(SKKN 2022) một số kinh nghiệm hướng dẫn khai thác bài toán so sánh tổng của dãy phân số với một số nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn môn toán 6 trường THCS

1

MỤC LỤC
TT
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.4
3

Nội dung
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận
Thực trạng của vấn đề khi chưa áp dụng SKKN
Các giải pháp đã áp dụng để giải quyết vấn đề
Kiến thức cơ bản về so sánh phân số
Các giải pháp đã thực hiện

Cập nhật các bài tốn có trong đề thi HSG Tốn 6
năm học 2021-2022
Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Trang
2
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
15
16
17

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Qua nhiều năm công tác, giảng dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi
môn Tốn, nội dung mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong các đề thi nói
chung và đề thi học sinh giỏi nói riêng đó chính là các bài tập về phần số học.
Thực tế trong nhiều năm liền trong kỳ thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp tỉnh, rất ít
học sinh giải quyết hết được phần số học. Đối với huyện Như Thanh hầu như chỉ

2

giải quyết được một nửa số lượng về phần này. Vì thế mà ảnh hưởng khơng nhỏ
đến khả năng đạt giải của các em.
Thực tế, thời lượng cho phần số học trong chương trình Tốn THCS là
khơng nhiều, chủ yếu kiến thức cơ bản nằm ở chương trình Tốn 6. Điểm khó là
với đối tượng học sinh lớp 6, việc thay đổi môi trường học tập từ trường Tiểu
học lên THCS, với yêu cầu cao hơn trong tư duy và suy luận. Mặt khác, khả
năng về ngôn ngữ để diễn đạt vấn đề và lập luận có căn cứ đối với các em lớp 6
còn rất hạn chế. Và với chương trình giáo dục phổ thơng mới 2018 hiện nay thì
việc tiếp cận và khai thác các vấn đề số học càng khó khăn hơn. Vì thế, mà đối
với học sinh lớp 6 gặp khơng ít khó khăn trong q trình học tập và giải tốn.
Một thực tế nữa là kiến thức Số học trong chương trình GDPT 2018, mới
chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản ban đầu. Các bài tập trong sách giáo khoa, sách
bài tập và các nguồn tài liệu khác còn hạn chế, thường chú trọng đến việc đưa ra
lời giải cụ thể cho từng bài mà chưa quan tâm đến việc khái quát và phân dạng.
Trong q trình giảng dạy, tơi thấy bài tốn về so sánh dãy phân số là một
dạng toán rất hay và khó đối các em học sinh lớp 6. Vậy, làm thế nào để ngay cả
các em lớp 6 có thể tiếp cận, tìm tịi và giải quyết tốt bài tốn? Và đặc biệt cách
tiếp cận đó làm sao phải phù hợp quá trình nhận thức của học sinh, từ thấp đến
cao, từ đơn giản đến phức tạp.
Từ những lý do đó, tơi mạnh dạn viết sáng kiến “Một số kinh nghiệm
khai thác bài toán so sánh tổng của dãy phân số với một số nhằm nâng cao
chất lượng mũi nhọn mơn tốn 6 trường THCS Thị trấn Bến Sung” để cùng
trao đổi thảo luận và chia sẻ với các đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này góp thêm một số kinh nghiệm nữa trong việc hướng dẫn học
sinh lớp 6 tìm tịi, khai thác bài tốn, đặc biệt trong bài tốn về so sánh dãy phân
số. Từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất của một bài toán và biết cách suy

luận logic. Đồng thời góp phần rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt sáng tạo
trong giải tốn. Đây khơng phải là đề tài mới mẻ và đặc sắc nhưng với sáng kiến
này giúp các em có thể nhìn nhận vấn đề một cách có hệ thống, mạch lạc và tự
tin hơn khi gặp các dạng toán này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán về so sánh tổng của dãy phân số
thuộc phạm vi trong chương trình tốn 6.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế bài toán so sánh.
- Phương pháp thực hành giải toán.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Chúng ta biết rằng, dù là dạng tốn nào thì đều phải u cầu học sinh nắm
vững kiến thức cơ bản. Phân tích cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các


3

đối tượng, giữa cái đã biết với cái chưa biết, cái đang tìm hiểu. Từ đó hướng dẫn
các em vận dụng sáng tạo, linh hoạt vào từng tình huống bài tốn cụ thể.
Việc hướng dẫn học sinh ơn tập từ kiến thức cơ bản để giải quyết các bài
toán từ dễ đến khó, nâng dần mức độ đảm bảo khả năng tiếp thu của học sinh là
hoàn toàn phù hợp với q trình nhận thức.
Trong học tập nói chung và học tốn nói riêng, nếu người học mà tự tìm
tịi, khai thác và hệ thống được kiến thức từ những bài tốn cơ bản thì khơng
những giúp cho người học nhớ, lâu tránh được lối tiếp thu thụ động mà cịn tạo
được thói quen suy nghĩ tích cực, tư duy linh hoạt sáng tạo, góp phần tích cực
hóa hoạt động học tập.

