Tổng hợp các bài TOÁN NÂNG CAO 7

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO 7
ĐS7. CHUYÊN ĐỀ 1 – TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
PHẦN I. TĨM TẮT LÍ THUYẾT.
A. Tỉ lệ thức

a c
  a, b, c, d  Q;b  0, d  0 
1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số b d
Trong đó: Các số hạng a và d được gọi là các ngoại tỉ, các số hạng b và c được gọi là
trung tỉ
2. Tính chất:
a) Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
a c

Nếu b d thì ad  bc
a c a b d c d b
 ;  ;  ; 
a
,
b
,
c
,
d

0
b) Tính chất 2: Nếu ad  bc và
thì ta có: b d c d b a c a
Như vậy trong tỉ lệ thức, ta có thể hoán vị các trung tỉ với nhau, hoán vị các ngoại tỉ với nhau,
hoán vị cả trung tỉ với nhau, cả ngoiạ tỉ với nhau.
B. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a c
a c ac ac
   

b d bd bd
+) b d
a c e
a c e ace
a ce
     

b d f b  d  f b  d  f (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
+) b d f
2. Chú ý: Khi ta nói các số x, y , z tỉ lệ với các số a, b, c , tức là:

x y z
 
a b c hoặc x : y : z  a : b : c
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau
I. Phương pháp giải.
a c
 (b, d  0)
1. Tỷ lệ thức: Là đẳng thức của hai tỉ số b d
hoặc a : b  c : d
Trong đó: a, b, c, d là các số hạng của tỷ lệ thức
- a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ
- b và c là các số hạng trong hay trung tỉ
Các số a và d được gọi là ngoại tỉ; các số b và c được gọi là trung tỉ

2. Tính chất của tỉ lệ thức
a c
  ad  bc
a) Tính chất 1: Nếu b d
b) Tính chất 2: Nếu

ad  bc  0 

a c d b d c a b
 ;  ;  ; 
b d c a b a c d
Trang 1


3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a c
a c ac ac
   

b d b  d b  d (giả thiết các phân số đều có nghĩa)
- Nếu b d
- Mở rộng:
a c e
a c e ace
ace
     

b d f b  d  f b  d  f (giả thiết các phân số đều có nghĩa)
+ Nếu b d f

2 4 6 246 4 2 4 6 246 0
0
  
 ;   

Ví dụ: 3 6 9 3  6  9 6 3 6 9 3  6  9 0 (do 0 khơng có nghĩa) nên tính
chất khơng cịn đúng
- Nâng cao:
k1a  k2 c  k3e
a c e
k
  k
+ Nếu b d f
thì k1b  k 2d  k3 f
a c
a b cd a b cd



d ; a
c
+ Nếu b d thì b
(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
x y z
 
4. Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c , ta nói các số x, y , z tỉ lệ với các số a, b, c
a b c
  ,
Ví dụ: Khi có dãy tỉ số 2 3 5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2,3,5
Ta cũng viết a : b : c  2 : 3 : 5

a c

+) Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức b d suy ra
2

2

k1a k2 c
a c
a
c
a  c 

 k1 , k2  0 
      . ; k .  k.  k  0  ;
b d
b
d
k1b k2 d
b d 
3

3

3

2

x y z x  y z

x y z x
y z
            . . ;   .
b c
Từ a b c  a   b   c  a b c  a 
II. Bài toán.
a  c
ab cd

(c  d  0)

Bài 1: Chứng minh rằng nếu b  c d  a
thì  a  b  c  d  0
Bài 2: Cho ( x  y ) : ( x  y ) : xy  1: 9 : 30 . Với x, y  0 hãy tính xy ?

a  99 a100  100
a1  1 a2  2

 ....  99

99
2
1
Bài 3: Tìm các số a1 ; a2 ;...; a100 , biết 100
và a1  a2  ...  a100  10100
2
2
3
3
3

Bài 4: Cho các số a, b, c, d  0 và thỏa mãn b  ac; c  bd ; b  c  d  0 . Chứng minh

a 3  b3  c 3 a

3
3
3
d
rằng b  c  d
Bài 5: Cho (a  b) : (b  c) : (c  a)  6 : 7 : 8; a  b  c  42. Hãy tìm c ?
Trang 2


a c

Bài 6: Cho b d . Chứng minh rằng:
ab cd
ac bd


d
d
a) b
b) c

a b c  d

c
c) a

Bài 7.1: Cho . Chứng minh rằng:
a)
b)
7.2) Với thì
Bài 8:
a) Nếu thì
b) Với thì
c) Nếu thì
Bài 9: Cho . Chứng minh rằng
Bài 10: Cho . Chứng minh rằng
Bài 11:
Cho , Các số thỏa mãn . Chứng minh:
Bài 12: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng: và
Bài 13: Cho 4 số thỏa mãn: , .
Chứng minh rằng:
Bài 14: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 15: Cho tỉ lệ thức: .
Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu thức xác định)
Bài 16: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 17: Chứng minh rằng: Nếu thì
Bài 16: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 18: Cho . Chứng minh rằng:
Bài 19: Chứng minh rằng: Nếu thì
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu có thỏa mãn thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Bài 21: Cho dãy . Chứng minh rằng: .
Bài 22: Cho a, b dương thỏa mãn: . Chứng minh
Bài 23: Cho và . Chứng minh rằng
Bài 24: Cho và . Chứng minh rằng:
Bài 25: Chứng minh rằng nếu thì ta có:
Bài 26: Biết ; và . Chứng minh rằng

Bài 27: Cho và . Chứng minh rằng:
Bài 28: Cho 3 số đôi 1 khác nhau. Chứng minh rằng:
Bài 29: Cho tỷ lệ thức Chứng minh rằng
Bài 30: Cho 2 số hữu tỷ và với b  0; d  0 . Chứng minh rằng:
Bài 31: Nếu b  0; thì từ
Bài 32. Cho . Chứng minh rằng:
Bài 33. Cho và . Chứng minh rằng
Dạng 2: Chứng minh dãy tỉ số bằng nhau
Trang 3


I. Phương pháp giải
Cách 1: Sử dụng định nghĩa
Ví dụ: Cho
Ta sẽ đặt rồi thay vào biểu thức cần chứng minh
Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân chéo
Để chứng minh ta đi chứng minh
Cách 3: Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
Ví dụ: Ta có thì
II. Bài toán.
Bài 1:
Cho Chứng minh rằng
Bài 2:
Cho . Chứng minh rằng
Bài 3:
Cho . Chứng minh rằng:
Bài 4:
Chứng minh rằng với là các số thực khác 0 và: thì
Bài 5:
Cho . Chứng minh rằng

