Khóa luận tốt nghiệp Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (636.64 KB, 68 trang )
Mục lục
LỜI CẢM ƠN
2
MỞ ĐẦU
4
Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Đối tượng, phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
NỘI DUNG
7
1
Kiến thức liên quan
8
1.1
Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ . . . . . . . . . . .
8
1.3
Phép toán vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Khái niệm hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6
Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ . . . . . . . . . . . 13
1.7
Các phép toán vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2
Một số dạng bài toán giải bằng phương pháp tọa độ
2.1
19
Các bài toán hình học chứng minh, tính toán . . . . . . . . . . . 19
1
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
3
2.1.1
Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm cố định . . . . . . 23
2.2.1
Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1
Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1
Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Bài toán giải phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . 30
2.5.1
Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình . . . . . . . 33
2.6.1
Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bài toán chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.1
Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8.1
Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8.2
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Một số bài tập vận dụng
43
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
67
TÀI LIỆU THAM KHẢO
68
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
2
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo- Thạc Sỹ
Nguyễn Quốc Tuấn- người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận tốt nghiệp.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến những thầy cô đã giảng dạy em trong
bốn năm qua, những kiến thức mà em tiếp thu được trên giảng đường Đại học
sẽ là hành trang giúp em vững bước trong tương lai.
Em cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các anh chị khóa trước đã giúp đỡ và cho
em những lời khuyên về chuyên môn trong quá trình thực hiện khóa luận.
Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả bạn bè, gia đình,
những người luôn kịp thời động viên và giúp đỡ em vượt qua những khó khăn
trong cuộc sống.
Em xin chân thành cám ơn!
Sinh viên
Bùi Thị Mãnh
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
3
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Phần I: MỞ ĐẦU
4
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
I. Lí do chọn đề tài
Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định những kiến thức về vectơ,
tọa độ của môn học hình học giải tích là cần thiết và có hiệu quả khi giải một số
dạng bài toán sơ cấp. Chính vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất
cần thiết.
Hình học giải tích đươc sáng lập ra do hai nhà bác học người Pháp: Descartes
(1596 − 1650) và Ferma(1601 − 1655). Cốt lõi của phương pháp này là xác lập
một sự tương ứng giữa các cặp số thực có thứ tự với các vectơ, các điểm trong
mặt phẳng hay không gian; nhờ đó, chúng ta có thể sắp xếp một sự tương ứng
giữa các dữ kiện cố định của bài toán giúp cho việc giải một bài toán hình học
được chuyển sang tính toán một cách định lượng.
Gần đây, trong nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các
tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan đến hình học nhưng được
giải bằng phương pháp tọa độ. Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình. Hay đó là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài
toán cực trị.
Với các lí do đó đã gợi cho em đề xuất đề tài "Ứng dụng của phương pháp
tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp".
Qua việc nghiên cứu nội dung này, em đã có điều kiện củng cố lại kiến thức
đã học, bổ sung thêm nhiều điều bổ ích.
II. Mục đích nghiên cứu
Với các lý do như ở trên em đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau:
- Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ.
- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, để từ đó thấy dược tầm quan trọng và
tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
5
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài toán sử
dụng phương pháp tọa độ để giải.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán sơ cấp.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phương pháp tọa độ để
rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng
của phương pháp tọa độ.
V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan tới
ứng dụng của phương pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và
các bạn bè, anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên
cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp với đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình
thức của khóa luận.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
6
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Phần II: NỘI DUNG
7
Chương 1
Kiến thức liên quan
A. HỆ TỌA ĐỘ PHẲNG
1.1
Khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng
Hệ tọa độ afin (O; i; j) có cơ sở (i; j) gồm hai vectơ đơn vị vuông góc với
nhau được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ Descartes vuông
góc). Kí hiệu: Oxy
1.2
Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ
Trong hệ trục tọa độ (O; i; j)
Nếu a là một vectơ bất kì có a = xi + y j thì cặp số (x, y) được gọi là tọa độ
của a. Kí hiệu: a = (x, y).
−−→
Nếu một điểm M bất kì trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn: OM = xi + y j thì
tọa độ điểm M là M(x, y).
