(SKKN 2022) phân dạng và phương pháp giải một số bài toán thường gặp về cực trị của hàm số trong đề thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
THƯỜNG GẶP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI
THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Văn Thọ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN mơn: Tốn

Mục lục
THANH HĨA NĂM 2022

1


Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1.
Lý
do
chọn
…………………………………………………...
1.2.

Mục
đích
cứu………………………………………………..
1.3.
Đối
tượng
cứu……………………………………………….
1.4.
Phương
pháp
cứu……………………………………………
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

đề

tài

1

nghiên

1

nghiên

2

nghiên

2

2.1.
Cơ
sở
lí
luận
của
sáng
kiến
kinh
nghiệm…………………………….
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm…..
2.3.
Các
biện
pháp
thực
hiện…………………………………………….
2.3.1.
Một
số
kiến
thức
cần
nhớ…………………………………………
2.3.1.1. Định nghĩa và nhận xét về cực trị của hàm số …………….
2.3.1.2. Một số định lý về cực trị của hàm
số……………………....
2.3.1.3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số…………………………….

2.3.2. Các dạng toán và phương pháp giải ……………………………..
2.3.2.1. Dạng 1: Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị
của
hàm số hoặc đạo hàm của hàm số đó………….. …………
2.3.2.2. Dạng 2: Tìm cực trị khi biết hàm số hoặc đạo hàm của
hàm
số ………………………………………………………….
2.3.2.3. Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị tại
điểm x0 …………………………………………….........
2.3.2.4. Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hàm số có n cực trị
hoặc
khơng có cực trị……………………………………………
2.3.2.5. Dạng 5: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị…
2.3.2.6. Dạng 6: Bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị
tuyệt đối……………………………………………………
2.3.2.7. Dạng 7: Bài tốn tìm cực trị của hàm số
hợp………………

3
3
3
4
4
4
5
5
6
5
7-8
9

9
10
11-12
12-14
14-16
16

2


2.3.2.8. Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài về cực trị của hàm
số thông qua buổi thảo
luận..................................................
2.3.3.
Bài
tập
tham
khảo…………………………………………………
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…………………………
3. Kết luận và kiến nghị

17-18
19
19

3.1.
Kết
luận……………………………………………………………..
3.2. Kiến nghị…………………………………………………………...

19

Tài
liệu
tham
khảo……………………………………………………….
Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng
GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C
trở
lên……………………………………………………………………….

21

20

22

3


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy mơn tốn, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo,
từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho
chúng ta thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết, học sinh còn gặp nhiều
khó khăn ở một số nội dung trong chương trình mơn tốn. Nhiều học sinh học về
các chủ đề liên quan đến hàm số cịn yếu, trong đó có nội dung về cực trị của
hàm số. Học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải

tốn và năng lực giải bài tốn cịn hạn chế. Trong nhiều năm dạy học học sinh
lớp 12 và học sinh ôn thi Cao đẳng, Đại học, tôi nhận thấy rằng kiến thức về
Cực trị của hàm số có một vai trị quan trọng trong chương trình giải tích 12, nó
có thể vận dụng trong nhiều nội dung kiến thức khác, ứng dụng được nhiều bài
toán trong thực tế. Đặc biệt năm học 2021- 2022, là năm học thứ sáu thực hiện
thi trắc nghiệm mơn tốn trong kỳ thi THPT Quốc gia, nhiều nội dung đề thi
nằm trong chương trình lớp 12 với các câu hỏi phát huy khả năng vận dụng kiến
thức của học sinh và nội dung Cực trị của hàm số chiếm một số lượng câu đáng
kể. Mặt khác đây cũng là năm thứ 3 mà toàn ngành giáo dục gặp rất nhiều khó
khăn khi dịch Covid 19 bùng phát gây ảnh hưởng trực tiếp đến việc dạy và học
của thầy và trò. Nội dung về cực trị của hàm số là nội dung quan trọng được đề
cập nhiều trong đề thi THPT Quốc gia năm 2019, 2020, 2021, đề thi minh họa
năm 2020, 2021, 2022 và trong các đề thi thử ở các trường THPT trên tồn quốc
với mức độ từ dễ đến khó.
Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,
cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác
nhiều chuyên đề về hàm số. Trong SKKN này tôi xin chia sẻ chuyên đề : ‘‘Phân
dạng và phương pháp giải một số bài toán thường gặp về cực trị của hàm số
trong đề thi THPT Quốc gia ”.
Phần cực trị của hàm số là một nội dung quan trọng, hay trong chương trình
giải tích lớp 12 nên đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô
giáo và học sinh say sưa nghiên cứu và học tập. Tuy nhiên việc đưa ra hướng
tiếp cận, quy lạ về quen và phát triển năng lực giải bài toán liên quan đến nội
dung này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc. Chính vì
vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này là cần thiết, làm các em hiểu sâu hơn
về bài tốn và u thích chủ đề về cực trị của hàm số trong giải tích lớp 12. Qua
đó giúp các em học sinh có định hướng và cách nhìn dễ dàng hơn đối với nội
dung, kiến thức về hàm số.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm được

cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, chuyển phức tạp thành đơn giản đồng
thời giúp cho học sinh một số kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để
học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán, các dạng toán từ mức độ nhận biết
đến mức độ vận dụng cao về nội dung cực trị của hàm số nhằm đạt được kết quả
cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. Từ đó giúp các em phát triển năng lực giải
quyết các bài toán.
4


