TUYỂN TẬP PHƯƠNG PHÁP TOÁN Ở TIỂU HỌC

PHNG PHÁP TÍNH NGC T CUI
Có mt s bài toán cho bit kt qu sau khi thc hin liên tip mt s phép tính i
i s phi tìm. Khi gii các bài toán dng này, ta thng dùng phng pháp tính
ngc t cui (ôi khi còn gi là phng pháp suy ngc t cui)
Khi gii toán bng phng pháp tính ngc t cui, ta thc hin liên tip các phép
tính ngc vi các phép tính ã cho trong  bài. Kt qu tìm c trong bc
trc chính là thành phn ã bit ca phép tính lin sau ó. Sau khi thc hin ht
dãy các phép tính ngc vi các phép tính ã cho trong  bài, ta nhn c kt qu
n tìm.
Nhng bài toán gii c bng phng pháp tính ngc t cui thng cng gii
c bng phng pháp i s hoc phng pháp ng dng  th (xem các s tip
theo).
Ví d 1: Tìm mt s, bit rng tng só gp ôi, sau ó cng vi 16 ri bt i 4
và cui cùng chia cho 3 ta c kt qu bng 12.
Phân tích: Trong bài này ta ã thc hin liên tip i vi dãy s cn tìm dãy các
phép tính di ây:
x 2, + 16, - 4, : 3 cho kt qu cui cùng bng 12.
- Ta có th xác nh c s trc khi chia cho 3 c kt qu là 12 (Tìm s b chia
khi bit s chia và thng s).
- Da vào kt qu tìm c  bc 1, ta tìm c s trc khi bt i 4 (Tìm s b
tr khi bit s tr và hiu s).
- Da vào kt qu tìm c  bc 2, ta tìm c s trc khi cng vi 16 (Tìm s
ng cha bit khi bit s hng kia và tng s).
- Da vào kt qu tìm c  bc 3, ta tìm c s trc khi nhân vi 2, chính là
 cn tìm (Tìm tha s cha bit khi bit tích và tha s kia).
 phân tích trên ta i n li gii nh sau:
 trc khi chia cho 3 là:
12 x 3 = 36
 trc khi bt i 4 là:
36 + 4 = 40
 trc khi cng vi 16 là:

40 - 16 = 24
 cn tìm là:
24 : 2 = 12
Tr li: S cn tìm là 12.
Ví d 2: Tìm ba s, bit rng sau khi chuyn 14 n v t s th nht sang s th
hai, chuyn 28 n v t s th hai sang s th ba ri chuyn 7 n v t s th ba
sang s th nht ta c ba su bng 45.
Phân tích: Ta có th minh ha các thao tác trong  bài bng s sau:
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t

r
a
c
k
.
c
o
m
Ta có:
 th nht: - 14; + 7 cho kt qu là 45
 th hai: + 14; - 28 cho kt qu là 45
 th ba: + 28; - 7 cho kt qu là 45
 phân tích trên ta i n li gii ca bài toán nh sau:
 th nht là: 45 - 7 + 14 = 52.
 th hai là: 45 + 28 - 14 = 49.
 th ba là: 45 + 7 - 28 = 24.
Tr li: Ba s cn tìm là: 52; 49 và 24.
i gii bài toán trên có th th hin trong bng sau:
Tr li: Ba s cn tìm là: 52; 49 và 24.
Các bn th gii các bài toán sau bng phng pháp tính ngc t cui:
Bài 1: Tìm mt s, bit rng gim só i 3 ln, sau ó cng vi 5, ri nhân vi 2
và cui cùng chia cho 8 c kt qu bng 4.
Bài 2: Tng s ca ba s bng 96. Nu chuyn t s th hai sang s th nht 3 n
 và sang s th ba 17 n v, cui cùng chuyn t s th ba sang s th nht 9
n v thì s th nht s gp ôi s th hai và bng 2/5 s th ba. Tìm ba só.
Trn Diên Hin
(Trng i hc S phm Hà Ni)
TH NÀO LÀ GI THIT TM
Trong các bài toán  Tiu hc, có mt dng toán trong ó  cp n hai i tng
(là ngi, vt hay s vic) có nhng c m c biu th bng hai s lng

chênh lch nhau, chng hn hai chuyn ng có vn tc khác nhau, hai công c lao
ng có nng sut khác nhau, hai loi vé có giá tin khác nhau
Ta tht ra mt trng hp c th nào ó không xy ra, không phù hp vi u
kin bài toán, mt kh nng không có tht , thm chí mt tình hung vô lí. Tt nhiên
gi thit này ch là tm thi  chúng ta lp lun nhm a bài toán v mt tình
hung quen thuc ã bit cách gii hoc lp lun  suy ra c cái phi tìm. Chính
vì th mà phng pháp gii toán này phi òi hi có dc tng tng phong phú, óc
suy lun linh hot
Nhng bài toán gii c bng phng pháp gi thit tm có th gii bng phng
pháp khác. Tuy nhiên, trong nhiu trng hp, cách gii bng gi thit tm thng
n gàng và mang tính "c áo".
Ví d : Trc ht, ta hãy xét mt bài toán c quen thuc sau ây:
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
a gà va chó
Bó li cho tròn
Ba mi sáu con
t trm chân chn
i my gà, my chó?
Cách 1:
(Cách gii quen thuc)
Rõ ràng 36 con không th là gà c (vì khi ó có 2 x 36 = 72 chân!), cng không th
là chó c (vì khi ó có 4 x 36 = 144 chân!).
Bây gi ta gi s 36 con u là chó c (ây là gi thit tm), thì s chân s là: 4 x 36
= 144 (chân).
 chân dôi ra là: 144 - 100 = 44 (chân)
 d nh vy là vì s chân ca mi con chó hn s chân ca mi con gà là: 4 - 2 =
2 (chân).
y s gà là: 44:2 = 22 (con).
 chó là: 36 - 22 = 14 (con).
Cách 2:
Ta th tìm mt gi thit tm khác na nhé.

Gi thit, mi con vt c "mc" thêm mt cái u na ! khi ó, mi con có hai
u và tng su là:
2 x 36 = 72 (u)
Lúc này, mi con gà coá hai u và hai chân , Mi con chó có hai u bn chân.
y s chân nhiu hn su là:
100 - 72 = 28 (cái)
i vi gà thì s chân bng su, còn i vi chó có s chân nhiu hn su là:
4 - 2 = 2 (cái)
Suy ra s chó là:
28:2 = 14 (chó)
 gà là: 36 - 14 = 22 (gà).
Cách 2:
Bây gi ta gi thit mt tng hp tht vô lí nhé! Ta gi thit mi con vt u b
"cht i" mt na s chân. Nh vy, mi con chó ch còn có hai chân và mi con gà
ch con mt chân. tng s chân cng ch còn mt na, tc là:
100 : 2 = 50 (chân 0.
Bây gi, ta li gi thit mi con chó phi "co" mt chân lên  mi con vt ch có
t chân, khi ó 36 con vt có 36 chân. Nh vy, s chân chó phi "co" lên là:
50 - 36 = 14 (chân). Vì mi con chó có mt chân "co" nên suy ra có 14 con chó.
y s gà là: 36 - 14 = 22 9con).
Cách 4:
i ý : Gi s mi con gà "mc thêm" 2 chân, khi ó c 36 con u có 4 chân và
ng s chân là:
4 x 36 = 144 (chân)
i các bn tip tc c lp lun, ng thi xét xem u gi thit tm thi này da
vào cách gii nào ã bit).
Cách 5:
i ý : Gi s mi con chó "b cht i" 2 chân, khi ó c 36 con u có 2 chân và
ng s chân là:
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
2 x 36 = 72 (chân)