8
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
1.3
Phép toán vec tơ
Trong mặt
phẳng Descartes cho các vectơ: a = (a1 , a2 ); b = (b1 , b2 ). Ta có:
a =b
1
1
a = b⇔
a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 )
a =b
2
2
a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 )
| a |=
ka = (ka1 , ka2 )
a21 + a22
a//b⇔ a = kb hay
a1 a2
b1 b2
Nếu a, b = 0 thì: cos(a, b) =
=0
a ⊥ b⇔ a1 b1 + a2 b2 = 0
a1 b1 + a2 b2
a21 + a22 . b21 + b22
−
→
Trong mặt phẳng Oxy với A(xA , yA ), B(xB , yB ) thì tọa độ của vectơ AB là
−
→
AB = (xB − xA , yB − yA ).
1.4
Các công thức
Công thức trung điểm, trọng tâm
xI = xA + xB
2
Điểm I là trung điểm đoạn AB ⇔
y
+
yB
A
y =
I
2
xG = xA + xB + xC
3
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔
y = yA + yB + yC
G
3
xA − kxB
x
=
M
−→
−→
1−k
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = 1 ⇔ MA = kMB⇔
y
− kyB
yM = A
1−k
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
9
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy
Đường thẳng d đi qua M(x0 , y0 ) nhận u(a, b) làm vectơ chỉ phương sẽ có
phương trình tham số là:
x = x + at
0
,
y = y + bt
t ∈R
0
x − x0 y − y0
=
, (a, b = 0).
a
b
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA , yA ), B(xB , yB ) là:
x − xA
y − yA
=
(Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0).
xB − xA yB − yA
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy có dạng:
và có phương trình chính tắc là:
Ax + By +C = 0,
A2 + B2 = 0
Từ phương trình tổng quát ta có một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u =
(−B, A) và một vectơ pháp tuyến là n = (A, B).
Đường thẳng d đi qua M(x0 , y0 ) và có hệ số góc k cho trước là:
y = k(x − x0 ) + y0
Phương trình đường thẳng đi qua A(a, 0), B(0, b) (A, B = O(0; 0)) có phương
trình:
x y
+ = 1 ( còn gọi là phương trình đoạn chắn).
a b
Cho đường thẳng d có phương trình dạng: Ax + By +C = 0 hoặc y = kx + m
.
+ Đường thẳng song song với d có phương trình dạng: Ax + By + M = 0
hoặc y = kx + n.
+ Đường thẳng vuông góc với d có phương trình dạng: Bx − Ay + N = 0
1
hoặc y = − x + q, (k = 0).
k
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
10
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
+Công thức cosin: Cho hai đường thẳng
d1 : A1 x + B1 y +C2 = 0, d2 : A2 x + B2 y +C2 = 0
| A1 A2 + B1 B2 |
⇒ cos(d1 , d2 ) =
A21 + B21 . A22 + B22
+Công thức tan: Cho hai đường thẳng
d1 : y = k1 x + b1 , d2 : y = k2 x + b2 ⇒ tan(d1 , d2 ) =
k2 − k1
1 + k1 k2
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong hệ tọa độ đề các xét hai đường thẳng:
d1 : A1 x + B1 y +C1 = 0
d2 : A2 x + B2 y +C2 = 0
Đặt: D =
A1 B1
, Dx =
A2 B2
C1 B1
C2 B2
, Dy =
A1 C1
A2 C2
+d1 cắt d2 ⇔ D = 0
D=0
+ d1 //d2 ⇔
Dx = 0 ∨Dy = 0
+d1 ≡ d2 ⇔ D = Dx = Dy = 0
+ d1 ⊥ d2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0
Chùm đường thẳng
Tập hợp các đường thẳng đi qua một điểm S được gọi là một chùm đường
thẳng tâm S.
Nếu (d1 ): A1 x + B1 y + C1 = 0, (d2 ): A2 x + B2 y + C2 = 0 là phương trình
hai đường thẳng qua S thì: α(A1 x + B1 y + C1 ) + β (A2 x + B2 y + C2 ) = 0, với
α 2 + β 2 = 0, là phương trình của một đường thẳng qua S.
