưa về áp dụng kiến thức
hình học phẳng. Riêng với bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau trong khơng gian, một khó khăn nữa là học sinh cần tìm tịi phát hiện và dựng

được đoạn vng góc chung của hai đường thẳng; hoặc chuyển về bài tốn tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
Để khắc phục những hạn chế đã nêu trên, trong đề tài này tôi hệ thống kiến
thức về khoảng cách, nêu các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong không gian đồng thời chọn lọc các ví dụ, bài tập áp dụng phù hợp
với đối tượng học sinh mà mình phụ trách. Thơng qua đó sẽ phát triển được năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh, giúp các em vững tin hơn khi giải
quyết các bài toán tính khoảng cách trong khơng gian.
2.3.1 Hệ thống kiến thức về khoảng cách trong khơng gian.
2.3.1.1 Vai trị của việc thực hiện phương thức
Việc thực hiện phương thức đề ra nhằm vào các mục đích sau:
- Mở rộng tiềm năng huy động kiến thức khoảng cách trong không gian
- Nhằm nhìn nhận một cách tổng quan các dạng tốn tính khoảng cách
2.3.1.2 Nội dung cụ thể:
* Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng
góc chung của hai đường thẳng đó.
[1].
Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau.
Ta có nếu:
 ∆ ⊥ a, ∆ ⊥ b
thì d (a; b) = AB.

∆
∩
a
=
A
,

∆
∩
b
=
B


∆
A

B

a

b
3


* Các phương pháp thường dùng để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong không gian:
Phương pháp 1: Sử dụng trực tiếp định nghĩa
Bước 1. Xác định đoạn vng góc chung AB của hai đường thẳng chéo nhau.
Bước 2. Tính độ dài đoạn thẳng AB
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất 1
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai
đường thẳng đó và mặt phẳng song song với
nó và chứa đường thẳng còn lại.
Bước 1. Chọn hoặc dựng 1 mặt phẳng (α )

M

α

chứa 1 đường thẳng và song song với đường
thẳng còn lại (chẳng hạn chọn mặt phẳng chứa
b và song song với a )
Bước 2. Khi đó d (a; b) = d (a;(α )) = d ( M ;(α ))

H

a

b

a′

với M là một điểm tuỳ ý trên a .
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất 2
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Bước 1. Chọn hoặc dựng 2 mặt phẳng (α ),( β )

β

M

b′

a

α

lần lượt chứa 1 đường thẳng và song song với
N
đường thẳng còn lại.
Bước 2.
Khi đó d (a; b) = d ((α );( β )) = d ( M ;(α )) = d ( N ;( β )) với M ∈ ( β ); N ∈ (α ).

b

a′

* Các kiến thức bổ trợ:
Để giải tốt dạng toán này, chúng ta cần lưu ý một số kiến thức sau:
- Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (α ) và a song song với a′ nằm

b

trong (α ) thì a song song với mặt phẳng (α ) .
- Cách dựng mặt phẳng chứa 1 đường thẳng
và song song với đường thẳng còn lại:
+ Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy
nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này

α

M

b′

a

4


và song song với đường thẳng kia.
+ Cách dựng: Lấy điểm M bất kì thuộc a . Qua M kẻ đường thẳng b′ Pb .
Gọi (α ) là mặt phẳng xác định bởi a và b′ . Khi đó b P(α ).

A

B

A′

B′

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α ) .
Khi đó d (a;(α )) = d ( M ;(α )) với M là một điểm
tuỳ ý trên a .

