(SKKN 2022) Biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học phần rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC
PHẦN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ
CÁC DẠNG TOÁN PHỤ CHO HỌC SINH LỚP 9
TRƯỜNG THCS THỌ SƠN

Người thực hiện: Hoàng Văn Tuấn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thọ Sơn, huyện Triệu Sơn
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA NĂM 2022

0


MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu ………………………………………………………………….

1

1.1. Lý do chọn đề tài ………………………………………………………

1

1.2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………………..

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………….

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ………………………………………

2

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm ……………………………...

2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …………

2

2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ………………………..

4

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ……………………………………… 15
3. Kết luận, kiến nghị ……………………………………………………... 16

3.1. Kết luận ………………………………………………………………... 16
3.2. Kiến nghị ………………………………………………………………

17


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Mơn Tốn là mơn học có vị trí quan trọng đặc biệt trong chương trình của
cấp THCS nhằm hình thành những con người có học vấn THCS, chuẩn bị cho
các em tiếp tục học ở bậc cao hơn. Ngoài việc cung cấp kiến thức như các mơn
học khác, mơn Tốn cịn là nền tảng, là tiền đề cho các môn học tự nhiên khác;
nó địi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, học tốt mơn Tốn sẽ giúp học sinh
học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Một trong những trọng tâm của chương trình tốn lớp 9 là dạng tốn rút
gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng tốn phụ. Nó được dùng để kiểm tra
đánh giá học sinh trong việc lĩnh hội kiến thức mơn Tốn nói chung, thi học sinh
giỏi, kiểm tra học kỳ, thi vào lớp 10 THPT,… Vì vậy, giúp học sinh học tốt phần
này là một yêu cầu bắt buộc đối với giáo viên giảng dạy Tốn 9.
Nhiều năm được phân cơng dạy mơn Tốn lớp 9, qua q trình trình kiểm
tra đánh giá sự tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh để giải các bài toán
rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng tốn phụ, tơi thấy học sinh vận
dụng kiến thức toán học, các bước giải để giải bài tốn cịn hạn chế và thiếu sót.
Vì đây là một kiến thức tương đối khó, mặt khác khả năng tư duy của các em
còn hạn chế, nên các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề tốn, suy luận tìm
hướng giải bài tốn. Do đó kết quả học tập của các em với dạng toán này chưa
cao.
Từ thực tế đó, giáo viên cần hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải quyết
vấn đề cho từng dạng tốn, để các em khơng những nắm vững được lý thuyết mà
còn biết vận dụng thực hành trong việc giải toán, tạo hứng thú cho học sinh khi

học, giúp các em có thêm động lực nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Với những lý do như trên, năm học 2021-2022 được phân cơng dạy mơn
Tốn 9, tơi quyết định lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Biện pháp nâng
cao hiệu quả dạy học phần rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng
toán phụ cho học sinh lớp 9 trường THCS Thọ Sơn”, là một đề tài mà tôi đã
và đang nghiên cứu, thực hiện từ nhiều năm nay.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là giúp cho các em học sinh nắm vững phương pháp
giải bài tập rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ. Đồng thời
giúp người giáo viên dạy Tốn bậc THCS nói chung và những giáo viên đang
trực tiếp giảng dạy bộ mơn Tốn lớp 9 nói riêng đạt được hiệu quả trong cơng
tác giảng dạy, để học sinh u mơn học hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục, đáp ứng nhu cầu của xã hội và những mục tiêu của giáo dục trong giai đoạn
hiện nay.
Ngồi ra, đề tài cịn giúp học sinh phát triển tư duy, tính độc lập, khả năng
sáng tạo và tính linh hoạt trong q trình giải tốn. Từ việc tự mình giải quyết
được các bài tốn là trọng tâm kiến thức sẽ giúp các em có hứng thú trong học
tập, có thêm động lực học tập và phát huy được năng lực sáng tạo của các em.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là học sinh lớp 9B trường THCS Thọ
Sơn và dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ.
1


1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan, phân loại dạng tốn, tích lũy kinh
nghiệm và tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với học sinh lớp 9 Trường
THCS Thọ Sơn.
- Thu thập số liệu thống kê chất lượng mơn tốn của học sinh lớp 8 và lớp
9 năm qua.

