(SKKN 2022) rèn một số kĩ năng giải bài toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 7 ở trường THCS chu văn an nga sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN
Mục lục
Phần

NộiKINH
dung NGHIỆM
SÁNG KIẾN

Trang
2

1. Lí do chọn đề tài

RÈN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CHIA 3HẾT
2. Mục đích nghiên cứu
NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG CHO HỌC SINH
I.Mở
đầu 7 Ở TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN, NGA SƠN
LỚP
3
3. Đối tượng nghiên cứu
3
4. Phương pháp nghiên cứu

Người thực hiện: Trịnh Xn Kỳ
3
Chức
vụ:
Giáo

viên
1.Cơ sở lí luận
Đơn vị cơng tác: Trường THCS Chu Văn An
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
5
2.Thực trạng của vấn đề
II.Nội dung

6-15
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
16
4.Hiệu quả của sáng kiến
1.Kết luận

III. Kết luận,
Kiến nghị

16
17

2.Kiến nghị

THANH HOÁ NĂM 2022
1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Dạy học là một dạng hoạt động đặc trưng của loài người nhằm truyền lại
cho thế hệ sau những kinh nghiệm mà loài người đã tích lũy được biến chúng

thành vốn kinh nghiệm và năng lực của cá nhân người học.
Hoạt động dạy học bao gồm hai hoạt động liên quan mật thiết với nhau:
Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh. Hai hoạt động này
đều có chung một mục đích cuối cùng là làm cho người học lĩnh hội được nội
dung học, đồng thời phát triển được nhân cách năng lực của người học.
Cũng như các bộ mơn văn hố khác Tốn học có vị trí đặc biệt quan trọng
trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Tốn học khơng chỉ cung cấp cho người học những kỹ năng tính tốn cần thiết mà cịn là môn học,là công cụ để học
tập các môn học khác, nó là kỹ năng, là phương pháp làm việc của nhiều ngành
khoa học khác nhau. Chính vì vậy việc truyền thụ kiến thức mơn tốn cần được
thực hiện bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo của người học.
Khi cần dạy một nội dung toán cho học sinh, giáo viên phải biết phân tích nội
dung đó liên quan đến những hoạt động nào và ứng dụng của nó ra sao.
Qua các năm trực tiếp giảng dạy khối lớp 7 tơi nhận thấy giải bài tốn
chia hết là một trong những dạng toán số học thường xuất hiện trong các đề thi
HSG cấp huyện, dạng toán này thường được khai thác để phát triển tư duy sáng
tạo của học sinh đồng thời những bài toán số học liên quan đến tính chia hết
thường rất lơi cuốn học sinh tham gia chinh phục và nội dung này rất phong phú,
đa dạng và là nội dung quan trọng của chương trình tốn số học khơng chỉ với
lớp 7 mà là cả cấp THCS, nhất là trong kỳ thi HSG môn Toán 9 cấp tỉnh
Dạy các dấu hiệu chia hết, các tính chất chia hết là một mảng kiến thức vơ
cùng quan trọng giúp học sinh có kỹ năng nhận biết một số bất kỳ có chia hết
cho 2, 3; 4; 5; 6; 8; 9;11 hay không, hay giải những bài toán chia hết. Đây là một
vấn đề quan trọng giúp học sinh học tốt hơn bộ mơn tốn.
Xuất phát từ những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài “Rèn một số kĩ
năng giải bài toán chia hết nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 7 ở
trường THCS Chu Văn An – Nga Sơn” với mong muốn phần nào nâng cao chất
lượng để dạy các dấu hiệu chia hết, các tính chất chia hết cho học sinh và nêu
lên được một số kinh nghiệm của bản thân về cách hướng dẫn học sinh giải bài
toán chia hết trong chương trình Tốn lớp 7.
.

2


1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu đề tài: “Rèn một số kĩ năng giải bài toán chia hết
nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 7 ở trường THCS Chu Văn An –
Nga Sơn” là:
- Cung cấp cho học sinh lớp 7 một số phương pháp thường dùng, quan
trọng để giải giải bài toán về phép chia hết.
- Qua dạng tốn này học sinh có thể vận dụng cơng thức để sáng tạo tìm
ra nhiều hướng giải khác nhau. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra được cách giải
hợp lý nhất, phù hợp nhất đối với các em. Từ đó học sinh phát hiện ra được cách
giải tương tự để có thể giải được nhiều bài toán mới.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Rèn một số kĩ năng giải bài toán chia hết cho học sinh lớp 7.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này tôi áp dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp khảo sát, so sánh, đối chiếu.
- Phương pháp phân tích, tư duy logic.
- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh.
- Đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi giảng dạy chuyên
đề theo nội dung đề tài.
- Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Định nghĩa phép chia hết:
Cho hai số nguyên a và b (b≠0), nếu có số nguyên x sao cho bx = a thì ta
nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b = x
2.1.2. Các dấu hiệu chia hết:

+ Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
Cho số tự nhiên: M = anan−1...a1a0
M 2  a0  0;2;4;6;8
+ Dấu hiệu chia hết cho 3
Một số chia hét cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
Cho số tự nhiên M = anan−1...a1a0
M

3  ( an + an-1 + . .. + a1 + a0 )

3

+ Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 4 (hoặc 25).
3


Cho số tự nhiên M = anan−1...a1a0
M

4  a1a0

4

M 25  a1a0
25
+ Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó bằng 0 hoặc bằng 5.

.
Cho số tự nhiên M = anan−1...a1a0
M 5  a0  0;5
+ Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số
đó chia hết cho 8 (hoặc 125).
Cho số tự nhiên M = anan−1...a1a0
M

8  a3a1a0

8

M 125  a3a1a0 125
+ Dấu hiệu chia hết cho 9
Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9
Cho số tự nhiên M = anan−1...a1a0
M 9  ( an + an-1 + ... + a1+ a0 ) 9
+ Dấu hiêu chia hết cho 11
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó "đứng ở vị
trí lẻ" và tổng các chữ số "đứng ở vị trí chẵn” kể từ phải sang trái chia hết cho 11.
Để cho phép trừ thực hiện được, trong trường họp cần thiết ta có thể cộng
thêm vào tổng thứ nhất (tổng các chữ số hàng lẻ) một bội của 11.
Chú ý Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lai.
2.1.3. Các tính chất của quan hệ chia hết:
- Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0
- a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b hoặc a = -b.
- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.

- Nếu a chia hết cho b và a cũng chia hết cho c mà ƯCLN(b,c) = 1 thì a chia hết
cho bc.
- Nếu a chia hết cho m thì ka cũng chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
- Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a ± b) chia hết cho m.
- Nếu a chia hết cho m, b khơng chia hết cho m thì (a±b) khơng chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn.

4


- Nếu ab chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia
hết cho m.
- Nếu ab chia hết cho m mà (a,m) =1 thì b chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên.
- Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên.
- Nếu an chia hết cho p thì achia hết cho p với p là số nguyên tố.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1 Thực trạng chung
a) Đối với học sinh
Thực trạng khi được phân cơng dạy tốn lớp 7, tôi đã thống kê năng lực
tiếp thu bài của học sinh, tơi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra
một hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất
học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành
ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biết
chứng minh như thế nào.
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra học sinh qua nhiều biện pháp. Sau khi
kiểm tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm bài rất mơ hồ, một số học sinh làm
bài được chỉ là một số học sinh giỏi. Số còn lại chủ yếu là học sinh Khá và TB
không biết giải thích bài tốn như thế nào.
b) Đối với giáo viên

Thực trạng này không thể đổ lỗi cho tất cả học sinh bởi vì giáo viên là
người chủ động, chủ đạo kiến thức, nếu chỉ tuân theo SGK mà dạy bài tốn này
địi hỏi học sinh phải tư duy tốt và phải thâu tóm được kiến thức đã học để tận
dụng vào làm bài tập .
Đôi khi giáo viên áp đặt gị bó các em phải thế này, phải thế kia mà khơng
đưa ra thực tế để các em nhìn nhận vấn đề.
Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu bởi vì đây là dạng tốn mà các em
rất ít được gặp chính vì lí do đó mà giáo viên phải tìm ra phương pháp phù hợp
nhất để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng bài tập về
phép chia hết nên cảm thấy mơ hồ phân vân tại sao lại phải làm như vậy. Nếu
khơng biến đổi thì có tìm được kết quả khơng. Từ những băn khoăn đó của học
sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào các dấu hiệu, tính chất để tìm ra u
cầu của bài tốn.
Qua kiểm tra khảo sát chất lượng thì tỉ lệ học sinh mắc những sai lầm
trong giải dạng toán về phép chia hết là tương đối cao. Kết quả bài khảo sát của
học sinh lớp 7D, trường THCS Chu Văn An năm học 2021- 2022 khi chưa áp
dụng đề tài như sau:

5


Sĩ số
42

Loại giỏi
SL
%
6
14.3

Loại khá
SL
%
14
33.3

Trung bình
SL
%
16
38.1

Loại yếu
SL
%
6
14.3

2.3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Các giải pháp
Cách 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết để chứng minh a chia hết
cho b (b  0) ta biến đổi số a dưới dạng một tích các thừa số trong đó có một
thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).
Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 chia hết cho 27
Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích 3100 thành tích của 2 thừa số trong
đó có một thừa số chia hết cho 27
Hướng dẫn:
Ta có: 3100 = 33.397 = 27.397
Vì 27 chia hết cho 27 nên 27.397 chia hết cho 27.
Vậy 3100 chia hết cho 27.

