BÁO cáo bài t p l n ậ ớ môn h i s TUY n TÍNH ọc đạ ố ế tên đề tài PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
---

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN HỌC: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TÊN ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
GVHD: Hà Văn Hiếu
Lớp: L03
Nhóm: 5

Tp.HCM, 19/4/2021


Lớp: L03
Nhóm: 3
Danh sách thành viên

STT

Họ và Tên

MSSV

1

Dương Thuận Phát

2014073

2

Lưu Đặng Đình Tú

2014973

3

Phạm Mai Hun

2013342

4

Lê Đức Tài

2014409

5

Lê Hồng Thu Ánh

2010885

6

Võ Minh Quân

2011927

7

Võ Thanh Trường

2012329

8

Võ Huỳnh Mai Thy

2014701

9

Trần Văn Kiên

2013552

10

Bùi Bài Bổng

2012701

11

Phan Thị Quế Minh

2013781

12

Nguyễn Trình Thức

2014694

13

Lê Văn Tuấn

2012338

2


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài này, nhóm chúng em rất biết ơn vì đã nhận được rất nhiều
sự quan tâm và sự giúp đỡ tận tình của thầy cơ và bạn bè.
Nhóm chúng em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Hà Văn Hiếu là giảng viên
hướng dẫn cho đề tài môn học này. Nhờ có sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy, đã giúp cho
nhóm chúng em tìm ra cách giải quyết những vướng mắc gặp phải và hoàn thiện đề tài này một
cách tốt nhất.
Sự hướng dẫn của thầy đã là kim chỉ nam cho mọi hành động của nhóm và phát huy tối đa
được mối quan hệ hỗ trợ giữa thầy và trị trong mơi trường giáo dục.
Lời cuối, xin một lần nữa gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô đã dành thời gian
chỉ dẫn cho nhóm. Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể đạt được kết
quả này.

3

TĨM TẮT BÀI BÁO CÁO
Báo cáo tìm hiểu chun sâu về ứng dụng của trị riêng và vecto riêng chính là hệ phương trình
vi phân tuyến tính cấp 1. Bằng những kiến thức cơ bản (ma trận, phép nhân 2 ma trận,…), khái
niệm chuyên sâu hơn (trị riêng, véctơ riêng, phép đổi biến, chéo hoá ma trận,…) để giải các bài
tốn tìm số lượng cá thể, tìm lượng muối ở thời điểm t và được ứng dụng rộng rãi trong rất
nhiều lĩnh vực: hoá học, vật lý, xây dựng, kinh tế, mơi trường, khoa học máy tính, cơ lượng tử,
lý thuyết đồ thị, trí tuệ nhân tạo,… Có thể thấy phương trình vi phân mang lại cho chúng ta rất
nhiều lợi ích.

4


Mục lục
Phần 1: Trị riêng và véctơ riêng………………………………………………6
I.

Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vng……………..……….6

II.

Chéo hố ma trận…………………….…………………...…….10

Phần 2: Ứng dụng trong hệ phương trình vi phân tuyến tính………….……13

5


Phần 1: Trị riêng và véctơ riêng

I.
1.1.

Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vng

Cho ví dụ sau: Cho ma trận A = ( 3 −3) và hai véctơ X = ( 3 ) , Y = ( 1). Tính
1
1
2 −4
AX, AY và biểu diễn 4 véctơ X, Y, AX, AY lên cùng một hệ trục Oxy.

Lời giải

6
3
3 −3
) ( )=( ).
AX = (
1
2 −4
2

0
1
3 −3
) ( )=( ).
AY = (
1
2 −4
−2

Từ hình vẽ ta thấy AX cùng phương với véctơ X, cụ thể AX= 2X và AY không cùng phương
với véctơ Y.
Không tồn tại hệ số thực k để AY= kY.
Số λ= 2 được gọi là giá trị riêng của ma trận A và véctơ X ở trên được gọi là véctơ riêng của
ma trận A tương ứng với giá trị λ= 2.

Định nghĩa 1: Cho A ∈ Mn(K). Số λ0 ∈ K được gọi là giá trị riêng của ma trận A, nếu tồn tại
véctơ X0 ≠ 0 sao cho AX0 = λ0X0.
Véctơ X0 được gọi là véctơ riêng của ma trận A tương ứng với λ0
6


Tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận A được gọi là phổ của ma trận A và được ký

hiệu bởi 𝛿(A)
Tìm trị riêng và véctơ riêng của A.

