(SKKN 2022) sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ – hình học lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ –
HÌNH HỌC LỚP 10

Người thực hiện: Thịnh Thị Hồng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HÓA, NĂM 2022


MỤC LỤC

Trang


3

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Tốn học là một trong những mơn học khó, học sinh muốn học tốt cần
phải hiểu được bản chất của các vấn đề, biết được định hướng khai thác các tính
chất đặc trưng của bài toán để vận dụng giải các bài tập. Mặt khác bài tập toán
rất đa dạng và phong phú, trong phân phối chương trình số tiết ơn tập lại không
nhiều so với nhu cầu luyện tập các dạng bài tập cho học sinh. Chính vì thế, giáo
viên khi giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiết

một cách tốt nhất, hiệu quả nhất nhằm giúp các em có định hướng trong việc
giải bài tập. Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết sẽ tạo cho
học sinh có cảm giác mình đã giải được bài toán, tạo cho học sinh niềm say mê,
sự hứng thú và u thích mơn học.
Trong chương trình Hình học - lớp 10, chuyên đề về vectơ là một
chuyên đề mới và tương đối khó với học sinh. Các em thường khơng có được
hướng tiếp cận các bài tốn về vectơ để tìm ra định hướng giải, và nhất là đối
với các bài tốn liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ. Ngồi ra trong các
đề thi học sinh giỏi, thi khảo sát kiến thức cuối năm lớp 10 thì các bài tốn
liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ cũng là bài toán ở mức độ vận dụng
hoặc vận dụng cao. Gặp những câu hỏi liên quan đến chủ đề này học sinh
thường lúng túng trong việc tìm ra cách tính tích vơ hướng hai vectơ hoặc các
bài toán liên quan. Bài toán liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ thường
có hai hướng giải quyết; một là sửa dụng định nghĩa của tích vô hướng; hai là
sử dụng biểu thức tọa độ của tích vơ hướng của hai vectơ. Tuy nhiên đối với
hướng giải quyết thứ hai thì học sinh chỉ hay dùng trong các bài toán đã cho
sẵn trong hệ tọa độ, và làm theo cách này thì học sinh cảm thấy việc tìm ra
cách giải bài tốn dễ dàng hơn. Giúp học sinh trong việc chuyển từ bài toán


4

tính tích vơ hướng của hai vectơ theo định nghĩa sang bài toán sử dụng biểu
thức tọa độ là một trong những phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất giúp học
sinh tự tìm tịi và sáng tạo trong việc giải các bài tập liên quan tới vấn đề này.
Qua thực tế 15 năm giảng dạy ở trường trung học phổ thơng tơi đã tìm
tịi và nghiên cứu phương pháp tọa độ hóa để giải các bài tốn liên quan tới
tích vô hướng của hai vectơ, việc chuyển sang hệ tọa độ nhằm giúp học sinh
giải được các bài tập khó liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ trong q
trình ơn tập cuối năm. Vì vậy tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên

cứu là: “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài tốn liên quan
tới tích vơ hướng của hai vectơ – Hình Học lớp 10”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích của đề tài này là giúp các em học sinh chuyển bài tốn tích
tích vơ hướng của hai vectơ theo định nghĩa, sang việc sử dụng biểu thức tọa
độ của tích vơ hướng, nhằm mục đích giải các bài tốn có liên quan tới tích vơ
hướng (như: tính tích vơ hướng của hai vectơ; tìm độ lớn của vectơ ; tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan tới độ dài vectơ). Từ đó các em có thể
phân loại và đưa ra các phương pháp giải các bài tập liên quan tới tích vơ
hướng của hai vectơ một cách nhanh nhất, chính xác và đạt hiệu quả cao nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài tốn liên quan
tới tích vơ hướng của hai vectơ – Hình Học lớp 10” tập trung nghiên cứu
một số kỹ năng chuyển bài tốn sang hệ tọa độ nhằm tìm ra định hướng giải
một số bài tốn về tích vơ hướng của hai vectơ và một số bài tốn liên quan
trong chương trình hình học lớp 10 THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1 Nghiên cứu lí luận.
-Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ cách chuyển bài toán sang bài toán
được cho trong hệ tọa độ nhằm áp dụng để giải các dạng bài tập liên quan tới
tích vơ hướng của hai vectơ nói riêng và bài tập tốn nói chung.


