Các đề toán ôn tập cho kì thi tuyển sinh vào 10

ĐỀ 1
Phần I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm):
Câu 1. Rút gọn biểu thức: 2 3 − 27 − 75 kết quả là:
A. −6 3
B. 6 3
C. −3 6

D. 3 3

Câu 2. Điều kiện xác định của biểu thức 1 − x là :
A. x ∈ ¡
B. x ≤ −1
C. x < 1
D. x ≤ 1
Câu 3. Cho a = - 5 3 và b = - 3 5 , so sánh a và b thì kết quả đúng là:
A. a > b
B. a < b
C. a = b
D. a = -b
1

k ≠ 0; k ≠ − ÷

y = ( 2k + 1) x − k 
2  . Hai đường
Câu 4. Cho 2 đường thẳng: y = −kx + 1 và
thẳng cắt nhau khi:
1
1
k≠−
k =−

3
3
A.
B. k ≠ −3
C.
D. k = −3
Câu 5. Biết rằng hàm số y = ( 2a − 1) x + 1 nghịch biến trên tập R. Khi đó:
A.

a>−

1
2

Câu 6: Biết điểm
trên bằng:
A. 3

A ( −1; 2 )

B.

a>

1
2

a<−

thuộc đường thẳng

1
2

C.
y = ax + 3 ( a ≠ 0 )

D.

a<

1
2

. Hệ số góc của đường thẳng

B. 0
C. −1
D. 1
Câu 7. Cho phương trình : x − 2 x + m = 0 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
A. m > 1
B. m > −1
C. m < 1
D. < -1
ax
+
3
y
=
4



Câu 8. Cho hệ phương trình  x + by = −2 với giá trị nào của a, b để hệ phường trình có
2

nghiệm (- 1; 2):
a = 2


1
b = 2
A.

a = 2


1
b = − 2
C.

a = 2

B. b = 0

 a = −2


1
b = − 2
D.

Câu 9: Hàm số y = −100 x đồng biến khi :
A. x > 0
B. x < 0
C. x ∈ R
D. x ≠ 0
Câu 10: . Nếu hai số x, y có tổng x + y = S và xy = P, thì x, y là hai nghiệm của phương trình:
2
2
A. X + SX − P = 0
B. X − SX + P = 0
2

2
C. ax + bx + c = 0

2
D. X − SX − P = 0
2
Câu 11 :Với giá trị nào của m thì phương trình x − mx + 4 = 0 có nghiệm kép:
A. m = 4
B. m = - 4
C. m = 4 hoặc m = - 4 D. m = 8

Câu 12: . Phương trình nao sau đây có 2 nghiệm trái dấu:
A. x2 – 3x + 1 = 0
B. x2 – x – 5 = 0
C. x2 + 5x + 2 = 0 D. x2+3x + 5 = 0
4
2

Câu 13: Số nghiệm của phương trình : x + 5 x + 4 = 0
A. 4 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. 1 nghiệm
D.Vơ nghiệm
0
µ
Câu 14. ∆ABC vng tại A có AB = 3cm và B = 60 . Độ dài cạnh AC là:
A. 6cm

B. 6 3 cm

C. 3 3

D. 3
1


Câu 15. Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC = 5 cm , bán kính đường trịn ngoại
tiếp tam giác ABC là:
A. 5 cm
B. 2,5 cm
C. 10 cm
D. 3 cm
0
·
Câu 16: Cho (O) và MA, MB là hai tiếp tuyến (A,B là các tiếp điểm) biết AMB = 35 . Vậy
số đo của cung lớn AB là:
A. 1450
B. 1900

C. 2150
D. 3150
Câu 17: Độ dài cung 300 của một đường trịn có bán kính 4(cm) bằng:
4
2
1
8
π (cm)
π (cm)
π (cm)
π (cm)
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
Câu 18: . Diện tích hình quạt trịn có bán kính 6(cm), số đo cung bằng 360 bằng:
6
36
18
12
π ( cm 2 )
π ( cm 2 )
π ( cm 2 )
π ( cm 2 )
5
5
5
5
A.
B.

C.
D.
Câu 19. Cho 2 đường tròn (O;15cm) và (I;13cm) cắt nhau tại A, B. Biết khoảng cách giữa hai
tâm là 14cm. Độ dài dây cung chung AB là:
A. 12cm
B. 24cm
C. 14cm
D. 28cm
2
2
2
Câu 20 Giả sử x1 ; x2 là 2 nghiệm của phương trình x + mx + m − 1 = 0 Biểu thức x1 + x2 đạt
giá trị nhỏ nhất khi m có giá trị bằng :
A. 0
B.1
C. 2
Phần II. TỰ LUẬN ( 7 điểm)
Câu 21. (2 điểm)
 3
1  1
P =
+
÷:
x +1  x +1 (x ≥ 0; x ≠ 1)
 x −1
1.Rút gọn

D. 3

2. Cho phương trình: x2 + (2m -1).x - m = 0. (1)

a. Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.
b. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị của m để biểu thức
A= x12 + x22 - x1.x2 có giá trị nhỏ nhất.
Câu 22. (1,5 điểm)
Bạn Mai đến siêu thị để mua một lọ hoa và một chiếc cặp sách với tổng số tiền theo giá
niêm yết là 850 nghìn đồng. Nhưng hơm đó đúng ngày tết thiếu nhi 1/6 siêu thị giảm giá cho
các bạn học sinh nên giá của lọ hoa và cặp sách lần lượt được giảm bớt 10% và 20% so với
giá niêm yết nên bạn Mai đã phải trả ít hơn 125 nghìn đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi
giá niêm yết của từng sản phẩm mà bạn Mai đã mua là bao nhiêu?
Câu 23. (3 điểm)
Cho tam giác ABC (ABđiểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các đường BC, AC, AB. Chứng
minh rằng:
a. Tứ giác BDMF, tứ giác DECM là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng: MF.MC = MB.ME
c. Ba điểm E, D, F thẳng hàng.
BC CA AB
=
+
d. MD ME MF
Câu 24. (0,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x + y − 2 x − 1 + 4y + 7
2

Họ và tên thí sinh: ..................................................Số báo danh:...................
ĐÁP ÁN.
2

I.
Câu
1
2
3
4
5

Phần trắc nghiệm:(Mỗi câu đúng được 0,15 điểm)
Đáp án
Câu
Đáp án
Câu
Đáp án
C
6
D
11
C
D
7
C
12
B
B
8
C
13
D
A

