(SKKN 2022) Kinh nghiệm sử dụng vectơ tính góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Chủ đề xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong chương trình THPT là chủ đề đã có từ
lâu, nhưng để sử dụng vectơ tính các góc trong khơng gian là một phần mà chương
trình sách giáo khoa, cũng như các tài liệu tham khảo chưa đề cập tới nhiều. Vì vậy
việc dạy học phần tính góc trong khơng gian thường có những khó khăn nhất định.
Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy tốn liên quan đến tính góc trong khơng gian
ln là một dạng tốn khơng dễ. Chẳng hạn các em thường lúng túng trong việc
cách xác định góc tạo bởi hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng,
góc giữa hai mặt phẳng. Khi dùng phương pháp xác định và tính góc thường các
em khơng xác định được góc và có xác định được cũng lúng túng trong việc tính
tốn các yếu tố có liên quan …
Là một giáo viên Tốn, tơi thiết nghĩ mình cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết và
kĩ năng về sử dụng vectơ để tính góc trong khơng gian và giúp học sinh tránh
những sai lầm khi giải bài toán liên quan.
Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là:
“Kinh nghiệm sử dụng vectơ tính góc giữa hai đường thẳng; góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là xây dựng một hệ thống bài tập về tính góc giữa hai
đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong
Chương III - Hình học lớp 11 nhằm định hướng hình thành và phát triển cho học
sinh những năng lực, kỹ năng sau đây:
- Năng lực tư duy, năng lực tính tốn.
- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về vectơ trong Hình học lớp 10 và Hình
học lớp 11 vào giải các bài tốn về góc trong khơng gian.
- Phát triển trí tưởng tượng khơng gian, kỹ năng biểu thị 1 vectơ qua 3 vectơ
không đồng phẳng.
- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn.
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học.

-1-


1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ thống bài tập về tính các góc trong
khơng gian trong Chương III – Hình học lớp 11 được thiết kế theo định hướng phát
triển các năng lực Tốn học của học sinh, qua đó khẳng định sự cần thiết phải xây
dựng hệ thống bài tập này trong giảng dạy phần tính góc trong khơng gian Hình
học lớp 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo
sát thực tế dạy học tốn nói chung và dạy học phân mơn Hình học khơng gian ở
trường THPT Nơng Cống 4 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc xây dựng
hệ thống bài tập về góc trong không gian sử dụng phương pháp véc tơ trong
Chương III - Hình học khơng gian lớp 11 trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Trên cơ sở tài liệu phân
phối chương trình mơn học, chuẩn kiến thức – kỹ năng, sách giáo khoa Hình học
11 – Nâng cao và tài liệu về Dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh
để xây dựng hệ thống bài tập theo mục đích đã đặt ra.
1.5. Điểm mới của đề tài
- Điểm mới của đề tài là việc tác giã xây dựng ý tưởng sử dụng vectơ để tính
góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt
phẳng.

2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Một trong những phương pháp sử dụng có hiệu quả là phương pháp vectơ.
Phương pháp này xuyên suốt chương trình THPT, vì phương pháp này đơn giản và
phù hợp với tư duy của học sinh. Trên thực tế đa số học sinh rất ngại giải các bài

tốn có liên quan đến tính góc trong khơng gian.
2.2. Thực trạng của vấn đề.
2.2.1. Thực trạng chung.
Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thơng là: Coi trọng
thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trình tinh giảm,
-2-


giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản và thiết thực, tích
hợp được nhiều mặt giáo dục. Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứng cần
truyền thụ cho học sinh trong chương trình phổ thơng là hồn tồn mới.
2.2.2. Thực trạng đối với giáo viên.
Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này, bởi vì
để tính được góc giữa hai đường thẳng chéo nhau, góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng, góc giữa hai mặt phẳng thường phải thực hiện theo hai bước: Dựng góc cần
tính và tính số đo góc vừa dựng được. Tuy nhiên, có một số bài tốn sẽ gặp khó
khăn trong bước dựng hoặc dựng được nhưng tính góc đó lại phức tạp.
2.2.3. Thực trạng đối với học sinh.
Hình học khơng gian và đặc biệt là chủ đề Góc trong khơng gian là một nội
dung kiến thức hay, qua việc giải các bài tập có thể hình thành và phát triển ở
người học năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề … Tuy nhiên với rất nhiều
các em học sinh thì đây lại là chủ đề mà các em thấy khó khăn, kém hứng thú khi
học tập, giải quyết các vấn đề của bài toán. Nhưng khi sử dụng phương pháp vectơ
các em có sự hứng thú khi gặp dạng toán này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các kiến thức cần nắm vững.

r
r
Định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ: Cho hai vectơ a và b khác vectơ

r
r
r
rr
.
Tích
vơ
hướng
của
và
là
một
số
được
ký
hiệu
là
0
a
b
a.b , được xác định bởi
rr r r
r r
công thức sau: a.b = a . b cos a, b