α

Nhận xét: Nếu AB P(α ) thì d ( A;(α )) = d ( B;(α ))
- Công thức tỉ số khoảng cách:
d ( A;(α )) AI
=

Nếu AB ∩ (α ) = I thì
d ( B;(α )) BI

B

A

α I

A′

B′

- Chú ý: Cho tam diện vng đỉnh O có OA, OB, OC đơi một vng góc.
Giả sử h = d (O;( ABC )); OA = a, OB = b, OC = c

A

thì ta ln có:

1
1 1 1
= 2 + 2 + 2.
2
h
a b c

B

O

C

- Một số hệ thức trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A . Dựng
C
đường cao AH , trung tuyến AM ta có:
1
1
1
=
+
;
AH 2 AB 2 AC 2
AH .BC = AB. AC ⇒ AH =

HM
AB. AC
1
; AM = BC.
BC
2

A

B

Trong quá trình học tập và thi cử, học sinh thường gặp các bài tốn tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau gắn với 2 loại hình cơ bản: Hình chóp
và hình lăng trụ. Để làm rõ hơn các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau, trong khuôn khổ đề tài này tôi chia thành 2 dạng toán sau:
Dạng toán 1. Các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

trong các bài tốn về hình chóp.
5


Dạng tốn 2. Các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
trong các bài tốn về hình lăng trụ.
2.3.2 Phương thức 1: Các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong các bài toán về hình chóp.
2.3.2.1 Vai trị của việc thực hiện phương thức 1
- Thực hiện phương thức này giúp học sinh biết cách giải quyết vấn đề và phát triển
cách giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.
- Tăng cường cơ sở định hướng cách huy động đúng đắn kiến thức cho việc lập
luận giải các dạng tốn tính khoảng cách.
2.3.2.2 Nội dung cụ thể:
Sau đây là một số ví dụ minh họa được lấy từ các nguồn tài liệu, các đề thi trong
những năm gần đây và các ví dụ do bản thân tự làm, tự nghiên cứu.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ,
AB = BC = a, AD = 2a; SA ⊥ ( ABCD) và SA = a. Hãy tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau AD và SB.
[3].
Phân tích: Nhận thấy AD ⊥ ( SAB ) tức là đường thẳng AD ⊥ ∀d ⊂ ( SAB) . Chính vì
vậy bài này chúng ta sử dụng phương pháp 1. Để dựng được đoạn vng góc chung
của 2 đường thẳng AD và SB, ta chỉ cần dựng trong mặt phẳng ( SAB ) đường
thẳng AH ⊥ SB, H ∈ SB. Dễ dàng chứng minh được AH là đoạn vng góc chung
của 2 đường thẳng AD và SB.
Lời giải:
Dựng AH ⊥ SB, H ∈ SB. Theo giả thiết:

S

 AD ⊥ SA
⇒ AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ AH

 AD ⊥ AB
Từ đó AH là đoạn vng góc chung của
2 đường thẳng AD và SB.
Khi đó d ( AD; SB ) = AH

H
D

A

Xét tam giác SAB vng tại A , ta có:
1
1
1
1 1
2
= 2+
= 2+ 2= 2
2
2
AH
SA
AB
a a
a

B

C

a2
a 2
a 2
Suy ra AH = ⇒ AH =
. Vậy d ( AD; SB ) =
.
2
2
2
2

6


Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN và DM . Biết
SH ⊥ ( ABCD ) và SH = a 3. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau DM và SC.
[3].
Phân tích: Với bài này chúng ta cần sử dụng tính chất của hình vng như sau:
Cho hình vng ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao
điểm của CN và DM . Ta có: CN ⊥ DM . Từ đây ta dễ dàng chứng minh được
DM ⊥ ( SHC ) . Chính vì vậy bài này chúng ta sử dụng phương pháp 1. Để dựng
được đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng DM và SC , ta chỉ cần dựng trong
mặt phẳng ( SHC ) đường thẳng HK ⊥ SC , K ∈ SC. Khi đó HK là đoạn vng góc
chung của 2 đường thẳng DM và SC.
Lời giải:

* Trước hết ta chứng minh tính chất trên:
Ta có ∆ADM = ∆DCN (c − g − c). Suy ra:

B

N

·ADM = DCN
·
·
·
·
⇒ ·ADM + CDM
= DCN
+ CDM
= 900
·
DHC
= 900 ⇒ DM ⊥ CN .