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua việc dạy học các lớp chọn và ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,
bản thân nhận thấy các bài toán về phân số có giá trị ngun ln là nội dung
khó đối với các em học sinh lớp 6, kể cả với các em trong đội tuyển học sinh
giỏi mơn tốn.
Trước khi triển khai đề tài, bản thân đã tiến hành khảo sát kiến thức với
20 học sinh lớp 6D1 trường THCS Thị trấn Bến Sung. Các em là những học sinh
có lực học khá, giỏi mơn Tốn.
Đề kiểm tra khảo sát: (Thời gian: 30 phút)
Bài 1: (8,0 điểm) So sánh
1
1
1
1
+
+
+ ... +
a) A =
với 1
1.2 2.3 3.4
2021.2022
1 1 1
1
b) B = 2 + 2 + 2 + ... +
với 1.
2 3 4
20222
1 1 1 1 1 1 1
3
13

Bài 2. (2,0 điểm) Cho C = + + + + + + . Chứng minh < C <
2 3 4 5 6 7 8
2
6
Kết quả kiểm tra
Tổng
số HS
20

Giỏi

Khá

TB

Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
0
0
14
70

6
30
Từ kết quả trên cho thấy, tuy các em có lực học khá giỏi nhưng kết quả
cịn nhiều hạn chế. Kinh nghiệm làm bài chưa có, khả năng suy luận, lập luận
còn hạn chế. Nhiều em cịn khơng xác định được hướng giải quyết bài tốn. Đặc
biệt, khơng có học sinh nào có phương án làm bài 2.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Kiến thức cơ bản về so sánh phân số
- So sánh phân số cùng mẫu; cùng tử;
- Tính chất bắc cầu;
- Khái niệm làm trội, làm giảm trong so sánh;
- Phương pháp khử trong tính tổng dãy số có quy luật.
2.3.2. Các giải pháp đã thực hiện
Giải pháp 1. Dùng phương pháp khử để tính tổng (thu gọn) rồi so sánh


4

a) Đối với tổng của các phân số có mẫu ở dạng tích
Ví dụ 1. (Bài 1a, phần khảo sát thực trạng)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Cho A =
. So sánh A với 1
1.2 2.3 3.4

2021.2022
* Phân tích và hướng dẫn:
- HS dễ dàng nhận ra đây là một tổng khá quen thuộc, ta có thể dùng phương
pháp khử liên tiếp để tính (thu gọn) rồi so sánh với 1.
* Sơ lược cách giải:
- Ta có:
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
A=
+
+
+ ... +
= 1 − + − + − + ... +
−
1.2 2.3 3.4
2021.2022
2 2 3 3 4
2021 2022
1
=1−
<1
2022
Suy ra: A < 1
* Nhận xét: Ta có thể tổng qt thành bài tốn sau:
1

1
1
1
+
+
+ ... +
n ∈ N , n > 1)
So sánh
1.2 2.3 3.4
( n − 1) n với 1 (
Từ phương pháp như trên, tương tự ta giải quyết ví dụ 2.
Ví dụ 2. So sánh:
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
a) P =
với
3.5 5.7 7.9
97.99
6
1
1
1
1
1

+
+
+ ... +
b) Q =
với
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100
4
* Phân tích và hướng dẫn
- Với 2 biểu thức này, học sinh đã khá quen thuộc. Tư duy bài toán ở đây là ta
chỉ cần dùng phương pháp khử liên tiếp để tính tổng (thu gọn) rồi so sánh.
* Sơ lược cách giải
1
1
1
1
P=
+
+
+ ... +
a) Ta có:
3.5 5.7 7.9
97.99
1 2
2
2
2 
= 
+
+

+ ... +
÷
2  3.5 5.7 7.9
97.99 
11 1 1 1 1 1
1
1 
=  − + − + − + ... +
− ÷
23 5 5 7 7 9
97 99 
11 1  1 1
=  − ÷< .
2  3 99  2 3
1
Suy ra: P <
6
1
1
1
1
Q=
+
+
+ ... +
b) Ta có:
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100

5

1 2
2
2
2

= 
+
+
+ ... +
÷
2  1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100 
1 1
1
1
1
1
1
1
1 
= 
−
+
−
+
−
+ ... +
−

÷
2  1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5
98.99 99.100 
1 1
1  1 1
= 
−
÷< .
2  1.2 99.100  2 2
1
2
* Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta cũng có thể phát biểu thành bài toán tổng quát.
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Chẳng hạn, bài toán: So sánh
với
1.2.3 2.3.4 3.4.5
( n − 1) .n.( n + 1)
4
Suy ra: Q <

Ví dụ 3. So sánh

3

5
7
43
+ 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 và 1
2
1 .2 2 .3 3 .4
21 .22
2

* Phân tích và hướng dẫn :
- Yêu cầu quan sát đặc điểm và liên hệ giữa các thừa số dưới mẫu và tử số.
- Mỗi phân số có tách thành hiệu hai phân số, để thực hiện việc khử liên tiếp như
các ví dụ trên khơng ?
* Sơ lược cách giải
Ta có:

3
5
7
43
22 − 12 32 − 22 4 2 − 32
222 − 212
+
+
+ ... + 2 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 + ... +
12.22 22.32 32.42
21 .22
1 .2
2 .3
3 .4

