Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
PGS.TS Nguyễn Nhụy – người thầy đã quan tâm, giúp đỡ và chỉ bảo tận tình cho
em trong suốt quá trình nghiên cứu vừa qua để em hoàn thành khóa luận một cách
tốt nhất.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trường
Đại học Khoa học Tự nhiên và trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội
đã dạy bảo em tận tình trong suốt thời gian học tập tại trường.
Nhân dịp này, em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và tập
thể lớp QH – 2013 Sư phạm Toán, cảm ơn vì mọi người đã luôn bên em, động viên,
khích lệ em và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em học tập và thực hiện khóa luận
tốt nghiệp.
Tuy đã cố gắng rất nhiều trong suốt quá trình làm khóa luận nhưng do thời
gian và kiến thức có những hạn chế nhất định nên khóa luận không tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong nhận được những góp ý quý báu từ thầy cô và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Lƣơng Thị Duyên


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

BĐT :

Bất đẳng thức

L

Loại

:

GTLN:

Giá trị lớn nhất

Nxb

Nhà xuất bản

:

THPT :

Trung học phổ thông

TM

Thỏa mãn

:

TXĐ :

Tập xác định

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÔGARIT ..........................3
1.1. Lôgarit .........................................................................................................3
1.2. Hàm số lôgarit .............................................................................................4
1.3. Phương trình lôgarit ....................................................................................5
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP VỀ PHƢƠNG TRÌNH
LÔGARIT VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI ..................................................................6
2.1. Bài toán 1: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp mũ hóa và đưa về
cùng cơ số .............................................................................................................6
2.1.1. Phương pháp giải ......................................................................................6
2.1.2. Ví dụ ..........................................................................................................7
2.2. Bài toán 2: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ.........14
2.2.1. Phương pháp giải ....................................................................................14
2.2.2. Ví dụ ........................................................................................................15
2.3. Bài toán 3: Giải phương trình lôgarit bằng cách sử dụng tính chất đơn điệu
của hàm số ..........................................................................................................25
2.3.1. Phương pháp giải ....................................................................................25
2.3.2. Ví dụ ........................................................................................................28
2.4. Bài toán 4: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá............38
2.4.1. Phương pháp giải ....................................................................................38
2.4.2. Ví dụ ........................................................................................................39
CHƢƠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ ...............43
3.1. Phương pháp giải ........................................................................................43
3.1.1. Ứng dụng tam thức bậc hai .....................................................................43


3.1.2. Ứng dụng của đạo hàm ...........................................................................44
3.2. Ví dụ ...........................................................................................................44
KẾT LUẬN ..............................................................................................................50

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................51


LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học có vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Nó là
công cụ để học các môn học khác, đặc biệt là những môn khoa học tự nhiên, kỹ
thuật và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn.
Phương trình là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương
trình toán bậc trung học phổ thông. Đặc biệt phương trình lôgarit là một nội dung
hay nhưng cũng khá khó đối với học sinh và thường xuất hiện trong các đề thi đại
học, thi học sinh giỏi. Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận
dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán.
Là sinh viên ngành Toán, tôi nhận thức được cái khó của lôgarit và thông qua
tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT
sau này. Do đó, tôi chọn đề tài “Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về
phương trình lôgarit” cho khóa luận của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu
Qua việc tìm hiểu, phân tích các bài toán phương trình lôgarit, đề tài phân loại
một số dạng bài toán thường gặp và đưa ra phương pháp giải của từng dạng bài
nhằm giúp học sinh giải được các bài toán phương trình lôgarit dễ dàng và hiệu quả.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng và hệ thống hóa kiến thức liên quan, các dạng bài tập và phương pháp
giải từng dạng về phương trình lôgarit.
Tìm hiểu về kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải toán trắc nghiệm phương
trình lôgarit.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
1