( )

r
r
Hai véc tơ vng góc với nhau: Cho vectơ a và b vng góc với nhau thì

rr
a.b = 0 .

r
Bình phương vơ hướng của vectơ: a

( )

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

2

r2
=a .

r r
r
Định lý 1: Trong không gian cho hai vectơ a, b khơng cùng phương và c .
r rr
Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho
r
r
r
c = m.a + n.b . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.
-3-


r rr
Định lý 2: Trong không gian cho ba vectơ khơng đồng phẳng a, b, c . Khi đó

r
r
r r
r
với mọi vectơ u ta đều tìm được một bộ ba số x, y, z sao cho u = xa + yb + zc .
Ngoài ra bộ ba số x, y, z là duy nhất.
2.3.2. Tính góc giữa hai đường thẳng.
Bài tốn: Trong khơng gian cho hai đường thẳng ∆ và d . Gọi α là góc giữa ∆ và
d . Tính góc α .
Hướng dẫn.

r rr
Bước 1: Chọn hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng a, b, c thoả mãn:
r r r
a
+ , b , c tính được.
rr rr rr
+ a.b, b.c, c.a tính được.
r r
Bước 2: Gọi u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và d .
r r
r rr
r
r
r
r
+ Biểu diễn u , v qua ba vectơ a, b, c ( giả sử u = m.a + n.b + p.c
r
r
r

r
v = x.a + y.b + z.c )
r2 r
+ Tính u = u

r
r
r
= m.a + n.b + p.c

( ) (
2

)

2

r
r2 r
⇒ u và v = v

rr
r
r
r
r
r
r
u
.

v
=
m
.
a
+
n
.
b
+
p
.
c
x
.
a
+
y
.
b
+
z
.
c
+ Xét
.

(

)(

r
r
r
= x.a + y.b + z.c

( ) (
2

)

2

và

r
⇒v.

)

rr
u.v
r r
Khi đó ta có cos α = cos u, v = r r .
u.v

( )

Ví dụ 1.1. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên
bằng a 2 . Tính cơsin góc giữa hai đường thẳng AB và SC .

A.

2
.
4

B.

3
.
4

C.

Phân tích theo phương pháp vectơ:

-4-

2
.
3

D.

3
.
3


S

B

C

O

A

D

uuu
r uuu
r uuur
- Ta nhận thấy các vectơ SO, AB, AD đơi một vng góc với nhau và độ dài các
vectơ này tính được.

uuu
r uur
- Biểu diễn các vectơ AB, SC qua 3 vectơ đó.
uuu
r uur
- Tính độ dài các vectơ AB, SC
uuu
r uur
- Tính tích vơ hướng AB.SC sau đó sử dụng cơng thức
uuu
r uur
AB.SC
uuu

r uur
cos ( AB, SC ) = cos AB, SC = uuu
r uur
AB . SC

(

)

Phương pháp vectơ

Phương pháp truyền thống

a 6
.
2
uuu
r r uuu
r u
r uuur r
Đặt SO = x, AB = y, AD = z

S

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO =

uur r 1 u
r 1 r uur
SC
=

x
+
y
+ z , SC = a 2
Ta có
2
2

B

uuu
r uur u
rr 1 u
r 1 r 1 u
r 2 a2
⇒ AB.SC = y  x + y + z ÷ = y =
2
2  2
2

uuu
r uur
cos
AB
,
SC
=
cos
AB
, SC

(
)
Mặt khác

( )

(

)

A

C

O
D

Do AB / / CD ⇒ (¼
AB, SC ) = (¼
CD, SC )

uuu
r uur
a2
AB.SC
2
= uuu
r uur = 2 =
4
AB . SC a 2.a

¼
Ta tính góc SCD
Theo bài ra SC = SD = a 2, CD = a .
Xét tam giác SCD áp dụng định lý
cosin ta có:
SC 2 + CD 2 − SD 2
a2
¼
cos SCD =
=
2.SC.CD
2 2a 2
-5-


=

2 . Vậy
2
cos (¼
AB, SC ) =
4
4

Nhận xét:
Khi sử dụng cơng cụ vectơ tính góc giữa hai đường thẳng tơi nhận thấy một
số hiệu quả rõ rệt như sau:
Thứ nhất, các tiết dạy HHKG phong phú và đa dạng hơn nhiều, học sinh có
hứng thú hơn trong q trình học tập bộ mơn HHKG.