212.22 2
=1−

1
1 1 1 1
1
1
1
+ 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 − 2 = 1 − 2 < 1
2
2 2 3 3 4
21 22
22

Vậy,

3
5
7
43
+
+
+
...
+
<1
12.22 22.32 32.42
212.222

* Nhận xét : Ta cũng có thể tổng quát thành bài toán sau :

Chứng minh :

3
5
7
2n + 1
+
+
+
...
+
< 1 với n ∈ N , n ≥ 1
2
2
12.22 22.32 32.42
n .( n + 1)

1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
+ + + + + + + +
+
.
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11!
So sánh A với 1. Trong đó : n! = 1.2.3...( n − 1) .n , n ∈ N *
* Phân tích và hướng dẫn
- Quan sát kĩ ta thấy trên tử : 1 = 2 − 1; 2 = 3 − 1;....;10 = 11 − 1 . Vì thế có thể tách
1 2 −1 2 1 1 1
= − = − .
mỗi phân số thành hiệu hai phân số : =
2!

2!
2! 2! 1! 2!
2 3 −1 1 1 3 4 −1 1 1
10 11 − 1 1
1
=
= − ; =
= − ;...; =
=
−
Tương tự :
3! 3!
2! 3! 4!
4! 3! 4! 11! 11! 10! 11!
Ví dụ 4. Cho A =


6

- Từ đó khử liên tiếp các phân số, từ đó thu gọn và so sánh.
* Sơ lược cách giải :
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
+
Ta có A = + + + + + + + +
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11!
2 − 1 3 − 1 4 − 1 5 − 1 6 − 1 7 − 1 8 − 1 9 − 1 10 − 1 11 − 1
+
+
+

+
+
+
+
+
+
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
9!
10!
11!
1 1 1 1
1
1
1
= − + − + ... +
−
= 1−
<1
1! 2! 2! 3!
10! 11!
11!
* Nhận xét : Ta cũng có thể tổng quát thành bài toán sau :
1 2 3
n −1

So sánh + + + ... +
với 1 ( n ∈ N * )
2! 3! 4!
n!
Với phương pháp này, ta có thể khai thác và xây dựng hệ thống các bài
tập với các mức độ khác nhau cho dạng này, như sau :
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Bài 1. So sánh : A =
với
2.4 4.6 6.8
2020.2022
4
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Bài 2. Cho B =
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
2019.2020.2021.2022
1

So sánh B với
18
=

Bài 3. Cho C =

36
36
36
36
+
+
+ ... +
.
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29

Chứng minh C < 3

1 1 1
1
+ + + .... +
<2
1! 2! 3!
2022!
1
1
1
1
1

+
+
+ .... +
Bài 5. Cho H = +
1 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + ... + 2022
So sánh H với 2.
b) Đối với tổng các phân số có mẫu là lũy thừa cùng cơ số
1 1 1
1
1
Ví dụ 5. So sánh : a) A = 2 + 3 + 4 + ... + 100 với
2 2 2
2
2
1 1 1 1
1
1
1
b) B = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 với
3 3 3 3
3
3
4
* Phân tích và hướng dẫn
- Quan sát, ta nhận thấy mẫu là các lũy thừa tăng dần của cơ số 2.
- Từ đó, việc đầu tiên ta có thể nghĩ đến là tính (thu gọn) A, B bằng phương
pháp khử, rồi so sánh.
* Sơ lược các giải :
1 1 1

1
a) Ta có : A = 2 + 3 + 4 + ... + 100
2 2 2
2
1 1 1
1
2 A = + 2 + 3 + ... + 99
2 2 2
2
Bài 4. Chứng tỏ rằng : S =


7

1  1 1 1
1 
1 1 1
Suy ra : 2 A − A =  + 2 + 3 + ... + 99 ÷−  2 + 3 + 4 + ... + 100 ÷
2
2  2
2 2
2 
2 2
1
1
1
1
A = − 100 < . Vậy A <
2 2
2

2
1 1 1 1
1
1
b) Ta có : B = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100
3 3 3 3
3
3
1 1 1
1
1
3B = 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99
3 3 3
3
3
Ta được :
1
1  1 1 1 1
1
1 
 1 1 1
3B + B = 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 ÷+  − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 ÷
3
3  3 3 3 3
3
3 
 3 3 3
1
4 B = 1 − 100 < 1
3

1
Suy ra : B <
4
* Nhận xét : Để khử các số hạng, cần lưu ý ở câu a ta lập hiệu, nhưng với câu b
thì ta phải lập tổng. Và với ví dụ trên ta cũng hồn tồn phát triển thành bài tốn
tổng quát.
Và để tăng thêm độ khó và phức tạp, ta tìm hiểu ví dụ sau :
1 2 3 4
2022
Ví dụ 6. So sánh : a) M = + 2 + 3 + 4 + ... + 2022 với 2
2 2 2 2
2
1 2 3
2021 2022
5
b) N = − 2 + 3 − ... + 2021 − 2022 với
5 5 5
5
5
36
* Phân tích và hướng dẫn :
- Quan sát thấy, mẫu của các phân số vẫn là các lũy thừa cùng cơ số và điểm
khác so với ví dụ trên đó là, các phân số có tử số là các số tự nhiên liên tiếp và
bằng đúng số mũ của lũy thừa dưới mẫu.
- Từ đặc điểm trên, bài toán ta vẫn được giải quyết tương tự ví dụ trên, dùng
phương pháp khử (khử dần các số hạng) để thu gọn biểu thức và so sánh.
* Sơ lược cách giải :
1 2 3 4
2022
a) Ta có : M = + 2 + 3 + 4 + ... + 2022