Đối tƣợng nghiên cứu: Phương pháp giải phương trình lôgarit.
Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng bài toán thường gặp về phương trình lôgarit
trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan đến
phương trình lôgarit; tài liệu về kỹ năng sử dụng máy tính casio để giải trắc nghiệm
toán phương trình lôgarit.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút ra
được kinh nghiệm để giải các bài toán phương trình lôgarit.
5. Đóng góp mới của đề tài
Đề tài đi vào cụ thể, chi tiết phương pháp giải một số dạng bài toán thường gặp
về phương trình lôgarit.
Ngoài ra, đề tài cũng hướng dẫn cách sử dụng máy tính cầm tay để giải toán trắc
nghiệm phương trình lôgarit để bắt kịp xu hướng thi trắc nghiệm hiện nay.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, phần kết thúc, lời cảm ơn, mục lục, phần danh mục tài liệu
tham khảo, đề tài gồm 3 chương:
Chƣơng 1: Một số kiến thức cơ bản về lôgarit.
Chƣơng 2: Một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit và phương pháp
giải.
Chƣơng 3: Hướng dẫn giải toán trắc nghiệm phương trình lôgarit bằng máy
tính cầm tay.

2


CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÔGARIT

1.1. Lôgarit
a) Định nghĩa
Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a𝛂 = b được gọi là
lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b.
Ta viết: α = loga b ⟺ a𝛂 = b.
b) Các tính chất
Cho 2 số dương a, b với a ≠ 1, ta có:
 loga a = 1, loga 1 = 0
 a log a b = b, loga (a𝛂 ) = α
c) Lôgarit của một tích
Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có:
loga (b1b2) = loga b1 + loga b2
Cho n+1 số dương a, b1, b2,…, bn với a ≠ 1, ta có:
loga (b1b2... bn) = loga b1 + loga b2 + … + loga bn
d) Lôgarit của một thƣơng
Cho 3 số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có:


log a

b1
 log a b1  log a b2
b2

 Đặc biệt: log a

1
  log a b (a, b > 0, a ≠ 1)
b

3


e) Lôgarit của lũy thừa
Cho 2 số dương a, b, a ≠ 1, với mọi α, ta có:


log a b   log a b

 Đặc biệt: log a n b 

1
m
log a b; log a n bm  log a b
n
n

f) Công thức đổi cơ số
Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1, ta có:


log a b 

log c b
log c a

 Đặc biệt: log a c 

1
1

và log a b  log a b (a ≠ 0)
log c a


g) Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10: log10 b  log b  lg b
 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e: loge b  ln b
1.2. Hàm số lôgarit
Hàm số lôgarit là hàm số có dạng y  log a x (a > 0, a ≠ 1)
a) Tập xác định: D = (0 ; +∞).
b) Tập giá trị: T = ℝ, nghĩa là khi giải phương trình lôgarit mà đặt t = loga x thì t
không có điều kiện.
c) Tính đơn điệu
 Khi a > 1 thì y = log a x đồng biến trên D. Với f , g : D  (0; ) ta có:
log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)

 Khi 0 < a < 1 thì y  log a x nghịch biến trên D. Với f , g : D  (0; )
ta có: log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)

4


d) Đạo hàm
Với x, u > 0, 0 < a ≠ 1, ta có:


 log a x  

1
x.ln a



 log a u  

u
u.ln a



 ln x  

1
( x  0)
x



 ln u  

u
u



 ln u   n. uu .ln
n



n 1

u

e) Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.
a>1

0
Hình 1.1

Hình 1.2

1.3. Phƣơng trình lôgarit
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu
lôgarit.
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log a f ( x)  b (a > 0, a ≠ 1).
Phương trình log a f ( x)  b (a > 0, a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất x  ab , b .