Thứ hai, học sinh có cơ hội phát triển một số năng lực cần thiết trong mơn
Tốn ở cấp THPT như: Năng lực tính tốn, Kỹ năng vận dụng linh hoạt các tính
chất của vectơ trong khơng gian.
Thứ ba, học sinh không phải tư duy trừu tượng trong vẽ hình, cách xác định
góc giữa hai đường thẳng, phương pháp vectơ cũng đơn giãn, ngắn gọn.
Ví dụ 1.2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B 'C ' có AB = a và AA' = 2a .
Góc giữa hai đường thẳng AB ' và BC ' bằng
A. 600 .
B. 1200 .
Phân tích theo phương pháp vectơ

C. 900 .

D. 300 .
C

A

B

A'

C'
M
B'

- Gọi M là trung điểm của B 'C '
uuur uuuur uuuu
r
- Ta nhận thấy các vectơ AA' , A' M , B 'C ' đôi một vng góc với nhau và độ dài các

vectơ này tính được.

uuur uuur
- Biểu diễn các vectơ AB ' , BC ' qua 3 vectơ đó.
uuur uuur
- Tính độ dài các vectơ AB ' , BC '
uuur uuur
- Tính tích vơ hướng
AB ' .BC ' sau
-6-

đó

sử

dụng

cơng

thức


uuur uuur
AB ' .BC '
uuur uuur
'
'
'
'
cos ( AB , BC ) = cos AB , BC = uuur uuur

AB ' . BC '

(

)

Phương pháp vectơ

Phương pháp truyền thống

Gọi M là trung điểm của B 'C '
r uuur r uuuur r uuuur
Đặt a = AA' , b = A' M , c = B 'C '

C

A

B

r
r a 3 r
⇒ a = a 2, b =
, c =a
2

O

+ Ta có:
uuur uuur uuuur uuuu

r r r 1r
'
'
'
AB = AA + A M + MB ' = a + b − c
2

M
A'

C'

B'

AB ' = a 3 .
uuur uuur uuuur r r
uuur
'
'
' '
BC
=
BB
+
B
C
=
a
+
b

⇒
BC ' = a 3
+

Gọi O = AB ' ∩ A' B , M là trung điểm

uuur uuur  r r 1 r  r r 3a 2
AB ' .BC ' =  a + b − c ÷ a + c =
2 
2

uuur uuur
⇒ cos ( AB ' , BC ' ) = cos AB ' , BC '

·
·
Suy ra ( AB ' , BC ' ) = ( AB ' , OM )

(

' '
của AC
.

Khi đó ta có OM / / BC '

)

(

)

Ta xét tam giác OMB '
1
1
BB '2 + B 'C '2
Ta có: OM = BC ' =
2
2

uuur uuur
AB ' .BC '
1
·
= uuur uuur = ⇒ ( AB ' , BC ' ) = 600
AB ' . BC ' 2

=

a 3
= OB '
2

Mà B ' M =

a 3
⇒ ∆OMB ' là tam
2

·

·
'
giác đều ⇒ MOB
= 60' = ( OM , AB ' )
·
⇒ ( BC ' , AB ' ) = 600
Một số bài tập tương tự
Bài 1.1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng. Tam giác SAB
·
vng tại S , góc SBA
= 300 và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng
SM và DN .

-7-


A.

2
.
5

B.

1
.
5

C.

1
.
3

D.

6
.
3

Bài 1.2. Cho hình lăng trụ ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vng tại
A , AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vng góc của A' lên mặt phẳng

( ABC )

là

trung điểm H của BC , A' H = a 3 . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A' B
và B 'C .
A.

1
.
2

B.

6
.

8

C.

6
.
4

D.

3
.
2

2.3.3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là góc giữa hai đường thẳng d
và d ' ( d ' là hình chiếu của d lên mặt phẳng ( P ) ).
Tuy nhiên một số bài toán gặp khó khăn trong việc dựng d ' . Nếu gặp tình
rr
u.v
huống này ta sử dụng phương pháp vectơ hồn tồn đơn giản, ta tính cos α = r r
u v
r
r
với u là vectơ chỉ phương của d , v có giá vng góc với ( P ) . Khi đó góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) là góc β = 900 − α .
Bài tốn: Trong không gian cho đường thẳng ∆ và mp ( P ) . Tính góc giữa ∆ và
mp ( P ) .
Hướng dẫn.

r rr
Bước 1: Chọn hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng a, b, c thoả mãn:
r r r
+ a , b , c tính được.
rr rr rr
+ a.b, b.c, c.a tính được.
r r
Bước 2: Gọi u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và vectơ có
phương vng góc với mp ( P ) .
r r
+ Biểu diễn u , v qua ba vectơ
r
r
r
r
v = x.a + y.b + z.c )

r rr
r
r
r
r
a, b, c ( giả sử u = m.a + n.b + p.c

-8-

và


r2 r

+ Tính u = u

r
r
r
= m.a + n.b + p.c

( ) (
2

)

2

r
r2 r
⇒ u và v = v

r
r
r
= x.a + y.b + z.c

( ) (
2

)

2

r
⇒v.

rr
r
r
r
r
r
r
u
.
v
=
m
.
a
+
n
.
b
+
p
.
c
x
.
a
+
y

.
b
+
z
.
c
+ Xét
.

(

)(

)

rr
u.v
r r
¼
0
Khi đó ta có cos α = cos u , v = r r ⇒ ( ∆, ( p ) ) = 90 − α .
u.v

( )

Ví dụ 2.1. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O ,
cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, BC . Góc giữa đường thẳng MN và
mặt phẳng

( ABCD )

bằng 600 . Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt

phẳng ( SBD ) .
41
5
.
B.
.
16
5
Phân tích phương pháp vectơ:
A.

