Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán lớp 10

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
1


a. Lí do chọn đề tài
Mt trong nhng vn c bn ca i mi chng trỡnh giỏo dc ph thụng
l i mi phng phỏp dy hc, trong ú cú i mi phng phỏp dy hc Toỏn.
Việc đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực
của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có, và tự có, phát huy
trí lực trong học sinh. Trong quá trình giảng dạy ở trờng PT bản thân chúng tôi
cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dỡng học sinh khá
giỏi, song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn rất nhiều
hạn chế. Nhiều bài toán trong các kì thi nh Học sinh giỏi, thi vào cỏc trờng đại
học, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa không đến nổi khó. Th nhng nhi

u
học sinh không làm đợc mặc dầu học sinh đã đợc làm quen các dạng toán, bài
giảng của thầy, qua sách vở. Đứng trớc những vấn đề nh vậy, làm thế nào để đáp
ứng đợc nhu cầu đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập,
không bị động trớc các bài toán khú. Chúng tôi thấy việc phát huy trí lực cho học
sinh, áp dụng vào công tác bồi đỡng học sinh khá giỏi bớc đầu có một số kết quả
nhất định mà chúng tôi muốn trao đổi với đồng nghiệp. Trong bài viết này chúng tôi
xin đề cập đến việc phát huy trí lực cho học sinh trong việc khai thác một số bài
toán bất đẳng thức đơn giản trong chơng trình Toán- THPT lớp 10 qua đó khai
thác các ứng dụng của nó nh tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán nhận
dạng tam giác, bài toán giải phơng trình, bất phơng trình, ng thc vect nhằm
phát huy t duy toán học bồi dỡng năng lực giải toán và làm toán cho học sinh
qua đó phát huy đợc trí lực giúp học sinh khai thác đợc các yếu tố cần thiết trong
toán học nhằm bồi dỡng cho các em t duy sáng tạo, linh hot trong mi vn .

ng trc m vn nh vy, lm sao ỏp ng c nhu cu i mi hin
nay, lm cho hc sinh hng thỳ,tớch cc ch ng trong vic tip thu kin thc.
Chỳng tụi xin cú mt s trao i vi cỏc ng nghip là trình bày minh hoạ bằng
một số bài toán bất đẳng thức qua đó khai thác ứng dụng để vận dụng giải các bài
toán có liên quan nhằm Phát huy trí lực cho học sinh khá giỏi qua khai thác
một số bài toán đơn giản trong chơng trình toán 10-THPT. Chúng tôi thành
thật mong đợc sự góp ý chân thành của các độc giả để bản thân chúng tôi ngày
đợc một hoàn thiện.
B. nội dung
1. Từ một bài toán đơn giản đến việc khai thác ứng dụng nó.
Chứng minh các bất đẳng thức,

ng thc luôn là những đề tài hấp dẫn. Với
bài viết này tôi muốn giới thiệu một số bất đẳng thức, ng thc hỡnh hc đợc
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
2

khai thác ứng dụng của nó nhờ một bất đẳng thức đơn giản trong sách giáo khoa
Toỏn 10 -THPT qua ú nhm phỏt huy trớ lc cho hc sinh.
Ta bt u i t mt s bi toỏn c bn trong sỏch giỏo khoa.
a/ Ví dụ 1: ở SGK Đại số 10(chơng trình chuẩn), sau khi học xong bài bất đẳng
thức có một bài tập sau(bài 4, tr.79)
Chứng minh rằng nếu
0,0


ba
thì

)(
33
baabba ++
.(*)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh.
Cách 1:

2 2
2 2
2
( ) ( ) 0
( )( ) 0
( ) ( ) 0
a a b b a b
a b a b
a b a b


+

(*)
0
2323
+ abbbaa


0)()(
0))((
0)()(

2
22
22
+


baba
baba
babbaa

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Cách 2:
Ta có:
)()2)(())((
2233
baabababbaabbababa +=+++=+

( vì
abba 2
22
+
). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Nhận xét 1: vì a, b là hai số dơng nên, từ (*) ta có thể suy ra một bất đẳng thức
mới
ba
ab
ba
baabba +
+
++