9
B
14
C
D
10
B
15
B

Câu
16
17
18
19
20

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ CÁCH CHỌN PHẦN TRẮC NGHIỆM
Hướng cách chọn
Câu
1
2

Đáp án

2 3 − 27 − 75 = 2 3 − 9.3 − 25.3 = 2 3 − 3 3 − 5 3 = −6 3
1 − x xác định khi 1− x ≥ 0 ⇔ 1≥ x

3

( )
( )
;
( 5 3) > ( 3 5) hay 5 3 > 3 5 ⇒ −5 3 < −3 5
Vì 75 > 45 nên

4

−k ≠ 2k + 1⇔ k ≠ −

2

5
6

Ta có:

C
D

2

5 3 = 25.3 = 75
2

Đáp án
C
B
C
B

B

3 5 = 9.5 = 45

B

2

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi

1
3

1
2
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi 2a – 1 < 0 ⇔
Vì điểm A(-1; 2) thuộc vào đường thẳng nên ta có: 2 = -1.a + 3 ⇔ a = 1
a<

Ta có : ∆ ' = (−1) − 1.m= 1− m. Để PT có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 1− m> 0 ⇔ m< 1
a = 2
a(−1) + 3.2 = 4 
⇔

8
1
−1+ 2b = −2
b = −


2
Hệ phương trình có nghiệm (-1; 2) ⇔
9
Vì a = -100 < 0 nên hàm số đồng biến khi x < 0 (a và x cùng dấu)
10 Vận dụng hệ quả của hệ thức Vi-ét tìm hai số khi biết tổng và tích
∆ = (− m)2 − 4.1.4 = m2 − 16 .Để phương trình có nghiệm kép
Ta
có
:
11
⇔ ∆ = 0 ⇔ m2 − 16 = 0 ⇔ m = 4 hoặc m = -4
Vận dụng điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu khi tích hai
c
12
<0
nghiệm nhỏ hơn 0, hay P = a
Đặt x2 = t ≥ 0 , đưa về phương trình bậc 2 :
t2 + 5t + 4 = 0 ( a =1; b = 5; c =4) (2)
13 Ta có a – b + c = 1 – 5 + 4 = 0, nên phương trình (2) có 2 nghiệm t1 = -1 <
0 (loại)
t2 = −4 < 0 ( loại) nên phương trình ban đầu vô nghiệm

A
D
D

2

7

C
C
B
B
C

B

D

Vận dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vng
14

AC = AB .tan600 = 3 3

15

Chỉ ra tam giác ABC vuông tại A, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là

C

3


16

17

18
19

20

trung điểm của BC. Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác là 2,5
Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên
· O = MBO
·
MA
= 900 ⇒ ·AMB + ·AOB = 1800 ⇒ ·AOB = 1450
Áp dụng định lý về góc ở tâm ta có số đo cung nhỏ AB bằng số đo góc ở
tâm chắn cung đó, nên số đo cung nhỏ AB bằng 1450, do đó số đo cung
lớn AB bằng
3600 − 145 = 2150
Áp dụng công thức tính độ dài cung của đường trịn, ta có:
π .R.n π .4.30 2
l=
=
= π (cm)
180
180
3
Áp dụng cơng thức tính diện tích hình quạt trịn, ta có:
π .R 2 .n π .6 2.36 18
Sq =
=
= π (cm 2 )
360
360
5
Vận dụng quan hệ giữa đường nối tâm và dây chung và định lý Pitago

tính được độ dài dây chung là 24cm
Vì ∆ ≥ 0 với mọi m ⇒ phương trình ln có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-et
ta có:
x1 + x2 = − m; x1.x2 = m − 1

B

C

B

C

B
B

x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 = ( −m ) − 2. ( m − 1) = m 2 − 2m + 2 = ( m − 1) + 1 ≥ 1
2

2

2

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi m – 1 = 0 hay m = 1.

Câ
u

PHẦN TỰ LUẬN
Nội dung

3 + x −1
.
x −1
1) Với x ≥ 0; x ≠ 1 thì P =
KL :

Điểm

(

x +2
x −1

)

x +1 =

∆ = (2m− 1)2 − 4.(− m) = 4m2 + 1> 0

2 ) a.
với mọi m .
Vậy phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
21

0,5
0,25
0,25
0,25

b. PT (1) ln có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m (theo phần a.)

 x1 + x2 = 1− 2m

x .x = − m
Theo hệ thức Vi-ét ta có  1 2

0,25
2

1

A = 4m − 4 m + 1 =  2 m − ÷
4

HS tính được
15
Lập luận tìm được GTNN của A là 16 khi m =
KL:
- Gọi giá niêm yết của lọ hoa và chiếc cặp sách
là x và y ( nghìn đồng) ( 0 < x; y < 850 )
Theo bài ra ta có : x + y = 850 (1)
2

+

15
16

0,25

1
8

0,25

mà bạn Mai đã mua lần lượt

0,25

4


22

- Lọ hoa được giảm 10%, khi đó số tiền giảm là: 10%.x = 0,1 x
( nghìn đồng)
- Cặp sách được giảm 20% khi đó số tiền giảm là 20%.y = 0,2 y
( nghìn đồng)
Theo bài ra ta có phương trình : 0,1x + 0,2 y = 125 (2)
 x + y = 850

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 0,1x + 0, 2 y = 125
HS giải hệ phương trình và tìm được x = 450 (tm đk của ẩn)
y = 400 (tm đk của ẩn)
KL: vậy giá niêm yết của lọ hoa là 450 nghìn đồng
Giá niêm yết của chiếc cặp sách là 400 nghìn đồng

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

A

O
E
D

B
1

1

2

C

2
·
a. Ta có:F MF 1⊥ AB nên MFB = 90
· M = 900
MD ⊥ BC nên MDB
Tứ giác MDBF có
·
·
MFB
+ MDB
= 900 + 900 = 1800
Do đó tứ giác MDBF nội tiếp

0
·
Ta có : MD ⊥ BC nên MDC = 90
·
= 900
ME ⊥ AC nên MEC
0
·
·
Suy ra MDC = MEC = 90
Suy ra D, E cùng nhìn MC dưới 1 góc khơng đổi 900.
Do đó 4 điểm M, D, E, C cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác DMCE nội
tiếp (đpcm)
b) Tứ giác MBAC nội tiếp ( Vì 4 điểm M,B,A,C cùng thuộc (O)).
µ ·
µ ·
Nên B1 = ACM ( góc ngồi của tứ giác nội tiếp) hay B1 = ECM
0

23

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25

Xét 2 tam giác ∆ MBF và ∆ MCE, ta có:

µ = ECM
·
B
1
( cm trên)
0
·
·
BFM
= CEM
( = 90 )
∆ MCE (gg)
Do đó ∆ MBF

⇒

0,25
0,25

MF MB
=
⇒ MF .MC = ME.MB
ME MC
( đpcm)

¶
¶
c.) Vì tứ giác MDBF nội tiếp nên: M 1 = D1 ( cùng chắn cung BF)
¶
¶

Vì tứ giác MDEC nội tiếp nên M 2 = D2 ( Cùng chắn cung EC)
¶
¶
Mặt khác M 1 = M 2 ( Vì ∆ MBF

∆ MCE)

0,25
0,25
5


¶
¶
Suy ra: D1 = D2
0
¶
·
Mà D2 + BDE = 180

0,25

0
¶
·
Nên D1 + BDE = 180
Hay D, E, F thẳng hàng.
d)Ta có
AC AB AE + EC AF − BF AE
EC

AF BF
+
=
+
=
+
+
−
ME MF
ME
MF
ME ME MF MF
·
¶ + tan AMF
·
¶
= tan AME
+ tan M
− tan M

2

1

¶
¶
Mà M 1 = M 2 nên
AC AB
·
·

+
= tan AME
+ tan AMF
ME MF
Mặt khác: tứ giác AFME nội tiếp nên
·
·
·
AME
= AFE
= BMD

0,25

·
·
·
AMF
= AEF
= DMC
Do đó
AC AB
·
·
+
= tan AME
+ tan AMF
ME MF
·
·

= tan BMD
+ tan MDC
BD
DC
BD + DC
BC
=
+
=
=
MD MD
MD
MD
(đpcm)
Với x ≥ 1 , ta có: P =
24

0,25

( x − 1 − 2 x − 1 + 1) + ( y + 4 y + 4) + 3
( x − 1 − 1) + ( y + 2) + 3 ≥ 3
=
2

2

 x − 1 − 1 = 0

 y + 2 = 0
⇔

⇔
Dấu "=" xảy ra
x = 2

 y = −2

0,25

2

 x = 2(t / m)

 y = −2

0,25

Vậy: MinP = 3 khi
Chú ý: * Trên đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của HS phải trình bày chi tiết. HS giải bằng
nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm tối đa. HS làm đúng đến đâu cho điểm đến đó, học
sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì khơng chấm bài hình. (Nếu q trình lập luận và biến
đổi bước trước sai thì bước sau đúng cũng không cho điểm).
ĐỀ 2
Phần I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm).
Câu 1. Biểu thức 4 − 5x có nghĩa khi và chỉ khi
4
4
4
4
A. x ≤ 5 .
B. x ≥ 5 .

C. x > 5 .
D. x < 5 .
Câu 2. Căn bậc hai số học của (132 – 122) bằng
A. 1.
B. 2.

C. 5.

D. 25.
6


Câu 3. Sắp xếp các số 3; -3; 2 2 ;
A . -3; 3; 2 2 ; 7 .

7 theo thứ tự tăng dần là :

C . -3; 2 2 ; 7 ; 3.
Câu 4. Căn bậc ba của −125 là
A. 5.
B. −5 .
ba.
Câu 5. Nếu x − 2 − 3 = 0 thì x bằng

B . -3; 3;
D . -3;

7 ; 2 2.
7 ; 2 2 ; 3.

C. −25 .

D. Khơng có căn bậc

A. x = 5.
B. x = 8.
C. x = 7.
D. x = 11.
Câu 6. Cho hàm số : y = –x + 2019 có đồ thị là đường thẳng (d). Đường thẳng nào sau đây đi
qua gốc tọa độ và cắt đường thẳng (d)?
A. y = – 2x + 2019.
B. y = – x.
C. y = – 2x.
D. y = – x –
2019.
Câu 7. Cho hàm số y = f(x) = ax2 (P). Nếu điểm M(- 3 ; 6) thuộc (P) thì a nhận giá trị là
A. -2.
B. 2.
Câu 8. Đường thẳng y = - 2x + 1
1 1
;
A. đi qua M ( 4 2 ).
C. song song với đường thẳng y = - 2x.

C. -1.

D. 1.

B. cắt trục hoàng tại điểm N ( 0; 0,5).
D. cắt đường thẳng y = 5 - 2x.

4 x + 5 y = 3

Câu 9. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình  x − 3 y = 5

A. (2; -1).

B. (-2; -1).

C. (2; 1).

D (4; 1).

1
Câu 10. Cho hàm số y = - 2 x2 có đồ thị là parabol (P)
và đường thẳng (d) có phương trình 2x - y = 6. Số điểm chung của (P) và (d) là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
2
−
Câu 11. Hai số 3 và 1 là hai nghiệm của phương trình
A. -3x2 + x - 2 = 0.

B. -3x 2 + x + 2 = 0.

C. 3x 2 - x + 2 = 0.

D. 2x 2 – x + 3 =

0.
mx − ny = 2

Câu 12. Giá trị của m và n để hệ phương trình 2mx + 3ny = 4 nhận cặp số (x; y) = (2; -1)
làm nghiệm là
A. m = 2; n = -1.
B. m = -2; n = 1.
C. m = -1; n = 0.
D. m = 1; n =
0.
Câu 13. Gọi S và P là tổng và tích hai nghiệm của phương trình 2x2 + x - 3 = 0. Khi đó S.P
bằng
1
3
3
3
−
A. 2 .
B. 4 .
C. - 4 .
D. 2 .
Câu 14. Một mảnh vườn hình tam giác vng có độ dài cạnh huyền là 10 m và hai cạnh góc
vng hơn kém nhau 2 m thì diện tích mảnh vườn đó là
7


A. 48 m2.
B. 24 m2.
C. 12 m2.

D. 96 m2.
Câu 15. Hai phương trình x2 + ax +1 = 0 và x2 – x – a = 0 có một nghiệm thực chung khi a
bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 16. Cho ∆ABC vuông tại A, hệ thức nào sai ?
A. sin B = cos C
B. sin2 B + cos2 B = 1
µ
µ
C. cos B = sin (90o – B )
D. sin C = cos (90o – B )
0
·
·
»
Câu 17. AMB = 72 là góc nội tiếp chắn cung AB của (O). Khi đó số đo AOB bằng
A . 720.
B. 1440.
C. 1180.
D. 360.
Câu 18. Hình trịn có diện tích 36π cm2 thì chu vi của nó là

