Đề toán ôn tập vào THPT (Đề 2)

GII THI MễN TON KHI A
K THI TUYN SINH H C NM 2009
I. Phn chung cho tt c thớ sinh
Cõu I: (2,0)
Cho hm s:
x 2
y (1)
2x 3
+
=
+
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit tip tuyn ú ct trc
honh, trc tung ln lt ti hai im phõn bit A, B v tam giỏc OAB cõn ti gc
to O.
Bi gii
( )
3
x
2
x
2
3
1. TXé: \
2
S bi n thiờn
x 2 3
Tỡm ti m c n ng: lim th hm s (1) cú ti m c n ng x
2x 3 2
x 2 1 1

Tỡm ti m c n ngang: lim th hm s (1) cú ti m c n ngang y
2x 3 2 2
1
Tớnh y' 0 v
2x 3







+
= =
+
+
= =
+

= <
+
Ă
ự ế
ệ ậ đứ đồ ị ố ệ ậ đứ
ệ ậ đồ ị ố ệ ậ
ớ
3 3 3
i x hm s luụn ngh ch bi n trờn ; v ; khụng cú c c tr
2 2 2

+
ữ ữ

ố ị ế ự ị.
Bng bin thiờn
th:
bng bin thiờn ph
V th:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
Nhn xột: th nhn giao im ca 2 tim cn l im
3 1
I ,
2 2


ữ

lm tõm i xng.
( ) ( )
2. G i A a;0 Ox; B 0;b Oy theo gi thi t ta cú: |a| |b|
nh ng vỡ hm s lu n ngh ch bi n nờn ti p tuy n ch cú th cú d ng
y kx m v i k < 0 nờn a b 0.
x y

Ph ng trỡnh ng th ng AB: 1
a b
x y
1 y x a ti p xỳc v
a a
=
= + =
+ =
+ = = +
ọ ả ế
ố ô ị ế ế ế ỉ ể ạ
ớ
ơ đờ ẳ
ế ớ
2
2
x 2
x a
2x 3
i (1)
1
1
(2x 3)
x 1 a 0 (lo i)
1
T ph ng trỡnh 1 2x 3 1
(2x 3) x 2 a 2
V y ph ng trỡnh ti p tuy n c a (1) l y x 2
+

= +

+





=

+

= =


= + =

+ = =

=
ạ
ừ ơ
ậ ơ ế ế ủ
Cõu II: (2,0 )
1. Gii phng trỡnh:
( )
( ) ( )
1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx

=
+

2. Giải phương trình:
( )
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 x− + − − = ∈ ¡
Bài giải
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
x k2
6
1
1 2sinx 0
sinx
7
u ki n : x k2
2
1 sinx 0 6
sinx 1
x k2
2
1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx

cos x 2sinxcos x 3 1 sinx 2sinx 2sin x
cosx 2sinxcosx 3 2sin x sinx +1
cos x 3 sinx 3 cos2x s
π

≠ − + π



+ ≠
≠ −

π
 
⇔ ⇔ ≠ + π
  
− ≠

 
≠

π

≠ + π


−
=
+ −
⇔ − = − + −

⇔ − = − +
⇔ − = +
1. §iÒ Ö
( )
in2x
1 3 3 1
cos x sinx cos2x sin2x
2 2 2 2
sin x sin 2x
6 3
k2
x 2x k2
x
6 3
18 3
2
x 2x k2
x k2 lo i
6 3
2
⇔ − = +
π π
   
⇔ − = +
 ÷  ÷
   
π π π π


− = + + π

= − +


⇔ ⇔


π π π


− = − + π
= + π




¹

( )
( )
3
3
3
2
3
3 2
2
3
2
3 2
2

2
2) 2 3x 2 3 6 5x 8 0
Ð t 3x 2 u 3x 2 u
6 5x v 0 6 5x v
3
u 4 v
2u 3v 8
2
3
5u 3v 8
5 4 v 3v 8
2
3
Gi i ph ng trình: 5 4 v 3v 8
2
135v 1104v 2880v 2496 0
v 4 135v 564v 624 0
v 4
Vì 135v
− + − − =
− = ⇒ − =
− = ≥ ⇒ − =

= −

+ =


⇔
 

+ =
 


− + =
 ÷

 

 
− + =
 ÷
 
⇔ − + − =
⇔ − − + =
⇔ =
−
Æ
¶ ¬
564v 624 0 VN
u 2
6 5x 16 x 2
+ =
= −
⇔ − = ⇒ = −
Câu III: (1,0 đ)

( )
( )
/2

3 2
0
/2 /2
5 2
1 2
0 0
/2 /2
5 4
1
0 0
/2
2
2
0
/2
4 2
0
5 3
Tính tích phân I (cos x 1)cos x dx
Gi i
I cos x dx cos x dx I I
Tính I cos x dx cos x.cos x dx
1 sin x d(sinx)
sin x 2sin x 1 d(sinx)
/ 2
sin x 2sin x
sinx
5 3 0
1 2 8
1

5 3 15
π
π π
π π
π
π
= −
= − = −
= =
= −
= − +
π
 
= − +
 ÷
 
= − + =
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
¶
( )
/2 /2
2
2
0 0
1 2
1

Tính I cos x dx 1 cos2x dx
2
/ 2
1
sin2x
4 4 0 4
8
Ta c : I I I
15 4
π π
= = +
π
π π
= + =
π
= − = −
∫ ∫
®î
Câu IV: (1,0điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD
= 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài giải
Hình thang ABCD.