Cách 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
+ Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
- Để chứng minh a chia chết cho b ( b  0 ) ta biểu diễn số a dưới dạng một
tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b.
- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số
hạng rồi chứng minh có một số hạng khơng chia hết cho b.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết
cho 3
(BT 5/47 Sách các dạng Tốn điển hình lớp 7)
Hướng dẫn:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: x; x+1; x+2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp: x + x+1 + x+2 = 3x+3
Vì 3x 3 và 3 3 nên tổng trên ln chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một
tổng)
+ Từ bài toán trên giáo viên đưa học sinh vào tình huống có vấn đề: Có phải
tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay khơng?
Để trả lời câu hỏi đó các em làm bài tập sau.
Ví dụ 3: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không?
Hướng dẫn:
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: x; x + 1; x + 2; x +3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp: x + x+ l+ x + 2 + x + 3 = 4x+6
Vì 4 chia hết cho 4 nên 4x chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên 4x + 6
không chia hết cho 4.
Suy ra tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
6


+ Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
* Dùng tính chất chia hết của một tích:
Để chứng minh a chia hết cho b ( b  0 ) ta có thể chứng minh một trong hai

cách sau:
+ Biểu diễn b = m.n với ƯCLN(m,n) = 1 sau đó chứng minh a chia hết cho m; a
chia hết cho n.
+ Biểu diễn a = a1a2; b= b1b2 rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2.
Ví dụ 4: Chứng minh (1980.a + 1995.b) chia hết cho 15 với mọi a, b là số
tự nhiên.
( Trích đề thi học sinh giỏi lớp 7 Q6 TP Hồ Chí Minh năm 2012)
Hướng dẫn:
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với mọi a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với mọi b.
Do đó: (1980.a + 1995.b) chia hết cho 3
(1)
Vì 1980 chia hết cho 5 nên 1980.a chia hết cho 5 với mọi a.
Vì 1995 chia hết cho 5 nên 1995.b chia hết cho 5 với mọi b.
Do đó: (1980.a + 1995.b) chia hết cho 5 (2)
Mà: ƯCLN(3,5) = 1
Từ (1) và (2) suy ra (1980.a + 1995.b) chia hết cho 15.
Cách 3: Dùng định lý về phép chia có dư
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho 4.
Hướng dẫn:
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n; n+1; n+2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: Q = n(n+l)(n+2)
Một số tự nhiên chia hết cho 3 có thể nhận một trong các số dư: 0; 1; 2.
Xét n chia cho 3 có số dư là r
+ Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 => Q chia hết cho 3 (có 1 thừa số chia hết
cho 3 thì tích đó chia hết cho 3)
+ Nếu r = 1 thì n = 3k+l (k  N)

Khi đó: n +2 = 3k + 1 +2 =(3k+3) chia hết cho 3
Suy ra: Q chia hết cho 3.
+ Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k  N)
Khi đó n+1 = 3k+2+l = (3k+3) chia hết cho 3
Suy ra: Q = n(n+l)(n+2) chia hết cho 3
Tóm lại: n(n+l)(n+2) chia hết cho 3 với mọi n thuộc số tự nhiên.
7


b) Chứng minh tương tự ta có: n(n+l)(n+2)(n+3) chia hết cho 4 với mọi n
là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập ở dạng tổng
quát.
GV khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiêp ln chia hết
cho n.
Cách 4 Toán về chia hết liên quan đến số ngun tố, ƯCLN, BCNN.
Ngồi các tính chất đã nêu với các kiến thức về số nguyên tố, số nguyên tố cùng
nhau, ƯCLN, BCNN ta có thêm một số tính chất về chia hết:
a) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích
chia hết cho p.
Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p.
b) Nếu tích ab chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì
a chia hết cho m.
Thật vậy phân tích m ra thừa số nguyên tố:
m

=

a1k1a2k 2 ...ankn

(1)

