Hệ phương trình từ các kì thi học sinh giỏi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (435.3 KB, 15 trang )
Page 1 of 15
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các trường, các tỉnh)
Phần 1. Một số bài toán cũ
1. (THPT Chu Văn An, Hà Nội)
3 2 3
3 2 3
3 2 3
x x 2x 2y 1
y y 2y 2z 1
z z 2z 2x 1
2. (THPT chuyên Lê Quý Đôn)
2
2 2
1
xy
xy 2x y 6 y 2x 0
x y 1 8
3. (Hà Nội – Armsterdam, chọn đội tuyển lớp 10)
Giải hệ phương trình
2 2 2 2
x y x y 2
x y x y 4
4. (Bắc Giang, 08-09)
2
3 3
x x y 9
x(y x ) 7
5. (THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa Vũng Tàu, 08-09)
2 2 2
8 2 18
x y z yz 2zx 3xy
x y z
6. (Hà Nội TST, 02-03)
Giải hệ phương trình sau:
3 3
2
3
2
cos cos cos
sin sin sin
x y z
x y z
7. (Hà Nội, 03-04)
Giải các phương trình sau:
1.
2cosx+sin19x-5 2 sin21 3 2 sin10
x x
2.
5 3
32 40 10 3 0
x x x
8. (Hà Nội, 04-05)
Giải phương trình:
)(493)(
sincos
2223
2
22
xx
xx
9. (Hà Nội, 05-06)
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
1 y
x y 1 x
2
2x y 1 (1 2x y)(1 12x 2005y ) 0
2004 2.2005 2006 0
Page 2 of 15
10. (Hà Nội, 06-07)
Giải các phương trình sau:
1.
5 3
15 11 28 1 3
x x x
2.
2 2
4 1 1 2 2 1
x x x x
11. (Hà Nội TST, 06-07)
0
yx
yx2
y
2
yx
y2x
x
22
22
12. (Hà Nội, 08-09)
Giải phương trình:
3 3
2
2 1 1 1 1 5
x x x x
13. (Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh)
||1
||1
log||3||
||1
||1
log||3||
3
3
x
x
xy
y
y
yx
14. (Nam Định, 02-03)
a. Giải hệ phương trình:
x y 1 2x y
2x y x y
x.2 3y.2 2
2x.2 3y.8 1
b. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: (4m - 3) 3x +(3m - 4) x1 1 - m
15. (Nam Định, 01-02)
Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn:
x
y
y
x
sin
1
2000sin
2000sin
1
sin
sin
1
sin
16. (Nam Định 08-09)
2
2 2 2 3 4
4 3 2
z 2xyz 1
3x y 3y x 1 x y
z zy 4y 4y 6y z
17. (Nghệ An TST, 06-07)
Giải phương trình
(a 4)
x
+ a
x
= 2(a 2)
x
với hằng số a > 4.
18. (Nghệ An, bảng B, 2008)
1)]80016093(
8
cos[
2
xxx
19. (Quảng Nam, 07-08)
Giải hệ phương trình
Page 3 of 15
2 2 2
3 2
x y 2x y 0
2x 3x 6y 12x 13 0
20. (Hải Dương)
Giải hệ phương trình
2 y
2 x
x x 1 2006
y y 1 2006
21. (Olympic đồng bằng sông Cửu Long, lần XV)
Giải hệ phương trình
4 3 2
4 3 2
4 3 2
x y 4x 6x y 4x y 0
y z 4y 6y z 4y z 0
z x 4z 6z x 4z x 0
21. (Bình Phước, 08-09, vòng 2)
Giải phương trình
2
4 1 x 1 3x 2 1 x 1 x
23. (Hải Phòng, chọn HSG không chuyên, 08-09)
Cho hệ phương trình sau
2
cosx x
ytan y 1
Chứng minh rằng hệ đã cho có duy nhất nghiệm thoả mãn 0 < x < y <1
24. (Nghệ An TST 08-09)
a. Giải hệ phương trình
2
y x 3
2 z 2 y y 1
x z 4x 0
b. Giải phương trình
3 2
3
16x 24x 12x 3 x
25. (Olympic sinh viên toàn quốc)
26. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 1999)
Chứng minh rằng phương trình: a.cosx + b.sin2x + c.cos3x = x có nghiệm trên [; ], a, b, c R
27. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 2003)
Giải hệ phương trình
Page 4 of 15
3
3
3
3
x y 2y 2
y z 2z 2
z t 2t 2
t x 2x 2
28. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 2006)
Phương trình x
3
– ax
2
+ 4 = 0, (a là tham số) có bao nhiêu nghiệm?