(Mi bn c tip tc lp lun, sau ó cng xét xem gi thit tm thi này ã da
vào cách gii quen thuc nào nhé.)
Sau ây là mt s bài vn dng:
Bài tp 1:
p Kim ng mt bui chiu phim bán c 500 vé gm hai loi 2000 và 3000.
 tin thu c là 1120000. Hi s vé bán mi lai là bao nhiêu?
(Tr li: 380 vé và 120 vé).
bài tp 2:(bài toán c)
Quýt ngon mi qu chia ba
Cam ngon mi qu chia ra làm mi
i ngi mt ming, trm ngi
Có mi by qu, chia ri còn âu!
i có my qu cam, my qu quýt?
(Tr li: 7 qu cam, 10 qu quýt!)
 Dng Thu
RÚT GN PHÂN S
Rút gn mt phân sã cho là tìm mt phân s bng nó mà t s và mu s này
nh hn t s và mu s ca phân sã cho. Thông thng, khi rút gn phân s là
phi c mt phân s ti gin. Cách rút gn phân s : Cùng chia t s và mu s
cho mt s t nhiên ln hn 1. u quan trng nht là phi tìm c s t nhiên
ó  thc hin vic rút gn phân s. Vic này có th thc hin mt ln hoc vài ln
i tìm c phân s ti gin. di ây là mt s ví d minh ho v cách tìm "s
rút gn c".
1. Da và du hiu chia ht
Ví d. Rút gn mi phân s :6/8 (cùng chia 2); 27/36 (cùng chia 9); 15/40 (cùng
chia 5).
2. Chia dn tng bc hoc gp các bc (theo quy tc chia mt s cho mt tích).
Ví d. Rút gn phân s 132 / 204
132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102;
66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17

t 132 / 204 = 11/17.
Vì 2 x 2 x 3 = 12 nên
132:12 / 204:12 = 11/17.
3. Dùng cách th chn theo các bc.
Ví d. Rút gn phân s 26/65.
c 1: 26:2 = 13
c 2: 65:13 = 5
c 3: Cùng chia 13.
26:13 / 65:13 = 2/5.
4. Phân s có dng c bit.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Ví d. Rút gn phân s 1133 / 1442.
c 1: 1133 : 11 = 103
c 2: 1442 :14 = 103
c 3: Cùng chia 103.
1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14.
n dng nhng hiu biét ca mình, các em hãy t gii các bài tp sau:
Rút gn phân s: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313.
 Trung Hiu
BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI
Các bn va gii bài toán “Ôtôna ã làm th nào?”. ây là bài toán tng t ca bài
toán dân gian:
“Mt ngi nông dân nuôi c 17 con trâu. Trc khi qua i, ông di chúc li cho
ba ngi con:
- Con cc 1/2 àn trâu.
- Con thc chia 1/3 àn trâu.
- Con út c chia 1/9 àn trâu.
Ba ngi con loay hoay không bit làm th nào  chia gia tài mà không phi x tht
các con trâu. Em hãy tìm cách giúp h”.
Có th gii bài toán nh sau:
Em em mt con trâu (nu không có trâu tht thì dùng trâu bng g chng hn) n

nhp thêm vào 17 con trâu thành mt àn 18 con trâu. Sau ó:
- Chia cho ngi con c 1/2 àn, tc là: 18 : 2 = 9 (con trâu)
- Chia cho ngi con th 1/3 àn, tc là: 18 : 3 = 6 (con trâu)
- Chia cho ngi con út 1/9 àn, tc là: 18 : 9 = 2 (con trâu)
y ba ngi con c va úng:
9 + 6 + 2 = 17 (con trâu)
Còn em li mang con trâu ca mình v.
Cách gii trên tuy hi l nhng cng d hiu: Vì 17 không chia ht cho 2, cho 3 và
cho 9; nhng khi có thêm 1 con trâu na thì 18 lin chia ht cho 2, 3 và 9. Nh th
mà chia c.
Song cái c áo ca cách gii này li  ch khác c.
u ta  ý thì thy ngay
9 con trâu > 17/2 con trâu (vì18/2>17/2 )
6 con trâu > 17/3 con trâu (vì 18/3>17/3 )
2 con trâu > 17/9 con trâu (vì 18/9>17/9 )
Do ó trong cách chia trên ngi con nào cng c hng li. y th mà em li
không mt thêm mt con trâu nào (con trâu em n li dt v). Sao kì vy? Ch bí
him ây là do tng ba phân s biu th các phn c
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E

w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E

w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
chia theo di chúc cha bng 1 (tc là cha bng càn trâu), vì:
(1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (àn trâu)
Nh vy, tht ra ngi cha ã ch di chúc chia cho các con có 17/18 àn trâu mà
thôi, còn thiu 1/18 na thì mi  18/18, tc là càn trâu.
Th nhng nh em em thêm 1 con trâu na ti nên ã chia c cho ba ngi con
àn trâu (hay àn trâu, gm 17 con). Do ó c ba ngi con u c chia nhiu
n phn nêu  di chúc nhng em li không tn thêm mt con trâu nào!
Tht là mt bài toán c áo!
Phm ình Thc
(TP H Chí Minh)
T DNG TOÁN
DÙNG DU HIU CHIA HT

Trong tháng 9 các em lp 5 ã hc v du hiu chia ht cho 2, 3, 5, 9. Các em ã c làm
quen vi dng toán n ch s thích hp vào du sao (*) tha mãn u kin chia ht cho
t s nào ó. Chng hn :
Bài toán 1 : (bài 4 trang16 SGK toán 5)
Vit ch s thích hp vào du sao (*) c s chia ht cho 9 :
a) 4*95 ; b) 89*1; c) 891*; d) *891
 các bài toán này ta ch cn da vào du hiu chia ht cho 9  tìm ch sn vào du *.
Khi ã hc ht du hiu chia ht cho 2, 3, 5, 9, các em có th gii các bài toán phi hp
các u kin chia ht n nhng ch s thích hp :
Bài toán 2 : Thay a, b trong s 2003ab bi ch s thích hp  s này ng thi chia ht
cho 2, 5 và 9.
Phân tích : Tìm ch s nào trc, mun tìm ch sy da vào du hiu nào ?
b là ch s tn cùng nên tìm b da vào du hiu chia ht cho 2 và 5. Vy tìm a s da vào
u hiu chia ht cho 9. Mt s chia ht cho 2 và 5 khi só có tn cùng là 0. Tó ta có
cách gii sau.
Gii : S 2003ab ng thi chia ht cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào s 2003ab ta
c 200a0. S này chia ht cho 9 nên tng các ch s ca nó chia ht cho 9. Vy (2 +0
+0 +3 +0) chia ht cho 9 hay (5 +a) chia ht cho 9. Vì 5 chia cho 9 d 5 nên a ch có th là
4.
Ta bit rng: A chia cho B d r tc là :
- A - r chia ht cho B (1)
- A + (B - r) chia ht cho B (2)
ó các bn có th gii quyt bài toán :
Bài toán 3 : Cho A = x459y. Hãy thay x, y bi ch s thích hp  A chia cho 2 ; 5 và 9
u d 1.
Nhn xét : A chia cho 2 ; 5 và 9 u d 1 nên A - 1 ng thi chia ht cho 2 ; 5 và 9. Vy
ta có th gii bài toán da vào u kin (1) A - r chia ht cho B  gii.
Gii : Vì A chia cho 2 ; 5 và 9 u d 1 nên A - 1 chia ht cho 2 ; 5 và 9. Vy ch s tn
cùng ca A - 1 phi bng 0, suy ra y = 1. Vì A - 1 chia ht cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia
t cho 9 hay x + 18 chia ht cho 9. Do 18 chia ht cho 9 nên x chia ht cho 9, nhng x là

ch s hàng cao nht nên x khác 0. Tó x ch có th bng 9. Thay x = 9 ; y = 1 vào A ta
c s 94591.
 bài toán trên A chia cho các s có cùng s d. Bây gi ta xét :
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

