(SKKN 2022) PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHU VĂN AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ
SỐ PHỨC

Người thực hiện: Hoàng Thị Thắm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA, NĂM 2022
MỤC LỤC
1. Mở đầu

1

1.1. Lý do chọn đề tài

1
0


1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

4

Giải pháp 1. Tóm tắt những kiến thức lý thuyết có liên quan

3

Giải pháp 2. Một số dạng bài tập về số phức

6

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

23

3. Kết luận, kiến nghị

23

3.1. Kết luận

23

3.2. Kiến nghị

24

Tài liệu tham khảo

25

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1


Hiện nay, tốn học có vai trị hết sức quan trọng đối với nhiều lĩnh vực khác
nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy
tính điện tử, tốn học thúc đẩy mạnh mẽ các q trình tự động hố trong sản
xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành cơng cụ thiết yếu của mọi

khoa học.
Chính vì thế dạy học tốn ở Trường trung học phổ thơng (THPT) phải ln
gắn bó mật thiết với đời sống. Nội dung chương trình tốn lớp 12 là nội dung
quan trọng vì nó có vị trí hướng nghiệp cho học sinh, từ đó có nhiều cơ hội để
đưa nội dung thực tiễn vào dạy học.
Từ nhận thức trên, trong thời gian quan Bộ Giáo dục và Đào tạo đã yêu cầu
tăng cường giảng dạy các bài tốn thực tiễn gắn với chương trình học và ngay
trong các đề thi trung học phổ thông trong những năm gần đây, số lượng câu hỏi
vận dụng kiến thức tốn để giải các bài tốn có nội dung thực tiễn chiếm một ti
lệ nhất định. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành,
giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà
trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.
Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung
“số phức” vào chương trình phổ thơng. Đây là một nội dung mới đối với học
sinh bậc phổ thông, mặc dù nội dung cịn ở mức độ đơn giản song nó là mới lạ
đối với học sinh lớp 12, đặc biệt nó chi được phân bố trong khoảng thời lượng
không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nội
dung này đã được đưa và hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học trong
những năm gần đây và nó chiếm một ti lệ nhất định. Vì vậy việc dạy và học “Số
phức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu. Trải qua hai năm tham
gia dạy chương trình tốn lớp 12, tơi đã có những trải nghiệm nhất định về việc
dạy và việc học của học sinh tôi thấy:
+ Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận
dụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ
ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em cịn nhầm tưởng
tính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức.
+ Nghiên cứu dạng tốn này cịn giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số và
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số dạng tốn nâng cao trong
hình học, trong lượng giác.
Từ lí do trên mà tơi xin trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh sáng

kiến kinh nghiệm với đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI
TẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số
phức của lớp 12.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Qua SKKN này học sinh nắm được những nội dung chính và những vấn đề cần
lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. Đặc biệt học sinh nắm được phương pháp
giải một số dạng toán về số phức và tránh được một số sai lầm mà học sinh hay
mắc phải trong q trình giải tốn về số phức.
+ Hưởng ứng phong trào viết SKKN của Trường THPT Chu Văn An
1.3. Đối tượng nghiên cứu
* Đề tài có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở trường THPT
tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Cao đẳng – Đại học.
2


* Phạm vi nghiên cứu của đề tài:
+ Một số dạng bài tập thường gặp về số phức.
+ Ứng dụng số phức để giải quyết một số bài toán về số thực.
+ Các bài tốn tham khảo qua các kì thi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu, chuyên đề, đề
thi có liên quan đến nội dung “Số Phức”.
- Phương pháp phỏng vấn: Khảo sát, phỏng vấn giáo viên, học sinh về những
thuận lợi, khó khăn khi dạy, học nội dung “Số Phức”.
- Phương pháp chuyên gia: Thảo luận, trao đổi xin ý kiến góp ý của các giáo
viên có kinh nghiệm, các nhà khoa học, nhà quản lý, các cựu học sinh có năng
khiếu về tốn học,…. từ đó hồn thiện được các nội dung liên quan.
- Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức hướng dẫn cho học sinh nhận dạng
nhanh về các dạng bài tốn có liên quan nội dung “Số Phức”.
Thiết kế một số bài kiểm tra ngắn, bài kiểm tra tổng thể để đánh giá mức độ

nhận thức, vận dụng của học sinh sau khi được giáo viên hướng dẫn.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Số liệu được thống kê, sử lý bằng
phần mềm Excell.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
+ Các kiến thức cơ bản về số phức.
+ Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Với mục tiêu “Học đi đôi với hành”, dạy học phải giúp học sinh biết vận
dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán trong đề thi THPTQG, qua trao
đổi, phỏng vấn giáo viên dạy toán của một số trường (Trường THPT Đông Sơn
1, THPT Triệu Sơn 2, Trường THPT Hàm Rồng, Trường THPT Chu Văn An,
Trường THPT Sầm Sơn,…), kết quả cho thấy: nhìn chung trong dạy học Tốn ở
trường THPT, giáo viên chủ yếu mới tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ năng
vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ mơn Tốn là chủ yếu, cịn vận dụng vào
các môn học khác chưa được chú ý đúng mức và thường xun. Những bài tốn
có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất cịn được trình bày
một cách hạn chế trong chương trình tốn phổ thơng.
Đối với học sinh, qua trao đổi, phóng vấn các em đều cho rằng hiện nay do
áp dụng hình thức thi trắc nghiệm nên phải học, làm một lượng bài tập rất nhiều;
bên cạnh đó, những câu để lấy điểm cao trong đề thi thường là những bài tốn
có tính thực tiễn, vận dụng. Vì vậy, sẽ rất khó khăn nếu trong q trình học các
kiến thức tốn học khơng được hệ thống hóa thành các dạng bài tập có tính thực
tiễn, vận dụng và thấy được tính liên mơn thì sẽ rất khó để đạt được điểm cao
khi thực hiện các đề thi.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý
thức ứng dụng toán học nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong
đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp
phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho tốn học khơng trừu tượng