M

A

H
C

D

 DM ⊥ CN

⇒ DM ⊥ ( SHC ).
* Khi đó: 
DM
⊥
SH

Dựng HK ⊥ SC , K ∈ SC. Mặt khác DM ⊥ ( SHC ) ⇒ HK ⊥ DM .
Từ đó HK là đoạn vng góc chung của DM và SC. S
Khi đó d ( DM ; SC ) = HK .
* Tính HC. Ta có:

K

DC 2
DC 2
DC = HC.CN ⇔ HC =
=
CN
DN 2 + DC 2
2

D
N
a
H
( ) +a
2
M
* Xét tam giác SHC vng tại H , ta có:A
=

a2
2

=

2

C

2a 5
.
5

B

1
1
1
1
1
19
=
+
=
+
=
2
2
2

2
HK
SH
HC
(a 3) 2
2a 5 2 12a
(
)
5
7


12a 2
2a 57
2a 57
⇒ HK =
. Vậy d ( DM ; SC ) =
.
19
19
19
Ví dụ 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh
Suy ra HK 2 =

a, ·ABC = 600 , SA = SB = SC = 2a. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau AB và SC.
[2].
Phân tích: Với bài này chúng ta cần khai thác giả thiết sau:
Ta có: ∆ABC đều, gọi G là trọng tâm ∆ABC . Khi đó theo giả thiết SA = SB = SC
thì SG ⊥ ( ABC ) suy ra SG ⊥ ( ABCD). Ta lại có AB PCD ⇒ AB P( SCD ). Với

những phân tích trên ta thấy bài này sử dụng phương pháp 2.
Lời giải:
3
* Ta có: d ( AB; SC ) = d ( AB;( SCD)) = d ( B;( SCD)) = d (G;( SCD)).
2
 SG ⊥ AB
⇒ AB ⊥ ( SCK ). Mà CD P AB .
Dựng GH ⊥ SC , H ∈ SC (1). Mặt khác 
 AB ⊥ CK

S
Suy ra: CD ⊥ ( SCG ) ⇒ CD ⊥ GH (2).
Từ (1) và (2) ta có: GH ⊥ ( SCD ) ⇒ d (G;( SCD)) = GH .
* Xét tam giác SGC vng tại G , ta có:

H

2
a 3
CG = CK =
3
3
SG = SC 2 − GC 2 = 4a 2 −

a 2 a 33
=
.
3
3

K
B

A
G

D

O

a 33 a 3
a 11
.
SG.GC
a 11 ⇒ d (G;( SCD )) = GH =
.
3
3
GH =
=
=
6
SC
2a
6

C

3
a 11

Vậy d ( AB; SC ) = .d (G;( SCD)) =
.
2
4
Ví dụ 4. Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc nhau tại O
với OA = 3a, OB = a, OC = 2a. Gọi I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác OAB và
OAC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và AC.
Phân tích: Gọi M là trung điểm cạnh OA . Ta có:

[2].

MI MJ 1
=
= nên
MB MC 3

8


IJ PBC ⇒ IJ P( ABC ). Với những phân tích trên ta thấy bài này sử dụng phương
pháp 2.
Lời giải: Gọi M là trung điểm cạnh OA .
MI MJ 1
=
= nên IJ PBC ⇒ IJ P( ABC ).
Ta có:
MB MC 3
Khi đó: d ( IJ ; AC ) = d ( IJ ;( ABC )) = d ( I ;( ABC )) =

A

M

2
1
= d ( M ;( ABC )) = d (O;( ABC )).
3
3
* Tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC
đơi một vng góc nhau tại O . Ta có:

O

1
1
1
1
=
+
+
=
2
2
2
d (O;( ABC )) OA OB OC 2
=

J

I

1
1
1
49
6a
+
+
=
d
(
O
;(
ABC
))
=
.
Suy
ra
9a 2 a 2 4a 2 36a 2
7

C

B

1
2a
Vậy d ( IJ ; AC ) = .d (O;( ABC )) = .
3

7
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 4a,
cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh SC và mặt phẳng ( ABCD )
bằng 600 ; M là trung điểm của BC , N là điểm thuộc cạnh AD sao cho DN = a.
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MN .
[3].
Phân tích: Gọi E là trung điểm cạnh AD . Gọi F là trung điểm cạnh AE . Ta có:
S
MN PBF ⇒ MN P( SBF ). Với những phân tích
trên ta thấy bài này sử dụng phương pháp 2.
Lời giải:
Ta có: d ( MN ; SB) = d ( MN ;( SBF )) =
= d ( N ;( SBF )) = 2.d ( A;( SBF )).