1.3. Đối tượng nghiên cứu
Chúng tôi tập trung nghiên cứu về định nghĩa Cực trị của hàm số; nghiên
cứu về quy tắc tìm cực trị của hàm số .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong phạm vi của đề tài, chúng tôi sử dụng kết hợp các phương pháp như:
phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá;
phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải; phương pháp
quy lạ về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án trong câu hởi trắc nghiệm
khách quan.

5


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung số của giải tích
12. Khi giải bài tập tốn, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận,
liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy
bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến
khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong q trình giảng dạy, phát huy tính
tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt

những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng
vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải tốn và trình bày lời
giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt, phát triển năng lực giải
quyết các bài tốn .Trong q trình giảng dạy nội dung về cực trị của hàm số
trong giải tích lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 1 được giao dạy nhóm ơn tập
thi THPT Quốc gia, tôi thấy kỹ năng giải bài tốn của học sinh cịn yếu, đặc biệt
là những bài tốn tìm cực trị của hàm số khi biết đồ thị , bài toán chứa tham số,
bài toán hàm hợp,hàm chứa dấu trị tuyệt đối . Do đó cần phải cho học sinh tiếp
cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý
giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương
pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các
bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong
kiểm tra, đánh giá và kỳ thi THPT Quốc gia.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung về cực trị của hàm số là nội dung không thể thiếu trong đề thi
THPT Quốc gia. Trong những năm gần đây, nội dung này được đề cập trong đề
thi THPT Quốc gia với nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp, với nhiều cách tiếp cận. Học sinh thường gặp khó khăn khi gặp những
bài toán chứa tham số hoặc những bài tốn thực tế. Với tình hình ấy để giúp học
sinh định hướng tốt hơn và phát triển năng lực trong q trình giải bài tốn,
người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài tốn, khai thác các
yếu đặc trưng của bài tốn để tìm lời giải, học sinh phải được quen với việc đọc
hiểu đồ thị. Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen, kỹ
năng đọc hiểu đồ thị.
Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán về cực trị
của hàm số cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện
hồn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, tự tin
giải quyết được những câu khó trong đề thi, nắm vững các dạng tốn, có các giải
pháp, hướng xử lý cho từng kiểu câu hỏi. Đề tài này giúp thầy và trò chuẩn bị tốt
nhất cho kỳ thi THPT Quốc gia.

Vậy với đề tài này, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng
vận dụng tốt các kiến thức để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết bài tốn
về cực trị của hàm số một cách chính xác và nhanh nhất. Đặc biệt là áp dụng
những giải pháp để làm những câu hỏi dưới hình thức trắc nghiệm, những câu
hỏi khó về vấn đề này. Từ đó tạo cho học sinh sự tự tin, trang bị cho học sinh

6


kiến thức và các giải pháp để hoàn thành tốt nội dung về cực trị của hàm số ,
hoàn thành tốt kỳ thi THPT Quốc gia.
2.3. Các biện pháp thực hiện
2.3.1. Một số kiến thức cần nhớ
2.3.1.1. Định nghĩa và một số chú ý về cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ
nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn
khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ
điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.
Định nghĩa
Ì
Ỵ
Giả sử hàm số f xác định trên K (K ℝ) và x0 K
Ì
a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b)
K
"
chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), x ∈ (a;b) \{x0}
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
Ì
b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b)

K
" Î
chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), x (a;b) \{x0}
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý:
1) Điểm cực đại (cực tiểu) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực
tiểu) f(x0) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc
cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x 0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f
trên một khoảng (a;b) chứa x0.
3) Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x 0; f(x0)) được gọi là điểm
cực trị của đồ thị hàm số f.

7


2.3.1.2. Một số định lý về cực trị của hàm số
Định lí 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x 0 thì
f’(x0) = 0.
Chú ý:
1) Điều ngược lại có thể khơng đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm
x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
2) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x 0 (theo chiều tăng) thì
hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x 0 (theo chiều tăng) thì

hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lí 3
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0, f’(x0) = 0
và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
c) Nếu f’’(x0) = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc
bảng xét dấu đạo hàm.
2.3.1.3. Quy tắc tìm Cực trị của hàm số
* Quy tắc 1:
·
D
Bước 1. Tìm tập xác định
của hàm số.