5

1.4.2. Nghiên cứu thực tiễn.
- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa và tìm hiểu chương trình hình học lớp 10
THPT, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng bài
tập có liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ. Từ đó xác định cách chuyển
bài toán sang bài toán cho trong hệ tọa độ và sử dụng các kiến thức trong hệ tọa

độ trong mặt phẳng để vận dụng giải các bài tập nhanh và chính xác nhất.
1.4.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu các học sinh lớp 10 trường
THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá . Trên cơ sở phân tích định tính
và định lượng kết quả thu được trong q trình thực nghiệm sư phạm để đánh
giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp do đề tài sáng kiến đưa ra.
- Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 9 năm 2020 đến tháng 06
năm 2022.
- Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
- Đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài tốn liên quan
tới tích vơ hướng của hai vectơ – Hình Học lớp 10” đã đưa ra một số phân
tích, định hướng và cách nhìn mới trong việc sửa dụng phương pháp tọa độ
hóa để giải một số bài tốn liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ.
- Từ các phân tích định hướng này giúp các em học sinh có thể phân loại và
đưa ra phương pháp giải phù hợp để giải một số dạng bài tập thường gặp về
tích vô hướng của hai vectơ trong các đề thi cuối học kỳ và các kỳ thi học sinh
giỏi lớp 10.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông không chỉ giúp học sinh hiểu
được sâu sắc và đầy đủ các kiến thức toán học phổ thơng mà cịn giúp các em vận
dụng các kiến thức đó giải quyết nhiệm vụ của bài tập tốn. Để đạt được điều đó, học


6

sinh phải có những định hướng đúng đắn nhất trong việc giải tốn. Kỹ năng biến đổi
giả thiết để tìm ra định hướng giải toán là thước đo độ sâu sắc và vững vàng những
kiến thức toán mà học sinh đã được học.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các
khối lớp trong trường tôi nhận thấy việc định hướng tìm ra lời giải của học sinh ,
đặc biệt là học sinh lớp 10 còn tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên
giảng dạy, đặc biệt việc giải các bài tốn khó cịn rất hạn chế. Khi gặp một dạng
bài tập toán học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích, phân loại dạng
bài tập và sử dụng kiến thức liên quan để giải quyết bài tốn đó. Các tài liệu
tham khảo hiện có thường chỉ giải một số bài tập cụ thể, vì vậy học sinh khơng
áp dụng được cho các dạng bài tập ở dạng tương tự. Các năm gần đây, để phân
loại học sinh khá giỏi, trong các đề thi thường xuyên xuất hiện một số câu hỏi
khó liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ và có thể dùng phương pháp tọa
độ hóa để giải. Khi gặp những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụng
nhiều kỹ năng biến đổi vectơ, mà đây là kỹ năng mà học sinh lớp 10 còn chưa
được thành thạo và vận dụng chưa linh hoạt. Tuy nhiên nếu sửa dụng biểu
thức tọa độ thì học sinh sẽ đưa ra được định hướng và cách giải nhanh và chính
xác. Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã viết đề tài “Sử dụng phương pháp tọa
độ hóa để giải một số bài tốn liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ –
Hình Học lớp 10” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về dạng toán
này, phân loại và đưa ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập,
giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng để giải quyết được các câu hỏi ở
mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi cuối kỳ và thi học sinh giỏi
cũng như kỳ thi TN THPT quốc gia.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
2.3.1.[3]. Các kiến thức trọng tâm về phương pháp tọa độ hóa và biểu thức
tọa độ của tích vơ hướng hai vectơ.


7

Oxy

Kết quả 1: Kỹ năng chọn hệ tọa độ

Ox; Oy
vuông góc với nhau tại điểm

thích hợp, đảm bảo được hai trục

O

, và xác định được tọa độ các điểm liên

Oxy.
quan tới bài toán trên hệ tọa độ
Kết quả 2: Tọa độ của các vectơ

Cho hai véctơ

r r r r r
a + b; a − b; k b

r
r
a = ( x1; y1 ) ; b = ( x2 ; y2 )

.

khi đó :

r r
r r

r
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ; a − b = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ) ; k b = ( kx2 ; ky2 ) , k ∈ ¡ .