Vì ab chia hết cho m nên ab chứa tất cả các thừa số nguyên tố a1, a2, …an với số
mũ lớn hơn hoặc bằng số mũ của các thừa số nguyên tố trong (1). Nhưng b và
m nguyên tố cùng nhau nên b không chứa thừa số nguyên tố nào trong các thừa
số a1, a2, …an. Do đó a chứa tất cả các thừa số tố a1, a2, …an với số mũ lớn hơn
hoặc bằng số mũ của các thừa số nguyên tố trong (1) tức là a chia hết cho m.
c) Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n.
Thật vậy a chia hết cho m và n nên a là bội chung của m và n, do đó a chia hết
cho BCNN(m,n).
Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết cho
tich m.n.
Các tính chất này cung cấp thêm những cơng cụ mới để chứng minh quan hệ
chia hết của các số.
Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 chia hết cho 7.
Hướng dẫn:
Cách 1:
18n + 3 7
 14n + 4n + 3 7
 4n + 3 7
 4n + 3 - 7 7
 4n - 4
7
 4(n – 1) 7
Ta lại có (4,7) =1 nên n - 1 7
8


Vậy n= 7k + 1 (k  N)
Cách 2:

18n + 3 7
 18n + 3 - 21 7
 18n - 18 7
 18 (n – 1) 7
Ta lại có (18,7) =1 nên n - 1 7
Vậy n= 7k + 1 (k  N)
Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một
biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên có ba chữ số như nhau, biết rằng số đó có thể
viết được dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1
Hướng dẫn: Gọi số phải tìm là aaa , số đó được viết dưới dạng
1 + 2 + 3 + ... + n (n  N). Ta có:

n(n + 1)
= 111a, do đó:
2

n(n + 1) = 2 . 3 . 37 . a
Vì n (n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn tại một trong hai thừa số n; n +
1 chia hết cho 37. Chú ý rằng n và n + 1 đều nhỏ hơn 74 ( vì

n(n + 1)
là số có ba
2

chữ số) nên ta xét hai trường hợp:
n(n + 1)
= 37 . 38/2 = 703 loại
2
n(n + 1)

36.37
b) n + 1 = 37 thì
=
= 666 thỏa mãn bài tốn.
2
2

a) n = 37 thì

Vậy số phải tìm là 666, viết được dưới dạng 1 + 2 + 3 + ... + 36
2.3.2 Sau khi học sinh đã nắm vững các cách thường dùng để chứng minh
phép chia hết, giáo viên có thể ra một số bài tốn về phép chia hết nhằm
giúp cho học sinh nắm một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về phép chia
hết.
Bài 1: Em hãy gạch dưới số mà em chọn:
a)Nếu a 3 và b 3 thì tổng (a+b) chia hết cho 3; 6; 9.
b) Nếu a 2 và b 4 thì tổng (a+b) chia hết cho 2;4; 6
c) Nếu a 6 và b 9 thì tổng (a+b) chia hết cho 3;6; 9
Đáp án:
a) 3 ; b) 2 ; c) 3
Bài 2: Không làm phép tính cộng, trừ. Hãy giải thích tại sao các tổng, hiệu
sau đều chia hết cho 11.
a) 33 + 22 ; b) 88 – 55 ; c) 44 + 66 + 77.

9


Hướng dẫn:
a/ (33 + 22) 11 vì và 33 ll và 22 11 (theo tính chất chia hết của một
tổng)

b/ ( 88 - 55 ) 11 vì 88 11 và 55 11 (theo tinh chất chia hết của một
hiệu)
c/ (44 + 66 + 77) 11 vì 44 11; 66 11; 77 11 (theo tính chất chia hết
của một tổng).
Bài 3: Phải thay x bởi chữ số nào để:
a) 12 + 2x3 chia hết cho 3
b) 5 x793 x 4 chia hết cho 3.
c) 173925 x chia hết cho 8; cho 125.
d) 113 +x chia hết cho 7.
e) 113 +x chia cho 7 dư 5.
Hướng dẫn:
a) Vì (12 + 2x3 ) chia hết cho 3. Mà 12 3
'
Nên 2x3 phải chia hết cho 3.
Khi đó (5+x) 3 mặt khác x là chữ số suy ra: x =1; x=4; x =7.
Vậy x =1; x=4; x =7 thì 12 + 2x3 chia hết cho 3
b) Vì 5 x793 x 4 3 nên (2x+l) 3
,
Mặt khác x là chữ số suy ra: x = 1; x = 4; x=7.
Vậy x =1; x=4; x =7 thì 5 x793 x 4 chia hết cho 3.
c) Ta có 173925 x 8 <=> 25 x 8  x = 6
Vậy khi x = 6 thì 173925 x 8
Ta có 173925 x 125 khi 25 x 25  x = 0
Vậy khi x = 0 thì 173925 x 25
d) Ta có: 113 + x = 112 + (1+x) vì 112 7 nên 112 + (1+x) 7 Khi (x+1 ) 7
Mà x là chữ số nên x = 6
Vậy khi x = 6 thì 113 +x chia hết cho 7.
e) Ta có: 113 + x= 112 + (1+x) chia cho 7 dư 5.
Ta có: 112 7 nên (1+x) chia cho 7 dư 5 hay x chia cho 7 dư 4, mặt khác x
là chữ số .Suy ra: x = 4