8


·
·

·

Bước 2. Tính đạo hàm
khơng xác định.

y ¢= f ¢( x).

Tìm các điểm tại đó

f ¢( x)

bằng 0 hoặc

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
* Quy tắc 2:
·
D
Bước 1. Tìm tập xác định
của hàm số.
y ¢= f ¢( x).
f ¢( x) = 0
·
Bước 2. Tính đạo hàm
Giải phương trình
và kí hiệu
xi , (i =1, 2,3,..., n)
là các nghiệm của nó.
f ¢¢( x)
f ¢¢( xi ).
·
Bước 3. Tính
và
y ¢¢( xi )
xi :
·
Bước 4. Dựa vào dấu của
suy ra tính chất cực trị của điểm

f ¢¢( xi ) < 0
xi .
+ Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
f ¢¢( xi ) > 0
xi .
+ Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

2.3.2. Các dạng toán và phương pháp giải
2.3.2.1. Dạng 1: Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên và đồ thị của hàm số hoặc
đạo hàm của hàm số đó .
Trong dạng tốn này này giáo viên cần ơn lại định nghĩa về cực trị của hàm
số nhằm giúp học sinh có kỹ năng nhanh khi giải các bài tốn trắc nghiệm về
đọc bảng biến thiên hay đồ thị, đây là một trong những dạng toán ở mức độ nhận
biết hoặc thơng hiểu và rất hay có trong đề thi THPT Quốc gia.
f ( x)
Ví dụ 1 : Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại:
A.

x =- 2

.

B.

x =3

.

C.

x =1

.

D.

x =2

.
9


Lời giải : Chọn C
Hàm số

f ( x)

(+)
(- )
x =1 f '(1) = 0
xác định tại
,
và đạo hàm đổi dấu từ
sang
y = f ( x)

[- 2;2]

Ví dụ 2 : Cho hàm số
xác định, liên tục trên đoạn
và có đồ thị
là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây

A.

x =- 2

.

B.

x =- 1

.

C.

x =1

.

D.

x =2

Lời giải :Chọn B
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại

x =- 1.

Nhận xét :
Với dạng toán học sinh rất dễ nhầm lẫn đáp án D là đáp án đúng , vì nhiều học
sinh trung bình dễ ngộ nhận giá trị cực đại là giá trị lớn nhất, do đó giáo viên cần
hướng dẫn kỹ để học sinh không bị mắc sai lầm khi làm các bài tương tự.
2.3.2.2. Dạng 2: Tìm cực trị khi biết hàm số hoặc đạo hàm của hàm số .
Phương pháp giải : Sử dụng hai quy tắc tìm cực trị của hàm số của hàm số,
ngoài ra với các bài toán trắc nghiệm trong đề thi THPT Quốc gia, giáo viên có
thể hướng dẫn cho học sinh sử dụng máy tính để làm bài .

Ví dụ 3 : Cho hàm số

x2 + 3
y=
x +1

A. Cực tiểu của hàm số bằng
C. Cực tiểu của hàm số bằng

- 3
- 6

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
B. Cực tiểu của hàm số bằng
D. Cực tiểu của hàm số bằng

1
2

Lời giải :Chọn D
* Cách 1.

10


y ¢=
Ta có:

x2 + 2x - 3

( x +1)

2

;

éx =- 3
ê
Û
ê
y ¢= 0 Û x 2 + 2 x - 3 = 0
ëx =1

Lập bảng biến thiên. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

x =1

và giá trị cực tiểu bằng 2.

* Cách 2.

y ¢=

x2 + 2x - 3

( x +1)

Ta có
y ¢¢=

2

;

éx =- 3
Û ê
x =3 ê
ëx =1

8

1
1
¢¢( 1) = > 0 y ¢¢( - 3) =- < 0
y
( x +1)

2
2
. Khi đó:
;
.
3

x =1
2
Nên hàm số đạt cực tiểu tại
và giá trị cực tiểu bằng .
Nhận xét : Trong ví dụ trên cách 2 tuy có ngắn gọn hơn, tuy nhiên việc tính đạo
hàm cấp 2 thì lại gặp khó khăn cho nhiều học sinh ở mức độ trung bình. Vì vậy
ở ví dụ này giáo viên nên định hướng cho học sinh sử dụng cách 1 để làm bài
f ( x)

Ví dụ 4 : Cho hàm số
có đạo hàm
điểm cực trị của hàm số đã cho là
3
1
A. .
B. .

f ¢( x) = x3 ( x - 1)( x - 2) , " x Ỵ ¡

5
C. .

D.

2

. Số
.

Lời giải : Chọn B
Ta có:

f ¢( x ) = 0 Û x 3 ( x - 1)( x - 2) = 0 Û x = { 0;1;2}

.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy hàm số
Ví dụ 5: Cho hàm số

F ( x)

f ( x)

có

3

điểm cực trị.