33
33
)(

bi toỏn ny nhiu giỏo viờn cho l d nờn cú th khụng cn phi hng dn
hoc hng dn qua loa. Nh vy l vn c bn cha c gii quyt ó b sút
mt trong nhng yu t quan trng trong phỏt trin trớ lc cho hc sinh.Theo chỳng
tụi, cn cho hc sinh suy ngh v hng dn khai thỏc cỏc bi toỏn qua ú vn dng
t bi toỏn c bn trờn hng dn gi cỏc bi toỏn cú liờn quan.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
3

Bài 1: Cho
0,

ba
, chứng minh rằng
3 3 3 3 3 3
2( )
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + + +
(1)
HD: BĐT (1) giải đợc nhờ việc áp dụng nhận xét 1, ba lần
Bài 2. Cho a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng

abcacbbcacba
222333
++++
.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a
3
+ b
3
ab(a + b)
b
3
+ c
3
bc(b + c)
a
3
+ c
3
ac(a + c)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có
2(a
3
+ b
3
+ c
3
) a
2
(b + c) + b

2
(a + c) + c
2
(a + b) (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta đợc
a
2
(b + c) + b
2
(a + c) + c
2
(a + b)
abcacbbca
222
222 ++
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 2: Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên di cỏch nhỡn khỏc
m thụi. Tuy nhiên nếu nh hc sinh khụng bit vận dụng vớ d trờn thì liệu bài
toán trên hc sinh gii c khụng phi n gin chỳt no. Và ở bài toán sau đây,
chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1.
Ta lại có bài toán mi sau.
Bài 3. Cho a > 0, b > 0 và ab = 1. Chứng minh rằng
1
1
1
33

+

+
+
a
b
b
a
.
Chứng minh.
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
1
2
4433

++
+++
b
a
baba
.
áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có

1
2
2
2
2)(
2
224433
=
+

+
++
=
+
+
++

+
+
+++
b
a
ba
b
a
babaab
b
a
baba
(đpcm).
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Bài 4. Chứng minh rằng

+
+
+
+
+







++++
c
ba
b
ac
a
cb
cba
cba
2
3111
)(
333
333

Trong đó a, b, c là ba số thực dơng.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a
3
+ b
3
ab(a + b)
b
3
+ c
3
bc(b + c)
a
3
+ c
3
ac(a + c)
Suy ra 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta đợc
abc
c
b
a

3111
333
++
(2)
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 3: Ta có thể chuyển tải bài toán trên về những bài toán mũ, thì việc quy lạ
về quen tạo cho chúng ta dễ dàng hơn trong việc khai thác các bài toán tơng tự
nhm phỏt huy trớ lc cho hc sinh.
Bài 5. Cho ba số a, b, c
N

thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng
27
a
+ 27
b
+ 27
c
3
a
+ 3
b
+ 3
c
.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 27
a
+ 1 3
a

(3
a
+ 1)
27
b
+ 1 3
b
(3
b
+ 1)
27
c
+ 1 3
c
(3
c
+ 1)
Suy ra 27
a
+ 27
b
+ 27
c
+3 3
a
+ 3
b
+ 3
c
+ (3

a
)
2
+ (3
b
)
2
+ (3
c
)
2
(1)
Mặt khác (3
a
)
2
+ (3
b
)
2
+ (3
c
)
2
3
3)333(
3
2
=
cba

(2)
Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0.
Bài 6: Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh rằng

cba
a
ac
ca
c
cb
bc
b
ab
ab
++
+

+
+

+
+

2
33
2
33
2
33

3
5
3
5
3
5
.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
5

Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
a
3
+ b
3
6b
3
ab(a + b) 6b
3
= b(a
2
+ ab 6b
2
) = (ab + 3b
2
)(a
2b)

ab
b
ab
ab
abbabab

+


+
2
3
5
)2)(3(5
2
33
333

Tơng tự
bc
c
cb
bc

+

2
3
5

2
33
,
ca
a
ac
ca

+

2
3
5
2
33

Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 7. Chứng minh rằng với ba số dơng a, b, c bất kì ta có

3
22
3
22
3
22
3
cba
a
ac

c
c
c
bc
b
b
b
ab
a
a ++

+
+
+
+
+
+
+
+

Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a
3
+ b
3
ab(a + b)
3
2
))(()(3
3