c
o
m
Bài toán 4 : Tìm s t nhiên bé nht chia cho 2 d 1, chia cho 3 d 2 ; chia cho 4 d 3 và
chia cho 5 d 4.
Tuy các s d khác nhau nhng : 2 - 1 = 1 ; 3 - 2 = 1 ; 4 - 3 = 1 ; 5 - 4 = 1. Nh vy ta có
th s dng u kin (2) A + (B - r) chia ht cho B  gii bài toán này.
Gii : Gi s cn tìm là A. Vì A chia cho 2 d 1 và A chia cho 5 d 4 nên A + 1 ng thi
chia ht cho 2 và 5. Vy ch s tn cùng ca A + 1 là 0. Hin nhiên A +1 không th có 1
ch s. Nu A + 1 có 2 ch s thì có dng x0. Vì x0 chia ht cho 3 nên x ch có th là 3 ; 6
; 9 ta có s 30 ; 60 ; 90. Trong 3 só ch có 60 là chia ht cho 4.
y A +1 = 60
A = 60 - 1
A = 59
Do ó s cn tìm là 59.
Bài vit này mi ch cp ti mt phng pháp  vn dng tiêu chun chia ht cho các
. Gii các bài toán xác nh các ch s cha bit ca mt s các bn có th tìm thêm
nhng phng pháp khác và luyn tp qua các bài tp sau :
Bài 1 : Tìm s t nhiên nh nht khác 1 sao cho khi chia cho 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 7 u d 1.
Bài 2 : Cho s a765b ; tìm a ; b  khi thay vào sã cho ta c s có 5 ch s chia cho
2 d 1 ; chia cho 5 d 3 và chia cho 9 d 7.
Bài 3 : Hãy vit thêm 3 ch s vào bên phi s 567 c s l có 6 ch s khác nhau,
khi chia só cho 5 và 9 u d 1.
Bài 4 : Tìm s có 4 ch s chia ht cho 2 ; 3 và 5, bit rng khi i chõ các ch s hàng
n v vi hàng trm hoc hàng chc vi hàng nghìn thì só không thay i.
Chúc các bn thành công!
Phng Hoa
(Ngõ 201, Cu giy, Hà Nôi
QUY NG T S CÁC PHÂN S
Trong các sách giáo khoa không có bài hc v "quy dng t s các phân s". Thc

ra vic quy ng t s các phân s có tha v vic quy ng mu s các phân s
o ngc" (úng ra là các s nghch o ca phân sã cho). Tuy nhiên, trong
nhiu trng hp thì vic làm ó d gây ra s phin phc, hoc d b nhm ln.
t s bài toán di ây có th gii bng nhiu cách, trong ó có th dùng cách quy
ng mu s các phân s. Tuy nhiên ây ch nói cach quy ng t s các phân s.
+ Ví d 1. Ba khi lp có 792 hc sinh tham gia ng din th dc. Tìm s hc sinh
i khi lp, bit rng 2/3 s hc sinh khi ba bng 1/2 s hc sinh khi bn và
ng 40% s hc sinh khi nm.
Quy ng t s các phân s 2/3; 1/2; 40/100
Ta có: 1/2 = 2/4; 40/100 = 2/5
nh vy 2/3 s hc sinh khi ba bng 2/4 s hc sinh khi bn và bng 2/5 s hc
sinh khi nm. Nh các mu s này mà v s minh ho.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
a trên s này d dàng tìm c s hc sinh mi khi (khi ba có 198 HS; khi
n có 264 HS; khi nm có 330 HS).
n lu ý rng các phân s 2/3; 2/4; 2/5 có th gim 2 ln a 1/3 s HS khi ba
ng 1/4 s HS khi bn và bng 1/5 s HS khi nm (tr thành bài toán c bn).
+ Ví d 2. Tìm hai s, bit rng 3/4 ca s th nht bng 6/11 ca s th hai; s
th hai ln hn s th nht là 1935 dn v.
Quy ng t s các phân s 3/4 và 6/11. Ta có 3/4 = 6/8
Nh vy 6/8 ca s th nht bng 6/11 ca s th hai; hay 1/8 ca s th nht bng
1/11 ca s th hai.
a trên s này có th tìm c mi s (s th nht là 5160; s th hai là 7095).
 nhng ví d trên cho thy vic quy ng t s làm vic xác nh t s ca hai s
c d dàng, thun tin hn.
PGS.TS  Trung Hiu
N THNG VI CÁC PHN BNG NHAU
Trong dng toán : "Tìm hai s khi bit tng và t s" phng pháp gii bng sn
thng là phng pháp phù hp nht vi t duy còn mang tính trc quan ca hc sinh tiu
c. Khi v s, mi sc biu th bng mt s phn bng nhau  th hin t s,
chng hn :

Bài toán 1 : Hai s có tng bng 360, bit 1/4 s th nht bng 1/6 s th hai. Tìm hai s
ó.
Phân tích : Bài toán ã cho bit mt phn t ca s th nht bng mt phn sáu ca s
th hai, trong khi s th nht chia làm 4 phn bng nhau, thì s th hai s là 6 phn nh
th.
Gii : Ta có s sau :
 th nht là : 360 : (4 + 6) x 4 = 144
 th hai là : 360 - 144 = 216
áp s : S th nht : 144 ; S th hai : 216.
Nhn xét : Bài toán 1, phân s 1/4 và 1/6 là hai phân s có t s bng 1. Nu ta thay hai
phân s này bi hai phân s có t s bng nhau, chng hn 3/4 và 3/6 thì vn a c v
bàI toán 1. Vy khi t s ca hai phân s khác nhau thì ta cn quy ng t s.
Bài toán 2 : Hai s có tng là 230. Bit 3/4 s th nht bng 2/5 s th hai. Tìm hai só.
Phân tích : Bài toán này không v s ngay nh bài toán 1 c vì và không cùng t
. Vy a bài toán này v dng bài toán 1 ta phi chuyn 3/4 và 2/5 v hai phân s
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
cùng t s (quy ng t s).
Ta có : 3/4 = 6/8; 2/5 = 6/15. Vy 3/4 s th nht bng 2/5 s th hai hay 6/8 s th nht
ng 6/15 s th hai. Do ó 1/8 s th nht bng 1/15 s th hai. n ây bài toán hoàn
toàn tng t bài toán 1.
Gii : 3/4 s th nht bng 2/5 s th hai hay 6/8 s th nht bng 6/15 s th hai. Do ó
1/8 s th nht bng 1/15 s th hai nên s th nht chia làm 8 phn bng nhau thì s th
hai gm 15 phn nh th. Ta có s :
 th nht là : 230 : (8 + 15) x 8 = 80
 th hai là : 230 - 80 = 150
áp s : S th nht : 80 ; S th hai : 150.
Ta có th thay i gi thit  bài toán có thêm các bc tính na mi tr v dng bài toán
2. Ta xét bài toán sau :
Bài toán 3 : Hai s có tng là 230. Nu bt s th nht i 1/4 ca nó và bt s th hai i
3/5 ca nó thì c hai s mi bng nhau. Tìm hai s ban u.
Phân tích : T gi thit ta thy 1- 1/4 = 3/4 (s th nht) úng bng 1- 3/5 = 2/5 (s th

hai). Do ó bàI toán tr v bàI toán 2
Bây gi ta xét tình hung phc tp hn
Bài toán 4 : Tng hai s bng 104. Tìm hai só bit rng 1/4 s th nht kém 1/6 s th
hai là 4 n v.
Gii: 1/4 s th nht cng thêm 4 n v thì bng 1/6 s th hai nên s th hai chia làm 6
phn bng nhau thì mi phn chính là 1/4 s th nht cng thêm 4 n v. Ta có s :
Bài toán 5 : Ba tm vi dài 105 m. Nu ct i 1/9 tm vi th nht,3/7 tm vi th hai và
1/3 tm vi th ba thì phn còn li ca ba tm vi bng nhau. Hi lúc u mi tm vi dài
bao nhiêu mét ?
Các em hãy t gii bài toán này nhé !
Nguyn Th Thin
(GV trng TH Hp Lnh, Tiên Du, Bc Ninh)
T DNG TOÁN V PHÂN S
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Khi hc v phân s các em c làm quen vi nhiu bài toán có li vn mà khi gii
phi chuyn chúng v dng toán n hình. Trong bài vit này tôi xin trao i v
t dng toán nh th thông qua mt s ví d sau :
Ví d 1 : Tìm mt phân s bit rng nu nhân t s ca phân só vi 2, gi
nguyên mu s thì ta c mt phân s mi hn phân s ban u là 7/36.
Phân tích : Ta ã bit nhân mt phân s vi s t nhiên ta ch vic nhân t ca
phân s vi s t nhiên ó và gi nguyên mu s. Vy nhân t s ca phân s vi 2,
gi nguyên mu s tc là ta gp phân só lên 2 ln. Bài toán c chuyn v bài
toán tìm hai s bit hiu và t.
Bài gii : Nu nhân t s ca phân só vi 2, gi nguyên mu s ta c phân s
i. Vy phân s mi gp 2 ln phân s ban u, ta có s :
Phân s ban u là :
Ví d 2 : Tìm mt phân s bit rng nu ta chia mu s ca phân só cho 3, gi
nguyên t s thì giá tr ca phân s tng lên 14/9.
Phân tích : Phân s là mt phép chia mà t s là s b chia, mu s là s chia. Khi
chia mu s cho 3, gi nguyên t s tc là ta gim s chia i 3 ln nên thng gp
lên 3 ln hay giá tr ca phân só gp lên 3 ln. Do ó phân s mi gp 3 ln phân