Theo định nghĩa, tồn tại X0 ≠ 0 để AX0 = λ0X0⇔ AX0 - λ0X0 = 0 ⇔ (A - λ0I)X0 = 0
Suy ra X0 là 1 nghiệm ≠ 0 của hệ phương trình
(A - λ0I)X = 0

(1)

Hệ thuần nhất (1) có nghiệm khác khơng khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.
Tức là det(A - λ0I) = 0
Vậy λ 0 là 1 nghiệm ≠ 0 của phương trình det(A - λI) = 0(phương trình đặc trưng của A)
Định nghĩa 2:

1/ Số λ 0 là trị riêng cảu A khi và chỉ khi λ 0 là nghiệm của phương trình đặc trưng.

2/ Véctơ X0 là véctơ riêng của A ứng với λ 0 khi và chỉ khi X0 là 1 nghiệm ≠ 0 của hệ phương

trình (1)

1.2.

Các bước tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.

Bước 1. (Tìm giá trị riêng)
- Lập phương trình đặc trưng.
- Tính định thức, giải phương trình.
- Tất cả các nghiệm của phương trình là tất cả các trị riêng của A.
Bước 2. (Tìm véctơ riêng)
- Tương ứng với λ 1. Giải hệ phương trình (A – λ1I)X = 0.
- Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các véctơ riêng của A ứng với trị riêng λ 1
- Tương tự tìm véctơ riêng của A ứng với các trị riêng còn lại.
Định nghĩa 3: Cho λ k ∈ 𝛿(A)
Bội đại số của λ k là số bội của nó trong phương trình đặc trưng
Ký hiệu: BĐS(λ k).

Định nghĩa 4: Không gian nghiệm của hệ phương trình (A – λkI)X = 0 được gọi là không gian
con riêng ứng với λk.
Ký hiệu: Eλk
Định nghĩa 5: Số chiều của không gian con riêng Eλk được gọi là bội hình học của λk và được
ký hiệu là BHH(λk).
7


Định lý 1: Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng.

Chứng minh. Ta có PB(λ) = det(B - λI) = det(P-1AP - P-1IPλ) = det(P-1(A - λI)P)
= det(P-1)det(A – λI)det(P) = det(A - λI) = có PA(λ).

Định l 2: Cho 𝜆𝑘 ∈ 𝛿(𝐴). Bội hình học của trị riêng 𝜆𝑘 luôn nh hơn hoặc bằng bội đại số của
nó.
Chứng minh

Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (𝐾) và một giá trị riêng của 𝐴 là 𝜆0 . Giả sử 𝐵 𝐻 𝐻 (𝜆0 ) = 𝑟.

Khi đó tồn tại cơ sở của khơng gian con riêng 𝐸𝜆0 có 𝑟 véctơ là 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , …, 𝑒𝑟 }.
Bổ sung vào 𝐸 để được cơ sở của 𝐾 𝑛 là 𝐸1 = {𝑒1 , 𝑒2 , …, 𝑒𝑟 , 𝜐𝑟+1 , 𝜐𝑟+2 , …, 𝜐𝑛 }.
Gọi 𝑃 = (𝑒1 |𝑒2 |…|𝑒𝑟 |𝜐𝑟+1 |𝜐𝑟+2|…|𝜐𝑛 ) là ma trận có các cột là các véctơ của E1.
Khi đó 𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝑃−1 A(𝑒1 |𝑒2 |…|𝑒𝑟 |𝜐𝑟+1|𝜐𝑟+2|…|𝜐𝑛 )
= 𝑃−1(𝐴𝑒1 |𝐴𝑒2 |…|𝐴𝑒𝑟 |𝐴𝜐𝑟+1|𝐴𝜐𝑟+2 |…|𝐴𝜐𝑛 )

= 𝑃−1(𝜆0 𝑒1 |𝜆0 𝑒2 |…|𝜆0 𝑒𝑟 |𝐴𝜐𝑟+1|𝐴𝜐𝑟+2 |…|𝐴𝜐𝑛 )

= (𝑃−1 𝜆0 𝑒1|𝑃−1 𝜆0 𝑒2 |…|𝑃−1 𝜆0 𝑒𝑟 |𝑃−1𝐴𝜐𝑟+1 |𝑃−1 𝐴𝜐𝑟+2 |…|𝑃−1 𝐴𝜐𝑛 )

= (𝜆0 𝑃−1 𝑒1|𝜆0 𝑃−1 𝑒2 |…|𝜆0 𝑃−1𝑒𝑟 |∗|∗|…|∗).