22
3
22223
333223
3223
ba
b
ab
a
a
bababababaaa
baaabbaa
babbaa


++

+++++
+++
+

Tơng tự
3
2
22
3
cb
c
bc
b

b

+
+
,
3
2
22
3
ac
a
ac
c
c

+
+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 8. Cho x, y, z là ba số thực dơng và xyz =1. Chứng minh rằng

3
222
6336
99
6336
99
6336
99

++
+
+
++
+
+
++
+
xxzz
xz
zzyy
zy
yyxx
yx

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
6

Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc (x
3
)
3
+ (y
3
)
3

x
6
y
3
+ x
3
y
6


3
6336
99
6336399
9633699
2
)(2
2
x
yyxx
yx
yyxxxyx
xyxyxyx

++
+

+++
+++

Tơng tự
3
6336
99
2
y
zzyy
zy

++
+
,
3
6336
99
2
z
x
x
z
z
xz

+
+
+

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc

333

6336
99
6336
99
6336
99
222
zyx
xxzz
xz
zzyy
zy
yyxx
yx
++
++
+
+
++
+
+
++
+
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x
3
+ y
3
+ z
3

3xyz = 3. (2)
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y =z =1
Bài 9. Cho a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh rằng

abc
c
abc
a
c
abc
b
b
abc
a
1111
323333

+
+
+
+
+
+
+
+
.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a
3
+ b

3
ab(a + b)
a
3
+ b
3
+ abc ab(a + b + c)

)(
1
33
cbaabc
c
babca
++

++


Tơng tự
)(
1
33
cbaabc
a
cabcb
++

++
,

)(
1
32
cbaabc
b
cabca
++

++

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 4: Nếu ở bài toán trên chỳng ta cộng điều kiện nữa abc=1. ta có bài
toán mới sau đây.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
7

Bài 10. Cho a, b, c là ba số thực dơng và abc=1. Chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
a b b c a c
+ +
+ + + + + +
.
Nhận xét 5: Nếu ta lại đặt a

3
=x; b
3
=y; c
3
=z. Ta lại có bài toán mới sau.
Bài 11. Cho x, y, z là ba số thực dơng và xyz=1. Chứng minh rằng

1
1
1
1
1
1
1

++
+
++
+
++ xzzyyx
.
Nhận xét 6: Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1. Ta lại có bài toán mới khó hơn
Bài 12. Cho x, y, z là ba số thực dơng. Chứng minh rằng

3333
1111
xyzxyzxzxyzzyxzyyx

++

+
++
+
++
.
Bài 13. Cho a, b, c >0 thoả mãn
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1
a b c
a b ab b c bc a c ca
+ + =
+ + + + + +
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c
Nhận xét 7: Việc chứng minh các bài 10,11,12,13 không khó, nếu biết sử dụng linh
hoạt các bài toán đơng tự bài 9. Nếu HS không biết vận dụng bài 9(tức sẽ vận
dụng vớ d 1). Thì e là khó làm đối với các em HS(kể cả đội tuyển HSG).
Bài 14. Chứng minh rằng
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b

a
++








+








+








333
. Trong đó a, b, c là

các số thực dơng.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
+=








++

11
3

Tơng tự
c
b
c
b
c
b
++








1
3
,
a
c
a
c
a
c
++

1
3
.
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
8


a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a

a
c
c
b
b
a
++++++








+








+

3
333
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3++
a
c
c
b
b
a
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 8: Nếu chúng ta lại đặt
Z
a
c
Y
c
b
X
b
a
=== ;;
. Ta lại có bài toán
mới sau

Bài 15. Chứng minh rằng
Z
Y
X
Z
Y
X
+
+

+
+
333
. Trong đó X, Y, Z là các số
thực dơng và XYZ=1.
Nhận xét 9: Từ bài toán vừa nêu, nếu chúng ta đặt x=3
a
; y=3
b
,z=3
c
. Thì ta có thể
giải bài toán 5 đơn giản hơn.
Bài 16: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng
27
a
+ 27
b
+ 27
c