2 2 2 2
2
2 3 4
2022
2M = 1 + + 2 + 3 + ... + 2021
2 2 2
2
2022   1 2 3
2022 
 2 3 4
Suy ra : 2M − M = 1 + + 2 + 3 + ... + 2021 ÷−  + 2 + 3 + ... + 2022 ÷
2
2
2
 2 2
 2 2 2

1 1 1
1
2022
1 1 1
1
M = 1 + + 2 + 3 + ... + 2021 − 2022 < 1 + + 2 + 3 .. + 2021
2 2 2
2
2
2 2
2
2
1 1 1

1
Đặt : P = + 2 + 3 + ... + 2021 , tương tự như ví dụ trên, ta so sánh được P < 1
2 2 2
2


8

Suy ra, M < 2

1 2 3
2021 2022
− 2 + 3 − ... + 2021 − 2022
5 5 5
5
5
2 3
2021 2022
5 N = 1 − + 2 − ... + 2020 − 2021
5 5
5
5

b) Ta có : N =

Suy ra :
2021 2022   1 2 3
2021 2022 
 2 3
5 N + N = 1 − + 2 − ... + 2020 − 2021 ÷+  − 2 + 3 − ... + 2021 − 2022 ÷

5
5
5
5
 5 5
 5 5 5

1 1 1
1
1
1 1 1
1
6 N = 1 − + 2 − 3 + ... − 2021 − 2022 < 1 − + 2 − 3 + ... − 2021
5 5 5
5
5
5 5 5
5
1 1 1
1
5
Đặt : Q = 1 − + 2 − 3 + ... − 2021 , tương tự ví dụ trên, ta so sánh được Q <
5 5 5
5
6
5
5
Suy ra : 6 N < ⇒ N <
6
36

* Nhận xét : Ví dụ trên có phần phức tạp và khó hơn đối với học sinh, nhưng
phương pháp và hướng tư duy bài toán vẫn như vậy. Và ta cũng có thể phát triển
thành bài tốn tổng quát.
Khai thác một khía cạnh khác của dạng bài này, chúng ta cùng đến với ví
dụ sau :
1 1 1
1
7
Ví dụ 7. So sánh : a) E = + 3 + 5 + ... + 99 với
7 7 7
7
48
4
1 1
1
1
1
1
b) F = − 4 + 7 − 10 + ... + 31 − 34 với
9
2 2 2 2
2
2
* Phân tích và hướng dẫn :
- Quan sát và nhận thấy ở câu a, các phân số có mẫu là các lũy thừa của 7 với số
mũ hơn kém nhau 2 đơn vị, ở câu b, các phân số có mẫu là các lũy thừa của 2
với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị.
- Đặc điểm trên, sẽ là gợi ý để ta lựa chọn thừa số nhân với các biểu thức và thu
gọn từng tổng rồi so sánh.
* Sơ lược cách làm

1 1 1
1
a) Ta có : E = + 3 + 5 + ... + 99
7 7 7
7
1 1
1
7 2 E = 7 + + 3 + ... + 97
7 7
7
1 1
1  1 1 1
1 

Suy ra : 49 E − E =  7 + + 3 + ... + 97 ÷−  + 3 + 5 + ... + 99 ÷
7 7
7  7 7 7
7 

1
7
48E = 7 − 99 < 7 ⇒ E <
7
48
1 1
1
1
1
1
b) Ta có : F = − 4 + 7 − 10 + ... + 31 − 34

2 2 2 2
2
2


9

23 F = 4 −
Suy ra :

1 1 1
1
1
+ 4 − 7 + ... + 28 − 31
2 2 2
2
2

1 1 1
1
1  1 1 1
1
1
1 

8 F + F =  4 − + 4 − 7 + ... + 28 − 31 ÷+  − 4 + 7 − 10 + ... + 31 − 34 ÷
2 2 2
2
2  2 2 2 2
2

2 

1
4
9 F = 4 − 34 < 4 ⇒ F <
2
9
Từ phương pháp trên, ta có thể xây dựng hệ thống các bài tập ở mức độ
nâng cao cho dạng này như sau :
1
1 1 1 1
1
1
Bài 1. Cho M = 2 − 4 + 6 − 8 + ... + 2020 − 2022 . Chứng minh M <
2 2
2 2
2
2
5
1 2 3
2022
1
Bài 2. Cho tổng P = + 2 + 3 + ... + 2022 . So sánh P với
4 4 4
4
2
1 2 3 4
2021 2022 3
Bài 3. Chứng minh : A = − 2 + 3 − 4 + ... + 2021 − 2022 <
3 3 3 3