29. (Kĩ sư tài năng Bách khoa 2007)
Cho phương trình:
3
1 x x x 1 x m
(1), m là tham số
a. Giải phương trình (1) khi m =1
b. Tìm m để (1) có nghiệm
30. (Thanh Hoá TST, 08-09)
Giải bất phương trình
2
x 4 2 x 2
3 (x 4).3 1
31. (Đồng Nai, 08-09)
Giải phương trình
1 2sin x 1 2cosx 1 3
32. (Thái Bình 03-04)
Giải và biện luận phương trình
2 2
x 2ax 2 2x 4ax a 2 2
3 3 x 2ax a
33. (Thái Bình 04-05)
a. Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
2z 1 x x x
2y 1 z z z
2x 1 y y y
b. Giải phương trình với 0 < a < 1
34. (Thái Bình 05-06)
a. Giải các phương trình
x x x x
1. 5sin x cos2x 2cosx 0
2.2007 2006 2005 2004
b. Tìm m để hệ sau có nghiệm
35. (Thái Bình 06-07)
a. Giải phương trình
cos2x 1
2
1 1
2 2
2 cos2x log 3cos2x 1
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hệ có nghiệm
Page 5 of 15
36. (Olympic Miền Trung và Tây Nguyên)
37. (Quảng Nam 06 – 07)
a. Giải các phương trình sau trên tập số thực :
a)
2
3
1
2 2
1
5
5
9 log ( 2 3) 3 log (2 1 2) 0
x
x x
x x x
b)
2 2
( 2 2) 2
x x x
b. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2 128
x y x y
x y
38. (Huế)
Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 2 2
x + log y = ylog 3 + log x
xlog 72 + log x = 2y + log y
39. (Huế 00 – 01)
Giải phương trình
2
x 2x 1
2x 1
16 2.4 0
40. (Huế 06-07, vòng 2)
Giải hệ phương trình
2 2
6x y 5xy 7x 3y 2 0
x y
ln x 2 ln y 2
3
41. (Huế 08-09)
a. (Dành cho học sinh chuyên)
Tìm các cặp số thực
;
x y
sao cho:
2 4 32
8
x y
xy
b. (Dành cho học sinh không chuyên)
Giải hệ phương trình
8 8 8
2
log 3log log
3
log log
4
y
xy x y
x
x
y
42. (Hà Tĩnh TST, 07-08)
Giải hệ
3 3
2 2
x -8x = y + 2x
x -3y = 6
43. (Cần Thơ TST, 08-09)
a. (vòng 1) Giải phương trình sau trên R
2
2 2
y xy 1 0
x y 2x 2y 1 0
Page 6 of 15
b. (vòng 2) Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình
2 2
x 5x 10 60 24x 5x
44. (Tp. Hồ Chí Minh, 04-05, vòng 1)
2
2
2
3
3 2 2
4x 2 2y 15
a.
4y 2 2x 15
b. 9x 12x 2 3x 8
c. x 4x 5x 6 7x 9x 4
45. (Tp.HCM, 03-04, vòng 1)
Giải hệ phương trình sau
46. (Tp.HCM, 02-03, vòng 2)
a. Giải hệ phương trình
b. Giải phương trình
47. (Tp.HCM, 01-02, vòng 1)
1. Giải các phương trình
a.
b.
2. (đề đề nghị) Giải hệ phương trình
48. (Tp.HCM, 96-97, vòng 2)
49. (Thanh Hoá, 01-02)
1. Giải phương trình
1
x
x
log cosx sin x log cos x cos2x 0
2. Giải phương trình sau với x
0;2
:
1
2
x
2
2x 1
x 2x 1
1 1
4 4 x
4 x
50. (Thanh Hoá, 02-03)
51. (Thanh Hoá, 03-04, bảng B)
1. Giải các phương trình
2
7 3
a. sin x sin x sin x cos x 1
b.log x log ( x 2)
2. Xác định số nghiệm x
2
0;
của phương trình
sin x cosx
2 2
Page 7 of 15
52. (Thanh Hoá, 05-06, bảng B)
Giải hệ phương trình
2logloglog
2logloglog
2logloglog
16164
993
442
xyz
zxy
zyx
53. (Thanh Hoá, 07-08)
1. Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình
3 2
3 9 4
x y 2xy
x y 2xy
54. (Hà Tĩnh, TST, 09-10)
4 3 4
x 20 7 x x 9
55. (Thanh Hoá, 05-06, đề nghị)
1.
x
x
x
x
x
1
2
1
22
22
2
211
2.
sin x
cos x
log cos x
log sin x
(1 cos x) (1 sin x)
3.