3
a
+ 3
b
+ 3
c
.
HD: Bài toán này trở về việc chứng minh BĐT x
3
+y
3
+z
3


x+y+z. áp dụng bài toán
15, ta có ngay kết quả.
Nhận xét 10: Ta lại có bài toán mới tổng quát bài toán 15 sau đây.
Bài 17: Cho m là một số không âm; x, y, z là 3 số thoả mãn: x+y+z=0.
Chứng minh rằng m
3x
+m
3y
+m
3z
m
x
+m
y
+m

z
.
Nhận xét 11: Từ bài toán tổng quát trên,qua quỏ trỡnh phõn tớch, nhn nh phỏt
huy t duy sỏng to cho hc sinh ta xõy dng bài toán tổng quát vớ d 1
Bài 18 (bài toán tổng quát vớ d 1)
Cho a
1
, a
2
, ,a
n
là các số thực không âm, n
*
N
. Chứng minh rằng
a
1
n+1
+ a
2
n+1
+ + a
n
n+1
a
1
a
2
a
n

(a
1
+ a
2
+ + a
n
).
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có
a
1
n+1
+ a
1
n+1
+ a
2
n+1
+ + a
n
n+1
(n + 1)a
1
2
a
2
a
n

www.MATHVN.com

Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
9

a
1
n+1
+ a
2
n+1
+ a
2
n+1
+ . + a
n
n+1
(n + 1)a
1
a
2
2
a
3
a
n

.
a
1
n+1

+ a
2
n+1
+ . + a
n
n+1
+ a
n
n+1
(n + 1)a
1
a
2
.a
n
2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= . = a
n
.
áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các
bất đẳng thức sau.
Bài 19. Cho a
1
, a

2
, .,a
n
là các số thực dơng; n
*
N
. Chứng minh rằng
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (*) ta có



Mặt khác áp dụng bất đẳng Côsi cho mẫu thức của các biểu thức ở vế trái ta đợc

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
21
=
=
=
=
n
aaa

Nhận xét 12: Từ những ví dụ minh hoạ thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên
bằng nhiều cách nhiều hớng khác nhau.Hng cho hng cho hc sinh hiu rừ
c nhng vn c bn ca nú, hc sinh sinh s gii quyt c cỏc bi toỏn
trờn õy d dng hn, qua ú nõng cao c hng thỳ tỡm ti, rốn luyn c c
tớnh nhn ni kiờn trỡ phỏt huy trớ lc cho hc sinh.

b/ Ví dụ 2. (Sách bài tập Đại số 10- chong trình chuẩn)
Chứng minh rằng nếu
0,0


ba
thì
)(
2244
baabba ++
.(**)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh.
)1(
1

11

11

11
2121
1
1
2
1
1

+++








++








+

+
++
nn
n
n
nn
aaaaaaaaa
)2(
1

11

1



2121
12
21
12
21
2
2
12
1
1

+++
+++
++
+++
+
+++
+++
nn
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
aaaaana
aaa
a

aaa
a
aaa
a
















++








+

+++
++
+++
+
+++
+
++
+++
1
1
2
1
1
12
21
12
21
2
2
12
1

1
1

111



n
n
nn
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
aaan
aaa
a
aaa
a
aaa
a

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
10

(**)
0
3344
+ abbaba


0)()(
0))()((
0)()(
222
22
33
++
++

bababa
babababa
babbaa

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài 1(bài toán tổng quát).
Cho a
1
, a
2

,.,a
n
là các số thực không âm, n
*
N
. Chứng minh rằng
a
1
n+2
+ a
2
n+2
+ . + a
n
n+2
a
1
a
2
.a
n
(a
1
2
+ a
2
2
+ . + a
n
2

).
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có
a
1
n+2
+ a
1
n+2
+ a
1
n+2
+ a
2
n+2
+ . + a
n
n+2
(n + 2)a
1
3
a
2
.a
n

a
1
n+2
+ a

2
n+2
+ a
2
n+2
+ a
2
n+2
+ . + a
n
n+2
(n + 2)a
1
a
2
3
a
3
.a
n


a
1
n+2
+ a
2
n+2
+ .+ a
n

n+2
+ a
n
n+2
+ a
n
n+2
(n + 2)a
1
a
2
.a
n
3

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= . = a
n
.
áp dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh
các bất đẳng thức sau.
Bài 2: Cho hai số dơng a, b. Chứng minh rằng
ba
a
bb
b

aa
++
.
Chứng minh.
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
)(
22
bababa ++
. Đây
chính là bất đẳng thức (**) cho hai số dơng
a
và
b
nên ta đợc điều phải chứng
minh.
Bài 3. Chứng minh rằng
abcacbbcacba
333444
++++
.
Trong đó a, b, c là ba số thực không âm.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a
4
+ b
4
a
3
b + ab
3

b
4
+ c
4
b
3
c + bc
3

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
11

a
4
+ c
4
a
3
c + ac
3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc
2(a
4
+ b
4
+ c
4
) a