3


khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết
trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại.
Đối với chủ đề “Số Phức”, qua trao đổi, phỏng vấn giáo viên, cho thấy: trong
khi tổ chức dạy học chủ đề này, giáo viên đã xác định được mục tiêu quan trọng
của dạy học chủ đề “Số Phức” là giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn
của chủ đề này, đồng thời rèn luyện khả năng sử dụng kiến thức về “Số Phức”
để giải quyết vấn đề trong các môn học khác trong đề thi THPTQG; nhưng họ
cịn chi ra khó khăn đối với bản thân là khơng có đủ sách tham khảo, tài liệu
hướng dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy và khơng có quy trình giảng dạy cụ thể
mà chủ yếu là do kinh nghiệm giảng dạy của bản thân.
Đối với học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi
vận dụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các
em tỏ ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em cịn nhầm
tưởng tính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Giải pháp 1. Tóm tắt những kiến thức lý thuyết có liên quan
1) SỐ PHỨC
* Định nghĩa 1:
Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b  R và i2 = -1.
Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo của số phức z = a + bi.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
* Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau
 a a '
'
'
a  bi a  b i  

 b b '
Từ đó, a + bi = 0  a = b = 0.
Chú ý:
1) Đây là cơ sở của việc ứng dụng số phức để giải quyết các bài toán trong tập
hợp số thực.
2) Trong C khơng có quan hệ thứ tự, nghĩa là khơng có khái niệm z > z’ ,z < z’, z
 z’, z  z’.
* Biểu diễn hình học của số phức:
+ Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt
phẳng Oxy và ngược lại. Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b).
Ngồi ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ u (a; b) .
+ Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực. Các điểm trên trục tung
Oy biểu diễn các số ảo.
* Phép cộng, phép trừ hai số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i.
Tổng của hai số phức trên là số phức z+z’ = (a+a’) + (b+b’)i .
Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z’ = (a-a’) + (b-b’)i .
Khi đó, nếu u (a; b) biểu diễn số phức z, u '(a ' ; b ' ) biểu diễn số phức z’ thì vectơ
u  u ' , u  u ' lần lượt biểu diễn số phức z+z’, z- z’
4


* Phép nhân số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và số phức z’ = a' + b’i.
Tích của hai số phức trên là số phức zz’ = (aa’ –bb’)+ (ab’+a’b)i .
Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách
hình thức tương tự như các phép tốn cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R.
* Phép chia số phức:
+ Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức z a  bi .
+ Môđun của số phức z = a +bi là z  a 2  b 2 .

1
1
+ Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức z  2 z .
z
+ Thương

z'
của hai số phức z’ = a’ + b’i và số phức z = a + bi khác 0 là tích
z

z'
z' z
' 1
của z với số phức nghịch đảo của z, tức là z z .z  2
z
’

a'  b' i (a'  b' i)(a  bi) 2 2

,(a  b ).
a  bi
a 2  b2
Chú ý : Nếu điểm M biểu diễn số phức z, điểm M ’ biểu diễn số phức z’ thì độ dài
'
đoạn thẳng MM bằng mơđun z  z .
2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
* Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z2 = w.
*Nhận xét:
+) Mỗi số phức z 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)
+) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.

+) Đặc biệt: số thực a dương có hai căn bậc hai là a và  a ; số thực a âm
có hai căn bậc hai là ai và  ai ;
* Chú ý 1:Khơng được dùng kí hiệu
để chi căn bậc hai của một số phức.
* Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức w a  bi :
+ Giả sử z x  yi là căn bậc hai của w.
Vậy ta có: z 2 w   x 2  y 2   2 xyi a  bi
 x 2  y 2 a
(1) .
+ Giải hệ phương trình: 
 2 xy b
Việc tìm căn bậc hai của số phức w được quy về việc giải hệ phương trình (1)
bằng phương pháp thế trong tập hợp số thực.
*Phương trình bậc hai: Az 2  Bz  C 0; A 0 (2) được giải như sau:
+) Tính  B 2  4 AC
+) Nếu  0 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
 B
 B 
z1 
, z2
, trong đó  là một căn bậc hai của  .
2A
2A
B
+) Nếu  = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép: z1 z 2 
.
2A
3) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
* Định nghĩa: Dạng lượng giác của số phức z là : z r cos  i sin   , với r > 0.
Vậy:

5


* Phương pháp tìm dạng lượng giác: của số phức z = a + bi (a, b  R) khác 0
cho trước:
+) Tìm mơđun của số phức z là r  a 2  b 2 .
a

 cos  r
+) Tìm acgumen của số phức z là  ,   R sao cho 
 sin  b

r
* Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác:
, ,
,
,
+) Nếu z r cos  i sin   , z r  cos  i sin   , ( r  0, r ,  0 ) thì




zz , rr , cos   ,   i sin     , 




z r  
 cos 

,
z r,  









 ,   i sin    ,   .