3
3
16
2 3 4
2021
Bài 4. Cho tổng T = 1 + 2 + 3 + ... + 2021 . So sánh T với 3.
2 2 2
2
Giải pháp 2. Làm trội, làm giảm giá trị phân số để so sánh
a) Đối với tổng của dãy các phân số có mẫu là bình phương của một số tự
nhiên
Ví dụ 8. (Bài 1b, khảo sát thực trạng)
1 1 1
1
Cho B = 2 + 2 + 2 + ... +
. Hãy so sánh B với 1
2 3 4
20222
* Phân tích và hướng dẫn:
- Yêu cầu học sinh quan sát kĩ đặc điểm của mỗi phân số, để phát hiện ra mẫu là
bình phương của các số tự nhiên liên tiếp.
- Ta có thể so sánh mẫu với tích hai số tự nhiên liên tiếp.
- Làm trội mỗi phân số, như sau:
1
1 1
1 1
1
1
1
<

;
<
;
<
;...;
<
22 1.2 32 2.3 42 3.4
2022 2 2021.2022
1
1
1
1
+
+
+ ... +
- Khi đó, biểu thức trung gian để so sánh là:
1.2 2.3 3.4
2021.2022
* Sơ lược lời giải:
1
1 1
1 1
1
1
1
; 2<
; 2<
;...;
<
Ta có: 2 <

2 1.2 3 2.3 4 3.4
2022 2 2021.2022
1 1 1
1
1
1
1
1
<
+
+
+
...
+
Suy ra: 2 + 2 + 2 + ... +
2 3 4
20222 1.2 2.3 3.4
2021.2022
1 1 1 1 1
1
1
1
⇒ B < 1 − + − + − + ... +
−
=1−
2 2 3 3 4
2021 2022
2022
⇒ B < 1.
* Nhận xét: Ta có thể chứng minh bài tốn tổng quát:

10

1 1 1
1
+
+
+
...
+
<1 (n∈ N,n ≥ 2 )
22 32 42
n2
Tương tự ví dụ này, với các phân số mà mẫu là các lũy thừa bậc 3, bài
toán cũng giải tương tự. Nhưng với kiến thức lớp 6, việc so sánh và biến đổi
biểu thức bậc 3 là khó khăn nên không đề cập đến trong đề tài lần này.
Và để học sinh có cơ hội sáng tạo, ta cùng đi khai thác bài tốn với ví dụ
sau:
1 1 1
1
1010
Ví dụ 9. a) So sánh C = 2 + 2 + 2 + ... +
2 với
3 5 7
2021
2021
1 1
1
1

1
D<
b) Cho D = 2 + 2 + 2 ... +
2 . Chứng minh
4 7 10
2020
3
* Phân tích và hướng dẫn
- Nhận thấy, dãy các cơ số của lũy thừa dưới mẫu là các số cách đều 2 đơn vị ở
câu a, và cách đều 3 đơn vị ở câu b.
- Từ đặc điểm trên, ta làm trội từng phân số, tạo thành tổng các phân số có mẫu
dạng tích của 2 thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị (ở câu a) và 3 đơn vị (ở câu b)
* Sơ lược cách làm
1 1 1
1
1 2 2 2
2 
=  2 + 2 + 2 + ... +
a) Ta có: C = 2 + 2 + 2 + ... +
÷
2
3 5 7
2021 2  3 5 7
20212 
1 2
2
2
2
2


⇒C < 
+
+
+
+ ... +
÷
2  1.3 3.5 5.7 7.9
2019.2021 
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 
⇒ C < 1 − + − + − + − + ... +
−
÷
2 3 3 5 5 7 7 9
2010 2021 
1
1 
⇒ C < 1 −
÷
2  2021 
1010
⇒C <
2021
1 1
1
1
1 3
3
3

3 
=  2 + 2 + 2 ... +
b) D = 2 + 2 + 2 + ... +
÷
2
4 7 10
2020
3  4 7 10
20202 
1 3
3
3
3

⇒D< 
+
+
... +
÷
3  1.4 4.7 7.10
2017.2020 
1 1 1 1 1 1
1
1 
⇒ D <  1 − + − + − ... +
−
÷
3  4 4 7 7 10
2017 2020 
1

1 
⇒ D < 1 −
÷
3  2020 
1
⇒D<
3
Từ các ví dụ trên ta có thể xây dựng một hệ thống các bài tập tương tự:


11

1 1 1
1
M
=
+
+
+
...
+
Bài 1. Cho
2 . Chứng minh 4 M − 1 < 0
4 2 6 2 82
( 2n )
3
3
3
3
1

+ 2 + 2 + ... +
S<
2
2 . Chứng minh
10 11 12
101
3
1
1
1
1
+
+
+ .... +
Bài 3. Cho D =
1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7
1 + 3 + 5 + .... + 2021
3
So sánh D với
4
b) Đối với tổng của dãy phân số có mẫu là các số tự nhiên liên tiếp
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ví dụ 10. Cho A = + + + + + + + + +
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1
Hãy so sánh: a) A với ;
b) A với 1.
2
* Phân tích và hướng dẫn
Bài 2. Cho A =