C.

2 5
.
5

D.

41
8

S

M

A

B

O

N

D
C

uuu
r uuu
r uuur
- Cần chọn ra hệ vectơ cơ sở. Ta thấy bộ 3 vectơ OS , AB, AD đôi một vuông góc với
nhau và độ dài các vectơ này đầu bài đã cho.
uuur
uuur
- Biểu diễn vectơ MN qua 3 vectơ cơ sở vừa chọn, tính độ dài vectơ MN .
r
r
- Gọi n vec tơ bất kỳ có phương vng góc với mặt phẳng ( SBD) , giả sử n biểu diễn
r
được qua các vectơ cơ sở, sau đó sử dụng tích vơ hướng của véc tơ n với 2 vectơ có thể
r
r
biểu diễn qua các vectơ cơ sở để chọn ra véc tơ n cụ thể. Tính độ dài vectơ n
r uuur
n.MN
- Sử dụng công thức cos α = r uuur
n MN
- Gọi β là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( SBD)

⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α

Phương pháp vectơ

Phương pháp truyền thống
-9-


Gọi O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

S

Giã sử SO = m

M
F

uuu
r r uuu
r r uuur r
Chọn hệ vectơ cơ sở OS = a, AB = b, AD = c

A

D

J
I

Ta có

uuur uuur uuur uuur
MN = MA + AC + CM
r uuur 1 uuur
1 uur uuu
= SA + AB + AD − AD
2
2

O

E
B

C

N

Từ giã thiết ta có SO ⊥ ( ABCD )
Gọi I là trung điểm của OA thì MI là
đường

r 1 uuu
r uuur uuu
r uuur 1 uuur
1 uuu
= − OS − AB + AD + AB + AD − AD
2
4
2

⇒ I là hình chiếu của M lên mặt

(

)

(

phẳng

r 3 uuu
r 1 uuur
1 uuu
1r 3r 1r
= − OS + AB + AD = − a + b + c
2
4
4
2
4
4

⇔ SO = m =

1 2 5 2
m + a
4
8

của

=

( ABCD )

⇒ IN là hình chiếu

của MN lên mặt phẳng ( ABCD ) . Suy

uuur
1 2 9 2 1 2
1 2 5 2
MN =
m + a + a =
m + a
4
16
16
4
8
1 2
m
2

bình

⇒ MI / / SO ⇒ MI ⊥ ( ABCD )

)

uuur uuu
r
MN .OS
3
cos ϕ = uuur uuu
⇔
r =
2
MN . OS

trung

∆SOA

r uuur uuu
r uuur 1 uuur
1 uuu
= SO − AO + AB + AD − AD
2
2

ra (·MN , ( ABCD ) ) = (·MN , IN )
·
= MNI
= 600 .

3 Ta có NC = 1 BC = a ;
2
2
2

3
3a 2
.
IC = AC =
4
4

a 30
a 10
, MN =
2
2

Áp dụng định lý cosin trong ∆INC ta có

·
r
IN 2 = CI 2 + CN 2 − 2CI .CN .cos NCI
Gọi n có phương vng góc với mặt phẳng

( SBD )

⇒ IN =

r
r
r r
Đặt n = xa + yb + zc

Do

uur
r 1 r 1 r uuur
r r
Ta có SB = − a + b − c, BD = −b + c
2
2
r uur
n.SB = 0
⇒  r uuu
r
n.BD = 0

a 10
.
4

∆MIN

·
cos MNI
=

⇒ MN =
Lại có
- 10 -

vng

IN

MN

IN
a 10
=
cos600
2

tại

I

nên




⇔



(
(

AC ⊥ BD, AC ⊥ SO ⇒ AC ⊥ ( SBD )

r
r r  r 1 r 1 r
xa + yb + zc  −a + b − c ÷ = 0
2

2 

r
r r r r
xa + yb + zc −b + c = 0

)
)(

Gọi E là trung điểm của OB ⇒ EN là

)

đường

trung

bình

của

∆BOC ⇒ EN / / OC hay EN / / AC

r r r
x = 0
⇔
Chọn y = z = 1 ⇒ n = b + c
y = z
uuur r
MN .n

a2
1
cos β = uuur r =
=
5
MN . n a 10
a 2
2

⇒ NE ⊥ ( SBD ) . Hay E là hình chiếu
của N lên mặt phẳng ( SBD ) .
Gọi F là trung điểm của SO ⇒ MF là
đường

trung

bình

của

Suy ra góc giữa đường thẳng MN và mặt ∆SAO ⇒ MF / / AO hay MF / / AC
⇒ MF ⊥ ( SBD ) hay F là hình chiếu
phẳng ( SBD ) là γ = 900 − β
vng góc của M trên mặt phẳng
1
0
sin γ = sin ( 90 − β ) = cos β =
5
( SBD ) .
⇒ cos β = 1 − sin 2 β =