5


CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP VỀ PHƢƠNG
TRÌNH LÔGARIT VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI

2.1. Bài toán 1: Giải phƣơng trình lôgarit bằng phƣơng pháp mũ hóa và đƣa
về cùng cơ số
2.1.1. Phương pháp giải
Để chuyển ẩn số khỏi lôgarit, ta có thể mũ hóa theo cùng 1 cơ số cả 2 vế của
phương trình. Lưu ý các dạng biến đổi cơ bản sau:

 Dạng 1:

 0  a 1

log a f ( x)  b   f ( x)  0
 f ( x)  a b


 Dạng 2:

 0  a 1
log a f ( x)  log a g ( x)  
 f ( x)  g ( x)  0

 Dạng 3:

 0  a 1

log a f ( x)  g ( x)   f ( x)  0
 f ( x)  a g ( x )


Chú ý
- Việc lựa chọn điều kiện f (x) > 0 hoặc g (x) > 0 tùy thuộc vào độ phức tạp
của f (x) và g (x).
- Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0 < a ≠ 1 thì không cần kiểm tra điều
kiện mà biến đổi tương đương luôn.
Một số công thức thường dùng
Với 0  a  1 :

1



log a f ( x) 



log a  f ( x)  2n log a f ( x) , f ( x)  0



log a f ( x), f ( x)  0

2n

6




log a  f ( x)



log a f ( x)  log a g ( x)  log a  f ( x) g ( x), f ( x)  0, g ( x)  0



log a f ( x)  log a g ( x)  log a

2 n1

  2n  1 log a f ( x), f ( x)  0

f ( x)
, f ( x)  0, g ( x)  0
g ( x)

Các bước giải
Bƣớc 1: Đặt điều kiện cho biểu thức có nghĩa, chẳng hạn:
0  a  1
log a f ( x) có nghĩa  
 f ( x)  0

Bƣớc 2: Dùng các công thức biến đổi đưa về dạng 1, 2 hoặc 3.
2.1.2. Ví dụ
Ví Dụ 1. Giải phương trình log3 (2 x  1)  2

(1)

Lời giải
Điều kiện: 2 x  1  0  x 

1
2

(1)  2 x  1  32
10
9

5
 x  (TM )
9

 2x 

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x 
Ví Dụ 2. Giải phương trình log 2 ( x  2)  log 2 ( x  2)  2
Lời giải
x  2  0
 x  2

x2
Điều kiện: 
x  2  0
x  2

(1)  log 2 ( x  2)( x  2)  log 2 4

7

5
.
9
(1)


 ( x  2)( x  2)  4
 x2  4  4
 x2  8

 x  2 2

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x  2 2 .
Ví Dụ 3. Giải phương trình lg( x2  2 x  3)  lg( x  3)  lg( x  1)

(1)

Lời giải
 x2  2 x  3  0

 x 1
Điều kiện:  x  3  0
x 1  0


(1)  lg( x2  2 x  3)( x  3)  lg( x  1)
 ( x 2  2 x  3)( x  3)  ( x  1)
 ( x  1)( x  3) 2  ( x  1)
 x 1  0

2
( x  3)  1
x  1
  x  2
 x  4

Kết hợp điều kiện, phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví Dụ 4. Giải phương trình 2log 25 (3x 11)  log5 ( x  27)  3  log5 8
Lời giải
11


3x  11  0
x 

3  x  27
Điều kiện: 
 x  27  0

 x  27
3
(1)  2log52 (3x  11)  log5 ( x  27)  log5 5  log5 8

1
 2. log5 (3x  11)  log 5 ( x  27)  log 5 125  log 5 8
2

8

(1)


 log 5 (3x  11)( x  27)  log 5 1000
 (3 x  11)( x  27)  1000
 3 x 2  92 x  703  0
19

x


3


 x  37
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x  37 .
Ví Dụ 5. Giải phương trình log5 x3  log0,2 x  log 3 25 x  7

(1)

Lời giải
Điều kiện: x  0
3
(1)  log5 x  log51 x  log 2 x  7
53

 3log 5 x  log 5 x 

3
log 5 x  7
2

3

  3  1   log 5 x  7
2

7
 log 5 x  7
2
 log 5 x  2
 x  25

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x  25 .
Ví Dụ 6. Giải phương trình log4 (log2 x)  log2 (log4 x)  2
Lời giải
x  0