 ban u. Bài toán chuyn v dng tìm hai s bit hiu và t.
Bài gii : Khi chia mu ca phân s cho 3, gi nguyên t s thì ta c phân s mi
nên phân s mi gp 3 ln phân s ban u, ta có s :
Phân s ban u là :
Ví d 3 : An ngh ra mt phân s. An nhân t s ca phân só vi 2, ng thi
chia mu s ca phân só cho 3 thì An c mt phân s mi. Bit tng ca phân
 mi và phân s ban u là 35/9. Tìm phân s An ngh.
Phân tích : Khi nhân t s ca phân s vi 2, gi nguyên mu s thì phân só gp
lên 2 ln. Khi chia mu s ca phân s cho 3, gi nguyên t s thì phân só gp
lên 3 ln. Vy khi nhân t s ca phân s vi 2 ng thi chia mu s ca phân s
cho 3 thì phân só gp lên 2 x 3 = 6 (ln). Bài toán c chuyn v dng toán n
hình tìm 2 s bit tng và t.
Bài gii : Khi nhân t s ca phân s An ngh vi 2 ng thi chia mu s ca phân
ó cho 3 thì c phân s mi. Vy phân s mi gp phân s ban u s ln là :
2 x 3 = 6 (ln), ta có s :
Phân s ban u là :
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
 3 ví d trên ta rút ra mt nhn xét nh sau :
t phân s :
- Nu ta tng (hoc gim) t s bao nhiêu ln và gi nguyên mu s thì phân só
ng (hoc gim) by nhiêu ln.
- Nu ta gim (hoc tng) mu s bao nhiêu ln và gi nguyên t s thì phân só
ng (hoc gim) by nhiêu ln.
Các bn hãy th sc ca mình bng mt s bài toán sau ây :
Bài 1 : Tìm mt phân s bit rng nu tng t s lên 6 ln, ng thi tng mu s
lên 2 ln thì giá tr phân s tng 12/11.
Bài 2 : Toán ngh ra mt phân s sau ó Toán chia t s ca phân s cho 2 và nhân
u s ca phân s vi 4 thì Toán thy giá tr ca phân s gim i 15/8. Tìm phân
 mà Toán ngh.
Bài 3 : T mt phân s ban u, Hc ã nhân t s vi 3 c phân s mi th
nht, chia mu s cho 2 c phân s mi th hai, chia t s cho 3 ng thi nhân

u s vi 2 c phân s mi th ba. Hc thy tng ba phân s mi là 25/8. 
n tìm c phân s ban u ca Hc.
Ngô Vn Nghi
(Giáo viên trng TH Nam ào, th trn Nam Giang, Nam Trc, Nam nh)
BÀI TOÁN TÍNH TUI
Trong nhiu loi toán, ngi ta thng  ý n nhng i lng không thay i. i vi
bài toán tính tui thì i lng ó chính là hiu s gia tui ca hai ngi. Da vào i
ng này ta có th gii c nhiu bài toán tính tui.
Bài toán 1 : Hin nay, tui b gp 7 ln tui con. Sau 10 nm na, tui b gp 3 ln tui
con. Tính tui mi ngi hin nay.
Phân tích : Bài toán yêu cu tính s tui ca hai b con hin nay nhng ch cho bit :
- T s tui ca hai b con  hai thi m khác nhau.
- Khong cách thi gian gia hai thi m ó.
Nhng ta có th d dàng phát hin ra mt u kin na ca bài toán, ó là "hiu s tui
a hai b con là không i". Tó ta có th gii c bài toán nh sau.
Gii : Hin nay, nu tui con là 1 phn thì tui b là 7 phn nh th. Ta có s th nht
:
Hiu s tui ca hai b con hin nay là : 7 - 1 = 6 (phn)
Hin nay t s gia tui con và hiu s tui ca hai b con là 1 : 6 = 1/6
Sau 10 nm na, nu tui con là 1 phn thì tui b là 3 phn nh th (mi phn bây gi có
giá tr khác mi phn  trên). Ta có s th hai :
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A

N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A

N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Sau 10 nm hiu s tui ca hai b con là : 3 - 1 = 2 (phn)
Sau 10 nm t s gia tui con và hiu s tui ca hai b con là 1 : 2 = 1/2
Vì hiu s tui ca hai b con không bao gi thay i nên ta có th so sánh v t s gia
tui con hin nay và tui con sau 10 nm na.
- Tui con hin nay bng 1/6 hiu s tui ca hai b con.
- Tui con sau 10 nm na bng 1/2 hay 3/6 hiu s tui ca hai b con.
y tui con sau 10 nm na gp 3 ln tui con hin nay. Ta có s tui con  hai thi
m :
Tui con hin nay là : 10 : 2 = 5 (tui)

Tui b hin nay là : 5 x 7 = 35 (tui)
áp s : Con : 5 tui ; B : 35 tui
Bài toán 2 : Trc ây 4 nm tui m gp 6 ln tui con. Sau 4 nm na, t s gia tui
con và tui m là 3/8 Tính tui mi ngi hin nay.
Phân tích : Bài toán này t ra ba thi m khác nhau (Trc ây 4 nm, hin nay và sau
ây 4 nm). Nhng chúng ta ch cn khai thác bài toán  hai thi m : Trc ây 4 nm
và sau ây 4 nm na. Ta phi tính c khong cách thi gian gia hai thi m này.
Bài toán này có th gii tng t nh bài toán 1.
Gii : Trc ây 4 nm nu tui con là 1 phn thì tui m là 6 phn nh th.
Hiu s tui ca hai m con là : 6 - 1 = 5 (phn)
y t s gia tui con và hiu s tui ca hai m con là 1 : 5 = 1/5
Sau 4 nm na, nu tui con c chia thành 3 phn bng nhau thì tui m s có 8 phn
nh th.
Hiu s tui ca hai m con là : 8 - 3 = 5 (phn)
y sau 4 nm na t s gia tui con và hiu s tui ca hai m con là 3 : 5 = 3/5
Vì hiu s tui ca hai m con là không thay i nên ta có th so sánh tui con trc ây 4
m và tui con sau ây 4 nm. Ta có tui con sau 4 nm na gp 3 ln tui con trc ây
4 nm và tui con sau 4 nm na hn tui con trc ây 4 nm là : 4 + 4 = 8 (tui).
Ta có s tui con  hai thi m :
Tui con trc ây 4 nm là : 8 : (3 - 1) = 4 (tui)
Tui m trc ây 4 nm là : 4 x 6 = 24 (tui)
Tui con hin nay là : 4 + 4 = 8 (tui)
Tui m hin nay là : 24 + 4 = 28 (tui)
áp s : Con : 8 tui ; M : 28 tui
Chú ý :  vn dng tt th thut gii toán này, các em cn nm vng kin thc v t s và
i lng không i i vi bài toán tính tui. Các em có th gii quyt c nhiu bài
toán khó ca dng toán tính tui bng th thut này y. Hãy th sc mình vi các bài
toán sau.
Bài 1 : Hin nay tui anh gp 3 ln tui em. Sau 14 nm na, t s gia tui anh và tui
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
em là 5/4 Tính tui mi ngi hin nay.

