GIẢI TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



1






(MT PHNG PHÁP NHM PHÁT TRIN T DUY CHO HC SINH)

Gi tng: www.MATHVN.com















Bm sn. 13.03.2011

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



2

GII TOÁN TÍCH PHÂN BNG NHIU CÁCH
(Mt phng pháp nhm phát trin t duy)

I. TÍCH PHÂN HÀM HU T

Bài tp gii mu:

Bài 1: Tính tích phân sau:
3
3
2
0
1
x
I dx
x




Gii:
Cách 1: Phng pháp bin đi s
t


2
tan 1 tan
x t dx t dt
   
i cn
3
3

0
0
t
x
x
t





 

 







Khi đó
   
3 3 3 3
3 2 2
0 0 0 0
tan tan tan 1 1 tan tan 1 tan
I tdt t t dt t t dt tdt
   
      

   

 
 
2
3 3
0 0
cos
tan 3
tan tan ln cos ln 2
3
cos 2 2
0
d t
t
td t t
t
 

 
    
 
 
 

Nhn xét: i vi tích phân dng
 
 
2 2
, ,

I R u u a du u u x


  

thì ta có th đt
tan
u a t


Cách 2: Phng pháp tích phân tng phn
t
 
2
2
2
2
ln 1
1
2
du xdx
u x
x
xdx
dv
v
x





 


 


 




Khi đó
       
3 3
2 2 2 2 2
0 0
1 13
ln 1 ln 1 3ln 2 ln 1 1
2 2
0
J
I x x x x dx x d x
       
 


Tính
   
3

2 2
0
ln 1 1
J x d x
  


t
 
 


2
2
2
2
2
1
ln 1
1
1
1
d x
u x
du
x
dv d x
v x




 




 

 
 

 


www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



3

Khi đó
     
3
2 2 2
0
1 33
3ln 2 1 ln 1 1 ln 2

2 2
0
I x x d x
 
       
 
 
 


Chú ý: S d ta s dng đc phng pháp này là vì
Khi tính tích phân hàm phân thc mà ta phân tích đc v dng


 




 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì
t



 
 
'
n
u f x
du
Q x
v
dv dx
Q x




 





Cách 3: K thut tách thành tích kt hp phng pháp đi bin s
Nhn xét: Ta có
3 2
.
x x x
 và


'

2
1 2
x x
  t đó ta đnh hng gii nh sau
Phân tích
3 3
3 2
2 2
0 0
1 1
x x x
I dx dx
x x
 
 
 

t
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 


  





i cn
4
3
1
0
t
x
t
x






 






Khi đó



 
4 4
1 1
1
4
1 1 1 1 3
1 ln ln 2
1
2 2 2 2
t
I dt dt t t
t t

 
      
 
 
 

Cách 4: Phân tích và đa vào vi phân
 


   
 
 
 
2
3 3 3

2
2 2 2
2 2 2
0 0 0
2
3 3
2
2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 21 1 1
1
1 33 3
1 ln 1 2ln 2
2 2 2
1
0 0
x
x
I d x d x d x
x x x
d x
x
d x x
x
 
 

       
 
  
 

       

  
 

Cách 5: Chia đa thc đ tách thành tng hai tích phân đn gin hn


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1
1 3 1 33 3
ln 1 ln 2
2 2 2 2 2
1 1 1
0 0
d x
x x x
I dx x dx x
x x x


 
         
 
  
 
  

Nhn xét: ây là tích phân hàm phân thc mà có bc ca t ln hn bc ca mu chính vì th ta chia đa thc
đ tách thành tng các tích phân là phng pháp ti u nht
Cách 6: Phân tích t thc cha mu thc (thc cht là chia đa thc)
Ta có


3 2
1
x x x x
  

Khi đó


 
2
3 3 3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
1

1 3 1 33 3
ln 1 ln 2
2 2 2 2 2
1 1 1
0 0
d x
x x x
I dx x dx x
x x x

 
         
 
  
 
  

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



4

Bài 2: Tính tích phân bt đnh:
  
3 3
2

3 3
1 2
3 2
x x
I dx dx
x x
x x
 
 
 
 

Gii:
Cách 1: Phân tích t thc cha nghim ca mu thc
Phân tích






3 2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
x x x x x x x
        

Khi đó







2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 1 1
3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

     
2
7 1 1
3 3 7ln 2
2 1 2 2 1 2
x
x dx x x dx
x x x x x
 
        
 
 

    
 
 

2 2
3 7 ln 2 ln 2 ln 1 3 8ln 2 ln 1
2 2
x x
x x x x C x x x C
               

Cách 2: Kt hp phân tích t thc cha nghim  mu thc và k thut “nhy tng lu”
Phân tích








3 2
3 2 3 1 1 2 3
x x x x x x x
       




















2 2
3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3
x x x x x x x x x x x x x
                  
 
 

Khi đó









2
3
2 2
3 2 3 1 2 3 2 3
3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
        
 
 
   
 

2
2
2
9 2 3
3 3 9ln 2 ln 3 2
2 3 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           
 
  

 
 

Cách 3: Kt hp phân tích t thc cha nghim  mu thc và đng nht thc
Phân tích




3 2 2
3 2 3 3 2 7 6
x x x x x x x
       

Khi đó




2 2
3
2 2
3 2 3 3 2 7 6
3
3 2 3 2
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
      

 
   
 

 
2
1
2
7 6
3 3
3 2 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính
1
I
bng phng pháp đng nht thc….
Cách 4: Chia đa thc đ tách thành tng hai tích phân đn gin hn
 