- Tìm hiểu các mặt hạn chế của học sinh lớp 9 năm qua đối với dạng toán
rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ.
- Thực hiện đề tài.
- Kiểm tra, so sánh kết quả.
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Toán học là một mơn học thuộc nhóm khoa học tự nhiên. Đây là mơn
học có vai trị rất quan trọng, giúp phát triển tư duy của con người. Đồng thời
môn Tốn cịn thể hiện rõ mối liên hệ với rất nhiều môn học khác trong các nhà
trường phổ thông. Học tốt mơn Tốn là cơ sở để học tốt các mơn học khác và
ngược lại. Điều đó đặt ra u cầu tăng cường tính thực hành, gắn học với hành,
gắn kiến thức với vận dụng giải bài tập ở nhiều dạng, nhiều khía cạnh phong
phú. Từ đó, học sinh thấy được sự thú vị của mơn Tốn và hứng thú học mơn
Tốn, khơi gợi lịng u thích đối với mơn học, đồng thời đem đến cho các em
cái nhìn mới, tư duy mới về mơn Tốn là rất cần thiết.
Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ là một trong
những trọng tâm kiến thức của chương trình Tốn lớp 9. Học tốt phần này khơng
chỉ giúp các em lĩnh hội được một mảng kiến thức quan trọng mà còn giúp các
em gặt hái được thành công trong việc chiếm lĩnh các tri thức khác của toán học,
phát triển hơn nữa tư duy toán học, đạt được kết quả cao trong các kỳ thi.
Tuy nhiên các em chưa quen với việc biến đổi các biểu thức chứa căn, đặc
biệt là các căn thức chứa biến. Vì vậy nhiều em có tâm lý ngại khi học phần
phần này. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc
giải toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ, giáo viên cần
phải hướng dẫn học sinh cách nhận biết từng dạng và cơ sở để giải dạng tốn đó
một cách kỹ càng. Đồng thời cần tạo động lực cho các em, giúp các em thấy
thoải mái và hứng thú khi học Toán.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thuận lợi
Nhà trường luôn nhận được sự quan tâm của các cấp lãnh đạo xã, các ban

ngành đoàn thể và nhân dân địa phương, đặc biệt là sự quan tâm chỉ đạo về
chuyên môn của Phòng Giáo dục và Đào tạo Triệu Sơn.
Ban giám hiệu nhà trường ln quan tâm, khích lệ, tạo mọi điều kiện
thuận lợi để giáo viên hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao. Đặc biệt là nhà trường
đã dành môn học Tự chọn lớp 9 cho mơn Tốn để giúp các em học tập bộ môn
này tốt hơn.
2


Trường có đội ngũ giáo viên Tốn đều đạt chuẩn THCS, có kinh nghiệm
và phương pháp giảng dạy tốt, nhiệt tình trong cơng việc.
Đa số các em có học lực trung bình trở lên đều thích học mơn Tốn.
Ở lớp 8 các em đã được học một dạng toán tương đồng là rút gọn biểu
thức hữu tỉ và các dạng tốn phụ. Do đó học sinh đã có một nền tảng nhất định
cho phần này.
2.2.2. Khó khăn
Trường THCS Thọ Sơn là một trường thuộc xã miền núi của huyện Triệu
Sơn. Đa số học sinh là con em của hai dân tộc ít người sinh sống trên địa bàn xã
là người Thái và người Mường, cùng con em của các gia đình người kinh nghèo
trên địa bàn huyện Triệu Sơn lên làm kinh tế mới theo chính sách của Đảng và
Nhà nước. Học sinh ít có thời gian học ở nhà vì phải phụ giúp gia đình kiếm
sống. Nhiều phụ huynh chưa quan tâm đến việc học của con cái. Đặc biệt, một
bộ phận không nhỏ học sinh thuộc hai dân tộc ít người phải học bằng ngơn ngữ
của người kinh, phải nghe, hiểu và trình bày bằng ngơn ngữ chung cũng là một
khó khăn cho các em trong q trình học, nhất là với bộ mơn Tốn vì mức độ tư
duy cao.
Mặt khác, đây là một dạng toán mới, kỹ năng phân tích, tổng hợp của học
sinh cịn yếu nên đa số các em chưa thể tự mình giải được bài toán. Các em cũng
chưa quen với việc biến đổi các biểu thức có biến chứa căn, chẳng hạn như phân
tích x - 4 thành nhân tử vì ở lớp 8 các em chỉ thực hiện trên các biểu thức hữu tỉ.

Khi đọc bài tốn nhiều em khơng biết phải giải như thế nào, làm thế nào
để tìm được điều kiện xác định của biểu thức, cách phân tích các mẫu thức thành
nhân tử, quy đồng và thực hiện phép toán, rút gọn biểu thức. Đối với các dạng
toán phụ, khả năng tư duy và ngơn ngữ tốn học của các em cịn yếu nên nhiều
em khơng biết chuyển từ đề toán thành biểu thức thuần túy toán học cũng như
kỹ năng lý luận chặt chẽ còn hạn chế nên khi trình bày lời giải cịn thiếu sót.
Các em khá giỏi có thể giải được các bài tốn rút gọn và một số bài tốn
phụ đơn giản nhưng đơi khi vẫn còn nhầm dấu, cách giải còn dài dòng hoặc
thiếu bước.
Đây là những khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải. Vì vậy giáo
viên cần dành nhiều thời lượng của chương trình mơn Tự chọn Tốn cho phần
này, phân tích và hướng dẫn học sinh kỹ càng cách giải từng dạng toán.
Thực trạng kết quả khảo sát đầu năm học của lớp 9B:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Tổng số
Lớp
HS
SL % SL % SL % SL % SL
%
9B
28
1
3,6
4
14, 12 42,
8

28,
3
10,
3
8
6
7
Từ kết quả này, là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn lớp 9 trong
nhiều năm, tơi đã cố gắng tìm hiểu ngun nhân, nghiên cứu, tìm ra các biện
pháp nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn 9 khi được nhà trường phân cơng