Với các mẫu số khác và
Bài 6:
Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Bài 7:
Cho dãy tỉ số . Chứng minh rằng
Bài 8:
Cho dãy tỉ số bằng nhau . Chứng minh rằng
Bài 9:
Cho . Chứng minh:
Bài 10:
Cho . Chứng minh:
Bài 11:
Cho . Chứng minh:
Bài 12:
Cho . Chứng minh:
Bài 13:
Cho Chứng minh rằng
Bài 14:
Chứng minh rằng nếu thì
Bài 15:
Cho Chứng minh rằng
Bài 16:
Cho tỷ lệ thức . Chứng minh rằng: (với các mẫu khác 0)
Bài 17:
Cho bốn số thỏa mãn: . Chứng minh rằng
Bài 18:
Trang 4


Cho . Chứng minh rằng

Bài 19:
Cho Chứng minh rằng:
Bài 20:
Cho thỏa mãn Chứng minh rằng:
Bài 21:
Cho . Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên:
Bài 22:
Cho các số dương và Chứng minh
Bài 23.
Chứng minh rằng : Nếu thì với
Bài 24.
Chứng minh rằng: Nếu thì:
a)
b)
Bài 25. CMR: Nếu thì điều đảo lại có đúng hay khơng?
Bài 26. Cho . Chứng minh rằng
Bài 27. Chứng minh rằng: Nếu thì
Bài 28. Chứng minh rằng: Nếu và đk: thì
Bài 29. Chứng minh rằng: Nếu (1)
Trong đó và là các số khác nhau thì:
a b'
b c'


1
 1
'
'
Bài 30. Biết a b
và b c

. Chứng minh rằng:

Dạng 3. Tìm đại lượng chưa biết trong tỉ lệ thức
I. Phương pháp giải.
1. Phương pháp giải theo định nghĩa
Có: . Thay vào biểu thức đã cho để tìm
2. Phương pháp sử dụng các tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
Ví dụ: các đại lượng chưa biết
II.Bài tốn.
Bài 1. Tìm các số biết rằng:
Bài 2. Cho tỷ lệ thức . Tìm
Bài 3. Tìm biết rằng:
Bài 4. Cho đôi một khác nhau và khác 0, biết là số nguyên tố và Tìm số
Bài 5. Số là tổng của ba số, biết rằng ba số này tỷ lệ với và tổng bình phương của chúng là
24309. Hãy tìm số
Bài 6. Tìm biết :
a) và
b) và
Bài 7. Tìm biết :
Trang 5


a) và
b) và
Bài 8. Tìm biết :
a) và
b) và
Bài 9. Tìm các số biết chúng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau và
Bài 10. Tìm các số biết
a) và

b) và
Bài 11. Tìm các số biết
a) và
b) và
Bài 12. Tìm các số biết và
Bài 13. Tìm các số biết
a) và
b) và
Bài 14. Tìm các số biết
Bài 15. Tìm các số biết
Bài 16. Tìm , biết
Bài 17. Tìm các số biết
Bài 18. Tìm biết
Bài 19. Tìm ba số biết: và
Bài 20. Tìm biết: và
Bài 21. Tìm biết
Bài 22. Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: biết:
Bài 23. Tìm biết
Bài 24. Tìm là các số dương, biết
Bài 25. Tìm hai số khác 0, biết tổng, hiệu,tích của hai số đó tỉ lệ với
Bài 26. Tìm các số biết
Bài 27. Tìm biết và
Bài 28. Cho hai đại lượng và . là hai giá trị bất kỳ của , là hai giá trị tương ứng của y. Tính
biết và
Bài 29. Tìm hai số dương khác nhau biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ
nghịch với 35; 210 và 12
Bài 30. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỷ lệ
với 1; 2; 3
Bài 31. Tìm các số x, y, z biết
Bài 32. Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó

bằng Tìm số
Bài 33: Tìm cặp số biết:
Bài 34. Cho và a  b  c  0; a  2012.
Tính .
Dạng 4. Tính giá trị của biểu thức
I. Phương pháp giải.
Trang 6


Cho thỏa mãn một điều kiện nào đó của đầu bài.
Yêu cầu: Tính giá trị của một biểu thức.
Cách giải: Vận dụng kiến thức về tỷ lệ thức để tìm mối quan hệ giữa để tìm ra giá trị của
biểu thức cần tìm.
II. Bài tốn.
Bài 1:
Cho . Tính
Bài 2.
Cho . Tính
Bài 3.
Cho . Tính giá trị của biểu thức
Bài 4.
Cho Tính
Bài 5.
Cho các số và thỏa mãn Tính
Bài 6.
Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính giá trị biểu thức
Bài 7.
Cho đơi một khác nhau và thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Bài 8.

Cho dãy tỉ số
Tính giá trị biểu thức
Bài 9.
Cho a , b , c thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Bài 10.
Cho và
Tính giá trị biểu thức
Bài 11.
Cho và .
Tính giá trị biểu thức
Bài 12.
Cho và khác nhau, thỏa mãn .
Tính giá trị biểu thức
Bài 13.
Cho 4 số x,y,z,t thỏa mãn
Và Tính giá trị biểu thức
Bài 14.
Cho
Tính
Bài 15
Cho . Tính
Bài 16.
Cho khác 0 và thỏa mãn. Tính
Trang 7


Bài 17.
Cho và .
Tính
Bài 18.

Tính giá trị của biểu thức A, biết
Bài 19.
Tính , biết có quan hệ:
Bài 20.
Cho Tính giá trị :
Bài 21.
Cho và . Tính
Bài 22.
Cho . Tính
Bài 23.
Cho x, y, z là các số khác 0 và đồng thời thỏa mãn
Bài 24.
Cholà các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Bài 25.
Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số
Bài 26.
Cho các số khác 0. Tính . Biết thỏa mãn:
Bài 27.
Cho là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Bài 28.
Cho thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức
Dạng 5. Áp dụng tỷ lệ thức để giải các bài toán thực tế (Toán chia tỉ lệ)
I. Phương pháp giải
Bước 1: Sử dụng chữ (biến số) để đặt các đại lượng chưa biết và đặt điều kiện của ẩn.
Bước 2: Lập dãy tỷ số bằng nhau và tìm điều kiện.
Bước 3: Tìm đại lượng chưa biết (giải phương trình).
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận bài tốn.
II. Bài tập
Bài 1 : Tìm các số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của và chữ số xếp theo thứ tự tăng
dần tỷ lệ với 1, 2, 3.