Ta

2 5
5

có

MF / / NE

nên

bốn

điểm

E , N , F , M đồng phẳng.
Trong

mặt

phẳng

( ENFM )

gọi

J = MN ∩ EF ⇒ J = MN ∩ ( SBD )
Do

EF ⊂ ( SBD )

suy

ra

·
(·MN , ( SBD ) ) = (·MN , EF ) = MJE
·
( EJN
< 900 ).
1
1
a 2
Ta có EN = OC = AC =
2
4
4
MF =

1
1
a 2
AO = AC =
2
4
4

⇒ EN = MF , mà EN / / MF suy ra tứ
giác ENFM là hình bình hành ⇒ J là

trung

điểm

1
a 10
MN ⇒ JN = MN =
2
4
- 11 -

của


·
Vậy cos (·MN , ( SBD ) ) = cos EJN
JE
=
=
JN

JN 2 − EN 2 2 5
=
JN
5

Ví dụ 2.2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng
a, SA = a và SA vng góc với đáy ( ABCD ) . Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng ( SBD) . Khẳng định nào sau đây đúng?
1

2 2
A. sin α = .
B. sin α =
.
3
3
Phân tích phương pháp vectơ:

C. sin α =

2
.
3

D. sin α =

2
.
3

S

A

D

B

C

uur uuu
r uuur
- Ta thấy bộ 3 vectơ SA, AB, AD đơi một vng góc với nhau và độ dài các vectơ này
đầu bài đã cho.

uur
uur
- Biểu diễn vectơ SC qua 3 vectơ cơ sở vừa chọn, tính độ dài vectơ SC
r
r
- Gọi n vectơ bất kỳ có phương vng góc với mặt phẳng ( SBD) , biểu diễn n qua
r
các vectơ đó, sau đó sử dụng tích vô hướng của vectơ n với 2 vectơ không cùng
phương thuộc mặt phẳng ( SBD) và hai vectơ này biểu diễn qua các vectơ đã chọn ở
r
trên. Từ đo suy ra vectơ n cụ thể.
r uur
n.SC
- Sử dụng công thức cos α = r uur
n SC
- Gọi β là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SBD)
⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α
Phương pháp vectơ
uur r uuu
r r uuur r
Đặt SA = a, AB = b, AD = c .

Phương pháp truyền thống

- 12 -

uur uur uuu
r uuur r r r
Ta có SC = SA + AB + AD = a + b + c
uur 2 uur 2 r r r 2
⇒ SC = SC = a + b + c = 3a 2

( ) (

S

)

uur
⇔ SC = a 3
r
Gọi n là vectơ có phương vng góc với
r
r
r r
mặt phẳng ( SBD) . Đặt n = xa + yb + zc
Ta có

(
(

r uuu
r


n.SB = 0

⇔
 r uuur
n.SD = 0 


r
r r
xa + yb + zc
r
r r
xa + yb + zc

)(
)(

r r
a+b =0
r r
a+c =0

)
)

 y = −x
⇔
z = −x

O

H

B

C

Ta có:
 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( SAC )

 BD ⊥ SA
⇒ BD ⊥ AC
Mà ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO
Từ C ta kẻ CH ⊥ SO tại H . Ta nhận

r
r r r
Chọn x = −1 ⇒ y = z = 1 ⇒ n = − a + b + c
r2 r
⇒n = n

D

A

r r r
= −a + b + c

2

Khi đó CH ⊥ ( SBD )

r
= 3a 2 ⇔ n = a 3 Suy ra SH là hình chiếu của SC lên

( ) (
)
r uur
r r r r r r
n
.
SC
=
−
a
Ta có:
( + b + c) ( a + b + c) = a .
2

thấy H nằm trên tia đối của tia OS .

2

r uur
n.SC
a2
1
=
Do đó cos α = r uur =
n SC a 3.a 3 3

⇒ góc giữa SC và mặt phẳng ( SBD )
·
là góc giữa SC và SO bằng góc CSA
.

Gọi β là góc giữa đường thẳng SC và mặt

Xét tam giác SOC
Ta có: SO = SA2 + AO 2 =

phẳng ( SBD)
⇒ sin β = sin ( 900 − α ) = cos α =

mặt phẳng ( SBD )

1
3

a 6
2

SC = SA2 + AC 2 = a 3
OC =

a 2
. Áp dụng định lý cosin
2

cho tam giác SOC ta có:

SC 2 + SO 2 − OC 2 2 2
·
cosCSO =
=
2.SC.SO
3
⇒ sin (¼
SC , ( SBD ) )
·
= 1 − cos 2 CSA
=
- 13 -

1
3


Bài tập tương tự.
Bài 2.1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vng tại A và B .
AB = BC = a , AD = 2a . Biết SA vng góc với đáy

( ABCD )

và SA = a . Gọi

M , N lần lượt là trung điểm của SB, CD . Tính cosin góc tạo bởi đường thẳng
MN và mặt phẳng ( SAC ) .
A.

5

.
5

B.

55
.
10

C.

3 5
.
10

D.