Điều kiện: log 2 x  0  x  1
log x  0
 4

(1)  log 22 (log 2 x)  log 2 (log 22 x)  2

9

(1)


1
1
log 2 (log 2 x)  log 2 ( log 2 x)  2
2
2
1
1
 log 2 (log 2 x)  log 2 (log 2 x)  log 2  2
2
2
1
 log 2 (log 2 x)  log 2 (log 2 x)  3
2
3

 log 2 (log 2 x)  3
2
 log 2 (log 2 x)  2



 log 2 x  4
 x  16
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x  16 .
2

4
 x
Ví Dụ 7. Giải phương trình log 4    log 2  4 x   10  0
4

(1)

Lời giải
Điều kiện: x  0
2
2
4
4
(1)  log 4 x  log 4 4  log 2 4  log 2 x  10  0

 log 2 x  2  8  4 log 2 x  10  0
 log 2 x  0
 x  20  1
 x  1

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x  1 .
Ví Dụ 8. Giải phương trình

3
log x 3  3log 27 x  2log3 x
4

Lời giải
Điều kiện: 0  x  1

3 1
 log3 x  2log3 x  0
(1)  .
4 log3 x

10

(1)




3
1
.
 3log 3 x
4 log 3 x

1

4
1

 log 3 x  2

 log x   1
 3
2

 log 32 x 

x  3
 
1
x

3

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x  3; x 
Ví Dụ 9. Giải phương trình log2 x  log3 x  log 4 x  log 20 x
Lời giải
Cách giải 1
Điều kiện: x  0
(1)  log 2 x 

log 2 x log 2 x log 2 x


log 2 3 log 2 4 log 2 20


1
1
1 
 log 2 x. 1 


0
log 2 3 log 2 4 log 2 20 

 log 2 x  0
 x 1

Kết hợp điều kiện, nghiệm phương trình là x  1 .
Cách giải 2
Điều kiện: x  0
(*) 

ln x ln x ln x ln x



0
ln 2 ln 3 ln 4 ln 20

11

1
.
3

(1)


1
1
1 
 1
 ln x 



0
 ln 2 ln 3 ln 4 ln 20 
 ln x  0
 x 1

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x  1 .
Nhận xét
Cách giải 1 sử dụng công thức biến đổi cơ số log a x 

log c x
.
log c a

Cách giải 2 cũng sử dụng công thức biến đổi cơ số log a x 
thể với c = e, lúc đó log a x 

log c x
nhưng cụ

log c a

ln x
.
ln a

Ví dụ 10. Giải phương trình log 2 x  log3 x  log5 x  log 2 x.log3 x.log5 x

(1)

Lời giải
Điều kiện: x  0
(1)  log 2 x  log3 x  log5 x  log 2 x.log3 x.log5 x
 log 2 x  log 3 2.log 2 x  log 5 2.log 2 x  log 2 x.(log 3 5.log 5 x).log 5 x
 log 2 x(1  log 3 2  log 5 2  log 3 5.log 52 x)  0
 log 2 x  0

2
1  log 3 2  log 5 2  log 3 5.log 5 x  0
x  1
 2
 log 5 x  1  log 3 2  log 5 2
log 3 5

x  1

 2
1  log 3 2  log 5 2
log 5 x  


log 3 5

x  1
1 log3 2  log5 2



log3 5
x  5

12


Kết hợp điều kiện, phương trình có ba nghiệm là

x  1; x  5

1 log3 2 log5 2
log3 5



;x 5

1 log3 2 log5 2
log3 5

.