3


giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, chất lượng của nhà
trường nói riêng.
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Xuất phát từ thực trạng trên, tôi thấy để nâng cao hiệu quả giảng dạy phần
rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ, giáo viên cần phải đổi
mới phương pháp dạy học, sáng tạo và sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy
và học. Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học, giáo viên là người
hướng dẫn để học sinh lĩnh hội tri thức. Vì vậy giáo viên có vai trị và vị trí quan
trọng trong dạy học. Trong q trình dạy Tốn, khơng nên quan niệm những
phương pháp, biện pháp dạy học truyền thống đều lạc hậu, đáng loại bỏ mà chỉ
những cái xuất hiện ở thời điểm hiện tại là tiến bộ, là khoa học.
Khi dạy Toán cần kết hợp giữa phương pháp dạy học truyền thống với
phương pháp mới. Bởi muốn hình thành nên kỹ năng giải một dạng tốn cho học
sinh khơng thể thiếu bài giải mẫu và hướng dẫn cụ thể của giáo viên. Để giờ dạy
học phần rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ đạt hiệu quả
cao, người giáo viên cần phải:

2.3.1. Tạo tâm lý thoải mái, hứng thú và động lực cho học sinh
Tâm lý thoải mái, có hứng thú và động lực khi học là thành tố quan trọng
để học sinh lĩnh hội và vận dụng được kiến thức vào giải bài tập. Do đó, đây là
một việc làm thường xuyên của giáo viên tác động đến học sinh trong mọi
chuyên đề, mọi giờ dạy.
Khi bắt đầu vào chuyên đề rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng
toán phụ cũng như trong những thời điểm thích hợp, giáo viên tạo động lực cho
học sinh bằng cách giới thiệu đây là một trong những kiến thức trọng tâm của
chương trình, từ việc thi học sinh giỏi, kiểm tra giữa kỳ, cuối kỳ, thi vào lớp 10
THPT… ta đều thấy dạng tốn này xuất hiện. Do đó giáo viên cần động viên các
em cố gắng tập trung tiếp thu và vận dụng kiến thức vào giải bài tập nhằm nâng
cao chất lượng học tập.
Ở mỗi dạng toán, giáo viên cũng cần đi từ những ví dụ, bài tập dễ rồi khó
dần để học sinh dễ tiếp thu và vận dụng, tạo tâm lý thoải mái cho học sinh.
Để khích lệ tinh thần, tạo tâm lý hứng khởi cho học sinh khi học thì điểm
số là một phần khơng thể thiếu. Tùy theo mức độ khó của bài, mức độ đầy đủ
của lời giải, đánh giá sự tiến bộ của học sinh, giáo vên cần cho điểm phù hợp và
không quên lời động viên khích lệ để học sinh cố gắng hơn.
Chia nhóm học sinh học tập, trong mỗi nhóm đều có đủ ba loại đối tượng
học sinh để các em học tốt giúp đỡ các em học yếu, tạo khơng khí thi đua sơi nổi
giữa các nhóm với nhau.
Khi cho học sinh vận dụng làm bài tập, giáo viên để học sinh khá giỏi tự
giải quyết vấn đề nhằm phát triển khả năng tư duy và tính độc lập cho các em.
Đồng thời chú ý quan sát và giúp đỡ học sinh chậm tiến. Với đối tượng học sinh
này, giáo viên nên chỉ bảo ân cần, nhẹ nhàng, tạo cho các em niềm tin, sự hứng
khởi và lòng quyết tâm thay đổi bản thân để tiến bộ hơn. Cần giao nhiệm vụ
những bài dễ cho học sinh yếu kém làm bài, tránh ỷ lại. Ở những thời điểm thích
4

hợp, giáo viên cũng có thể dùng biện pháp "khích tướng" để học sinh có thêm ý
chí vươn lên.
2.3.2. Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các dạng toán
Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em làm bài tập, giáo viên
phải phân ra từng dạng toán, giới thiệu đường lối chung để giải cho từng dạng
toán, các kiến thức có liên quan trong từng dạng bài.
Ở lớp 9 sau bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, các em thường
gặp các dạng toán dạng toán phụ như:
1- Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước của biến;
2- Tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị cho trước;
3- Tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị lớn hơn (hoặc nhỏ hơn…)
một số cho trước.
4- Tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị là số nguyên;
5- So sánh giá trị của biểu thức với một số cho trước;
6- Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức…
Ở mỗi ví dụ, giáo viên định hướng cách làm, hướng dẫn và giải thích cụ
thể từng bước biến đổi để học sinh hiểu rõ và vận dụng. Khi giải bài tập rút gọn,
giáo viên yêu cầu học sinh quan sát kỹ biểu thức, xác định các bước để rút gọn.
Đối với bài toán phụ cần giải theo hướng nào, giải xong phải đối chiếu và kết
hợp giá trị tìm được với điều kiện xác định để trả lời bài toán.
2.3.2.1. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Trước hết, giáo viên cho học sinh nắm vững các bước làm một bài toán
rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:
- Tìm điều kiện xác định (nếu cần):
+ Biểu thức dưới dấu căn không âm;
+ Các mẫu thức khác 0;
+ Tử của phân thức chia khác 0;
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể) rồi rút gọn bộ phận
(nếu được);
- Quy đồng và thực hiện phép tính;

