bai tap tinh don dieu va cuc tri cua ham so bt don dieu cuc tri cua ham so

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A/- KIẾN THỨC CƠ BẢN.
I. Tính đơn điệu của hàm số.
1). Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K
 Hàm số y = f ( x) đồng biến trên K nếu " x1, x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1) < f ( x2 )
 Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K nếu " x1, x2 Î K : x1 < x2 Þ f ( x1) > f ( x2 )
Chú ý: K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
2). Định lý: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K
a) Nếu f ¢( x) > 0, " x Î K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K
b) Nếu f ¢( x) < 0, " x Î K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f ¢( x) ³ 0, " x Î K và f ¢( x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K
b) Nếu f ¢( x) £ 0, " x Î K và f ¢( x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K
c) Nếu f ¢( x) = 0, " x Î K thì f ( x) không đổi trên K
3). Hai dạng toán cơ bản.
Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Quy tắc tìm:
 Tìm tập xác định của hàm số
 Tính đạo hàm f ¢( x) . Tìm các điểm xi (i = 1, 2,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định
 Lập bảng biến thiên
 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Dạng 2. Tìm các giá trị m để hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng cho
trước
Phương pháp: Xét hàm số y = f ( x) trên K
 Tìm tập xác định của hàm số (nếu cần). Tính f ¢( x)
 Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số đồng biến trên K Û f ¢( x) ³ 0, " x Î K
+ Hàm số nghịch biến trên K Û f ¢( x) £ 0, " x Î K
 Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm
m
Chú ý: Cho hàm số f ( x)  ax 2  bx  c  a  0 
 f ( x)  0, x 

a  0

  0

 f ( x)  0, x 

a  0

  0

II. Cực trị của hàm số.
1). Định lí 1. Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên
K hoặc K \ {x0 } (h > 0) .
a) f ¢( x) > 0 trên ( x0  h; x0 ) và f ¢( x) < 0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm CĐ của f ( x) .
b) f ¢( x) < 0 trên ( x0  h; x0 ) và f ¢( x) > 0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm CT của f ( x) .
Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.
Qui tắc 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1).
 Tìm tập xác định.
 Tính f ¢( x) . Tìm các điểm tại đó f ¢( x) = 0 hoặc f ¢( x) không xác định.

1

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị.
2). Định lí 2. Giả sử y = f ( x) có đạo hàm cấp 2 trong ( x0  h; x0  h) (h > 0) .
a) Nếu f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
b) Nếu f ¢( x0 ) = 0, f ¢¢( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Qui tắc 2 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2).
 Tìm tập xác định.
 Tính f ¢( x) . Giải phương trình f ¢( x) = 0 và kí hiệu xi là nghiệm
 Tìm f ¢¢( x) và tính f ¢¢( xi ) .
 Dựa vào dấu của f ¢¢( xi ) suy ra tính chất cực trị của xi .
3). Các dạng toán thường gặp
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số cho trước.
Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2
Dạng 2. Điều kiện để hàm số đạt cực trị
Phương pháp:
 Tìm tập xác định D của hàm số
 Tính f ¢( x)
 Hàm số đạt cực trị tại x0 Î D Û f ¢( x) đổi dấu khi qua x0
Một số chú ý:
 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx = d , a ¹ 0 có cực trị (cực đại và cực tiểu) Û y ¢= 0 có hai
nghiệm phân biệt
 Xét hàm số trùng phương y = ax4 + bx + c, a ¹ 0
éx = 0
y ¢= 4ax3 + 2bx = 2 x(2ax 2 + b), y ¢= 0 Û êê 2
(1)
êë2ax + b = 0

+ Hàm số có ba cực trị Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û ab < 0
+ Hàm số có một cực trị Û (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0
éab > 0
Û ê
êëb = 0
B/-MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA.
VD1. Cho hàm số y   x3  3x2  1. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
GIẢI
 TXĐ: D = ¡ .
éx = 0
 y ¢= - 3x2 + 6 x ; y ¢= 0 Û - 3 x 2 + 6 x = 0 Û ê
êëx = 2
 Giới hạn: lim y  , lim y  
x 

x 

 Bảng biến thiên:
x

0

2

y'

0

0

y

-1
CT

3
CĐ

2


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Hàm số đồng biến trên (0; 2); hàm số nghịch biến trên (;0) và (2; ) .
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = - 1.
VD2. Cho hàm số y   x4  3x 2  1 . Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
GIẢI
 TXĐ: D = ¡ .
éx = 0
ê
 y ¢= - 4x3 + 6x ; y ¢= 0 Û - 4 x3 + 6 x = 0 Û ê
êx = ± 6
êë
2
 Giới hạn: lim y  ,
x 

lim y  

x 

 Bảng biến thiên
x

0
0

y'

0

0
1
CT

y
CĐ

CĐ




 6

6
6
6 

;0  và 
;   .
Hàm số đồng biến trên  ; 
 và  0;
 ; nghịch biến trên  
2 

 2 
 2 
 2

6
13
Hàm số đạt cực đại tại x  
, y  , Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1
CĐ
2
4

VD3. Cho hàm số y 

x
. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
x 1

GIẢI
 Tập xác định D 

\ 1 .

 y ¢= -

1
2
(x - 1)

< 0, " x Î D .

