(SKKN 2022) rèn luyện kỹ năng giải toán vân dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị hình học giả tích trong không gian bằng phương pháp ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những
con người phát triển tồn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và
đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn
diện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và
đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có phương pháp
dạy học mơn Tốn. Chính vì thế trong q trình dạy học giáo viên cần phát huy
cao độ tính tích cực, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhằm đạt được kết quả
cao nhất trong các giờ dạy. Muốn vậy đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu
kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến
thức, với các đối tượng học sinh cần truyền đạt.
Những năm gần đây trong đề thi TN THPTQG và đề thi HSG 12 có cả
phần cực trị về hình học giải tích trong khơng gian. Trước những kì thi TN
THPTQG và các kì thi học sinh giỏi tỉnh, với mong muốn có thể cung cấp thêm
cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa từ các bài
toán liên quan đến cực trị về hình học giải tích trong khơng gian. Từ đó tơi
nghiên cứu và viết đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh
lớp 12 thơng qua một số bài tốn cực trị về hình học giải tích trong khơng
gian bằng phương pháp ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm’’. Hy vọng nó sẽ là
tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh. Rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hồn
thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen và thành thạo với loại tốn
tìm cực trị về hình học giải tích trong không gian một cách nhanh nhất, hiệu quả
nhất.
- Thứ hai: Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi muốn học sinh
khơng cịn cảm thấy sợ hay lo lắng khi gặp bài tốn cực trị về hình học giải tích
trong khơng gian nữa .
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

- Kiến thức hình học phẳng về véc tơ (lớp 10).
- Kiến thức về hình học giải tích Oxyz.
- Học sinh lớp 12A8, 12A9 năm học 2021 - 2022 trường THPT Nông
Cống I.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Sử dụng phương pháp phân loại và hề thống hóa lý thuyết.
- Sử dụng phương pháp kiểm tra đánh giá.
- Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải
1


quyết một vấn đề là vơ cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm
được lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai
trị thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động
tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy
cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một
nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
Trong chương 1“ véc tơ” của hình học lớp 10, khi hướng dẫn học sinh kiến
thức về bài toán xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc tơ thực chất là bài
toán sử dụng tâm tỉ cự của hệ điểm để giải bài toán.
Trong những năm gần đây, việc tìm cực trị hình học giải tích trong khơng
gian có mặt nhiều trong đề thi TN THPT và đề thi HSG.Trong khuôn khổ sáng
kiến này tôi chỉ nghiên cứu dạng bài về ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm để tìm
cực trị hình học giải tích trong khơng gian.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Nông Cống I là một trường nằm ở trung tâm của huyện, đa

số học sinh thuộc địa bàn các xã lân cận thị trấn nên điều kiện học tập của các
em nhìn chung cũng thuận lợi. Điều đó cũng là một sự tác động tốt đến kết quả
học tập của các em.
Trong quá trình dạy học tơi nhận thấy một điều đó là để học tốt mơn hình
học thì cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả năng phán
đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng vẽ hình , kỹ năng trình bày chặt chẽ
và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối
tượng trong hình học. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của khơng ít
học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại và sợ học
mơn hình học nói chung và phần cực trị hình học giải tích trong khơng gian nói
riêng.
Hơn nữa việc áp dụng kiến thức về tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải
tích trong không gian của học sinh đa số mới chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết,
rất ít học sinh thuần thục các kỹ năng và sáng tạo khi vận dụng kiến thức về tâm
tỉ cự để xử lý các bài tốn cực trị hình học dạng này, mà đa phần học sinh tỏ ra
lúng túng khơng định hình được cách giải.Mặt khác, phần lớn giáo viên mới chỉ
dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh một vài bài tập
cụ thể mà chưa khai thác những bài tốn khó khơng có trong sách giáo khoa.
Ngồi ra số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần này hầu như là
khơng có mà nó chỉ là chủ đề tự chọn hoặc có chăng chỉ là đụng đến bài tốn
liên quan thì cho cơng thức sử dụng nhanh nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc
dạy và học.
2.3. Nội dung cụ thể.
2.3.1. Hệ thống kiến thức đã học cho học sinh trước khi tiếp nhận kiến
thức mới.
+) Véc tơ, các phép toán véc tơ.
+) Kiến thức trọng tâm về hình học tọa độ Oxy và Oxyz.
2