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2019 x ( x 2 - 4)( x 2 - 3 x + 2)

. Khi đó số điểm cực trị của hàm số

F ( x)

là:

11


5
A. .

B.

4

.

3
C. .

D.

2

.

Lời giải : Chọn D

Ta có:

F ¢( x) = f ( x) = 2019 x ( x 2 - 4)( x 2 - 3 x + 2)

.
éx =- 2
ê
Û êx = 2
ê
x
2
2
F ¢( x ) = 0 Û 2019 ( x - 4)( x - 3x + 2) = 0 ê
ëx = 1

Bảng biến thiên của

Vậy hàm số

F ( x)

F ( x)

.

:

có 1 cực đại và 1 cực tiểu, nghĩa là có 2 cực trị.

Nhận xét : Đây là bài tốn ở dạng thơng hiểu, nhưng nhiều học sinh không biết

phân biệt nghiệm đơn và nghiệp kép và cách xét dấu của đạo hàm qua nghiệm
kép dẫn đến kết luận sai về số cực trị của hàm số. Vì vậy qua bài tốn này giáo
viên cần chỉ rõ cho học sinh biết để tránh sự sai sót khơng đáng có này.
Ví dụ 6: Hàm số

"x Ỵ R

y = f ( x)

. Hàm số
A.

y = f ( x)

1008

có đạo hàm

f ¢( x ) = ( x - 1)( x - 2) ...( x - 2021)

,

có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
B.

1010

C.

1009

D.

1011

Lời giải : Chọn D
Ta có:
Vì

f ¢( x ) = 0

f ¢( x ) = ( x - 1)( x - 2) ...( x - 2021) = 0 Û x = {1;2;...;2021}

có

2021

nghiệm bội lẻ và hệ số a dương nên có

1011

cực tiểu.

Nhận xét : Trong ví dụ 6 là bài tốn chỉ ở mức độ thơng hiểu tuy nhiên nhiều
học sinh chỉ biết rằng hàm số đó có 2021 cực trị nhưng lại gặp khó khăn khi xác
định số điểm cực tiểu , cực đại của hàm số. Do đó giáo viên cần nhấn mạnh cho
học sinh biết với các hàm số đa thức khi hệ số a dương thì số điểm cực tiểu

12

nhiều hơn số điểm cực đại và ngược lại, từ đó giúp học sinh cảm thấy tự tin khi
gặp các bài tốn tương tự.
2.3.2.3. Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x0.
Phương pháp :
y '( x0 ) , y ''( x0 )
Bước 1. Tính
y '( x0 ) = 0 Þ m ?
Bước 2. Giải phương trình
éy '' > 0 ® x0 = CT
ê
êy '' < 0 ® x0 = CÐ
y
''
x
(
)
0
m
ë
Bước 3. Thế
vào
nếu giá trị
m
Ví dụ 7 : Tìm giá trị thực của tham số
để hàm số:
1
y = x 3 - mx 2 +( m 2 - 4) x + 3
3

x =3
đạt cực đại tại
.
m =- 7
m =5
B.
C.

m =- 1
A.
Lời giải :Chọn C
y ¢= x 2 - 2mx +( m 2 - 4) y ¢¢= 2 x - 2m
Ta có
;
.

Hàm số

khi:

1
y = x 3 - mx 2 +( m2 - 4) x + 3
3

D.

đạt cực đại tại

x =3

m =1

khi và chỉ

ìï y ¢( 3) = 0
ï
í
ïï y ¢¢( 3) < 0
ỵ

ìï 9 - 6m + m 2 - 4 = 0
Û ïí
Û
ïỵï 6 - 2m < 0

ìï m 2 - 6m + 5 = 0
ïí
Û
ïỵï m > 3

ïìï ém =1( L)
ê
ïíï êm = 5 TM
( )
ë
ïï ê
ïï m > 3
ỵ

.

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

m

Ví dụ 8 : Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
x =2
đạt cực tiểu tại
.
0 £ m <4
m =0
m>4
A.
.
B.
.
C.
.

y = x 3 - 3x 2 + mx +1

D.

0
.

13

Lời giải : Chọn A

y ¢= 3x 2 - 6 x + m y ¢¢= 6 x - 6
;
.

Hàm số t cc tiu ti

ỡù
x = 2 ùớ
ùù
ợ

y Â( 2) = 0

ïì m = 0
Û íï
Û m =0
y ¢¢( 2) > 0 ïïỵ 6 > 0

.