2 5
.
5

2.3.4. Tính góc giữa hai mặt phẳng.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ ,
thông thường ta dựng mặt phẳng thứ ba (R) ⊥ ∆ . Nếu việc dựng (R) khó khăn,
chúng ta dùng trực tiếp định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng:
- Dựng hai đường thẳng a và b lần lượt vng góc với hai mặt phẳng ( P )
và (Q) .
- Dùng véc tơ tính góc giữa hai đường thẳng a và b . Đó cũng chính là góc
giữa hai mặt phẳng ( P ) và (Q) .
Bài tốn: Trong khơng gian cho hai mặt phẳng mp ( P ) và mp ( Q ) . Tính góc giữa

mp ( P ) và mp ( Q ) .
Hướng dẫn.

r rr
Bước 1: Chọn hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng a, b, c thoả mãn:
r r r
a
+ , b , c tính được.
rr rr rr
+ a.b, b.c, c.a tính được.
ur uu
r
Bước 2: Gọi n1 , n2 lần lượt là vectơ có phương vng góc với mp ( P ) và mp ( Q ) .
ur uu
r
r rr
ur
r
r
r
+ Biểu diễn n1 , n2 qua ba vectơ a, b, c ( giả sử n1 = m.a + n.b + p.c và
uu
r
r
r
r
n2 = x.a + y.b + z.c )
ur 2 ur
+ Tính n1 = n1

r
r
r
= m.a + n.b + p.c

( ) (
2

uu
r 2 uu
r 2
r
r
r
n2 = n2 = x.a + y.b + z.c

( ) (

)

2

)

2

ur
⇒ n1 và

uu

r
⇒ n2 .
- 14 -


ur uu
r
r
r
r
r
r
r
+ Xét n1.n2 = m.a + n.b + p.c x.a + y.b + z.c .

(

)(

)

ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
¼
r ⇒ ( ( P) ,( Q) ) = α .
Khi đó ta có cos α = cos n1 , n2 = ur uu
n1 . n2

(

)

Ví dụ 3.1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B 'C ' có AB = 2 3 và AA' = 2 .
' '
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A' B ' , AC
và BC . Tính cosin của
' '
góc tạo bởi hai mặt phẳng ( AB C ) và ( MNP ) bằng

A.

6 13
13
.
B.
.
65
65
Phương pháp vectơ
A'

N

17 13
18 13
.
D.

.
65
65
Phương pháp truyền thống
C.

C'

C'
Q

N

M
M

B'

B'

A'
O

C

A

C

P

P
B

B

A

r uuur u
r uuu
r r uuur
Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của
Chọn hệ véc tơ x = AA' , y = AP, z = BC
r
u
r
r
MN , B 'C ' và O = PI ∩ AQ .
⇒ x = 2, y = 3, z = 2 3
và
Khi
đó
ru
r rr u
rr
x. y = x.z = y.z = 0 .
uuuu
r 1 uuur 1 r
Ta có MN = BC = z
2

2
uuur uuuu
r uuur' uu'ur
r 1u
r
NP = NC ' + CC + C P = − x + y
2
ur
r
u
r r
Gọi n1 = ax + b y + cz là vectơ

O ∈ ( AB 'C ' ) ∩ ( MNP )

' '
 B C / / MN
 ' '
' '
 B C ⊂ ( AB C ) , MN ⊂ ( MNP )
có

phương vng góc với mặt phẳng

nên

' '
giao tuyến của ( AB C ) và ( MNP ) là

đường thẳng d qua O và song song

với MN , B 'C ' .
Tam giác
- 15 -

AB 'C ' cân tại

A

nên


ur uuuu
r
n1.MN = 0 c = 0
⇔
( MNP ) ⇒  ur uuur
9
−
4
a
+
b=0
n
.
NP
=
0

 1
2

ur
r u
r
Chọn a = 9, b = 8 ⇒ n1 = 9 x + 8 y
ur
⇒ n1 = 30 .
uuuur uuur r
Ta
lại
có:
B 'C ' = BC = z ,
uuur uuur uuuu
r uuur uuu
r uuu
r
'
'
' '
'
AB = AA + A B = AA + AP + PB
r u
r 1r
= x+ y− z.
2
uu
r
r
u
r
r

Gọi n2 = mx + n y + pz là vectơ có

AQ ⊥ B 'C ' ⇒ AQ ⊥ d .
Tam giác PMN

nên

PI ⊥ MN ⇒ PI ⊥ d .
Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng

( AB C )
'

'

và ( MNP ) là góc giữa AQ

và PI .
5
Ta có AP = 3, AQ = 13, IP = .
2
Vì ∆OAP đồng dạng với ∆OQI và
AP
=2
IQ

phương vng góc với mặt phẳng
uu
r uuuur
n .B 'C ' = 0 c = 0

( AB 'C ' ) ⇒ uur2 uuur' ⇔ 4a + 9b = 0

n2 . AB = 0
uu
r
r
u
r
Chọn a = 9, b = −4 ⇒ n2 = 9 x − 4 y
uu
r
⇒ n2 = 6 13

cân tại P

nên

AO =

2
2 13
;
AQ =
3
3

2
5
OP = IP = .
3

3

(

)