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có thể) rồi rút gọn các thừa số
chung của tử và mẫu;
- Kết luận.
1 
1 
 1

Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A  
1 

x  1 
x
 x 1
Giải: ĐKXĐ: x  0; x  1
1 
1 
 1

Ta có: A  
1 

x  1 
x
 x 1

5


A
A

A

1.






  x  1 .1.
 x  1  x  1
x  1  1.

x 1 x 1



x 1



x 1
x



.

x 1
x

x 1

2 x
x 1



.

x 1

x 1
x

2
x 1
2
Vậy: A 
với x  0; x  1
x 1
Bài tập: Rút gọn các biểu thức sau:
A

1) P 

a
2a  a

a 1 a  a

1 
x 1
 1

2) Q  
:
x 1 x  2 x 1
 x x

x
10 x
5
x2
x 1
x 1




4) B 
x  5 x  25
x 5
x x 1 x  x 1 1 x
Đáp án:
1) ĐKXĐ: a  0; a  1 ; P  a  1
3) A 

Q

x 1
x

3) ĐKXĐ: x  0; x  25 ; A 

x 5
x 5

2) ĐKXĐ: x  0; x  1 ;

x
x  x 1
Đối với học sinh trung bình và yếu, các em thường hay gặp khó khăn
trong bước phân tích mẫu thành nhân tử và tìm mẫu thức chung. Do đó trong
q trình học sinh làm bài tập vận dụng, giáo viên cần lưu ý học sinh:
- Cách quan sát các mẫu thức để đoán nhận kết quả phân tích mẫu thức
thành nhân tử;
- Có những bài cần đổi dấu cả tử và mẫu để tìm mẫu thức chung.
2.3.2.2. Các dạng tốn phụ
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước của biến
- Cách làm: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức rút gọn rồi thực
hiện phép tính.
- Tuy nhiên, kết quả của bài toán rút gọn thường là một biểu thức có chứa
căn thức. Do vậy phải tìm cách viết biểu thức số trong dấu căn dưới dạng bình
4) ĐKXĐ: x  0; x  1 ;

B

6

phương để áp dụng công thức khai phương

a 2  a . Trường hợp đặc biệt khi

biểu thức trong dấu căn có dạng a  b c , ta áp dụng hằng đẳng thức bình
phương của một tổng hoặc hiệu để viết thành một bình phương.
x 1
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức P 
tại:
x
4
a) x  ;
b) x  9  4 5 ;
c) x  5  2 6
9
Giải:
4
a) Thay x  vào biểu thức P ta được:
9
4
5
1
5 3 5
P 9
 9  . 
2
9 2 6
4
3

9
5
4
Vậy: P 
tại x 
6
9
b) Thay x  9  4 5 vào biểu thức P ta được:
P

9  4 5 1
94 5



84 5



2 5





2

84 5
2 5







8  4 5 4 5  2

 4
52
52

Vậy: P  4 tại x  9  4 5
c) Thay x  5  2 6 vào biểu thức P ta được:
P



5  2 6 1
52 6

 42 6 
 3  2 



42 6



3 2

 4
2

3 2
3



2



42 6
3 2



42 6
3 2

3 4 2 6 2 4 3
 2 2
32

Vậy: P  2 2 tại x  5  2 6
Trong dạng toán này, nhiều học sinh thường dừng lại ở bước thu gọn tử và
mẫu mà khơng trục căn thức ở mẫu. Do đó giáo viên lưu ý học sinh, nếu kết quả
dưới mẫu cịn chứa căn thức thì phải trục căn thức ở mẫu.

Bài tập:
x3
1. Tính giá trị của biểu thức: A 
tại:
x
25
a) x  ;
b) x  4  2 3 ;
c) x  8  2 15
4

7


2. Tính giá trị của biểu thức: B 
a) x 

1
;
4

Đáp án:

x2
tại:
x 2

b) x  6  4 2
1. a) A 

13
10

b) A 

5 3
2

c) A  

5 5 3
2

7
b) B  4  2 2
6
Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị cho trước
Hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước:
- Cho biểu thức rút gọn bằng giá trị cho trước;
- Giải phương trình thu được;
- Đối chiếu nghiệm với điều kiện xác định và trả lời.
2. a) B 

Ví dụ: Cho biểu thức P 

x 1
với x  0; x  1 . Tìm x để P  2
x 1

Giải: Ta có :

P2 

2



x 1
2
x 1



x 1  x 1

 2 x  2  x 1
 x 3
 x  9 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy x  9 thì P  2
Bài tập:
1) Cho biểu thức A 

2
x
với x  0; x  4 . Tìm x để A 
3
x 2

2) Cho biểu thức P 

x 5

với x  0; x  1 . Tìm x để P  4
x 1

3) Cho biểu thức Q 

x3
với x  0; x  1 . Tìm x để Q  2
x 1

Đáp án:
1) x  16 ;
2) x  9
3) Khơng tìm được x
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị lớn hơn (hoặc
nhỏ hơn…) một số cho trước
8


Hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước:
- Cho biểu thức rút gọn lớn hơn (hoặc nhỏ hơn…) giá trị cho trước;
- Giải bất phương trình thu được;
- Kết hợp nghiệm với điều kiện xác định và trả lời.
x 2
với x  0; x  1 .
x 1

Ví dụ: Cho biểu thức A 

Tìm các giá trị của x để A 

3
2

Giải: Ta có:
A

x 2 3

x 1 2

3

2

x 2 3
 0
x 1 2




2



 

x  2 3
2





 0

x 1

x 1

 2 x  4  3 x  3  0 (vì 2





x  1  0 với mọi x  ĐKXĐ)

  x  1
 x 1
 x 1
Kết hợp với ĐKXĐ ta được: 0  x  1
3
Vậy với 0  x  1 thì A 
2
A C
A C
Khi giải bất phương trình dạng 
(hoặc  ,…) học sinh có thể
B D

B D
A C
  A.D  B.C điều này chỉ đúng khi B.D  0 . Do đó nếu
gặp sai lầm:
B D
học sinh khơng xét trước điều kiện thì bài làm thường bị sai. Để khắc phục điều
này, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách làm như ví dụ hoặc xét hai trường
hợp: B.D  0 và B.D  0
Bài tập:
1) Cho biểu thức A 

x 3
với x  0; x  1 .
x 1

Tìm các giá trị của x để A 

4
3
9


2) Cho biểu thức P 

x 2
với x  0; x  4 .
x 2

Tìm các giá trị của x để P 

1
3

a 1
với a  0; a  1 .
a 1
Tìm các giá trị của a để Q  2

3) Cho biểu thức Q 

1) 0  x  25 và x  1
2) 0  x  16 và x  4
3) 1  a  9
Dạng 4: Tìm các giá trị nguyên của biến để biểu thức có giá trị là số
ngun
Bài tồn này thơng thường được đưa về dạng tìm ước nguyên bằng cách
b
viết biểu thức rút gọn dưới dạng a 
với a, b  Z và M là mẫu thức của biểu
M
thức đã rút gọn.
Vì a, b là số nguyên nên để biểu thức đã cho có giá trị là số ngun thì M
phải là ước của b. Từ đó ta tìm được các giá trị của biến. Đối chiếu với điều kiện
xác định ta được các giá trị cần tìm.
Đáp án:

x 5
với x  0; x  1 .
x 1

Ví dụ: Cho biểu thức A 

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị là số nguyên.
Giải: Ta có: A 

x 5

x 1





x 1  6
x 1

Vì 1  Z nên để A là số nguyên thì

Vì

1

6
x 1

6
là số nguyên
x 1

x  1  Ư(6) =  1; 2; 3; 6

x  1  1 với mọi x  ĐKXĐ nên suy ra:
x  1   2;3;6
*

x  1  2  x  1  x  1 (loại vì khơng thuộc ĐKXĐ)

*

x  1  3  x  2  x  4 (thỏa mãn ĐKXĐ)

*

x  1  6  x  5  x  25 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy x   4;25 thì A nhận giá trị là số nguyên.
Bài tập: Tìm các giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức sau nhận giá trị là
số nguyên:
10


1) P 

3
với x  0; x  1
x 1

2) A 

x 6

với x  0; x  4
x 2

4) N 

x2
1
với x  0; x 
2 x 1
4

3) M 

x 3
với x  0; x  1
x 1

Đáp án:

1) x   0;4;16

2) x   0;36

3) x   0;9

4) x   1;16

Dạng 5: So sánh giá trị của biểu thức với một số cho trước
Ta xét hiệu của biểu thức rút gọn với số đã cho. Đánh giá và so sánh hiệu
với số 0, từ đó ta so sánh được giá trị của biểu thức với số đã cho.

a 3
với a  0; a  1 . So sánh P với 3.
a 1

Ví dụ: Cho biểu thức P 
Giải: Xét hiệu:

P 3 




a 3
3
a 1
a  3  3.





a 1

a 1
a 33 a 3
a 1
2 a
 0 với mọi a  ĐKXĐ
a 1

Vậy P ≤ 3 với mọi a  ĐKXĐ
Bài tập:
1) Cho biểu thức A 

1
x 1
với x  0; x  4 . So sánh A với .
2
x 2

2) Cho biểu thức P 

x 2
với x  0; x  4 . So sánh P với -2.
x 1

3) Cho biểu thức M 

a3
với a  0; a  1 . So sánh M với 2.
a 1

4) Cho biểu thức N  

a a 7
với a  0; a  4 . So sánh N với -3.
a 2

1
2) P  2

2
3) M  2
4) N  3
Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức
Đáp án:

1) A 

11


Tùy theo kết quả rút gọn của biểu thức ta có thể vận dụng một số phương
pháp sau đây để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất:
- Phương pháp đánh giá;
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức;
- Phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cơ-si…
Ví dụ:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

x 2
với x  0; x  9
x 3

x 2 1
 với x  0; x  4
x
x
x8
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 
với x  0; x  1

x 1
Giải:
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 

1) Ta có: P 
Vì

x 2

x 3





x  3 1
x 3

1

1
x 3

x  0 với mọi x  ĐKXĐ



x 33
1
1


x 3 3

1
1
1
3
x 3
2
P
3
1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy Pmin 
2) Ta có:

x  0  x  0 (thỏa mãn ĐKXĐ)