Oxy
Kết quả 3: Trên mặt phẳng tọa độ
, cho hai véc tơ
r r
rr
a. b
a.b = x1 y1 + x2 y2
Khi đó tích vơ hướng
là
.

Kết quả 4: Độ dài của véc tơ
r
a = x12 + y12

r
a = ( x1; y1 )

r
r
a = ( x1; y1 ) ; b = ( x2 ; y2 ) .

được tính theo cơng thức:

2.3.2. Một số ví dụ về việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số
bài tốn liên quan tới tích vơ hướng của hai vectơ.
Ví dụ 1.[9]: Cho

D

ABCD

và song song với

AC

là hình vng cạnh

M

a

. Đường thẳng

d

. Điểm
di chuyển trên đường thẳng
uuur
uuur uuur
T = MA + 2 MB + MC
nhỏ nhất của biểu thức
?
Phân tích bài tốn:

đi qua điểm

d

. Tìm giá trị


8

+) Vấn đề khó của bài tốn này là cách giải bằng các phép biến đổi vectơ.

Oxy
+) Khi sửa dụng phương pháp tọa độ hóa thì vấn đề nên chọn hệ tọa độ
cho việc tìm tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng

AC

sao

nhanh nhất.

Oxy
Bài giải: Chọn hệ tọa độ

Khi đó ta có

A ( 0;0 ) ; B ( 0; a ) ; C ( a; a ) ; D ( a;0 )

và song song với
Do điểm

Ta có

M

như hình vẽ:

AC

có phương trình

thuộc đường thẳng

d

. Đường thẳng
y = x − a.

nên gọi tọa độ điểm

uuur
uuur uuur
MA + 2MB + MC = ( a − 4 x;7a − 4 x )
uuur
uuur uuur
T = MA + 2MB + MC =

( a − 4x )

2

.

+ ( 7a − 4 x )

ra
suy

= 32 ( x 2 − 2ax + a 2 ) + 18a 2 ≥ 3 2a.

2

M

d

là

đi qua điểm

M ( x; x − a )

.

D


9

Đẳng thức xảy ra khi

x=a

hay điểm

M ≡ D.

uuur
uuur uuur
T = MA + 2 MB + MC
bằng

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 2.[9]: Cho tam giác

ABC

3 2a.

a M
là tam giác đều cạnh bằng ,
là điểm di

AC
động trên đường thẳng
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
T = MA + MB + MC + 3 MA − MB + MC
.
Phân tích bài tốn:

Oxy

+) Đối với bài tập này trước hết ta chọn hệ tọa độ
đường thẳng

AC

sao cho phương trình

đơn giản nhất.

+) Khi đó ta sử dụng các phép toán về tọa độ vectơ và tọa độ điểm để tính giá trị
biểu thức

T

.

+) Kết hợp với phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất để giải quyết bài toán.

Oxy
Bài giải: Chọn hệ tọa độ

như hình vẽ:


10

Khi đó ta có

 a 3a 
A ( 0;0 ) ; B  ;

÷; C ( a;0 )
2
2



AC

Phương trình đường thẳng
Do điểm

M

thuộc đường thẳng

y=0

là

AC

.

.

nên gọi tọa độ điểm

M

là

M ( x;0 )

.

uuur uuur uuur 
3a a 3  uuur uuur uuur  x
a 3
MA + MB + MC =  −3x + ;
÷ MA − MB + MC =  − + a; −
÷
2
2
2
2




Ta có
,
.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
T = MA + MB + MC + 3 MA − MB + MC
Suy ra
2

2

2
2
3a   a 3 
a  a 3


=  −3 x + ÷ + 
÷ + 3  −x + ÷ +  −
÷
2   2 
2  2 



2

2

2
2
a a 3
a  a 3
a 3
a 3


T = 9 −x + ÷ + 
+ 3.
= 2a 3.
÷ + 3  −x + ÷ +  −

÷ ≥
2  2 
2  2 
2
2



x=

Đẳng thức xảy ra khi

a
2

hay điểm

M

là trung điểm của

AC.