Nếu α = 0 thì phương trình đường thẳng viết lại thành:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
11
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
A1 x + B1 y +C1 + µ(A2 x + B2 y +C2 ) = 0, trong đó: µ =
β
α
là phương trình đường thẳng qua S, trừ d2 .
Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I(a, b), bán kính R > 0 có phương trình:
(x − a)2 + (y − b)2 = R2 hay x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0
với c = a2 + b2 − R2 .
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Cho đường tròn (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 .
Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(x0 , y0 ) ∈ (C) có phương trình là:
(x0 − a)(x − a) + (y0 − b)(y − b) = R2
Phương tích của một điểm đối với đường tròn:
Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 .
Phương tích của điểm M(x0 , y0 ) đối với (C):
PM/(C) = x02 + y20 − 2ax0 − 2by0 + c
+ PM/(C) > 0 ⇔ M ở bên ngoài đường tròn (C).
+ PM/(C) < 0 ⇔ M ở bên trong đường tròn (C).
+ PM/(C) = 0 ⇔ M nằm trên đường tròn (C).
Trục đẳng phương của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ): Tập hợp tất cả các điểm
có cùng phương tích đối với hai đường tròn.
Cho hai đường tròn có phương trình:
(C1 ) : x2 + y2 − 2a1 x − 2b1 y + c1 = 0 và (C2 ) : x2 + y2 − 2a2 x − 2b2 y + c2 = 0.
Phương trình trục đẳng phương của (C1 ) và (C2 ) có được bằng cách trừ hai
phương trình của hai đường tròn vế theo vế:
2(a1 − a2 )x + 2(b1 − b2 )y + c1 − c2 = 0.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
12
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Phương trình các đường cônic
Phương trình chính tắc của parabol:
Phương trình chính tắc của elip:
Phương trình chính tắc của hypebol:
y2 = 2px, (p > 0).
x 2 y2
+ = 1, (a > b > 0).
a2 b2
x 2 y2
− = 1.
a2 b2
B. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.5
Khái niệm hệ tọa độ trong không gian
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một.
Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descarte vuông góc Oxyz
trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ Oxyz.
1.6
Tọa độ của một điểm. Tọa độ của một vectơ
Trong không gian Oxyz
−−→
Cho một điểm M tùy ý. Khi đó ta có: OM = xi + y j + zk và gọi bộ ba số (x,
y,z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho. Kí hiệu: M(x, y,
z).
Cho vectơ a với a = a1 i + a2 j + a3 k .
Khi đó bộ ba số (a1 , a2 , a3 ) được gọi là tọa độ của vectơ a đối với hệ trục tọa độ
Oxyz cho trước. Ta viết: a = (a1 , a2 , a3 ).
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
13
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
1.7
Các phép toán vectơ
Các phép tính
Trong không gian cho các vectơ: a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) và cho các
điểm A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ). Ta có:
a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) ;
ka = (ka1 , ka2 , ka3 ).
−
→
AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).
a21 + a22 + a23 ;
a = b1
1
a = b⇔ a2 = b2
a3 = b3
| a |=
−
→
| AB |=
a//b ⇔ a = kb.
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
−→
−→
Điểm M(x, y, z) chia đoạn thẳng
AB theo tỉ số k: MA = kMB, (k = 1) được
x1 − kx2
x
=
1−k
y1 − ky2
xác định bởi công thức:
y=
1−k
z
− kz2
1
z=
1−k
Đặc biệt, nếu k = −1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó, tọa độ
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
của trung điểm AB là:
M(
,
,
).
2
2
2
Công thức tính tích của hai vectơ:
+ Tích vô hướng:
a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
a⊥b ⇔ a.b = 0.
Đặc biệt, nếu
a = 0, b = 0 thì cos(a, b) =
a.b
| a | .| b |
.
+Tích vectơ( hay tích có hướng)
c = a∧b =
Các tính chất
a2 a3
b2 b3
;
a3 a1
b3 b1
;
a1 a2
b1 b2
.
a ∧ b = −(b ∧ a).
a và b cùng phương ⇔ a ∧ b = 0.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
14
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
(a ∧ b) ⊥ a và (a ∧ b) ⊥ b.
| a ∧ b |=| a | . | b | . sin(a, b).
Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔ (a ∧ b).c = 0.
Ứng dụng của các phép toán và các công thức liên quan
Ứng dụng của tích vectơ
−
→ −→
Gọi SABCD là diện tích hình bình hành ABCD, ta có: SABCD =| AB ∧ AD |.
1 −
→ −
→
Gọi SABC là diện tích tam giác ABC, ta có:
SABC = | AB ∧ AC |.
2
Gọi VABCD.A B C D là thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:
−
→ −→ −→
VABCD.A B C D =| (AB ∧ AD).AA |.
Gọi VABCD là thể tích hình tứ diện ABCD ta có:
1 −
→ −→ −→
VABCD = | (AB ∧ AD).AA |.
6
Công thức trọng tâm
G là trọng tâm tam giác ABC
xA + xB + xC yA + yB + yC zA + zB + zC
⇔ G(
,
,
).
3
3
3
G là trọng tâm tứ diện ABCD
xA + xB + xC + xD yA + yB + yC + yD zA + zB + zC + zD
⇔ G(
,
,
).
4
4
4
Công thức phương trình mặt phẳng
Măt phẳng (P) đi qua M(x0 , y0 , z0 ) có vectơ pháp tuyến n(A, B,C) có phưng
trình là: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 +
B2 +C2 > 0).
Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo thứ tự tại các điểm
A(a, 0, 0), B(0, b, 0),C(0, 0, c) với abc = 0 thì (P) có phương trình theo đoạn
x y z
chắn là:
+ + = 1.
a b c
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng α và β có phương trình tổng quát
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
15
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
là:
A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0
Gọi n1 (A1 , B1
,C1 ) và n2 (A2 , B2 ,C2 ) là vectơ pháp tuyến của α và β , ta có:
n = kn
1
2
α//β ⇔
α ⊥ β ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ n1 .n2 = 0
D = kD
1
2
n = kn
1
2
α cắt β ⇔ n1 = kn2
α ≡β ⇔
D = kD
1
2
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M(x0 , y0 , z0 ) đến mặt phẳng α : Ax + By +Cz + D = 0
được tính bởi công thức:
d(M, α) =
| Ax0 + By0 +Cz0 + D |
√
A2 + B2 +C2
Chùm mặt phẳng
Mọi mặt phẳng của chùm xác định bởi hai mặt phẳng α và β đều có phương
trình dạng:
α(A1 x + B1 y +C1 z + D1 ) + β (A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0
hoặc (trừ mặt phẳng β ):
A1 x + B1 y +C1 z + D1 + µ(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0
Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình tham số và phương trình chính tắc
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0 , y0 , z0 ) và nhận vectơ
a(a1 , a2 , a3 ) = 0 làm vectơ chỉ phương thì :
∆ có phương trình tham số là:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
16
x = x0 + a1t
y = y0 + a2t .
z = z0 + a3t
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
hoặc ∆ có phương trình chính tắc là:
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
.
a1
a2
a3
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua hai điểm M(x0 , y0 , z0 ), M (x0 , y0 , z0 )
và có vectơ chỉ phương lần lượt là a(a1 , a2 , a3 ), a (a1 , a2 , a3 ). Đặt n = a ∧ a ta
có các điều kiện
sau:
n=0
d//d ⇔
M∈
/d
n=0
d≡d ⇔
M∈d
−−→
d, d’ chéo nhau ⇔ n.MM = 0
d cắt d’ ⇔ a.a = 0
d ⊥ d ⇔ a.a = 0
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua M(x0 , y0 , z0 ) và có vectơ chỉ phương là a(a1 , a2 , a3 )
và cho mặt phẳng α có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi n(A, B,C) là
vectơ pháp tuyến
của α. Ta có các điều kiện sau:
a.n = 0
a.n = 0
d⊂α ⇔
d//α ⇔
M∈α
M∈
/α
d cắt α ⇔ n.a = 0
d ⊥ α ⇔ n = ka
Công thức tính khoảng cách
Để tính khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng ∆ ta sử dụng công
thức sau:
−→
[MA; u]
d(A, ∆) =
|u|
Để tính khoảng cách giữa một đường thẳng ∆ và một mặt phẳng α//∆ ta
thực hiện các bước:
+Lấy một điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) tùy ý trên ∆.