3
cosx cos x
(7 + 5 2) - (17 +12 2) = cos3x
.
4.
2 4 2
3
3
x - 3x + 1 = - x + x + 1
.
5. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -
2
1
6.
23log5log3
53
xxxx
7. 3 1tgx (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x).
8. log
2
2
x + x.log
7
(x + 3)= log
2
x [
2
x
+ 2.log
7
(x + 3)]
9. Gi¶i ph¬ng tr×nh (sin)
x
+ (tan)
x
= ()
x
(víi x lµ tham sè, 0 < x <
2
)
10. Giải bất phương trình
2
2
2
2x +1
2x -6x + 2 log
(x -1)
11. Giải phương trình
2x y 1 2x y 2x y 1
3 2
1 4 .5 1 2 (1)
y 4x 1 ln(y 2x) 0(2)
56. (Hải Dương, 08-09)
Giải hệ phương trình
x
5
y
5
z
5
5 2y 1 2log 4y 1
5 2z 1 2log 4z 1
5 2x 1 2log 4x 1
57. (???) Giải phương trình
58. (Khánh Hoà, 08-09)
Page 8 of 15
1.
x
x
x
x
x
1
2
1
22
22
2
211
2.
59. (Tiền Giang, đề nghị Olympic ĐBSCL 2008)
3
3 2 2
4 5 6 7 9 4
x x x x x
60. (Vĩnh Long, đề nghị Olympic ĐBSCL 2008)
Giải phương trình
3 2
3 2
log 1 3 1 3 4 2log 1
x x x x
Page 9 of 15
Phần 2. Một số bài toán cập nhật
Đề thi chọn đội tuyển các trường và các tỉnh năm học 2010-2011
Tổng hợp : huynhcongbang – www.mathsope.org
1.Giải hệ phương trình
3
3
3
3 12 50
12 3 2
27 27
x x y
y y z
z x z
(Trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng; USA TST 2009)
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 3 4 2 3 4 18
7 6 14 0
( )( )x x y y
x y xy x y
(Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển)
3. Giải phương trình
3 2 3 2 2
3 2 2 3 2 1 2 2 2
x x x x x x x
(Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển)
4. Giải hệ phương trình
2 2
2
2
2 2
1
1
3 2 6 2 2 1
log ( ) log ( )
y x
x
e
y
x y x y
(Trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp, đề chọn đội tuyển 11)
5. Giải hệ phương trình:
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
( ) ( )x x y y
x y
(Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)
6. Giải phương trình:
2 2 3 2 2 5 0
sin sin cosx x x
(Trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi)
7.Giải hệ phương trình sau:
2 2
1 2
2
1 1 3 3
( )
y x
x y
x
y x x
(Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định).
8. Giải hệ phương trình.
4 3 3 2 2
3 3
9 9
7( )
x x y y y x x y x
x y x
Page 10 of 15
(Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên)
9. Giải hệ phương trình:
4 4
2 2 3
2
3
( )
x x y y
x y
(Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)
10. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2
2 3 3 2
5 9 7 15 3
8 18 18 18 84 72 24 176
( ) ( ) ( )( )x y y x z
x x z y yz
x y xy yz x y z
(Đề chọn đội tuyển THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội).