Vậy khi x = 4 thì 113 +x chia cho 7 dư 5.
Bài 4: Tìm các chữ số x; y để số:
a) 56 x3 y chia hết cho 36
b) 71x1y chia hết cho 45
Hướng dẫn:
.
a) Vì 36 = 4.9 mà ƯCLN(4,9) = 1 nên 56 x3 y chia hết cho 36.
10


Khi: 56 x3 y
Ta có: 56 x3 y

9 và 56 x3 y
4 => 3 y

4
4  y  {2; 6}

Và 56 x3 y 9 <=> (5+6+x+3+y) 9 <=> (5+6+x+3+y)
Mà x; y là các chữ số nên (x+y)  {4; 13}
y = 2  x =2 hoặc x = 11 ( loại vì x > 9 )
y = 6  x = 7 hịặc x = -2 ( loại vì x < 0 )
Vậy các số phải tìm là: 56232; 56736
b) Vì: 45 = 9.5 mà ƯCLN (9;5) = 1 nên 71x1y 9
Khi và chỉ khi 71x1y
Ta có 71x1y

9 và 71x1y

9

5

5  y { 0 ; 5 }

9  (x + y) 9
Vì x; y là các chữ số nên (x+y)  {9; 18}.
Nếu y = 0  x = 9 h o ặ c x = 1 8 ( v ì x > 9 loại)
Nếu y = 5  x = 4 hoặc x= 13 (vì x>9 1oại)
Vậy số phải tim: 71910; 71415.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để (3n + 1 0 ) chia hết cho (n+2)
71x1 y

Hướng dẫn:
Ta có 3n + 10 = 3n + 6 + 4
3n +10 = 3(n+2) + 4
Mà 3(n+2) (n+2)
Do đó: (3n+10) (n+2) khi và chỉ khi (n+2) là ước của 4
 (n+2)  {1;2;4}
 n  {0;2}
Vậy với n  (0, 2} thì (3n + 10) (n+2)
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (n + 15) : (n + 3) là số tự nhiên.
Hướng dẫn:
Để (n + 15) : (n + 3) là số tự nhiên thì (n+15) (n+3)
Suy ra [(n+15) - (n+3)] chia hết cho (n+3)
Khi 12 chia hết cho (n+3)
Hay (n+3) là ước của 12
Tức là: (n+3)  {1 ;2;3;4;6; 12]
 n  (0; 1; 3; 9}

Vậy với n  {0; 1; 3; 9} thì (n + 15) : (n + 3) là số tự nhiên.
Bài 7: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp lụơn chia hết cho 8.
(Bài tập 79/25 Sách Toán nâng cao và các chuyên đề Toán 6)
11


Hướng dẫn:
’
Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n+2(n  N)
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n (2n+2) = 4n(n+l)
Vì: n; n +1 khơng cùng tính chẵn lẻ nên: n(n+l) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n(n+l) chia hết cho 4.2  4n(n+l) chia hết cho 8.
Vậy 2n (2n+2) chia hết cho 8.
Bài 8: Biết rằng số có bốn chữ số abcd 11  ( b + d) – ( a + c) 11
hoặc (a+c) – (b + d) 11.
Có bao nhiêu số có bốn chữ số có tính chất sau: số đó chia hết cho 11 và
tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 11.
(Bài tập 65/40 Sách Toán nâng cao các chun đề Tốn 6)
Hướng dẫn:
Gọi số có bốn chữ số phải tìm là A = abcd trong đó a,b,c,d là các chữ số và a  0.
Theo đề bài ra ta có: ( b + d) – ( a + c) 11 (1) và (b + d) + ( a + c) 11 (2)
.

.

Từ (1) và (2) suy ra b + d : 11 và a + c : 11.
Do 0  b + d  18 nên b + d = 0 hoặc b + d = 11.
.