Nhận xét : Thơng thường với các bài toán này ta nên sử dụng quy tắc 2 để giải
quyết bài toán được thuận lợi nhất,tuy nhiên trong ví dụ 8 khi tính đạo hàm
khơng cịn chứa tham số . Vì vậy học sinh có thể làm theo quy tắc 1 .
2.3.2.4. Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để hàm số có n cực trị hoặc khơng có
cực trị.
Trong dạng tốn này ta chỉ nghiên cứu các bài toán liên quan đến hàm số bậc 3
và bậc 4 dạng trùng phương:

Û y ¢= 0
n
n
Phương pháp : Hàm số có cực trị
có nghiệm phân biệt.
y = ax3 + bx 2 + cx + d :
g
Xét hm s bc ba
ỡù a ạ 0
ùớ
.
2
ù
b
3
ac
>
0
+
ùợ
Hm s cú hai điểm cực trị khi
y ¢= 0
+
Hàm số khơng có cực trị khi
vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép.
y = ax 4 + bx 2 + c.
g
Xét hàm số bậc bốn trùng phương
+
ab ³ 0.

ab < 0. +
1
Hàm số có ba cực trị khi
Hàm số có cực trị khi
m
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
y = ( m - 1) x 4 - 2( m - 3) x 2 +1

A.

khơng có cực đại?
m£1
m³ 1
B.
C.

1< m £ 3

D.

1£ m £ 3

Lời giải : Chọn D
TH1: Nếu
TH2: Nếu

m = 1 Þ y = 4 x 2 +1
m >1

. Suy ra hàm số khơng có cực đại.

.Để hàm số khơng có cực đại thì

- 2( m - 3) ³ 0 Û m £ 3

.

14


=>

1< m £ 3

.

Ví dụ 10 :Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
y = mx 3 - 2mx 2 + (m - 2) x +1
khơng có cực trị

m

để hàm số

m Ỵ ( - 6;0)
m Ỵ [- 6;0)
m Î [- 6;0]
m Î (- ¥ ;6) È (0; +¥ )
A.

. B.
. C.
.
D.
.
Lời giải : Chọn D
y ' = 3mx 2 - 4mx + ( m - 2)
Ta có
.
m =0
+ Nu
.
ị y ' =- 2 < 0 (" x ẻ ¡ )
m =0
. Hàm số khơng có cực trị.Do đó
(chọn) (1).
m¹ 0
+ Nếu
.
Û y'
Hàm số khơng có cực trị
khơng đổi dấu
2
Û D ' £ 0 Û 4m - 3m(m - 2) £ 0 Û m 2 + 6m £ 0 Þ - 6 £ m < 0
m¹ 0
(do
)
(2).
- 6£ m£ 0
Kết hợp (1) và (2) ta được

.
Nhận xét :
Để làm tốt dạng tốn này giáo viên cần ơn lại cho học sinh các kiến thức hàm
số bậc 3 và hàm số bậc 4, điều kiện để hàm số có cực trị , số lượng cực tiểu và
cực đại trong bài toán và chú ý rằng đối với hàm số bậc 4 dạng trùng phương khi
hệ số a dương thì số cực tiểu nhiều hơn số cực đại và ngược lại .
2.3.2.5. Dạng 5 : Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Phương pháp :
Phương trình hai đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba là phần
y
y'
dư của phép chia của cho
y ¢) y = y Âìq( x ) + h( x)
y
o
Phõn tớch (bng cách chia đa thức cho
:
y
=
h
(
x
).
o
Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là
Hoặc tìm 2 điểm cực trị sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
Ví dụ 11 : Đồ thị hàm số

y = x 3 - 3x 2 - 9 x +1

nào dưới đây thuộc đường thẳng

AB

có hai cực trị

A

và

B

. Điểm

?

15


M ( 0;- 1)

N ( 1;- 10)

P ( 1;0)

Q ( - 1;10)

A.
B.
C.

D.
Lời giải : Chọn B
Cách 1 : Sử dụng quy tắc tìm 2 điểm cực trị của hàm số, sau đó viết phương
y =- 8 x - 2
trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó
=> kết quả
2
y ¢= 3x - 6 x - 9
y
y¢
y =- 8 x - 2
Cách 2 : Ta có:
chia cho
ta được số dư là
.
N ( 1;- 10)
AB
Như thế điểm
thuộc đường thẳng
.

d : y = ( 2m - 1) x + 3 + m

m

Ví dụ 12: Tìm giá trị tham số
để đường thẳng
vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x 3 - 3x 2 +1
.

m=

3
2

A.
Lời giải :Chọn B

m=
B.

3
4

m =C.

Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình

1
2

m=
D.

1
4

y =- 2 x +1

vng góc với
3
2
m
1
2
=1
Û
m
=
(
)(
)
y = ( 2m - 1) x + 3 + m
4
khi và chỉ khi
.
m
Ví dụ 13 : Tìm tất cả các giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
y = x 3 + 2 x 2 + ( m − 3) x + m

có hai điểm cực trị và điểm
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.
A.

m = −1.

B.

m = −5.

C.

m = 3.

M ( 9; − 5)

D.

nằm trên

m = 2.