Bài 2 : Độ dài ba cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4 . Hỏi rằng ba chiều cao tương ứng
với ba cạnh đó tỷ lệ với số nào
Bài 3. Một ơ tơ đi từ đến . Sau khi đi được nửa quãng đường ơ tơ tăng vận tốc thêm 20%. Do
đó ơ tơ đến sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ đến
Bài 4. Ba đường cao của một tam giác là . Tìm , biết là một số nguyên dương.
Bài 5: Ba máy xay xay được tấn thóc. Số ngày làm việc của các máy tỷ lệ với . Số giờ làm
việc của các máy trong một ngày tỷ lệ với . Công suất của các máy tỷ lệ nghịch với . Hỏi mỗi
máy đã xay được bao nhiêu tấn thóc?

Trang 8


Bài 6: Lớp 7B có học sinh được chia làm 3 tổ. Nếu tổ 1 thêm học sinh, tổ 2 bớt đi học
sinh, tổ 3 thêm học sinh thì số học sinh tổ 1, 2, 3 tỷ lệ nghịch với 15, 20, 12 . Tìm số học
sinh của mỗi tổ?
7: Một cửa hàng có ba bao gạo, tổng khối lượng của ba bao gạo là kg , giá tiền mỗi kg
Bài
gạo trong ba bao gạo là như nhau. Sau một ngày bán hàng thì của hàng cịn lại bao thứ nhất,
bao thứ hai và bao thứ ba. Số tiền bán được của ba bao thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỷ lệ với .
Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu kg gạo ở mỗi bao?
Bài 8 : Ba bể nước có tất cả lít nước, sau khi rút bớt đi lượng nước ở bể 1, lượng nước ở bể
2 và lượng nước ở bể 3 thì lượng nước cịn lại trong 3 bể là như nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bể
chứa bao nhiêu lít nước?
Bài 9 : Tìm ba số tự nhiên, biết rằng tỷ số của số thứ nhất với số thứ hai là 3: 4 , tỷ số giữa
số thứ nhất và thứ ba là 6: 13 và BCNN của ba số đó bằng 7176 .
Bài 10 : Một vật chuyển động trên các cạnh của hình vng. Trên hai cạnh đầu vật chuyển
động với vận tốc , trên cạnh thứ ba vật chuyển động với vận tốc , trên cạnh thứ tư vật chuyển
động với vận tốc . Hỏi độ dài cạnh hình vng là bao nhiêu m , biết rằng tổng thời gian vật
chuyển động trên bốn cạnh bằng 118 giây?
Bài 11 : Hãy tìm tất cả các số có hai chữ số biết rằng tổng, hiệu, tích của các chữ số của số đó

là ba số nguyên dương và tỉ lệ với 35: 210: 12
Bài 12 : Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a và b bằng thương của a và b và bằng 2 lần
tổng của a và b .
Bài 13 : Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các
mẫu só tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2 .
Bài 14 : Số M được chia làm 3 số tỉ lệ với , tìm số M biết rẳng tổng bình phương của ba số
đó bằng ?
Bài 15 : Ba lớp cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp
với tỉ lệ nhưng sau đó chia theo tỉ lệ nên có một lớp nhận nhiều hơn 4 gói. Tính tổng số gói
tăm mà ba lớp đã mua?
Bài 16 : Trong kì thi HSG của trường, ba bạn Tài, Trí, Đức được cơ giáo thưởng 100 000đ .
Số tiền thưởng được phân chia tỉ lệ với số điểm mà mỗi bạn đạt được, biết số điểm của Tài
bằng so với số điểm của Trí, số điểm của Đức bằng 25% tổng số điểm của hai người kia.
Tính số tiền mỗi bạn được thưởng?
Bài 17 : Ba đơn vị cùng xây dựng chung 1 chiếc cầu hết 340 triệu, đơn vị thứ nhất có 8 xe và
cách cầu 1,5km, đơn vị thứ hai có 6 xe và cách cầu 3km, đơn vị thứ 3 có 4 xe và cách cầu 1
km. Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiều tiền cho việc xây cầu biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận
với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu ?
Bài 18 : Cho có các góc tỉ lệ với . Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với các số nào?

Trang 9


HSG T7 – CĐ2 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1.Đại lượng tỉ lệ thuận.
a. Định nghĩa:
Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo cơng thức:
lệ .

thì ta nói tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ

Chú ý: Nếu tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ thì tỉ lệ thuận với theo hệ số.
b. Tính chất:
*;
* ; ; ….
2. Đại lượng tỉ lệ nghịch.
a. Định nghĩa:
Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo công thức hay ( là một hằng số khác 0) thì ta
nói tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ
Chú ý: Nều tỉ lệ nghịch với theo hệ số thì cũng tỉ lệ nghịch với theo hệ số .
b. Tính chất:
*
* ; ; ….
3. Chú ý :
+ Nếu lần lượt tỉ lệ thuận với thì ta có : .

ax = by = cz Û
+ Nều lần lượt tỉ lệ nghịch với

thì ta có:

x y z
= =
1 1 1
a b c

+ Đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng theo hệ số tỉ lệ ( ), đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng
theo hệ số tỉ lệ (), thì tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ .
+ Đại lượng tỉ lệ nghịch với đại lượng theo hệ số tỉ lệ ( ), đại lượng tỉ lệ nghịch với đại

lượng theo hệ số tỉ lệ (), thì tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ .
PHẦN II. DẠNG BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN
DẠNG I: CÁC BÀI TỐN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Xác định tương quan tỉ lệ thuận giữa các đại lượng.
Trang 10


Bước 2: Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận.
B. BÀI TẬP
Bài 1: Hai lớp và đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa số cây trồng được của lớp và là
Lớp trồng nhiều hơn lớp là cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được
Bài 2: Ba lớp , trồng được cây xung quanh trường. Biết rằng số cây lớp trồng bằng số cây
lớp trồng và bằng số cây lớp trồng. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?
Bài 3: Học sinh lớp được chia thành ba loại giỏi, khá, trung bình. Biết rằng số học sinh khá
bằng số học sinh giỏi và bằng số học sinh trung bình, số học sinh giỏi ít hơn số học sinh khá
là em. Tính số học sinh giỏi, khá , trung bình của lớp 7A?
Bài 4: Ba lớp có tất cả học sinh. Biết số học sinh lớp bằng số học sinh lớp , số học sinh lớp ,
bằng số học sinh lớp . Tính số học sinh của mỗi lớp.
Bài 5. Ba lớp cùng tham gia trồng cây đầu xuân; số cây mỗi lớp trồng được tỷ lệ với và hai
lần số cây của lớp cộng với bốn lần số cây của lớp thì hơn số cây của lớp là cây. Tính số
cây của mỗi lớp trồng được.
Bài 6. Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình
tỉ lệ với và ; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với và . Tính số viên bi của mỗi bạn
Bài 7: Tìm số đo các góc của biết rằng số đo các góc này tỉ lệ với
Bài 9: Số được chia thành 3 số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng Tìm
số
Bài 10. Số được chia thành ba số tỉ lệ với Tìm số biết rằng tổng bình phương của ba số đó là
Bài 11: Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với các mẫu của chúng tỉ lệ với Tìm
ba phân số đó.