2
khi x  0
3

Q

x 2 1
2 1
  1

x

x
x x
2

1 2

 1

 2 
 1  2  
1 
x
x

 x 
2

 1

 1  0 với mọi x  ĐKXĐ
Vì 
 x 
2

 1

 1  2
 2
 x 
12

 Q2
1
 1  0  x  1 (thỏa mãn ĐKXĐ)
x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy Qmax  2 khi x  1
3) Ta có: A  x  8 
x 1

x

 x 1



 

x 1 



x 1  9

x 1
9

x 1





x 1 

9
2
x 1

x  0 với mọi x  ĐKXĐ

Vì







9
 0 với mọi x  ĐKXĐ
x 1

x  1  0 và

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có :





9
2
x 1

x 1 





x 1 .

9
2 9 6
x 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
9
x 1 
x 1











2

x 1  9

 x  1  3 (vì

x  1  0 với mọi x  ĐKXĐ)

 x 2
 x  4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
 A624
Vậy Amin  4 khi x  4
Bài tập:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 

x 1
với x  0; x  4
x 2

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B 

a 3
với a  0; a  1
a 1

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 

2 x 2 1
 với x  0; x  4
x
x

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N 

x  21
với x  0; x  4
x 2
13


5) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 
6) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 

a 1
 9 a với a  0; a  1
a
1
với x  0; x  1
x  x 1

1
khi x  0
2) Bmax  3 khi a  0
2
3) M min  1 khi x  1
4) N min  6 khi x  9

1
4
1
5) Pmax  5 khi a 
6) Qmax  khi x 
9
3
4
Sau khi hướng dẫn học sinh từng dạng toán riêng, giáo viên cho học sinh
vận dụng làm bài tập tổng hợp để củng cố và hồn thiện kỹ năng giải các dạng
tốn của chun đề.
x 2
5
1


Bài 1: Cho biểu thức: A 
với x  0; x  4
x 3 x x 6
x 2
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x  6  4 2 .
3. Tìm x để A = 3.
4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị là số nguyên.
x 4
Đáp áp:
1. A 
2. A  1  2
x 2
3. x  1

4. x   0;1;9;16
Đáp án:

1) Amin 

Bài 2: Cho biểu thức:
1   1
2 
 1
Q


: 
 với x  0; x  1
 x 1 x  x   x  1 x 1 
1. Rút gọn biểu thức Q.
2. Tính giá trị của biểu thức Q khi x  7  4 3 .
3. So sánh Q với 1
1
4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  Q 
x
3
5. Tìm x để Q 
2
x 1
Đáp áp:
1. Q 
2. Q  3  3
x
5

3. Q  1
4. Pmax  khi x  4
4
5. 0  x  4 và x  1
Bài 3: Cho biểu thức:

14


1
x2
x 1


với x  0
x 1 x x 1 x  x 1
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x để A  1
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
A

Đáp áp:

1. A 

x
x  x 1

2. x  1

3. Amax  1 khi x  1

 3 x
x
1 
x 3


:

với x  0

x 1 x x 1
 x x 1 x  x 1

Bài 4: Cho biểu thức A = 

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tính giá trị của A tại x  4  2 3 .
2
3. Tìm x để A  .
3
x 9
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
.
A
5. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để C = 4A nhận giá trị là số nguyên.
x
6. Tìm giá trị lớn nhất của D  A 
.

8
x 1
Đáp áp:
1. A 
2. A  2 3  3
x 3
3. x  9
4. Bmin  18 khi x  9
5. x   1;25

6. Dm ax 

3
khi x  1
8

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên ở lớp 9 trường THCS Thọ Sơn
trong Chuyên đề “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ”.
Trên lớp, qua việc hướng dẫn gợi mở ở từng dạng toán và những lưu ý,
hướng dẫn thêm trong quá trình học sinh làm bài tập, tôi thấy các em đã biết
cách làm các dạng tốn của chun đề. Từ đó, kết quả dạy học phần rút gọn biểu
thức chứa căn bậc hai và các dạng tốn phụ nói riêng và mơn Tốn nói chung
được nâng lên rõ rệt, thể hiện cụ thể qua chất lượng học lực mơn Tốn cuối học
kỳ I của lớp như sau:
Kết quả học lực của học sinh đối với đề tài:
Giỏi
Khá
TB

Yếu
Kém
Tổng số
Lớp
HS
SL % SL % SL % SL % SL
%
9B
28
2
7,1
6
21, 14 50,
4
14,
2
7,1
5
0
3
Kết quả học lực mơn Tốn cuối học kỳ I lớp 9:
15