 Giới hạn: lim y =
x® - ¥

lim y = - ¥ ; lim y = + ¥ .

lim y = 1;

x® + ¥

x® 1-

x® 1+

 BBT
x

1

y'
y

1

1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1  và 1;  .
Hàm số không có cực trị
x3
VD4. Cho hàm số y = m2 - 1
+ (m + 1)x 2 + 3x + 5 . Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡ .
3
GIẢI

(

)

3


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

TXĐ: D = ¡

(

)

Đạo hàm: y ¢= m2 - 1 x2 + 2(m + 1)x + 3
 Nếu m = 1 thì y ¢= 4 x + 3

3
( loại so với yêu cầu bài toán)
4
 Nếu m = - 1 thì y ¢= 3 > 0 " x Î ¡ . Hàm số đồng biến trên ¡ (nhận so với ycbt) (1)
 Nếu m ¹ ± 1 thì hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi
íï a = m 2 - 1 > 0
ï
y ¢³ 0 " x Î ¡ Û ïì
ïï D = (m + 1)2 - 3 m 2 - 1 £ 0
ïî
íï m < - 1 Ú m > 1 íï m < - 1 Ú m > 1
ém < - 1
Û ê
Û ïì 2
Û ïì
êëm ³ 2 (2)
ïïî m £ - 1 Ú m ³ 2
ïï m - m - 2 ³ 0
î
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi y ¢³ 0 Û x ³

(

)

ém £ - 1
Từ (1) và (2) suy ra hàm số đồng biến trên ¡ Û ê
êëm ³ 2
VD5. Cho hàm số y = - x3 - 3(2m + 1)x 2 - (12m + 5)x - 2 . Định mọi giá trị của tham số m để
hàm số luôn luôn nghịch biến.

GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y ¢= - 3x 2 - 6(2m + 1)x - (12m + 5)
2

Biệt số D ¢= 9 (2m + 1) - 3(12m + 5) = 36m 2 - 6
Vì hệ số a của y ¢ là - 3 < 0, " m nên hàm số luôn luôn nghịch biến Û y ¢£ 0 , " x Î ¡

6
6
£ m£
6
6
6
6
£ m£
Vậy các giá trị m cần tìm là: 6
6
1
VD6. Định a để hàm số y = - x3 + (a - 1)x 2 + (a + 3)x - 4 . Đồng biến trên khoảng (0;3)
3
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y ¢= - x 2 + 2(a - 1)x + a + 3
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) Û y ¢³ 0, " x Î (0;3)
Û D ¢£ 0 Û 36m2 - 6 £ 0 Û -

Û - x2 + 2(a - 1)x + a + 3 ³ 0, " x Î (0;3) (1)
Xét bất phương trình (1)
(1) Û x2 + 2 x - 3 £ a (2 x + 1)

x Î (0;3) Þ 2 x + 1 > 0 nên (1) Û a ³

x2 + 2 x - 3
= g (x)
2x + 1

Xét hàm số g (x) trên khoảng (0;3)

4


Gia sư Thành Được
Có g ¢(x) =
BBT:

x

www.daythem.edu.vn

2 x2 + 2 x + 8
2

(2 x + 1)

> 0, " x Î (0;3)

0

3

g'(x)
12
g(x)

7
-3

Từ BBT suy ra a ³ g ( x), " x Î (0;3) Û a ³

12
7

12
7
3
2
VD7. Định m để hàm số y = x + 3x + (m + 1)x + 4m . Nghịch biến trên khoảng (- 1;1)
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y ¢= 3x2 + 6 x + m + 1
Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 1;1) Û y ¢£ 0, " x Î (- 1;1)
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) Û a ³

Û 3x2 + 6 x + m + 1 £ 0, " x Î (- 1;1) (1)
Xét BPT (1): (1) Û m £ - 3x2 - 6 x - 1 = g ( x)
Xét hàm số g ( x), x Î (- 1;1)
Có: g ¢( x) = - 6 x - 6 £ 0, " x Î (- 1;1)
BBT:
x