+Khoảng cách giữa ∆ và α chính là khoảng cách từ M0 đến α: d(∆, α) =
d(M0 , α).
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆ ta thực hiện
các bước:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
17
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
+Viết phương trình mặt phẳng α chứa ∆ và song song với ∆ .
+Lấy một điểm M0 (x0 , y0 , z0 ) tùy ý trên ∆ . Khoảng cách giữa ∆ và ∆ chính
là khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng α:
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
18
d(∆, ∆ ) = d(M0 , α).
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Chương 2
Một số dạng bài toán giải
bằng phương pháp tọa độ
2.1
Các bài toán hình học chứng minh, tính toán
2.1.1
Phương pháp giải
Đối với bài toán hình học muốn giải được bằng phương pháp tọa độ hóa các
bước giải cần tuân thủ theo các bước sau:
B1 . Chọn hệ tọa độ thích hợp
Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng
vuông góc với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đường thẳng đó.
Trong không gian, thông thường chọ hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy, Oz
là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông. Gắn các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp.
B2 .Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ tọa độ vừa chọn. Tìm
phương trình đường, mặt, các đường và các mặt đã cho.
B3 . Sử dụng kiến thức hình học giải tích để giải.
19
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
2.1.2
Các ví dụ
Ví dụ 1. ( Thi vào chuyên Toán PTNK năm học 2009 − 2010)
Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên
đường tròn (O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi H là chân đường
cao của tam giác ABC hạ từ C. Hạ HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng.
Các đường thẳng EF và AB cắt nhau tại K. Gọi D là giao điểm của (O) và
đường tròn đường kính CH, D = C. Chứng minh rằng K, D, C thẳng hàng.
Bài này hình vẽ khá rắc rối và có thể ít khi nào các bạn nghĩ tới phương
pháp tọa độ mà nghĩ tới các phương pháp khác, tuy vậy nếu biết cách chọn
trục một cách khéo léo thì dùng phương pháp tọa độ ta giải bài toán này
mà không phải tính toán quá nhiều.
Lời giải
Đối với bài toán này, ta chọn trục như sau:
H(0; 0), O(a; 0), A(−1 + a; 0), B(1 + a; 0) và C(0, b).
Khi đó:
b2 =| (−1 + a)(1 + a) |= 1 − a2 .
Khi đó:
Phương trình đường tròn (I):
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
b
x2 + (y − )2
2
20
b2
= .
4
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Phương trình đường tròn (O):
(x − a)2 + y2 = 1.
Đường thẳng CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (O) nên có
b2
b2
2
phương trình là:
−2ax + a + by − = 1 − ⇔ 2ax − by + b2 = 0.
4
4
y
x
+ = 1 ⇔ bx + (a − 1)y = b(a − 1).
Phương trình đường thẳng AC là:
(a − 1) b
Phương trình đường thẳng HE:
(a − 1)x − by = 0.
2
b b(1 − a)
Suy ra tọa độ điểm E:
(− ;
).
2
2
b
y
−
x
2
.
=
Suy ra phương trình đường thẳng EF:
2
b(1 − a) b
b
−
−
2
2
2
2
−b
Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là K(
; 0).
2a
Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa mãn phương trình đường thẳng CD, suy ra K
thuộc CD.
Vậy ba điểm K, C, D thẳng hàng.
Nhận xét
Bài toán trên là bài toán khá hay và có nhiều cách giải. Trong cách giải
bằng phương pháp tọa độ như trên nhận xét CD là trục đẳng phương của hai
đường tròn (I) và (O) là khá quan trọng, giúp ta giảm nhiều trong tính toán.
Ví dụ 2 (TSĐH- Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
√
a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm BM và AC. Chứng minh mặt phẳng
(SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
21
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (O ≡ A).