K

+ Ta có SA ⊥ ( ABCD)
·
suy ra (·SC ,( ABCD)) = SCA
.
·
Theo giả thiết thì SCA
= 600.
+ Xét tam giác SAC vng tại A

D

N

A

F

H

B
M

C
có AC = 4a 2 ⇒ SA = AC.tan 600 = 4a 6.
+ Xét tứ diện SABF có 3 cạnh AS , AB, AF đơi một vng góc nhau tại A . Ta có:
9


1
1
1
1
1
1
1 103
= 2+
+
=
+
+
=
2
2
d ( A;( SBF )) SA
AB

AF
96a 2 16a 2 a 2 96a 2
2

4a 618
8a 618
. Vậy d ( MN ; SB) = 2.d ( A;( SBF )) =
.
103
103
Để có thể làm rõ thêm cách áp dụng các phương pháp trong chuyên đề này, tôi đưa
ra một số bài tập như sau:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD,
Suy ra d ( A;( SBF )) =

các

đường

thẳng

SA, AC , CD

đơi

một

vng

góc

với

nhau

biết

SA = AC = CD = a 2 và AD = 2 BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB
và CD.
[5].
a 10
.
5
Bài 2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 2a; SA
Kết quả: d ( SB; CD) =

vng góc với mặt phẳng đáy và SA = a 5. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SA và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC.
Kết quả: d ( MN ; SC ) =

[5].

a 5
.
3

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M , N
lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và SB.

[5].
a 6
.
6
Bài 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a. Biết
tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy;
Kết quả: d ( MN ; SB) =

góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AD và SC.
[5].
Kết quả: d ( MN ; SB) =

a 609
.
29

Bài 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a 2, AD = a; các
mặt bên SBC ; SCD là các tam giác vuông tại B; D. Góc tạo bởi cạnh SC và mặt
10


đáy bằng 450. Gọi M là trung điểm cạnh AD. Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng BM và SC.
[5].
2a 30
.
15
2.3.3 Phương thức 2: Các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong các bài toán về hình lăng trụ.

2.3.3.1 Vai trị của việc thực hiện phương thức 2
- Thực hiện phương thức này giúp học sinh biết cách giải quyết vấn đề và phát triển
cách giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.
2.3.3.2 Nội dung cụ thể:
Sau đây là một số ví dụ minh họa được lấy từ các nguồn tài liệu, các đề thi trong
những năm gần đây và các ví dụ do bản thân tự làm, tự nghiên cứu.
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Hãy tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CB′.
[5].
Phân tích: Nhận thấy ABCD. A′B′C ′D′ là hình lập phương nên ta có AB ⊥ ( BCC ′B′)
Kết quả: d ( BM ; SC ) =

tức là đường thẳng AB ⊥ ∀d ⊂ ( BCC ′B′) . Chính vì vậy bài này ta sử dụng phương
pháp 1. Để dựng được đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng AB và CB′, ta
chỉ cần dựng trong mặt phẳng ( BCC ′B′) đường thẳng BH ⊥ CB′, H ∈ CB′. Dễ dàng
chứng minh được BH là đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng AB và CB′.
Lời giải:
Dựng BH ⊥ CB′, H ∈ CB′.

A

Dễ thấy: AB ⊥ ( BCC ′B′) ⇒ AB ⊥ BH
Từ đó BH là đoạn vng góc chung của
2 đường thẳng AB và CB′.
Khi đó d ( AB; CB′) = BH

D

D′

H
B′

A′

Áp dụng tam giác BCB′ vuông cân tại B
1
a 2
nên ta có BH = CB′ =
.
2
2

C

B

C′

a 2
.
2
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Gọi I là trung
điểm của CC ′. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B′I .
[5].
Vậy d ( AB; CB′) =