A. 18π cm.
B. 12π cm.
C. 6π cm.
D. 3π cm.
Câu 19. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB của đường

tròn. Cho MA .MB = 16, MO = 5. Khi đó bán kính R bằng
A. 3.
B. 4.
C . 5.
D. 6.
Câu 20. ∆ABC có AB = 16 cm, AC = 30 cm, BC = 34 cm. Bán kính đường trịn nội tiếp
∆ABC là
A. 17 cm.
B. 12 cm.
C. 6 cm.
D. 3 cm.
Phần II. TỰ LUẬN (7 điểm).
Câu 21. (3,0 điểm)
3 x + 2 y = 1

a. Giải hệ phương trình 2 x − y = 3

2
1  a−3 a +2 
A=
+
+ 1÷
÷. 
÷
a − 2 a 2 − a  
a −2

 (với a > 0, a ≠ 4 )
b. Rút gọn biểu thức
2

c. Cho phương trình x − 2 x + m − 3 = 0 (1), với m là tham số. Tìm giá trị của m để
2
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thoả mãn điều kiện: x1 − 2 x 2 + x1 x 2 = −12 .
Câu 22. (1,5 điểm) Dịp lễ hội trái cây Lục Ngạn vừa qua, nhà bạn Nam đã nhận được đơn
hàng xuất khẩu 36 tấn Cam nhưng số xe nhà Nam khhông đủ để chở một lượt hết số cam đó.
Vì thế nhà Nam đã phải th thêm 3 xe nữa cùng chủng loại nhờ vậy mà mỗi xe chở ít hơn 1
tấn so với dự định. Hỏi nhà bạn Nam có bao nhiêu xe? Biết rằng số Cam chở trên tất cả các xe
có khối lượng bằng nhau.
Câu 23. (2 điểm) Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC (I ∈
AB, K ∈ AC)

a. Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
·
·
b. Vẽ MP ⊥ BC (P ∈ BC). Chứng minh: MPK = MBC .
»
c. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC nhỏ để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn
nhất.
Câu 24. (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x2 + y2 = 1.
8


P=
Tìm GTLN của biểu thức

x
y+ 2 .

ĐÁP ÁN

I. Trắc nghiệm (mỗi câu đúng được 0,15 điểm).
Câu

Đáp án

Câu

Đáp án

1

A

11

B

2

C

12

D

3

D

13

B

4

B

14

A

5

D

15

C

6

C

16

D

7

B

17

B

8

C

18

B

9

A

19

A

10

C

20

C

- Hướng dẫn chọn đáp án:

Câu 1: Căn cứ vào ĐKXĐ của căn thức suy ra 4 − 5 x ≥ 0 giải bất phương trình tìm
4
được
x≤ 5 .
2
2
Câu 2: Vận dụng định nghĩa căn bậc hai số học tính được 13 − 12 = 5
Câu 3: Sử dụng máy tính để tính và so sánh
Câu 4: Căn cứ vào định nghĩa căn bậc ba
Câu 5: Chuyển vế rồi giải phương trình x − 2 = 3 ⇔ x − 2 = 9 ⇔ x = 11

Câu 6: Đường thẳng đi qua gốc toạ độ thì hệ số b = 0, và nó cắt đường thẳng (d) nên
hệ số a khác -1 suy ra đường thẳng y = – 2x thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 7: Thay x = - 3 ; y = 6 vào hàm số y = f(x) = ax2 để tìm a.
Câu 8: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và điểm thuộc, không thuộc đường
thẳng.
Câu 9: Giải hệ phương trình tìm nghiệm và đối chiếu nghiệm tìm được với đáp án.
Câu 10: Từ 2x - y = 6 ⇒ y = 2x – 6 . Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của
1
phương trình: 2x – 6 = - 2 x2
Câu 11: Vận dụng cách nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Câu 12: Thay x = 2; y = 1 vào hệ phương trình đã cho để tìm m; n.
Câu 13. Áp dụng hệ thức Vi-et để tìm S, P suy ra S.P
Câu 14: Gọi một cạnh góc vng của mảnh đất là x (m, x > 0), cạnh kia là x + 2 (m)
Áp dụng các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và định lí Pitago ta có
2
x 2 + ( x + 2 ) = 102
9

Giải phương trình tìm được x = 6.
Suy ra diện tích mảnh vườn là 6.8 = 48 (m2).
Câu 15: Đưa bài tốn về dạng tìm điều kiện của a để hệ phương trình tạo bởi hai
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Khi đó tìm được x = 1, thay vào hệ phương trình
tìm được a = -2.
Câu 16: Áp dụng tính chất về tỉ số lượng giác của hai góc nhọn phụ nhau.
Câu 17: Mối liên hệ giữa góc nội tiếp nhỏ hơn 900 và góc ở tâm cùng chắn một cung.
Câu 18: Vận dụng cơng thức tính diện tích hình trịn, chu vi đường trịn
Câu 19: Tìm được mối liên hệ MT2 = MA.MB và vận dụng định lí Pitago trong tam
giác vng MTO tính được R = OT = 3 cm.
Câu 20: Kiểm tra tam giác ABC vng tại A và tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam
giác vng với bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp của nó là AB + AB = 2(R + r)
( Với BC : 2 = R là bán kính đường trịn ngoại tiếp, r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
ABC)
Từ đó tính được r = 6 cm.
II. Tự luận (7 điểm)
Câu
Câu 21
( 3 điểm)

Hướng dẫn giải

Điểm

a) (1 điểm).
3 x + 2 y = 1 3x + 2 y = 1
⇔

2
x

−
y
=
3

4 x − 2 y = 6
Ta có

0,25

5

x=

7 x = 5

7
⇔
⇔
2
x
−
y
=
3
5

 2. − y = 3

 7

0,25

5

x=


7
⇔
 y = − 11

7


0,25

Vậy hệ phương trìnhcó nghiệm

(

11 
5
x; y ) =  ; −
÷
7
7 


0,25

b) (1 điểm)

2
1
A=
+
a−2 a 2− a
Ta có


2
= 
−
 a ( a − 2)
=
=

2− a
a ( a − 2)
−1
a

.

.


 a −3 a + 2
+ 1÷

÷. 
÷
a −2
 
 (với a > 0, a ≠ 4 )

 a − 3 a + 2
+
÷
a ( a − 2) ÷
a −2

a

a−3 a +2+ a −2

a ( a − 2)
a −2

a −2
= −1

Vậy A = -1 với a > 0, a ≠ 4
c. (1 điểm).
x 2 − 2x + m − 3 = 0

=

a −2
÷

a − 2 ÷

−( a − 2) a − 2 a
.
a ( a − 2)
a −2

0,25
0,25
0,25
0,25

(1)
10


Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
⇔ ∆ ' = 1 − ( m − 3) > 0 ⇔ m < 4 .

