(SKKN 2022) nâng cao năng lực tự học, tự chủ và tạo hứng thú khám phá thông qua hoạt động học tập nội dung lượng giác cho học sinh lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (474.51 KB, 24 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC, TỰ CHỦ VÀ TẠO HỨNG
THÚ KHÁM PHÁ THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP NỘI
DUNG LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 10

Người thực hiện: Lê Thị Thủy
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn học

THANH HĨA NĂM 2022

MỤC LỤC
1. Mở đầu....................................................................................................
1.1. Lí do chọn đề tài...................................................................................
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu...........................................................................
1.4. Phương pháp nghiên cứu......................................................................
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm ..................................................
2.1. Cơ sở lí luận ........................................................................................
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..............
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.........................................
2.3.1. Một số tính chất của lượng giác cần nhớ .........................................
2.3.2.Cách học và ghi nhớ cơng thức lượng giác........................................
2.3.3. Các dạng tốn vận dụng ....................................................................
8
2.3.3.1.( dạng 1) Đổi đơn vị , tính độ dài cung trịn.....................................

2.3.3.2.(dạng 2) Ghi nhớ cơng thức và áp dụng cơng thức lượng giác để
tính giá trị biểu thức ....................................................................................
2.3.3.3.(dạng 3) Tính giá trị lượng giác của một góc thỏa mãn điều kiện
cho trước.......................................................................................................
2.3.3.4.(dạng 4) Tính giá trị của 1biểu thức lượng giác khi biết điều kiện
cho trước ......................................................................................................
2.3.3.5.(dạng 5) Xác định dấu của một biểu thức lượng giác.......................
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm......................................................
3. Kết luận, kiến nghị.................................................................................
3.1. Kết luận ................................................................................................
3.2. Kiến nghị ..............................................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................

1
1
2
2
2
2
2
4
4
4
6
8
10
12
13
15
17

18
18
19
20

DANH MỤC
Đề tài SKKN tác giả đã được Hội đồng cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt giải
T
T

Tên đề tài

Số QĐ

Ngày cấp
chứng chỉ

Xếp
loại

1

Các thủ thuật giải toán nhanh bài 2088/QĐtoán liên quan đến cực trị hàm số SGDĐT
trùng phương

22/12/202
0

C

2

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề 1362/QĐvà sáng tạo cho học sinh THPT SGDĐT
thông qua rèn luyện kỹ năng làm bài
số phức ở mức độ vận dụng

12/11/2021

C

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình
giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ
quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh làm được
cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện thành
công việc chuyển cách đánh giá kết quả giáo dục từ nặng về kiểm tra trí nhớ
sang kiểm tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề, chú trọng
kiểm tra đánh giá trong quá trình dạy học để có thể tác động kịp thời nhằm nâng
cao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục, đề cao việc học sinh biết
vận dụng những kiến thức được học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Luật giáo dục có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận
dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh”.
Tốn học là một mơn học địi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành

phương pháp giải từng dạng tốn là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng
dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu.
Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong
việc giải quyết một số bài tốn lượng giác vì phần này có rất nhiều cơng thức
lượng giác . Có thể có rất nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng
theo tơi, ngun nhân chủ yếu là học sinh chưa nhớ các công thức lượng giác và
chưa biết nhận dạng và lựa chọn các phương pháp phù hợp để làm bài tập về
lượng giác.
Trong chương trình tốn THPT lượng giác là một phần rất quan trọng,
công thức lượng giác tương đối nhiều và khó nhớ nếu chỉ học thuộc lịng các
cơng thức thì học sinh rất dễ nhầm lẫn , mặc dù vậy đây cũng là một nội dung
học sinh có hứng thú học kể cả học sinh yếu kém cũng thích học phần này. Tuy
nhiên khi thi bằng hình thức trắc nghiệm học sinh gặp phải khó khăn nhất định
địi hỏi giáo viên phải có những biện pháp giúp đỡ các em khắc phục.
Để giải quyết bài tốn lượng giác địi hỏi người học Toán và làm toán phải
linh hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tất nhiên với mỗi bài
tốn lượng giác thì mỗi người đều có một hướng giải quyết của riêng mình. Nói
như vậy có nghĩa là có nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài
toán lượng giác. Điều quan trọng là phải lựa chọn phương pháp nào để tìm được
lời giải tối ưu cho bài tốn. Thật khó nhưng cũng thú vị nếu ta tìm được đường
đúng đắn để giải quyết nó. Dạy học sinh học tốn khơng chỉ cung cấp kiến thức
cơ bản, những dạng bài tập vận dụng trong sách giáo khoa, sách tham khảo mà
điều quan trọng là hình thành cách tư duy trong suy luận tốn học của mỗi học
sinh thơng qua phương pháp giải tốn. Từ đó giúp các em có năng lực tư duy
logic, độc lập, sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo trong học tập và phát triển
nhân cách học sinh.Theo tơi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện
các công việc sau :