11

Phân tích: Gọi K là trung điểm BB′ suy ra CK PB′I ⇒ B′I P( ACK ) . Khi đó:
d ( AC ; B′I ) = d ( B′I ;( ACK )) = d ( B′;( ACK )) = d ( B;( ACK )).
Lời giải: Gọi K là trung điểm BB′ suy ra CK PB′I ⇒ B′I P( ACK ) . Khi đó:
d ( AC ; B′I ) = d ( B′I ;( ACK )) = d ( B′;( ACK )) = d ( B;( ACK )).
* Tứ diện ABCK có 3 cạnh BA, BC , BK
đơi một vng góc nhau tại B . Ta có:
1
1
1
1
=
+
+
=
2
2
d ( B;( ACK )) BA BC
BK 2
2

D

1 1
1
6
= 2+ 2+
= 2
a a ( a )2 a
2
Suy ra d ( B;( ACK )) =

a 6
.
6

B

A
C
A′

K

I

B′

C′

D′

a 6
Vậy d ( AC ; B′I ) =
.
6
Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có các mặt bên là những hình vng cạnh bằng
a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và AB′.
[3].
Phân tích: Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và B′C ′ suy ra
AD P A′E; B′D PCE ⇒ (CA′E ) P( ADB′). Như vậy với bài toán này chúng ta sử

dụng phương pháp 3: d ( AB′; A′C ) = d (( ADB′);(CEA′)).
Lời giải: Gọi D, E lần lượt là trung điểm
của BC và B′C ′ suy ra
AD P A′E; B′D PCE ⇒ (CA′E ) P( ADB′). Khi đó:

A

d ( AB′; A′C ) = d (( ADB′);(CEA′)) = d ( B′;(CEA′)).
Mặt khác B′C ′ ∩ (CA′E ) = E ; EB′ = EC ′

D

C

B

⇒ d ( B′;(CEA′)) = d (C ′;(CEA′)).
+ Tam giác A′B′C ′ đều ⇒ A′E ⊥ B′C ′
+ Vì lăng trụ ABC. A′B′C ′ có các mặt bên là
A′
những hình vng ⇒ CC ′ ⊥ ( A′B′C ′) ⇒ A′E ⊥ CC ′
Suy ra A′E ⊥ ( BCC ′B′). Dựng C ′H ⊥ CE ; H ∈ CE
Ta có: C ′H ⊥ (CEA′) ⇒ d (C ′;(CEA′)) = C ′H .

H

C′

E
B′

+ Xét tam giác CC ′E vuông tại C ′ :
12


1
1
1
1
1
5
=
+
= 2+
= 2
a2
a 5
2
2
2
2
.
C ′H
CC ′ C ′E
a ( a ) 2 a ⇒ C ′H = ⇒ C ′H =
5
5
2
a 5
.

5
Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng a. Tính theo
a khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B′ và BC ′.
[5].
Phân tích: Dựng hình thoi A′B′D′C ′, suy ra C ′D′ P A′B′ ⇒ A′B′ P( BC ′D′).
Vậy d ( A′C ; AB′) =

Như vậy với bài toán này chúng ta sử dụng phương pháp 2:
d ( A′B′; BC ′) = d ( A′B′;( BC ′D′)) = d ( B′;( BC ′D′)).

A

Lời giải:
Dựng hình thoi A′B′D′C ′,
suy ra C ′D′ P A′B′ ⇒ A′B′ P( BC ′D′).

B

C

Ta có: d ( A′B′; BC ′) = d ( B′;( BC ′D′)).
Dựng B′H ⊥ C ′D′; H ∈ C ′D′
⇒ C ′D′ ⊥ ( BB′H ).
Dựng B′K ⊥ BH ; K ∈ BH

B′

′

A

 B′K ⊥ BH
⇒ B′K ⊥ ( BC ′D′).
Dễ thấy 
′
′
′
B
K
⊥
C
D

Từ đó: d ( B′;( BC ′D′)) = B′K .