Theo định lí Vi-et ta có: x1 + x 2 = 2
(2)
và x1 x 2 = m − 3 (3).
2
Điều kiện bài toán x1 − 2 x 2 + x1 x 2 = −12 ⇔ x1 ( x1 + x 2 ) − 2 x 2 = −12
⇔ 2 x1 − 2 x 2 = −12 (do (2 )) ⇔ x1 − x 2 = −6 (4).
Từ (2) và (4) ta có: x1 = −2, x 2 = 4 .
Thay vào (3) ta được: ( − 2 ).4 = m − 3

⇔ m = −5 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy m = −5 thoả mãn điều kiện bài toán.

Câu 22
(1,5điểm
)

*
Gọi số xe nhà Nam có là x (xe, x ∈ N )

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25

36
Lúc đầu dự định mỗi xe phải chở khối lượng Cam là: x (tấn)
Thực tế số xe chở 36 tấn Cam là (x +3) (xe)

36
Do đó mỗi xe chỉ cịn phải chở khối lượng Cam là x + 3 (tấn)
36 36
−
=1
Theo bài ra có phương trình: x x + 3
Khử mẫu và biến đổi ta được: x2 + 3x – 108 = 0 (1)
Giải phương trình (1) có nghiệm là: x = 9 ( thoả mãn); x = -12( loại).
Vậy nhà Nam có 9 xe.
Câu 23

(2 điểm)

0,5
0,5
0,25

A

K
I

B

M
H

C

P
O

0
·
a) (0,75 điểm) Xét tứ giác AIMK có: AIM = 90 (vì MI ⊥ AB )

0,25
11


0

·
và AKM = 90 ( vì MK ⊥ AC )
·
·
⇒ AIM
= AKM
= 900

0,25
0,25

Suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM ( đpcm).
0
·
·
b) (0,75 điểm) Tứ giác CPMK có MPC = MKC = 90 (gt).
Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp
·
·
⇒ MPK
= MCK
(1).
·
·
Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: MCK = MBC (2)

¼
( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn MC )
·
·

Từ (1) và (2) suy ra MPK = MBC (đpcm)
(3)
c) (0,5 điểm) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.
·
·
Suy ra: MIP = MBP (4).
·
·
Từ (3) và (4) suy ra MPK = MIP .
·
·
Tương tự ta chứng minh được MKP = MPI .
MP MI
=
Suy ra: MPK ∆MIP ⇒ MK MP
⇒ MI.MK = MP2 ⇒ MI.MK.MP = MP3.

0,25

0,25
0,25
0,25

Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (5)
- Gọi H là hình chiếu của O trên BC
⇒ OH khơng đổi (do O và BC cố định).
Lại có: MP + OH ≤ OM = R ⇒ MP ≤ R – OH.
⇒ MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng
»
hay M nằm chính giữa BC nhỏ

Câu 24

Từ (4) và (5) suy ra Max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3
»
⇔ M nằm chính giữa BC
nhỏ
»
Vậy khi M nằm chính BC nhỏ thì tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
2
2
Từ x + y = 1 ⇒ −1 ≤ x, y ≤ 1 ⇒ 2 − 1 ≤ y + 2 ≤ 1 + 2
P=

x
y+ 2

⇒ x = P( y + 2 )

2
2
thay vào x + y = 1
2
2
2
2
Đưa về phương trình ( P + 1) y + 2 2 P y + 2 P − 1 = 0
Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ⇒ P ≤ 1

Vì

0,25

0,25


2
x =


2
MaxP = 1 ⇔ 
2
y = −


2

 2
2
MaxP = 1 ⇔ ( x; y ) = 
;−
÷
2
2 

Vậy

0,25

12


Tổng điểm

7

ĐỀ 3
Phần I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm).
Câu 1. Các căn bậc hai của 16 là:
A. -4

B. 4

Câu 2. Biểu thức

x − 3 xác định khi:

A. x > 3

B. x ≥ 3

C. 4 và -4

D. 16 và -16

C. x < 3

D. x ≤ 3

1
Câu 3. Trục căn thức ở mẫu 1 + 2 ta được:

A. 1 −

2

B. 1 + 2
Câu 4. So sánh 3 và 7 ta được:
A. 3 <

7

B. 3 >

7

2 −1

C.

C. 3 =

7

D. −1 − 2

D. 3

2

Câu 5. Phương trình x − 2 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khi :
A. m = 2
B. m > 1
C. m < 1
D. m ≥ 1

5(a − 2 a + 1)
20(a + 2 a + 1)
Câu 6. Rút gọn biểu thức
với a ≥ 0 có kết quả bằng :
1− a
1− a
1− a
a −1
A. 2( a + 1)
B. 2( a + 1)
C. 4( a + 1)
D. 4( a + 1)
Câu 7. Giá trị nào của m để hàm số y = (5- m) x đồng biến trên R ?
A. m ≥ 5
B. m > 5
C. m < 5
D. m ≤ 5
Câu 8. Cho hàm số y = f(x) = -2x – 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. f(-1) > f(-3)

B. f(1) > f(2)

C. f(1) < f(2)

D. f(-1) < f(3)

Câu 9. Hệ số góc của đường thẳng x - 2y = 3 là:
A. 1

B. -2

3
C. 2

1
D. 2

Câu 10. Giá trị của tham số m để hai đường thẳng y = (m – 3)x + 2 và y = (5 – m)x – 15 song
song với nhau là:
A. 1

B.4

C.- 4

D.-1

2
Câu 11. Tổng hai nghiệm của phương trình x + 4 x − 5 = 0 là

A.- 5

B.5

C. - 4

D. 4

13


 x − 2 y = −7

Câu 12. Cho (x; y) là nghiệm của hệ phương trình  x + y = 5
. Khi đó y – x bằng :
A. -3

B. 4

C. 5

D. 3

Câu 13. Các giá trị của m để hàm số y = ( m − 3 ) x + 1 A. m ≥ 3
B. m < 3
C. m > 3

5 đồng biến là
D. m ≠ 0
2
Câu 14. Các toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và parabol y = x là:
A. (1;1) và (2;4)

B. (-1;1) và (-2;4)

C. (1;1) và (-2;4)

D. (-1;1) và (2;4)

Câu 15. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 là:
A.