Nếu b + d = 0 thì b = d = 0. Kết hợp với a + c : 11 mà 1  a + c  18

nên a + c = 11. Như vậy có 8 số phải tìm là: 2090; 3080; 4070; 5060;
6050;7040; 8030 và 9020.
Nếu b + d = 11 và a + c = 11. Ta tìm được được 8 cặp số a, c và 8 cặp số b,
d sao cho a + c = b + d = 11. Do đó có 8.8 = 64 số thỏa mẵn đề bài.
Tóm lại có 8 + 64 = 72 số có 4 chữ số thỏa mãn đề bài.
Bài 9: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó
chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Gọi số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 thì dư 4 là a.
Ta có: a = 7m + 5 và a = 13n + 4 với m, n  N.
Cộng thêm 9 vào số a ta được:
a + 9 = 7m + 14 = 7 ( m + 2) 7
a + 9 = 13n + 13 = 13 ( n + 1) 13
a + 9 7 và a + 9 13 mà (7;13) = 1 nên a + 9 7 .13. Hay a + 9 91.
Vậy a = 91k – 9 = 91k – 91 + 82;
a = 91 ( k – 1) + 82 do do đó a chia cho 91 dư 82.
Bài 10: Tìm số tự nhiên n sao cho 3n chia hết cho 5 – 2n.
Hướng dẫn: Căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu và tích, ta có thể
rút ra phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây:
Nếu A B thì ( mA + nB) B ( m, n  N*)
Ta có: 3n ( 5 – 2n)  [ 2.3n + 3 (5-2n)] ( 5- 2n)  15 ( 5-2n)
12


Với 5 – 2n = 1 thì n = 2
Với 5 – 2n = 3 thì n = 1
Với 5 – 2n = 5 thì n = 0
Với 5 – 2n = 15 thì khơng có số tự nhiên nào thỏa mãn.
Vậy với n lấy một trong các giá trị 0;1;2 thì 3n chia hết cho 5 – 2n.
Bài 11: Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a, b  N). Chứng minh rằng 10a + b

chia hết cho 13.
Hướng dẫn: Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y. Ta biết x 13, cần chứng minh y 13.
Cách 1: Xét biểu thức
10x – y = 10(a + 4b) – (10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b = 13 . 3 . b
Như vậy 10x – y 13
Mà x 13 nên 10x 13 suy ra y 13
Cách 2: Xét biểu thức
4y – x = 4(10a + b) – (a + 4b) = 40a + 4b – a – 4b = 39a
Như vậy 4y - x 13
Do x 13 nên 4y 13. Ta lại có (4, 13) = 1 nên y 13
Cách 3: Xét biểu thức
3x + y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 3a + 12b + 10a + b = 13a + 13b = 13(a + b)
Như vậy 3x + y 13
Do x 13 nên 3x 13 suy ra y 13
Cách 4: Xét biểu thức
x + 9y = (a + 4b) + 9(10a + b) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b
Như vậy: x + 9y 13
Do x 13 nên 9y 13. Ta lại có (9, 13) = 1 nên y 13
Nhận xét: Trong các cách giải trên, ta đã đưa ra các biểu thức mấu khi rút
gọn có một số hạng là bội của 13, khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội
của 13
Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức 10x – y nhằm
khử a (tức là làm cho hệ số của a bằng 0), xét biểu thức 3x + y nhằm tạo ra hệ
số của a bằng 13.
Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 nên xét biểu thức 4y - x nhằm khử b (tức là
làm cho hệ số của b bằng 0), xét biểu thức x + 9y nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13
Bài 12: Cho một số tự nhiên chia hết cho 7 gồm sáu chữ số. Chứng minh rằng
nếu chuyển số tận cùng lên số đầu tiên, ta vẫn được một số cho hết cho 7.
Hướng dẫn: Gọi số chia hết cho 7 đã cho là X = abc deg ta cần chứng minh là
Y = gabcde

Chia hết cho 7. Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n
13


Cách 1: Với dụng ý làm xuất hiện 21n là một bộ của 7, ta xét 2X + Y = 20n + 2g +
100000g + n = 21n + 100002g biểu thức này chia hết cho 7 vì 21 = 7.3 và 100002 =
7. 14268 đều là bội của 7, mà 2X chia hết cho 7 do đó Y chia hết cho 7
Cách 2: Với dụng ý khử n, ta xét 10Y – X = 10(100000g + n) – (10n + g) =
1000000g + 10n – 10n – g = 999999g, là bội của 7 (vì 999999 = 7 . 142857). Ta lại
có X chia hết cho 7 nên 10 y chia hết cho 7, mà (10, 7) = 1 nên y chia hết cho 7
Các cách khác: gợi ý xét 3Y – X để xuất hiện 7n, xét X + 4Y để xuất hiện 14n,
Bài 13: Tìm các số tự nhiên, biết rằng tích của nó với số tự nhiên liền sau
nó có tận cùng là 00.
Hướng dẫn: Gọi n là số phải tìm, ta có n(n + 1) chia hết cho 100.
Xét hai trường hợp
a) Có một trong các thừa số n, n + 1 chia hết cho 100. Khi đó n là số có tận cùng
là 00 hoặc 99
b) Khơng có thừa số nào chia hết cho 100, chú ý rắng (n, n + 1) = 1 nên trong n
và n + 1 có một số chia hết chia hết cho 25 và số kia chia hết cho 4. Có hai khả
năng: Nếu n chia hết cho 25, n + 1 chia hết cho 4 thì xét n có tận cùng là 25, 50,
75 chọn được n có tận cùng là 75 để n + 1 chia hết cho 4; Nếu n + 1 chia hết cho
25, n chia hết cho 4 chọn được n + 1 có tận cùng 25 để n chia hết cho 4.
Vậy các số tự nhiên phải tìm là các số có tận cùng 00, hoặc 24, hoặc 75, hoặc 99.
Bài 14: Thêm ba chữ số vào đằng sau số 523 để đươc số chia hết cho 6, 7, 8, 9
Hướng dẫn:
Số phải tìm là 523 * * * chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên phải chia hết cho 504, là
BCNN (6,7,8,9)
Xét số 523999 chia cho 504 dư 343, do đó ta có các số
523999 – 343 = 523656 ; 523656 – 504 = 523152
Đó là hai số phải tìm