·
cos ( AB 'C ' ) , ( MNP ) = cos (·AQ, PI )
OA2 + OP 2 − AP 2
13
·
= cos AOP =
=
2.OA.OP
65

r
·
·ur uu
cos ( AB 'C ' ) , ( MNP ) = cos n1 , n2

(

)

r

u
r

r

)

u
r

( 9x + 8 y ) ( 9x − 4 y )
=
6 13.30

(

=

13
65

Ví dụ 3.2. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với
BA = BC = a, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và

( SAC ) .
A. 450 .
B. 600 .
Phân tích theo phương pháp vectơ

C. 300 .

- 16 -

D. 900 .


S

C

A

B

uuu
r uur uuu
r
- Cần chọn ra hệ vectơ cơ sở. Ta thấy bộ 3 vectơ AS , BA, BC đôi một vng góc
với nhau và độ dài các vectơ này đầu bài đã cho.
r ur
- Gọi n, m bất kỳ có phương lần lượt vng góc với mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC ) ,
r ur
giả sử n, m biểu diễn được qua các vectơ cơ sở, sau đó sử dụng tích vơ hướng
r ur
của véc tơ n, m với 2 vectơ tương ứng thuộc mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC ) có thể
r ur
biểu diễn qua các vectơ cơ sở để chọn ra vectơ n, m cụ thể. Tính độ dài vectơ
r ur
n, m
ur r
m.n
- Sử dụng công thức cos ϕ = ur r
m.n

Phương pháp vectơ

Phương pháp thông thường

Chọn
hệ
vectơ
cơ
sở
uuu
r r uur r uuu
r r
ur r
AS = a, BA = b, BC = c . Gọi m, n lần

S

lượt là hai vectơ có phương vng góc

N

với mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC ) . Đặt
ur
r
r r
m = xa + yb + zc khi đó ta có
uur ur
 SB.m = 0
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
⇔  uuu

r ur
 BC.m = 0
AC và SB .
r r r
r r
Khi đó ta có:
 −a − b xa + yb + zc = 0

⇔ r r
r r
 BM ⊥ AC
c xa + yb + zc = 0
⇒ BM ⊥ ( SAC )

 BM ⊥ SA
C

M

A

B

(

(

)(

)

)

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )

 BC ⊥ SA

− xa 2 − ya 2 = 0  y = − x
⇔ 2
⇔
za
=
0
z = 0

- 17 -


ur r r
Chọn x = 1 ⇒ y = −1 ⇒ m = a − b

⇒ BC ⊥ AN

ur
⇒ m

Mà . AN ⊥ SB ⇒ AN ⊥ ( SBC )

r r

= a −b

( ) (
2

)

2

Khi đó (·
( SAC ) , ( SBC ) ) = (·AN , BM )

ur 2
ur
⇔ m = 2a 2 ⇒ m = a 2
r
r
r r
Tương tự n = xa + yb + zc
uur r
 SA.n = 0
⇔  uuur r
 AC.n = 0
r r
r r
−a xa + yb + zc = 0

⇔ r r r
r r
 −b + c xa + yb + zc = 0

(

(

)(

)

uuur 1 uuu
r uuu
r
Ta có: AN = AS + AB
2
uuuu
r 1 uuu
r uuur
BM = BA + BC
2
r uuu
r 1 uuu
r uuur
uuur uuuu
r 1 uuu
AN .BM = AS + AB . BA + BC
2
2
r2
1 uuu
a2

= − AB = −
4
4

(

(

)

(

)

− xa 2 = 0
x = 0
⇔
⇔
Chọn

2
2
− ya + za = 0  y = z
r r r
r 2 r r
y =1⇒ z =1 ⇒ n = b + c ⇒ n = b + c

( ) (

)

) (

)

uuur
a 2
Mà AN = AN =
2

)

2

r2
r
⇔ n = 2a 2 ⇒ n = a 2

uuuu
r
a 2
BM = BM =
4

uuur uuuu
r
cos ( AN , BM ) = cos AN , BM

(

)

uuur uuuu
r
AN .BM
1
= uuur uuuu
r =
AN . BM 2

ur r
m.n
1
cos ϕ = ur r = ⇒ ϕ = 600
m.n 2

Suy ra (·
( SAC ) , ( SBC ) ) = 600

Nhận xét: - Qua thực tế nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy rằng, nếu chỉ
dừng lại ở việc giải quyết các câu hỏi và bài tập trong SGK theo phương pháp
truyền thông mà không mở rộng thêm bài tập cũng như các phương pháp giải
quyết các câu hỏi và bài tập thì tiết học sẽ rất tẻ nhạt và không gây được hứng thú
học tập cho học sinh, nhất là học sinh các lớp thuộc Ban KHTN.
- Thực tế cho thấy, với việc giải quyết các bài tập tính góc bằng cơng cụ vectơ, các
tiết học HHKG đã diễn ra sôi nổi ngay từ các tiết học đầu tiên; học sinh khơng
những có cơ hội phát triển năng lực tính tốn của bản thân mà cịn có cơ hội ơn
tập lại các kiến thức về vectơ; những học sinh khá giỏi có cơ hội đề xuất nhiều
phương án giải quyết khác nhau cho 1 bài toán.
Bài tập tương tự

- 18 -


Bài 3.1. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân,
'
'
·
với AB = AC = a và BAC
= 1200 , cạnh bên AA = a . Gọi I là trung điểm của CC
'
. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB I )

A.