Bài 2 : Trc ây 2 nm, t s gia tui An và tui b là 1/4. Sau 10 nm na, t s gia
tui b và tui An là 11/5. Tính tui mi ngi hin nay.
Bài 3 : Trc ây 4 nm, tui b gp 7 ln tui con và tui ông gp 2 ln tui b. Sau 4
m na, t s gia tui cháu và tui ông là 3/16. Tính tui mi ngi hin nay.
BÀI TOÁN V PHÉP CHIA
CÓ D LP 3
 lp 3 hc sinh c hc v phép chia có d, cách thc hin phép chia có d, mi
quan h gia s d và s chia. Trong quá trình luyn tp, thc hin v phép chia có
 hc sinh c làm quen vi phép chia có d. Vic gii bài toán này không có gì
khác bit so vi “gii bài toán v phép chia ht”. Do c m ca cách din t v
phép chia nên cách trình bài gii có khác nhau.
Ví d 1 : Có 31 mét vi, may mi b qun áo ht 3 mét vi. Hi có th may c
nhiu nht bao nhiêu b qun áo nh th và còn tha my mét vi ?
Bài gii : Thc hin phép chia ta có : 31 : 3 = 10 (d1). Vy có th may c nhiu
nht là 10 b qun áo nh th và còn tha 1 mét vi.
áp s : 10 b, tha 1 mét vi. Trong bài gii có hai m khác vi vic trình bày
bài gii bài toán n là : Kt qu ca phép tính không ghi tên n v, câu tr li t
sau phép tính.
Ví d 2 : Mt lp hc có 33 hc sinh. Phòng hc ca lp ó ch có loi bàn 2 ch
ngi. Hi cn có ít nht bao nhiêu bàn hc nh th ?
Bài gii :
Thc hin phép chia ta có : 33 : 2 = 16 (d 1). S bàn có 2 hc sinh ngi là 16 bàn,
còn 1 hc sinh cha có ch ngi nên cn có thêm 1 bàn na.
y cn s bàn ít nht là :
16 + 1 = 17 (cái bàn)
áp s: 17 cái bàn.
Trong bài gii này ngoài phép tính chia có d, còn có phép cng kt qu phép chia
ó vi 1 (cn lu ý hc sinh : s 1 này không phi là s d).
Ví d 3 : oàn khách du lch có 50 ngi, mun thuê xe loi 4 ch ngi. Hi cn
thuê ít nht bao nhiêu xe  ch ht s khách ó ?

Bài gii :
Thc hin phép chia ta có : 50 : 4 = 12 (d 2). Có 12 xe mi xe ch 4 ngi khách,
còn 2 ngi khách cha có ch nên cn có thêm 1 xe na.
y s xe cn ít nht là :
12 + 1 = 13 (xe).
áp s : 13 xe ô tô.
Ví d 4 : Cn có ít nht bao nhiêu thuyn  ch ht 78 ngi ca oàn vn công
qua sông, bit rng mi thuyn ch ngi c nhiu nht là 6 ngi, k c ngi lái
thuyn ?
Bài gii :
i thuyn ch chc s khách nhiu nht là :
6 - 1 = 5 (ngi)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Thc hin phép chia ta có : 78 : 5 = 15 (d 3). Có 15 thuyn, mi thuyn ch 5
ngi khách, còn 3 ngi khách cha có ch ngi nên cn có thêm 1 thuyn na.
y s thuyn cn có ít nht là :
15 + 1 = 16 (thuyn).
áp s : 16 thuyn.
Trong 4 ví d trên câu hi ca bài toán v phép chia có du có thut ng “nhiu
nht” hoc “ít nht”. Tuy nhiên cng có bài toán v phép chia có d mà không cn
có các thut ngó.
Ví d 5 : Nm nhun có 366 ngày. Hi nm ó gm bao nhiêu tun l và my ngày
?
Bài gii :
t tun l có 7 ngày.
Thc hin phép chia ta có : 366 : 7 = 52 (d 2). Vy nm nhun gm 52 tun l và 2
ngày.
áp s : 52 tun l và 2 ngày.
Ví d 6 : Hôm nay là ch nht. Hi 100 ngày sau s là th my ca tun l ?
Bài gii :
t tun l có 7 ngày.

Thc hin phép chia ta có : 100 : 7 = 14 (d 2). Sau úng 14 tun li n ngày ch
nht và hai ngày sau là ngày th ba. Vy 100 ngày sau là ngày th ba trong tun l.
áp s : ngày th ba.
Xin gii thiu cùng bn c tham kho mt bài toán hay trong Kì thi Olympic ông
Nam á nm 2003 (Toán Tui th s 40) :
Bài toán : Mt xe buýt c va có th ch 30 hành khách, mt xe buýt c nh có th
ch 8 hành khách, mt xe buýt c ln có th ch 52 hành khách. Hi cn bao nhiêu
xe buýt c ln  chc tt c hành khách ca 8 xe buýt c va y hành khách
và 13 xe buýt c nhy hành khách ?
 Trung Hiu
(Hà Ni)
T PHNG PHÁP GII TOÁN
Trong thc t ta gp nhiu bài toán v công vic chung. Khi gii các bài toán dng
này ta có th hiu mt công vic nh là mt n v và biu th thành nhiu phn
ng nhau sao cho phù hp vi các u kin ca bài toán,  thun tin cho vic
tính toán và gii bài toán ó. Ta xét mt vài ví d sau :
Ví d 1 : Ba ngi cùng làm mt công vic. Ngi th nht có th hoàn thành công
vic trong 3 ngày. Ngi th hai có th hoàn thành mt công vic nhiu gp 3 ln
công vic ó trong 8 ngày. Ngi th ba có th hoàn thành mt công vic nhiu gp
5 ln công vic ó trong12 ngày. Hi c ba ngi cùng làm công vic ban u thì s
hoàn thành trong bao nhiêu gi, nu mi ngày làm 9 gi ?
Phân tích : Mun tính xem c ba ngi cùng làm công vic ban u trong bao lâu
ta phi bit c s phn công vic c ba ngi làm trong mt ngày. Mun tìm
c s phn công vic c ba ngi làm trong mt ngày thì phi tìm c s phn
công vic mi ngi làm trong mt ngày. S phn công vic làm trong mt ngày
Click to buy NOW!
P
D
F
-

X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-

X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
a mi ngi chính bng s phn công vic chung chia cho s ngày. Do ó s
phn công vic chung phi chia ht cho s ngày. S nh nht chia ht cho 3, 8 và 12
là 24. Vy ta coi mt công vic chung c giao là 24 phn bng nhau  tìm s
phn công vic ca mi ngi trong mt ngày.
Bài gii : Coi mt công vic chung c giao là 24 phn bng nhau thì s phn

công vic ca ngi th nht làm trong mt ngày là : 24 : 3 = 8 (phn).
 phn công vic ngi th hai làm trong mt ngày là : 24 : 8 3 = 9 (phn).
 phn công vic ngi th ba làm trong mt ngày là : 24 : 12 5 = 10 (phn).
 phn công vic c ba ngi làm trong mt ngày là : 8 + 9 + 10 = 27 (phn).
Thi gian cn  c ba ngi cùng làm xong công vic ban u là :
 gi cn  c ba ngi hoàn thành công vic ban u là :
Ví d 2 : cày xong mt cánh ng, máy cày th nht cn 9 gi, máy cày th hai
n 15 gi. Ngi ta cho máy cày th nht làm vic trong 6 gi ri ngh máy cày
th hai làm tip cho n khi cày xong din tích cánh ng này. Hi máy cày th hai
ã làm trong bao lâu ?
Phân tích : bài này “công vic chung” chính là din tích cánh ng.
Theo cách phân tích  bài toán 1, din tích cánh ng biu th s phn là s nh
nht chia ht cho 9 và 15. Nu coi din tích cánh ng là 45 phn bng nhau thì s
tìm c s phn din tích ca mi máy cày trong mt gi. Tó ta tìm c thi
gian máy cày th hai làm.
Bài gii : Coi din tích cánh ng là 45 phn bng nhau thì mi gi ngày th nht
cày c s phn din tích là : 45 : 9 = 5 (phn).
Trong 6 gi máy cày th nht cày c s phn din tích là : 5 x 6 = 30 (phn).
 phn din tích còn li là : 45 - 30 = 15 (phn).
i gi máy th hai cày c s phn din tích là : 45 : 15 = 3 (phn).
Thi gian  máy th hai cày nt s phn din tích còn li là : 15 : 3 = 5 (gi).
Ví d 3 : Ba vòi cùng chy vào b nc thì sau 1 gi 20 phút sy b. Nu riêng
vòi th nht thì sau 6 gi sy b, riêng vòi th hai chy thì sau 4 gi sy b.
i riêng vòi th ba chy thì sau my giy b ?
Phân tích : 1 gi 20 phút = 80 phút ; 6 gi = 360 phút ; 4 gi = 240 phút. Mun
tính riêng vòi th ba chy y b trong bao lâu thì phi bit mi phút vòi th ba
chy c my phn ca b.  tính c s phn b vòi th ba chy trong mt
phút ta phi tính s phn b vòi th nht, vòi th hai chy trong mt phút. Nh vy
 phn ca công vic chung phi chia ht cho thi gian ca tng vòi, tc là chia ht
cho 80 ; 360 ; 240. S nh nht chia ht cho 80 ; 240 và 360 là 720.  bài toán này