Bài 12: Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu tương
ứng của chúng tỉ lệ với
Bài 13: Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp trồng toàn bộ số
cây. Biết số cây lớp và trồng được theo tỉ lệ và . Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu,
biết số cây của lớp rồng được ít hơn số cây của lớp trồng được là cây.
Bài 14: Ba lớp 7 ở trường có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của lớp số học sinh của
lớp và số học sinh của lớp đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh cịn lại của ba lớp
bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
Bài 15: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia
cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn 4
gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.

Trang 11


Bài 16 : Nhà trường dự định chia vở viết cho 3 lớp theo tỉ lệ số học sinh là . Nhưng sau đó
vì có học sinh thuyển chuyển giữa 3 lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ . Như vậy có lớp đã nhận
được ít hơn theo dự định 12 quyển vở. Tính số vở mỗi lớp nhận được.
Bài 17: Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội tỉ lệ với Nhưng sau đó vì số
người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ Như vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự
định là . Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
Bài 18 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau
khi gặp nhau lần thứ nhất, ô tô xuất phát từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ô tô xuất
phát
từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ô tô gặp nhau lần thứ hai ở C thì quãng đường
AC
dài hơn quãng đường BC là 50km. Tính quãng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc
xe
đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5.
Bài 19: Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ

lệ với và , diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với và hình thứ nhất và hình
thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là hình thứ hai và hình thứ ba có
cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó
Bài 20: Bốn con ngựa ăn hết 1 xe cỏ trong 1 ngày, một con Dê ăn hết một xe cỏ trong 6 ngày,
hai con cừu trong 24 ngày ăn hết 2 xe cỏ. Hỏi chỉ ba con (Ngựa, Dê và Cừu) ăn hết hai xe cỏ
trong mấy ngày ?
Bài 21: Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đường thẳng.
Bài 22: Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ đến người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kỳ và
thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi
có thể làm để trên bảng chỉ cịn lại số 1 được khơng ? Giải thích ?
Bài 23: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau để đi đến C (ba địa điểm ở
cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ là Vận tốc của người đi từ B là . Tính
quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến cùng một lúc
Bài 24: Trong một bảng ơ vng gồm có ơ vng, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một
trong 3 số . Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường
chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau.
Bài 25: Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của và các chữ số của nó tỉ lệ theo
Trang 12


Bài 26: Ba thửa ruộng hình chữ nhật có cùng diện tích. Chiều rộng của 3 thửa ruộng lần lượt
tỉ lệ với Chiều dài của thửa ruộng nhỏ hơn tổng chiều dài của 2 thửa ruộng và là 35 mét.
Tính chiều dài mỗi thửa ruộng.
Bài 27. Tìm hai số nguyên dương và biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ với
Bài 28: Có sáu túi lần lượt chứa , , , , và bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ trong khi năm túi kia
chỉ chứa bóng xanh. Bạn Tốn lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi. Túi cịn lại chứa bóng đỏ. Biết
lúc này bạn Tốn có số bóng xanh gấp đơi số bóng xanh của bạn Học. Tìm số bóng đỏ trong
túi cịn lại.
Bài 29: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m, giá tiền mỗi

2
mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại 3 cuộn thứ
1
3
3
5
nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba

lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi
cuộn.
Bài 30: Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử.

4
8
2
Trong đó 3 số học sinh của nhóm I bằng 11 số học sinh của nhóm II và bằng 5 số học sinh
của nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm
III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm.
PHẦN II. DẠNG BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN
DẠNG I: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Xác định tương quan tỉ lệ thuận giữa các đại lượng.
Bước 2: Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận.

B. BÀI TẬP
Bài 1: Hai lớp và đi lao động trồng cây. Biết rằng tỉ số giữa số cây trồng được của lớp và là
Lớp trồng nhiều hơn lớp là cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được
Bài 2: Ba lớp , trồng được cây xung quanh trường. Biết rằng số cây lớp trồng bằng số cây
lớp trồng và bằng số cây lớp trồng. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

Trang 13


Bài 3: Học sinh lớp được chia thành ba loại giỏi, khá, trung bình. Biết rằng số học sinh khá
bằng số học sinh giỏi và bằng số học sinh trung bình, số học sinh giỏi ít hơn số học sinh khá
là em. Tính số học sinh giỏi, khá , trung bình của lớp 7A?
Bài 4: Ba lớp có tất cả học sinh. Biết số học sinh lớp bằng số học sinh lớp , số học sinh lớp ,
bằng số học sinh lớp . Tính số học sinh của mỗi lớp.
Bài 5. Ba lớp cùng tham gia trồng cây đầu xuân; số cây mỗi lớp trồng được tỷ lệ với và hai
lần số cây của lớp cộng với bốn lần số cây của lớp thì hơn số cây của lớp là cây. Tính số
cây của mỗi lớp trồng được.
Bài 6. Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình
tỉ lệ với và ; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với và . Tính số viên bi của mỗi bạn
Bài 7: Tìm số đo các góc của biết rằng số đo các góc này tỉ lệ với
Bài 8: Hiện nay anh hơn em tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm và tuổi của em sau 8 năm
nữa tỉ lệ với và . Hỏi hiện nay anh bao nhiêu tuổi, em bao nhiêu tuổi.
Bài 9: Số được chia thành 3 số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng Tìm
số
Bài 10. Số được chia thành ba số tỉ lệ với Tìm số biết rằng tổng bình phương của ba số đó là
Bài 11: Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với các mẫu của chúng tỉ lệ với Tìm
ba phân số đó.
Bài 12: Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu tương
ứng của chúng tỉ lệ với
Bài 13: Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp trồng toàn bộ số
cây. Biết số cây lớp và trồng được theo tỉ lệ và . Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu,
biết số cây của lớp rồng được ít hơn số cây của lớp trồng được là cây.
Bài 14: Ba lớp 7 ở trường có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của lớp số học sinh của
lớp và số học sinh của lớp đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh cịn lại của ba lớp
bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K
Bài 15: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia

cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn 4
gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Bài 16 : Nhà trường dự định chia vở viết cho 3 lớp theo tỉ lệ số học sinh là . Nhưng sau đó
vì có học sinh thuyển chuyển giữa 3 lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ . Như vậy có lớp đã nhận
được ít hơn theo dự định 12 quyển vở. Tính số vở mỗi lớp nhận được.
Bài 17: Một cơng trường dự định phân chia số đất cho ba đội tỉ lệ với Nhưng sau đó vì số
người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ Như vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự
định là . Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
Bài 18 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau
Trang 14