Gọi E là giao điểm của AC và BD. Ta có:
√
√
A(0; 0; √
0), B(a; 0; 0),C(a;
a
2;
0),
D(0;
a
√
√ 2; 0), S(0; 0;
√a),
a a 2 a
a a 2
a 2
a a 2
N( ;
; ), E( ;
; 0), M(0;
; 0) và I( ;
; 0), vì I là trọng tâm
2 2 2
2 2
2
3 3
của ∆ABD.
*) Chứng minh:
(SBM)
√ ⊥ (SAC).
√
a 2
−
→
−→
Ta có
BM = (−a;
; 0), AC = (a; a 2; 0)
2
→
−→ −
⇒ BM.AC = 0 ⇒ BM ⊥ AC.
Mặt khác:
Từ đây suy ra
SA ⊥ (ABCD) nên BM ⊥ SA.
BM ⊥ (SAC)
⇒ (SBM) ⊥ (SAC) (đpcm).
*) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
√
√
a a 2
a a 2 a
−
→
→
−
−→
Ta có
AB = (a; 0; 0), AI = ( ;
; 0) và AN = ( ;
; )
3 3√
2 2 2
a2 a2 2
−
→ −→
⇒ AB, AN = (0; − ;
).
2
2
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
22
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
√
a3 2
1 −
→ −→ →
−
AB, AN .AI =
V=
(đvtt).
6
36
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là:
2.2
Bài toán chứng minh đường đi qua một điểm
cố định
2.2.1
Phương pháp
Điểm M(x0 , y0 ) được gọi là điểm cố định của họ đồ thị y = f (m, x), (m ∈ T
là tham số) nếu mọi đồ thị của họ đó ứng với mọi giá trị m ∈ T đều đi qua M.
2.2.2
Các ví dụ
Ví dụ 3
Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là
hai điểm thuộc Ox, Oy. Chứng minh rằng đường d kẻ từ B vuông góc với đường
chéo AC luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn
- Bài toán này có dáng dấp của một bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế
rất thuận tiện khi ta đại số hóa bằng phương pháp tọa độ.
- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục tọa độ là Oxy trùng với góc Oxy.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
23
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Lời giải:
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ).
- Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a; 0), B(a; c),C(0; c).
a + c = b = const ( vì chu vi OABC không đổi).
x y
−c
Phương trình đường thẳng AC theo đoạn chắn là: + = 1 ⇔ y =
x + c.
a c
a
Phương trình đường thẳng d qua B(a; c) và vuông góc với AC có dạng:
a
a
a2
y − c = (x − a) ⇔ y = x + c −
c
c
c
a
a
do a + c = b
⇒ y = x + b(1 − )
c
c
Giả sử d đi qua điểm cố định M(x0 ; y0 ).
a
a a
Khi đó: y0 = x0 + b(1 − ),∀
c
c c
a
a
⇔ (x0 − b) − (y0 − b) = 0, ∀
c
c
x =b
x −b = 0
0
0
⇔
⇒
y =b
y −b = 0
Đặt
0
0
Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua điểm cố định M(b; b). (đpcm)
Ví dụ 4
Cho tam giác vuông tại A không phải vuông cân, trên cạnh AB và AC lấy M,
N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua
một điểm cố định.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
24
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp"
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ như sau: A(0; 0), B(0; b) và C(0; 1), M(0; m) thay đổi
trên cạnh AB với 0 < m < b = 1.
Ta có MB = CN, suy ra N(1 + m − b, 0).
1+m−b m
Suy ra trung điểm P của MN có tọa độ P
;
.
2
2
−−→
và MN = (1 + m − b; −m).
Suy ra phương trình đường trung trực của MN là:
1+m−b
m
(1 + m − b) x −
−m y−
= 0.
2
2
1
hay
m(x − y − 1 + b) + (1 − b)x − (1 − b)2 = 0.
2
Từ đây ta thấy đường thẳng này luôn đi qua điểm cố định
2.3
Bài toán quỹ tích
2.3.1
Phương pháp giải
I(
1−b b−1
;
).
2
2
B1 . Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần
thiết.
B2 . Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ
tích của nó.
GVHD: ThS. Nguyễn Quốc Tuấn
25
SVTH: Bùi Thị Mãnh
Lớp ĐHSP Toán- Lý K50