- Nhận thấy A có 10 số phân số, tử đều là 1, mẫu là các số tự nhiên liên tiếp từ
1
1
10 đến 19. Để chứng minh bài tốn ta có thể liên hệ với phân số
và
10
20
1
1
- Khi đó, ta có thể so sánh mỗi phân số của tổng với
(làm trội), với
(làm
10
20
giảm)
* Sơ lược cách làm:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a) Ta có: A = + + + + + + + + +
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1

>
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 2
1
Suy ra: A >
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b) Ta có: A = + + + + + + + + +
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
< + + + + + + + + + =1
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Suy ra: A < 1
* Nhận xét: Ví dụ này khá đơn giản, với yêu cầu đề bài cho thì dễ dàng nhận ra
cách làm. Sau đây, ta cùng đến bài 2 ở phần khảo sát:
1 1 1
1
3
7
Ví dụ 11. Cho A = + + + ... + . Chứng minh < A <
2 3 4

9
2
4
* Phân tích và hướng dẫn


12

3
7
< A < ta có hai bài tốn so sánh. Khơng đơn giản như ví
2
4
3
dụ 10 để chúng ta đánh giá đồng loạt tất cả các số hạng. Để chứng minh A > ,
2
ta có thể phải nhóm các số hạng và làm giảm giá trị của nó, cịn để chứng minh
7
A < ta cũng phải nhóm các số hạng và làm trội giá trị của nó. Việc so sánh với
4
3
7
và có mẫu lần lượt là 2 và 4, đây có thể xem là gợi ý để chúng ta nhóm các
2
4
số hạng.
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
- Ta có thể nhóm: A = + + + ... + = +  + ÷+  + + ... ÷ rồi làm

2 3 4
9 2 3 4 5 6
9
3
giảm giá trị trong mỗi nhóm để có thể so sánh với .
2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có thể nhóm: A = + + + ... + =  + ÷+  + + + ÷+  + ÷ rồi
2 3 4
9  2 3  4 5 6 7  8 9
7
làm giảm giá trị trong mỗi nhóm để có thể so sánh với
4
- Lưu ý: Số các số hạng trong mỗi nhóm cũng là một gợi ý quan trọng trong
cách làm dạng toán này.
* Sơ lược cách làm
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
Ta có A = + + + ... + = +  + ÷+  + + ... ÷
2 3 4
9 2 3 4 5 6
9
1 1 1  1 1
1
⇒ A > +  + ÷+  + + ... + ÷
2  4 4   10 10
10 
1

1
1 3
⇒ A > + 2. + 5. =
2
4
10 2
3
⇒ A>
2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có: A = + + + ... + =  + ÷+  + + + ÷+  + ÷
2 3 4
9  2 3  4 5 6 7  8 9
1 1 1 1 1 1 1 1
⇒ A <  + ÷+  + + + ÷+  + ÷
 2 2  4 4 4 4 8 8
1
1
1 7
⇒ A < 2. + 4. + 2. =
2
4
8 4
7
⇒ A<
4
3
7
Vậy, < A <

2
4
- Để chứng minh


13

* Nhận xét: Với bài tốn trên, việc phân tích để tìm tịi cách làm là khá khó
khăn đối với học sinh lớp 6, vì cùng một tổng nhưng tùy từng yêu cầu so sánh
mà có cách nhóm và đánh giá khác nhau. Để làm tốt được, các em cần được
thực hành nhiều và có sự nhạy cảm nhất định về toán.
Tương tự, quay lại với bài 2 phần khảo sát:
1 1 1 1 1 1 1
3
13
Cho C = + + + + + + . Chứng minh < C <
2 3 4 5 6 7 8
2
6
1
1
Việc so sánh các phân số với
và , khơng giải quyết được bài tốn. Vì
8
2
vậy, ta phải nghĩ đến việc thực hiện nhóm các số hạng tương tự như ví dụ 11.
Cụ thể như sau:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có: C = + + + + + + = +  + ÷+  + + + ÷
2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8

1
1
1 3
⇒ C > + 2. + 4. =
2
4
8 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Lại có: C = + + + + + + =  + ÷+  + ÷+  + + ÷
2 3 4 5 6 7 8  2 3  4 5 6 7 8
1
1
1
13
⇒ C < 2. + 2. + 3. = 2 <
2
4
6
6
13
⇒C <
6
3
13
Vậy, < C <
2
6
1 1 1
1
>4

Ví dụ 12. Chứng minh rằng: P = 1 + + + + ... +
2 3 4
64
* Phân tích và hướng dẫn:
- Nhận thấy, đây là mẫu của các phân số trong biểu thức là các số tự nhiên liên
tiếp, phân số cuối cùng mẫu là 64 = 26 . Ta có thể chia biểu thức thành các nhóm,
trong mỗi nhóm có phân số có mẫu là lũy thừa của 2, để ta làm giảm giá trị và
thực hiện so sánh với phân số có mẫu là lũy thừa của 2.
- Ta có thể nhóm như sau:
1 1 1 1 1
1
1
1 
 1
P = 1 + +  + ÷+  + + ... + ÷+ ... +  +
+ ... + ÷
2 3 4 5 6
8
64 
 33 34
* Sơ lược cách làm
1 1 1
1
Ta có: P = 1 + + + + ... +
2 3 4
64
1 1 1 1 1
1
1
1 