-1

1

g'(x)
0
g(x)
- 10

Từ BBT suy ra m £ g ( x), " x Î (- 1;1) Û m £ - 10
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (- 1;1) Û m £ - 10
VD8. Tìm điều kiện của m để hàm số y = 2 x3 - 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x - 3m + 6 đồng biến
trên khoảng (5;¥ ).
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y ¢= 6 x2 - 6(m + 2)x + 6(m + 1)
Hàm số đồng biến trên khoảng (5; ¥ ) Û y ¢³ 0, " x Î (5; + ¥ )

Û 6 x2 - 6(m + 2)x + 6(m + 1)³ 0, " x Î (5; + ¥ ) (1)
Xét BPT (1): (1) Û 6 x2 - 12 x + 6 ³ 6m(x - 1)

5


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Vì x Î (5; + ¥ ) nên x - 1 > 0 do đó:

x2 - 2 x + 1
(1) Û m £
, " x Î (5; + ¥ ) Û m £ x - 1 = g (x), " x Î (5; + ¥ )
x- 1
Xét hàm số g (x), x Î (5;0) ta có: g ¢(x) = 1 > 0, " x Î (5; + ¥ )
BBT:
x

5

g'(x)
g(x)
4

Từ BBT suy ra m £ g ( x), " x Î (5; + ¥ ) Û m £ 4
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (5; + ¥ ) Û m £ 4
VD9. Cho hàm số: y = (m - 2)x3 - mx - 2 . Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có
điểm cực đại và điểm cực tiểu.
GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y ¢= 3(m - 2)x 2 - m
Hàm số không có cực trị thì phương trình y ¢= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Û D £ 0 Û 0 + 4.3m(m - 2)£ 0 Û 0 £ m £ 2

1 3
x - mx 2 + m2 - m + 1 x + 1 . Tìm m để hàm số
3
a) Có cực đại và cực tiểu.
b) Đạt cực đại tại điểm x = 1

(

VD10. Cho hàm số: y =

)

GIẢI
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y¢= x2 - 2mx + m2 - m + 1
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt.
íï 1 ¹ 0
ïíï a y ¢ ¹ 0
ï
Û ì
Û ïì
Û m - 1> 0 Û m > 1
ïï D ¢y ¢ > 0 ïï (- m)2 - m 2 - m + 1 > 0
ïî
ïî
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
y¢= x2 - 2mx + m2 - m + 1 và y ¢¢= 2 x - 2m
ïíï y ¢(1) = 0
ïíï m2 - 3m + 2 = 0 ïíï m = 1Ú m = 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 Û ì
Û ì
Û ì
Û m= 2
ïï y ¢¢(1)< 0 ïï 2 - 2m < 0
ïïî m > 1

î
î
Vậy khi m = 2 hàm số đạt cực đại tại x = 1
1
1
VD11. Cho hàm số y = mx3 - (m - 1)x 2 + 3(m - 2)x + . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực
3
3
tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 1
GIẢI
TXĐ: D = ¡

(

)

6


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

o hm: y Â= mx2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2)

ùớ a y  ạ 0
ùớ m ạ 0
Hm s cú 2 cc tr ùỡ
ùỡ
ùù D Ây  > 0 ù D Â= (m - 1)2 - 3m (m - 2)> 0

ùợ
ùợ
ớù m ạ 0
ớù m ạ 0
ùù
(*)

ùỡ
ỡ
ùù 1- 6 < m < 1 + 6
ùù - 2m2 + 4m + 1 > 0
ợ
ùùợ
2
2
Vỡ x1 , x2 l 2 nghim ca phng trỡnh y Â= 0 nờn: x1 + 2 x2 = 1 (1)
ớù
ùù x + x = - b = 2(m - 1) (2)
2
ùù 1
a
m
v ỡ
v
ùù
c 3(m - 2)
ùù x1.x2 = =
(3)
a
m

ùợ
T (1) v (2) ị x1 = 3 -

2
4
, x2 = - 1 +
m
m

ộm = 2 ( N )
ổ
ửổ
ử
ờ
3
m
2
(
)
2
4
2
ỗỗ3 - ữ
Thay vo (3) ị ỗỗ- 1 + ữ
=

3
m
5
m

+
4
=
0

ờ
ữ
ữ
2
ữỗ m ứ
ữ
ỗố
ờm = ( N )
m ứố
m
ờở
3
2
Vy: m = 2, m = tha yờu cu bi toỏn
3
C/-BI TP P DNG.
BI TP C BN.
Bi 1. Tỡm cỏc khong n iu v c tr ca cỏc hm s:
a). y = x3 - 6 x 2 + 9 x - 4
b). y = x3 - 3x2 + 3x + 5
c). y = x3 + x2 + 2 x - 3
1
d). y = - x3 + 3x2 + 2
e). y = - x3 + x 2 - x + 4
f). y = - x3 + 2 x2 - x + 2