khi gặp nhau lần thứ nhất, ô tô xuất phát từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ô tô xuất
phát
từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ô tô gặp nhau lần thứ hai ở C thì quãng đường
AC
dài hơn quãng đường BC là 50km. Tính quãng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc
xe
đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5.
Bài 19: Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ
lệ với và , diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với và hình thứ nhất và hình
thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là hình thứ hai và hình thứ ba có
cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó
Bài 20: Bốn con ngựa ăn hết 1 xe cỏ trong 1 ngày, một con Dê ăn hết một xe cỏ trong 6 ngày,
hai con cừu trong 24 ngày ăn hết 2 xe cỏ. Hỏi chỉ ba con (Ngựa, Dê và Cừu) ăn hết hai xe cỏ
trong mấy ngày ?
Bài 21: Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đường thẳng
22: Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ đến người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kỳ và
thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi cịn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi

có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được khơng ? Giải thích ?
Bài 23: Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau để đi đến C (ba địa điểm ở
cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ là Vận tốc của người đi từ B là . Tính
quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến cùng một lúc
Bài 24: Trong một bảng ơ vng gồm có ơ vng, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một
trong 3 số . Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường
chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau.
Bài 25: Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của và các chữ số của nó tỉ lệ theo
Bài 26: Ba thửa ruộng hình chữ nhật có cùng diện tích. Chiều rộng của 3 thửa ruộng lần lượt
tỉ lệ với Chiều dài của thửa ruộng nhỏ hơn tổng chiều dài của 2 thửa ruộng và là 35 mét.
Tính chiều dài mỗi thửa ruộng.
Bài 27. Tìm hai số nguyên dương và biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ với
Bài 28: Có sáu túi lần lượt chứa , , , , và bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ trong khi năm túi kia
chỉ chứa bóng xanh. Bạn Tốn lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi. Túi cịn lại chứa bóng đỏ. Biết
lúc này bạn Tốn có số bóng xanh gấp đơi số bóng xanh của bạn Học. Tìm số bóng đỏ trong
túi cịn lại.
Trang 15


Bài 29: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m, giá tiền mỗi
2
mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại 3 cuộn thứ
1
3
nhất, 3 cuộn thứ hai, 5 cuộn thứ ba. Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba

lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi
cuộn.
Bài 30: Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử.

4
8
2
Trong đó 3 số học sinh của nhóm I bằng 11 số học sinh của nhóm II và bằng 5 số học sinh
của nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm
III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm.
DẠNG II: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Xác định tương quan tỉ lệ nghịch giữa các đại lượng.
Bước 2: Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ nghịch..
B. BÀI TẬP
Bài 1. Bốn đội máy cày làm việc trên bốn cánh đồng có diện tích bằng nhau. Đội thứ nhất
hồn thành cơng việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 5 ngày, đội thứ ba trong 6 ngày, đội thứ
tư trong 10 ngày. Hỏi cả bốn đội có tất cả mấy máy cày? Biết công suất mỗi máy cày là như
nhau và đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ tư là 18 máy? (biết công suất của mỗi máy cày là
như nhau)
Bài 2. Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ
hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số người tham gia
làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ ba ít hơn số người của đội thứ hai là 5
người
Bài 3. Ba đội san đất làm ba khối công việc như nhau. Đội thứ nhất hồn thành cơng việc
trong 4 ngày, đội thứ hai hồn thành cơng việc trong 6 ngày và đội thứ ba hồn thành cơng
việc trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (có cùng năng suất), biết rằng đội thứ nhất
có nhiều hơn đội thứ hai 2 máy
Bài 4. Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với
vận tốc trên cạnh thứ ba với vận tốc , trên cạnh thứ tư với vận tốc Hỏi độ dài cạnh hình
vng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là giây.

Trang 16

Bài 5.: Một vật chuyển động trên bốn cạnh của 1 hình vng, trên hai cạnh đầu, vật chuyển
động với vận tốc 6m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s và trên cạnh thứ 4 với vận tốc 2m/s.
Hỏi độ dài của cạnh hình vng biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là
130 giây?
Bài 6. Tổng ba phân số tối giản bằng các tử của chúng tỉ lệ nghịch với Các mẫu của chúng tỉ
lệ thuận với Tìm ba phân số đó.
Bài 7. Có 16 tờ giấy bạc loại đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau.
Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Bài 8.Tìm hai số ngun dương và biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch
với
Bài 9. Để làm một công việc trong 10 giờ cần 32 công nhân. Nếu số công nhân tăng thêm
25% thì thời gian hồn thành cơng việc giảm được mấy giờ? (biết năng suất của mỗi công
nhân như nhau)
Bài 10. Một xe tải chạy từ thành phố A đến hải cảng B gồm ba chặng đường dài bằng nhau,
nhưng chất lượng mặt đường xấu tốt khác nhau nên vận tốc trên mỗi chặng lần lượt bằng 40;
24 và 60 (km/h). Biết tổng thời gian đi từ A đến B là 5 giờ, tính độ dài quãng đường AB?
Bài 11. Một ô tô phải đi từ A đến B trong một thời gian dự định, Sau khi đi được nửa qng
đường thì ơ tơ tăng vận tốc thêm 20%. Do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian
ơ tơ đi từ A đến B?
Bài 12. Hai ô tô cùng phải đi từ A đến B. Biết rằng vận tốc xe thứ nhất bằng 60% vận tốc xe
thứ hai và thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B nhiều hơn thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là
3 giờ. Tính thời gian mỗi xe đi từ A đến B.
Bài 13. Ba anh em An, Bảo, Chi theo thứ tự học lớp 8, lớp 7, lớp 6 và có điểm trung bình
cuối kì I là 8,0; 8,4; 7,2. Ngày đầu năm mới, bà đưa cho An 85 chiếc kẹo để chia cho ba anh
em tỉ lệ nghịch với lớp học (nếu điểm trung bình như nhau) và tỉ lệ thuận với điểm trung bình
đạt được (nếu lớp học như nhau). Hỏi An phải chia như thế nào?
Bài 14. Có ba máy bơm cùng bơm nước vào ba bể có thể tích bằng nhau (Lúc đầu các bể đều
khơng có nước). Mỗi giờ máy thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ 3 bơm được lần lượt là 6m 3,
10m3, 5m3. Thời gian bơm đầy bể của máy thứ hai ít hơn máy thứ nhất là 2h, Tính thời gian

của từng máy để bơm đầy bể.
Bài 15. Ba máy bơm cùng bơm nước vào 1 bể có dung tích 355, Biết thời gian để bơm được
1 nước của ba máy tương ứng là: 3 phút, 5 phút,7 phút. Hỏi mỗi máy bơm bơm được bao
nhiêu thì đầy bể?
Bài 16. Tìm ba phân số tối giản biết rằng tổng của chúng , Tử số của chúng tỉ lệ thuận với
5:7:11 và mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với
Bài 17 Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương
ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm.
Trang 17