+) Lưu ý:
Nhân hai số phức: tích các mơđun và tổng các acgumen.
Chia hai số phức: thương các môđun và hiệu các acgumen.
* Công thức Moa – vrơ:
+)  r  cos   i sin   n r n  cos n  i sin n ; n  N *
+) Đặc biệt khi r = 1:  cos  i sin   n cos n  i sin n
* Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức z r cos  i sin   , r > 0, có hai căn bậc hai là:











r  cos  i sin  và  r  cos  i sin   r  cos(   )  i sin(   ) 
2
2
2
2
2
2




Giải pháp 2: Một số dạng bài tập về số phức
Dựa vào những nội dung trọng tâm và những kiến thức cần lưu ý, trên cơ sở đó
ta có thể phân loại một số dạng bài tập vận dụng sau đây:
Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài tốn định tính
* u cầu:
- Nắm chắc các khái niệm và các phép toán.
- Rèn luyện kĩ năng tính tốn thành thạo, chính xác.
- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
* Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết :
(1+ i)2.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z

( Đề thi TS Cao đẳng khối A, B, D năm 2009)
Giải:
2
 1  i  2 (2  i)  (1  2i) z 8  i
Ta có
(1+ i) .(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z
8  i 8  i 1  2i 
  2i 2  i   1  2i  z 8  i  z 

2  3i
1  2i
5



6




Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.
Ví dụ 2: Tìm phần ảo của số phức z biết :
2
z  2  i 1  2i
(Đề thi Đại học Khối A- năm 2010)
Giải
2
z  2  i 1  2i  z  1  2 2i 1  2i  z 5  2i
 z 5  2i . Vậy z có phần ảo bằng - 2 .



















1 
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z 



3

3i
.
1 i

Tìm mơđun của số phức z  iz

(Đề thi Đại học Khối B- năm 2010)
Giải
8
3
 4  4i
Ta có 1  3i  8 , nên z 
1 i
 z  4  4i  z  iz  4  4i  ( 4  4i)i  8  8i





Vậy z iz 8 2 .
Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z2 là số thuần ảo
(Đề thi Đại học Khối D- năm 2010)
Giải
2
2
Gọi z a  bi , khi đó z  a  b và z 2 a 2  b 2  2abi
 a 2  b 2 2
Theo u cầu của bài tốn ta có  2 2
 a  b 0
 a 2 1
 a 1  a  1  a 1
 a  1
 2

 
 

 
 b 1
 b 1  b  1  b  1  b 1
Vậy các số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i.
Chú ý: Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài tốn là thực hiện
các phép tính trên tập hợp các số phức mà áp dụng tương tự trên tập hợp số
thực.
2
3
2011
Ví dụ 5: Tính tổng : S 1  1  i   1  i   1  i   ...  1  i 
Giải
Áp dụng cơng thức tính tổng của 2012 số hạng của một cấp số nhân với số hạng
  i  ta được
đầu u1 1 , công bội q 1
2012

1  1  i 
1  1  i  2012 1   2i 1006 1  21006
1  21006  3
S




i
1  1  i 
i
3i
3i

3
Ví dụ 6: Tìm số phức x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:
 (1  2i) x  (3 10i) y 2

(1)
2
 3x  (1  2i) y 3  5i

7


Giải
* Sai lầm của học sinh:
 (1  3 y )  ( 2 x 10 y)i 2
Hệ (1)  
 (3x  3 y )  4 yi 3  5i
1  3 y 2

  2 x 10 y 0

 Hệ vô nghiệm
 3x  3 y 3
  4 y  5

*Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai x, y  R nên đã coi hệ số của i ở vế phải
của mỗi phương trình trong hệ trên là phần ảo, phần còn lại là phần thực.
* Lời giải đúng:
 3(1  2i) x  3(3 10i ) y 6
Cách 1: Hệ (1)  
3

 3(1  2i) x  (1  2i) y (3  5i)(1  2i )
 3(1  2i ) x  3(3 10i) y 6
 (3  6i) x  (9  30i) y 6


(20  28i) y  7  11i
 3(1  2i ) x  ( 11  2i) y  7  11i

2843 1777i

 3(1  2i ) x  3(3 10i) y 6
x


3552

 7  11i  56  3i  
y



56
 3i

y
20  28i
296


296

’
Cách 2: Gọi số phức x = a + bi, y = a + b’i, a, b, a’, b’  R.
Thay vào hệ (1) ta được
 (1  2i)(a  bi)  (3 10i)(a'b' i ) 2

2
 3(a  bi)  (1  2i) (a'b' i) 3  5i
 a  2b  3a' 10b' 2

 (a  2b  3a' 10b' )  (b  2a  3b'10' )i 2
 b  2a  3b'10' 0


3  5i  3a  3a'4b'
3
 (3a  3a'4b' )  (3b  3b' 4a' )i
 3b  3b' 4a'
 5

2843

a 
3552


1777
b 

3552
Giải hệ trên trong tập số thực ta được 

 a'  56

296

 b'   3

296
2843 1777i

x 

3552
Vậy nghiệm của hệ là 
 y  56  3i

296
Bài tập tương tự
8


Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn: (2  3i) z  (4  i) z  (1  3i) 2 .
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z .
(Đề thi CĐ khối A, B, D – năm 2010)
Bài 2: Tìm số phức z biết :
a) (2  i) z  (1  3i) 5
1  5i
3  2i
z
b)
4  3i

1  i  4
c) z  3z  2i (2  3i) z
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số phức:
 z  1i
2


 z  3i 3
a) 
 z  2 3
 z 4

 (1  2i) x  (3 10i ) y 2
b) 
( x, y  C )
 3x  (1  2i) 2 y 3  5i

 z  w 3(1  i)
c)  3
3
 z  w 9( 1  i)

Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức
* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:
+) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức)
+) Tìm điểm hoặc tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một hoặc một
vài điều kiện cho trước.
*) Kiến thức:
- Nắm chắc định nghĩa về cách biểu diễn một số phức bởi một điểm, một
vectơ, biểu diễn môđun của số phức bởi độ dài vectơ, …

- Vận dụng thành thạo quỹ tích là các đường quen thuộc như đường thẳng,
đường tròn, đường Elip, đường Hypebol, …
*Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các
4i
2  6i
; (1  i).(1  2i);
số phức
i 1
3 i
a) Chứng minh tam giác ABC vng cân.
b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vng.
Giải
4i
2  2i  điểm A(2; -2)
a) Ta có
i 1
1  i 1  2i  3  i  điểm B(3; 1)
2  6i
2i  điểm C(0;2)
3 i
Từ đó: BC = 10 ; BA = 10 và BC.BA 0
9


 BC BA



 BC  BA

. Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.

b) Do tam giác ABC vuông cân tại B, ABCD là hình vng
 CD BA
 x D  1



 y D  2  3

 x D  1



 y D  1

Vậy số phức cần tìm là z = -1- i.
Ví dụ 2:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) z  2  i  z
b) z  4  z  4 10
Giải
a)* Sai lầm của học sinh:

i 2
1

z
 1  i

 z  2 i  z

z  2 i  z  

2
2
z

2


i

z

 2  i

1
 z  1 i  điểm M(-1; 1 ) biểu diễn số phức z.
2
2
Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm tưởng kí hiệu mơđun của số phức với kí hiệu
gái trị tuyệt đối trong tập hợp số thực.
Lời giải đúng:
Cách 1:
a) Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x  yi; x, y  R
z  2  i  z  ( x  2)  yi  x  ( y  1)i
Ta có:
 ( x  2) 2  y 2  x 2  ( y  1) 2
 4 x  2 y  3 0 (d)

Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d).
Cách 2:
Ta có: z  2  i  z  z  ( 2)  z  i (1)
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, điểm A(-2; 0) là điểm biểu diễn số phức -2,
điểm B(0;1) là điểm biểu diễn số phức i.
Khi đó (1)  MA = MB.
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực (d) của đoạn AB, với
(d ) : 4 x  2 y  3 0 .
b)
Cách 1: Gọi số phức z x  yi, x, y  R . Khi đó
z  4  z  4 10  x  4 yi  x  yi  4 10
 ( x  4)  yi  ( x  4)  yi 10
 ( x  4) 2  y 2  ( x  4) 2  y 2 10 (*)
10


Gọi F1(-4;0), F2(4;0). Khi đó (*)  MF1  MF2 10
Từ đó suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường Elip nhận F1, F2
là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8.
x2 y2
 1
Phương trình chính tắc của (E):
25 9
Cách 2:
Gọi điểm M biểu diễn số phức z, điểm F1(-4; 0) biểu diễn số phức -4+0i; điểm
F2(4;0) biểu diễn số phức 4 + 0i.
Khi đó, z  4 là khoảng cách MF1; z  4 là khoảng cách MF2.
Ta có : z  4  z  4 10  MF1  MF2 10
Theo định nghĩa đường Elip, suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là
đường Elip nhận F1, F2 là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8.

Lưu ý:Với câu b)
- Học sinh thường gặp rắc rối trong cách 1 là từ (*) khó biến đổi về một
phương trình đường Elip dạng chính tắc quen thuộc nếu khơng phát hiện ra
cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của chúng, và định
nghĩa đường Elip thì khó có thể chỉ ra quỹ tích điểm M một cách cụ thể.
,
- Để vận dụng được theo cách 2 thì học sinh phải nắm được môđun z  z biểu
diễn khoảng cách giữa hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z và z’.
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức
z thỏa mãn : z  i  (1  i) z
(Đề thi Đại Học Khối B – năm 2010)
Giải
z
Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức x  yi, x, y  R , trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, ta có:
z  i  (1  i) z  x  ( y  1)i  ( x  y)  ( x  y)i
 x 2  ( y  1) 2 ( x  y ) 2  ( x  y ) 2
 x 2  y 2  2 y  1 0
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường trịn có phương trình :
x 2  y 2  2 y  1 0
Ví dụ 4: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức
z thỏa mãn : 2 z  i  z  z  2i
Giải
Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z x  yi, x, y  R , trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, ta có:
2 z  i  z  z  2i  2 x  ( y  1)i  (2 y  2)i
x2
 x  ( y  1) ( y  1)  y 
(P)
4

2

2

11

2


Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường Parabol có phương trình :
x2
y
4
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
a) z a  ai, a  R
(Đáp án: là đường thẳng y = x)
1
b)
là số ảo
z  2i
( Đáp án: Trục Oy trừ điểm (0;-2))
z  2i
c)
là số thực âm
z  2i
( Đáp án: Trục Oy ứng với điểm có tung độ thuộc khoảng (-2;2))
2
2
d) z  z 25