C′

A′

K

H

D′

a 3
+ Xét tam giác đều B′C ′D′ cạnh a ta có B′H =
.
2
+ Xét tam giác BB′H vng tại B′ có B′K là đường cao. Áp dụng cơng thức ta có:

′

B
Ca ′21
1
1
1
1
4
7
a 21
=
+
= +
=
⇒ B′K =
. Vậy d ( A′B′; BC ′) =
.
B′K 2 BB′2 B′H 2 a 2 3a 2 3a 2
7
7

Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ biết độ dài các cạnh bên bằng 2 2a
· ′AB = 900 , AB = BC = a, BAC
·
và B′C = a 7, B
= 300. Tính theo a khoảng cách giữa
hai đường thẳng CC ′ và AB′.

C ′ suy ra CC ′ P( ABB′A′) .

Phân tích: Lăng trụ tam giác ABC. A′B′S

[3].

Như vậy với bài toán này chúng ta sử dụng phương pháp 2:
d (CC ′; AB′) = d (CC ′;( ABB′A′)) =Kd (C ;( ABB′A′)).

H

A

13

E
B

C


Lời giải:
+ Xét ∆BB′C có: BC = a, BB′ = 2 2a, B′C = a 7. Dễ thấy: BB′2 = B′C 2 + BC 2
nên ∆BB′C vuông tại C.
Mặt khác ∆ABB′ vuông tại A nên nếu gọi S là trung điểm BB′ thì SA = SB = SC.
+ Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) thì H sẽ là tâm của đường
trịn ngoại tiếp ∆ABC.
·
+ Lại có ∆ABC cân tại B; BAC
= 300 ⇒ ·ABC = 1200
Xét tứ giác ABCH có: HB ⊥ AC ⇒ ·ABH = 600 ⇒ ∆ABH đều. Khi đó ABCH là
một hình thoi, từ đó HC P AB ⇒ HC P( ABB′A′) ⇒ d (C ;( ABB′A′)) = d ( H ;( SAB )).

a 3
+ Xét ∆ABH đều cạnh a , dựng HE ⊥ AB; E ∈ AB ta được HE =
.
2
+ Xét ∆SBH ta tính được SH = ( 2a ) 2 − a 2 = a.
+ Trong tam giác SHE vuông tại H dựng đường cao HK . Dễ dàng chứng minh
được HK ⊥ ( SAB ). Áp dụng công thức:
1
1
1
1
4
7
a 21
a 21
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HK =
. Vậy d (CC ′; AB′) =
.
2
2
2
HK
SH
HE
a 3a 3a
7
7
14

Để có thể làm rõ thêm cách áp dụng các phương pháp trong chuyên đề này, tôi đưa
ra một số bài tập như sau:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a, AA′ = 2a. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và A′C.

[3].

2a 17
.
17
Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a.
Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B
và DC ′.
[3].
Kết quả: d ( AB′; A′C ) =

Kết quả: d ( A′B; DC ′) =

a 5
.
5

Bài 3. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
AC ′ và MN .
[2].
a 2

.
4
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a. Gọi O là tâm của
hình vng ABCD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′O và BC.
[5].
Kết quả: d ( AC ′; MN ) =

a 5
.
5
Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác đều, AA′ = h và
AA′ ⊥ ( ABC ). Biết khoảng cách giữa A′B′ và BC ′ là d . Tính cạnh đáy của hình
Kết quả: d ( A′O; BC ) =

lăng trụ theo d và h.
Kết quả: a =

2hd
3( h 2 − d 2 )

[4].
.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
* Bản thân:
Khi nghiên cứu về bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau, bản thân đã được bổ sung thêm những kiến thức mới về khoảng cách trong
không gian. Qua đó thấy được vai trị của phương pháp tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau trong chương trình tốn Phổ thơng. Đặc biệt có thể dựa vào

