(SKKN 2022) Khai thác, xây dựng và sử dụng kênh hình trong dạy học chương cảm ứng điện từ - vật lý lớp 11 ở trường THPT Bá Thước

Phần 1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia trước đây và bây giờ là kì thi TNTHPT, khi mơn
Tốn chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm thì việc giải quyết các bài toán
trong một khoảng thời gian nhất định, đáp ứng bài tốn khó giải nhất của thi trắc
nghiệm là “bài tốn thời gian” khơng hề đơn giản nếu học sinh khơng học và phân
loại chi tiết các dạng tốn, kể cả các dạng thường gặp nhất trong quá trình giải tốn.
Việc giải quyết nhanh và chính xác 50 câu hỏi trong thời gian 90 phút luôn là một áp
lực khơng hề nhỏ với các thí sinh, đơi lúc chỉ cần một chút bối rối hoặc bị “tâm lí
phịng thi” sẽ làm cho chất lượng bài thi bị ảnh hưởng.
Xuất phát từ những câu hỏi như vậy, tôi đã mạnh dạn tìm hiểu và viết lên sáng
kiến kinh nghiệm “Một số dạng tốn cực trị trong hình học giải tích Oxyz ” nhằm
phân loại chi tiết các dạng toán này, giúp các em học sinh và các bạn đồng nghiệp học
tập và nghiên cứu dạng toán này một cách đơn giản nhất.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Tìm ra hướng tiếp cận đơn giản và hiệu quả đến dạng toán này.
Rèn luyện kỹ năng thực hành, hoạt động nhóm cho học sinh.
Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học cho bản thân, qua đó tăng khả năng xử
lí tình huống trong giảng dạy cũng như trong đời sống hằng ngày.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Là giáo viên dạy Toán tại trường THPT Bá Thước, học sinh trường THPT Bá
Thước.
Q trình dạy học mơn Toán ở trường THPT Bá Thước.
Các phương pháp và kỹ thuật dạy học theo hướng phát triển năng lực, kỹ năng
thực hành và vận dụng kiến thức trong học tập và liên hệ thực tiễn của bộ mơn Tốn.
Đối tượng sử dụng đề tài: Học sinh THPT và giáo viên dạy mơn Tốn THPT.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Các tài liệu về lí luận dạy học, phương pháp và kĩ thuật dạy học theo hướng phát
triển năng lực bộ mơn Tốn.
Nghiên cứu thực trạng dạy và học mơn Tốn ở trường THPT Bá Thước.
Liệt kê một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về góc hoặc khoảng cách

trong hình học giải tích khơng gian Oxyz .
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc đổi mới chương trình giáo dục mơn Tốn.
Nghiên cứu chương trình chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu chương trình mơn
Tốn THPT để xây dựng hệ thống “Bài toán cực trị trong hình học giải tích khơng
gian Oxyz ” phát huy tính tích cực, chủ động tư duy, kĩ năng thực hành cho học sinh
nhằm tăng hứng thú, say mê học tập bộ mơn.
Nghiên cứu q trình dạy học ở trường THPT Bá Thước.

1


Phần 2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.
BÀI 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ trục toạ độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đôi một
r r r
và chung một điểm gốc O . Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục
Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong khơng gian.
rr rr r r
r2 r 2 r 2
Chú ý:
i  j  k  1 và i. j  i.k  k . j  0 .
2. Toạ độ của vectơ
r
r
r
r
r

2.1. Định nghĩa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk
r
r
2.2. Tính chất: Cho a  ( a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  ¡
r r
 a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )
r
 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )
a1  b1
r r

 a  b  a2  b2
a  b
 3 3
r
r
r
r
 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)
r r r
r
r
r
 a cùng phương b (b  0)  a  kb (k  ¡ )
a1  kb1
a a a

 a2  kb2  1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3
a  kb

 3
3
r r
rr
 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3
 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0
r2
r
2
2
2
 a  a1  a2  a3
 a  a12  a22  a22
rr
a.b
a1b1  a2b2  a3b3
r r
r r r
 cos(a , b )  r r 
(với
a
, b  0)
a .b
a12  a22  a32 . b12  b22  b32
3. Tọa độ của điểm
uuuu
r
r
r
r

3.1. Định nghĩa: M ( x; y; z )  OM  x.i  y. j  z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z :
cao độ)
Chú ý:  M   Oxy   z  0; M   Oyz   x  0; M   Oxz   y  0
 M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y  0 .
3.2. Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B ( xB ; yB ; zB )
uuu
r
 AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A )
2


 AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A ) 2  ( zB  z A ) 2
 x  xB y A  yB z A  zB 
;
;
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A
.
 2
2
2 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
 x  xB  xC y A  y B  yC z A  z B  zC 
G A
;
;
.
3
3
3



 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
 x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  z D 
G A
;
;



4
4
4
4. Tích có hướng của hai vectơ
r
r
4.1. Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a  ( a1; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) .
r r
r
r
Tích có hướng của hai vectơ a và b là một vectơ kí hiệu  a, b  , được xác định bởi
r r  a a3 a3 a1 a1 a2 
a , b    2
;
;
   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
b
b
b
b
b

b
2
3
3
1
1
2


Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một
số.
4.2. Tính
r r chất:
r
r r
r
 [a, b]  a; [a, b]  b
r r
r r




a
,
b


b



 , a
r r
r r
r r
 [a, b]  a . b .sin  a , b  .
r r
r r r
 a, b cùng phương  [a, b]  0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
4.3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương
r rtrình
r nâng cao)
r r r
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b, c đồng phẳng  [a, b].c  0
uuu
r uuur
 Diện tích hình bình hành ABCD :
SWABCD   AB, AD 
r uuur
1 uuu

ABC
S

AB
 Diện tích tam giác
:
 , AC 
ABC
2

uuu
r uuur uuur
 Thể tích khối hộp ABCDABC D : VABCD . A ' B 'C ' D '  [ AB, AD ]. AA
r uuur uuur
1 uuu
VABCD  [ AB, AC ]. AD
 Thể tích tứ diện ABCD :
6
5. Phương trình mặt cầu.
5.1. Định nghĩa: Cho điểm I cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả những
điểm M trong không gian cách I một khoảng R được
gọi là mặt cầu tâm I , bán kính R .
Kí hiệu: S  I ; R   S  I ; R    M / IM  R
3


5.2. Phương trình mặt cầu
Dạng 1: Phương trình chính tắc

Dạng 2: Phương trình tổng qt

2
2
2
Mặt cầu (S) có tâm I  a; b; c  , bán kính ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0.  2 

 Điều kiện để phương trình (2) là phương

R  0 , có pt

 S  : x  a

2

  y  b   z  c  R2
2

2

trình mặt cầu: a 2  b 2  c 2  d  0
(S) có tâm I  a; b; c  .

(S) có bán kính R  a 2  b 2  c 2  d .
5.3. Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu.
Cho mặt cầu S  I ; R  và một điểm A bất kì khi đó:
 IA  R thì A nằm ngồi mặt cầu
 IA  R thì A nằm trong mặt cầu
 IA  R thì A nằm trên mặt cầu
5.4. Vị trí tương đối của hai mặt cầu.
Cho hai mặt cầu S1  I1 ; R1  và S2  I 2 ; R2  . Khi đó
 Nếu hai mặt cầu cắt nhau thì R1  R2  I1I 2  R1  R2 .
 Nếu hai mặt cầu tiếp xúc với nhau:
 Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài với nhau khi I1 I 2  R1  R2
 Hai mặt cầu tiếp xúc trong với nhau khi I1 I 2  R1  R2
 Nếu hai mặt cầu khơng giao nhau:
 Hai mặt cầu ở ngồi nhau khi I1 I 2  R1  R2 .
 Hai mặt cầu lồng nhau khi I1 I 2  R1  R2
 Hai mặt cầu đồng tâm khi I1  I 2 .
BÀI 2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

r r
r
 Vectơ n  0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng ( ) nếu giá của n
vng góc với mặt phẳng ( )
4


 Chú ý:
r
r
 Nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì kn (k  0) cũng là một VTPT của
mặt phẳng ( ) .
 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà mặt phẳng đó đi
qua và một VTPT của mặt phẳng đó.
r r
 Nếu u , v khơng cùng phương, có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( )
r
r r
thì n  u, v  là một VTPT của ( ) .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
 Trong khơng gian Oxyz , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:
Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0
 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  0 thì nó có một VTPT
r
n
là   A; B; C  .
r
 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vectơ n   A; B; C 
r
khác 0 là VTPT là: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 .

 Các trường hợp riêng
Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0
 Nếu D  0 thì mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O .

 Nếu A  0, B  0, C  0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox .
 Nếu A  0, B  0, C  0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy .
 Nếu A  0, B  0, C  0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz .

 Nếu A  B  0, C  0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oxy  .
 Nếu A  C  0, B  0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oxz  .
5


 Nếu B  C  0, A  0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oyz  .