25
(Đáp án: đường hypebol y  )
4x
Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2
* u cầu của bài tốn thường cho dưới dạng:
- Tìm căn bậc hai của số phức z.
- Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức.
* Kiến thức:
- Nắm chắc định nghĩa căn bậc hai của một số thực âm, căn bậc hai của
một số phức và cách tìm căn bậc hai của số phức.
- Nắm được công thức nghiệm của phương trình bậc hai trong tập hợp số
phức.
* Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) 2 z 2  3z  5 0
b) (1  i) z 2  2(1  2i) z  4 0
c) z 2  (3  2i) z  5  5i 0
Giải
a)   31 có hai căn bậc hai là 31i và  31i .
 3  31i
 3  31i
và z 2 
Phương trình có hai nghiệm : z1 
4
4
b) ' 1  2i  2  4(1  i) 1 có hai căn bậc hai là 1 và -1.
1  2i  1
1  2i 1
-1  i và z 2 
2i

Phương trình có hai nghiệm : z1 
1 i
1 i
2
c)*  3  2i   4(5  5i)  15  8i
*Tìm căn bậc hai của 
Cách 1: Gọi  x  yi; x, y  R là một căn bậc hai của  , khi đó ta có
12


 x 2  y 2  15


 2 xy 8

 x 1  x  1
 


 y 4  y  4

 1 4i

2
Cách 2: Viết   15  8i 1  2.4i 16i 2 1  4i    1 4i
* Phương trình có hai nghiệm :
 3  2i  (1  4i)
z1 
-2  i
2

 3  2i  (1  4i)
và z 2 
-1  3i
2
Chú ý: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét
phương trình bậc hai trong tập hợp số phức.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
(2  3i) z 2  (4i  3) z 1  i 0
Giải
Ta có (2  3i)  (4i  3) 1  i 0
1 i
5 1
  i
Vậy phương trình có hai nghiệm z1 1 và z 2 
2  3i 13 13
Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai
* Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:
- Phương trình có ẩn ở mẫu.
- Phương trình bậc cao
* Phương pháp giải:
- Đối với phương trình có chứa ẩn ở mẫu, thực hiện phép toán quy đồng
hoặc chia hai số phức để dưa về phương trình bậc hai. Phải chú ý đến điều
kiện cho mẫu thức khác 0.
- Đối với phương trình bậc cao, thơng thườngsử dụng phương pháp đổi
biến hoặc phải nhẩm được một nghiệm để tách thành nhân tử là những biểu
thức bậc thấp hơn tương tự như cách giải phương trình bậc cao trong tập
hợp số thực..
* Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
4 z  3  7i

z  2i
z i

Giải

* Điều kiện: z i
4 z  3  7i
z  2i  z  3  7i ( z  i)( z  2i)
Phương trình
z i
 z 2  (3i  4) z 1  7i 0
 1  2i  2  4(1  i) 1 có hai căn bậc hai là 1 và -1.
1  2i  1
1  2i 1
-1  ivà z 2 
2i
Phương trình có hai nghiệm : z1 
1 i
1 i
Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
 z 2  z 2  4 z 2  z   12 0
13


Giải
* Đặt t = z  z
2

t  6
2

Phương trình trở thành: t  4t  12 0  
t 2
 z 2  z  6 0
Phương trình đã cho   2
 z  z  2 0

 1  23i
z 
2


  z   1  23i là bốn nghiệm của phương trình đã cho.

2

 z 1
 z  2

Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
z2
4
3
z  z   z 1 0 (1)
2
Giải
Vì z = 0 khơng là nghiệm của phương trình, nên phương trình (1)
2
1 1 1
 z 2  z    2 0   z  1    z  1   5 0
2 z z

z 
z 2

 1  3i
t 
5
1
2
2
Đặt t z  , (1) trở thành: t  t  0  

1

3i
z
2
t 
2

1  3i
1 1  3i
 2 z 2  (1  3i) z  2 0 (2)
*Với t 
, ta có z  
2
z
2
1  3i  3  i

1  i

 z1 
2
4
 8  6i i  3 , (2)  

1  3i  3  i
1 1
  i
 z2 
4
2 2

1  3i
1 1  3i
 2 z 2  (1  3i) z  2 0 (3)
*Với t 
, ta có z  
2
z
2
1  3i  i  3
1 1

  i
 z3 
4
2 2
 8  6i i  3 2 , (3)  

1  3i  i  3

1  i
 z4 
4

Vậy phương trình có bốn nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau :
4
 z i 

 1 (1)
 z i
Giải
Điều kiện: z i
14


4

 z i 
 1
 z i

* Sai lầm của học sinh:: 

 z i
1

z

i



 z i
 1

z i

* Phân tích sai lầm:Học sinh đã áp dụng phương pháp giải phương trình x4 = 1
trong tập hợp số thực. Nhưng trong tập hợp số phức, ngoài số 1 và -1 ra cịn có
số i và –i thỏa mãn i4 = 1, (-i)4 = 1.
* Lời giải đúng:
Cách 1:
 z i
1

z

i

 z i
 1
4

 z i 
z

i

 1  
 z i

 z i
i

z

i

 z i
 i

z i
 z 0
 z 0

 (1  i) z 1  i
  z 1
(1  i ) z  1  i
 z  1

4

Cách 2:

 z i 

 1
 z i

  z  i  4 ( z  i) 4

 z 4  4 z 3  6 z 2  4 z 1 z 4  4 z 3  6 z 2  4 z 1  8 z 3  8 z 0
 z 0
  z 1 là ba nghiệm của phương trình đã cho.
 z  1
Bài tập tương tự
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) z5 + 1= 0
b) z2 + z + 1 =0
c) z2 -2(2+i)z + 7 + 4i = 0
d) z3 – 27 = 0
e) z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0
Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức
* Bài toán thường cho dưới dạng:
- Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc ngược lại.
- Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác.
- Bài toán ứng dụng công thức Moa – vrơ.
* Kiến thức:

15


- Nắm chắc dạng lượng giác của một số phức và cách xác định môđun và
acgumen của số phức, đặc biệt là phải biết vận dụng công thức giá trị lượng
giác giữa các góc (cung) có liên quan đặc biệt.
- Nắm chắc các phép toán nhân, chia, hai số phức dạng lượng giác và căn
bậc hai của số phức dạng lượng giác.
* Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) z  1  i 3  3  i
b) w sin   i cos

2
c) z sin   2i sin 2
Giải
a) Cách 1:


5
5 


1  i 3 2cos  i sin 
 3  i 2cos  i sin 
6
6
3
3



7
7 
  5 
  5  

4cos
 i sin 
Vậy 1  i 3  3  i 4cos    i sin    
6 
6 
6

6 
3
3



3 1 
7
7 

 i 4cos
 i sin 
Cách 2: 1  i 3  3  i  2 3  2i 4 
2 
6
6 

 2




b) w sin   i cos cos     i sin    
2

2

c)
* Sai lầm của học sinh:
 


z sin   2i sin 2  2 sin  cos  i sin  (1) là dạng lượng giác của
2
2
2
2
số phức z.
*Phân tích sai lầm: Do học sinh không hiểu đúng định nghĩa dạng lượng lượng
giác của số phức là z r (cos  i sin  ) , với môđun r > 0.
* Lời giải đúng:
 

z 2 sin  cos  i sin  (1)
2
2
2

- Khi sin 2 0 thì dạng lượng giác của số phức z khơng xác định.

- Khi sin 2  0 thì (1) là dạng lượng giác của số phức z .
  




- Khi sin 2  0 thì z  2 sin  cos 2     i sin     là dạng lượng

2 
2


giác của số phức z .
Ví dụ 2: Tìm một acgumen của số phức sau:


z 1  sin   i cos ,  0    
2

Giải



















16

Ta có: z 1  sin   i cos ,  0   



2








1  cos

Do 0  





    i sin

 

2

2

  

  
  
2 sin 2     i 2 sin   cos  
 4 2
 4 2
 4 2
 
  
   
2 sin    sin    i cos   
 4 2 
 4 2   4 2 
 
  
   
2 sin    cos    i sin    (1)
 4 2
 4 2 
 4 2 
 
  

 2 sin     0
 nên 0  
2
2 4
 4 2

Vậy (1) chính là dạng lượng giác của số phức trên. Vì vậy

 
 là một
4 2

acgumen của số phức z.
Ví dụ 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:
1
1
w z 2012  2012 , nếu z  1,
z
z
Giải
*Điều kiện: z 0.

1
2
*Từ phương trình z  1  z  z 1 0
z




1
3
i
 z1 cos  i sin
 z1  
3
3
2 2


 


 
 
1
3
 z 2 cos    i sin   
i
 z2  
2 2
 3
 3


Áp dụng công thức Moa – vrơ


* Với z cos  i sin
3
3
2012


1

 w  cos  i sin  
2012
3

3

 cos   i sin  


3
3

2012
2012 
1
 
 i sin
3
3   cos 2012  i sin 2012 



3
3 

2
2 
1

 
 cos
 i sin
3
3   cos 2  i sin 2 




3
3 



 cos

17


1
3 
1

i 
2 
1
3 = -1
 2
 
i
2 2
Vậy phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.
 
 
* Với z cos    i sin   , tương tự ta có phần thực của w bằng -1, phần
 3

 3
ảo của w bằng 0.
Chú ý: Trong bài tập trên có thể thay số mũ bởi số khác sẽ được bài tập tương
tự. Khi đó có thể vận dụng cơng thức lược giác liên hệ giữa các cung có liên
qua đặc biệt để tính tốn.


 

Ví dụ 4: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức z biết:
a) z sin   i cos
1
3
z
b) z  và một acgumen của
là 
.
3
4
1 i
Giải
a)
* Sai lầm của học sinh:




z cos     i sin    có hai căn bậc hai và có dạng lượng giác là
2
2



  
  
cos    i sin   .
2 4
2 4
*Phân tích sai lầm: Học sinh chưa nắm chắc định nghĩa dạng lượng giác của số
phức.
*Lời giải đúng:




  
  
z cos     i sin    có hai căn bậc hai là cos    i sin  
2
2


2 4
2 4
  
  
và dạng lượng giác của hai căn bậc hai đó là cos    i sin    và
2 4
2 4
  3 
  3 

cos    i sin   .
4 
4 
2
2
b) Gọi  là một acgumen của số phức z  -  là acgumen của z .
z


Vì một acgumen của 1+ i là
nên một acgumen của
là (-  - )
4
4
1 i


1


3
    
 k 2     k 2 , k  Z  z   cos  i sin 
3
2
4
4
2
2



3
 cos  i sin  và
Vậy dạng lượng giác của các căn bậc hai của số phức z là
3
4
4
5
5 
3
 cos
 i sin 
3
4
4 

18


Bài tập tương tự
Bài 1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng lượng giác
1
3 
 1 i
a) z   i
2 
2
b)



1  i  20
z





19

3 i
1
1
c) z 10  10 , biết z  1
z
z

d) z  sin 8  i cos
8
Bài 2: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức sau:
a) z  2  i 2 3
b) z sin   i cos
Dạng 6: Nhị thức Niu – Tơn và số phức
* Yêu cầu của bài tốn thường cho dưới dạng:
- Tính tổng
- Chứng minh đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Với mọi số nguyên dương n, chứng minh hệ thức sau
1  Cn2  Cn4  Cn6  ...2  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ...2 2 n
Giải
Xét số phức z = 1+ i. Theo công thức khai triển nhị thức Niu- tơn ta có:

n
z n (1  i) n   Cnk i k 1  Cn2  Cn4  Cn6  ...  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ...i
k 0

 z n  1  Cn2  Cn4  Cn6  ...  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ...
2