µ

µ
( )
0
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Hình thang ABCD.
A D 90
AB AD 2a A D a
A B l tam gi c vu ng B A AB a 4a 5a
vu ng DC : C a a 2a
T C k CH AB CHB l tam gi c vu ng.
CH 2a, CD a HB a
BC HC HB 4a a 5a
BIC l tam gi c c n BC B 5a
K
= =
= = ⇒ Ι = Ι =
∆ Ι ⇒ Ι = Ι + = + =
∆ Ι Ι = + =
⊥ ⇒ ∆
= = ⇒ =
= + = + =
⇒ ∆ = Ι =
µ ¸ «
«
õ Î µ ¸ «
µ ¸ ©
Î

( ) ( ) ( ) ( )
·
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
0
0
K CB : T nh K.
a 2
G i J l trung m C J
2
a 9a
BJ B J 5a
2 2
3a
BJ ,
2
BJ. C
Ta có BJ. C K.BC K
BC
3a
a 2
3a
2
K
a 5 5
S C , S C ABCD S ABCD
IK BC SK BC SKI 60
3a
S K.tan60 . 3

5
AB CD AD 2a a .2a
Di n t ch ABCD 3a
2 2
Ι ⊥ Ι
Ι ⇒ Ι =
⇒ = Ι − Ι = − =
=
Ι
Ι = Ι ⇒ Ι =
Ι = =
Ι Ι ⊥ ⇒ Ι ⊥
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
⇒ Ι = Ι =
+ +
= = =
Ý
ä µ ®iÓ
Ö Ý
2
3 3
2
1 3a 3a 3 3a 15
V 3a . . 3 .
3 5
5 5
= = =
Câu V: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta
có :

(x + y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)
3
.
Bài giải

( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 2 2
3 3
3 3
3
2
x xt
t t y z, gi thi t suy ra yz
3
y z
3
Vì yz x x y z 3yz y z

4 4
3
x tx t 2x t 4t
4
2x t 2t 2x t
B T ph i ch ng minh
2x y z 3 x y x z 2x y z 3 x y x z y z 5 y z
2x y z 3 x y x z .2x 5 x z
2x y z 6x x x y z yz 5
+
= + =
+
≤ ⇒ + + = ≤ +
⇒ + ≤ ⇒ + ≤
⇒ + ≤ ⇒ ≤
⇔ + + − + + + + + + + + ≤ +
⇔ + + − + + ≤ +
 
⇔ + + − + + + ≤
 
§Æ ¶ Õ
§ ¶ ø
( )
( )
( )
( )
3
2
3
2 3

2 2
Vì t 0
2 2
2 2
2 2
2 2
y z
x xt
2x t 6x x xt 5t
3
2t 2x 3xt 2t 0
2x 3xt 2t 0
t t 3t
Vì 0 x 2x 3xt 2t
2 2 2
2x 3xt 2t 0 pcm
D u " " x y ra x y z 0.
>
+
 
+
⇔ + − + + ≤
 
 
⇔ + − ≤
⇔ + − ≤
< ≤ ⇒ + ≤ + =
⇒ + − ≤
= ⇔ = = >
®

Ê ¶
Phần riêng (3,0)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2.0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2)
là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng
AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng: ∆: x + y – 5 = 0. Viết
phương trình đường thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0
và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng
(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính
của đường tròn đó.
Bài giải

' '
'
' ' '
' '
M
M M
I
M
M
M M M

I
'
'
E E E E
Ph ờ
I l giao c a ACv BD nờn M ỡ M CD
x x 1 x
x 6
x 11
2 2
y y 5 y y 1
y 2
2 2
M t khỏc: ME IE nờn:
EM.IE 0 (11 x )(x 6) (1 y )(y

+ +

= =

=




+ + =



= =

= +
uuuur
uur
ần ri ng câu 6a (1)
ủ đối xứng với M quaIth
ặ
2 2
E E E E
E E
2 2
E E E E
E E
E
E
E
E
2) 0
x y 17x y 64 0(1)
M E :x y 5 0
x y 5 0 (2)
T ta c
-x y 17x y 64 0
x 5 y
y 1
E(6; 1)
x 6
y 2