Khá
TB
Yếu
Kém
SL % SL % SL % SL
%

9B
7
25, 15 53,
3
10,
1
3,6
0
6
7
Có được kết quả như trên, bản thân tôi đã nghiên cứu và thực hiện đề tài
từ nhiều năm nay. Trong năm học 2020-2021, tơi được phân cơng giảng dạy
mơn Tốn lớp 9A. Với sự nổ lực của bản thân để thực hiện tốt chuyên đề này và
các phần khác của chương trình, kết quả đạt được cuối năm lớp 9 rất khả quan.
Đó là thi vào lớp 10 THPT năm học 2021-2022, theo số liệu báo cáo của trường
THPT Triệu Sơn 3, trường THCS Thọ Sơn xếp thứ 2 khu vực tuyển sinh của
trường, trong đó điểm bình qn mơn Tốn là 5,99, riêng lớp tôi phụ trách là
6,25, tăng 0,80 và 1,86 điểm bình quân so với hai năm học trước đó (điểm bình
qn mơn tốn thi vào lớp 10 THPT hai năm trước là 5,45 và 4,57).
Như vậy, đối chiếu với kết quả của những năm học trước khi chưa áp
dụng những biện pháp của đề tài này, năm học vừa qua và năm học này bản thân
tôi nhận thấy chất lượng mơn Tốn 9 được nâng lên rõ rệt. Khơng những thế, vị
trí, danh dự, uy tín của bản thân trong đơn vị cũng có nhiều thay đổi. Tôi được
đồng nghiệp đánh giá cao, được Ban giám hiệu nhà trường tin tưởng, phụ huynh
và học sinh tin yêu.
Bằng kinh nghiệm thực tế mà tôi đã áp dụng vào giảng dạy, bản thân tôi
thấy rằng, để đạt được kết quả đó thì người giáo viên phải thật sự có năng lực,
có năng khiếu sư phạm, phải tâm huyết với nghề, phải tận tuỵ, nhiệt tình với học
sinh, phải say mê với mơn mình dạy. Hơn nữa, người giáo viên phải khơng
ngừng nâng cao trình độ, tích luỹ và trau dồi kiến thức, sử dụng phương pháp

dạy học phù hợp. Đặc biệt khi dạy phần rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và
các dạng toán phụ, giáo viên nên sử dụng kết hợp linh hoạt các biện pháp trên để
nâng cao hiệu quả giờ dạy học và phát huy tính sáng tạo của học sinh.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng đề tài này vào việc dạy học, tôi thấy
đây là biện pháp hay và dễ áp dụng đối với học sinh. Để có được kết quả cao khi
thực hiện đề tài này, bản thân tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
- Phải yêu nghề, có tinh thần trách nhiệm, kiên trì và có phương pháp dạy
học linh hoạt, có kiến thức sâu rộng về Toán học.
- Nắm rõ đặc điểm và khả năng của từng đối tượng học sinh trong quá
trình học tập và khả năng của các em trong dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn
bậc hai và các dạng toán phụ.
- Phân loại các dạng toán một cách cụ thể, đường lối chung và phương
pháp tư duy để giải từng dạng tốn, trong đó chú ý các câu hỏi gợi mở nhằm
phát huy tính tự giác, tích cực suy nghĩ của học sinh. Có như vậy thì về sau học
sinh mới có thể độc lập tự tìm ra được phương án giải cho các bài toán.
Lớp

Tổng số
HS
28

Giỏi
SL %
2
7,1

16

- Tổ chức chuyên đề với một thời lượng phù hợp, khơng q ngắn để học
sinh có thể tiếp thu tốt, cũng không quá dài để ảnh hưởng đến việc học các
chuyên đề khác của học sinh.
- Thực hiện tốt vai trò của người giáo viên trong định hướng và hướng
dẫn thường xuyên cho học sinh trong những tình huống cần thiết.
- Biết phối hợp linh hoạt các hình thức luyện tập phù hợp với từng đối
tượng học sinh, tạo động lực và hứng thú học tập.
- Trong mỗi tiết dạy, giáo viên nắm chắc yêu cầu cần đạt của bài học để
xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng rút gọn và làm các bài toán phụ
hợp lý nhằm đạt hiệu quả cao.
- Xây dựng cho học sinh lịng say mê học mơn Tốn; Mỗi học sinh ln
có ý thức tự giác làm bài tập rèn luyện kĩ năng mà giáo viên giao cho và hoàn
thành tốt bài tập; Học sinh thường xuyên đọc các tài liệu tham khảo, các bài viết
trên mạng, các đề thi… để tích luỹ kiến thức; Trên lớp, học sinh tập trung nghe
giảng và có suy nghĩ độc lập, hoạt động tích cực khi giáo viên giao bài tập và
hoàn thành bài tập.
* Khả năng ứng dụng SKKN vào thực tế nhà trường và địa phương:
Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ là một trong
những trọng tâm của chương trình Tốn 9. Bằng những biện pháp hợp lý giúp
học sinh tư duy và hình thành kỹ năng giải các dạng tốn của chun đề, tơi
nhận thấy đề tài “Biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học phần rút gọn biểu thức
chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ cho học sinh lớp 9 trường THCS Thọ
Sơn” có thể được áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh lớp 9 để nâng cao
chất lượng dạy học.
Với mỗi dạng tốn của chun đề, tơi ln xây dựng hệ thống bài tập đầy
đủ cả ba mức độ dễ, trung bình và khó. Do vậy ở mức độ dễ và trung bình, bằng
những bài tốn đơn giản mà học sinh trung bình và yếu cũng có thể làm được,
giúp nâng cao chất lượng đại trà. Còn ở mức độ khó thì có tác dụng rất lớn đối
với sự phát triển tư duy của học sinh khá giỏi nên đề tài cũng có thể dùng để bồi