1
3
2 2 2
3 9 8 9 8
3 3

3 2 3 2 3 2
I
x x x
I dx x dx x dx dx
x x x x x x
 
 
      
 
     
 
   


Tính
1
I
bng phng pháp đng nht thc….
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau:
 
3 3
2
2
2 1
1
x x
I dx dx
x x
x
 

 

 

Gii:
Cách 1: Phng pháp đi bin s
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



5

t
1
1
du dx
u x
x u


  

 


Khi đó
 

3
3 2 2
2 2 2
1
3 3 1 3 1 1
3 3 3ln
2
u
u u u u
I du du u du u u C
u u u u u

  
 
          
 
 
  

vi
1
u x
 

Cách 2: Phân tích t thc cha nghim  mu thc
Phân tích







3 2 2
2 1 2 2 1 3 1 1
x x x x x x x
        

Khi đó






2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 1 1
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

 
2

2
3 1 1
2 2 3ln 1
1 2 1
1
x
x dx x x C
x x
x
 
         
 
 

 
 


Cách 3: Kt hp phân tích t thc cha nghim  mu thc và k thut nhy tng lu
Phân tích
   
 
3 2 2
3
2 1 2 2 1 1 2 2
2
x x x x x x x
        

Khi đó

   
 
2 2
3
2 2
3
2 1 2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x
       
 
   
 

2
2
2
1 3 2 2 3
2 2 ln 1 ln 2 1
1 2 2 1 2 2
x x
x dx dx x x x x C
x x x

 
           

 
  
 
 

Cách 4: Kt hp phân tích t thc cha nghim  mu thc và đng nht thc
Phân tích




3 2 2
2 1 2 2 1 3 2
x x x x x x x
       

Khi đó




2 2
3
2 2
2 1 2 2 1 3 2
2 1 2 1
x x x x x x
x
I dx dx
x x x x

      
 
   
 

 
2
1
2
3 2
2 2
2 1 2
x x
x dx dx x I
x x

     
 
 
.
Tính I
1
bng phng pháp đng nht thc
Cách 5: Chia đa thc đ tách thành tng các tích phân đn gin
   
3 3
2 2 2
2
3 1
2

12 1
1 1
1
2 3ln 1
2 1
x x
I dx dx x dx
xx x
x x
x
x x C
x
 
     
 
 
 
 
 
     

  

Cách 6: S dng phng pháp tích phân tng phn
t
 
3
2
2
3

1
1
1
u x
du x dx
dx
dv
v
x
x







 

 
 





Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:

D: 01694 013 498



6

3 2 3 2
3 3 2
1 1
3 3
1 1 1 1
1
3 1 3 ln 1
1 1 1 2
x x x x
I dx dx
x x x x
x x x
x dx x x C
x x x
 
     
   
 
 
           
 
 
  
 

 
 


Bài 4: Tìm nguyên hàm:
 
2
39
1
x dx
I
x




Gii:
Cách 1: S dng phng pháp đa vào vi phân
Phân tích
     
2
2
2
1 1 1 2 1 1
x x x x
       
 
 

 

 
 
     
2
2
39 39 37 38 39
1 2(1 ) 1
1 2 1
1 1 1 1 1
x x
x
x x x x x
   
    
    

           
37 38 39 36 37 38
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
36 37 38
1 1 1 1 1 1
I dx dx dx C
x x x x x x
      
     
  

Cách 2:
t

1 1
t x x t dx dt
       

 
2
39 39 38 37 38 37 36
1
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
38 37 36
t dt
I dt dt dt C
t t t t t t t

          
   

Nhn xét:
Cách 3: S dng phng pháp tích phân tng phn
t
 
 
2
38
39
2
1
38 1
1

du xdx
u x
dx
v
dv
x
x






 


 





Khi đó
   
2
38 38
1 1
19
38 1 1
x

I x dx
x x
 
 

…. đn đây các bn có th t làm ri
Bài 5: Tìm nguyên hàm:
3
10
( 1)
x dx
I
x




Gii:
Cách 1: S dng phng pháp đa vào vi phân
S dng đng nht thc:
       
3
3 2
3
1 1 1 3 1 3 1 1
x x x x x
         
 
 

3
10 7 8 9 10
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x
x x x x x
    
    

Khi đó
7 8 9 10
6 7 8 9
3 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 3 1 3 1 1 1
6 7 8 9
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
dx dx dx dx
I
x x x x
C
x x x x
    
   
     
   
   

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



7

Cách 2: S dng phng pháp bin đi s
t
1
t x
 
ta có:
1
x t
 
nên
dx dt


 
3
3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt

A t dt t dt t dt t dt
t t
   

  
     
     

6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
     
   

Cách 3: S dng phng pháp tích phân tng phn
t
   
3 2
10 9
3
1
1 9 1
u x du x dx
dx
dv v
x x
 
 

 

 
  
 
 
 

Khi đó
   
1
2
3
9 9
1 1

3
9 1 1
I
x
I x dx
x x
  
 



đn đây rùi ta có th tính
1
I

bng phng pháp tích phân tng phn hoc phân tích






2 2
1 1 1 1 1
x x x x
      

Nhn xét :
- i vi bài 3, bài 4 và mà ta s dng phng pháp đng nht thc thì gii h qu tht là nan gii phi không,
chính vì th mà la chn phng pháp nào mà hiu qu và nhanh v đích nht
Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý
- i vi tích phân hàm phân thc có dng


 
n
P x
I dx
x a



thì đt
t x a
 

là mt phng pháp hiu qu nht
- Khi tính tích phân hàm phân thc mà ta phân tích đc v dng


 