2

−3
D. 2

3
C. 2

B. - 2

Câu 16. Góc nội tiếp đường trịn chắn cung có số đo 400 thì góc ở tâm chắn cung đó bằng:
A. 800

B. 400

C. 900

D. 200

Câu 17. Khoảng cách từ tâm O của đường tròn (O;10 cm) đến dây AB = 16 cm của đường
trịn đó bằng:
A .10 cm

B. 16 cm

C. 6 cm

D 156

Câu 18. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có:
A. góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
B. tổng hai góc đối diện bằng 1800
C. hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc α
D. tổng hai góc bằng 1800
Câu 19. Độ dài cung 600 của đường tròn bán kính 2cm là:
1
2
3
2
π
π
π
A. 3 (cm)
B. 3π (cm)
C. 2
(cm)
D. 3
(cm)
∆
Câu 20.
MNP đều ngoại tiếp đường trịn có bán kính bằng 4cm. Khi đó cạnh MN bằng:

A. 4 3 cm
B. 48 3 cm
Phần II. TỰ LUẬN (7 điểm).
Câu 21( 3 điểm).

C. 8 3 cm

8 3
D. 3 cm

 2x + y = 1

a. Giải hệ phương trình: 3x + 4y = -1
x +1 2 x
5 x +2
B=
+
+
4 − x (với x ≥ 0; x ≠ 4 ).
x −2
x +2
b. Rút gọn các biểu thức
c. Cho phương trình
biệt x1; x2 sao cho

x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 = 0

x12 + x22 = 4 x1 .x2

. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân

.

Câu 22 (1,5 điểm)
14


Trong tháng 1, hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm cùng loại, sang tháng 2 tổ I làm
vượt mức 15%, tổ II làm kém hơn 10% so với tháng 1, do đó cuối tháng cả hai tổ sản
xuất được 590 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà mỗi tổ làm được trong tháng 1?.
Câu 23 (2,0 điểm) Cho đường nửa trịn (O) có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn

thẳng AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vng góc với AB cắt nửa
đường trịn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường
thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa
đường tròn tại điểm thứ hai N.Chứng minh rằng :
1. Tứ giác HMBC là tứ giác nội tiếp.
2. Ba điểm A, N, D thẳng hàng và khi M di động trên cung KB thì đường thẳng
MN ln đi qua một điểm cố định.
Câu 24 (0.5 điểm).

Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

M=

1 2
3
+ +
x y 2x + y .

- - - - - - - - HẾT - - - - - - - 2- ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Mơn thi: Tốn
Phần I. TRẮC NGHIỆM (mỗi câu đúng được 0,15 điểm).
A- ĐÁP ÁN
Câu

Đáp án

Câu

Đáp án

1

C

11

C

2

B

12

D

3

C

13

C

4

B

14

C

5

C

15

A

6

B

16

B

7

C

17

C

8

B

18

D

9

D

19

D

10

B

20

C

B-HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ CÁCH CHỌN
Câu 1. Các căn bậc hai của 16 là :
A. - 4

B. 4

C. 4 và - 4

D. 16 và -16

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Ta có các căn bậc hai của 16 là 4 và -4 vì 42 = 16 và (-4)2 = 16
=> Đáp án đúng là : C
15


Câu 2. Biểu thức
A. x > 3

x − 3 xác định khi:
B. x ≥ 3

C. x < 3

D. x ≤ 3

Hướng dẫn giải và cách chọn:

Biểu thức

x − 3 xác định

⇔ x−3≥ 0 ⇔ x ≥ 3

=> Đáp án đúng là : B
1
Câu 3. Trục căn thức ở mẫu 1 + 2 ta được:

A. 1 − 2
B. 1 + 2
Hướng dẫn giải và cách chọn:

C.

2 −1

D. −1 −

2

1
1
1( 2 − 1)
2 −1
2 −1
=
=
=

=
= 2 −1
2
1
1
+
2
2
+
1
(
2
+
1)(
2
−
1)
(
2)
−
1
Trục căn thức ở mẫu
=> Đáp án đúng là : C

Câu 4. So sánh 3 và
A. 3 <

7

7 ta được:

B. 3 >

7

C. 3 =

7

D. 3

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Ta có 3 =

9

Mà 9 > 7 => 9 > 7 hay 3 > 7
=>Đáp án đúng là : B
2
Câu 5. Phương trình x − 2 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khi :
A. m = 2
B. m > 1
C. m < 1
D. m ≥ 1
Hướng dẫn giải và cách chọn:
2
x 2 − 2 x + m = 0 có ∆ ' = (−1) − m = 1 − m
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 1 - m > 0 => m < 1
=> Đáp án đúng là : C

5(a − 2 a + 1)
20(a + 2 a + 1)
Câu 6. Rút gọn biểu thức
với a ≥ 0 có kết quả bằng :
1− a
1− a
1− a
a −1
A. 2( a + 1)
B. 2( a + 1)
C. 4( a + 1)
D. 4( a + 1)
Hướng dẫn giải và cách chọn:
5(a − 2 a + 1)

( a − 1) 2

=

a −1

22 ( a + 1) 2 2( a + 1)
=
với a ≥ 0
=>Đáp án đúng là : B
Câu 7. Giá trị nào của m để hàm số y = (5- m) x đồng biến trên R ?
A. m ≥ 5
B. m > 5
C. m < 5
D. m ≤ 5

Hướng dẫn giải và cách chọn:
20(a + 2 a + 1)

16


Hàm số y = (5- m) x đồng biến khi 5 – m > 0
⇔5>m⇔ m<5

=> Đáp án đúng là : C
Câu 8. Cho hàm số y = f(x) = -2x – 1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. f(-1) > f(-3)

B. f(1) > f(2)

C. f(1) < f(2)

D. f(-1) < f(3)

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Xét hàm số y = f(x) = -2x – 1 là hàm số nghịch biến trên R nên
Với hai giá trị của x là -1 > -3 thì f(-1) < f(-3) => Đáp án A sai
Với hai giá trị của x là 1 < 2 thì f(1) > f(2)

=> Đáp án B đúng; đáp án C sai

Với hai giá trị của x là -1 < 3 thì f(-1) > f(3)

=> Đáp án D sai

=> Đáp án đúng là : B
Câu 9. Hệ số góc của đường thẳng x - 2y = 3 là
A. 1

B. -2

3
C. 2

1
D. 2

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Ta có x - 2y = 3
⇔ 2y = x − 3 ⇔ y =