11. Giải hệ phương trình
3
3
3
x 3y x 12
y 4z y 6
9z 2x z 32
(Đề Chọn đội tuyển ĐHKHTN HN, vòng 1, ngày 2,
)
12. Giải phương trình
2
2
1 1
5x 6 x
5x 7 x 1
(Đề chọn HSG tỉnh Quảng Ninh, bảng A)
13. Giải hệ phương trình
2 2
x y 1 2x 2y
2x y 2 y 1
(Đề chọn HSG thành phố Hà Nội)
14. Giải hệ phương trình
2 2
x x y 1 1
y x 2y x y x 0
(Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia tỉnh Quảng Bình)
15. Giải hệ phương trình
5 x y 6 x z
4
x y 6xy x z 5xz
6 z y 4 x y
5
z y 6zy x y 5xy
4 x z 6 y z
6
x z 5xz y z 4yz
(Chọn đội tuyển PTNK Tp.HCM)
16. Giải hệ phương trình
Page 11 of 15
2 2
2
2x y 3xy 4x 9y
7y y 2x 9x
(Chọn đội tuyển Nha Trang – Khánh Hoà,
)
17. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2 2
2z x y 1 x y
y z 1 2xy 2xz 2yz
y(3x 1) 2x (x 1)
(Chọn đội tuyển KHTN, vòng 3, ngày 2,
)
18. Giải hệ phương trình
2 2 2
2 2
x y z 2xy zx zy 3
x y yz zx 2xy 1
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Bình Định,
)
19.
1. Giải phương trình :
2
2
1 1
5x 6 x
5x 7 x 1
2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm
3
3 2
x 3x 1 m x x 1
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh, bảng A,
)
20. Giải phương trình
3
3
2 2
x y y x
1 x y 2y 2 2x
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp,
)
21. Giải hệ phương trình
2 2 3
3 4
y x 2x y x 18 2
y x x 28
(THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai,
)
22. Giải hệ sau
2
2
2x y x 1 2 x 1 2 2x y
y 4x x 1 17 0
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Khánh Hoà,
)
23. Giải các hệ phương trình sau
Page 12 of 15
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3x y y y
a)
3y x x x
3x y y y
b) 3y z z z
3z x x x
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Long An, vòng 1,
)
24.
1. Giải phương trình trên tập số thực
x
5
– x
4
– x
3
– 11x
2
+ 25x – 14 = 0
2. Giải phương trình
3 3
4 4
sin x . sin3x cos 3x cosx 0
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai,
)
25. Giải phương trình
x 2 x 1 x 3 4 x 1 1
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long,
)
26.
1. Giải phương trình
2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1
2. Giải hệ phương trình nghiệm thực
3
2 2x y 3 2x y
x 6 1 x 4
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc)
27. Giải hệ phương trình trên tập số thực
4
2 2
x 5y 6
x y 5x 6
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai,
)
28.
1. Giải phương trình
2
x 4x 3 x 5
2. Giải phương trình
3 2
x x 3x 1 2 x 2
trên [-2;2]
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Long An, vòng 2,
)
29. Giải hệ phương trình
11 10 22 12
4 4 2 2
3
x xy y y
7y 13x 8 2y . x(3x 3y 1)
(Chọn học sinh giỏi tỉnh Tp. Hồ Chí Minh,
)
Page 13 of 15
30. Giải phương trình
2
4 3 2 3
1 x
x 2x 2x 2x 1 (x x)
x
(Chọn đội dự tuyển tỉnh Hà Tĩnh, vòng 1,
)
31. Giải hệ phương trình sau
2 2 2 2 2
2 x 1 2x 2 y 1 2y 4 10x 1
x y z 2xz 2yz x y 1 0
(Chọn đổi dự tuyển tỉnh Hà Tĩnh, vòng 2,
)
32. Giải hệ phương trình
2 2
2
1
5
57
25
x y
4x 3x y(3x 1)
(Chọn đội dự tuyển Nghệ An, ngày 2,
)
Lời nhắn
Nguyên văn bởi namdung, 27-09-2010, 06:01 PM, #1,
“Nh
ằm giúp các bạn có th
êm nh
ững góc nh
ìn khác nhau v
ề đề thi của các trường, các tỉnh, có th
êm
tài li
ệu để ôn tập, đồng thời thấy tự tin hơn trước những b
ài toán khó và l
ạ, chúng tôi tiếp tục tổ chức
sưu tầm, giải
và bình lu
ận đề thi chọn học sinh giỏi của các trường v
à các t
ỉnh năm 2010
-2011. [ ]
Cách th
ức thực hiện hết sức đơn giản, các bạn tham gia giải v
à g
ửi b
ài v
ề cho tôi theo địa chỉ:
Tôi s
ẽ tổ
ng h
ợp lại v
à chuy
ển cho bạn
canvqb
để chuyển sang Latex.