Giúp học sinh hiểu , thuộc và chứng minh được các công thức lượng giác.

Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh hay tính tốn, rút gọn
một biểu thức lượng giác.
Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn hệ thức lượng giác đã cho biết
sử dụng công thức nào để đưa làm bài tập lượng giác hoặc đưa về hệ thức lượng
giác đúng đã biết cách làm.
Vì vậy để giúp các em tự tin hơn trong việc học phần lượng giác , tôi chọn đề
tài sáng kiến kinh nghiệm là: “Nâng cao năng lực tự học, tự chủ và tạo hứng
thú khám phá thông qua hoạt động học tập nội dung lượng giác cho học sinh
lớp 10 ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết giúp học sinh củng
cố kiến thức phần lượng giác và phát triển kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm
lượng giác nhanh và chính xác. Sau đó khuyến khích các em dựa vào những tính
chất đã học để sáng tạo ra những bài tập hay phần lượng giác , qua đó giúp các
em phát triễn tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh
được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm trong các đề thi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào phần lượng giác và
cách ghi nhớ các cơng thức lượng giác qua đó chọn lọc một số bài toán lượng
giác đặc trưng trong chương trình lớp 10 THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài tốn lượng giác , trước
hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ơn tập các kiến thức hình học liên quan. Đặc
biệt với riêng chuyên đề này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững các công
thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt.
Sau đó giáo viên chọn một số bài tốn điển hình, các dữ kiện, u cầu thường
gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo ra “phản xạ” cho các em khi gặp loại toán
này. Bước cuối cùng là yêu cầu các em sáng tạo thêm các đề tốn từ bài tốn
điển hình này cũng như từ các bài toán khác mà các em đã từng gặp.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong q trình nghiên cứu

tơi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
- Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu
- Phương pháp phỏng vấn
- Phương pháp thực nghiệm
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Lý thuyết giá trị lượng giác của cung 
a. Định nghĩa
Ð

Ð

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM   . Nếu điểm M có tọa độ
là M ( x; y ) thì

y
B
M

K

A'
H

a

A

x

O

B’



Tung độ y



OK của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là sin  .

sin   OK .


Hoành độ x  OH của điểm M gọi là cơsin của  và kí hiệu là cos  .

cos   OH .
sin 
 Nếu cos   0, tỉ số cos  gọi là tang của  và kí hiệu là tan  (người ta cịn
sin 
tan  
.
cos 
dùng kí hiệu t g ) :
cos 
 Nếu sin   0, tỉ số sin  gọi là cơtang của  và kí hiệu là cot  (người ta cịn
cos 
cot  

.
sin 
dùng kí hiệu cot g ):
Các giá trị sin  , cos , tan  , cot  được gọi là các giá trị lượng giác của cung  .

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, cịn trục hồnh là trục cơsin
b. Hệ quả
1) sin  và cos xác định với mọi   ¡ . Hơn nữa, ta có
sin    k 2   sin  , k  ¢;

cos    k 2   cos , k  ¢.

1  sin   1
1  cos  1.
2) Vì 1  OK  1; 1  OH  1 nên ta có
3) Với mọi m  ¡ mà 1  m  1 đều tồn tại  và  sao cho sin   m và cos   m.


 k  k  ¢  .
2
4) tan  xác định với mọi
5) cot  xác định với mọi   k  k ¢  .
6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của


Ð
AM  

cung
trên đường trịn lượng giác.

c. Cơng thức lượng giác cơ bản: ( phần này ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị
lượng giác )
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

sin   cos   1
2

1.