3
(b + c) + b
3
(a + c) + c
3
(a + b). (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có
a
3
(b + c) + b
3
(a + c) + c
3
(a + b)
abcacbbca
333
222 ++
(2)
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 4. Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh rằng
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b

b
a
++






+






+






222

Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có

++








b
a
b
a
b
a
11
4








++

c
b
c
b
c
b
11
4








++

a
c
a
c
a
c
11
4

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc

333
222
3








+

+








++++






+






+

a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3++
a
c
c
b
b
a

(2)
và áp dụng kết quả Bài 9. ta đợc
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++








+

+








333
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
12

Bài 5. Chứng minh rằng
444
124812
1616
124812
1616
124812
1616
222
zyx

xxzz
xz
zzyy
zy
yyxx
yx
++
++
+
+
++
+
+
++
+

trong đó x, y, z là ba số thực dơng.
Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
(
)
(
)
124412
4
4
4
4
yxyxyx ++

4
124812
1616
12481241616
164124121616
2
)(2
2
x
yyxx
yx
yyxxxyx
xxyyxyx

++
+

+++
+++

Tơng tự
4
124812
1616
2
y
zzyy
zy

++

+
,
4
124812
1616
2
z
x
x
z
z
xz

+
+
+
.
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Bài 6. Cho a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh rằng

( )
)(3
111
222
333
555
cba
cba
cba ++

++++

Chứng minh.
áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (**) cho n = 3 ta đợc
a
5
+ b
5
+ c
5
abc(a
2
+ b
2
+ c
2
) (1).
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta có
abc
cba
3111
333
++
(2)

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét 13: Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một
bất đẳng thức
2255
)( bababa ++
(***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức
này quả thật không khó. Tuy nhiên, nêu ngời thầy biếthg dn nhỡn nhn khai
thác bài toán cơ bản trên thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc
làm đơn giản qua ú ta li có một bài toán mới.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
13

Bài 7: Các số dơng x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
1
555555

++
+
++
+
++ xzxz
zx
zyzy
yz
yxyx
xy
.
Chứng minh:

áp dụng (***), ta có:
xyyxyxxyyx ++++
2255
)(

5 5 2 2
1
( ) 1 ( )
xy xy z
x xy y xy x y x y x y xy x y z
= =
+ + + + + + + +

Tơng tự
zyx
y
xzxz
zx
zyx
x
zyzy
yz
++

++
++

++
5555
;

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có điều cần chứng minh
Các bài tập tơng tự
áp dụng các bất đẳng thức (*),(**) và các bất đẳng thức tổng quát của chúng giải
các bài tập sau
Bài 8. Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh rằng

)(
222
cbaabccba ++++
.
Bài 9. Cho a, b, c là ba số dơng và a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng
a
3
+ b
3
+ c
3
a + b + c.
Bài 10. Cho a, b, c, d là những số thực dơng. Chứng minh rằng

a
d
d

c
c
b
b
a
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++
2
2
2
2
2
2
2
2

Bài 11. Cho a
1
, a
2
,,a
n
là các số thực dơng (n 3, n N). Chứng minh rằng

( )








+++
++
+++
+
++










++++++

n
nnn
n

n
nn
n
n
nn
a
aaa
a
aaa
a
aa
n
n
aaa
aaa
121
2
31
1
2
21
21



1
1

11

Bài 12. Giải hệ phơng trình sau






=
=
2442
88
2)4(
2)3(
xxyy
xy

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
14

c/ Ví dụ 3: G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi
GA GB GC 0
+ + =


Chứng minh:
Gọi M là trung điểm BC
Ta có:

GA GB GC 0
+ + =


(
)
GA GB GC
= +


GA 2GM GA 2GM 0
= + =




G là trọng tâm tam giác ABC

Nhận xét 14:

Nh vậy để ví dụ trên ta biểu thị
GA

qua 2 vectơ
GB,GC.