Bài 18. Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau theo 2 : 3 : 4. Hỏi các chiều cao
tương ứng của tam giác đó tỉ lệ với nhau theo tỉ số nào?
Bài 19. Ba đoàn ô tô vận tải hàng hóa đến ba địa điểm cách kho lần lượt là 10km, 15km,
18km. Khối lượng hàng hóa mỗi đồn phải chở tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển. Biết
đoàn thứ nhất phải chở nhiều hơn khối lượng hàng hóa của đồn thứ ba là 8 tấn. Hỏi mỗi
đồn phải chở bao nhiêu tấn hàng hóa?
Bài 20. Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh
máy 1 trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi
mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ
đầu đến khi đánh máy xong.
Bài 21. Ba tổ công nhân phải sản xuất cùng một số sản phẩm như nhau. Thời gian ba tổ hoàn
thành kế hoạch theo thứ tự là 7 ngày, 5 ngày, 6 ngày. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân biết
tổng số công nhân của cả ba tổ là 214 công nhân? (biết năng suất lao động của các công nhân
là như nhau)
Bài 22: Viết công thức biểu thị sự phụ thuộc giữa các đại lượng sau và cho biết tương quan
giữa chúng:
a) Một số hữu tỉ khác 0 và số nghịch đảo của nó
b) Số đo cạnh đáy và số đo chiều cao tương ứng của các tam giác có cùng diện tích.
c) Diện tích đáy S và chiều cao h của hai bể nước hình hộp chữ nhật biết chúng có cùng thể

tích
Bài 23: Cho và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi nhận giá trị và thì các giá trị tương ứng ,
có hiệu bằng 13. Viết công thức liên hệ giữa và .
Bài 24: Cho và là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ dương. Biết rằng tích hai giá trị
nào đó của là 2 và hiệu bình phương của hai giá trị đó của là 3; cịn hiệu bình phương hai
giá trị tương ứng của là . Viết công thức liên hệ giữa và .
Bài 25: Gọi là số trang sách đã đọc xong và là số trang sách còn lại chưa đọc của một quyển sách.
Hỏi và có là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng?
Bài 26: Cà phê hạ giá. Với số tiền trước đây mua được kg cà phê thì nay mua được bao nhiêu
ki – lô – gam cà phê hạ giá?
Bài 27: Để truyền một chuyển động, người ta có thể dùng dây cu – roa (courroie), dùng xích
hoặc dùng bánh xe có răng. Ta xét một bộ máy truyền chuyển động có hai bánh xe răng được
khớp vào nhau dưới đây:
a) Nếu bánh xe thứ nhất có 65 răng và quay 36 vịng/phút thì bánh xe thứ hai có 45 răng sẽ
quay được bao nhiêu vòng/phút?
b) Muốn bánh xe thứ hai quay 78 vịng/phút thì bánh xe thứ hai cần thiết có bao nhiêu răng?
Bài 28: Đi bộ từ nhà A đến xưởng B anh Tồn cần 50 phút, cịn đi xe đạp chỉ cần 0,3 giờ.
Tính quãng đường từ nhà A đến xưởng B, biết vận tốc xe đạp lớn hơn vận tốc đi bộ là 8 km/h.

Trang 18


Bài 29: Khoảng cách giữa hai ga A và B bằng 48km. Cùng lúc có hai đồn tàu từ A và B đi
theo một hướng thì sau 1 thời gian tàu A đuổi kịp tàu B. Nếu hai đoàn tàu đi ngược chiều
nhau thì thời gian giặp nhau chỉ bằng thời gian đuổi kịp. Hỏi hai đoàn tàu giặp nhau tại đâu
trên quãng đường AB ?
Bài 30 : Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu, đơn vị thứ nhất có 8 xe
và cách cầu 1,5km, đơn vị thứ hai có 6 xe và cách cầu 3km, đơn vị thứ 3 có 4 xe và cách cầu
1km, Hỏi mỗi đơn vị phải trả bao nhiều tiền cho việc xây cầu biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận
với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ các đơn vị tới cầu.

Bài 31 : Ba máy xay xay được 359 tấn thóc, số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3: 4: 5. Số
giờ làm việc của các máy tỉ lệ với 6: 7: 8 công suất các máy tỉ lệ nghịch với 5: 4: 3. Hỏi mỗi
máy xay được bao nhiêu tấn thóc ?
Bài 32 : Ba máy xay được 230 tạ thóc, số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3: 4: 5, năng
suất trong 1 ngày của các máy tỉ lệ với 5: 4: 3, Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu ta thóc ?
Bài 33 : Ba máy xay gạo xay được 585 tấn gạo, số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3: 4:
5, số giờ làm việc của các máy tỉ lệ với 5: 6: 7, cịn cơng suất của các máy tỉ lệ nghịch với 4:
3: 2, Vậy máy xay với công suất lớn nhất đã xay được bao nhiêu tấn gạo ?
Bài 34: Ba máy cày cày được 35,9 ha, số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3: 4: 5, số giờ
làm việc hàng ngay của các máy tỉ lệ với 6: 7: 8, còn năng suất làm việc của các máy tỉ lệ với
5: 4: 3, hỏi mỗi máy cày được bao nhiêu ha ?
Bài 35: Trên một công trường xây dựng, do cải tiến kỹ thuật nên năng suất lao động của công
nhân tăng 25%. Hỏi nếu số cơng nhân khơng thay đổi thì thời gian làm xong việc giảm bao
nhiêu %?
Bài 36 : Tìm 3 số tự nhiên biết rằng bội chung nhỏ nhất của chúng là 1680 và ba số này tỉ lệ
nghịch với 15;10;6.
Bài 37: Một xe ôt ô khởi hành từ A, với vận tốc 60km/h thì sẽ tới B lúc 11 giờ. Sau khi chạy
được nửa đường thì vì đường hẹp và xấu nên vận tốc ô tô giảm xuống cịn 40km/h, do đó đến
11 giờ xe vẫn cịn cách B là 40km. Tính độ dài quãng đường AB ?
Bài 38: Hai đội công nhân, mỗi đội sửa một đoạn đường khác nhau. Quãng đường đội I phải
sửa bằng quãng đường mà đội II phải sửa. Số công nhân đội I bằng số công nhân đội II. Biết
hai đội sửa xong cả hai quãng đường mất tổng cộng 16 giờ. Hỏi thời gian mỗi đội hồn thành
cơng việc của mình ?
Bài 39: Một công nhân theo kế hoạch phải làm xong 100 dụng cụ. Nhờ cải tiến kĩ thuật, đáng
lẽ làm xong một dụng cụ phải mất 10 phút thì người ấy chỉ làm trong 4 phút. Hỏi với thời
gian trước đây đã quy định thì người ấy sẽ làm được bao nhiêu dụng cụ ? Như vậy vượt mức
được bao nhiêu phần trăm ?
Bài 40: Một đơn vị sửa chữa quãng đường AB, lúc đầu đặt kế hoạch giao cho ba đội I, II, III,
mỗi đội làm một đoạn đường có chiều dài tỉ lệ với 7 ; 8 ; 10. Nhưng về sau do thiết bị máy
móc và nhân lực của các đội thay đổi nên kê hoạch đã được điều chỉnh, mỗi đội làm một