Đường thẳng

y=

1
3
x−
2
2

1
3
1
x−

2
2 có hệ số góc là : 2

=>Đáp án đúng là :D
Câu 10. Giá trị của tham số m để hai đường thẳng y = (m – 3)x + 2 và y = (5 – m)x – 15 song
song với nhau là:
A. 1

B.4

C.- 4

D.-1

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Đường thẳng y = (m – 3)x + 2 và y = (5 – m)x – 15 song song với nhau
m − 3 = 5 − m
⇔
⇔ m + m = 5 + 3 ⇔ 2m = 8 ⇔ m = 4
 2 ≠ −15
=>Đáp án đúng là : B
2
Câu 11. Tổng hai nghiệm của phương trình x + 4 x − 5 = 0 là

A.- 5

B.5

C. - 4

D. 4

Hướng dẫn giải và cách chọn:
2
Phương trình x + 4 x − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt vì có hệ số a và c trái dấu

Theo ĐL viet tổng hai nghiệm của phương trình là

x1 + x2 =

−4
= −4
1
17


=>Đáp án đúng là : C
 x − 2 y = −7

Câu 12. Cho (x; y) là nghiệm của hệ phương trình  x + y = 5
. Khi đó y – x bằng :
A. -3

B. 4

C. 5

D. 3

Hướng dẫn giải và cách chọn:

 x − 2 y = −7
 x − 2 y = −7
 x − 2.4 = −7  x = 1
⇔
⇔


x
+
y
=
5
3
y
=
12
y
=
4



y = 4
Hệ phương trình
=> y – x = 4 -1 = 3
=> Đáp án đúng là : D
Câu 13. Các giá trị của m để hàm số y = ( m − 3 ) x + 1 A. m ≥ 3
B. m < 3
C. m > 3
Hướng dẫn giải và cách chọn:

Hàm số y = ( m − 3 ) x + 1 =>Đáp án đúng là : C

5 đồng biến là
D. m ≠ 0

 m − 3 ≥ 0
⇔
⇔ m−3> 0 ⇔ m > 3
m
−
3
>
0

5 đồng biến


2
Câu 14. Các toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và parabol y = x là

A. (1;1) và (2;4)

B. (-1;1) và (-2;4) C. (1;1) và (-2;4)

D. (-1;1) và (2;4)

Hướng dẫn giải và cách chọn:
2
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và parabol y = x là nghiệm của phương

2
2
trình : x = − x + 2 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ (x − 1)(x + 2) = 0 ⇒ x1 = 1; x2 = −2

2
Tung độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và parabol y = x tương ứng là:

y1 = 1; y2 = (−2) 2 = 4
2
Toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - x + 2 và parabol y = x là (1;1) và (-2;4)

=>Đáp án đúng là : C
Câu 15 Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 là
A.

2

B. - 2

3
C. 2

−3
D. 2

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(x o,yo)
là: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m
⇔ mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m
⇔ (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m

18


 xo + y o = 0
 xo = −1
⇔
⇔
2 x o + y o + 1 = 0
 yo = 1
Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
+ Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1
do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1
(1)
+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1
do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1
(2)
+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung.
1
1
m −1
Ta có: x = 0 ⇒ y = m − 1 , do đó OA =
.
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hồnh.
1
1
m−2
Ta có: y = 0 ⇒ x = m − 2 , do đó OB =
Gọi h là khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d). Ta có:

1
1
1
3
1 1
=
+
= (m − 1) 2 + ( m − 2) 2 = 2m 2 − 6m + 5 = 2(m − ) 2 + ≥
2
2
2
2
2 2.
h
OA
OB
3
2 ≤
Suy ra h
2, max h = 2 khi và chỉ khi m = 2 . (3)
3
Từ (1), (2) và (3) suy ra Max h = 2 khi và chỉ khi m = 2 .
=> Đáp án đúng là : A
Câu 16. Góc nội tiếp đường trịn chắn cung có số đo 400 thì góc ở tâm chắn cung đó bằng
A. 800

B. 400

C. 900

D. 200

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Trong một đường trịn số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn nên góc nội tiếp đường trịn
chắn cung có số đo 400 thì góc ở tâm chắn cung đó bằng 400
=>Đáp án đúng là : B
Câu 17. Khoảng cách từ tâm O của đường tròn (O;10 cm) đến dây AB = 16 cm của đường
trịn đó bằng
A .10 cm

B. 16 cm

C. 6 cm

D 156

Hướng dẫn giải và cách chọn:
Trong đường tròn (O)
Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến dây AB
1
Vì OH ⊥ AB tại H => HA = HB = 2 AB = 8 cm (Liên hệ đường khính và dây của đường
trịn)
Xét ∆ OHB vng tại H có:
OH2 =OA2 – HB2 (DDL pitago)
19


= 102 – 82 = 100 – 64 = 36 => OH = 6 cm

=>Đáp án đúng là : C

Câu 18. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Một tứ giác nội tiếp được nếu có:
A. góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
B. tổng hai góc đối diện bằng 1800
C. hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc α
D. tổng hai góc bằng 1800
=> Đáp án đúng là : D
Câu 19. Độ dài cung 600 của đường trịn bán kính 2cm là:
1
2
3
2
π
π
π
A. 3 (cm)
B. 3π (cm)
C. 2
(cm)
D. 3
(cm)
Hướng dẫn giải và cách chọn:

π .r.n 0 π .2.600 2π
l=
=
=
1800
1800
3 cm

Độ dài cung 600 của đường tròn bán kính 2cm là
=>Đáp án đúng là : D
Câu 20. ∆ MNP đều ngoại tiếp đường trịn có bán kính bằng 4cm. Khi đó cạnh MN bằng
8 3
A. 4 3 cm
B. 48 3 cm
C. 8 3 cm
D. 3 cm
Hướng dẫn giải và cách chọn:
Vì ∆ MNP đều ngoại tiếp đường trịn (O) có bán kính bằng 4cm.