Ta có 𝐼 = 𝑃−1 𝑃= 𝑃−1(𝑒1 |𝑒2 |…|𝑒𝑟 |𝜐𝑟+1 |𝜐𝑟+2 |…|𝜐𝑛 )
= (𝑃−1 𝑒1|𝑃−1 𝑒2 |…|𝑃−1 𝑒𝑟 |∗|∗|∗).

1
0
0
1
Từ đây ta có: 𝑃−1 𝑒1= ( ), 𝑃−1 𝑒2 = ( ), …, 𝑃−1 𝑒𝑟 =

⋮
⋮
0
0

𝜆0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗
0 𝜆0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗
⋮
⋮
⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Vậy 𝑃−1 𝐴𝑃 =
0 0 ⋮ 𝜆0 ∗ ⋯ ∗
⋮
⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
(0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ )

0
0
⋮ .
1
⋮
(0)

Suy ra phương trình đặc trưng của 𝑃−1 𝐴𝑃 là (𝜆 − 𝜆0 )𝑟 g(𝜆) = 0.
8


dạng
ó 𝐴𝑃

cùng
ặc trưng.
Suy ranên
mach
trúậng
n 𝑃c−1
cóđa
mộthứ
t trcị đriêng
có bội đa số ≥ 𝑟 . Vì 𝐴 và 𝑃−1𝐴𝑃 là hai ma trận đồng

Tóm lại bội đa số của trị riêng 𝜆0 của ma trận 𝐴 lớn hơn hoặc bằng 𝑟 .
Định l 3: Cc vctơ riêng ca 𝐴 tương ng vi cc tr riêng khc nhau th đc lp tuyn tnh

1.3. Tnh cht của trị riêng, véctơ riêng

1/ Tổng tất cả các trị riêng của 𝐴 bằng với vết của ma trận 𝐴, tức là bằng với tổng các phần tử
trên đường chéo của 𝐴.
2/ Tích tất cả các trị riêng của 𝐴 bằng với det (𝐴).

3/ Tổng tất cả các bội đại số của các trị riêng bằng với cấp của 𝐴.

4/ Tổng tất cả các bội hình học của các trị riêng bằng với số véctơ độc lập tuyến tính cực đại.
5/ Nếu 𝜆0 là trị riêng của 𝐴, thì 𝜆0 𝑚 là trị riếng của ma trận 𝐴𝑚 , 𝑚 𝜖 ℕ.
Chứng minh.

Giả sử 𝜆0 là trị riêng của 𝐴.

Khi đó tồn tại véctơ 𝑋0 ≠ 0, sao cho 𝐴𝑋0 = 𝜆0 𝑋0 .

Suy ra 𝐴𝑚 𝑋0 = 𝐴𝑚−1 (𝐴𝑋0 ) = 𝐴𝑚−1 𝜆0 𝑋0 = 𝜆0 𝐴𝑚−1 𝑋0 = 𝜆0 𝐴𝑚−2 (𝐴𝑋0 ) = 𝜆0 𝐴𝑚−2 𝜆0 𝑋0 =
(𝜆0 )2 𝐴𝑚−2 𝑋0 = ⋯ = (𝜆0 )𝑚 𝑋0 .
Vậy 𝐴𝑚 𝑋0 = (𝜆0 )𝑚 𝑋0 .

Suy ra (𝜆0 )𝑚 là trị riêng của 𝐴𝑚 và 𝑋0 là véctơ riêng của 𝐴𝑚 ứng với trị riêng (𝜆0 )𝑚 .

6/ Ma trận vuông 𝐴 khả nghịch khi và chỉ khi khơng có trị riêng bằng 0. Nếu 𝜆0 là trị riêng của
𝐴, thì 𝜆0 −1 là trị riêng của ma trận 𝐴−1.