Bài 15: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: p 2 − 1 24
( Trích đề thi HSG Toán 6 huyện Hậu Lộc năm học 2021-2022)
Hướng dẫn:
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3
Ta có: p 2 − 1 = p 2 − p + p − 1 = p( p − 1) + ( p − 1) = ( p − 1)( p + 1)
Do p là số lẻ nên p = 2k + 1(k  N * )
 p 2 − 1 = ( p − 1)( p + 1) = 2k (2k + 2) = 4k (k + 1)8(1)
Mặt khác , p-1,p,p+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, mà
p khơng chia hết cho 3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3.
Từ đó suy ra:  p 2 − 1 = ( p − 1)( p + 1)3(2 )
Vì (3;8)=1 và từ (1) và (2) nên suy ra p 2 − 1 24
Bài 16: Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x2 + y2 – x chia hết cho
xy. Chứng minh rằng: x là số chính phương
( Trích đề thi HSG Toán 7 huyện Hậu Lộc năm học 2021-2022)
14


Hướng dẫn:
1) Đặt (x, y) =d, ta có: x = dm, y = dn, với m, n là các số nguyên dương
nguyên tố cùng nhau. Theo đề bài cho ta có:
2) x 2 + y 2 − x xy  d 2 m 2 + d 2 n 2 − dm d 2 mn
m d (1)
 dm 2 + dn 2 − m dmn   2
dn m ( 2 )

Vì (m,n)=1 nên (m, n2) = 1 nên từ (2) ta có: d m (3)
Từ (1) và (3) ta có: m = d
Vậy x = dm = d2 là số chính phương (đpcm)
2.4. Hiệu quả đạt được khi áp dụng đề tài:
Sau khi áp dụng đề tài “Rèn một số kĩ năng giải bài toán chia hết nhằm

nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 7 ở trường THCS Chu Văn An – Nga
Sơn”, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy kiến thức phần phép chia hết trong tập
hợp số tự nhiên, học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động, có hệ thống, kết
quả học tập của các em nâng lên rõ rệt, khả năng tư duy có chiều sâu, lập luận
chặt chẽ, học sinh có hứng thú đối với dạng bài tập này, học sinh hiểu bài và nhớ
bài rất nhanh. Đa số các em tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng hơn, các em đã
biết khai thác sâu bài toán, biết xâu chuỗi các bài toán, biết vận dụng các kiến
thức cơ bản, nâng cao sử dụng tổng hợp nhiều kiến thức giải được nhiều bài tập
liên quan đến phép chia hết.
Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, các phẩm chất trí
tuệ' khác được hình thành và học sinh cũng thấy được dạng tốn này thật phong
phú chứ khơng đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn.
Qua thực tế giảng dạy phần kiến thức về phép chia hết ở lớp 7D, năm học
2021-2022. Sau khi tham khảo ý kiến của đồng nghiệp và xây dựng đề cương
chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm, tôi vận dụng dạy lớp 7D năm học 2021-2022
chủ yếu ở các tiết luyện tập, ôn tập, các buổi học bồi dưỡng buổi chiều và qua
việc khảo sát tôi thấy rằng chất lượng học sinh được nâng lên.
Kết quả khảo sát sau khi áp dụng đề tài như sau:
Sĩ số
Loại giỏi
Loại khá
Trung bình
SL
%
SL
%
SL
%
42
14