K
ết quả cuối c
ùng chúng ta s
ẽ có một cuốn E
-book dành cho t
ất cả các bạn y
êu toán.”
Tải “Lời giải và Bình luận đề thi các tỉnh và các trường đại học năm 2009 – 2010” (Trần Nam
Dũng chủ biên) :
P/S: Các bạn cũng có thể post trực tiếp lời giải (và bình luận nếu có thể) trực tiếp lên MS
Chân thành cảm ơn./.
Page 14 of 15
Phần 3. Một số bài toán trên các diễn đàn toán học
(mathscope.org, diendantoanhoc.net, maths.vn, diendan3t.net,
truongtructuyen.vn, boxmath.vn, math.vn)
1(1)
12 2
1
y 3x
x
12 6
1
y 3x
y
2(1)
3
2 2
x y 1 x y 5
x xy 4 y xy 4 12
3(1)
2
3
2
2
2
3
2xy
x x y
x 2x 9
2xy
y y x
y 2y 9
4(1)
2 2
2 2
x y xy 1 4y
y(x y) 2x 7y 2
5(1)
3 2 2 3
x 6x y 9xy 4y 0
x y x y 2
6(1)
3 3
2 2
2x 9y (x y)(2xy 3)
x xy y 3
7(1)
3 3
2 2
1
3x y
x y
x y 1
8(1)
3 3
2 2
x 4y y 16x
y 1 5(x 1)
9(1)
3 3
(xy 1) 2y (9 5xy)
xy(5y 1) 1 3y
10(3)
6 3 2 2
x y x 9y 30 28y
2x 3 x y
11(3)
2 4 2 2 2 4
4
2 4 2 2
3 2x y x y x 1 2x y
1 1 x y x (x 1 2x 2xy )
12(3)
2
2
7x xy 1 2xy 1
y 1 3x 2x
13(3)
3 6
6 2 6
y 1 2x y 3x
1 4x y 5x
14(3)
4 2 2 2
2
4 2 2 2
6x x x y y 12 x 6
5x x 1 y 11x 5
15(3)
2 2 2
2 2 2
x y 1 2y
x 7y 4xy 4y
16(3)
2 2
2
y x xy 3
x 2xy 7x 5y 9
17(2)
2 2
2 2
x 3xy 2y x y 6 0
x xy 2y 8x 10y 12 0
18(1)
2 2
2 2
y x y 48
x y x y 24
19(2)
2 2
2x x y 7
xy x y 3
20(2)
2
2 2
6x 3xy x 1 y
x y 1
21(2)
2 2
x y xy x 2y
x 2y y x 1 2x 2y
22(2)
2 2
2
x y xy 1
3x y y 3
23(4)
x y + 2y x = 3x 2x -1
y x + 2x y = 3y 2y -1
24(4)
2 2
x 1 y 2 3 x y
xy 3 xy 4
7 x y
Page 15 of 15
25(4)
2 2
2
1 1 13
2 2 2
1
2
33
4
x y
xy xy(x y)
26(4)
x y x z 20
y x y x 8
z x z x 15
27(4)
2 2 2 2 2
3 3 3 3
(x + 3y + 4z + t) = 27(x + y + z + t )
x + y + z + t = 93
28(1)
y
sin x 1 sin x
4 2 cos(xy) 2 0
29(1)
x x x 1
6 8 27 1 0
30.
4 4
2 2 2 2
1 1
2y 2x
x 2y
1 1
3x y x 3y
x 2y
31.
2 2
2 2
2 2
x = y + z
y = z + x
z = x + y
32.
3 2
3
4
81x - 8 = x - 2x + x - 2
3
33.
3
4
1
2
16x 1 x
34(2)
2
2
2
5
3
1
3
x (y z)
y (z x) 3
z (x y)
35(2)
x x x x x x
2.11 18 4 (2 3 5 )
36(2) 2
x+1
= x + 1 + 4
x
37(2)
2
x 1 x 3 2 (x 1)(x 3x 5) 2x
38(2)
2
x 1 x 3 2 (x 1)(x 3x 5) 2x
39(2)
3 2
3 x 2 x x x 4x 1
40(2)
2
2x
5x 3 2 3
x 1