2.3.2. Tìm hiểu về ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích
trong khơng gian.
Bài tốn về ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích trong
khơng gian là bài tốn tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng hình
học có liên quan đến biểu thức véc tơ.
2.3.3. Hướng dẫn và rèn luyện ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình
học giải tích trong khơng gian thường gặp giúp học sinh làm toán trắc
nghiệm nhanh gọn, chính xác.
2.3.3.1.Cơ sở phương pháp giải sử dụng tâm tỉ cự.
Xuất phát từ việc khai thác bài toán sau:
Cho hệ n điểm .
a) Chứng minh rằng có duy nhất 1 điểm I sao cho:
Điểm I như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm , gắn với các hệ số .
Trong trường hợp các hệ số bằng nhau thì I được gọi là trọng tâm của hệ
điểm .
b) Chứng minh rằng nếu I là tâm tỉ cự nói ở câu a, thì mọi điểm O bất kì ta có:
Chứng minh
a) Ta có:
.
Vậy điểm I xác định và duy nhất.
b) Với điểm O bất kì,

.
Điều phải chứng minh.
2.3.3.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Kết quả 1 ( Bài toán về tâm tỉ cự của 2 điểm)
Cho hai điểm
Vì: nên:
1) Nếu
2) Nếu

M được gọi là tâm tỉ cự của 2 điểm A;B ứng với bộ số .
3) Nếu
4) Nếu

3


5) Với mọi điểm O,ta ln có:
Khi mà đây là 1 công thức quen thuộc mà ta đã biết.
Kết quả 2 ( Bài toán về tâm tỉ cự của 3 điểm)
Cho hai điểm
Vì: nên:
1) Nếu
2) Nếu
M được gọi là tâm tỉ cự của 3 điểm A;B:C ứng với bộ số .
3) Nếu
4) Nếu
5) Nếu:
6) Với mọi điểm O,ta ln có:

Khi mà đây là 1 công thức quen thuộc mà ta đã biết.
*) Nhận xét: Từ bài toán trên và 2 kết quả nhận được, ta rút ra nhận xét sau:
1) Hình thành khái niệm trọng tâm của hệ điểm:
Cho n điểm . Tồn tại duy nhất điểm I sao cho:
. Khi đó, I được gọi là trọng tâm của hệ n điểm
*) Khi n=2 thì trọng tâm hệ hai điểm sẽ trùng với trung điểm của đoạnn thẳng.
*) Khi n=3 thì trọng tâm của hệ ba điểm sẽ trùng với trọng tâm tam giác.
*) Khi n=4 thì trọng tâm của hệ 4 điểm sẽ trùng với trọng tâm tứ giác (giao điểm
của 2 đoạn nối trung điểm của 2 cạnh đối diện, hoặc là trung điểm của đoạn nối
trung điểm 2 đường chéo).

2)Cho n điểm có I là trọng tâm .Khi đó, với mọi điểm M tùy ý, ta có:
3) Trong không gian Oxyz cho n điểm:
Từ hệ thức (1), ta có cơng thức tính tọa độ điểm I là:
2.3.3.3. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP.
Dạng 1: Cực trị độ dài véc tơ.
Bài toán 1:Cho hệ n điểm và đường thẳng d hoặc mặt phẳng (P). Tìm điểm M
trên đường thẳng d hoặc mặt phẳng (P) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
4


Bước 3: Điểm M cần tìm là hình chiếu vng góc của điểm I trên đường
thẳng d hoặc mp(P).
Vídụ1.1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm .Điểm đạt giá trị nhỏ nhất. Khi
đó,
A.
B.
C..
D. .
Phân tích:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3: Điểm M cần tìm là hình chiếu vng góc của điểm I trên mp(P).
Lời giải
*) Gọi
Khi đó:

*) Ta có:
=
=
Vậy nhỏ nhất khi . Khi đó M là hình chiếu vng góc của I trên mp(P).
*)
- Phương trình
- Tọa độ .
Chọn D
Ví dụ 1.2: Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm .Điểm đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Phân tích:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3: Điểm M cần tìm là hình chiếu vng góc của điểm I trên đường
thẳng .
Lời giải
*) Gọi
Khi đó:
*) Ta có:
=
=
Vậy nhỏ nhất khi . Khi đó M là hình chiếu vng góc của I trên đường thẳng .
*)
- Phương trình
5

- Tọa độ .
Chọn A.
*) Chú ý: Nếu bài toán cho điểm M thuộc một mặt cầu nào đó thì khi đó chúng
ta sẽ khơng tìm được hình chiếu vng góc trên mặt cầu nên lúc này thay vì tìm
hình chiếu vng góc thì chúng ta sẽ xác định M là một trong 2 giao điểm của
đường thẳng nối tâm tỉ cự và tâm cầu với mặt cầu.để hiểu rõ hơn bài tốn này,
chúng ta sẽ tiến hành làm ví dụ 1.3sau đây.
Ví dụ 1.3: Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm
. Điểm đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B.
C.
D.
Phân tích:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3: Điểm M cần tìm là một trong 2 giao điểm của đường thẳng .
Lời giải
*) Gọi
Khi đó:
*) Ta có:
=
=

Vậy nhỏ nhất khi . Khi đó M là một trong 2 giao điểm của đường thẳng .
*) Phương trình đường thẳng

*)

Vậy ) là điểm cần tìm. Khi đó:
Chọn A
Nhận xét: bài này cũng tương tự như 2 bài trên nhưng các em chú ý khi tìm ra 2
điểm M phải xét xem điểm nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2: Cực trị độ dài bình phương vơ hướng của véc tơ.
Bài tốn 2: Cho hệ n điểm và đường thẳng d hoặc mặt phẳng (P). Tìm điểm M
trên đường thẳng d hoặc mặt phẳng (P) sao cho tốn đạt giá trị nhỏ nhất( hoặc
lớn nhất).
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
6


Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Do tổng không đổi nên :
Bước 3:
*) Nếu thì tổng S nhỏ nhất khi M là hình chiếu vng góc của điểm I trên
đường thẳng d hoặc mp(P).
*) Nếu thì tổng S lớn nhất khi M là hình chiếu vng góc của điểm I trên
đường thẳng d hoặc mp(P).
Ví dụ 2.1 : (Câu 41 đề minh họa năm 2019)
Trong không gian Oxyz cho 2 điểm . Xét M là điểm thay đổi thuộc (P). Khi đó,
giá trị nhỏ nhất của
A.
B.
C. 106
D.
Phân tích:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.

Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3: Xem giá trị của k âm hay dương để tìm max, min của tổng S .
Lời giải
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3:
Do tổng không đổi và nên tổng S nhỏ nhất khi M là hình chiếu vng góc
của điểm I trên mp(P).
Khi đó .
Mà
Vậy .
Chọn A.
Ví dụ 2.2: Trong khơng gian Oxyz cho 3 điểm:
. Xét là điểm thay đổi thuộc sao cho:
Khi đó, tổng bằng:
A.
B.
C. 4
D.
Phân tích:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
7


Bước 3:
Lời giải

Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3:
Do tổng không đổi và nên tổng S nhỏ nhất khi M là hình chiếu vng góc
của điểm I trên đường thẳng .
*)
Vậy
Chọn C.
Ví dụ 2.3: Trong khơng gian Oxyz cho 3 điểm:
. Xét là điểm thay đổi thuộc sao cho:
Khi đó, tổng bằng:
A.
B.
C. 4
D.
Phân tích:
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3:
Lời giải
Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự.
Gọi điểm thỏa mãn:
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3:
Do tổng không đổi và nên tổng S nhỏ nhất khi
*) Phương trình đường thẳng