“công vic chung” là lng nc y b, nên biu th lng nc y b là 720
phn, ta gii ví d này nh sau :
Bài gii : Coi lng nc y b là 720 phn bng nhau thì mi phút c ba vòi cùng
chy c s phn b là : 720 : 80 = 9 (phn).
i phút vòi th nht chy mt mình c s phn ca b là : 720 : 360 = 2 (phn).
i phút vòi th hai chy mt mình c s phn ca b là : 720 : 240 = 3 (phn).
Do ó mi phút vòi th ba chy mt mình c s phn ca b là : 9 - (2 + 3) = 4
(phn).
Thi gian  vòi th ba chy mt mình y b là : 720 : 4 = 180 (phút).
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-

t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-

t
r
a
c
k
.
c
o
m
i 180 phút = 3 gi.
y sau 3 gi vòi th ba chy mt mình sy b.
Ba ví d trên còn có cách gii khác, nhng tôi mun a ra cách gii này  các em
c sinh lp 4 cng có th làm quen và gii tt các bài toán dng này. Bây gi bn
c hãy th sc vi các bài toán sau nhé.
Bài 1 : Sn và Hi nhn làm chung mt công vic. Nu mt mình Sn làm thì sau 3
gi s xong vic, còn nu Hi làm mt mình thì sau 6 gi s xong công vic ó. Hi
 hai ngi cùng làm thì sau my gi s xong công vic ó.
Bài 2 : Hai vòi nc cùng chy vào b nc thì sau 1 gi 12 phút sy b. Nu
t mình vòi th nht chy thì sau 2 gi sy b. Hi nu mt mình vòi th hai
chy thì my giy b ?
Bài 3 : Ba ngi dnh p xong mt con ng. Ngi th nht có thp xong
con ng ó trong 3 tun. Ngi th hai có thp xong mt con ng dài gp 3
n con ng ó trong 8 tun. Ngi th ba có thp xong mt con ng dài
p 5 ln con ng ó trong 12 tun. Hi c ba ngi cùng p con ng dnh
ban u thì s hoàn thành trong bao nhiêu gi, nu mi tun làm vic 45 gi ?
Phan Duy Ngha
(Xóm 9, c Lâm, c Th, Hà Tnh)
 D TRONG PHÉP CHIA
LTS: Bài vit ca cô giáo Minh Hiu không ch b ích cho các thy giáo, cô giáo
mà còn khá lý thú i vi các bn hc sinh. Trong  thi hc sinh gii bc Tiu hc

a Hà Ni nm 2002 cng có bài 1 vi ni dung này (TTT s 22). TTT hoan
nghênh và mong nhn c nhiu bài trao i ca bn c trong c nc.
Trong quá trình dy hc phép chia, vic ch ra s d trong các phép chia tng nh
t n gin nhng li rt hay nhm ln. Có nhiu cách ch ra s d trong phép chia
và sau ây là mt cách rt n gin mà li khó quên. Các bn hãy i cùng tôi và ch
ra nhng khim khuyt  vn  tôi a ra c hoàn chnh nhé!
1. Các dng s d trong các phép chia ca chng trình Toán lp 4 tr xung.
Chia mt s t nhiên cho mt s t nhiên.
ng này rt n gin, các bn nhìn ra ngay nên tôi không phân tích nhiu!
2. Các dng s d trong các phép chia ca chng trình Toán 5.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
- Nu nh tôi không ghi s d bng trên thì rt nhiu bn cho rng s d trong các
phép chia trên là 9 hoc 0,9 (Rt nhiu hc sinh ca tôi nhm rng s du là
9).
Sau ây là cách xác nh chính xác s d trong các phép chia trên:
- n ây các bn ã hiu ý tôi cha?
- Có nhng hc sinh ã kim tra phép chia ca mình nh th này:
VD c) Ly 3 x 27 + 9 = 90
VD h) Ly 3,333 x 27 + 0,009 = 90
n ngh sao? Thc cht s d ca hai phép chia này phi là 900 và 0,00009!
* Nói tóm li: Tôi nói thì rt dài nhng các bn ch cn nh hai u sau:
1) Khi s chia, thng ca phép chia là s thp phân thì s d là s thp phân.
2) S lng ch s phn thp phân ca s d bng tng s lng các ch s trong
phn thp phân ca s chia và thng.
Chng hn:
t mong các bn trao i tip. Xin cm n các bn!
Nguyn Th Minh Hiu
(GV trng TH Vn Ninh, Gia Bình, Bc Ninh)
TOÁN V CÁC I LNG T L THUN
Click to buy NOW!
P

D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P

D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chng trình toán 4 ã gii thiu các bài toán vi lng t l nghch ngay sau khi
các em c làm quen vi các bài toán vi lng t l thun. Trong bài vit

“Toán v các i lng t l thun” ca tác gi Vn Thn ng trên TTT s 43
ã giúp các bn nm c phng pháp gii các bài toán có ti 3 i lng mà hai
i lng bt kì u t l thun.  các bn nhn bit nhanh và gii thành tho các
bài toán v các i lng t l nghch chúng ta cùng tìm hiu my ví d sau :
Ví d 1 : 14 ngi p xong mt n ng trong 6 ngày. Hi 28 ngi p xong
n ng ó trong bao nhiêu ngày ? (Nng sut lao ng ca mi ngi nh
nhau).
Tóm tt : 14 ngi p xong n ng : 6 ngày
28 ngi p xong n ng ó : ? ngày
ng t nh toán v các i lng t l thun, toán v các i lng t l nghch
ng có 2 cách gii.
*Cách 1 : Rút vn v
t ngi p xong n ng ó trong s ngày là : 6 x 14 = 84 (ngày)
28 ngi p xong n ng ó trong s ngày là : 84 : 28 = 3 (ngày)
*Cách 2 : Dùng t s
28 ngi so vi 14 ngi thì gp : 28 : 14 = 2 (ln)
28 ngi p xong n ng ó trong s ngày là : 6 : 2 = 3 (ngày)
Ví d 1 là mt bài toán c bn v 2 i lng t l nghch. Nm vng c phng
pháp gii ca bài toán c bn ó chúng ta có th gii c bài toán có ti 3 i
ng mà hai i lng bt kì u t l nghch. Các bn hãy theo dõi ví d sau :
Ví d 2 : Nu có 4 ngi mi ngày làm vic 5 gi thì p xong n ng trong
12 ngày. Hi nu có 6 ngi mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n ng y
trong bao nhiêu ngày (nng sut lao ng ca mi ngi nh nhau).
Tóm tt : 4 ngi mi ngày làm 5 gi : 12 ngày
6 ngi mi ngày làm 10 gi : ? ngày
Vic gii bài toán này ta cng a v gii liên tip hai bài toán n mà hai i
ng trong bài t l nghch.
*Cách 1 : Gii liên tip hai bài toán sau :
Bài toán 1a : Nu 4 ngi mi ngày làm vic 5 gi thì p xong n ng trong
12 ngày. Hi : Nu 6 ngi mi ngày làm vic 5 gi thì p xong n ng ó

trong my ngày ? (nng sut lao ng ca mi ngi nh nhau).
Bài toán trên ã cnh s gi làm vic trong mi ngày và công vic phi làm (p
xong n ng ã nh) nên s ngi và s ngày là hai i lng t l nghch. Ta
 dàng gii c bài toán ó và tìm c áp s là 8 ngày.
Bài toán 2a : Nu 6 ngi mi ngày làm vic 5 gi thì p xong n ng trong
8 ngày. Hi nu 6 ngi ó mi ngày làm vic 10 gi thì sp xong n ng
ó trong my ngày ? (nng sut lao ng ca mi ngi nh nhau).
n công vic y,  bài toán 2 ã cnh s ngi (u có 6 ngi) nên s gi làm
vic trong mi ngày và s ngày là hai i lng t l nghch. Gii bài toán này ta tìm
c áp s là 4 ngày. áp s này cng chính là áp s ca ví d 2.
Ta có th bày li gii ca ví d 1 nh sau :
t ngi mi ngày làm vic 5 gip xong n ng ó trong s ngày là : 12 x
4 = 48 (ngày)
6 ngi mi ngày làm vic 5 gip xong n ng ó trong s ngày là : 48 : 6 =
8 (ngày)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
10 gi so vi 5 gi thì gp : 10 : 5 = 2 (ln)
6 ngi mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n ng õ trong s ngày là : 8 :
2 = 4 (ngày)
*Cách 2 : Gii liên tip hai bài toán sau :
Bài toán 1b : Nu 4 ngi mi ngày làm vic 5 gi thì p xong mt n ng
trong 12 ngày. Hi nu 4 ngi y, mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n
ng y trong my ngày ? (sc lao ng ca mi ngi nh nhau).
Bài toán ã cnh công vic (p xong mt n ng) và s ngi (u có 4
ngi) nên s gi làm vic trong mi ngày và s ngày là hai i lng t l nghch.
Gii bài toán trên ta tìm c áp s là 6 ngày.
Bài toán 2b : Nu 4 ngi, mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n ng
trong 6 ngày. Hi nu 6 ngi, mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n ng
y trong my ngày ? (sc lao ng ca mi ngi nh nhau).
n công vic y,  bài toán này ã cnh s gi làm vic trong mi ngày nên s
ngi và s ngày là hai i lng t l nghch. Ta d dàng gii c bài toán này và