 
'
n n
P x f x Q x
I dx dx
Q x Q x
 
 
thì ta s
dng phng pháp tích phân tng phn nhng nên làm khi bc ca


x a

là
1,2
n


t:



 
 
'
n
u f x
du
Q x
v
dv dx
Q x




 





Bài 11: (HDB – B 2004) Tính tích phân sau:
 
3 3
3
2
0 0
1
dx dx
I

x x
x x
 


 

HD:
Cách 1: Bin đi s
Nhân c t và mu cho
2
x

   
3 3 3
3
2 2 2
0 0 0
1 1
dx dx xdx
I
x x
x x x x
  

 
  

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



8

t
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 

  





Cách 3: Bin đi s
t
tan
x u


… Bn đc t gii
Cách 4: a vào vi phân
Phân tích t


2 2
1 1 –
x x
 
Khi đó


2
3 3
2
2
00 0 0
3 3
2
1
13 3
ln ln 1
2
1
1 6
ln
2
0
2

1
0
dx x dx
I dx
d x
x x
x
x x
x
    


  

  

Bài 12: Tính tích phân sau:
2
5 3
1
dx
I
x x




Gii:
Cách 1: S dng phng pháp phân tích
Cách 1.1: Phân tích:

2 2
1 1
x x
  

 
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x
   
        
   


Khi đó
2
2
3 2
2 2
2
1 1 1
2
1 1 1 1 1

ln
3 1 5
ln 2 ln
8
ln 1
2
1
2
2
2
1
x
I dx dx dx x x
x
x x x
 
         
 

 
  

Cách 1.2: Phân tích:




4 4 4 2 2
1 1 1 1
x x x x x

      
 




4 2 2
4 4 2
3
3 2 3 2 2 3 2
3 2
1 1
1 1 1 1
( 1) ( 1) 1 1
1
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x x x
x x

  
  
       
   


t làm nhé
Cách 2: Kt hp k thut tách thành tích và phng pháp bin đi s

Phân tích
   
2 2
2
1
3 2 2
1
1 1 1
.
1 1
I dx dx
x
x x x x
 
 
 

t
2
1
1
1
x
t
t
x
dx dt
t





 


 



i cn
1
2
2
1
1
x
t
x
t






 








www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



9

Khi đó
1
1
3
2
2
2 2
2
1
1
2
1
1 1
1
1

t
t

I t dt dx
t
t t
 

 

 



 
đn đây li tr thành bài 1, các bn tha h mà làm nhé
Cách 3: S dng k thut nhân trên t và phng pháp đi bin s
   
2 2
3 2 4 2
1 1
1
1 1
x
I dx dx
x x x x
 
 
 

t
2
1

2
dt
t x xdx
   
i cn
2 5
1 2
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
5 5
2 2
2 2
5
1 1 1 1 1 1 3 1 5
ln ln 2 ln
2
2 1 2 1 1 8 2 2
1 1
dt t
I dt
t t t t

t t t
 
 
         
 
 
  
 
   
 
 

Hoc các bn có th đt
1
u t
 
hoc phân tích


1 1
t t
  
hoc đng nht thc
Cách 4: S dng k thut nhân trên t và phng pháp đa vào vi phân
     
 
 
 
   
 

 
2 2 2
2
3 2 4 2 4 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 2
4
4 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1
2
1 1 1
1
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2
1 1
x
I dx d x
x x x x x x
x x
d x d x d x
x
x x x x
    
  
 

      
 
  
  

 
2 2
3
2
1 1
1 1

1
dx dx
x
x x
 

 
ôi đn đây li thành cách 1 rùi, lòng vòng quá, b qua thui…
Cách 5: S dng phng pháp đng nht thc
 
3 2 2
3 2
1
1
1
A B C Dx E
x
x x x

x x

   


đn đây thì đng nht thc hai v đ gii h tìm
, , , ,
I A B C D E

tuy nhiên
vic gii h là phc tp chính vì th trong trng hp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiu qu
nht
Cách 6: t


2
tan tan 1
x u dx dt
    … bn đc t làm
Bài 14: Tính tích phân sau:
1
3
0
1
dx
I
x




Gii:
Nhn xét:




3 2
1 1 1
x x x x
    

Cách 1: Da vào nhn xét trên ta s dng đng nht thc:






2 2 2
1 1 1 1
x x x x x
      

Khi đó
1 1
2
1 2
3 2
0 0

1
1 1
x x
I dx dx I I
x x x

   
  
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



10

Tính
1
I
bng cách đt
3
1
t x
 
hoc



3
1
1
3
0
1
1
3
1
d x
I
x





Tính
2
I
phân tích
 
1 1
1 2 1
2 2
x x
   
(k thut nhy tng lu)
Ta có
1 1 1

2
2 2 2
0 0 0
1 1 2 1 1
2 21 1
1 3
2 4
x x dx
I dx dx
x x x x
x
 
  
   
 
 
 
 
  

Cách 2: ng nht thc
Xét
 
  
2
3 2
1
1 1 1
1
1 1

A Bx C
A x x Bx C x
x
x x x

        

  

n đây ta có th đng nht h s gii h tìm A, B, C hoc cho mt s giá tr riêng là
1 2 1
1 ; 0 ; 1
3 3 3
x A x C x B
          
…Bn t gii tip nhé
Kt qu ta đc
1
ln 2
3
3 3
I

 

Cách 3: i bin s kt hp k thut “nhy tng lu”
 
 



     
1 1 1
3
22
0 0 0
1
1
1 1
1 1 3 1 3
dx dx d x
I
x
x x x
x x x

  

 
  
    
 
  

t
1
x t dx dt
   

i cn
0 1

1 2
x t
x t
 
 