Chú ý:
 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn    :

x y z
   1 . Ở đây ( ) cắt các
a b c

trục tọa độ tại các điểm  a;0;0  ,  0; b;0  ,  0;0;c  với abc  0 .
3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Trong không gian Oxyz , cho điểm M 0  x0 ; y0 ; z0 

   : Ax  By  Cz  D  0 .

và mặt phẳng

Khi đó khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng ( )

được tính bởi cơng thức:
d  M 0 ;    

| Ax0  By0  Cz0  D |
A2  B 2  C 2

4. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng    : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và

   : A x  B y  C z  D  0.
uu
r uu
r
Góc giữa    và    bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n , n . Tức là:
2

2

cos     ,    

2

2

uu
r uu
r
n .n

uu
r uu
r
 cos n , n  uu
r uu
r 
n . n





A1 A2  B1 B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22

BÀI 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình đường thẳng:
ur
 Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vectơ a   a1; a2 ; a3  với
a12  a2 2  a3 2  0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó  có phương trình tham số là :
 x  x0  a1t

 y  y0  a2 t ;  t  ¡ 
z  z  a t

0
2
ur
 Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vectơ a   a1; a2 ; a3  sao
cho a1a2 a3  0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó  có phương trình chính tắc là :

6


x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3
2. Góc
2.1. Góc giữa hai đường thẳng:
ur
uu
r
1 có vectơ chỉ phương a1 ;  2 có vectơ chỉ phương a2

ur uu
r
a1.a2
r
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 . Ta có: cos   ur uu
a1 . a2

2.2. Góc giữa đường thẳng
uu
r và mặt phẳng:
uu
r
 có vectơ chỉ phương a ;    có vectơ chỉ phương n

uu
r uu
r
a .n
r uu
r
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng  và ( ) . Ta có: sin   uu
a . n

3. Khoảng cách:
3.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  :

uu
r uuuuur
 a , M 0 M 
uu
r


uu
r
 đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a , khi đó d  M ,   
a

3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéournhau:
1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a1 ;  2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ
ur uu
r uuuu
r
 a1 , a2  .MN

uu
r


ur uu
r
phương a2 ; khi đó d  1 ,  2  =
.
 a1 , a2 


4. Vị trí tương đối:
4.1. Vị trí tương đối của 2 hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng:
 x  x0  a1t
 x  x0  b1t 
u
r
uu
r


d1 :  y  y0  a2t qua M 1 , có VTCP u1 ; d 2 :  y  y0  b2t  qua M 2 , có VTCP u2
z  z  a t
 z  z  b t 

0
3

0

3
ur uu
r
 a1 a2 a3
u1 / / u2
  
  b1 b2 b3
+ d1 trùng d 2  
 M 1  d 2
M  d
 1
2
ur uu
r r
ur uu
r
 a1 a2 a3
 u1 , u2   0

u
/
/
u


 1
  
2
  b1 b2 b3
+ d1 / / d 2   ur uuuuuur

r hoặc 
 M 1  d 2
 u1 , M 1M 2   0
M  d
 1
2
7


ur uu
r
r
 u1 , u2   0


+ d1 cắt d 2   ur uu
r uuuuuur
 u1 , u2  .M 1M 2  0
ur uu
r uuuuuur
+ d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0 .
4.2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
 x  x0  a1t

Cho đường thẳng: d :  y  y0  a2t và mp ( ) : Ax  By  Cz  D  0
z  z  a t

0
3
 x  x0  a1t

y  y  a t

0
2
Xét hệ phương trình: 
 z  z0  a3t
 Ax  By  Cz  D  0
 (*) có nghiệm duy nhất  d cắt ( )

(1)
(2)
(*)
(3)
(4)

 (*) vô nghiệm  d // ( )
 (*) vô số nghiệm  d  ( )
4.3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R và đường thẳng  .
Để xét vị trí tương đối giữa  và ( S ) ta tính d  I ,   rồi so sánh với bán kính R .
 Nếu d  I ,    R thì  khơng cắt ( S ).

 Nếu d  I ,    R thì  tiếp xúc với ( S ) .
 Nếu d  I ,    R thì  cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.
Với lượng kiến thức trên, việc tiếp thu và ghi nhớ chắc sẽ khơng q khó với học
sinh. Nhưng vấn đề đặt ra là vận dụng kiến thức đó như thế nào trong việc giải tốn?
Đặc biệt là các bài toán liên quan đến cực trị thì khơng phải lúc nào cũng dễ dàng.
Để giúp bạn đọc có cái nhìn tổng qt về một số dạng tốn hình học liên quan đến
giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, sau đây tôi xin được nêu ra một vài dạng để chúng ta cùng