Do G
thuộc miền trong tam giác ABC, cho nên G chia diện tích tam giác ABC thành 3
phần bằng nhau có diện tích là S
1

, S
2
, S
3
lần lợt là diện tích tam giác GBC, GCA,
GAB và bằng
ABC
1
S
3
vì thế (I)


1 2 3
S GA S GB S GC 0
+ + =

. Điều này cho ta liên
tởng G là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác ABC. Khi đó ta có thể vận dụng
phơng pháp chứng minh định lí trên để chứng minh cho bài toán sau, qua việc
biểu thị một vectơ qua hai vectơ khác.
Bài 1:
(Đề thi đề nghị Olimpic 30/4 lần 8)
Cho ABC, M thuộc miền trong tam giác.
Gọi S
1
, S
2
, S
3

lần lợt là diện tích tam giác MBC, MAC, MAB.

Chứng minh rằng:

1 2 3
S MA S MB S MC 0 (1)
+ + =


Giải:
Nh vậy để chứng minh bài toán 1, ta vận dụng phơng pháp biểu thị một
vectơ qua hai vectơ còn lại
Ta có (1)


1 2
3 3
S S
MC MA MB
S S
=


Kéo dài AM, MB cắt BC, AC lần lợt tại A
1
, B
1
. Dựng hình bình hành MB'CA'

MC MA' MB'

= +


Gọi H, K lần lợt là hình chiếu A, C lên BM

1
1
B C
B'C KC B'C KC MA' KC
AM B A AH AM AH AM AH
= = = =
(vì B'C = MA')
A

B

C

M

G

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
15


1
2

1
MB.KC
S
KC MA'
2
1
S AH MA
MB.AH
2
= = =


1
3
S
MA' MA
S
=

(*)
Tơng tự
2
3
S
MB' MB
S
=

(**)
Từ (*) và (**) ta suy ra

1 2
3 3
S S
MC MA MB
S S
=


1 2 3
S MA S MB S MC 0
+ + =


Nhật xét 15:

ở bài toán 1 kết quả không phụ thuộc vào điểm M, nếu ta thay M bởi I
là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đờng tròn thì học sinh
có thể sử dụng bài toán 1 để giải bài toán sau.
Bài 2:
(Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán) C
ho

ABC, gọi I là tâm đờng tròn nội
tiếp

ABC.

Đặt BC = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng
aIA bIB cIC 0
+ + =

(2)

Giải vắn tắt:
áp dụng bài toán 1, ta có:
1 2 3
S IA S IB S IC
+ +


1 1 1
raIA rbIB rcIC 0
2 2 2
+ + =




aIA bIB cIC 0
+ + =




Bài 3: Cho ABC, gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC.
Đặt AB = c, BC = a, CA = b.
Chứng minh rằng:

IAsin A IBsinB ICsinC 0

+ + =



Nhận xét 16:

Ta thấy vị trí M thuộc miền trong tam giác, vậy

ABC nhọn thì tâm O
đờng tròn ngoại tiếp

ABC thuộc miền trong. Do đó, ta có bài toán mới.
Bài 4: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại
tiếp ABC.
Chứng minh rằng:

OAsin2A OBsin2B OCsin 2C 0
+ + =


(4)
A'

A

B

C

A

1
B
1
K

B'
M

H

A

B

C

a

I

r

S
1

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
16

Nhận xét 17: Từ kết quả bài toán 2, nếu ta bình phơng vô hớng (2) khi đó xuất hiện
IA.IB,IB.IC,IC.IA

. Và sử dụng công thức
2 2 2
1
AB.AC (AB AC BC )
2
= +

.
(Thật vậy
2 2
CB (AB AC) CB (AB AC)
= =

).
Ta lại có bài toán mới sau.
Bài 5: (Đề thi đề nghị Olimpic 30/4 lần 8,9) Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB
= c. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC.
Chứng minh rằng:
2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
+ + =
(5)
Giải vắn tắt:
(2)

2
(aIA bIB cIC) 0
+ + =



2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a IA b IB c IC 2cbIA.IB 2caIC.IA 2abIA.IB 0
1
a IA b IB c IC 2ab (IA IB a )
2
1 1
2ca (IC IA b ) 2ab (IA IB c ) 0
2 2
+ + + + + =
+ + + + +
+ + + =


(a
2
+ ab + ac) IA
2
+ (b
2
+ ba + bc) IB
2

+ (c
2
+ ca + cb) IC
2
- abc(a + b + c) = 0.
a(a + b + c) IA
2
+ b(a + b + c) IB
2
+ c(a + b + c) IC
2
= abc (a + b + c)
aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
= abc.