 
 
 

 




 
2 2 2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
dt 1 3 3 3 1 dt 3
dt
3 3
3 3
3 3 3 3
t t t t t
dt
t
t t

t t t t t t
 
    
   
 
 
   
 
   





2 2 2
2
2 2
1 1 1
2
2
1 dt 1 3 3 3 dt
3
3 2 2
3 3
3
2
4
2
1 1 2 3 1
ln 3 arctan ln 2

13 2 3
3 3
3 3 3
d t t
t
t t
t
t t
t t

 
 
  
 
 
 
 
 
 
 

   
 
 
 
  

Bài 15: Tính tích phân bt đnh:
 
4 3

50
3 5 7 8
2
x x x
I dx
x
  



.
Gii :
Cách 1: Bin đi s
t
2
2
x t
x t
dx dt
 

  




Khi đó
 
     
4 3

4 3
50 50
3 2 5 2 7 2 8
3 5 7 8
2
t t t
x x x
I dx dt
t
x
     
  
 

 

Cách 2: ng nht t thc cha nghim ca mu thc
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



11

Phân tích
       
4 3 2
4 3

3 5 7 8 2 2 2 2
x x x a x b x c x d x e
           
… đng nht đ tìm a, b, c, d, e
…
Cách 3: Khai trin Taylor (tham kho)
t


4 3
4
3 5 7 8
P x x x x
   

Áp dng khai trin taylor ta có
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 4
2 3 4

4 4 4 4
4 4
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1! 2! 3! 4!
P P P P
P x P x x x x
 
   
         
         
2 3 4
4
66 149 2 48 2 29 2 3 2
P x x x x x         
       
 
         
 
       
2 3 4
50
50 49 48 47 46
49 48 47 46 45
66 149 2 48 2 29 2 3 2
2
66 2 149 2 48 2 29 2 3 2
66 149 48 29 3
49 2 48 2 47 2 46 2 45 2
x x x x

I dx
x
x x x x x dx
C
x x x x x
    
       
 

 
         
 

     
    



Bài 16: (HTN – 2001) Tính tích phân sau:
1 5
22
4 2
1
1
1
x
I dx
x x




 


Gii:
Ta có
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
4 2 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x

x
x
x
x
  
 


 

 
 
 
 
 
 
 
 
  

t
2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
    
 
 

.
i cn
1
0
1 5
1
2
x
t
t
x






 







Khi đó
1
2
0
1

dt
I
t



. t


2
tan 1 tan
t u dt u du
    .
i cn
0
0
1
4
u
t
t
u







 







Khi đó
1
2
4 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
4
4
1 1 tan
0
dt u
I du du u
t u
 



    
 
  

Cách khác:

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



12

Ta có th gp hai ln đt là
 
2
2
1 1
tan 1 1 tan
x u dx u du
x x
 
     
 
 
… bn đc t gii
Bài 17: Tính tích phân:
I
2
2
4
1
1
1

x
dx
x





Gii:
Cách 1: Chia c t và mu cho
2
0
x

ta đc
Bin đi
2 2
2 2
2
2
1 1
2
1 1
1 1
1
1
2
x x
I dx dx
x

x
x
x
 
 
 

 
 
 
 

t
2
1 1
1
u x du dx
x x
 
    
 
 

Khi đó
I
5
2
2
2
1 2

ln
2
2 2 2
du u
u
u

 



5/ 2
2
1 (5 2 2)(2 2)
ln
2 2 6 2
 



Cách 2: Phân tích






2
4 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1

x x x x x x x
        
và s dng đng nht thc
2
4
2 2
1
1
2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x x x x
  
 

   
… đng nht h s tìm A, B, C và D nhng cách này dài và rt phc tp
nên không đa ra
Nhn xét:
- Qua các ví d trên ta thy k thut chia thc s rt hiu qu trong vic chuyn tích phân ban đu thành tích
phân đn gin hn
- Thông thng đ s dng k thut chia thì trên t là mt đa thc bc hai


2
1
P x x
 
còn mu là mt đa thc
bc 4:



4 3 2
Q x ax bx cx dx e
    
sao cho h s
1
a e
 

- Tích phân trên đa v dng
2
1 1
1
I f x dx
x x
  
 
  
  


đt
2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
   

 
 

Tng t ta có th gii bài toán này
1. Tính tích phân sau
I
2
2
4
1
1
1
x
dx
x





2 2
2 2
2
2
1 1
2
1 1
1 1
1
1

2
x x
I dx dx
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 
 
. t
2
1 1
1
u x du dx
x x
 
    
 
 

2. (HQGHN – A 2001) Tính tích phân bt đnh sau:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:

D: 01694 013 498



13

  
2 2
2
2 2
1 1 5 1
ln
8
3 1
5 1 3 1
x x x
I dx C
x x
x x x x
  
   
 
   


Bài 18: Tính tích phân sau:
 
1
4
3 4

0
1
I x x dx
 


Gii:
Cách 1: S dng phng pháp bin đi s
t
4 3 3
1 4
4
dt
t x dt x dx x dx
     

i cn
1 2
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 

1 2
4
3 4 4 5
0 1
2
1 1 31
1 .
1
4 20 20
I x x dx t dt t
 
    
 
 
 

Cách 2: S dng phng pháp bin đi s
t
4 3
4
dt
t x x dx
  
i cn
1 1
0 0
x t
x t
 
 


 
 
 

Khi đó
 
 
1 1
5
4
2 3 4 2 3 4
0 0
1
1 1 1 31
1 1 4 6 4 2 2
0
4 4 4 5 20
t
I t dt t t t t dt t t t t
 
            
 