33.3
18
42.9
10
23.8
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Qua đề tài này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận
dụng thành thạo kiến thức vào giải quyết bài tập thì giáo viên phải khơng ngừng
nâng cao trình độ cho bản thân, phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ từng
15


bài toán, phát triển từ bài toán dễ thành bài tốn khó. Phân dạng và xâu chuỗi
các bài tốn, xây dựng phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Để học sinh
hiểu được bài thì giáo viên phải ln trăn trở tìm ra phương pháp truyền thụ kiến
thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất, hiệu quả nhất và gây được hứng thú
cho học sinh. Vì vậy đổi mới phương pháp dạy học chính là con đường thiết yếu
để nâng cao chất lượng giáo dục trong các nhà trường. Mỗi giáo viên phải biến
quá trình giáo dục của mình thành một quá trình lao động sáng tạo, truyền cho
học sinh niềm đam mê, u thích mơn học, khả năng tư duy sáng tạo, khả năng
tự học tự giải quyết vấn đề trong học tập và trong cuộc sống.
Trong khuôn khổ của đề tài “Rèn một số kĩ năng giải bài toán chia hết
nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh lớp 7 ở trường THCS Chu Văn An –
Nga Sơn” tôi đã áp dụng vào việc giảng dạy lớp 7D trường THCS Chu Văn An
và đã nâng cao được chất lượng rõ rệt.
3.2. Kiến nghị.
Trong quá trình thực hiện đề tài, thực tế khi giảng dạy cho học sinh để
nâng cao được chất lượng giảng đại trà cũng như chất lượng mũi nhọn tơi có
một số đề nghị sau:

- Biết cách phân loại ra từng đối tượng học sinh, từ đó có thể đưa ra
những dạng tốn thích hợp.
- Với mỗi dạng toán nên đưa các bài tập từ đơn giản đến phức tạp để các
em có thể dễ dàng tiếp cận từ đó các em có thể phát huy được tính sáng tạo.
- Đối với người dạy phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp phù
hợp với từng chủ đề, từng đối tượng.
- Hơn hết, người dạy phải ln có tinh thần học hỏi, tìm tịi sách vở, tài
liệu cũng như học hỏi các bạn đồng nghiệp thậm chí ngay cả đối với học sinh...
Trên đây là những đánh giá mang tính chất chủ quan dựa vào quá trình tự
tìm hiểu và đã trải qua quá trình thực nghiệm giảng dạy thực tế. Với khả năng và
trình độ có hạn, chắc chắn cịn nhiều thiếu sót. Rất mong sự đóng góp chân
thành của q bạn đọc đặc biệt là các bạn đồng nghiệp để đề tài có những cải
tiến tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 29 tháng 03 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết.
Người thực hiện

Trịnh Xuân Kỳ
16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 7 tập 1 (Nhà xuất bản giáo dục)
2. Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 (Vũ Hữu Bình - NXB GD)
3. Bồi dưỡng Tốn 7 (Nhà xuất bản giáo dục)
4. Toán nâng cao và các chuyên đề Toán 7 (Nhà xuất bản giáo dục)

5. Tuyển tập 400 bài tập Toán 7 (Nhà xuất bản giáo dục)
6. Các chuyên đề chọn lọc Toán 7.( Nhà xuất bản giáo dục)
7. Các dạng Tốn điển hình 7. ( Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)
8. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi. ( Nguyễn Đức Tấn - Nhà xuất bản tổng
hợp Thành phố Hồ Chí Minh)
9. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7 (Bùi Văn Tuyên - NXB GD)
10. Một số đề thi HSG mơn Tốn 6,7 cấp huyện năm học 2021-2022
*) DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ
XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Xuân Kỳ
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THCS Chu Văn An
Cấp
Kết quả
đánh
đánh
STT
Tên đề tài SKKN
giá xếp giá xếp
loại
loại
1
Hướng dẫn học sinh giải phương
Phịng
A
trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
GD&ĐT
2
Xây dựng nề nếp tự quản cho học
Phòng

C
sinh lớp 6
GD&ĐT
3
Một số phương pháp phụ đạo học
Phòng
A
sinh yếu kém
GD&ĐT
4
Một số phương pháp phụ đạo học
Sở
B
sinh yếu kém
GD&ĐT
5
Vẽ thêm yếu tố phụ để giải hình học7 Phịng
B
7.
GD&ĐT
6
Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải
Phịng
bài tập hình học 7 có vẽ thêm yếu tố
A
GD&ĐT
phụ ở trường THCS Chu Văn An
Phát triển khả năng tư duy cho học sinh lớp
7
Phịng

6 thơng qua bài tốn dãy số có quy luật ở
B
GD&ĐT
trường THCS Chu Văn An
8

Vận dụng một số tính chất của số chính
phương để giải phương trình nghiệm
ngun ở lớp 8 trường THCS Chu Văn An

Phòng
GD&ĐT

B

Năm học
đánh giá
xếp loại
2005-2006
2007 - 2008
2008 - 2009
2008 - 2009
2011- 2012
2012 - 2013
2015 - 2016
2018 - 2019

17