2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
+ + =
.
Nhận xét 18: Từ công thức (2) nếu ta thay I bởi M bất thì ta luôn có
2
(aMA bMB cMC)
+ +

0 và biến đổi hoàn toàn tơng tự nh bài toán 5, ta
suy ra aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2


abc (***)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra

M

I. Từ đó ta có thể vận dụng giải bài toán sau:
Bài 6: Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất
điểm M sao cho aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
abc (6)
Hớng dẫn: Từ (***) và (6) aMA
2
+ bMB
2

+ cMC
2
= abc M I, với I là tâm
đờng tròn nội tiếp ABC. Vậy M duy nhất.
Nhận xét 19: Cũng bài toán 6, ta có thể phát biểu dới dạng khác. Nhằm rèn luyện
t duy sáng tạo trong toán học cho học sinh từ đó quy lạ về quen.
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
17

Bài 7: (Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán) Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB =
c. Tìm vị trí M sao cho P = aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét 20: Qua dạng bài toán trên, nếu biết vận dụng linh hoạt kết hợp các bài
toán lại, thì ta có thể vận dụng giải các bài toán tơng tự sau, nhng ở mức độ cao
hơn.
Bài 8: (Đề thi đề nghị Olimpic 30/4 năm 1999) Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b,
AB = c, nội tiếp đờng tròn (O; 1). Chứng minh rằng với mọi M ta luôn có
a
2
(b
2
+ c
2

- a
2
) MA + b
2
(c
2
+ a
2
- b
2
) MB + c
2
(a
2
+ b
2
- c
2
) MC a
2
b
2
c
2
.
Giải vắn tắt: Theo bài toán 4, ta có
OAsin2A OBsin2B OCsin2C 0
+ + =

Và OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC.

MA = OA. MA =
OA . MA OA.MA OA(OA OM) (1 OA.OM)
= =

(****)
Dấu bằng xảy ra của (****) khi và chỉ khi
OA,MA

cùng hớng.
Ta có: a
2
(b
2
+ c
2
- a
2
) MA = 2abc sin2A. MA

2abcsin2A(1 -
OA.MA

), tơng tự
cho 2 trờng hợp còn lại.
Ta suy ra
VT

2abc (sin2A + sin2B + sin2C) - 2abc.
OM(OAsin2A OBsin2B OCsin2C)
+ +


= 2abc. 4sinA. sinB. sinC = a
2
b
2
c
2

Cái mấu chốt của bài toán này, là xuất hiện a
2
(b
2
+ c
2
- a
2
) = 2abc cosA.sinA, O là tâm
đờng tròn ngoại tiếp ABC nhọn. Do đó, ta liên tởng và vận dụng bài toán 4.
Nhận xét 21:

Từ bài toán trên có sự xuất hiện a
2
(b
2
+ c
2

- a
2
) khi đó ta nghĩ ngay
đến cosA Do vậy, nếu biết kết hợp với cách giải bài toán 1, ta có thể vận dụng
giải bài toán sau.
Bài 9
:
Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c. Gọi H là trực tâm ABC.
Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
HA HB HC O
b c a c a b a b c
+ + =
+ + +


.
Giải sơ lợc:
Tơng tự bài toán 1.
Kéo dài AH, BH cắt BC, AC lần lợt tại A
1
, B
1
.
Dựng hình bình hành HB' CA'


HC HA' HB'

= +


Ta có:
1
1
B C
CB' acosC
AH AB ccosA
= =

www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
18

a cosC
HA' CB' HA
ccosA
= =

(9')
tơng tự
bcosC
HB' CA' HB
ccosB
= =

(9'')
Từ (9') và (9'') ta suy ra

a cosC bcosC
HC HA HB
ccosA ccosB
=


2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
HA HB HC 0
cosA cosB cosC
1 1 1
HA HB HC 0
b c a c a b a b c
+ + =
+ + =
+ + +





2. Một số kinh nghiệm đúc kết qua việc giảng dạy học sinh phát huy trí lực
Theo chúng tôi, việc phát huy trí lực cho học sinh là một việc làm rất quan
trọng của ngời Thầy giáo. Nó đòi hỏi ngời thầy giáo cần phải biết nhìn nhận để
định hớng các em học sinh biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt cách giải, các
phơng pháp chứng minh, nhận định bài toán trên nhiều phơng diện . Bản thân
chúng tôi trong quá trình dạy học đã thờng xuyên áp dụng và thấy rằng tơng đối
có hiệu quả. Để đạt đợc những hiệu quả đó, chúng tôi đã thực hiện một số biện
pháp sau
2.1.