2

2.

cos 
sin  ,   k , k  ¢
3.
1

1  tan 2  
,    k , k  ¢
2
cos 
2
5.
cot  

tan  

sin 


   k , k  ¢
cos  ,
2

4. tan  .cot   1,
1  cot 2  



k
, k ¢
2

1
,
sin 2    k , k  ¢

6.
Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc α , giáo viên hướng dẫn học sinh tìm
hiểu cơng thức 1,2,3 từ định nghĩa, công thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh
được , xem như một ví dụ để giáo viên đi đến dạng toán chứng minh một đẳng
thức lượng giác.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Hiện nay khi gặp bài toán lượng giác thường làm các học sinh kể cả
những học sinh khá giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến
cách xử lý do các em lúng túng không nhớ hoặc nhớ sai công thức biến đổi
lượng giác . Đa số các em không nhận ra hoặc biến đổi sai , sa đà vào tính tốn,
gây mất thời gian mà thường khơng thu được kết quả mong đợi.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời

gian để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết
cách phối hợp giữa tư duy hình học và tính tốn đại số.
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này khá thành thạo
nhưng khi thay đổi ngơn từ, giả thiết khác thì các em lại không phát hiện ra vấn
đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như là gặp những bài toán mới.
Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề
cũng như cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài tốn từ đó Phát triển năng
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT thông qua rèn luyện kỹ
năng làm bài tập phần lượng giác.
2.3. Giải pháp nâng cao hiệu quả
2.3.1. Một số tính chất của lượng giác cần nhớ
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
Giá trị lượng giác

I

II

III

IV

cos









sin 









tan 













cot 





Cách ghi nhớ nhanh : “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”

Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
0


6


4


3


2

2
3

3
4



3

2

2

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

sin 

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

cos

1

3
2

2
2

1
2

0

–1

0

1

tana

0

3
3

1

3

||

-

3

–1

0

||

0

cot a

||

3

1

3
3

0

-

3
3

–1

||

0

||

Góc 



1
2

-

2
2

Bảng giá trị lượng giác đặc biệt thể hiện trên đường tròn lượng giác

2.3.2 Cách học và ghi nhớ công thức lượng giác
1/ Công thức lượng giác cơ bản: ( phần này ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị
lượng giác ).Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin   cos   1
2

1.

2

2.

cos 
sin  ,   k , k  ¢
3.
1

1  tan 2  
,    k , k  ¢
2
cos 
2
5.
cot  

tan  

sin 

   k , k  ¢
cos  ,
2

4. tan  .cot   1,
1  cot 2  



k
, k ¢
2

1
,
sin 2    k , k  ¢

6.
2/ Giá trị của cung lượng giác có liên quan đặc biệt : để học thuộc công thức
này trước hết các em phải thuộc định nghĩa góc, cung đối, cung phụ , cung hơn
kém π sau đó thuộc phần cách nhớ và vận dụng làm bài tập.
Góc đối nhau (  và 
)

Góc bù nhau( 
  )

cos( )  cos 

sin(   )  sin 

sin( )   sin 

cos(   )   cos 

và



Góc phụ nhau(  và 2

)



sin      cos 
2



cos      sin 
2


tan( )   tan 

tan(   )   tan 

cot( )   cot 

cot(   )   cot 

Góc hơn kém  (  và    )
sin(   )   sin 
cos(   )   cos 
tan(   )  tan 
cot(   )  cot 



tan      cot 
2




cot      tan 
2





Góc hơn kém 2 (  và 2


sin      cos 

)

2



cos       sin 
2



tan       cot 
2




cot       tan 
2


Cách ghi nhớ nhanh : Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối,


sin bù, phụ chéo, hơn kém  tang côtang, hơn kém 2 chéo sin một mình ".

Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng cịn khơng nhắc thì đối.
3/ Cơng thức cộng góc : ( phần này các em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta
luôn viết cung a trước , cung b sau theo đúng thứ tự )
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb+ sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa
tana + tanb
tan(a + b) =
1 - tana.tanb
tana - tanb
tan(a - b) =
1 + tana.tanb

Cách ghi nhớ nhanh :

Cos thì cos cos sin sin
Sin thì sin cos cos sin rõ ràng
Cos thì đổi dấu hỡi nàng
Sin thì giữ dấu mong chàng nhớ cho
Tan tổng thì lấy tổng tang

Chia 1 trừ với tích tang dễ ịm.
Chú ý : cơng thức gắn với góc đặc biệt





cos  x    cos x.cos  sin x.sin  2  cos x  sin x 
4
4
4

2
;





sin  x    sin x cos  cos x sin  2  sin x  cos x 
4
4
4

2
;


tan x  tan



4  tan x  1
tan  x   
4  1  tan x tan  tan x  1

4
.