Chứng minh.

Thật vậy, giả sử 0 ∈ 𝛿(𝐴).

Phương trình đặc trưng của 𝐴 là det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0.

Thế 𝜆 = 0 vào phương trình ta được det(𝐴 − 0𝐼) = 0 ⟺ det(𝐴) = 0 ⟺ 𝐴 không khả nghịch.
Giả sử 𝜆0 là trị riêng của 𝐴 và 𝐴 khả nghịch.

Khi đó tồn tại véctơ 𝑋0 ≠ 0, sao cho 𝐴𝑋0 = 𝜆0 𝑋0

⟺ 𝐴−1𝐴𝑋0 = 𝐴−1 𝜆0 𝑋0 ⟺ 𝜆0 𝐴−1 𝑋0 = 𝑋0 ⟺ 𝐴−1𝑋0 =

1

𝜆0

𝑋0 .

⇒ 𝜆 là trị riêng của 𝐴−1 và 𝑋0 là véctơ riêng của 𝐴−1 ứng với
1

0

9

1

𝜆0


II.

Chéo hố ma trận

1.1.

Định nghĩa

- Ma trận vng A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận chéo D và ma trận khả nghịch
P để A = PDP −1

❖ Chú ý:

➢ Không phải ma trận nào cũng chéo hóa được.
Giả sử A chéo hóa được, khi đó ta có:

p11
p
⇔ A ( ⋯21
pn1

𝐀 = 𝑷𝑫𝑷−𝟏 ⇔ 𝑨𝑷 = 𝑷𝑫

p11
p12 . . . p1n
p21
p22 . . . p2n
⋯ ⋯ ⋯ )=( ⋯
. . . pnn
pn1
pn2

p12 . . . p1n
α1 0 . . . 0
p22 . . . p2n
0 α2 . . . 0
⋯ ⋯ ⋯ )( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ )
. . . pnn
pn2
. . . αn
0 0

➢ Cột thứ nhất của ma trận AP là AP∗1
𝑝11
𝛼1 𝑝11
𝛼1 𝑝21
𝑝21
➢ Cột thứ nhất của ma trận PD là ( . . . ) = 𝛼1 ( . . . ) = 𝛼1 𝑝∗1
𝛼1 𝑝𝑛1
𝑝𝑛1

Vì AP = PD ⇒ AP∗1 = α1 P∗1

α là trị riêng của A
Ma trận P khả nghịch ⇔ P∗1 ≠ 0 ⇒ { 1
P∗1là vecto riêng của A
Tương tự, ta có

αk là trị riêng của A
{
Tất cả các cột của P là vecto riêng của A

❖ Lưu : P khả nghịch nên họ vecto cột của P là họ độc lập tuyến tính
❖ Định lý: Ma trn vng A cấp n cho hóa được khi và chỉ khi tồn tại n vecto riêng đc lp
tuyn tính ca A.

10


❖ Hệ quả:
➢ Ma trận A cấp n có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được

➢ A chéo hóa được ⇔ Bội hình học = Bội đại số cho tất cả trị riêng

⇒ Đây cũng là điều kiện để ma trận A chéo hóa.
1.2.

Các bước chéo hóa ma trận

❖ Bước 1: Tìm giá trị riêng
➢ Lập phương trình đặc trưng det(A- 

)=0
➢ Nghiệm của phương trình là các trị riêng của A.
➢ Với mọi k 𝜖 𝛿(𝐴) , tìm bội đại số BĐS (k ).

❖ Bước 2: Tìm cơ sở của các khơng gian con riêng
➢ Tương ứng với trị riêng k . Giải hệ phương trình (A-
 k).X=0.
➢ Tìm nghiệm tổng quát, suy ra cơ sở khơng gian con riêng Ek .
➢ Xác định bội hình học của k : BHH (k)=dim(Ek )
❖ Bước 3: Kết Luận
➢ Nếu tồn tại một trị riêng( k ) mà bội hình học (BHH) NHỎ HƠN bội đại số (BĐS) của
nó thì ma trận A KHƠNG chéo hóa được.
➢ Nếu với mọi trị riêng, bội hình học BẰNG với bội đại số của nó, thì ma trận A chéo
được. Tức là A=PDP-1 , trong đó ma trận P có các cột là những cơ sở của các không gian
con riêng đã tìm được ở BƯỚC 2 và ma trận D có các phần tử trên đường chéo là các
giá trị riêng của A.
3 −3
Cho ma trận A =(
)
2 −4