dưỡng học sinh khá giỏi.
* Khả năng phát triển mở rộng phạm vi nghiên cứu của SKKN:
Trong đề tài mà tôi nghiên cứu và áp dụng, biểu thức dưới dấu căn ở dạng
đơn giản, mẫu thức cũng không quá phức tạp nhằm nâng cao chất lượng đại trà,
đáp ứng yêu cầu trong các bài kiểm tra cũng như thi vào lớp 10 THPT. Khi phát
triển đề tài để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên có thể thay thế các biểu
thức dưới dấu căn bằng các biểu thức chứa biến phức tạp hơn và dùng các mẫu
thức phức tạp để nâng cao khả năng tư duy cho học sinh.
Một số kiến thức ở phần sau của chương trình Tốn 9 có thể được dùng để
giải quyết một số dạng toán của chun đề. Vì vậy, trong phần ơn tập tổng hợp
cuối năm, giáo viên có thể mở rộng chuyên đề bằng một số bài tốn có sử dụng
các kiến thức liên quan đó, chẳng hạn như kiến thức về phương trình bậc hai…

17


Sáng kiến kinh nghiệm “Biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học phần rút
gọn biểu thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ cho học sinh lớp 9 trường
THCS Thọ Sơn” cịn có khả năng phát triển thêm nữa ở các dạng tốn khác,
những khía cạnh khác của cùng một dạng toán, yêu cầu người giáo viên khi
giảng dạy khơng ngừng tìm tịi nghiên cứu, phát triển và sáng tạo những cái có
sẵn và những gì bản thân đúc rút ra để hoàn thiện thêm phương pháp và kỹ năng
giảng dạy.
3.2. Kiến nghị
Để thực hiện tốt đề tài, giúp học sinh giải được các bài toán rút gọn biểu
thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ, cũng như học tập tốt bộ mơn tốn,
tơi xin kiến nghị một số vấn đề như sau:
- Từ kết quả áp dụng đề tài trong thực tế giảng dạy của bản thân đã giúp
học sinh lớp 9 trường THCS Thọ Sơn học tốt phần rút gọn biểu thức chứa căn
bậc hai và các dạng tốn phụ, tơi nhận thấy đề tài này có thể áp dụng với tất cả

các đối tượng học sinh khối 9 trong các nhà trường phổ thông, với tất cả những
người làm công tác giảng dạy mơn Tốn cấp THCS.
- Mỗi giáo viên phải tích cực tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ
chuyên mơn của mình. Giáo viên phải nghiên cứu kỹ các chủ đề Toán học, liệt
kê các dạng toán thường gặp của chủ đề, xây dựng hệ thống bài tập và phương
pháp giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách phù hợp nhất, đồng thời nâng
cao dần mức độ tư duy cho học sinh.
- Giáo viên cần rút kinh nghiệm sau mỗi tiết dạy, ghi lại những vấn đề cần
sửa đổi để bài sau có hệ thống câu hỏi phù hợp với từng đối tượng học sinh.
- Nhà trường cùng với địa phương và hội cha mẹ học sinh thường xuyên
kiểm kê, bổ sung cơ sở vật chất cho nhà trường, mua các trang thiết bị cần thiết,
đặc biệt là các dụng cụ thực hành, đồ dùng cho giáo viên lên lớp, máy chiếu... để
giờ dạy thêm sinh động và hiệu quả.
Trên đây là các biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học phần rút gọn biểu
thức chứa căn bậc hai và các dạng toán phụ cho học sinh lớp 9 Trường THCS
Thọ Sơn. Vì điều kiện thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài của tơi sẽ khơng
tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của BGH nhà trường, của đồng nghiệp và cán bộ phụ trách chuyên môn cấp trên
để đề tài của tơi được hồn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Triệu Sơn, ngày 15 tháng 4 năm 2022
Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

18


Hồng Văn Tuấn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT

Tên sách

Tác giả

Nhà xuất bản

1

Tốn cơ bản và nâng cao 9

Vũ Thế Hựu

NXB Giáo dục

2

Toán nâng cao và các chuyên đề
Đại số 9

Vũ Dương Thụy
Nguyễn Ngọc Đạm

NXB Giáo dục

3

Phương pháp giải các dạng toán 9 Nguyễn Văn Nho

NXB Giáo dục

4

Tuyển chọn 400 bài tập toán 9

PhanVăn Đức
NXB Đại học
Nguyễn Hồng Khanh quốc gia TP.
Hồ Chí Minh
Lê Văn Trường

5

Tuyển tập các bài toán chọn lọc
THCS

Vũ Dương Thụy
Trương Công Thành
Nguyễn Ngọc Đạm

6

Các bài viết trên mạng Internet

NXB giáo dục

19