đoạn đường có chiều dài tỉ lệ 5 ; 7 ; 8. Như vây, đội II phải làm hơn so với kế hoạch ban đầu
là 0,3km đường. Tính chiều dài quãng đường AB và đoạn đường mà mỗi đội phải làm theo kế
hoạch mới ?
Trang 19


Bài 41 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau
khi đi được nửa quãng đường AB thì ơ tơ tăng vận tốc lên thành 50km/h trên qng dường
cịn lại. Do đó, ơ tơ đến B sớm hơn quy định là 10 phút. Tính quãng đường AB ?
Bài 42: Một xe tải chạy từ thành phố A đến hải cảng B gồm ba chặng đường dài bằng nhau,
nhưng chất lượng mặt đường xấu tốt khác nhau nên vận tốc trên mỗi chặng lần lượt bằng 40;
24 và 60 (km/h). Biết tổng thời gian đi từ A đến B là 5 giờ, tính độ dài quãng đường AB?
Bài 43: Hai thanh kim loại sắt và thép có cùng khối lượng. Biết khối lượng riêng của sắt là
7,8g/cm3; khối lượng riêng của thép là 8,1 g/cm 3. Biết thanh sắt có thể tích 0,702m 3. Tính thể
tích thanh thép?
ĐS7.CHUN ĐỀ 3 - ĐA THỨC, NGHIỆM CỦA ĐA THỨC, TÌM HỆ SỐ VÀ XÁC
ĐỊNH ĐA THỨC
PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT.
Định lý Bơ - zu và ứng dụng
1) Định lý Bơ-zu:
Phần dư của phép chia đa thức cho nhị thức bậc nhất bằng giá trị của đa thức tại
điểm tức là : f ( x) ( x  a )q ( x)  f (a )
Chứng minh:
Gọi phần dư của phép chia đa thức cho nhị thức bậc nhất là . Do bậc của đa thức dư nhỏ
hơn bậc của đa thức chia nên là một hằng số và ta có:
Thay ta được:
 (đpcm).
2) Hệ quả:
Nếu là nghiệm của thì .
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.

Dạng 1. Ứng dụng định lí Bơ-zu
I.Phương pháp giải.
Phần dư của phép chia đa thức cho nhị thức bậc nhất bằng giá trị của đa thức tại điểm
tức là : f ( x) ( x  a )q ( x)  f (a )
II.Bài tốn.
Bài 1. Tìm , để đa thức chia cho dư và chia cho dư .
Bài 2. Đa thức khi chia cho dư , khi chia cho dư . Tìm số dư khi chia cho
Bài 3.

Cho đa thức
Hãy xác định hệ số , của đa thức biết chia hết cho đa thức

Nhận xét: Qua 3 bài tốn ta có thể rút ra nhận xét: khi sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải
quyết nhanh việc tìm hệ số của đa thức cần tìm. Thơng thường, nhờ định lý Bơ-zu đưa việc
Trang 20


tìm hệ số của đa thức về việc giải hệ phương trình 2, 3 ẩn. Đối với hệ phương trình 3 ẩn trở
lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ bằng phương pháp Gau-xơ.
Dạng 2. Phương pháp hệ số bất định
I.Phương pháp giải.
Theo định nghĩa hai đa thức và bằng nhau nếu chúng nhận giá trị bằng nhau tại mọi giá
trị của biến . Rõ ràng nếu và có cùng bậc và với mỗi các hệ số của tương ứng bằng nhau thì
bằng . Người ta đã chứng minh điều ngược lại cũng đúng.
Cụ thể:

với
Sau đây là một số bài tốn xác định một đa thức có sử dụng định nghĩa hai đa thức bằng
nhau còn được gọi là phương pháp dùng hệ số bất định.
II.Bài toán.

Bài 1. Xác định , để đa thức là luỹ thừa bậc của một đa thức khác.
Bài 2. Tìm các số để
Bài 3. Cho đa thức
Dạng 3. Phương pháp nội suy Niu-tơn
I.Phương pháp giải.
Để tìm đa thức

bậc khơng q n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm

C1 , C 2 , C 3 , , C n 1 ta có thể biểu diễn dưới dạng:
P( x) b0  b1 ( x  C1 )  b2 ( x  C1 )( x  C 2 )    bn ( x  C1 )( x  C 2 )  ( x  C n )

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng cỏc giỏ trị C1 , C 2 , C 3 ,, C n1 vào biểu thức P(x) ta
lần lượt tính được các hệ số b0 , b1 , b2 , , bn .
II.Bài tốn.
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai biết:
Bài 2: Tìm đa thức bậc , biết:

P (0) 25, P (1) 7, P (2)  9 .

P (0) 10, P(1) 12, P( 2) 4, P (3) 1

Bài 3: Tìm đa thức bậc ba , biết khi chia cho

( x  1), ( x  2), ( x  3)

đều được dư bằng và .

Bài 4: Cho đa thức bậc thoả mãn
Bài 5. Xác định đa thức bậc , thoả mãn

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Trang 21


I. Phương pháp giải
1. BTĐS là biểu thức trong đó chứa các số hoặc các chữ và các phép toán giữa các số ,các
chữ đó.
2. Những chữ trong BTĐS có thể là hằng số ( thường dùng các chữ a, b, c,...) có thể là biến số
( thường dùng các chữ x, y, z...).
3. Biểu thức không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên. Nếu biểu thức có chứa biến ở
mẫu gọi là biểu thức phân .
4. Muốn tìm giá trị của BTĐS khi biết giá trị của các biến trong biểu thức đã cho ta thực hiện
các bước sau :
-

Thu gọn biểu thức đã cho ( nếu được )

-

Thay giá trị các biến bằng các số đã cho ; Rồi thực hiện các phép tính .