2

n

Mặt khác, z n  z . Suy ra:

1  C

2
n

 Cn4  Cn6  ...  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ... 2 n (đpcm)
2

2

Ví dụ 2: Tính tổng:
0
2
4
2010
2012
S C2012

 C2012
 C 2102
 ...  C2012
 C 2012
Giải
Khai triển nhị thức Niu – tơn của (1 + i)2012 ta được:
2012
k
2012
2011
  Cn1  Cn3  Cn5  Cn7  ...  C2012
i
(1  i) 2012   C2012
i k 1  Cn2  Cn4  Cn6  ...  C2012
k 0

Mặt khác, (1  i) 2012 (1  i ) 2   2i 1006  21006
0
2
4
2010
2012
 C2012
 C2102
 ...  C2012
 C2012
 21006
Nên ta được S C2012
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
1006

1
n
1  Cn3  Cn6  Cn9  ...   2 n  2 cos 
3

Giải

19

3 


2
2
 i sin
, có z3 = 1;
3
3
1
3


1
3


cos  i sin và 1  z  z 2 0
1 z   i
cos  i sin ;1+z2 =  i

2
2
3
3
2
2
3
3
Ta sử dụng công thức Nhị thức Niu – Tơn:
2 n Cn0  Cn1  Cn2  ... (1)
(1  z ) n Cn0  zC n1  z 2Cn2  z 3Cn3  z 4Cn4  ...
Cn0  zCn1  z 2Cn2  Cn3  zCn4  ...
(2)
2 n
0
2 1
4
2
6
3
8
4
(1  z ) Cn  z Cn  z Cn  z Cn  z Cn  ...
Cn0  z 2Cn1  zC n2  Cn3  z 2Cn4  zC n5  ... (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế thì được:
2 n  (1  z ) n  (1  z 2 ) n 3(Cn0  Cn3  Cn6  ...)
n
2 n  2 cos
3(Cn0  Cn3  Cn6  ...)
3

1 n
n 
3
6
9
Vậy 1  Cn  Cn  Cn  ...   2  2 cos 
3
3 
Bài tập tương tự
Xét số phức z cos

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có các hệ thức sau:
n
C n0  3Cn2  32 Cn4  33 Cn6 ... 2 n cos
3
2n
n
và C n1  3Cn3  32 Cn5  33 Cn7 ...  sin
3
3
Dạng 7: Hệ thức lượng giác
* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:
- Biểu diễn biểu thức lượng giác theo các biểu thức lượng giác khác .
- Chứng minh đẳng thức lượng giác, …
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh công thức lượng giác:
cos 3 4 cos3   3 cos và sin 3 3sin   4 sin 3 
Giải
3
Đặt z cos  i sin  . Ta tính z theo 2 cách rồi đồng nhất.

Từ cơng thức Moa- vrơ ta có: (cos  i sin  ) 3 cos 3  i sin 3 (1)
Mặt khác theo khai triển Niu – Tơn ta có:
(cos  i sin  ) 3 cos3   3i cos2  sin   3 cos sin 2   i sin 3 
(cos 3   3 cos sin 2  )  i(3 cos 2  sin   sin 3  ) (2)
 cos 3 cos 3   3 cos sin 2 
Từ (1) và (2) suy ra: 
 sin 3 3 cos 2  sin   sin 3 
Thay sin2  = 1- cos2  , cos2  = 1- sin2  ta được:
cos 3 4 cos 3   3 cos s
và sin 3 3sin   4 sin 3  .
20


a
Ví dụ 2: Cho các số thực a, ,b sao cho sin 0 . Với mỗi số nguyên n  1, xét
2
các tổng:
S cos b  cos(a  b)  cos(2a  b)  ...  cos(na  b)
T sin b  sin( a  b)  sin( 2a  b)  ...  sin( na  b)
Tính S + iT, từ đó suy ra S và T.
Giải
Đặt z cos a  i sin a, w cos b  i sin b thì
S + iT =  cos b  i sin b   cos(a  b)  i sin(a  b)   cos(2a  b)  i sin(2a  b)  ...
  cos(na  b)  i sin(na  b)
2
n
2
= w  wz  wz  ...  wz w(1  z  z  ...  z n )
1  z n1
a

w
=
( để ý rằng z 1 do sin 0 )
2
1 z
n 1  n 1
n 1 
sin
a sin
a  i cos
a 
1  cos(n 1)a  i sin(n 1)a
2
2
2


w
=w
a a
a
1  cos a  i sin a
sin  sin  i cos 
2 2
2
n 1
sin
a
n 1
n 1   a

a

2
w
sin
a  i cos
a  sin  i cos 

a 
2
2  2
2
sin
2
n 1
n 1
sin
a
sin
a
na
na 
na
na 


2
2
w
cos  i sin  

cos  i sin  cos b  i sin b 


a 
a 
2
2
2
2
sin
sin
2
2
n 1
sin
a

 na

 na

2

cos  b   i sin   b 

a   2

 2

sin

2
n 1
n 1
sin
a
sin
a
na
 na

2
2
cos  b 
T
sin   b 
Từ đó suy ra: S 
a
a
 2

 2

sin
sin
2
2
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tính sin4  , cos4  theo các lũy thừa của cos  và sin  .
Bài 2: Cho z = cos  + isin  .
a)Chứng minh rằng: z n  z n 2 cos n và z n  z n 2i sin n .