Cho HS tự vận dụng công thức trên để mở rộng cho các công thức sau





sin   cos   2 sin      2 cos   
4
4






sin   cos   2 sin       2 cos   
4
4



4/ Công thức nhân : ( phần này các em chứng minh lại như một bài tập)
Công thức nhân đôi.
cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1 - 2sin2 a

tan2a =

2tan a
1 - tan2 a
1- cos2a
2
1 + cos2a
2
cos a =
2
1- cos2a
2
tan a =
1 + cos2a
sin2 a =

Công thức hạ bậc.
5/ Cơng thức biển đổi tổng thành tích.
a +b
a- b
cosa + cosb = 2cos
.cos
2
2
a +b
a- b

.sin
2
2
a +b
a- b
sina + sinb = 2sin
.cos
2
2
a +b
a- b
sina - sinb = 2cos
.sin
2
2
cosa - cosb = - 2sin

Cách ghi nhớ nhanh :

sin(a + b)
cosa.cosb
sin(a - b)
tana - tanb =
cosa.cosb
sin(a + b)
cot a + cotb =
sina.sinb
sin(b - a)
cot a - cot b =
sina.sinb

tana + tanb =

“Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin”
“ Tang mình cộng với tang ta
Bằng sin đơi lứa chia cos ta cos mình”
6/ Cơng thức biến đổi tích thành tổng.

1é
cos(a + b) + cos(a - b) ù
û
2ë
1
sina sinb = - é
cos(a + b) - cos(a - b) ù
û
2ë
1
sina cosb = é
sin(a + b) + sin(a - b) ù
û
2ë
cosa cosb =

Cách ghi nhớ nhanh: “Cos nhân cos bằng một phần hai cos tổng cộng cos hiệu
Sin nhân sin bằng trừ một phần hai cos tổng trừ cos hiệu

Sin nhân cos bằng một phần hai sin tổng cộng sin hiệu”
2.3.3. Các dạng toán vận dụng
2.3.3.1( Dạng 1) Đổi đơn vị , tính độ dài cung trịn
0
Phương pháp giải: Vận dụng mối quan hệ giữ độ và rađian: 180   rad

Đổi cung  rad có số đo từ rađian sang độ :
a

0

(

180 0
)



rad
180

Đổi cung a có số đo từ độ ra rađian
Độ dài cung có số đo  rad của đường trịn bán kinh R được tính theo
cơng thức: l   R
3
Ví dụ 1: a) Đổi cung 4 có số đo từ rađian sang độ.
0
b) Đổi cung 50 có số đo từ độ sang radian

Phân tích , hướng dẫn giải


5
rad 
rad
180
18
b)
0
0
0
0
Vận dụng. 1. Đổi số đo các cung sau đây 20 ; 25 15' ; 2022 ; 790 40 ' từ độ ra
3
3 1800
rad 
 1350
4 
a) 4

500  50

rađian.
Phân tích , hướng dẫn giải




337
 rad
20220  2022.


rad
180 9
180
30
Ta có:
15  
101.

40 
592
2515   25  .

rad
79040 '  (790  ).

rad
60  180
720

60 180 135
 
;
; 0, 75 ; 3, 75
2. Đổi số đo các cung sau đây: 9 24
từ rađian sang độ.
20  20.

Phân tích , hướng dẫn giải


 180
rad = .
 200
9
9 
Ta có
180
0,75 rad  0, 75 .
 135



 180
rad  .
 7,5  730
24
24 
180
3,75 rad  3, 75.
 214,9


Ví dụ 2 : ( câu 5-đề minh họa cuối kỳ 2 lớp 10 của bộ )
Khi quy đổi 1 ra đơn vị radian, ta được kết quả là

B. 360 rad.


C. 90 rad.

A.  rad.
Ví dụ 3 : ( câu 26- đề minh họa cuối kỳ 2 của bộ )


D. 180 rad.


Khi quy đổi 6 rad ra đơn vị độ, ta được kết quả là
A. 60.
B. 30.
C. 15.