Lời giải :Chọn C
Ta có
y′ = 0

y′ = 3 x 2 + 4 x + m − 3

, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆′ > 0

⇔m<

13
( *)

3

16


Phân tích

2   2m 26 
7m 2
1
y = y′. x + ÷+ 
− ÷x +
+
3
9
3
9
9
3

 


7m 2
 2m 26 
y =
− ÷x +
+ .
9 
9 3

 3

thẳng đi qua hai điểm cực trị là
đường thẳng này đi qua

nên phương trình đường

M ( 9; − 5 )

nên

m=3

Theo giả thiết,

(thỏa mãn điều kiện

( *)

).

Nhận xét : Trong dạng toán này học sinh có thể chọn một trong hai cách để làm
và tùy thuộc vào từng bài toán, nên chọn cách nào cho phù hợp. Giáo viên cần
ôn tập lại cho học sinh cách chia đa thức cho đa thức .
2.3.2.6. Dạng 6: Bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
y = f ( x)
Bài toán: Đồ thị hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị
f ( x). f ¢( x)
y = f ( x) = f 2 ( x) ị y Â=

f 2 ( x)
(p dng nh ngha).
ộf ( x) = 0( 1)
Â
y =0 ị ờ
ờf ¢( x) = 0( 2)
ë
Số nghiệm của

y =0

( 1)

chính là số giao điểm của đồ thị

. Còn số nghiệm của

suy ra

( 2)

( 2)

là số cực trị của hàm số

. Vậy tổng số nghiệm bội lẻ của

Ví dụ 14: Cho đồ thị

( C)

y = f ( x)

( 1)

và

( 2)

và trục hoành

y = f ( x)

, dựa vào đồ thị

chính là số cực trị cần tìm.

có hình vẽ bên.

m

Tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
m£ - 1
m³ 3
A.
hoặc
.

y = f ( x) + m

có ba điểm cực trị là:
m£ - 3
m ³ 1.
B.
hoặc

17


C.

m =- 1

hoặc

m =3

.

D.

1 £ m £ 3.

Giải
Cách 1:
y = f ( x) + m
Do
là hàm số bậc ba
y = f ( x) + m

y = f ( x) + m
yCD . yCT ³ 0
Û
=>
có ba điểm cực trị
hàm số
có

ém £ - 1
Û ( 1 + m)( - 3 + m) ³ 0 Û ê
®
ê
ëm ³ 3

Đáp án A

Cách 2:

Ta có

y = f ( x) + m

( f ( x ) + m)

ị y Â=

=

tỡm cc tr ca hm số

khơng xác định.

2

y = f ( x) + m

éf ¢( x ) = 0
Û ê
êf ( x) =- m
ê
ë

( f ( x) + m) . f ¢( x)
.
2
( f ( x ) + m)

, ta tìm

x

thỏa mãn

y' = 0

hoặc

y'

( 1)

( 2)

Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số có 2 điểm cực trị
x1 , x2
Suy ra (1) có hai nghiệm
trái dấu.

x1 , x2

trái dấu.

x1 , x2
Vậy để đồ thị hàm số có 3 cực trị thì (2) có một nghiệm khác
.
( C)
y =- m
Số nghiệm của (2) chính là số giao điểm của đồ thị
và đường thẳng

18


Do đó để (2) có một nghiệm thì dựa vào đồ thị ta có điều kiện:
é- m ³ 1
ém £ - 1
ê
Û ê
ê
ë- m £ - 3 ê
ëm ³ 3 ®

Đáp án.

A.

y = f ( x)

x = x0

f ' ( x0 ) = 0

Chú ý: Nếu
là cực trị của hàm số
thì
hoặc khơng
f ¢( x0 )
tồn tại
.
Trong 2 cách vừa trình bày thì cách 1 có vẻ đơn giản hơn, tuy nhiên nếu học
sinh nắm không chắc chắn về phép tịnh tiến đồ thị và đồ thị của hàm số trị tuyệt
đối thì rất khó để làm. Giáo viên nên định hướng cho học sinh thực hiện theo
cách 2 để có thể xử lý được tất cả các bài toán dạng này.
m
Ví dụ 14 : Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số
để hàm số
y = 3x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + m

có

5

A.
Lời giải: Chọn C

B.

7

điểm cực trị?

6

C.

4

D.