*)

Vậy là điểm cần tìm. Khi đó:
Chọn B.
8


*)Tổng quát:
- Đối với dạng toán này, khi làm bài các em chú ý:
+ Nếu M thuộc đường thẳng hay mặt phẳng thì M là hình chiếu vng góc của
tâm tỉ cự I trên đường thẳng hoặc mặt phẳng.
+) Nếu M thuộc mặt cầu thì M là một trong 2 giao điểm của đường thẳng nối
tâm tỉ cự và tâm cầu với mặt cầu( chú ý cách lựa chọn một trong 2 điểm M cho
phù hợp)
Chú ý: Chúng ta có một tính chất cũng rất là quan trọng trong việc ứng dụng
tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học như sau:
*)Tính chất: Cho . Gọi là tâm đường trịn nội tiếp .
Khi đó,
Ta có:
Ví dụ 2.4: Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm:A
đi qua tâm đường tròn nội tiếp . Xét là điểm thay đổi trên . Khi đó, giá trị nhỏ
nhất của bằng
A.
B.
C.
D.
Phân tích:
Bước 1: Áp dụng tính chất trên về tâm đường tròn nội tiếp I là tâm tỉ cự.
Gọi điểm I thỏa mãn: (với
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3:
Lời giải

Bước 1:Áp dụng tính chất trên về tâm đường trịn nội tiếp I là tâm tỉ cự.
Gọi điểm thỏa mãn:
(với
hay :
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm biến đổi:
Bước 3: =(0;1;1).
Khi đó, =
Chọn B.
2.3.4. Hệ thống bài tập tự
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm .Điểm
là:
A.
B
C.
D.4
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm . Điểm Khi đó, tọa độ điểm M là?
A.
B.
C.
D.
Bài 3:Trong không gian Oxyz cho 3 điểm:
9


Xét là điểm thay đổi trên sao cho:
Khi đó, giá trị của bằng:
A.
B.
C.

D.

Bài 4 : Trong không gian Oxyz, cho các điểm . Điểm Khi đó, giá trị của
A.
B.
C.
D.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho các điểm .Điểm đạt giá trị nhỏ nhất. Khi
đó, giá trị của
A.

B.

C.

D.

Bài 6: Cho tứ diện . Điểm đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của
A.
B.
C.
D.
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho các điểm .Điểm
Khi đó, cao độ điểm M là?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:- Áp dụng tâm tỉ cự cho bộ 2 điểm và bộ 3 điểm ta có:
(trong đó: )

-Xét vị trí tương đối của I và J đối với mặt phẳng (P):
+) Nếu I và J cùng phía với (P) thì gọi I’ đối xứng với I qua (P). khi đó
+) Nếu I và J khác phía với (P) thì
Bài 8: Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm:
. Xét là điểm thay đổi thuộc sao cho: Khi đó, giá trị của: bằng:
A.
B.
C.𝑃=-82
D.
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm:
.
Xét là điểm thay đổi thuộc sao cho:
Khi đó, giá trị nhỏ nhất đó bằng:
A.
B.
C.

D.

Bài 10: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm:
là điểm thay đổi trên sao cho: Khi đó, tổng bằng:
A.
B.
C.
D.
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm:
Điểm là điểm thay đổi trên sao cho: Khi đó, tổng bằng:
10