tìm ra áp s là 4 ngày. áp s này cng chính là áp s ca ví d 2.
Trình bày li gii nh sau :
10 gi so vi 5 gi thì gp :
10 : 5 = 2 (ln)
4 ngi mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n ng ó trong s ngày là : 12
: 2 = 6 (ngày)
t ngi mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n ng ó trong s ngày là :
6 x 4 = 24 (ngày)
6 ngi mi ngày làm vic 10 gi thì p xong n ng trong s ngày là : 24 : 6
= 4 (ngày).
Ví d 3 : Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720
mét vi. Nu mi ca ch có 12 công nhân nhng phi dt 1440 mét vi thì mi công
nhân phi ng my máy ? (nng sut mi máy nh nhau).
Vic gii ví d trên ta có tha v gii liên tip 2 bài toán n bng 2 cách trong
ó có 1 bài toán v hai i lng t l thun, mt bài toán v 2 i lng t l
nghch. Cng có tha v gii liên tip 2 bài toán t l thun. Các bn hãy gii tt
 các cách y nhng nh nhn bit ngay c bài nào thuc dng nào  tránh
nhm ln áng tic. TTT khuyn khích vic sáng tác các bài toán tng t và s có
quà cho các bn có  hay nht gi v sm nht. Hãy nhanh lên các bn nhé !
Kim Chi
(T Liêm, Hà Ni)
TRNG CÂY TRONG TOÁN
Trng cây có ý ngha thc tin quan trng:  lc sch không khí, u tit khí hu,
làm p thành ph, duy trì sinh thái,
Nh vy, trng cây có gì liên quan n toán hc? ng nhiên là có. Toán trng
cây gây nhiu hng thú cho ngi gii bi l nó kt hp c hình hc ln s hc và
t l na là nó có nhiu cách gii. Tìm ra mt cách gii ã khó ri và tìm thêm
nhng cách gii khác li càng khó hn. Th nhng u này vn luôn luôn hp dn
chúng ta. Các bn cha tin ? Vy thì trc ht các bn hãy gii bài toán sau th
xem.

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

Bài toán: Bn hãy trng 10 cây thành 5 hàng, mi hàng gm 4 cây.
Bình thng mun trng 5 hàng, mi hàng có 4 cây thì phi cn 4 x 5 = 20 cây.
Nhng ây li có 10 cây, nên mi cây phi s dng 2 ln. Tó ta tìm c cách
trng nh sau: Ly compa v mt ng tròn, trên ng tròn ly 5 m bng s
hàng cn trng. Ni ln lt m vi mt m khác, sao cho nu ta ánh s th t
các m theo mt chiu nào ó, thì các s ca hai m uôi ni vi nhau hn kém
nhau bng mt na s cây trng  mi hàng. Các n thng là các hàng ct nhau,
i các m là các cây cn trng (xem hình v 1)
Khi ã có mt áp án (mt hình v),  có các áp án khác ca bài toán chúng ta
làm nh sau:
- Kéo dài các n thng v hai phía  thành các ng thng.
- Ln lt dch chuyn mt sng thng trong ó n các v trí mi,  chúng ct
các ng thng còn li ti mt sm ct trc ây.
 th: Vi hình 1, chúng ta kéo dài các n thng v hai phía  thành các ng
thng.
ch chuyn mt ng thng trong s các ng thng ó. S ghi trên ng
thng ch s ln dch chuyn và ng vi mi ln dch chuyn cho ta mt áp án ca
bài toán.
ó, ta có 6 cách trng cây tha mãn yêu cu ca bài toán.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G

E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G

E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Các bn hãy tìm thêm các cách trng khác na nhé!
Qu tht, vi cách hc toán nh th này ôi khi cng thú vy ch, phi không các
n?
Các bn th dùng cách làm trên ây  gii bài toán sau: “Bn hãy trng 20 cây
thành 8 hàng, mi hàng gm 5 cây”.
Phan Duy Ngha
(40A2, khoa GDTH i Hc Vinh)
 DNG CHN TRÊN, CHN DI TRONG GII TOÁN
Có th nói khi gii các bài toán  tiu hc, s dng chn trên, chn di giúp cho vic gii
nhiu bài toán tr nên sáng sa, mch lc và có mt tác dng không nhi vi vic rèn
 duy toán hc cho hc sinh tiu hc. Tuy nhiên th thut trên ch là mt bc trong dãy

các bc gii mt bài toán vì th nó ít c lu ý vi hc sinh.  giúp các bn hc sinh
làm quen vi phép suy lun trên, chúng ta hãy cùng nhau gii mt s bài toán sau :
Bài 1 : Tìm abc , bit:
abc + ab + c = 263.
Bài gii :
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c

k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c

k
.
c
o
m
Cách 1 : (S dng chn trên)
Có : abc nh hn hoc bng 262 . Vy a = 1 ; 2.
*a = 1 : 1bc + 1b + c = 263
100 + b x 10 + c + 10 + b + c = 263
110 + b x 11 + c x 2 = 263 (cu to thp phân ca s)
b x 11 + c x 2 = 263 - 110 (tìm s hng cha bit)
b x 11 + c x 2 = 153
Vì 153 l, c x 2 chn nên b x 11 l.
y b = 1 ; 3 ; 5 ; 7.
Kim tra b = 1 ; 3 ; 5 ; 7 loi.
*a = 2 : 2bc + 2b + c =263
200 + b x 10 + c + 20 + b + c = 263
220 + b x 11 + c x 2 = 263 (cu to thp phân ca s)
b x 11 + c x 2 = 263 - 220 (tìm s hng cha bit)
b x 11 + c x 2 = 43
Vì 43 l, c x 2 chn nên b x 11 l.
b x 11 < 44. Vy b = 1 ; 3.
u b = 1 : 11 + c x 2 = 43
c x 2 = 43 - 11
c x 2 = 22 (loi)
u b = 3 : 33 + c x 2 = 43
c x 2 = 43 - 33
c x 2 = 10
c = 10 : 2
c = 5

y abc = 235.
Th li : 235 + 23 + 5 = 263 (úng).
Cách 2 : (S dng chn trên và chn di)
Có : abc nh hn hoc bng 263 Vy a nh hn hoc bng 2.
Vì 199 + 19 + 9 = 227 < 263
y suy ra a > 1.
y a = 2 tr v trng hp 2 cách 1.
Bài 2 : Mt hình ch nht có chiu dài 50 m. Gi nguyên chiu dài và tng chiu rng
thêm 10 m, ta c hình ch nht mi, hình ch nht mi này có din tích bng din tích
hình vuông có cnh ln hn 53 m. Bit so cnh hình vuông là s t nhiên, hãy tìm
chiu rng ca hình ch nht ã cho ?
 thi hc sinh gii Hà Ni, 1984 - 1985)
Bài gii : Gi ABCD là hình ch nht ban u (AB = 50 m) ; ABMN là hình ch nht
i.
Din tích hình ch nht DCMN là : 50 x 10 = 500 (m2)
Din tích hình ch nht ABCD không vt quá : 50 x 50 = 2500 (m2)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
y din tích hình ch nht mi không vt quá : 2500 + 500 = 3000 (m2)
Bit so ca cnh hình vuông là s t nhiên ln hn 53 m. Vy cnh hình vuông là 54 m
thì din tích hình ch nht mi là :
54 x 54 = 2916 (m2) < 3000 m2
u cnh hình vuông là 55 m thì din tích hình ch nht mi là :
55 x 55 = 3025 (m2) > 3000 m2.
y din tích hình ch nht mi là 2916 m2.
Chiu rng hình ch nht c là :
2916 : 50 - 10 = 48,32 (m).
áp s : 48,32 m.
Bài 3 : Mt c quan t chc i trng cây. Mt phn ba s nhân viên mang theo con, nhng
ch mang theo 1 con. Nhân viên nam trng 13 cây, nhân viên n trng 10 cây, tr em trng
6 cây.
i c quan ó có bao nhiêu nhân viên nam ? Bao nhiêu nhân viên n ? Bit h trng