D. 45.

Ví dụ 4 :(Câu 25-đề minh họa cuối kỳ 2 của bộ )
Cung có số đo  rad của đường trịn bán kính 4 cm có độ dài bằng
A. 2 cm.
B. 4 cm.
C.  cm.
D. 8 cm.
Ví dụ 5 . Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ. Hỏi sau bao nhiêu lâu hai
kim lại vng góc với nhau?
6
A. 11 giờ

7
B. 11 giờ

8
C. 11 giờ

9
D. 11 giờ

Phân tích , hướng dẫn giải
Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2 ; kim giờ quét được một


 11
2  
6
6 . Vào lúc 3 giờ hai
góc 6 . Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là

kim vuông góc với nhau cho nên khoảng cách giữa hai kim là 2 . Sau đó kim

phút phải quay để bắt kịp kim giờ và tạo thành một góc vng nữa nên kim phút


cần phải quay thêm 2 nữa. Khoảng thời gian để hai kim vng góc với nhau lần
  11 6
(  ):
 ( h)
nữa là 2 2 6 11 . Chọn A.

Bài tập áp dụng
Câu 1: Một đường trịn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung trịn có góc ở tâm
0

bằng 30 là :
5
A. 2 .

5
B. 3 .

A. 0,5 .

B. 3 .

2

C. 5 .
D. 3 .
Câu 2:Cho đường trịn có bán kính 6 cm .Tìm số đo ( rad ) của cung có độ dài là
3 cm :

C. 2 .

D. 1 .

3
Câu 3: Góc có số đo 16 được đổi sang số đo độ là :
o
o
o
o
A. 33 45' .
B. 29 30 ' .

C. 33 45' .
D. 32 55' .
Câu 4:Cung trịn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là:
2
1
 cm
cm
A. 21 .
B. 32, 45 cm .
C. 2 .
D. 32,5 cm .


Câu 5: Góc lượng giác có số đo 2880 thì có số đo theo rađian là
A. 16 rad
B. 16 rad
C. 16 rad
D. 16 rad
Câu 6 : Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN  5m
AMB theo rad gần bằng
qua sông (như hình vẽ). Biết rằng AB  50m . Số đo cung ¼
số nào trong các số sau?
0

A. 0, 25 rad
B. 0,35 rad
C. 0, 45 rad
D. 0,55 rad
2.3.3.2(Dạng 2) Ghi nhớ công thức lượng giác và áp dụng cơng thức lượng

giác để tính giá trị biểu thức
Phương pháp : Nhớ các công thức lượng giác
Áp dụng công thức để biến đổi bài toán cần làm và kết luận
Các câu hỏi lý thuyết
Câu 1: Xét a là góc tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. sin 2a  sin a cos a.
B. sin 2a  2sin a cos a.
C. sin 2a  4 sin a cos a.
D. sin 2a  2sin a.
Câu 2: Xét a, b là các góc tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.

cos  a  b   cos a sin b  sin a cos b.

B.

cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b.





C.
D.
Câu 3: Xét a, b là các góc tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng ?
cos a  b  cos a sin b  sin a cos b.

cos a  b  cos a cos b  sin a sin b.

ab

ab
ab
a b
sin
.
sin a  sin b  2cos
cos
.
2
2
2
2
A.
B.
ab
a b
a b
a b
sin a  sin b  2sin
sin
.
sin a  sin b  2sin
cos
.
2
2
2
2
C.
D.

Câu 4: Xét a, b là các góc tùy ý sao cho các biểu thức sau đều có nghĩa, mệnh
sin a  sin b  2cos

đề nào dưới đây đúng ?

tan a  tan b
.
1  tan a tan b
A.
tan a  tan b
tan  a  b  
.
1  tan a tan b
C.
tan  a  b  

tan a  tan b
.
1  tan a tan b
B.
tan a  tan b
tan  a  b  
.
1  tan a tan b
D.
tan  a  b  

Các ví dụ minh họa
sin B
 2 cos A

Ví dụ 1. CMR tam giác ABC cân tại B khi: sin C

Phân tích , hướng dẫn giải
Ta có

1
sin B  2sin C.cos A  2. sin  C  A   sin  C  A  
2
.