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
T = MA + MB + MC + 3 MA − MB + MC
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng

2 3a

.

Ví dụ 3.[9]: Cho hình chữ nhật
động trên đường thẳng

BC

ABCD

AB = 2 AD BC = a M
có
,
.
là điểm di

. Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức


11

uuur
uuur uuur
T = MA + 2 MB + 3MC
.
Phân tích bài tốn:
+) Đây là bài tốn tương tự như ví dụ 1; ví dụ 2, vì vậy giáo viên có thể để học

Oxy
sinh tự định hướng trong việc chọn hệ tọa độ

thích hợp.

+) Sau đó u cầu học sinh nhận xét về kết quả nếu như ta thay đổi việc chọn hệ
tọa độ, và phân tích cách chọn hệ tọa độ tối ưu trong mỗi trường hợp.
Bài giải:

Oxy
Chọn hệ tọa độ

Khi đó ta có

x = 2a

A ( 0;0 ) ; B ( 2a;0 ) ; C ( 2a; a )

, phương trình đường thẳng

BC

là

.

Do điểm

Ta có

như hình vẽ:

M

thuộc đường thẳng

BC

nên gọi tọa độ điểm

uuur
uuur uuur
MA + 2MB + 3MC = ( 4a; −6 y )

uuur uuur uuur
⇒ T = MA + 2 MB + 3MC = 16a 2 + 36 y 2 ≥ 4a.

M

là

M ( 2 a; y )

.


12

Đẳng thức xảy ra khi

y=0

hay điểm

M ≡ B.

uuur
uuur uuur
T = MA + 2 MB + 3MC
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4.[9]: Cho hai điểm
nhỏ nhất của biểu thức

A; B

sao cho

T = 3MA2 + MB 2

bằng

AB = 4a

. Với điểm

M

4a.

tùy ý, tìm giá trị

.

Phân tích bài tốn:
+) Đây là bài toán mà giả thiết cho rất đơn giản; chính vì vậy việc chọn hệ tọa
độ có vai trị quyết định trong bài tốn này.
+) Khi đó ta chọn hệ tọa độ sao cho việc xác định tọa độ hai điểm
đơn giản nhất.

Oxy
Bài giải: Chọn hệ tọa độ

Khi đó ta có

A ( 0;0 ) ; B ( 4a;0 )

như hình vẽ:

. Gọi tọa độ điểm

M

là

M ( x; y )

2
2
T = 3MA2 + MB 2 = 3 ( x 2 + y 2 ) + ( 4a − x ) + ( − y ) 

Ta có
= 4 ( x − a ) + 4 y 2 + 12a 2 ≥ 12a 2 .

2

.

A; B

được


13

Đẳng thức xảy ra khi

x = a; y = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

hay điểm

M

thuộc đoạn

T = 3MA2 + MB 2

bằng

AB

và

BM = 3 AM .

12a 2 .

a M
I
Ví dụ 5.[9]: Cho hình vng
tâm và cạnh bằng . là điểm thỏa
uuur uuur
uuur
uur uuu
r uuur
MA + MC + 2 MB + 2 IC = AB − AD
mãn hệ thức
. Tìm khoảng cách lớn nhất từ
ABCD

điểm

M

tới điểm

D

.

Phân tích bài tốn:
+) Đây là một ví dụ khó, giáo viên phải định hướng cho học sinh trước hết phải

tìm quỹ tích điểm

M

+) Ví dụ này giải bằng phương pháp tọa độ hóa thì học sinh dễ hơn trong việc
định hướng cách giải.

Oxy
Bài giải: Chọn hệ tọa độ

như hình vẽ:

a a
A ( 0;0 ) ; B ( 0; a ) ; C ( a; a ) ; D ( a;0 ) ; I  ; ÷
 2 2
Khi đó ta có
.
Gọi tọa độ điểm

M

là

M ( x; y )

.