11
.
11

B.

33
.
11

C.

10
.
10

D.

30
.
10

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Việc thiết kế các bài tập giải bằng phương pháp véc tơ như trên trong q
trình dạy học đã được tơi thực hiện trong nhiều năm giảng dạy mơn Tốn ở các lớp
học theo Chương trình Nâng cao tại trường THPT Nơng Cống 4. Qua thực tế giảng
dạy tôi thấy rằng sử dụng cơng cụ véc tơ vào giải các bài tốn tính Góc trong
khơng gian đã góp phần nâng cao đáng kể chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói
chung cũng như phân mơn Hình học khơng gian của bản thân, góp phần chung vào
việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn của nhà trường, đặc biết là đã rèn
luyện cho học sinh lớp 11 kỹ năng sử dụng công cụ vectơ vào tính tốn các đại
lượng hình học, kỹ năng biểu thị một véc qua 3 vectơ không đồng phẳng, kỹ năng
biểu diễn hình học khơng gian ngay từ khi mới tiếp cận bộ môn này.
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, tơi chỉ trình bày cách làm cho nội
dung tính góc trong khơng gian của Chương III – Hình học lớp 11. Trong thực tế
giảng dạy mơn Tốn, tơi cịn thực hiện cách làm như trên trong nhiều chuyên đề
khác nhau của mơn Tốn (như các dạng Tốn về chứng minh quan hệ song song,
quan hệ vng góc, tính khoảng cách, kể cả trong Đại số, Giải tích) Với việc thiết
kế các bài tập luôn tập trung vào phát triển năng lực tư duy tốn học và hình thành
các kỹ năng cơ bản trong giải toán cho học sinh.
Để đánh giá sự tiến bộ về chuyên đề mà tôi đã nghiên cứu của học sinh các
lớp tôi đã dạy của trường THPT Nông Cống 4, tôi xin đưa ra bảng thống kê dựa
trên các tiêu chí là kết quả kiểm tra tại lớp, kết quả thi HSG Toán cấp tỉnh và thi
ĐH mơn Tốn giai đoạn 2012 đến 2022.

Lớp Năm học
11B6 2012-2013
11B1 2015-2016

Chưa hướng dẫn
20/45 (40%)
22/44 (50%)
- 19 -

Đã hướng dẫn
40/45 (80%)
43/44 (98%)


11B1
11B1

2018-2019
2021-2022

19/43 (44%)
21/43 (49%)

40/43 (93%)
41/43 (95%)

3. KẾT LUẬN.
3.1. Kết luận.
Dạy học là một nghệ thuật mà ở đó người thầy vừa đóng vai trị là đạo diễn,
vừa đóng vai trị là diễn viên. Trong điều kiện hiện nay, khi nền giáo dục nước nhà

đang dần chuyển mình cho những thay đổi, những cải cách nhằm bắt với các nền
giáo dục tiên tiến trên thế giới và đáp ứng được yêu cầu của hội nhập, thì vai trị
của người thầy trở nên quan trọng hơn bao giờ hết. Muốn thay đổi giáo dục thì
trước hết phải thay đổi từ tư duy dạy học của người thầy; phải thốt khỏi tính
khn mẫu, hình thức trong tư duy dạy học vốn đã cố hữu lâu nay. Phải linh hoạt
và sáng tạo trong việc thiết kế giáo án dạy học, cũng như phải tìm tịi, nghiên cứu
ra các phương án giải quyết một bài toán sao cho đơn giãn và phù hợp yêu cầu
thực tế. Người thầy phải là người tổ chức, điều khiển các hoạt động để học sinh
phát hiện ra tri thức và nắm bắt được tri thức trên cơ sở đó phát triển năng lực tư
duy, khả năng phân tích, nhìn nhận vấn đề; kích thích sự đam mê và sáng tạo trong
học tập của học sinh. Làm được như vậy mới hồn thành nhiệm vụ của người thầy
và đó cũng là một hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay.
3.2. Kiến nghị đề xuất.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã thực hiện với học sinh lớp 11
trường THPT Nông Cống 4 trong những năm học vừa qua. Rất mong được xem
xét, mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có
thêm nhiều cơng cụ giải quyết một vấn đề, qua đó các em tự tin và hứng thú hơn
khi học mơn tốn nói chung và mơn Hình học khơng gian nói riêng./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 06 tháng 5 năm 2022

ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

- 20 -

Nguyễn Đình Dũng

- 21 -