Luôn tăng cờng tham khảo tài liệu, đặc biệt là nghiên cứu kĩ SGK(đây là
một tài liệu quan trọng hơn bao giờ hết), qua đó cố gắng ghi lại những bài
toán có thể khai thác các ứng dụng của nó
, gii bi toỏn c trong nhiu
cỏch
nhằm phát huy trí lực cho học sinh.
2.2.
Trong qua trình giảng dạy ngời giáo viên cần phải biết cách
h ng d n

nhằm cung cấp cho các em học sinh các phơng pháp tiếp cận loại bài
toán đó và thờng xuyên đặt câu hỏi
bài toán này có thể khai thác từ
bài toán nào? ứng dụng của nó ra sao?
2.3.
Giáo viên cần phải chuẩn bị các kiến thức
hng dn


để Học sinh tự
khám phá, tự đặt bài toán tổng quát và độc lập giải quyết nó.

2.4.
Đứng trớc một bài toán Giáo viên cần hớng dẫn và phân tích cho các
em Học sinh phải xem xét nó cách nhìn nhận vấn đề khác nhau, qua đó
tìm ra đợc các định hớng đợc cách giải bài toán cho Học sinh và cách
khai thác ứng dụng của nó.

A

'

A
B

C
A
1

B
1

B'

H
www.MATHVN.com
Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
19

2.5. Từ việc khai thác các ứng dụng của nó Giáo viên có thể hớng các em
Học sinh biết lật ngợc đợc vấn đề, hớng dẫn chuyển đổi các dạng bài
toán về các bài toán mới hay hơn và hiệu quả hơn.
C kết luận.
Khai thác tiềm năng sách giáo khoa, ứng dụng các bài toán đơn giản sách giáo
khoa vào giải các bài toán khác nhằm phỏt trin trớ lc cho học sinh là việc làm cần
thiết đối với mỗi giáo viên, qua đó phát triển cho học sinh t duy toán học, có khả
năng vận dụng và sự linh hoạt trong giải quyết vấn đề. Đi từ những vấn đề đơn giản
giải quyết các vấn đề phức tạp phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh, từ đó
làm cho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn.

Bằng cách này trong thời gian qua đợc nhà trờng phân công giảng dạy và bồi
dỡng học sinh giỏi khối 10, 11, 12 bớc đầu đã thu đợc kêt quả đáng khích lệ.
Quá trình vận dụng chuyên đề trên vào giảng dạy có khoảng 80

% học sinh giải
quyết đợc 85% các bài tập trong sách giáo khoa, 19% học sinh giải quyết trọn vẹn
các bài tập sách giáo khoa. Chính vì thế trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi đạt
13/14 em trong đó có 2 giải nhì và 5 giải ba; trong các kì thi đại học 4 năm trở lại
đây năm nào cũng có Học sinh đậu Đại học có điểm cao nhất huyện.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân chúng tôi đã đúc rút ra trong quá
trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi. Bản thân chúng tôi thấy rất quan trọng
và rất thiết thực trong công việc dạy học đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh
giỏi nh hiện nay, nên mạnh dạn đa ra. Rất mong các cấp chuyên môn đóng góp ý
kiến, bổ sung để bản thân ngày càng hoàn thiện hơn và có nhiều kết quả tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !


Đồng tác giả




Ngô Quang Vân-Trơng Xuân Sơn






www.MATHVN.com

Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10
Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com
20


Sở giáo dục và đào tạo nghệ an
Trờng thpt quỳnh lu 4










Sáng kiến kinh nghiệm


khai thác ứng dụng một số bất đẳng thức đơn
giản nhằm rèn luyện t duy lôgic cho học sinh







Đồng tác giả

Ngô Quang Vân-Trơng Xuân Sơn