-

Trả lời .

5. Nâng cao:
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ : ;
Qui ước đọc và viết một BTĐS có nhiều phép tính: Phép tính nào làm sau cùng thì đọc
trước tiên ; Phép tính nào lam trước thì đọc sau.

- Xác định giá trị của biến để biểu thức có nghĩa ( ĐKXĐ ):
PTĐS có nghĩa <=> Mẫu thức B 0
- Ta có :

hoặc B = 0

II. Bài tốn
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau :
A.

tại

b. B = x
c.

với

d.

Biết

e.

tại:

* Biết và

f. tại
g.

tại

h. tại
i.

tại

k.

() tại

l. tại
m. tại .
Bài 2: Cho biết . Tính giá trị:
Bài 3: Cho: . Tính giá trị của biểu thức
Bài 4: Tìm x thuộc Z sao cho các biểu thức sau có giá trị nguyên :
A.

(x

b.

()c.

Bài 5: Cho biểu thức . Hãy tìm giá trị ngyên của x để:
Trang 22


A. A có giá trị nguyên ?
b. A có giá trị nhỏ nhất ?

Bài 6: Hãy tìm GTLN của các biểu thức sau :
A.

b.

d.

c.
e.

f.

Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức sau :
A.

b.

c.

d.

Bài 8: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn .
Tính giá trị của biểu thức: .
Bài 9: Cho các số thực dương a và b thỏa mãn:
Hãy tính giá trị của biểu thức:

ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 3- DẠNG 3-NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT.
1. Nghiêm của đa thưc một biến
Nếu tại x=a , đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a ( hoặc x=a) là nghiệm của đa thức

2.Các chú ý
*) Một đa thức ( khác đa thức 0 ) có thể có 1 nghiệm , 2 nghiệm , … hoặc khơng có nghiệm
nào ( gọi là vơ nghiệm ).
*) Một đa thức khác ( khác đa thức 0 ) có số nghiệm khơng vượt q bậc của nó
*) Đa thức khơng (khơng có bậc) thì có vơ số nghiệm.
*) Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức nhận 1 là nghiệm.
*) Nếu đa thức có tổng các hệ số của lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc
lẻ thì đa thức nhận -1 là nghiệm.
*) Nếu đề bài yêu cầu : Tìm nghiệm của đa thức P, chúng ta đi thực hiện P = 0
*) Để tìm nghiệm của đa thức P, ta biến đổi đa thức P dưới dạng tích của các đa thức có bậc
thấp hơn.
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tìm nghiệm của đa thức
I.Phương pháp giải.
Tìm nghiệm của đa thức P, chúng ta đi thực hiện P = 0
II.Bài tốn.
Bài 1. Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 5x-10.
Trang 23


Bài 2.

Tìm nghiệm của đa thức : .

Bài 3. Cho f(x) = 9 – x5 + 4 x - 2 x3 + x2 – 7 x4;
g(x) = x5 – 9 + 2 x2 + 7 x4 + 2 x3 - 3 x.
a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x) .
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
Bài 4. Tìm nghiệm của đa thức

Cho đa thức : thỏa mãn f(-1) = 2 và f(1)= 12
Bài 5.
Tìm nghiệm của đa thức f(x)
Dạng 2. Chứng minh đa thức khơng có nghiệm
I.Phương pháp giải.
Để chứng minh đa thức P khơng có nghiệm, ta chứng minh P < 0 hoặc P > 0 với mọi giá trị
của biến.
II.Bài toán.
Bài 1. Chứng tỏ rằng đa thức sau khơng có nghiệm :
Bài 2. Chứng tỏ đa thức khơng có nghiệm
Bài 3. Chứng tỏ rằng đa thức khơng có nghiệm trên tập số thực
Dạng 3. Chứng minh đa thứcthỏa mãn điều kiện cho trước có nghiệm
I.Phương pháp giải.
Dựa vào bài tốn, tìm được
II.Bài tốn.
Bài 1. Chứng minh đa thức thỏa mãn điều kiện có ít nhất hai nghiệm.
Dạng 4: Tìm đa thức biết các nghiệm của nó
I.Phương pháp giải.
Lần lượt thay các nghiệm vào đa thức ta có các biểu thức liên hệ giữa các hệ số với nhau, từ
đó biến đổi để tìm các hệ số của đa thức
II.Bài toán.
Bài 1.Cho đa thức . Xác định hệ số biết đa thức nhận và làm nghiệm.
Bài 2. Cho đa thức . Chứng minh rằng nếu nhận 1 và 1 là nghiệm thì a và c là hai số đối
nhau.
Bài 3. Cho hai đa thức: và . Xác định hệ số của đa thức biết nghiệm của đa thức cũng là
nghiệm của đa thức .

Dạng 4: Xác định đa thức dư trong một số phép tính.
I.Phương pháp giải.
Trang 24

- Dùng định lí Bơdu.
- Phương pháp hệ số bất định.
- Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia.
II.Bài tốn.
Bài 1: Tìm số dư của phép chia da thức cho
Bài 2: Đa thức khi chia cho dư , chia cho dư
Tìm phần dư khi chia cho
Bài 3: Đa thức khi chia cho dư , chia cho dư
Tìm phần dư khi chia cho
Bài 4: Tìm đa thức dư của phép chia cho
Bài 5: Tìm đa thức dư của phép chia cho
Bài 6: Biết chia cho thì dư ; chia cho thì dư ; chia cho được thương là và cịn dư. Tìm
ĐS7.CHUN ĐỀ 3- DẠNG 5-TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN
PHẦN I.KIẾN THỨC VẬN DỤNG.
- Dấu hiệu chia hết cho
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương.
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích .
- ƯCLN, BCNN của các số .
PHẦN II.BÀI TẬP VẬN DỤNG.
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) Tìm các số nguyên x,y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm các số nguyên x,y sao cho:
c) Tìm các số nguyên x,y sao cho: xy + 3x - y = 6
d) Tìm các số nguyên x,y sao cho : x2-2y2=1
Bài 2: Đa thức khi chia cho dư , chia cho dư
Tìm phần dư khi chia cho
Bài 3: Đa thức khi chia cho dư , chia cho dư
Tìm phần dư khi chia cho

Bài 4: Tìm đa thức dư của phép chia cho
Bài 5: Tìm đa thức dư của phép chia cho
Bài 6: Biết chia cho thì dư ; chia cho thì dư ; chia cho được thương là và cịn dư. Tìm
ĐS7.CHUN ĐỀ 3- DẠNG 5-TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN
Trang 25