15


phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong khơng gian
để giải quyết một số bài tốn mà lâu nay các tác giả sử dụng cách giải khác. Từ đó
đã giúp bản thân có thêm những kinh nghiệm trong việc giải quyết vấn đề và sáng
tạo khi tính khoảng cách cũng như giải các bài tốn trong chương trình Phổ thơng.
* Học sinh:
Thơng qua đề tài này học sinh đã phần nào bỏ bớt đi tính thụ động trong giải
tốn. Một bài tốn đặt ra có nhiều cách giải khác nhau. Học sinh phải ln tìm tịi,
sáng tạo để tìm ra cách giải hay nhất. Giải bài tốn tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau trong khơng gian giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc
hơn, tổng quan hơn về bài tốn tính khoảng cách; thấy được vai trị của phương
pháp tính khoảng cách trong khơng gian. Qua đó phát triển được năng lực giải
quyết vấn đề và sáng tạo khi học bài khoảng cách cũng như học tập mơn tốn.
Học sinh học tập có nhiều tiến bộ và thu được kết quả khả quan. Điểm tổng
kết mơn tốn của 2 lớp 11 năm học 2021-2022 mà bản thân phụ trách:
Lớp

Sĩ số

Giỏi
SL
%
27 64,3
11
28,2

Khá
Trung bình

SL
%
SL
%
12 28,6
3
7,1
14 35,9 14 35,9

Yếu
SL
%
0
0
0
0

Kém
SL
%
0
0
0
0

11B4 42
11B9 39
* Đồng nghiệp:
Trong các buổi sinh hoạt tổ chuyên môn, bản thân cũng đã trao đổi với các
thầy cô trong tổ chuyên môn và được các thầy cơ đánh giá cao. Qua đó các thầy cơ

đã dần triển khai dạy học sinh của các lớp mình phụ trách.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1 Kết luận:
Bạn đọc có thể tìm thấy nhiều mệnh đề, bài tốn trong chương trình tốn học
Phổ thơng cịn ở dạng mở, việc tìm tịi phát hiện để tổng qt hố các bài tốn, các
mệnh đề sẽ bổ ích cho việc tự bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo,
năng lực này đang được quan tâm trong đổi mới giáo dục toán học hiện nay.
Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinh
làm mục đích chính; ln trau dồi kiến thức, phương pháp; ln tìm tịi nghiên cứu
chương trình, đối tượng học sinh cụ thể để đưa ra phương pháp truyền thụ kiến
thức phù hợp đạt kết quả cao nhất trong giảng dạy. Bản thân phải thấy được sự cố
gắng và quan tâm tới sự tiến bộ của các em, khích lệ tuyên dương kịp thời để làm
đòn bẩy giúp các em tiến bộ.
16


Đối với học sinh cần học tập thật nghiêm túc, tự giác học tập, nghiên cứu chủ
động tiếp cận kiến thức một cách khoa học. Cần phát huy tính sáng tạo, tìm tịi cách
giải mới. Từ đó phát triển được năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo đồng thời
dần nâng cao kết quả học tập của bản thân.
3.2 Kiến nghị:
Đây không phải là một sáng kiến mới và cũng khơng mang tính tuyệt đối
trong việc dạy cho học sinh giải các bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau trong không gian. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu
nổ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp tôi đã đúc kết được
một số phương thức làm phong phú hơn vai trị của bài tốn tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau. Đồng thời phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng
tạo của học sinh trong học tốn. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các giáo viên
và học sinh. Với khả năng và ngôn ngữ của bản thân cịn có phần hạn chế nên
khơng thể tránh khỏi thiếu sót; rất mong hội đồng khoa học và các đồng nghiệp

giúp đỡ, góp ý để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong dạy học.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người viết SKKN

Hà Ngọc Long

[1]

Tài liệu tham khảo
Bộ Giáo dục và Đào tạo, Hình học 11, NXB Giáo dục Việt Nam.
17


[2]
[3]
[4]
[5]

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 những năm gần đây.
Đề thi thử và đề thi chính thức trong những năm gần đây.
Th.S Nguyễn Kiếm, Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán 11.
Tự làm, tự nghiên cứu.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH

GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD & ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
18


Họ và tên tác giả: Hà Ngọc Long
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THPT Vĩnh Lộc
TT
1

2

Tên đề tài SKKN
Cách tìm hiểu và khai thác
một định lý
Phát triển năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề
cho học sinh thông qua
giải một số bài tốn bằng
ứng dụng của tích vơ
hướng

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học

đánh giá xếp
loại

Sở GD & ĐT

C

2012 - 2013

Sở GD & ĐT

C

2017 - 2018

19