 
 

Cách 3: S dng phng pháp bin đi vi phân
     



5
4
1 1
4 4
3 4 4 4
0 0
1
1
1 1 31
1 1 1 .
0
4 4 5 20
x
I x x dx x d x

      
 

Cách 4: S dng phng pháp phân tích
Phân tích






4
3 4 3 16 12 8 4 19 15 11 7 3
1 4 6 4 1 4 6 4
x x x x x x x x x x x x

          
Khi đó
   
1 1
20 16 12 8 4
4
3 4 19 15 11 7 3
0 0
1
31
1 4 6 4
0
20 4 2 2 4 20
x x x x x
I x x dx x x x x x dx
 
            
 
 
 

Nhn xét: Mi cách gii có mt đc thù riêng nên la chn cách nào là phù hp hn, tùy vào mi ngi, theo
tôi cách 1 và cách 3 là hiu qu nht
Bài 19: (H KTQD – 1997) Tính tích phân sau:
 
1
6
5 3
0
1

1
168
I x x dx  


Gii:
Ta có
   
1 1
6 6
5 3 3 3 2
0 0
1 1
I x x dx x x x dx
   
 

Cách 1: i bin s
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



14

t
2
3

3
1
3
1
dt
x dx
t x
x t

 

  


 


i cn
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

   

 
0 1 1
7 8
6 6 6 7
1 0 0
1 1 1 1 1
1 1
3 3 3 3 7 8 168
t t
I t t dt t t dt t t dt
 
         
 
 
  

Cách 2: a vào biu thc vi phân
         
       
   
1 1 1 1
6 6 6 7
5 3 2 3 3 2 3 2 3
0 0 0 0
7 8
3 3
1 1
6 7
3 3 3 3
0 0

1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 . .
0 0
3 3 7 3 8 168
I x x dx x x x dx x x dx x x dx
x x
x d x x d x
 
         
 
 
          
   
 

Cách 3: Khai trin


6
3
1
x
 thành tng các đa thc


6
5 3

1
x x
  cách này không khó nhng khai trin phc
tp… ch tham kho thôi
Chú ý: Nu ta đt
3
t x

cng ra nhng s dài và phc tp, bn đc có th tham kho
Bài 20: Tính tích phân sau
 
2
2
0
1
I x x dx
 


Gii:
Cách 1: S dng phng pháp phân tích
Ta có
 


2
2 3 2
1 2 1 2
x x x x x x x x
      

Khi đó
 
2
4 3 2
3 2
0
2
2 34
2
0
4 3 2 3
x x x
I x x x dx
 
      
 
 


Cách 2: S dng phng pháp đa vào vi phân
Ta có
         
2 2 3 2
1 1 1 1 1 1
x x x x x x
        
 
 

Khi đó
           
 
 
4 3
2 2 2 2
3 2 3 2
0 0 0 0
1 1
34
1 1 1 1 1 1
4 3 3
x x
I x dx x dx x d x x d x
 
            
   

Cách 3: i bin s
t
1
1
x t
t x
dx dt
 

  





i cn
2 3
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
 
3 3
4 3
2 3 2
1 1
3
34
1
1
4 3 3
t t
I t t dt t t dt
 
      

 
 
 

Cách 3: S dng phng pháp tích phân tng phn
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



15

t
 


2
2
2 1
1
2
du x dx
u x
x
dv xdx v
  

 

 

 
 





Khi đó
   
 
2 2
2 4 3
2
2 3
0 0
2 2
34
1 1 6 6
0 0
2 4 3 3
x x x
I x x x dx x x dx

 
          
 
 
 

Bài 21: Tính tích phân sau:
 
0
9
2
1
1
I x x dx

 


Gii:
Cách 1: Bin đi s
t
1
t x dt dx
   

i cn
1 0
0 1
x t
x t
  
 

 
 

 

Khi đó
   
   
0 1 1 1
9 2
2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0
12 11 10
1 1 2 1 2
1
1 2 1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t

         
 
      
 
 
   

Cách 2: Phng pháp phân tích
Phân tích
   
2

2
1 2 1 1
x x x
    

Khi đó
             
     
0 0 0
9 2 9 11 10 9
2
1 1 1
12 11 10
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1
0
1
2
1
12 11 10 660
I x x dx x x x dx x x x dx
x x x
  
   
             
   
 
  
    


 
 
  

Hoc phân tích
2
x
theo


1
x

nh sau
 


     


       
9 9 9 11 10 9
2 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
x x x x x x x x x x
 
                
 
 
 

Nhn xét:
- Vi bài toán này ta s dng phng pháp phân tích tc là khai trin
 
9
1
x

hay phng pháp tích phân tng
phn nh bài 20 thì cng ra nhng rt dài và phc tp vì bc ca


1
x

là ln
Bài 22: Tính tích phân:
1
2 10
0
(1 3 )(1 2 3 )
I x x x dx
   


Gii:
Cách 1: i bin s
t
2
1 2 3 (2 6 ) 2(1 3 ) (1 3 )

2
dt
t x x dt x dx dt x dx x dx
           
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



16

i cn:
0 1
1 6
x t
x t
 
 

 
 
 
.
10 11 11 11 11
6 6
10
1 1
6

6 1 6
1
1
2 2 22 22 22 22
dt t t
I t dt
      
 

Cách 2: a vào vi phân
 
     
   
 
1
1
10 10 '
2 2 2
0
0
11
2
1
11
10
2 2
0
1
1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2

1 2 3
1
1 6
1 2 3 1 2 3 1
0
2 22 22
I x x x dx x x x x dx
x x
x x d x x
        
 
       
 