A  B  C    C  A   – B  sin  C  A  sin    B   sin B

Mà

µ
sin B  sin B  sin  C  A   sin  C  A   0  µA  C
Do đó
. Tam giác ABC cân tại B
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến x :
A  sin x  sin( x 

2
4
)  sin( x  )
3
3

Phân tích , hướng dẫn giải
2 

4 
4 
2 




A  sin x  sin  x 
 sin x 
 sin x  sin x 
 sin x 

3 
3 
3 
3 




2 
2
2 
2 
2



 2sin  x 
 sin x 

 1)  0
cos
 sin x 
(2 cos
3 
3
3 
3 
3




Ví dụ 3: Chứng minh các biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến x :

B  cos 2 x  cos 2 (x 

2
2
)  cos 2 (x  )
3
3

Phân tích , hướng dẫn giải

4 
8 


1  cos  2 x 

1  cos 2 x 


2 
2  1  cos 2 x
3 
3 

2


B  cos 2 x  cos 2  x 


 cos x 

3 
3 
2
2
2


3 1
8 
4  


  cos 2 x  cos  2 x 
 cos 2 x 


2 2
3 
3  




3 1
4

  2 cos  2 x 
2 2
3


4
4   3


 cos 2 x 
.cos
  (dpcm)
3
3   2



Bài tập vận dụng
Câu 1.Trong các công thức sau, công thức nào sai?

2
2
2
2
A. cos 2a  cos a – sin a.
B. cos 2a  cos a  sin a.
2
2
C. cos 2a  2 cos a –1.
D. cos 2a  1 – 2sin a.
Câu 2.Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A.
C.

cos  a – b   cos a.cos b  sin a.sin b.

sin  a – b   sin a.cos b  cos a.sin b.

Câu 3. Rút gọn biểu thức :
A. sin 2a.

B.
D.

cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b.
sin  a  b   sin a.cos b  cos.sin b.

sin  a –17  .cos  a  13  – sin  a  13  .cos  a –17 
1
 .

C. 2

B. cos 2a.


2
cos
5
5 bằng
Câu 4. Giá trị của biểu thức
2
1
1

A. 4 .
B. 4 .
C. 2 .
D.

ta được

1
.
D. 2

M  cos

Cho hai góc nhọn a và b . Biết

Câu 5.

cos  a  b  .cos  a  b 


115
.
144

2.

cos a 

1
1
cos b 
3,
4 .Giá trị

bằng


117
.
144

B.
A.
6
o
6

o
Câu 6. Gọi M  cos 15  sin 15 thì

C.



119
.
144

D.



113
.
144

15 3
1
1
.
M .
M .
2
4
32
A.

B.
C.
D. M  1.
2
4
2

sin 2  4 sin   4sin  .cos 2 

6 thì biểu thức
4  sin 2 2  4 sin 2 
Câu 7. Khi
có giá trị bằng
1
1
1
1
A. 6 .
B. 9 .
C. 12
D. 3 .
M

.

1
3
tan b 
7 và
4 . Tính a  b

Câu 8 . Cho hai góc nhọn a và b với



2
.
.
.
.
A. 3
B. 4
C. 6
D. 3
tan a 

2.3.3.3 (Dạng 3 ) Tính giá trị lượng giác của một góc thỏa mãn điều kiện cho
trước
Phương pháp làm
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
Ví dụ 1 : (Câu 1 phần tự luận đề minh họa của bộ ) Cho
 a

sin a  



3
sin  a  .

.
3

2 Tính giá trị của

3
5 và

Phân tích , hướng dẫn giải

9 16
3
4
 ,
 a
cos a   .
25 25 do
2 nên cos a  0 . Suy ra
5
Ta có




3  4 3
sin  a    sin a cos  cos a sin

.
3
3

10
Từ đó  3 
cos 2 a  1  sin 2 a  1 

Ví dụ 2: Cho

cos  

2
 .
A. 3

3 

1
sin    
2  bằng

3 . Khi đó
1
 .
B. 3

1
.
3
C.

2
.

3
D.

Phân tích , hướng dẫn giải
3 


1




sin      sin    2  sin    cos   .


2 



2





2

Ta có
Ví dụ 3: Cho
32

cos150 

B.