tìm hiểu và xây dựng.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
2.3.1. Giải pháp chung.
Từ các vấn đề đã nêu ở trên ta thấy, việc giải quyết một bài tốn hình học liên
quan đến giá trị lớn nhất – nhỏ nhất có thể giải quyết trực tiếp bằng phương pháp
hình học hoặc có thể chuyển sang bài tốn khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất –
nhỏ nhất của một biểu thức liên quan. Ở đây, chìa khóa của bài tốn chính là việc học
sinh tìm hiểu và quyết định lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp với từng dạng
8


tốn là vơ cùng quan trọng. Sau đây tơi xin giới thiệu một số dạng tốn và ví dụ mẫu
để bạn đọc hình thành phương pháp.
2.3.2. Phân loại các dạng tốn.
2.3.2.1. Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho hệ thức liên quan độ dài đoạn thẳng
hoặc véctơ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
 Bài toán 1. Cho các điểm A , B , C và mặt phẳng  P  . Tìm M   P  sao cho
uuur uuur uuur
aMA  bMB  cMC đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải :
uu
r uur uur r
Bước 1: Tìm điểm I thoả mãn: aIA  bIB  cIC  0 .
Bước 2: Phân tích
uuur uuur uuur
uuu
r
uu
r uur uur
aMA  bMB  cMC   a  b  c  MI  aIA  bIB  cIC   a  b  c  MI .

uuur uuur uuur
Bước 3: aMA  bMB  cMC đạt giá trị nhỏ nhất  MI đạt giá trị nhỏ nhất  M
là hình chiếu của I trên  P  .
 Bài toán 2. Cho các điểm A , B , C và mặt phẳng  P  . Tìm M   P  sao cho
T  aMA2  bMB 2  cMC 2 đạt giá trị nhỏ nhất  a  b  c  0  hoặc giá trị lớn nhất
 a  b  c  0 .
Phương pháp giải :
uu
r uur uur r
Bước 1: Tìm điểm I thoả aIA  bIB  cIC  0 .
2
2
2
2
2
2
2
Bước 2: Phân tích T  aMA  bMB  cMC   a  b  c  MI  aIA  bIB  cIC .
Bước 2: T  aMA2  bMB 2  cMC 2 đạt giá trị nhỏ nhất  a  b  c  0  hoặc lớn nhất
 a  b  c  0   MI đạt giá trị nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên  P  .
 Bài toán 3. Cho các điểm A , B và mặt phẳng  P  . Tìm M   P  sao cho
MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét vị trí tương đối của các điểm A , B với mặt phẳng  P  .
Bước 2: Nếu A , B khác phía đối với  P  thì MA  MB  AB nên MA  MB đạt giá
trị nhỏ nhất khi M  AB   P  .
Nếu A , B cùng phía đối với  P  thì ta tìm A là đối xứng của A qua  P  . Khi đó ta
có MA  MB  MA  MB  AB nên MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất khi
M  AB   P  .
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm

A  1;0;1 , B  2;1;2  , C  1; 7;0  . Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho
uuur uuur uuur
MA  2MB  3MC có giá trị nhỏ nhất .
Lời giải
9


uu
r uur uur r
23 3 

Gọi I là điểm thỏa: IA  2 IB  3IC  0 . Khi đó I  4;  ;   .
2
2

uuur uuur uuur uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuu
r uur
uuu
r
MA  2MB  3MC = MI  IA  2 MI  IB  3 MI  IC  2MI  2MI nhỏ nhất khi



 



23 

M là hình chiếu vng góc của I lên trục Oy hay M  0;  ;0  .
2 

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  1;1;2  , B  1;0;4  ,
2
C  0; 1;3 và điểm M thuộc mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  1  1 . Tính độ đài đoạn
AM khi biểu thức MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có G  0;0;3 và G   S  .
uuuu
r uuu
r 2 uuuu
r uuu
r 2 uuuu
r uuur
Khi đó: MA2  MB 2  MC 2  MG  GA  MG  GB  MG  GC
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur
 3MG 2  2 MG GA  GB  GC  GA2  GB 2  GC 2







 

 