5
b)Dùng các khai triển của : ( z  z ) 5 và của  z  z  để tính cos5  , sin5  theo



cos3  , sin3  và cos  , sin  .
21




Bài 3: Cho x k 2 . Tính
S sin x  sin 2 x  sin 3x  ...  sin nx

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
- Đối với bản thân: Từ việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đã giúp
tơi hệ thống khái quát được kiến thức cơ bản của nội dung “Số Phức”, đồng thời
đã tập hợp được khá nhiều bài tốn có tính thực tế, vận dụng kiến thức này. Bên
cạnh đó, đã giúp tơi hồn thành tốt trong cơng tác giảng dạy của năm học; cụ
thể: năm học 2021 - 2022, tôi được Nhà trường phân công dạy môn tốn tại lớp
12A14 và lớp 12A15, tơi đã đưa nội dung “phương pháp giải một số dạng bài
tập về số phức” vào trong giảng dạy.
- Đối với học sinh, sau khi học nội dung “Số Phức” tôi đã giúp học sinh
luyện tập về các dạng bài tập về số phức phân tích để tránh sai lầm cho các em
khi giải đề thi và cũng tạo thêm hứng thú hơn trong các giờ luyện tập, cũng tự
tin hơn khi giải toán.
Bằng việc dạy và rèn cho các em theo các nội dung của sáng kiến kinh
nghiệm; kết thúc học chuyên đề, tôi đã tổ chức kiểm tra (đề kiểm tra là tổng hợp
các bài toán từ các đề thi của các trường).

Kết quả thực hiện bài kiểm tra của hai lớp

Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Sĩ
số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A14 41
10 24,4 21 51,2 9 22,0 1
2,5
0
0
12A15 45
8
17,8 24 53,3 11 24,4 2
4,4
0
0

Kết quả, cho thấy học sinh đạt điểm khá, giỏi chiếm trên 70%.
- Đối với phong trào giáo dục trong nhà trường, sáng kiến nghiệm là
một tài liệu tham khảo để góp phần nâng cao chất lượng dạy, học.
Sau khi sử dụng phương pháp này thì tơi thấy các bạn đồng nghiệp, cũng như
các em học trò ở mức độ khá giỏi đều tự tin áp dụng và khơng cịn tâm lí e ngại.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm, phương pháp giải một số dạng
bài tập về số phức như trên, tôi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến
thức cần thiết để giải quyết thành công dạng toán này. Qua thực tế các bài kiểm
tra và bài thi của học sinh lớp 12 thì nhận thấy các em đã nắm chắc hơn kiến
thức nâng kết quả cao hơn. Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận
thức và kĩ năng vận dụng phương pháp giải các bài tốn nói trên. Từ đó học sinh
chủ động sáng tạo hơn trong việc học toán và u thích mơn tốn. Qua đó khơng
chi tạo hứng thú trong giờ luyện tập mà còn cung cấp cho các em những kiến
thức về cuộc sống góp phần đào tạo những người lao động phát triển tồn diện,
có tư duy sáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi
ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh cơng nghiệp hố - hiện đại hố gắn với
phát triển nền kinh tế trí thức và xu hướng tồn cầu hố hiện nay.
Lớp

22


Trước hết, nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp cho các
thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Bên cạnh tài liệu
này giúp cho các em học sinh làm quen với các câu hỏi vận dụng và tăng khả
năng giải quyết các câu hỏi trong đề thi tốt nghiệp THPTQG.
Trong khn khổ của bài viết này, tơi khơng có tham vọng sẽ đưa hết các
dạng toán liên quan đến “Số Phức” và cũng sẽ khơng tránh khỏi những sai sót.

Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng chấm sáng
kiến kinh nghiệm Trường THPT Chu Văn An, của quý thầy, cô đồng nghiệp.
3.2. Kiến nghị
- Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo: Hằng năm, tiếp tục phát động phong trào
viết sáng kiến nghiệm ở các cấp học, tổ chức biên tập những sáng kiến kinh
nghiệm hay theo từng mơn học để có thể phổ biến cho các trường, giáo viên
tham khảo, vận dụng vào trong quá trình giáo dục và giảng dạy.
- Ở cấp độ trường trung học phổ thông Chu Văn An, sáng kiến kinh
nghiệm có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố
phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; giúp học sinh
hiểu rõ hơn bản chất của “Số Phức” và các bài toán trong thực tiễn, giúp các em
tránh khỏi lúng túng trước các dạng câu hỏi vận dụng trong đề thi tốt nghiệp
THPT.
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022
Trường THPT Chu Văn An
HIỆU TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây sản phẩm
của cá nhân tơi.
NGƯỜI THỰC HIỆN

NGƯT, ThS Hồng Văn Huân
Hoàng Thị Thắm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

23


- Sách giáo khoa Giải tích 12 chuẩn và nâng cao;

- Chuẩn kỹ năng kiến thức;
- Các đề thi đại học, THPT từ năm 2015 đến năm 2021;
- Kế hoạch giảng dạy cá nhân năm học 2021-2022
- Phân dạng và phương pháp giải toán số phức ( Tác giả: Lê Hồnh Phị)
- Phương pháp cơ bản trọng tâm ( Tác giả: Phan Huy Khải)
- Một số sai lầm thường gặp trong giải toán ( Tác giả: Trần Phương)

24