❖ Ví dụ

Bước 1: Tìm các trị riêng

−3
)=0  |3 − 
Phương trình đặc trưng det(A- 
|=0
2 −4 − 

11


λ1 = 2
2 ={−3
⇔ (3 − λ)(−4 − λ) − (−3).2 = 0λ⇔

𝜆 = 2 𝑐ó BĐS (𝜆 ) = 1
⇒Ma trận A có 2 trị riêng là{𝜆2 1= −3 𝑐ó BĐS (𝜆12 ) = 1

Bước 2: Tìm các vecto riêng




3𝛼
Vecto riêng ứng với 𝜆1 = 2 là X=( ) với α ≠ 0
𝛼
3
BHH (1)=1, cơ sở của không gian con riêng E1 là ( )
1
β
Vecto riêng ứng với 2 là X = ( )
2β
1
BHH (2)=1, cơ sở của không gian con riêng E2 là ( )
2

Bước 3: Kết luận

Ta có BĐS ()=BHH (1)=1; BĐS ()=BHH (2)=1
⇒ A chéo hóa được ⇔ A = PDP −1 với

3 1
2 0
)
D=(
) và P =(
1 2
0 −3

12


Phần 2: Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính
I.Vật Lý
Tính mức độ tan rã của một nguyên tố.
Ví dụ : Chu kì bán rã của radium là 1600 năm, điều đó có nghĩa cứ khoảng 1600 năm khối
lượng của radium giảm đi một nửa. Nếu ban đầu một mẫu radium có khối lượng 50 gram thì
sau bao lâu khối lượng của nó là 45 gram?
• Gọi y(t) là khối lượng của radium sau khoảng thời gian t ( năm ).
• Ta biết rằng y(t) = ky(t) ( k là một hằng số ).
• Giải ptvp trên ta được y’(t) = ∁. ekt

• Ta có y(0) = 50 và y(1600) = 25 ta tìm được ∁ = 50, k =
• Vậy sau t =

)
ln(45⁄ 50
k

≈ 243.2 (năm)

−ln 2

1600

Một bài toán thú vị trong vật lý là xác định vận tốc ban đầu nh nhất để một con tàu vũ trụ có
thể thốt ra ngồi từ trường của Trái Đất để đi vào khơng gian. Để giải quyết bài tốn ta cần
một số kí hiệu sau :
• R là bán kính Trái Đất. ( R ≈ 6350 km )
⁄2 )
• g là gia tốc Trái Đất. ( g ≈ 9.8 ms
• x (t) là độ cao của tàu vũ trụ ở thời điểm t

−g
x ′′ (t) =
x
(1 + )2
R

Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, ta có :

II.Hóa Học
-

Ứng dụng của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong hóa học :
+ Có nhiều vấn đề trong hóa học của các phản ứng hóa học
dẫn đến các hệ phương trình vi phân. Phản ứng đơn giản nhất là

khi hóa chất A biến thành hóa chất B. Điều này xảy ra với một hiệu suất
nhất định (k>0) . Phản ứng này có thể được thể hiện bằng cơng thức :

Kí hiệu [A], [B] là nồng độ (concentration) mole/l của A và B.Ta được :

13


Từ cấu trúc trên ta có thể hiểu một chuỗi phản ứng sau:

Ở đây có ba nồng độ và hai tỷ lệ thay đổi . Hệ thống phương trình điều
chỉnh phản ứng là :

Tốc độ thay đổi càng phức tạp là khi [B] tăng từ [A] thay đổi thành [B] và giảm khi [B] thay
đổi thành [C]. Do đó, có hai thuật ngữ trong tốc độ phương trình thay đổi nồng độ [B].
Ta có thể xem xét thêm các phản ứng trong đó có thể có phản ứng ngược.
Do đó, một khái quát hóa hơn nữa xảy ra cho phản ứng

Tỷ lệ phản ứng ngược góp phần vào các phương trình phản ứng cho [A] và
[B]. Hệ phương trình kết quả là:

14


Ta có ví dụ sau : Cho chuỗi phản ứng sau:

A⇌B→C

Trong đó 3 hóa chất là A, B, C. Trong chuỗi phản ứng trên mỗi giai đoạn có một hiệu suất
riêng (A→B là K1, B→C là K2 và B→A là K3)

Theo thời gian thì nồng độ mol/l của ba chất trên sẽ thay đổi [A](1), [B](1), [C](1), với K1= 0.4,
K2=0.1, K3= 0.1
Ta có pt theo định nghĩa đã đưa ra:
d[A]/dt= -0.4[A] + 0.1[B]
d[B]/dt= 0.4[A] - 0.1[B] - 0.1[B]
d[C]/dt= 0.1[B]
⟺

d[A]/dt= -0.4[A] + 0.1[B]
d[B]/dt= 0.4[A] - 0.2[B]
d[C]/dt= 0.1[B]

Biết [A](0)= 2 (mol/l)
[B](0)= 8 (mol/l)
[C](0)= 1 (mol/l)
Tính nồng độ mol của 3 hóa chất tại thời điểm t:
Giải
*Hệ pt được viết lại ở dạng ma trận:
d[A]

dt
(d[B]) = (
dt

[𝐴]t
−0.4 0.1
) ⇔ X’=A.X
)(
[𝐵]t

0.4 −0.2

Dùng phép đổi biến X=PY, ta được PY’= APY  Y’= P-1APY.
15


Tìm ma trận P sao cho P-1AP là ma trận chéo D (Cấu trúc đơn giản nhất có nghĩa là chéo hóa
ma trận A, ta được A=PDP-1, với
0

−3−√5
10

D= ( 0

−3+√5
10

Hệ pt đã cho đổi thành Y’= DY

d[A]𝑦
dt
⇔ (d[B]𝑦) =
dt

(

4
−√5−1

); P= (

−3 − √5
10
0

1

−√5−1
4

0

[𝐴]𝑦 𝑡
(
)
[B]𝑦 𝑡
−3 + √5
10 )

−3 − √5
𝑑[𝐴]𝑦
𝑑[𝐴]𝑦 −3 − √5
=
𝑑𝑡
[𝐴]𝑦𝑡
=
[𝐴]𝑦
10
10

𝑑𝑡
⟺
⟺
𝑑[𝐵]𝑦 −3 + √5
𝑑[𝐵]𝑌 −3 + √5
[𝐵]𝑦𝑡
=
𝑑𝑡
=
10
{ 𝑑𝑡
{ [𝐵]𝑌
10
⟺

∫

𝑑[𝐴]𝑦
−3 − √5
𝑑𝑡 = ∫
𝑑𝑡
[𝐴]𝑦
10

−3 + √5
𝑑[𝐵]𝑌
𝑑𝑡 = ∫
𝑑𝑡
10
{ [𝐵]𝑌

∫

−3 − √5
𝑡 + 𝛿1
10
⟺
−3 + √5
𝑙𝑛|[𝐵]𝑦𝑡 | =
𝑡 + 𝛿2
10
{
𝑙𝑛|[𝐴]𝑦𝑡 | =

[𝐴]𝑦𝑡 = 𝑒

−3−√5
10 𝑡+𝛿1

[𝐴]𝑦𝑡 = 𝑐1 𝑒

−3−√5
10 𝑡

⟺ {
⟹{
−3+√5
−3+√5
𝑡+𝛿2
[𝐵]𝑦𝑡 = 𝑐2 𝑒 10 𝑡
[𝐵]𝑦𝑡 = 𝑒 10

Từ: X=PY ⟺
[𝐴] =
⟺{

[𝐴 ]
([𝐵]
)

=

−√5−1 √5−1
[𝐴]𝑦
( 4
4 ) ([𝐵] )

1

1

𝑦

−3−√5
−3+√5
−√5 − 1
√5 − 1
𝑡
𝑐1 𝑒 10 +
𝑐2 𝑒 10 𝑡
4

4

[𝐵] = 𝑐1 𝑒

−3−√5
𝑡
10

+ 𝑐2 𝑒

−3+√5
𝑡
10

16

1

)