 1
= 1 + +  + ÷+  + + ... + ÷+ ... +  +
+ ... + ÷
2 3 4 5 6
8
64 
 33 34
1 1 1 1 1
1
1
1 
 1
P > 1 + +  + ÷+  + + ... + ÷+ ... +  +
+ ... + ÷
2  4 4 8 8
8
64 
 64 64


14

1
1
1
1
+ 2. + 4. + ... + 32. = 4
2
4
8

64
Suy ra: P > 4
* Nhận xét: Tuy là bài toán khó, như nó có phương pháp tư duy riêng của nó,
nắm bắt ta sẽ giải quyết dễ dàng bài tốn.
Đề tham khảo mức độ phức tạp hơn của dạng này, ta cùng đến với ví dụ
sau:
1 1 1
1
2021
< A < 2021
Ví dụ 12. Cho A = 1 + + + + ... + 2021 . Chứng minh
2 3 4
2 −1
2
* Phân tích và hướng dẫn
- Quan sát ta nhận thấy điểm đặc biệt của các số hạng ở đây là mẫu là các số tự
nhiên liên tiếp và số hạng cuối cùng có xuất hiện lũy thừa cơ số 2. Đặc điểm này
chính là gợi ý quan trọng để tìm ra cách giải bài toán.
- Tương tự như trên ta có thể chia tổng này thành các nhóm, trong mỗi nhóm có
số hạng có mẫu là lũy thừa của 2, như sau:
1  1 1 1
1
1 
1 1  1 1
 1
A = 1 +  + ÷+  2 + + ... + ÷+  3 + + + ... + ÷+ ... +  2020 + ... + 2021 ÷
7   2 9 10
15 
2 −1 
 2 3  2 5

2
Làm trội giá trị để so sánh mỗi phân số trong mỗi nhóm lần lượt với
1 1
1
; 2 ;...; 2020 để chứng minh A < 2021
2 2
2
2021
Tương tự khi chứng minh A >
2
* Sơ lược cách làm
1 1 1
1
Ta có: A = 1 + + + + ... + 2021
2 3 4
2 −1
1  1 1 1
1
1 
1 1  1 1
 1
= 1 +  + ÷+  2 + + ... + ÷+  3 + + + ... + ÷+ ... +  2020 + ... + 2021 ÷
7   2 9 10
15 
2 −1 
 2 3  2 5
2
1 1 1 1
1
1 

1 1  1 1
 1
A < 1 +  + ÷+  2 + 2 + ... + 2 ÷+  3 + 3 + 3 + ... + 3 ÷+ ... +  2020 + ... + 2020 ÷
2  2 2 2
2 
2 
2 2 2 2
2
1
1
1
1
A < 1 + 2. + 4. 2 + 8. 3 + ... + 2 2020. 2020 = 2021
2
2
2
2
Ta có:
1  1 1
1
1  1
 1 1 1  1 1
 1
A =  1 + ÷ +  + 2 ÷ +  + ... + 3 ÷ +  + + ... + 4 ÷ + ... +  2020 + ... + 2021 ÷ − 2021
2   9 10
2 
2  2
 2 3 2  5 6
 2 +1
1

1
1
1
1
2021
1
A > 1 + + 2. 2 + 4. 3 + ... + 2 2020. 2021 − 2021 =
+ 1 − 2021
2
2
2
2
2
2
2
2021
A>
2
* Nhận xét: Bài toán trên chúng ta cũng có thể phát biểu thành bài toán tổng
quát sau:
P >1+


15

1 1 1
1
n
+ + + ... + n
, n ∈ N , n ≥ 2 . Chứng minh < A < n .

2 3 4
2 −1
2
Và với biểu thức so sánh là tổng của các phân số với mẫu là các số tự
nhiên, ta có thể xây dựng hệ thống bài tập cho dạng này như sau:
1
1
1
1
3
+
+ ... + . Chứng minh < P < 3
Bài 1. Cho P = +
21 22 23
80
4
Cho A = 1 +

Bài 2. Chứng minh:

7
1
1
1
1
1 4
< +
+ + ... + +
<
12 41 42 43

79 80 5

1 1 1
1
Bài 3. Cho A = + + + .... + . Chứng minh A không phải là số tự nhiên.
5 6 7
17
1
1
1
1
5
+ ... + +
Bài 4. So sánh M = +
với
31 32
89 90
6
1 1 1
1
>1
Bài 5. Chứng minh rằng: A = + + + ...
12 13 14
144
Bài 6.
2.3.4. Cập nhật các bài tập so sánh xuất hiện trong đề thi HSG mơn Tốn 6
năm học 2021-2022
Bài 1. Câu 5 đề thi HSG Triệu Sơn, Triệu Sơn- Thanh Hóa năm học 2021-2022
457 456 455
1

+
+
+ ... +
Cho A =
. Chứng minh A > 2016
1
2
3
457
Bài 2. Câu 5, đề thi HSG Tốn 6, Bá Thước- Thanh Hóa năm học 2021-2022
1 1 1
1
Cho A = 1 + + + + ... + 100
. Chứng minh rằng: 50 < A < 100
2 3 4
2 −1
Bài 3. Câu 5 đề thi HSG Toán 6, Vũ Thư- Thái Bình năm học 2021-2022
1 2 3 4
201 202
1
Cho D = 2 − 3 + 4 − 5 + ... + 202 − 203 . Hãy so sánh D với
7 7 7 7
7
7
64
2
3 8 15
2023 − 1
Bài 4. Cho A = 2 + 2 + 2 + ... +
. Chứng minh rằng giá trị của A