14

uuur uuur

Ta có

uuur

uur

MA + MC + 2 MB + 2 IC = ( 2a − 4 x;4a − 4 y )

uuur uuur

uuur

uur

,

uuu
r uuur
AB − AD = ( − a; a )

.

uuu
r uuur

MA + MC + 2 MB + 2 IC = AB − AD

Suy ra

⇔

( 2a − 4 x )

2

+ ( 4a − 4 y ) = a 2 + a 2
2

2

a
a2
2

⇔  x − ÷ + ( y − a) =
2
8


Vậy điểm
IK =
Do

M

.

thuộc đường tròn

a 5
>R
2

nên điểm

I

( C)

tâm

thẳng hàng và điểm

MD = R + KD =
Khi đó

2 5+ 2
4

Vậy khoảng cách lớn nhất từ

R=
và bán kính

nằm ngồi đường trịn

M ; K; D
khi 3 điểm

a 
K  ;a ÷
2 

M

K

( C)

thuộc đoạn

. Do đó

MD

a 2
4

MD

.

lớn nhất

.

.

tới

D

bằng

BC = a

2 5+ 2
4

.

Ví dụ 6.[9]: Cho tam giác ABC có
. Biết rằng tập hợp điểm M sao cho
uuur uuur
2MB 2 + MB.MC = a 2
là một đường trịn. Tìm bán kính của đường trịn đó.
Phân tích bài tốn:


15

+) Đây là một ví dụ hay xuất hiện trong các câu hỏi trắc nghiệm, vì vậy phương
pháp tọa độ hóa sẽ ưu việt hơn khi thời gian định hướng tìm ra lời giải được rút
ngắn hơn.

Oxy
Bài giải: Chọn hệ tọa độ

Khi đó ta có

Ta có

B ( 0;0 ) ; C ( a;0 )

như hình vẽ:

. Gọi tọa độ điểm

M

là

M ( x; y )

.

uuur uuur
2MB 2 + MB.MC = a 2 ⇔ 2 ( x 2 + y 2 ) + ( − x ) ( a − x ) + y 2  = a 2

a
a2
⇔ 3 x + 3 y − ax − a = 0 ⇔ x + y − x − = 0
3
3
2

2

2

2

2

2

Vậy tập hợp điểm M là đường trịn có bán kính

2
a 13
a a
R=  ÷ +
=
.
3
6
6

ABCD
A
B
AB = 2
Ví dụ 7.[9]: Cho hình thang
vng tại
và . Biết rằng
và
uuu
r uuur

uuu
r uuu
r
CB.CD = 6 CA.CB = 9
CD
,
. Tính độ dài cạnh
.
Phân tích bài tốn:
+) Đây là một ví dụ khó, khó ở vấn đề khai thác được giả thiết
uuu
r uuu
r
CA.CB = 9
.

uuu
r uuur
CB.CD = 6

,


16

+) Khi đó sử dụng phương pháp tọa độ hóa thì bài tốn trở nên dễ dàng hơn
nhiều.

Oxy
Bài giải: Chọn hệ tọa độ

Khi đó ta có

như hình vẽ:

A ( 0;0 ) ; B ( 0;2 )

.

C; D
Gọi tọa độ điểm

Ta có

Do

lần lượt là

C ( c;2 ) ; D ( d ;0 ) ,(c > 0; d > 0)

uuu
r
uuu
r
uuur
CA = ( −c; −2 ) ; CB = ( −c;0 ) ; CD = ( d − c; −2 )

.

.

uuu
r uuur
CB.CD = 6
d = 1
−c ( d − c ) = 6
⇔ 2
⇔
r uuu
r
 uuu
c = 9
c = 3
CA.CB = 9

C; D
Vậy tọa độ điểm

là

C ( 3;2 ) ; D ( 1;0 ) ⇒ CD = 2 2.

Ví dụ 8.[9]: Cho hình thang vng

AB = a, CD = b

tuyến

AM

ABCD

. Tìm hệ thức liên hệ giữa

của tam giác

Phân tích bài tốn:

ABC

.

đường cao
a, b, h

để

AD = h

BD

, cạnh đáy

vng góc với trung


17

+) Đây là ví dụ tương tự ví dụ 7; vì vậy giáo viên có thể u cầu học sinh tự tìm
tịi và đưa ra cách giải cho bài tốn.

Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất tích vô hướng của hai vectơ
+)
để khai thác giả thiết hai đường thẳng vng góc.
Bài giải:

Oxy
Chọn hệ tọa độ

như hình vẽ:

D

Khi đó ta có

A ( 0;0 ) ; B ( a;0 ) ; C ( b; h ) ; D ( 0; h )

.

uuuu
r a+b h
 a + b h  uuur
M
; ÷ BD = ( −a; h ) ; AM = 
; ÷
 2 2
 2 2
BC
Ta có trung điểm của
là điểm
;

Do

BD

vng góc với

AM

suy ra

uuur uuuu
r
a+b
h
BD. AM = 0 ⇔ −a.
+ h. = 0 ⇔ h 2 = a 2 + ab.
2
2

Ví dụ 9.[9]: Cho tứ giác

kỳ trên đường thẳng
Phân tích bài tốn:

IJ

IAJB

có các góc

. Chứng minh rằng:

A, B

vng,

IA > IB M
.
là điểm bất

JA MA IA
≤
≤
JB MB IB

.


18

+) Đây là một bài tốn tương đối khó, nếu sử dụng phương pháp vectơ theo định
nghĩa thì rất phức tạp.
+) Đối với bài tốn này ngồi việc chọn hệ tọa độ thích hợp, giáo viên cịn cung
cấp cho học sinh thêm một kỹ năng chuẩn hóa bài tốn (một kỹ năng rất quan
trọng trong các bài toán trắc nghiệm).
Bài giải: Khơng mất tính tổng qt, giả sử

IJ = 2

.

Oxy
Chọn hệ tọa độ

Khi đó ta có

như hình vẽ:

I ( −1;0 ) ; J ( 1;0 )

Gọi tọa độ các điểm
Do các góc
bằng

1

A, B

suy ra

M ( xM ;0 ) ; A ( xA ; y A ) ; B ( xB ; yB )

.

A; B
vng suy ra điểm

thuộc đường trịn tâm

O

và bán kính

xA2 + yA2 = xB2 + yB2 = 1.
2

Ta có

.

2

MA IA
 MA   IA 
2
2
2
2
≤
⇔
÷ ≤  ÷ ⇔ IA .MB ≥ IB .MA
MB IB
 MB   IB 

2
2
2
2
⇔ ( xA + 1) + y A2  ( xB − xM ) + yB2  ≥ ( xB + 1) + yB2  ( x A − xM ) + y A2 

19

⇔ ( 2 x A + 2 ) ( xM2 − 2 xB xM + 1) ≥ ( 2 xB + 2 ) ( xM2 − 2 xA xM + 1)

⇔ x A xM2 + x A − 2 xB xM ≥ xB xM2 + xB − 2 x A xM
⇔ ( xA − xB ) ( xM + 1) ≥ 0 (*)
2

Do

IA > IB

suy ra

x A > xB

(*)

Dấu bằng xảy ra khi điểm

M

trùng với điểm

Chứng minh trương tự ta cũng có được
Ví dụ 10.[9]: Cho hình vng

cho

uuur 1 uuur
AF = AD
3

·
EFM
= 900

ln đúng, chứng tỏ

, khi đó ta có

J

MA IA
≤
MB IB

.

.

JA MA
≤
.
JB MB

ABCD E
AB F
; là trung điểm của

,
là điểm sao

. Xác định vị trí của điểm

M

trên đường thẳng

BC

sao cho góc

.

Phân tích bài tốn:
+) Đây là một ví dụ tương tự ví dụ 9, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn
hệ tọa độ và chuẩn hóa cạnh của hình vng, giúp cho việc tính tốn trở nên dễ
dàng hơn.
+) Ý tưởng chuẩn hóa thường gặp trong các bài tốn mà đáp số khơng phụ thuộc
vào độ dài cạnh của hình vng (như: xác định vị trí điểm; tính số đo góc…)

1
Bài giải: Khơng mất tính tổng qt, giả sử cạnh của hình vng bằng .
Oxy
Chọn hệ tọa độ

như hình vẽ:

20

Khi đó ta có

D ( 0;0 ) ; C ( 1;0 ) ; A ( 0;1) ; B ( 1;1)

Phương trình đường thẳng
Do điểm

M ( 1; y )

Ta có

Do

M

BC

là

x =1

, suy ra

1   2
E  ;1÷; F  0; ÷
2   3

.

di chuyển trên đường thẳng

BC

nên gọi tọa độ điểm

M

là

.

uuu
r  1 1  uuuu
r 
2
FE =  ; ÷; FM = 1; y − ÷.
3
 2 3


uuu
r uuuu
r
1 1
2
5
FE ⊥ FM ⇔ FE. FM = 0 ⇔ +  y − ÷ = 0 ⇔ y = −
2 3

3
6

.