2

 3MG 2  6 .
2
2
2
Do đó  MA  MB  MC  min  MG ngắn nhất
Ta lại có, mặt cầu  S  có bán kính R  1 tâm I  0;0;1 thuộc trục Oz , và  S  qua O .
Mà G  Oz nên MG ngắn nhất khi M  Oz   S  . Do đó M  0;0;2  .
Vậy MA  2 .
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz , cho các điểm A  1;2;2  , B  3;0;4  và M là một
điểm di động trên mặt phẳng  Oxy  . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA  MB .
Lời giải
Vì z A  0, z B  0 nên hai điểm A, B nằm cùng phía với mặt phẳng  Oxy  .
Gọi A là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng  Oxy   A  1;2; 2  .
Khi đó: MA  MB  MA  MB  AB  56
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi M  AB   Oxy  .
2.3.2.2. Mặt phẳng đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất.
 Bài toán 1. Cho hai điểm phân biệt A và B . Viết phương trình mặt phẳng    đi
qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
Phương pháp giải: Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên mặt phẳng    , khi
đó tam giác ABH vng tại H và khoảng cách d  B,      BH  AB . Vậy

d  B,     lớn nhất bằng AB khi A  H , khi đó    là mặt phẳng đi qua A và
vng góc với AB .

10


Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A  2 ;1;  2  , B  1; 0 ; 3 . Viết
phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B đến mặt
phẳng  P  lớn nhất.
Lời giải
Ta có d  B,  P    AB . Do đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  P  lớn nhất
khi d  B,  P    AB xảy ra  AB   P  . Như vậy mặt phẳng  P  cần tìm là mặt
uuu
r
phẳng đi qua A và vng góc với AB . Ta có AB   3 ;  1; 5  là véctơ pháp tuyến
của  P  .
Vậy phương trình mặt phẳng  P  : 3  x  2    y  1  5  z  2   0 hay
3 x  y  5 z  17  0 .
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm M  0 ; 1; 2  và N  1;1; 3 . Viết
phương trình mặt phẳng  P  đi qua hai điểm M , N sao cho khoảng cách từ điểm
K  0 ; 0 ; 2  đến mặt phẳng  P  là lớn nhất.
Lời giải
Mp  P  có dạng Ax  B  y  1  C  z  2   0  Ax  By  Cz  B  2C  0 .
N  1;1; 3   P    A  B  3C  B  2C  0  A  2 B  C .

  P  :  2 B  C  x  By  Cz  B  2C  0 .
Khi đó d  K ,  P   

B

5 B 2  2C 2  4 BC
+ Nếu B  0 thì d  K ,  P    0 (loại).
+ Nếu B  0 thì

d  K , P  

.

1
2

C 
2   1  3
B 



1
3.

Dấu "  " xảy ra khi B  C .
11


Chọn B  1, C  1 ta có phương trình mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 .
2.3.2.3. Mặt phẳng đi qua điểm M, cắt tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C và liên
quan đến thể tích.
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M, cắt tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A,
B ,C.

Bước 2: Sử dụng BĐT AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  a ;0;0  ,
B  0; b ;0  , C  0;0; c  , trong đó a  0 , b  0 , c  0 . Viết phương trình mặt phẳng
 ABC  đi qua điểm I  1;2;3 sao cho thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ
nhất.
Lời giải
x y z
1 2 3
Ta có  ABC  :    1 . Do I   ABC      1 .
a b c
a b c
1
1 2 3
6
 abc  162 . Suy ra VOABC  abc  27 .
Ta có 1     3 3
6
a b c
abc
1 1 2 3
Dấu bằng xảy ra khi     a  3; b  6; c  9 .
3 a b c
x y z
Vậy  ABC  :    1 .
3 6 9
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M  1;1;1 . Mặt phẳng

 P

đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A ,

B , C thỏa mãn OA  2OB . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC .
Lời giải
Giả sử A  a ;0;0  , B  0; b ;0  , C  0;0; c  với a, b, c  0 .
x y z
1 1 1
Khi đó mặt phẳng  P  có dạng    1 . Vì  P  đi qua M nên    1 .
a b c
a b c
3 1
2b
 1  c 
Mặt khác OA  2OB nên a  2b nên
.
2b c
2b  3
1
1 2
Thể tích khối tứ diện OABC là V  abc  b c .
6
3
b 2c 81
3 1 3
3 1
9
9
1 16b 2c
3
3
 27 
 .

Ta có
 

 3

 
9
3 16
2b c 4b 4b c
16b 2c
16b 2c 3

12


Vmin

9

a


2

9
81
3 1 1


   b  .

khi
4
16
4b c 3

c  3


2.3.2.4. Mặt phẳng    cắt mặt cầu  S  tạo thành đường trịn có bán kính lớn
nhất hoặc nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
 Bài toán 1. Mặt phẳng    cắt mặt cầu  S  tạo thành đường trịn có bán kính lớn
nhất.
 Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  .
 Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo một đường trịn có bán kính lớn nhất thì
mặt phẳng  P  đi qua tâm I của mặt cầu.
 Bài toán 2. Mặt phẳng    cắt mặt cầu  S  tạo thành đường trịn có bán kính
nhỏ nhất.
 Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  .