Ví dụ 11. Giải phương trình 2log3  x3  1  log3  2 x  1  log

2

3

 x  1

(1)

Lời giải
 x3  1  0
 x  1


Điều kiện: 2 x  1  0  
1
x 1  0
 x  2






2
(1)  2log3  x  1 x  x  1   2log3 2 x  1  2log3  x  1

 log 3  x  1  x 2  x  1   log 3  x  1 2 x  1 
  x  1  x 2  x  1   x  1 2 x  1
 2 x 1  x2  x  1
2 x  1  x 2  x  1 1  2 x  x 2  x  1



2 x  1  0
2 x  1  0
 x  0  x  1 x  2

Kết hợp điều kiện, phương trình có ba nghiệm là x  0; x  1; x  2 .
Ví dụ 12. Giải phương trình 3 

1
 89 x 25 
 log x 
 
log32 x
2x 
 2

Lời giải
x  1
0  x  1
0  x  1



2
  89 x  25

5
Điều kiện:  89 x 25
x




0

0



89
2x
 2
 2x


89 x 2  25
(1)  3  log x 32  log x
2x
89 x 2  25
 log x x  log x 32  log x
2x
3

13

(1)


89 x 2  25
2x

2
89 x  25
 32 x 3 
2x
4
2
 64 x  89 x  25  0

 log x 32 x 3  log x

 x2  1
  2 25
x 

64
 x  1

x   5
8


Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x 

5
.
8

2.2. Bài toán 2: Giải phƣơng trình lôgarit bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ
2.2.1. Phương pháp giải
 Dạng 1

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ t để chuyển phương
trình ban đầu thành phương trình ẩn t. Lưu ý các phép biến đổi sau:


log a f ( x)  log a b.logb f ( x), (0  a  1, 0  b  1, f ( x)  0)



1
log ab f ( x)  log a f ( x), (0  a  1, b  0, f ( x)  0)
b

 Dạng 2
Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng 1 ẩn phụ t chuyển phương trình
ban đầu thành phương trình ẩn t nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.
Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn
ẩn phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua
ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp.
Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x)
có biệt số ∆ là 1 số chính phương.

14


 Dạng 3
Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 3 là là việc sử dụng 2 ẩn phụ u, v cho 2 biểu thức
lôgarit trong phương trình và biến đổi phương trình ban đầu thành phương trình tích
với 2 ẩn u, v.
 Dạng 4
Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình

ban đầu thành 1 hệ k phương trình với k ẩn.
Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại
lượng tương ứng.
 Dạng 5
Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 5 là phương pháp đặt ẩn phụ liên tiếp, sử dụng ẩn
phụ u chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình ẩn u, tiếp tục sử dụng ẩn
phụ v chuyển phương trình ẩn u thành 1 phương trình ẩn v. Từ 2 phương trình ẩn u
và ẩn v vừa tìm được ta biến đổi thành hệ 2 phương trình với ẩn u, v.
2.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình log 22 x  4log 2 x  3  0
Lời giải
Điều kiện: x  0
Đặt t  log 2 x
(1)  t 2  4t  3  0
t  1

t  3

log 2 x  1

log 2 x  3
x  2

x  8

15

(1)

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x  2; x  8 .
Ví dụ 2. Giải phương trình

1
2

1
5  log x 1  log x

(1)

Lời giải

x  0
x  0
x  0



5
Điều kiện: 5  log x  0  log x  5   x  10
log x  1  0
log x  1 
1


 x  101 
10


Đặt t  log x
(1) 

1
2

1
5  t 1 t

 t 2  5t  6  0
t  2

t  3
 log x  2

 log x  3
 x  102  100

3
 x  10  1000

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x  100; x  1000 .
Ví dụ 3. Giải phương trình log x 2  log 4 x 

7
0
6

(1)

Lời giải
Điều kiện: 0  x  1
(1) 

1
1
7
 log 2 x   0
log 2 x 2
6

(2)

Đặt t  log 2 x  0

1 t 7
(2)     0
t 2 6

16


 3t 2  7t  6  0
2

t


3


t  3
2

log 2 x  


3

log 2 x  3
2


1
x2 3  3


4

 x  8

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x 

1
;x 8.
4

3

Ví dụ 4. Giải phương trình log32 x  log32 x  1  5  0
Lời giải

Điều kiện: x  0
Đặt t  log32 x  1  1
 t 2  log32 x  1
 log32 x  t 2  1

(1)  t 2  t  6  0

t  3

t  2

( L)

 log 32 x  1  2
 log 32 x  1  4
 log 32 x  3
 log 3 x   3
 x  3

3

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x  3 3 ; x  3 3 .

