Số phức -đại số của số phức

ÑAÏI SOÁ
Số Phức
định nghĩa số phức :
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là
số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần
ảo của số phức z
-Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z).
-Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z).
Định nghĩa số i :
Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho
1i
2
−=
Dạng đại số của số phức
Hai số phức bằng nhau :
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo
tương ứng bằng nhau.
Ví dụ :
Cho
i3az;i35z
21
+=+=
tìm tất cả các số thực m để
21
zz
=
Giải :
5a
33
5a
i3ai35zz

21
=⇔



=
=
⇔+=+⇔=
Phép cộng và phép trừ của hai số phức :
Cho hai số phức .
ibaz
111
+=
và
ibaz
222
+=
khi đó
Phép cộng .
( ) ( )
ibbaaibaiba
21212211
+++=+++
Phép trừ .
( ) ( ) ( )
ibbaaibaiba
21212211
−+−=+−+
Tóm lại :
Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương

ứng.
Ví dụ :
61
ÑAÏI SOÁ
Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
( ) ( )
i56i93z
+++=
Giải :
( ) ( )
14zIm;12zRe
i1412i56i93z
==⇒
+=+++=
Phép nhân
Cho hai số phức .
ibaz
111
+=
và
ibaz
222
+=
khi đó
Phép nhân .
( ) ( ) ( ) ( )
iabbabbaaiba.iba
212121212211
++−=++
Tóm lại :

Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với
chú ý
1i
2
−=
Ví dụ :
thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại số
( )( )
i5i2i21z
2
++−=
Giải :
( )( ) ( )
( )
( )( )
i211
i8i23i43i21
ii44i21i2i21z
2
2
2
−=
−−=+−=
++−=+−=
Định nghĩa số phức liên hợp:
Số phức
biaz
−=
được gọi là số phức liên hợp của số phức
biaz

+=
.
Ví dụ:
Tìm số phức liên hợp của số phức .
( )( )
i31i52z
+−=
Giải :
( )( )
i17
i15i2i31i52z
2
+=
−+=+−=
vậy số phức liên hợp là
i17z
−=
Tính chất của số phức liên hợp:
Cho z ,w là hai số phức
w,z
là hai số phức liên hợp
zz
+
là một số thực
z.z
là một số thực
zz
=
khi z là một số thực
62

ÑAÏI SOÁ
( )
n
n
zz
=
với n là số tự nhiên
Phép chia hai số phức
cho z = a + bi , w = c + di (w
≠
0) ta có .
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )
222222
22
2
dc
iadbc
dc
bdac
dc
iadbcbdac
dc
bdibciadiac
dicdic
dicbia
dic
bia
w

z
+
−
+
+
+
=
+
−++
=
+
−+−
=
−+
−+
=
+
+
=
( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu )
Dạng lượng giác
Imz

63
zz
w.zw.z
wzwz
=
=
+=+

ÑAÏI SOÁ
b M(a;b)
≡
a + bi
r
Trục thực 0
ϕ
Rez
a
Định nghĩa Môdun của số phức:
Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như
sau:
( )
22
barzMod
+==
ký hiệu
z
vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa
độ .
Ví dụ:
Tìm môdun của số phức sau .
Giải :
Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) =
534
22
=+
Định nghĩa argument của số phức :









+
+
+
+=+=
2222
22
ba
bi
ba
a
babiaz
Trong đó .
64
i34z
+=
ÑAÏI SOÁ
( )
isincosrz
ba
b
sin
ba
a
cos

bar
22
22
22
ϕ+ϕ=⇒











+
=ϕ
+
=ϕ
+=

là dạng lượng giác
Mọi nghiệm của hệ phương trình








+
=ϕ
+
=ϕ
22
22
ba
b
sin
ba
a
cos
gọi là argument của số
phức
biaz
+=
0
≠
. Mọi argument
của số phức z khác nhau bội lần
π
2
và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá
trị argument trùng với véctơ bán kính
OM
của điểm M
Góc
ϕ
được giới hạn trong khoảng

π<ϕ≤
20
hoặc
π≤ϕ≤π−
Ví dụ:
Tìm argument của số phức
i31z
+=
Giải :
3b,1a
==
ta tìm góc
ϕ
65
ÑAÏI SOÁ
3
2
3
r
b
sin
2
1
r
a
cos
π
=ϕ⇒








==ϕ
==ϕ
vậy Argz =
3
π
Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác:



=
π+ϕ=ϕ
⇔=
21
21
21
rr
2k
zz
Phép nhân ở dạng lượng giác:
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument
cộng lại.
( ) ( )
[ ]
i.sincosr.rz.z
21212121

ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=
Ví dụ:
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :
( )
( )
i31i1z
−+=
Giải :
( )
( )






π
−+
π
−






π
+
π
=

−+=
.
3
sini
3
cos2i.
4
sin
4
cos2
i31i1z
12
isin
12
cos22
34
sini
34
cos22
π
−+
π
−=






π

−
π
+






π
−
π
=
66
ÑAÏI SOÁ
Phép chia ở dạng lượng giác:
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument
trừ ra.
2
1
2
1
r
r
z
z
=
( ) ( )
[ ]
i.sincos

2121
ϕ−ϕ+ϕ−ϕ
Ví dụ:
Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :
i3
i122
z
+−
−
=
Giải :






π
−+
π
−=
π
+
π







π−
+
π−
=








+
−








−
=
+−
−
=
+−
−
=

6
7
sini
6
7
cos2
6
5
sini
6
5
cos
3
sini
3
cos2
i
2
1
2
3
2
i
2
3
2
1
4
i3
i322

i3
i122
z
Dạng mũ số phức
Định lý Euler (1707-1783):
ϕ+ϕ==
ϕ
sinicosez
i
Ví dụ:
Tìm dạng mũ của số phức sau.
i3z
+−=
Giải :
67