3

Chọn C

2 3

2
. Giá trị của tan15 bằng :
2 3
2

A.
Phân tích , hướng dẫn giải

C.

2 3

2 3
D. 4

tan 2 150 





2
1
4

1


1

2

3
cos 2 150
 tan150  2  3 . Chọn C
2 3

Bài tập áp dụng
Tự luận

3 

2

sin  a  .
 a  .
4 
3 và 2

Câu 1 . Cho
Tính giá trị của 


3
cos  a  .
 a  2 .
6

Câu 2 . Cho tan a  3 và 2
Tính giá trị của
4 

3
cos  a 
 a .
.
3 

2 Tính giá trị của
Câu 3 . Cho cot a  2 và
cos a 

Trắc nghiệm
Câu 4 .Cho góc  thỏa mãn
A.

cos  

1

.
13

B.

cos  

sin  
5
.
13

12

 
13 và 2
. Tính cos  .
5
1
cos    .
cos    .
13
13
C.
D.

5
3
  
3 và

2 . Tính tan  .
Câu 5 .Cho góc  thỏa mãn
3
2
4
2
tan    .
tan  
.
tan    .
tan    .
5
5
5
5
A.
B.
C.
D.
4
2021
2023
tan   
 
3 và
2
2 . Tính sin  .
Câu 6 .Cho góc  thỏa mãn
cos   

3
sin    .
5
A.

3
4
sin   .
sin    .
5 C.
5
B.

4
sin   .
5
D.

2.3.3.4( Dạng 4 )Tính giá trị của một biểu thức lượng giác khi biết điều kiện
nào đó
Phương pháp :Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị
lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần
lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.
tan a + 3cot a
2
A=
tan a + cot a .
3 . Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ 1: a) Cho

sin a - cosa
B =
3
sin a + 3cos3 a + 2sin a
b) Cho tan a = 3. Tính giá trị của biểu thức
3
cot   2 tan 
sin  
C
0
0
5 và 90    180 . Tính giá trị của biểu thức
tan   3cot 
c) Cho
cosa =

Phân tích , hướng dẫn giải
1
1
+2
tan a
cos2 a
A=
=
tan2 a + 3
1
1
=
tan a +
2

tan a + 1
tan a
cos2 a = 1 + 2cos2 a
a) Ta có
tan a + 3

4 17
A = 1 + 2. =
9
9
Suy ra

sin a
cosa
3
cos a cos3 a
B=
tan a ( tan2 a + 1) - ( tan2 a + 1)
sin3 a 3cos3 a 2sin a =
+
+ 3
3
3
tan3 a + 3 + 2tan a ( tan2 a + 1)
cos
a
cos
a
cos

a
b)
B =

Suy ra

3( 9 + 1) -

( 9 + 1)
27 + 3 + 2.3( 9 + 1)

=

2
9

4

 cos  5

9 16
 cos   4
2
2
cos  =1  sin   1 

2
2
5
25 25  

c) sin   cos   1 
4
3
4
 cos  
tan   
cot   
0
0
5 . Do đó:
4 và
3.
Vì 90    180
4
 3
  2.   
3
 4

3
 4
cot   2 tan 
  3.     2
C
4
 3  57
tan   3cot  .
1
3sin4 a - cos4 a =
2 . Tính A = 2sin4 a - cos4 a .

Ví dụ 2: Cho

Phân tích , hướng dẫn giải
3sin4 a - cos4 a =

1
2

2

3sin4 a - ( 1 - sin2 a ) =

1
2

6sin4 a - 2( 1 - 2sin2 a + sin4 a ) = 1  4sin4 a + 4sin2 a - 3 = 0
2
2
2sin2 a + 3 > 0
 ( 2sin a - 1) ( 2sin a + 3) = 0  2sin2 a - 1 = 0

(Do

1
sin a =
2 . Ta lại có
1

4
2

1 1
=
1
=
2 2.
cos2 a = 1 - sin2 a

) . Suy ra
2

Suy ra

ổ1ữ
ử
A = 2ỗ
ữỗ
ỗ
ữ
ố2ứ

Bi tp vn dng
1
cos a .
3 Giá trị của cos 2a bằng
Câu 1(đề minh họa của bộ ) Biết
7
7
1
2