=> MN, NP, MP là các tiếp tuyến của (O) và MH là đường cao của ∆ MNP
đi qua O của (O);Tiếp tuyến MN của (O) tại tiếp điểm K có OK ⊥ MN
Xét ∆ MKO vng tại K
0
Có ∠KMO = 30 (MH là đường cao,
đường phân giác trong ∆ MNP đều)
20


KO
4
⇔ sin 30 0 =
MO
MO (đ/n tỉ số lượng giác của góc nhọn )
4
4
MO =
= =8
0

1
sin 30
2
=>
cm
MH
12
cos HMN=
⇔ cos300 =
MN
MN (đ/n tỉ số lượng giác của
Xét ∆ MHN vuông tại H ta có :
góc nhọn )
12
12 24 24 3
MN =
=
=
=
=8 3
0
cos30
3
3
3
2
=>
cm
=>Đáp án đúng là : C
SinKMO =

Câu
21

Phần II- TỰ LUẬN
Hướng dẫn giải
2x + y = 1
8x + 4y = 4
5x = 5
x = 1
x = 1
⇔
⇔
⇔
⇔

a 3x + 4y = -1 3x + 4y = -1  2x + y = 1
 2.1 + y = 1
y = - 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;-1)

Ý

B=
=

Điểm
0,75
0,25

x +1 2 x
5 x +2
+
+
4 − x (với x ≥ 0; x ≠ 4 )
x −2
x +2

( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) − 5 x − 2
( x − 2)( x + 2)

=

3x − 6 x
( x − 2)( x + 2)

=

3 x ( x − 2)
( x − 2)( x + 2)

b

=

Vậy

0,25
0,25

0,25

3 x
x +2
B=

3 x
x + 2 (với x ≥ 0; x ≠ 4 )

0,25

c
Phương trình

x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 = 0

.

∆ ' = ( m + 1) − m 2
2

Có :

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

⇔ ∆ ' > 0 ⇔ ( m + 1) − m 2 > 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > −
2

0,25

1
2

21


Theo Vi-et có

 x1 + x2 = 2 ( m + 1)

2
 x1.x2 = m

Theo giả thiết

x12 + x22 = 4 x1.x2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 4 x1 x2

0,25

2

4 ( m + 1) − 2m 2 = 4 m 2 ⇔ 2m 2 + 8m − 4 m + 4 = 0
2

Thay vào ta có

( 1)

1
−

Trường hợp 1: 2

0,25

( 1) ⇔ 2m2 + 12m + 4 = 0 ⇔ m2 + 6m + 2 = 0
 m = −3 + 7 ( tm )
⇔
 m = −3 − 7 ( l )
Trường hợp 2: m ≥ 0
0,25

( 1) ⇔ 2m2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m2 + 2m + 2 = 0 . Phương trình vơ nghiệm
x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 = 0
Vậy m = −3 + 7 thì phương trình
có hai
nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho

22

x12 + x22 = 4 x1 .x2

Gọi số sản phẩm của tổ I làm được trong tháng 1 là x (sản phẩm)
x ∈ Z , 0 < x < 600
Gọi số sản phẩm của tổ II làm được trong tháng 1 là y (sản phẩm)
y ∈ Z , 0 < y< 600)
Vì tháng 1, hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm cùng loại nên ta có
phương trình x + y = 600 (1)
15
x+
x

100 (sản phẩm)
Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng 2 là
9y
y − y.10% =
10 (sản phẩm)
Số sản phẩm tổ II làm được trong tháng 2 là
Vì trong tháng 2 cả hai tổ sản xuất được 590 sản phẩm nên ta có phương
trình
115
9
x + y = 590
100
10
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

0,25
0,25

0,25

0,5
22


 x + y = 600
 x + y = 600

⇔
115

9
115 x + 90 y = 59000
100 x + 10 y = 590
 x = 600 − y
⇔
115(600 − y ) + 90 y = 59000

0,25

 x = 600 − y
 x = 200
⇔
⇔
−25 y = −10000
 y = 400 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy : Tổ I làm được trong tháng 1 là 200 (sản phẩm)
Tổ II làm được trong tháng 1 là 400 (sản phẩm)

23

1)
Xét (O) đường kính AB có :
∠AMB = 90o

0,5

(Gó nội tiếp chắn nửa đường trịn)

∠HCB = 90o (Do DC ⊥ AB )
0,5

o
o
o
Tứ giác HCBM có: ∠AMB + ∠HCB = 90 + 90 = 180

∠AMB; ∠HCB

Mà hai góc
nội tiếp đường trịn.

ở vị trí đối nhau nên tứ giác HCBM

o
2) Xét ∆ ABD có AM ⊥ DM (vì ∠AMB = 90 )

DC ⊥ AB (gt)

0,25

Mà AM và DC cắt nhau tại H
23


=> H là trực tâm của tam giác ABD ⇒ AD ⊥ BH
Mà AN ⊥ BH suy ra A, N, D thẳng hàng.
Gọi E là giao điểm của CK và tiếp tuyến tại N.
Ta có BN ⊥ DN , ON ⊥ EN ⇒ ∠DNE = ∠BNO
Mà ∠BNO = ∠OBN , ∠OBN = ∠EDN ⇒ ∠EDN = ∠DNE
⇒ ∆DNE cân tại E suy ra ED = EN (1)

0
0
Ta có ∠ENH = 90 − ∠END = 90 − ∠NDH = ∠EHN

⇒ ∆HNE cân tại E suy ra EH = EN (2)

Từ (1) và (2) suy ra E là trung điểm của HD
Gọi I là giao điểm của MN và BA, kẻ IT là tiếp tuyến của nửa đường
2
tròn với T là tiếp điểm ⇒ IN .IM = IT (3)
Ta có

0,25

EM ⊥ OM ( ∆ENO = ∆EMO, EN ⊥ ON )

Từ đó chỉ ra được N, C,O, M cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra IN .IM = IC.IO (4)

0,5

2
Từ (3) và (4) ⇒ IC.IO= IT

⇒ ∆ICT

đồng dạng

∆ITO (c − g − c)

⇒ CT ⊥ IO ⇒ T ≡ K

Suy ra I là giao điểm của tiếp tuyến tại K của nửa đường tròn và
đường kính AB, suy ra I cố định.
Vậy khi M di động trên cung KB thì đường thẳng MN ln đi qua
một điểm cố định.
24
Vì xy = 2; x, y > 0 nên

M=

2x + y
3
2x + y
3
+
=
+
xy
2x + y
2
2x + y

 3 2x + y
3  5 2x + y
= ×
+
÷+ ×
2
2x + y  8

2
8
3 2x + y
3
3 2x + y
3
3
×
+
≥2 ×
×
=
2
2x + y
8
2
2 x + y 2 . Dấu “=” xảy ra khi
Có 8
3 2x + y
3
×
=
8
2
2x + y
5 2x + y 5
5
×
≥
2 xy =

2
8
4 . Dấu “=” xảy ra khi 2x = y và xy = 2
Có 8
3 5 11
M≥ + =
2 4 4 . Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y = 2.
Do đó

0,25

0,25

24


11
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4 khi x = 1 và y = 2
- - - - - - - - HẾT - - - - - - - -

25