Bài tp t gii có hng dn:

Bài 1: (HV – D 2000) Tính tích phân sau:
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x

 



s:
9ln 3 8
I
 

Bài 2: Tính tích phân sau:
  
2
2
2 2
1
1
3 1 1
x
I dx
x x x x


   


HD:
Chia c t và mu cho
2
x
ta đc
2
2

1
1
1
1 1
3 1
x
I dx
x x
x x


  
   
  
  


Cách 1: Bin đi s đt
2
1 1
1
t x dt dx
x x
 
    
 
 

Cách 2: Bin đi vi phân
2 2

2
1 1
1
1
1
2
1 1 1
ln 1 ln 3
1 1 1 1
1
2
3 1 3 1
1 7
ln
2 10
d x
x
x
I dx dx x x
x x
x x x x
x x x x
 


 
 
   
 
       

   
 
     
   
 
       
     
     

 

Cách 3: ng nht thc
Bài 3: Tính tích phân sau:
1
5
2
0
.
1
x
I dx
x




HD:
ng nht thc:
5 3 2 2
( 1) ( 1)

x x x x x x
    

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



17

1
1
3 4 2 2
2
0
0
1 1 1 1 1
ln( 1)] ln 2 .
4 2 2 2 4
1
x
I x x dx x x x
x
   
         
 
 
 


 


Hoc chia t cho mu đ tách thành tng các tính phân đn gin Hoc đt
tan
x t


Bài 4: (HKT – 1994) Tính tích phân sau:
 
1
3
0
1 2
x
I dx
x




HD:
Phân tích
 
     
3 2 3
1 1 1 1
1 2 1
2 2

1 2 1 2 1 2
x
x x
x x x
 
     
 
  
 
 
ta đc
1
18
I 
Hoc đt
1 2
t x
 
Hoc tích phân tng phn
Bài 10: Tính tích phân:
 
1
2
4 2
1
2
3 21 13
ln 2 ln3
4 4
3 2

x
I dx
x x x

   
 


HD:
Cách 1: Nhân c t và mu cho x ri đt
2
t x


Cách 2: Phân tích mu






4 2 2 2
3 2 1 2
x x x x x x
    
và s dng đng nht thc
Bài 5: Tính tích phân:
  
1
2 2

0
2 5 1 5
ln
2 4
3 2 7 12
x
I dx
x x x x

 
   


HD:
Phân tích

















2 2 2 2
3 2 7 12 1 2 3 4 5 4 5 6
x x x x x x x x x x x x
             

Cách 1: S dng đng nht thc khi mu s là 4 nghim đn
Cách 2: S dng đi bin s đt
2
5
t x x
 

Cách 3: S dng phng pháp phân tích
 
   
2 2
1
2 5 2 5 5 6 5 4
2
x x x x x x
 
       
 

Bài 6: Tính tích phân:
1
2
4 3 2
1

2
2 3
44
2 5 4 4
x
I dx
x x x x

  
   


HD:
Phân tích


2
4 3 2 2
2 5 4 4 2
x x x x x x      
Cách 1: ng nht thc
Cách 2: Chia c t và mu cho
2
x
và đt
2
t x
x
 
Hoc đa vào vi phân

Bài 7: Tính tích phân sau:
 
0
2
3
2
1
1
x dx
I
x





HD:
Cách 1: t
tan
x t


Cách 2: S dng phng pháp tích phân tng phn
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

18

t
 
3
2
1
u x
xdx
dv
x









Cách 3: S dng phng pháp phân tích thành hai tích phân đn gián
Phân tích


2 2
1 1
x x
  

Khi đó

     
0 0 0
2
3 2 3
2 2 2
1 1 1
1 1 1
x dx dx dx
I
x x x
  
  
  
  



II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ T

Bài tp gii mu:

Bài 1: (HGTVT – 1998) Tính tích phân:
7
3
3
0
1
3 1
x
I dx

x





Gii:
Cách 1: Bin đi s
t
3
3
2
1
3 1
3
u
x
u x
dx u du




  





i cn

7
2
3
1
0
u
x
u
x






 






Khi đó
   
3
2 2
5
2 3 4 2
1 1
1

1
2
1 1 1 46
3
2 2
1
3 3 3 5 15
u
u
I u du u udu u u du u
u


 
       
 
 
  

Cách 2: Bin đi s
t
1
3
3 1
3
u
x
u x
du
dx






  






i cn
7
8
3
1
0
u
x
u
x






 







www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



19

Khi đó
5
2 1 2
8 8 8
3
3 3 3
1 1
1 1 1
3 3
1
1
8
1 1 2 1 1 3 46
3
2 3
1

3 9 9 9 5 15
u
u u
I du du u u du u
u u


 

 

 
      
 
 
   
 
  

Cách 3: a vào vi phân
Phân tích
 
1 2
1 3 1
3 3
x x
   

Khi đó
 

       
   
7 7 7 7 7
3 3 3 3 3
2 1
3 3
3 3 3
0 0 0 0 0
5 2
3 3
1 2
3 1
1 3 1 2 1 2
3 3
3 1 3 1 3 1 3 1
3 3 9 9
3 1 3 1 3 1
7 7
1 1 46
3 1 3 1
3 3
15 3 15
0 0
x
x dx
I dx dx x d x x d x
x x x
x x

 


        
  
    
    

Cách 4: Tính phân tng phn
t
 
2
3
3
1
1
1
3 1
3 1 2
u x
du dx
dv dx
v x
x
 
 

 

 

 

 
 


Khi đó
  
 
      