3

y = f ( x ) = 3x 4 - 4 x3 - 12 x 2 + m

Ta có:
.

f ¢( x) =12 x 3 - 12 x 2 - 24 x

Do hàm số

f ( x)

.;

f ¢( x ) = 0 Û x = 0

có ba điểm cực trị nên

f ( x) = 0

y = f ( x)

có

hoặc

7

x =- 1

hoặc

x =2

điểm cực trị khi

ïì m > 0
Û ïí
Û 0 < m <5
ïïỵ m - 5 < 0

Phương trình

có 4 nghiệm
.
m =1; m = 2; m = 3; m = 4
4
Vậy có giá trị nguyên thỏa đề bài là
.
2.3.2.7. Dạng 7: Bài tốn tìm cực trị của hàm số hợp

19


Bài toán: Cho hàm số
thiên của

f ( x) , f '( x )

một hàm số đối với

x

y = f ( x)

(Đề có thể cho bằng hàm số, đồ thị, bảng biến

). Tìm số điểm cực trị của hàm số

y = f ( u)

trong đó

u

là

y = f ( x)
Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của hàm số
y ' = u '. f '( u )
Bước 1. Tính đạo hàm
éu ' = 0
y'=0 Û ê
êf '( u ) = 0
ë
Bước 2. Giải phương trình
y'
Bước 3.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà
không xác định.
Kết luận
Ví dụ 15 : Cho hàm số

y = f ( x)

xác định trên

thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số

¡

và hàm số

y = f ( x 2 - 3)

y = f ¢( x )

có đồ

.

5
3
4
2
A.
B.
C.
D.
Lời giải : Chọn D
y = f ¢( x )
x =- 2
Quan sát đồ thị
ta có đổi dấu từ âm sang dương qua
nên hàm
số

y = f ( x)

có một điểm cực trị là

x =- 2

.

éx = 0
ê
=0 Û ê
x 2 - 3 =- 2 Û
ê
2
ù¢= 2 x. f ¢( x 2 - 3)
êx 2 - 3 =1
y ¢= é
ê
êf ( x - 3) û
ú
ë
ë

éx = 0
ê
êx = ±1
ê
êx =±2
ë

Ta có
.
x = ±2
Mà
là nghiệp kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số
y = f ( x 2 - 3)

có ba cực trị.

20


Ví dụ 16:Cho hàm số bậc bốn
của hàm số

g ( x) = f ( x3 + 3x 2 )

5
A. .
Lời giải : Chọn C

y = f ( x)

có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị

là

3
B. .

C.

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số
a
x - ¥
b

-

f ¢( x )
f ( x)

Ta có

Cho

0

+

y = f ( x)

0

- ¥

7

.

D.

như sau
c

0

11

.

+¥

+

+¥

+¥

g ( x) = f ( x 3 + 3 x 2 ) ị g Â( x) = ( 3 x 2 + 6 x) . f ¢( x3 + 3x 2 )

éx = 0
ê
êx =- 2
ê
êx 3 + 3x 2 = a; a < 0
ê
ê3
é3 x 2 + 6 x = 0
2
êx + 3x = b; 0 < b < 4
ê
ê3
êf ¢ x 3 + 3 x 2 = 0
2
(
)

g ¢( x) = 0 Û ê
Û ê
ë
ëx + 3x = c; c > 4
h ( x ) = x 3 + 3x 2 ị hÂ( x ) = 3x 2 + 6 x

Xét hàm số
Bảng biến thiên

Ta có đồ thị của hàm

h( x) = x3 + 3x 2

. Cho

éx = 0
ê
¢
h ( x) = 0 Û ê
ëx =- 2

như sau

21


Từ đồ thị ta thấy:
y = h( x)
y =a
Đường thẳng

cắt đồ thị hàm số
tại 1 điểm.
y = h( x)
y =b
Đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại 3 điểm.
y = h( x)
y =c
Đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại 1 điểm.
g ¢( x ) = 0
Như vậy phương trình
có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
g ( x) = f ( x 3 + 3x 2 )

Vậy hàm số
có 7 cực trị.
Nhận xét : Đây là các bài toán ở mức độ vận dụng cao , ngoài việc học sinh
nắm chắc các vấn đề về cực trị của hàm số thì giáo viên cần phải ơn tập lại cho
học sinh kỹ năng tính đạo hàm của hàm số hợp và sự tương giao của các đồ thị
hàm số.
2.3.2.7.Củng cố lại kiến thức, kỹ năng làm bài toán về cực trị của hàm số thông
qua buổi thảo luận.
Giáo viên tổ chức một vài buổi thảo luận trong đó giáo viên giao nhiệm vụ
cho từng nhóm chuẩn bị trước ở nhà, nên chia thành 5 nhóm và năng lực học tập
ở các nhóm là tương đương nhau.
Nhóm 1: Giải quyết các bài tốn vận dụng quy tắc tìm cực trị của hàm số.
Nhóm 2: Giải quyết các bài toán về hàm số trị tuyệt đối, hàm hợp về cực trị của

hàm số.
Nhóm 3: Giải quyết các bài tốn tìm tham số m về các vấn đề cực trị của hàm số
thỏa mãn điều kiện cho trước.
Nhóm 4: Giải quyết các bài tốn dựa vào đồ thị của hàm số y= để xác định xác
định cực trị của hàm số.
Buổi thảo luận được tiến hành theo trình tự như sau:
- Đầu tiên một nhóm lên trình bày, phát kết quả của nhóm cho các nhóm
khác.
- Tiếp theo, các nhóm khác đưa ra câu hỏi đối với nhóm vừa trình bày, đưa
ra
cách giải của nhóm.
- Giáo viên nhận xét và đưa ra kết luận cuối cùng và yêu cầu các em học
sinh
ghi nhận.
- Giáo viên có thể trao thưởng cho các nhóm hồn thành tốt nhiệm vụ, có
thể
thưởng điểm cao hoặc những món quà ý nghĩa để khích lệ học sinh.
- Giáo viên nhận xét từng học sinh trong sự chuẩn bị và tiếp thu kiến thức.
Buổi thảo luận tiếp theo thì u cấu của các nhóm được đổi cho nhau.