 5
M 1; − ÷
 6
BC
C
M
Khi đó
, suy ra điểm
nằm trên phần kéo dài của
về phía

sao cho

5
CM = BC
6

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm


21

Khi áp dụng đề tài này trong quá trình giảng dạy mơn tốn ở trường trung

học phổ thơng Hoằng Hố 4, tôi thấy học sinh nắm bắt và vận dụng rất nhanh
phương pháp tọa độ hóa, vận dụng linh hoạt các kiến thức về tọa độ vectơ và tọa
độ điểm để áp dụng vào các bài toán liên qua tới tích vơ hướng của hai vectơ.
Ngồi ra học sinh cịn vận dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài tốn
hình học phẳng.
Kết quả những năm trực tiếp giảng dạy chương trình Hình học lớp 10 cụ thể như
sau:
2.4.1.Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.
* Kết quả đạt được trong năm học 2019 - 2020 như sau:
- Kết quả tổng kết cuối năm của lớp giảng dạy.
Lớp

Sĩ số

Kết quả học tập mơn Tốn
Giỏi

10A5 41

10

Khá
24%

21

52%

Trung bình

Yếu

10

0

24%

0%

2.4.2.Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.
* Kết quả đạt được trong năm học 2020-2021 như sau:
- Kết quả tổng kết cuối năm của các lớp giảng dạy.
Lớp

Sĩ số Kết quả học tập mơn Tốn
Giỏi

10A3 43

32

Khá
76%

11

24%

Trung bình

Yếu

0

0

0%

0%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Trong đề tài này với khả năng còn hạn chế và thời gian khơng cho phép, vì
vậy tơi chỉ đưa ra được một số ví dụ điển hình về dạng bài tập, số lượng bài tập
chưa nhiều và phong phú. Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi giới thiệu đề tài


22

này cho học sinh thì các em tự tin hơn trong việc giải một số bài tốn khó liên
quan tới tích vơ hướng của hai vectơ, tìm ra định hướng giải nhanh hơn cho kết
quả chính xác.

3.2 Kiến nghị
Đề tài có thể phát triển và bổ sung thêm về ứng dụng của phương pháp tọa
độ hóa để giải các bài tốn về hình học phẳng, và mở rộng cho phương pháp tọa
độ hóa hình học khơng gian trong chương trình tốn học phổ thơng trong những
năm tiếp theo.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên

tôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ cịn có những thiếu sót. Tơi rất mong được
sự nhận xét và góp ý chân thành của hội đồng khoa học ngành, các đồng chí
đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hồn chỉnh hơn.

Tơi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 21 tháng 05 năm 2022

HIỆU TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Thịnh Thị Hồng


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Hình học 10 (Trần Văn Hạo).
[2]. Sách bài tập Hình Học 10 (Nguyễn Mộng Hy).
[3]. Tài liệu chun tốn Hình Học 10 (Đồn Quỳnh).
[4]. Tài liệu chun tốn bài tập Hình học 10 (Đoàn Quỳnh).
[5]. Rèn luyện luyện tư duy qua việc giải bài tập tốn (Nguyễn Thái Hịe).
[6]. Sáng tạo tốn học (G.POLYA).
[7]. Tốn học và những suy luận có lý (G.POLYA).
[8]. Giải bài toán như thế nào (G.POLYA).
[9]. Các đề thi cuối kỳ và các đề khi khảo sát chất lượng lớp 10 của các trường
THPT và các Sở GD & ĐT.

CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN
Năm học

Tên sáng kiến kinh nghiệm

“Khai thác tính chất hàm đặc
2019-2020 trưng để giải một số bài toán liên
quan tới lũy thừa và lơgarit – Giải
tích lớp 12”

Số quyết định.
2088/QĐ-SGDĐT ngày 22/12/2020
Xếp loại: C