 Bán kính đường trịn giao tuyến là r  R 2  d 2  I ,  P  
 Để rmin thì d  I ,  P   max

2
2
2
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  2 y  4 z  1  0

và mặt phẳng  P  : x  y  3 z  m  1  0. Tìm tất cả m để  P  cắt  S  theo giao
tuyến là một đường trịn có bán kính lớn nhất.

Mặt cầu  S  có tâm I  1;1; 2  .

Lời giải

Để  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường trịn có bán kính lớn nhất thì  P 
đi qua tâm I của mặt cầu  S  .

Do I   P  nên 1  1  3. 2   m  1  0  m  7 .
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm A và mặt cầu

 S  : x   y  2    z  1  9. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm
cầu  S  theo một đường trịn có bán kính nhỏ nhất.
2

2

2

A và cắt mặt

Lời giải
Mặt cầu ( S ) có tâm là I  0;2;1 , bán kính R  3 . Vì IA  5  3 nên điểm A nằm
trong mặt cầu.
13


Mặt phẳng  P  đi qua A luôn cắt mặt cầu  S  theo một đường trịn.
Bán kính đường tròn giao tuyến là r  R 2  d 2  I ,  P  

Để r nhỏ nhất  d  I ;( P)  lớn nhất  d  I ;( P )   IA khi IA  ( P) .
uu
r
Khi đó:  P  đi qua A  1;2;3 , có VTPT là IA   1;0;2  nên  P  có phương trình:

1 x  1  0  y  2   2  z  3  0  x  2 z  7  0 .
2.3.2.5. Góc giữa hai mặt phẳng lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xét các trường hợp đặc biệt, ví dụ góc giữa hai mặt phẳng đạt GTNN bằng
00 , đạt GTLN bằng 900 , nếu tồn tại thì kết luận cho bài tốn. Nếu khơng tồn tại,
chuyển sang bước 2.
Bước 2: Xác định các vectơ của hai mặt phẳng và tính góc giữa hai mặt phẳng bằng
uu
r uu
r
n .n
uu
r uu
r
A1 A2  B1 B2  C1C2
r uu
r 
công thức: cos     ,      cos n , n  uu
n . n
A12  B12  C12 . A22  B22  C22





Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp khảo sát hàm số để tìm GTLNGTNN của giá trị cos     ,     .
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P 
chứa trục Ox và tạo với mặt phẳng  Q  : x  2 y  2 z  1  0 một góc lớn nhất.
Lời giải
Góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  lớn nhất   P    Q  .
Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Ox và vng góc với  Q  .
uuur r uuu
r
r
uuur
Ta có: i   1;0;0  ; n( Q )   1; 2;2   n( P )  i ; n(Q)    0; 2; 2 
Mặt phẳng  P  đi qua gốc tọa độ O nên có phương trình:
2  y  0   2  z  0   0  y  z  0 .
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
( P ) : x  2 y  2 z  1  0, (Q) : x  my  (m  1) z  2022  0 ( m là tham số). Xác định
phương trình mặt phẳng  Q  biết  Q  tạo với  P  một góc nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  .
Khi đó:
cos  

1.1  2.m  2.(m  1)
12  22  (2) 2 . 12  m2  ( m  1) 2



3
3 2m2  2m  2



1
2

1 3

2 m   
2 2




1
3
2

14


1
Góc  nhỏ nhất  cos  lớn nhất  m  .
2
1
1
1
Khi m  thì  Q  : x  y  z  2022  0 .
2
2
2
2.3.2.6. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất; khoảng

cách giữa hai đường thẳng song song đạt giá trị lớn nhất.
Phương pháp giải:
 Nếu đường thẳng  đi qua điểm M và cách điểm A một khoảng lớn nhất thì
uuuu
r
AM  
 Đường thẳng  cắt mặt cầu  S  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn
thẳng AB lớn nhất (nhỏ nhất) thì đường thẳng  cách tâm mặt cầu một khoảng nhỏ
nhất (lớn nhất).
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng a đi qua M  4;  2; 1 , song song với mặt
phẳng ( ) : 3 x  4 y  z  12  0 và cách A  2; 5; 0  một khoảng lớn nhất?
Lời giải r
uuuu
r
AM   6;  7;1 , vectơ pháp tuyến của    là n  (3;  4;1) .
Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên a .
d  A ; a   AH  AM  86  d  A ; a  lớn nhất khi H  M .
Khi đó a là đường thẳng đi qua M , song song với    và vng góc với AM .
r r
u  n
r
r
Gọi u là vectơ chỉ phương của a   r uuuu
u  AM
r uuuu
r r
 u   AM , n    3;  3;  3  3  1;1;1 .
ur
Đường thẳng a đi qua M  4;  2; 1 có vectơ chỉ phương u1   1;1;1 có phương
 x  4t


trình:  y  2  t
 z 1 t

x  2 y 1 z

 và điểm
1
2
1
A  2;1;2  . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vng góc với d sao cho
khoảng cách giữa d và  là lớn nhất?
Lời giải
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d :