7 7
2
3 3
2 2 1
3
3 3 3
3
0 0
7
3 1
1 1 1 1
1 3 1 1 3 1 3 1 3 1
3
2 2 2 6
3 1
0
x
I x x dx x x x d x
x

         


 
bn đc t gii
Bài 2: Tính tích phân:
1
3
2
1
0
1
x
I dx
x

 



HD:
C1: t
tan
x t


C2: Phân tích


3 2
1
x x x x
  

C3: t
2
2
1
u x
x
dv dx
x









C4: t
x t
 

C5: Phân tích




3 2 2 2
1 1 1
x dx x xdx x d x

 
    
 

Bài 3: (HBKHN – 1995) Tính tích phân sau:
2
2
2
1
dx
I
x x




Gii:
Cách 1: Phng pháp bin đi s

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



20

t
2

1 sin
cos
cos
tdt
x dx
t
t
   vi
0;
2
t

 

 
 
hoc
t
x
sin
1

i cn
2
3
2
4
t
x
x

t







 

 








Khi đó
3 3 3
2
2
4 4 4
2
sin
sin
3
cos
sin 12

1 cos
4
cos
t
t
t
I dt dt dt t
t
t
t
  
  



    

  
(vì
; sin 0
4 3
t t
 
 
  
 
 
)
Cách 2: Phng pháp bin đi s
Nhân c t và mu cho x ta đc

2 2
2 2 2
2 2
1 1
dx xdx
I
x x x x
 
 
 

t
2 2
2
1
1
x t
x t
xdx tdt

 
  




i cn
2
3
2 1

x
t
x t

 

 

 
 
 
 

Khi đó
 
3 3
2
2
1 1
1
1
tdt dt
I
t
t t
 


 
. t

 
2
2
1
tan tan 1
cos
t u dt du u du
u
    
i cn
3
3
1
4
u
t
t
u







 

 









Khi đó
2
4 4
2
3 3
tan 1
4
12
tan 1
3
u
I du du u
u
 
 




   

 

Cách 3: Phng pháp bin đi s

t
2
2
1
1
1
2
x t
x t
xdx dt

 

  




… tng t nh cách 2
Cách 4: Phng pháp bin đi s
t
2
1 1 dx
x t dt
t x
x
     

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



21

i cn
1
2
2
1
2
2
t
x
x
t





 

 









Khi đó
1
1
2
2
2 2
1 1
2
2
1 1
dt dt
I
t t
  
 
 
. t
sin cos
t x dt xdx
  

Khi đó
4 4
2
6 6
cos

4
4 6 12
1 sin
6
u
I dx du u
u
 
 

  

     

 

Cách 5: Phân tích


2 2
1 1
x x
 
   
 

Khi đó
1 2
2 2 2
2

2 2
2 2 2
1
1 1
I I
dx x x
I dx dx
x
x x x

   
 
  
 
… bn đc t gii
Bài 3: (H – A 2003) Tính tích phân:
2 3
2
5
4
dx
I
x x




Gii:

Cách 1: Phng pháp bin đi s

t
2 2
2
4
4
x t
t x
xdx tdt

 
  




i cn
2 3 4
3
5
x t
t
x

 



 







Khi đó
4 4 4
2
3 3 3
4
1 1 2 1 5
ln ln
3
4 2 2 4 2 4 3
4
dt dt dt t
I
t t t
t
 

    
 
  

 
  

Cách 2: Phng pháp bin đi s

t

2
1 1

x dx dt
t
t
   
Khi đó
1/2 3 1/2 3
2
2 2
1/ 5 1/ 5
1/ 2 3
1 (2 ) 1 1 5
ln 2 4 1 ln
2 2 4 3
1/ 5
4 1 (2 ) 1
dt d t
I t t
t t
       
 
 
.
Cách 3: Phng pháp bin đi s
t


2

2 tan 2 1 tan
x t dx t dt
    vi 0 t
2

 
và
2
2
4x
cost
  .
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



22

i cn:
2 3
3
5
5
tan
2
t
x

x







 

 







.
Khi đó:
3
1 1 5
ln tan ln
3
2 sin 2 4 3
dt t
I
t





  

(trong đó
1 cos 1
tan
2 1 cos 5
 


 

)
Bài 4: (HDB – A 2003) Tính tích phân sau:
1
3 2
0
1
I x x dx
 


Gii:
Phân tích
1 1
3 2 2 2
0 0
1 1 .
I x x dx x x xdx

   
 

Cách 1: Phng pháp bin đi s
t
2 2
2
1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  

 


i cn
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
     
1
0 1 1
2 2 2 2 2 4 3 5
1 0 0
0
1 1 2
1 1
3 5 15
I t t dt t t dt t t dt t t
 
         
 
 
  

Cách 2: Phng pháp bin đi s
t
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx


 

  

 



i cn
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   
1
1 1 1 3 3 30 1 1
2 2 2 2 2 2
1 0 0
0
1 1 1 1 2 2 2
1 1
2 2 2 2 3 3 15

I t t dt t t dt t t dt t t
   
         
   
   
  

Cách 3: t
2
2
dt
t x xdx
   … t gii
Cách 4: Lng giác hóa
t
cos sin
x t dx tdt
   

Khi đó
 
2 2
2 3 2 2
0 0
sin cos sin 1 sin cos
I t tdt t t tdt
 
  
 

Cách 4.1.
t
sin cos
t u tdt du
  

Khi đó
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



23

 
1
3 5
2 2 2 4
0
(1 )
3 5
u u
I u u du u u du
 
     
 
 
 

Cách 4.2.
 