c tt c 216 cây.
 thi hc sinh gii liên tnh  Hng Công)
Bài gii :(Dùng chn trên, chn d)i.
Theo  bài, mt nhân viên nam trng nhiu cây hn mt nhân viên n nên bng phép th,
ta bit c :
 nhân viên ít hn 18 ngi vì nu s nhân viên bng 18 ngi thì s cây trng ít nht
(khi nhân viên toàn n) là:. Gi s s nhân viên ít nht là 18 thì s tr em ít nht là : 10 x 18
+ 6 x (18 : 3) = 216 (cây) úng bng s cây ca u bài.
- S nhân viên phi nhiu hn 14 ngi vì nu s nhân viên bng 14 ngi thì s câu trng
c nhiu nht (khi nhân viên toàn nam) là: 13 x 14 + 6 x (14 : 3) =210 (cây) (nh hn
216 cây)
Theo  bài li có: 1/3 s nhân viên có mang theo con. Vy s nhân viên phi chia ht cho
3, do ó s nhân viên phi bng 15.
 con mang theo là: 15 : 3 = 5 (con)
 cây mà nhân viên trng là: 216 - 6 x 5 = 186 (cây)
Gi s 15 nhân viên toàn là nam thì s cây trng c là : 13 x 15 = 195 (cây)
 nhân viên n là : (195 - 186) : (13 - 10) = 3 (nhân viên)
 nhân viên nam là : 15 - 3 = 12 (nhân viên)
Th li : 12 x 13 + 3 x 10 + 5 x 6 = 216 (úng).
áp s : nhân viên n : 3 ; nhân viên nam : 12.
Nh vy qua 3 bài toán  nhng dng khác nhau, vic s dng chn trên, chn di giúp
chúng ta gii c bài toán và hn chc s trng hp cn th chn.
Sau ây là mt s bài toán  các em vn dng.
1. a) n ch s vào du (?) trong trng hp sau : ?? + ?? = ?97.
b) Tìm s nguyên nh nht sao cho tng các ch s ca nó bng 22.
2. Gi s A là s có hai ch s, B là tng các ch s ca A ; C là tng các ch s ca B.
Tìm A bit A = B + C + 51.
3. Tìm a, b, c bit : abc x (a + b + c) = 1000.
4. Tìm mt s t nhiên, bit tng ca só và tng các ch s ca nó bng 1987.
Nguyn Hùng Quang

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

(Khoa Tiu hc, Trng CSP Hà Ni)
NHIU HN MT CÁCH GII !
Sau khi bài vit ca mình c ng trong chuyên mc “Gii toán th nào ?” ca
p chí TTT1 s 46, tôi nhn c nhiu th ca bn c do tòa son chuyn ti.
t bn tâm s : “Nh có các bài vit ca cô và tác gi Vn Thn nên em ã
bit gii c bng nhiu cách nhng bài toán mà lâu nay em rt lúng túng”. Nhiu
n gii ví d 3 và nh tôi kim tra kt qu. Ngc li, bn  Hng Sn, 9A
3
,
THCS Lâm Thao, Phú Th còn khng nh : “Không th gii bài toán bng cách
thông qua vic gii liên tip hai bài toán t l thun”. Bài vit này xin trình bày rõ
n mt s hng a bài toán v vic gii liên tip các bài toán n. Ta tr li ví
 3 (TTT1 s 46) :
“Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét vi.
u mi ca ch có 12 công nhân nhng phi dt 1440 mét vi thì mi công nhân
phi ng my máy ?”
Tóm tt :
24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy dt c 720 m.
12 công nhân, mi công nhân ng ? máy dt c 1440 m.
a bài toán trên v gii liên tip các bài toán n bng cách cnh mt i lng
trong ba i lng, ta s có 7 hng sau ây :
1a) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét
i. Hi nu mi ca có 12 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c bao
nhiêu mét vi ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta tìm c áp s là 360 m.
1b) Nu mi ca có 12 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 360 mét
i. Hi nu ca ó phi dt 1440 mét vi thì mi công nhân phi ng my máy ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta tìm c áp s là 8 máy, ây cng là áp s ca
ví d 3.
2a) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét

i. Hi nu mi ca có 12 công nhân mun dt c s vi ó thì mi công nhân
phi ng my máy ?
Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 4 máy.
2b) Nu mi ca có 12 công nhân mi công nhân ng 4 máy thì dt c 720 mét
i. Hi vn ch có 12 công nhân trong mt ca nhng phi dt 1440 mét vi thì mi
công nhân phi ng my máy ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta c áp s là 8 máy, ây cng là áp s ca ví
 3.
3a) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét
i. Hi mun dt 1440 mét vi thì mi công nhân phi ng my máy ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta c áp s là 4 máy.
3b) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 4 máy thì dt c 1440 mét
i. Hi nu mi ca có 12 công nhân, mun dt c s vi ó thì mi ngi phi
ng my máy ?
Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 8 máy, ây cng là áp s ca ví
 3.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
4a) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét
i. Hi mun dt 1440 mét vi mà mi công nhân chng 2 máy thì mi ca cn
bao nhiêu công nhân ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta c áp s là 48 công nhân.
4b) Nu mi ca có 48 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 1440 mét
i. Hi nu mi ca ch có 12 công nhân mun dt c s vi ó thì mi công nhân
phi ng my máy ?
Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 8 máy, ây cng là áp s ca ví
 3.
5a) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét
i. Hi nu mun dt s vi ó mà mi công nhân chng 1 máy thì cn bao
nhiêu công nhân ?
Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 48 công nhân.
5b) Nu mi ca có 48 công nhân, mi công nhân ng 1 máy thì dt c 720 mét

i. Hi mun dt 1440 mét vi mà mi công nhân chng 1 máy thì cn bao
nhiêu công nhân ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta c áp s là 96 công nhân.
5c) Nu mi ca có 96 công nhân, mi công nhân ng 1 máy thì dt c 1440 mét
i. Hi mi ca ch có 12 công nhân mun dt c s vi ó thì mi công nhân
phi ng my máy ?
Bài toán t l nghich này gii ra ta c áp s là 8 máy, ây cng là áp s ca ví
 3.
6a) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét
i. Nu mi ca ch có mt công nhân, mun dt s vi ó thì mi công nhân phi
ng my máy ?
Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 48 máy.
6b) Nu mi ca có mt công nhân, mi công nhân ng 48 máy thì dt c 720
mét vi. Hi nu mi ca có 12 công nhân mun dt s vi ó thì mi công nhân phi
ng my máy ?
Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 4 máy.
6c) Nu mi ca có 12 công nhân, mi công nhân ng 4 máy thì dt c 720 mét
i. Hi mun dt 1440 mét vi thì mi công nhân phi ng my máy ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta c áp s là 8 máy, ây cng là áp s ca ví
 3.
7a) Nu mi ca có 24 công nhân, mi công nhân ng 2 máy thì dt c 720 mét
i. Nu mi ca ch có mt công nhân, mun dt s vi ó thì mi công nhân phi
ng my máy ?
Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 48 máy.
7b) Nu mi ca ch có mt công nhân, mi công nhân ng 48 máy thì dt c 720
mét vi. Mun dt 1440 mét vi thì công nhân y phi ng my máy ?
Bài toán t l thun này, gii ra ta c áp s là 96 máy.
7c) Nu mi ca ch có mt công nhân, mi công nhân ng 96 máy thì dt c
1440 mét vi. Hi nu mi ca có 12 công nhân cng ch dt s vi ó thì mi công
nhân ng my máy ?

Bài toán t l nghch này, gii ra ta c áp s là 8 máy, ây cng là áp s ca ví
 3.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
H
A
N
G
E
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

o
m