22


2.3.3. Một số bài tập tham khảo

y = f ( x)

Câu 1: Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
3
0
2
A. .
B. .
C. .

D.

- 4

.

Câu 2 : Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã
cho là:

A.

3

B.

Câu 3 : Cho hàm số

1

C.

f ( x)

2

có bảng xét dấu của

D.
f ¢( x)

như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là :
3
0
2
A. .
B. .
C. .
Câu 4 : Cho hàm số

f ( x)

0

1
D. .
3

f ¢( x ) = x ( x +1)( x - 4) " x Ỵ ¡
có

,
.

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là :
3
4
1
A. .
B. .
C. .

y = x 3 - 3x 2 + 4

yCT

Câu 5 : Giá trị cực tiểu
của hàm số
yCT = 0
yCT = 3
yCT = 2
A.
.
B.
C.
.

D.
là:
D.

2

.

yCT = 4

.

Câu 6 : Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số
1
y = x3 - mx 2 +( m 2 - 4) x + 3
3
A.

m =1, m = 5

.

B.

m =5

.

x =3
đạt cực đại tại
.
m =1
C.
.

D.

m =- 1

.

23


Câu

7

: Tìm tất cả tham số
y = ( m - 1) x 4 - ( m 2 - 2) x 2 + 2019

đạt cực tiểu tại
m =0
A.
.

thực

m

để

hàm

số

x =- 1
B.

Câu 8 : Cho hàm số

.
m =- 2

C.

m =1

.

y = x 3 - 3( m +1) x 2 + 3( 7 m - 3) x

D.
. Gọi

m=2

.

S

là tập các giá trị
S
nguyên của tham số m để hàm số khơng có cực trị. Số phần tử của là

0
2
4
A. .
B. .
C. .
D. Vô số.
Câu 9 : Đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x3 - 2 x + m
A. 1.

đi qua điểm
- 1
B.
.

M ( - 3;7)

khi

m

bằng bao nhiêu?

C. 3.

D. 0.

m

y = x 3 - 3x 2 + m

Câu 10 : Với giá trị nào của tham số
để đồ thị hàm số
hai
OA = OB O
A B
điểm cực trị , thỏa mãn
( là gốc tọa độ)?
3
1
5
m=
m=
m=
m =3
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 11: Tập hợp các giá trị của
7

điểm cực trị là:
(0;6)
(6;33)
A.
B.

f (x)

m

có

y = 3x 4 - 4 x 3 - 12 x 2 + m - 1

để hàm số

C.

(1;33)

¡

có

D.

(1;6)

f ¢( x)

Câu 12 : Cho hàm số
xác định trên
và có đồ thị
như hình vẽ bên.
g ( x) = f ( x) - x
Đặt
. Hàm số đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?

24


A.

ổ3 ử
ỗ
;3ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2 ứ

B.

( - 2;0)

Cõu 13 :Cho hm s

v

A.

2

.

. S cực trị của hàm số

f ( x)

3
C. .

y = g ( x)

( với

9
B. .

1
D. .

, bảng biến thiên của hàm số

Số cực trị của hàm số

3
A. .

D.

bằng

5
B. .

Câu 14: Cho hàm số

( 0;1)

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d Ỵ ¡ )

ìïï a > 0, d > 2019
í
ïïỵ a + b + c + d - 2019 < 0

g ( x) = f ( x) - 2019)

C.

ổ
1 ử
ỗ
;2ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2 ứ

y = f ( 4 x 2 - 4 x)
5
C. .

f ¢( x)

như sau:

là
D.

7

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết quả vận dụng của bản thân:
Chúng tôi đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với
những mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khoá học hoặc giữa các
lớp ở các khoá học khác nhau.
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12A7 ôn thi
THPT Quốc gia ở trường THPT Tĩnh Gia 1 năm học 2021-2022. Trong quá trình
triển khai đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam
mê ,u thích mơn tốn, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt,
sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, phát
triển tốt năng lực giải bài toán của học sinh về nội dung cực trị của hàm số. Kết
quả ,học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến
thức cơ bản ,nhiều em vận dụng tốt ở từng bài toán cụ thể .Qua các bài kiểm tra

về nội dung này và các bài thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tơi nhận thấy
nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt. Cụ thể như sau :

25