17

(1)


Ví dụ 5. Giải phương trình log 2 3 x  3 log 2 x 

4
3

(1)

Lời giải

3 x  0
 x0
Điều kiện: 
x

0



1
4
(1)  log 2 x  3 log 2 x   0
3
3

(2)

Đặt t  3 log 2 x  t 3  log 2 x

1 3
4
(2)  t  t   0
3

3
 t 3  3t  4  0
 (t  1)(t 2  t  4)  0
 t 1
 log 2 x  1
 x2

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x  2 .
Ví dụ 6. Giải phương trình 2log 4  x 2  x   3 log 4  x  1  2log 4 x  4
2

(1)

Lời giải
 x2  x  0

 x2
Điều kiện: 0  x  1

2
log 4  x  1  0

(1)  2log 4  x  x  1  3 2log 4  x  1  2log 4 x  4  0
 2 log 4 x  log 4  x  1   3 2log 4  x  1  2log 4 x  4  0
 2log 4  x  1 3 2log 4  x  1  4  0

Đặt t  2log 4  x  1  0  t 2  2log 4  x  1
(2)  t 2  3t  4  0

18

(2)


t  1 (TM )

 t  4 ( L )


2 log 4  x  1  1

 2 log 4  x  1  1
 log 4  x  1 
 x 1  4
 x 1  2

1
2

1
2

 x3

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x  3 .
Ví dụ 7. Giải phương trình log x 2  log 4 x 

7
0
6

(1)

Lời giải
Điều kiện: 0  x  1
(1) 

1
1
7
 log 2 x   0
log 2 x 2
6

(2)

Đặt t  log 2 x  0

1 t 7
(2)     0
t 2 6
 3t 2  7t  6  0
2

t


3

t  3

2

log 2 x  


3

log 2 x  3
2


1
3
x

2
3

4

 x  8

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x 

19

1
;x 8.
4

3


Ví dụ 8. Giải phương trình lg 2 x  lg x.log 2  4 x   2log 2 x  0

(1)

Lời giải
Điều kiện: x  0
(1)  lg 2 x   2  log 2 x  lg x  2log 2 x  0

(2)

Đặt t  lg x
(2)  t 2  (2  log 2 x)t  2log2 x  0
  (2  log 2 x)2  8log 2 x  (2  log 2 x)2

t  2

t  log 2 x
lg x  2

lg x  log 2 x  lg x
lg 2

lg x  2

lg x  0
 x  100


x  1

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x  1; x  100 .
2
Ví dụ 9. Giải phương trình log 2  x  x  1   log 2 x.log 2  x 2  x   2  0

(1)

Lời giải
 x  x  12  0


 x 1
Điều kiện:  x  0
 x2  x  0



( x 2  x) 2
 log 2 x.log 2 ( x 2  x)  2  0
(1)  log 2
x
 2 log 2 ( x 2  x)  log 2 x  log 2 x.log 2 ( x 2  x)  2  0
 2 log 2 ( x 2  x)  log 2 x. log 2 ( x 2  x)  1  2  0

20

(2)

2

u  log 2  x  x 
Đặt 

v  log 2 x

Khi đó phương trình (2) tương đương với:
2u  v(u  1)  2  0
 2u  vu  v  2  0
 u (v  2)  (v  2)  0
 (v  2)(u  1)  0
u  1

v  2

log 2  x 2  x   1

log 2 x  2
 x2  x  2  0

 x  22  1

4

 x  1

 x  2

1

x 

4

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x  2 .









Ví dụ 10. Giải phương trình log 2 x  x 2  1  3log 2 x  x 2  1  2
Lời giải
 x2 1  0


2
Điều kiện:  x  x  1  0  x  1

2

x  x 1  0




u  log x  x 2  1

2

Đặt 
v  log 2 x  x 2  1




21

(1)