−√5−1

Với [A]t =

. 0,42. 𝑒

4 −3−√5
𝑡
10

[B]t = 0,42. 𝑒

𝑡
−3−
10√5

+ 7,58. 𝑒

[C]t = 0,1.[B]t = 0,042. 𝑒

+

√5−1

−3+√5 𝑡
10

−3−√5
𝑡
10

4

. 7,58. 𝑒

+ 0,758. 𝑒

𝑡

−3+
10√5

−3+√5
𝑡
10

III. Tốc độ tăng dân số
- P(t) là dân số ở thời điểm t (năm) . Chúng ta có mơ hình tốc độ tăng dân số là
dP
dx

= kP , P(0) = P0

trong đó k là hằng số tốc độ tăng dân số, P0 là dân số ở thời điểm t = 0

- Ví dụ :
Với bảng số liệu ở trên, hãy ước lượng dân số thế giới vào năm 2020?

• Giải ptvp, ta được P(t) = P0 . ekt
• Từ bảng số liệu trên ta có thể ước lượng giá trị của k là k = 0.017
• Do đó P = 4454. e0.017t
17


Vậy đến năm 2020, tức là t = 40 , dân số thế giới P ≈ 8.791 tỷ.

IV. Môi trường sinh thái
Mơ hình thú mồi (predator-prey model) hay mơ hình Lotka-Volterra là một mơ hình dùng để
giải thích về sự cân bằng sinh thái trong hệ sinh thái giữa thú săn mồi và con mồi.

Ta xét một mơ hình quần thể có hai lồi động vật là thú săn mồi (sói,hổ,…) và con mồi (th,
hươu, nai,…). Giả sử:
•
•
•
•

Khi khơng có thú săn mồi, con mồi tăng trưởng không giới hạn (luật Malthus). ˆ
Thú ăn mồi và tốc độ con mồi bị ăn thịt tỉ lệ với tốc độ thú và mồi gặp nhau. ˆ
Khơng có con mồi, lồi thú săn mồi suy giảm tỉ lệ với dân số hiện tại. ˆ
Tốc độ sinh trưởng loài thú săn mồi tỉ lệ với lượng mồi bị ăn thịt.

Qua quá trình quan sát, người ta đã đưa ra được mơ hình phát triển của hai lồi này là:

Giải thích bài tốn:
•

•

•

S ′ = 0.5S(t) + 0.3T(t)
{′
T = −0.2S(t) + 1.2T(t)

(1)
(2)

S’, T’ là tốc độ tăng trưởng loài của thú săn mồi và con mồi trên một đơn vị thời gian
(trong bài toán ta lấy đơn vị thời gian là con/năm).

Tại phương trình (1), nếu khơng có con mồi thì số lượng thú săn mồi sau một năm sẽ bị
giảm đi còn 0.5S(t). Nếu có con mồi thì số lượng thú săn mồi sẽ tăng thêm 0.3T(t).
Tại phương trình (2), nếu khơng có thú săn mồi thì số lượng con mồi sẽ tăng thêm 20%
hay 1.2T(t). Nếu có thú săn mồi thì số lượng con mồi sẽ giảm đi thể hiện qua -0.2S(t).

Tại thời điểm ban đầu khi nghiên cứu (t=0), số lượng cá thể tương ứng của từng loài là:
S(0) = 2000,T(0) = 1000

Từ những dữ kiện trên, tìm số lượng cá thể của mỗi lồi ở thời điểm t, tức là tìm S(t), T(t).
Lời giải:
Ta viết phương trình trên ở dạng ma trận:

S′
S(t)
( ) = ( 0.5 0.3) (
) ⇔ X ′ = AX
−0.2 1.2
T(t)
T′

Lập phương trình đặc trưng det(A − λ I) = 0

0.5 − λ
0.3 | = 0
⇔|
−0.2 1.2 − λ

18

⇔ (0.5 − λ)(1.2 − λ) − 0.3(−0.2) = 0
λ = 1.1
⇔ {λ21= 0.6
Tìm cơ sở của khơng gian con riêng:

Với λ1 = 1.1:

(A − λ1 I)X = 0

−0.6 0.3
⇔(
)X = 0
−0.2 0.1

⇔ X = (2αα) với 𝛼 ≠ 0
Với λ2 = 0.6:

(A − λ2 I)X = 0

−0.1 0.3
⇔(
)X = 0
−0.2 0.6

⇔ X = (β3β) với 𝛽 ≠ 0

Chéo hóa A ta được A = PDP −1, với:

3 1
0.6 0

),P = (
D=(
).
0 1.1
1 2

Dùng phép biến đổi biến X=PY, ta có hệ Y’=DY :

y1 (t)
y1
y′ = 0.6y1
0.6 0
)(
⇔( )=(
) ⇔ ′{ 1
y2 = 1.1y2
0 1.1
y2
y2 (t)
y′ = C1 . e0.6t
⇔ { ′1
y2 = C2 . e1.1t

S(t)
3 1 y1
X = PY ⇔ (
) = ( )( )
1 2
T(t)
y2

S(t) = 3C1 e0.6t + C2 e1.1t
⇔{
T(t) = C1 e0.6t + 2C2 e1.1t

2000 = 3C1 e0 + C2 e0
Với x1 (0) = 2000, x2 (0) = 1000, ta có hệ {
1000 = C1 e0 + 2C2 e0

C = 600
S(t) = 1800e0.8t + 200e1.1t
⇔{ 1
⇔{
C2 = 200
T(t) = 600e0.8t + 400e1.1t
19


V.Kinh Tế
Ở một ao ni cá có 2 lồi cá sống cùng nhau và mỗi lồi có ảnh hưởng đến tốc độ sinh trưởng
của lồi khác vì cùng ăn 1 loại thức ăn. Số lượng cá mỗi loài tại thời điểm t là x1(t) và
x2(t).Sau quan sát người ta đưa ra mơ hình phát triển của 2 lồi này là
x1′ = 3x1(t) − 2x2(t)
{x2′ = −3x1(t) + 8x2(t)

Ban đầu người ta thà vào ao loài 1: 4200 con, loài 2: 1400 con. Biết giá khi bán của loài 1 là
50000/con, giá cùa loài 2 là 35000/con. Tại thời điểm nào người chủ bán sẽ thu được số tiền
nhiều nhất trong thời gian nuôi?
3 −2 x1(t)
x1′

Viết lại hệ trên dưới dạng ma trận: ( ) = (
)  X’=AX
). (
x2(t)
x2′
−3 8

Dùng phép biến đổi X=PY ta được PY’=APY  Y’=P-1 APY. Tìm ma trận P sao cho P-1 AP là
ma trận chéo D. Chéo hóa ma trận A ta được, A=PDP-1 với:
2 1
2 0
)
D= (
), P= (
1 −3
9 0

Hệ phương trình đã cho trờ thành Y’=DY

y1′
y1
y1′ = 2y1(t)
 ( ) = (2 0) ( )  { ′
y2
9 0
y2 = 9y2(t)
y2′
= 2dt

dy1

y1
{dy2
y2

= 9dt

{

∫

dy1

dt = ∫ 2dt

y1
dy2

∫ y2 dt = ∫ 9dt

ln( y1(t)) = 2t + C1
y1(t) = C1. e2t

{
{
ln(y2(t)) = 9t + C2 y2(t) = C2. e9t

x1(t)
2 1 y1
x1 = 2C1. e2t + C2. e9t

) = ( ). ( y2)  {
X=PY  (
1 −3
x2(t)
x2 = C1. e2t − 3C2. e9t
x1(0)
200
C1 = 2000
)=( ){
Mà ban đầu: (
x2(0) 300
C2 = 200

2t
9t
 {x1 = 4000. e2t + 200. e9t
x2 = 2000. e − 600. e

Số tiền thu được khi bán hết cá trong ao: T=50 x1+35x2 (ngàn đồng)

=50.( 4000. e2t + 200. e9t ) + 35. (2000. e2t − 600. e9t ) (ngàn đồng)

T’= 540000e2t -99000e9t =0  e7t =

60

11

1

7

 t = .ln(

60

)

11

Khi đó T= 340974.375 (ngàn đồng) = 340.974.375 (đồng)
20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
-

Sách Đại Số Tuyến Tính của tác giả Đặng Văn Vinh (nhà xuất bản ĐHQG TP. Hồ Chí
Minh) xuất bản năm 2019.
Một vài ứng dụng của Hệ phương trình vi phân được tham khảo từ Google.

21


22