15


Gọi  P  là mặt phẳng qua A, vuông góc với d   P  :  x  2 y  z  2  0 . Suy ra
   P
Gọi I  d   P   I  1;1;1 , H là hình chiếu vng góc của I lên  .
Ta có d  d ;    IH  IA . Dấu bằng xảy ra khi H  A.
uu
r
uu
r
d có VTCP ud   1;2;1 , IA   1;0;1
r uu
r uu
r


Vậy max d  d ,    IA khi  có 1 VTCP là u  ud , IA  (2;2; 2)
ur
A
2;1;2
 có vectơ chỉ phương u1   1;1;  1 có phương trình :
Đường thẳng  đi qua 
x  2  t

 y 1 t .
z  2  t


Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A  3;3; 3 , thuộc mặt phẳng
   : 2 x  2 y  z  15  0 và mặt cầu  S  :  x  2  2   y  3 2   z  5  2  100 . Viết
phương trình đường thẳng  đi qua A , nằm trong    và cắt  S  tại hai điểm B ,C
sao cho độ dài BC lớn nhất ?
Lời giải

Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;5  và bán kính R  10 .
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng    ,
Khi đó, BC lớn nhất khi nó là đường kính của đường trịn giao tuyến tâm H  BC
đi qua A , H

16


 x  2  2t

Phương trình IH đi qua I và vng góc     y  3  2t thay vào   

z  5  t

 t  2  H  2;7;3

uuur
x3 y3 z 3


.
Ta có: AH   1;4;6  . Vậy phương trình của  là
1
4
6
2.3.2.7. Bài tập áp dụng.
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A  1; 2;3 ; B  2;2;4  ; C  3; 3;2  .
uuur uuur uuur
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho: MA  MB  MC ngắn nhất?
Câu 2: Cho mặt cầu  S  :  x  1   y  4   z 2  8 và điểm A  3;0;0  , B  4;2;1 .
Gọi M là điểm thuộc  S  . Tính giá trị nhỏ nhất của MA  2 MB ?
Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;1; 2  và mặt phẳng
2

 P  :  m  1 x  y  mz  1  0 , với m
đến mặt phẳng  P  lớn nhất.

2

là tham số. Tìm m biết khoảng cách từ điểm A

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2;1;1 . Viết phương trình

mặt phẳng  P  đi qua M và cắt ba tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại các điểm A , B , C
khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất.
2
2
2
Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  2 y  4 z  3  0 .

Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua hai điểm A  1;0;1 , B  1;1;2  và cắt mặt
cầu  S  theo một đường trịn có bán kính lớn nhất.
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M  2;  2;1 ,
x 1 y  5 z
A  1;2;  3  và đường thẳng d :

 . Viết phương trình tham số của
2
2
1
đường thẳng  đi qua điểm M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm
A một khoảng bé nhất.
Câu 7: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm E  2;1;3  ,

mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  3  0 và mặt cầu  S  :  x  3   y  2    z  5   36 .
2

2

2

Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong  P  và cắt  S  tại hai điểm có khoảng
cách nhỏ nhất. Lập phương trình của 

Câu 8: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
 S  có tâm I  1;0;2  và đi qua điểm A  0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc  S 
sao cho AB , AC , AD đơi một vng góc với nhau. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích
khối tứ diện ABCD.

17


Câu 9: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai
2
2
2
điểm A  3; 2;6  , B  0;1;0  và mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  25 . Mặt
phẳng  P  : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến là đường trịn
có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c
Câu 10: (Đề tham khảo lần 2 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt
2
2
2
phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 và mặt cầu  S  : x  y  z  2 x  4 y  2 z  5  0.
r
uuuu
r
Giả sử M   P  và N   S  sao cho MN cùng phương với vectơ u  1;0;1 và khoảng
cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN .
Đáp án:
Câu 1: M  2; 1;0 
Câu 2: 6 2
Câu 3: m  5
Câu 4: x  2 y  2 z  6  0

Câu 5: x  4 y  2 z  1  0
.