3
Bi 2. Tỡm cỏc khong n iu v c tr ca cỏc hm s:
a). y = x4 - 2 x2 + 5
b). y = x4 + 3x2 - 4
c). y = - x4 + 4 x2 + 3
1
1
d). y = x 4 - 2 x 2 + 1
e). y = x 2 - x 4
f). y = - x4 - 5x2 + 1
4
4
Bi 3. Tỡm cỏc khong n iu v c tr (nu cú) ca cỏc hm s:
x- 2
x+ 1
2x + 1
x2 - 2 x + 2
a). y =
b). y =
e). y = 2
f). y =
x+ 1
x- 3
x- 1
x +8
Bi 4. Tỡm cỏc khong n iu v c tr ca cỏc hm s:
a). y =
d). y =

2 x - x2

x2

b). y =
e). y =

x2 - 4x + 3

5- x +

x2 - 1
BI TP NNG CAO.
Loi 1. Tớnh n iu ca hm s.

c). y =

x+ 1
x2 - x + 1

f). y = x x 2 - 9

x- 1

7


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 1. Tìm m để hàm số y = - x3 + (m + 2)x 2 - (2m - 1)x + 2 nghịch biến trên ¡ .
1
Bài 2. Tìm m để hàm số y = x3 + mx 2 + 4 x - 10 đồng biến trên ¡ .
3
3
x
Bài 3. Cho hàm số y =
- 2mx 2 + 4mx + 2 . Xác định m để:
3
a) Hàm số đồng biến trên miền xác định
b) Hàm số đồng biến trên khoảng (- ¥ ;0)

x3
Bài 4. Cho hàm số y = + 2 x 2 - mx + 1 . Xác định m để :
3
a) Hàm số nghịch biến trên trên tập xác định của nó
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 1
1- m 3
Bài 5. Tìm m để hàm số y =
x - 2(2 - m) x 2 + 2(2 - m) x + 5 nghịch biến trên ¡
3
x3
Bài 6. Tìm m để hàm số y =
+ (m + 1) x 2 - (m + 1) x + 1 đồng biến trên (1;+ ¥ ).
3
Bài 7. Tìm m để hàm số y = x3 - 3(2m + 1) x2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trên (2;+ ¥ )
mx - 2
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
x+ 2
x+ m

Bài 9. Tìm m để hàm số y =
đồng biến trên (–1; +).
x- m
Bài 10. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1
 Loại 2. Cự trị của hàm số.
Bài 1. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
a) y = x3 + 3x2 + mx - 10
b) y = x3 - 3mx2 - 3(m2 - 2) x + 1

Bài 8. Tìm m để hàm số y =

c) y = x3 - (2m + 1) x2 + (m2 - 3m + 2) x + 4

d) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m

1 3
x + (m2 - m + 2) x 2 + (3m2 + 1) x + m đạt cực tiểu tại x = - 2
3
Bài 3. Tìm m để hàm số y = mx3 + (m2 - 2) x2 - 8x + 1 đạt cực đại tại x = 2
Bài 2. Tìm để hàm số y =

Bài 4. Cho hàm số y = x4 - mx2 + n . Tìm m, n để hàm số đạt cực trị bằng 2 tại x = 1

x3
Bài 5. Cho hàm số y =
+ (m + 1) x 2 + (6 - 2m) x + m .Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm
3
cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy
Bài 6. Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1) x2 + 3m(m + 2) + 1 . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai
điểm có hoành độ dương

Bài 7. Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 3m(m + 2) x - 1 . Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu
m
1
Bài 8. Cho hàm số y = x3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + . Tìm m để hàm số có cực đại và cực
3
3
tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là x1, x2 : x1 + 2 x2 = 1

8


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Bài 9. Cho hàm số y = x3 + 2(m - 1) x2 + (m2 - 4m + 1) x - 2(m2 + 1) . Tìm m để hàm số có cực
1
1
1
trị tại x1; x2 : +
= (x1 + x2 )
x1 x2 2
Bài 10. Cho hàm số y = 2 x3 + mx2 - 12 x - 13 . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và
điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung
Bài 11. Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1) x + m2 - 3m . Tìm m để hàm số có cực đại và
cực tiểu với hoành độ x1; x2 thỏa mãn: x12 + x22 = 10
Bài 12. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x3 - 3(2m + 1) x2 + 6m(m + 1) x + 1 có hai điểm cực trị đối
xứng nhau qua đường thẳng D : y = x + 4

“Trên đỉnh cao của vinh quang không có vết chân của những kẻ lười biếng”

9