2 3 4
20232
không phải là một số tự nhiên.
Bài 5. Câu 5 đề thi HSG Tốn 6, Như Xn- Thanh Hóa năm học 2021-2022
2 2 2
2
2 13
+
>
Chứng minh A = + + + ... +
11 12 13
39 40 6
Bài 6. Câu 5 đề thi HSG Tốn 6, TP Sầm Sơn- Thanh Hóa năm học 2021-2022
1 1 1
1
Cho biểu thức S = 1 + + + + ... + . Chứng minh 3 < S < 6
2 3 4
63
Bài 7. Câu 5 đề thi HSG Toán 6 TP Bắc Ninh năm học 2021-2022
1 2 3
100
3
Cho A = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh rằng A <
3 3 3
3
4
Bài 8. Câu 5 đề thi HSG Tốn, Quảng Xương- Thanh Hóa
3 4
2021 2022
Cho tổng A = 1 + 2 + 3 + ... + 2020 + 2021 . So sánh A với 3

2 2
2
2


16

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy học sinh có
nhiều tiến bộ khi gặp bài tốn về so sánh trong chương trình tốn 6. Nhiều em đã
thấy rất hứng thú, say mê tìm hiểu và tự tin hơn.
Việc lồng ghép hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng từ một bài
toán đã biết vào các bài tốn tương tự khó hơn, phức tạp hơn, đã giúp các em
chủ động tiếp thu kiến thức, kích thích sự tìm tịi sáng tạo, qua đó các em làm
chủ được kiến thức của mình để tiếp nhận các bài tập khác một cách nhẹ nhàng
điều này giúp đạt kết quả cao trong các kì thi.
Sau khi triển khai đề tài, để kiểm định chất lượng của sáng kiến, tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra, thời gian kiểm tra 30 phút.
Đối tượng kiểm tra: 20 học sinh là học sinh có lực học khá giỏi mơn Tốn
lớp 6D1 trường THCS TT Bến Sung.
Đề kiểm tra: (Thời gian: 30 Phút)
Bài 1. (6,0điểm)
1
1
1
1
1
+
+

+ ... +
a) So sánh A =
với
3.7 7.11 11.15
43.47
12
1 1 1
1
b) Cho B = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh B < 2
1 2 3
50
Bài 2. (4,0 điểm)
1 2 3
2022 1
a) Chứng minh C = + 2 + 3 + ... + 2022 <
5 5 5
5
3
1
1
1
1
3
4
b) Cho S = + + + ... + . Chứng minh rằng: < S <
31 32 33
60
5
5
Kết quả thu được :

Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
Tổng
số HS
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
20
3
15%
10
50%
6
30%
1
5%
Đối chiếu với kết quả khảo sát cho thấy học sinh có tiến bộ rõ rệt: Với nội
dung kiểm tra khó và phức tạp hơn đề đã khảo sát thì kết quả hồn thành của học
sinh rất tốt. Chỉ cịn 1 học sinh có điểm yếu, kém; chủ yếu là đạt điểm khá giỏi;
có 2 em học sinh đã giải quyết tốt cả 2 bài.
Tuy nhiên, đề tài này chỉ có hiệu quả cao đối với đối tượng học sinh có
lực học khá, giỏi khối 6, 7 nhưng ít có hiệu quả đối với các em có lực học TB và
yếu, kém về mơn Tốn. Vì vậy, đề tài này nên triển khai trong các chuyên đề

nâng cao hoặc ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi Toán 6, 7.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận:
Đây là một chuyên đề khá phù hợp với các em học sinh có năng lực về
mơn Tốn và việc các em lĩnh hội cũng khơng gặp nhiều khó khăn.


17

Trong phạm vi nhỏ của đề tài bản thân chưa thể bao quát hết các kiến thức
từ việc khai thác kết quả của một bài toán, tuy nhiên khi thực hiện đã có tác
dụng rất tốt đối với học sinh. Từ những thành công trong việc vận dụng sáng
kiến kinh nghiệm vào giảng dạy tôi xin mạnh dạn chia sẻ cùng đồng nghiệp.
Bài viết không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, rất mong nhận
được sự góp ý để đề tài được hồn thiện hơn.
3.2 Kiến nghị: Khơng.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Như Thanh, ngày 10 tháng 4 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung người khác.
Người viết

Vũ Chí Cường

Tài liệu tham khảo:
[1] Nâng cao và phát triển toán 6-Tập hai. Tác giả: Vũ Hữu Bình. NXB Giáo
Dục Việt Nam, năm 2021.

[2] Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6. Tác giả: Vũ Dương Thụy chủ
biên. NXB Giáo Dục, năm 2006.


18

[3] Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán 6 tập một. Tác giả: Vũ Hữu
Bình chủ biên. NXB Giáo Dục Việt Nam, năm 2014.