E(7; 2)
x 7
Ph ng trỡnh ngth ng AB :
y 5
x 4y 19 0
=
+ + =
+ =
+ =

+ + =


=


=



=

=



=


=

+ =
ừ (1)và(2) ó
ơ đờ ẳ

2 2 2
P
C u6a(2)
PT(S) (x 1) (y 2) (z 3) 25
T án kính R = 5
| 2 4 3 4 |
có:d(I;P) 3
4 4 1
có:d(I;P) 3 R 5 m òn.
Có n (2; 2; 1) ph ình
⇔ − + − + − =
⇒
− − −
= =
+ +
= < = ⇒
= − − ⇒
r
©
©m I(1;2;3); b
Æt ph¼ng (P) c¾t (S) theo mét ®êng tr
¬ngtr ®êng th¼ng qua I(1;2;3)v
'2
à vu ng góc v à:
x = 1+2t
y = 2 - 2t

z = 3 - t
G
E(1 2t; 2 2t;3 t) (P)
2(1 2t) 2(2 2t) (3 t) 4 0 t 1
E(3;0;2)
G án kính ó:
R 25





⇒ + − − ∈
⇒ + − − − − − = ⇒ =
⇒
=
'
2 2
« íi(P) l
äi E lµ t©m ®êng trßn giao tuyÕn
äi R lµ b ®êng trßn (E) c
= R -IE
'
9 16 R 4− = ⇒ =
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình z

2
+ 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu
thức A = |z
1
|
2
+ |z
2
|
2

Bài giải
( )
2
2
'
1 1
2 2
2 2
1 2
PT : z 2z 10 0
1 10 9 3i
z 1 3i | z | 10
z 1 3i | z | 10
A | z | | z | 10 10 20
+ + =
∆ = − = − =
= − − ⇒ =
=− + ⇒ =
⇒ = + = + =

B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b. (2.0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+
4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: x + my – 2m + 3 = 0, với m là

tham s thc. Gi l tõm ca ng trũn (C). Tỡm m ct (C) ti
hai im phõn bit A v B sao cho din tớch tam giỏc IAB ln nht.
2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y +
2z 1 = 0 v hai ng thng
1 2
x 1 y z 9 x 1 y 3 z 1
: , :
1 1 6 2 1 2
+ + +
= = = =

. Xỏc nh to im M thuc ng thng
1
sao cho khong cỏch
t M n ng thng
2
v khong cỏch t M n mt phng (P)
bng nhau.
Bi gii

( ) ( )

( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
6b1. Ph ng trỡnh (C) x 2 y 2 2
T m 2 ; 2 ; b n k nh R 2
K H ( ) H l trung mAB.
1 4m
V i H d. ;
1 m
ng th ng ( ) c t (C) khi H R
|1 4m |
2 14m 8m 1 0
1 m
4 30 4 30
m
14 14
t H x K : 0 x 2
Trong vu ng HA ta c : HA
+ + + =
=


= =
+
<

< <
+
+
< <
= < <

ơ
â á í
ẻ à điể
ớ
Đờ ẳ ắ
Đặ Đ
ô ó
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2
AB
2 2
2 2 2
AB
2 2
AB
2
2

A H 2 x
HA 2 x
1
S H.AB x. 2 x
2
p d ng B T c si ta c :
x 2 x
S x. 2 x x 2 x 1
2
maxS 1khi x 2 x x 1 tho m n
m 0 tho m n
|1 4m |
1 15m 8m 0
8
m tho m n
1 m
15



= =
=
= =
+
= = =
= = =

=

= =

=
+


ụ Đ ô ó
ả ã
ả ã
ả ã


( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
1
2
1
2 2 2
2
2 2 2
2
6b.2

x 1 t
: y t
z 9 6t
x 1 y 3 z 1
: i qua A 1; 3 ; 1 v u 2 ; 1; 2
2 1 2
M M 1 t ; t ; 9 6t
AM,u
14 8t 14t 20 4 t
d M,
3
u
1 t 2t 18 12t 1 11t 20
d M, (P)
3
1 ( 2) 2
Vì d M, d M, (P) n n :
11t
∆
∆
∆
= − +


∆ =


= − +

− − +

∆ = = − = −
−
∈ ∆ ⇒ − + − +
 
− + − + −
 
⇒ ∆ = =
− + − − + − −
= =
+ − +
∆ =
−
r
uuur r
r
® µ
ª
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2
1
2
14 8t 14t 20 4 t
20
3 3
11t 20 14 8t 14t 20 4 t
t 1

35t 88t 53 0
53
t
35
V i t 1 M 0 , 1, 3
53 18 53 3
V i t M , ,
35 35 35 35
− + − + −
=
⇔ − = − + − + −
=


⇒ − + = ⇔

=

= ⇒ −
 
= ⇒
 ÷
 
í
í

Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
( )

2 2
2 2
2 2
x xy y
log x y 1 log (xy)
x, y
3 81
− +

+ = +

∈


=

¡
Bài giải

2 2
2 2
2 2
x xy y 4
2 2 2
2 2 2 2
2 2
C b.
K :x.y 0
log (x y ) log (2xy)
H

3 3
x y 2xy (x y) 0
x xy y 4 x xy y 4
x y
x y 2
x xy y 4
− +
>

+ =

⇔

=


 
+ = − =
 
⇔ ⇔
 
− + = − + =
 
 
=

⇔ ⇔ = = ±

− + =


©u7
Ö
®