A.
B.
C.
D.
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm:
Điểm là điểm thay đổi trên sao cho: Khi đó, tổng bằng:
A.
B.
C.
D.
Bài 13: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm:
Điểm là điểm thay đổi trên sao cho:
Khi đó, giá trị lớn nhất đó bằng:
A.
B.
C.
D.
Bài 14: Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm:
. Xét là điểm thay đổi thuộc sao cho: Khi đó, giá trị của
bằng ?
A.
B.
C.
D.
Bài 15: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm:
. Xét là điểm thay đổi thuộc sao cho: Khi đó, giá trị của bằng ?
A.
B.
C.
D.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng toán cực trị này
đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng tốn, tơi thấy học sinh
thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn. Từ đó nhận được
kết quả kiểm tra tiến bộ rõ rệt.
Cụ thể, qua kiểm tra thử nghiệm hai lần với học sinh của các lớp 12A8 và
12A9, mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài
ngắn hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều so với lần 1. Kết quả khảo sát và thực
nghiệm như sau:
Kết quả kiểm tra lần 1
Điểm 7-8
Điểm 9-10
Số HS Điểm dưới 5 Điểm 5-6
Lớp
thực
SL
%
SL %
SL
%
SL %
nghiệm
12A
19,51
51,22
29,27
41
8

21
12
0
0%
8
%
%
%
12A
21,95
21,95
41
9
23
56,1% 9
0
0%
9
%
%
Kết quả kiểm tra lần 2
Số HS Điểm dưới
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
thực 5
Lớp
nghiệ
SL
%

SL
%
SL
%
SL %
m
12A 41
0
0
12
29,27
25
60,97
4
9,76%
11


8
12A
9

41

0

0

16

%
30,02
%

21

%
51,22
%

4

9,76%

Kết quả thu được:
Qua quan sát thực tế kết hợp với các bài kiểm tra về dạng tốn này, tơi thấy
- Học sinh đã định hướng và giải khá nhanh các bài tốn về cực trị hình học
giải tích trong không gian được tôi sưu tầm từ các đề thi HSG, đề thi THPT
Quốc gia, đề TN THPT của các trường THPT trong cả nước.
- Học sinh đã rèn luyện thành thục kỹ năng tìm cực trị hình học giải tích
trong khơng gian nhờ vào tâm tỉ cự, kỹ năng tính tốn và phát huy tính sáng tạo
tìm tịi lời giải cho một bài toán, một dạng toán.
- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100%
học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả
tốt hơn khi chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy trên.
Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là
hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng
nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao

chất lượng giảng dạy mơn Hình học giải tích trong khơng gian của bản thân, góp
phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn của nhà trường.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Từ việc sử dụng kiến thức về tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích
trong khơng gian trên cộng với sự định hướng của giáo viên đã giúp học sinh
giải quyết tốt dạng bài tập về cực trị hình học dạng này. Với cách tiếp cận đó
hình thành ở học sinh kỹ năng giải tốn hình học nói chung, phát huy tính sáng
tạo tìm tịi lời giải cho một bài tốn, một dạng tốn.
Tóm lại, để phát triển năng lực tốn học trong q trình dạy học bộ mơn
Tốn chúng ta đi tìm cách nâng cao các yếu tố “Tri thức chun mơn Tốn, kỹ
năng làm tốn và thái độ tình cảm đối với mơn Tốn”. Làm được điều này trước
hết giáo viên phải cần có năng lực nghiên cứu cái khó, sáng tạo cái mới (phương
pháp mới, kiến thức mới, bài tốn mới...) để nâng cao trình độ chun mơn,
nghiệp vụ của mình ln giữ vững vai trị là người điều khiển của quá trình dạy
học. Đối với mỗi dạng tốn người thầy nên hình thành và chú ý rèn luyện, phát
triển các năng lực Toán học cho các em. Rèn luyên kỹ năng tìm cực trị hình học
giải tích trong khơng gian nhờ ứng dụng tâm tỉ cự giúp học sinh chủ động trong
việc phát hiện ra tri thức và nắm bắt được tri thức để từ đó kích thích sự đam
mê, sáng tạo trong học tập bộ mơn Tốn của học sinh.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là một số sáng kiến và kinh nghiệm của tôi đã thực hiện tại đơn
vị trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơn
12


nữa để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh u thích và say mê
học Tốn hơn.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 4 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết
Lê Thị Yến

13