 x  2  s

Câu 6:  :  y  2 , s  ¡ .
 z  1  2s


x  2  t

Câu 7:  y  1  t
z  3


4
Câu 9: T  3
Câu 10: MN  3 2
3
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Qua hai năm học 2019 - 2020; 2020 - 2021, giáo viên bộ mơn Tốn tại trường
THPT Bá Thước sau khi tiếp cận với sáng kiến đã khơng cịn thấy khó khăn trong
việc giảng dạy cho học sinh ở dạng tốn này.Về phía học sinh, thời gian đầu khi mới
tiếp cận cũng rất mơ hồ về dạng toán, tuy nhiên cùng với sự nổ lực của bản thân và
sự hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ bộ môn, kết quả thu được rất
tích cực, cụ thể như sau:
* Năm học: 2020 - 2021:
Câu 8:

Lớp chưa được triển khai dạy chi tiết dạng tốn

Lớp
12A2
12A6

Sĩ số
36
37

Giỏi (%)
1
2.8
1
2.7

Khá (%)
Trung bình ( %)
10
27.8 25
69.4
10
27.0 25
67.6

Yếu (%)
0.0 00
01
2.7

Lớp được triển khai dạy chi tiết dạng toán

Lớp
12A1
12A8

Sĩ số
41
37

Giỏi (%)
Khá (%)
Trung bình ( %)
5
12.2 25
61
11
26.8
4
10.8 17
45.9 16
54.1

Yếu (%)
0.0 0.0
0.0 0.0

18


* Năm học: 2021 - 2022:

Lớp chưa được triển khai dạy chi tiết dạng tốn

Lớp
12A3
12A5

Sĩ số
41
38

Giỏi (%)
00
0.0
00
0.0

Khá (%)
Trung bình ( %)
9
21.9 26
63.4
8
21.1 21
55.3

Lớp được triển khai dạy chi tiết dạng tốn
Lớp
Sĩ số Giỏi (%)
Khá (%)
Trung bình ( %)

12A1
38
05
13.2 16
42.1 17
44.7
12A9
30
08
26.7 10
33.3 12
40

Yếu (%)
6 14.6
9
23.7
Yếu (%)
0
0
01
3.3

19


Phần 3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
3.1. Kết luận.
Hình học giải tích trong khơng gian Oxyz là nội dung quan trọng trong chương
trình hình học 12, chiếm một tỉ trọng lớn trong tồn chương trình của khối. Việc viết

lên sáng kiến kinh nghiệm này góp phần khơng nhỏ trong việc làm vững chắc thêm
nền tảng kiến thức trong giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh, từ đó làm
tăng kĩ năng giải tốn và thực hành tốn học.
Tuy nhiên do khn khổ bài viết cịn nhỏ nên chưa thể bao quát hết tất cả các
dạng toán về cực trị hình học. Vì vậy tơi rất mong được sự đóng góp chân thành từ
các thầy cơ giáo, các bạn đồng nghiệp và các đọc giả khác. Và sau khi nhận được
những ý kiến đóng góp, tơi sẽ tiếp tục hoàn thiện và phát triển mở rộng đề tài hơn.
3.2. Đề xuất.
3.2.1. Đối với nhà trường.
Nhà trường trang bị thêm các tài liệu về giảng dạy và học tập toán.
Trang bị thêm thiết bị dạy học.
Tổ chức các buổi trao đổi, thảo luận về phương pháp dạy học.
3.2.2. Đối với Sở Giáo dục và đào tạo Thanh Hóa.
Cấp thêm thiết bị cho các trường.
Tổ chức các chuyên đề, hội thảo để giáo viên có điều kiện trao đổi và học tập
chuyên môn - nghiệp vụ.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Bá Thước, ngày 20 tháng 4 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép của
người khác
NGƯỜI VIẾT

Nguyễn Bá Hiệp

.

20

Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1 . Sách giáo khoa hình học 12 cơ bản - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn
Mộng Hy (Chủ biên)
 2 . Các đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn các năm học 2017, 2018, 2019; 2020; 2021
và đề minh họa thi TN THPT mơn Tốn năm 2017, 2018, 2019; 2020; 2021.
 3 .Facebook: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC. Admin: Nguyễn Văn Quý THPT Chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh

 4 . Facebook: TOÁN THPT THANH HĨA. Admin: Trần Đức Nội - THPT Đơng
Sơn 1, tỉnh Thanh Hóa
 5 . Facebook: Tổ 4 - Strong Team. Admin: Nguyễn Việt Hải - THPT Chuyên Quang
Trung, tỉnh Bình Phước.
 6 . Nguồn Internet khác.

21