 
 
 
3 5
2 2
2 2 2 4
0 0
sin sin 2
sin 1 sin sin sin sin sin
2
3 5 15
0
t t
I t t d t t t d t
 

 
      
 
 
 
.
Cách 4.3.
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 1 1 cos 4 1 1

sin 2 cos cos cos cos4 cos
4 4 2 8 8
t
I t tdt tdt tdt t tdt
   

    
   
….
Cách 5: Phng pháp đa vào biu thc vi phân

     
     
1 1
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
3
2 2 2 2
2
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
I x x d x x x d x
x d x x d x
        

     
 
 
….bn đc t gii
Cách 6: Phng pháp tích phân tng phn
t
 
2
2
2
2
3
2
1
1
1
3
du xdx
u x
v x
dv x x




 

 
 
 






Khi đó
       
1 1
2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 3
0 0
1
1 2 1
. 1 1 1 1
03 3 3
I x x x x dx x d x       
 
bn đc gii tip
Bài 5: (H – A 2004) Tính tích phân:
2
1
1 1
x
I dx
x

 


Gii:
Cách 1:
t
2 2
1 1 1 2
t x t x x t dx tdt
         
i cn
2 1
1 0
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó

1 1 1
2 3
2
0 0 0
1
3 2
0
1 2
2 2 2 2

1 1 1
1 1 11
2 2 2 ln 1 2 2 2ln 2 4ln 2
3 2 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t
t t
 
 
     
 
  
 
 
 
          
 
 
 
 
  

Cách 2:


 
2
2 1

1 1
1 1
dx t dt
t x
x t
 

   

  



www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498



24

i cn
2 2
1 1
x t
x t
 
 


 
 
 

Khi đó
   
2
2 2 2
3 2
2
1 1 1
1 1 1
3 4 1 1
2 . 2 . 2 3 4 .
t t
t t t
I dt dt t t dt
t t t
 
  
  
 
 
     
 
 
  

3 2
2

5
2 3 4 ln | | 2 ln 2
13 2 3
t t
t t
 
     
 
 

Tng quát:
( )
b
a
p x
dx
ax b c
 

vi


p x
là mt đa thc cha x, m, n, c là các hng s ta đt
t ax b c
  
hoc
t ax b
 

Bài 6: Tính tích phân sau:
3
2
8 3
2 4
x
I dx
x





Gii:
Cách 1: Da vào đo hàm
t
 
8 3
2 4
x
f x
x



. Ta bin đi


f x
v dng

   


'
'
8 3 1
4 4 4
2 4 2 4
x
f x x x x x x
x x
 
       
 

Xét hàm s


4
F x x x
 
vì
   


 
'
'
'
4 4

F x x x x x f x
    
Vy


4
F x x x C
  
là mt h nguyên hàm ca hàm s đã cho
Khi đó
 
3
2
3 3
8 3
4 3
2 2
2 4
x
I dx F x x x
x

    



Cách 2: S dng phng pháp đi bin s
t
2
4

4
2
x t
t x
dx tdt

 
  

 


i cn
1
3
2
2
t
x
x
t






 







Khi đó


   
2
1 2
2 3
1
2
8 3 4
2
3 4 4 3
1
t
I tdt t dt t t
t
 
      
 

Cách 3: S dng phng pháp đi bin s
t
4
t x
 
…bn đc t gii

Cách 4: S dng phng pháp tích phân tng phn
t
8 3
3
2 4
4
u x
du dx
dx
dv
v x
x
 

 

 

 

  






www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:

D: 01694 013 498



25

Khi đó
 
3
2
3
2 8 3 4 6 4 3
2
I x x xdx      


Bài 7: Tính tích phân sau:
I

x dx
x x x x
x dx
x x
2
2 2
2
2 2
4 2 2 2 3 1 3 1( ) [ ( ) ] ( )   

   


.
Gii:
Cách 1:
t
2 2
3 sin
1 3 cos
3cos 2 3 cos 1
dx tdt
x t
x t t

 

  

  



Khi đó I =
  

  






3 3 2 3 1
3 3 3
1
2 3
3 3
2
3 3
2
2
2 2
sin ( cos cos )
( cos ) sin
(
cos
cos cos
)
t t t dt
t t
t
t t
dt
.
Cách 2:
I =
dx
x x
x dx
x x2 2
2 4
3 1 3 1

2 2 2
 


   

( )
[ ( ) ] ( )
1 2
I I
 

Tính
2
I

( )
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
2 4
3 1 3 1
2
3 3
2
3 3
2 2 2 2 2 2
x dx
x x
tdt
t t
dt

t t

   

 

 

1 2
J J
 

Tính
1
J
bng cách đt
2
3
t u
 
, tính
2
J
bng cách đt


2
3 3
t u t
  

Bài tp t gii có hng dn:

Bài 1: (HN- 1997) Tính tích phân:
7
2
1
2 4ln 2 2ln 3
2 1
I dx
x
   
 


HD: S dng phng pháp bin đi s
t
2 1
t x
  
Hoc 2
t x
 

Bài 2: (HSP QN – 1999) Tính tích phân:
 
2
3
3

0
1 1
28 3 4
10
3 2
x
I
x

  



Bài 13: (DBH 2 – A 2005) Tính tích phân:
7
3
0
2 231
10
1
x
I
x

 



Bài 14: (DBH 1 – A 2008) Tính tích phân:
3

3
1
2
12
5
2 2
x
I dx
x

 



Bài 15: (DBH 1 – A 2007) Tính tích phân:
4
0
2 1
2 ln 2
1 2 1
x
I dx
x

  
 


Bài 16: (CXD – 2005) Tính tích phân:
3

1
3
3 1 3
x
I dx
x x



  




www.MATHVN.com
www.MATHVN.com