BIẾN ĐỔI ẢNH (Image Transformation)

FUNDAMENTALS OF DIGITAL IMAGE PROCESSING

CHƢƠNG 2

BIẾN ĐỔI ẢNH
(Image Transformation)


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

2.1.Biến đổi đơn vị (Unitary Transform)
Vector
vào u

A

Vector
ra v

A: biến đổi đơn vị nếu A-1=A*T
- Giả thiết vector vào u có kích thước Nx1, vector
ra v được viết thành
N 1

v  Au  vk    ak , n u n  ;0  k  N  1
n 0

-2-

Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

- Biến đổi đơn vị: A-1=A*T  có thể viết
N 1

u  A v  u (n)   vk a * k , n ;0  n  N  1
*T

k 0

- Phương trình trên có thể coi là biểu diễn tập
{u(n)} dưới dạng chuỗi.
Các cột của ma trận A*T được gọi là các vector cơ
sở của A





a  a k.n ,0  n  N  1
*
k

*

-3-

T


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

2.2.Biến đổi đơn vị và trực giao 2D
- Ảnh U kích thước NxN
N 1 N 1

vk , l    u m, n a k ,l m, n ;0  k , l  N  1
m 0 n 0

N 1 N 1

u m, n    vk , l a k*,l m, n ;0  m, n  N  1
k 0 l 0

trong đó: {a(m,n)} được gọi là biến đổi ảnh, là một
tập các hàm cơ bản

-4-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

- Tính chất

+Trực chuẩn:



N 1 N 1

*
'
'




a
m
,
n
a
m
,
n


k

k
,
l


l
 k ,l
k ' ,l '



m 0 n 0

+Toàn vẹn:
N 1 N 1



 

*
'
'
'
'


a
m
,
n
a
m
,
n



m

m
,
n

n
 k ,l
k ,l

m 0 n 0

-5-




Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

• Biến đổi đơn vị tách được
Ảnh vào U
u(m,n)

A
akl(m,n)

Ảnh ra V
v(k,l)

A: biến đổi đơn vị tách được nếu
ak ,l m, n  ak mbl n  ak , mbl , n

-6-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

N 1 N 1

Ảnh NxN: V

v  k , l    u  m, n  ak ,l  m, n 
m0 n 0

N 1 N 1

  a  k , m  u  m, n  a  l , n 

(0k,l N-1)

m0 n 0

 V=AUA  V =A  AU 
T

Ảnh NxN: U

(0m,n N-1)

T

T

N 1 N 1

u  m, n    v  k , l  ak*,l  m, n 
k 0 l 0

N 1 N 1

  a*  k , m  v  k , l  a*  l , n 
m0 n 0

 U=A*T VA*
-7-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

- Ảnh cơ bản
A*k,l=a*ka*Tl với a*k là cột thứ k của A*T.

 biểu diễn biến đổi ảnh dưới dạng chuỗi
N 1 N 1

U   vk , l A *k ,l
k 0 l 0

vk , l    U, A *k ,l 

Phương trình trên biểu diễn ảnh U dưới dạng tổ
hợp tuyến tính của N2 ma trận A* được gọi là các
ảnh cơ bản
-8-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

Ví dụ: cho ma trận A và ảnh U
1 2 
1 1 1 

, U  

A
2 1 -1
3 4 

Ảnh được biến đổi V
1 1 1 1 2 1 1  1  4 6 1 1   5  1 



  

  

V  
2 1 -1 3 4 1 -1 2  -2 -2 1 -1   2 0 

Ảnh cơ bản
A*0,0

1 1
1 1 1

  1 1  
2 1
2 1 1
A*0,1

A

*
1,1

1 1
1 1
  1 - 1  
2 1
2 1

-9-

1 1 
1 1 - 1

  1 - 1  
2  - 1
2  - 1 1
- 1
* T
  A1,0
- 1


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

Minh họa các ảnh cơ bản của biến đổi đơn vị tách đƣợc

-10-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

• Tính chất của biến đổi đơn vị
- Bảo toàn năng lượng
v

2

 v *T v
 u *T A *T Au
 u *T u
 v

2

Đối với biến đổi đơn vị 2 chiều
N 1 N 1

N 1 N 1

 um, n   vk , l 
2

m 0 n 0

k 0 l 0

-11-

2


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

- Nén năng lượng (energy compaction)

Đa số các biến đổi đơn vị đều có xu hướng ghép
phần lớn năng lượng trung bình của ảnh vào một số
tương đối ít các hệ số biến đổi ảnh.
- Giải tương quan (decorrelation)
Khi các phần tử của ảnh đầu vào có tương quan lớn
thì các hệ số biến đổi ảnh có xu hướng giải tương
quan.

-12-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

2.3.Biến đổi Fourier rời rạc (biến đổi DFT)
- Cặp biến đổi DFT
N 1

vk    u n W

kn
N

n 0

1

u n  
N

0  k  N 1

  j 2 
WN  exp 

N



N 1

- kn


v
k
W
0  n  N 1

N
k 0

- Cặp biến đổi DFT đơn vị
vk  
u n  

1

N
1
N

N 1

kn


u
n
W

N ;0  k  N  1
n 0

N 1

-kn


v
k
W

N ;0  n  N  1
k 0

-13-

 1
kn 
F
WN  ;
 N

0  k, n  N 1


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

• Tính chất của DFT/DFT đơn vị

- F là đối xứng nên F-1=F*
- Tuần hoàn: v(k)=v(k+N) với k bất kỳ
- DFT/DFT đơn vị của một chuỗi thực {u(n)} là
liên hiệp đối xứng quanh N/2. v*(N-k)=v(k)
- Có thể chéo hóa được ma trận vịng H
FHF *  Λ

-14-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

• Biến đổi Fourier rời rạc 2 chiều (2D DFT)

- Cặp biến đổi 2D-DFT
N 1 N 1

vk , l    u m, n WNkmWNln ;0  k , l  N  1
m 0 n 0

1
u m, n   2
N

N 1 N 1

-km
- ln


v
k
,
l
W
W

N
N ;0  m, n  N  1
k 0 l 0

- Cặp biến đổi 2D DFT đơn vị
1
vk , l  

N
1
u n  
N

N 1 N 1

km
ln


u
m
,
n
W
W

N
N ;0  k , l  N  1

m 0 n 0

N 1 N 1

-km
- ln


v

k
,
l
W
W

N
N ;0  m, n  N  1
k 0 l 0

-15-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

- Biểu diễn dưới dạng ma trận
V  FUF

U  F VF
*

*

Biểu diễn thành phần biên độ và pha của 2D-DFT

-16-

Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

• Tính chất của 2D-DFT
- Liên hiệp đối xứng: đối với các ảnh thực
N
N
N
N


* N
v  k ,  l   v   k ,  l ;0  k , l   1
2
2
2
2

2


vk , l   v * N  k , N  l ;0  k,l  N  1

- Tích chập vịng: DFT của tích chập vịng 2 chiều
của 2 ảnh là tích các DFT của chúng
DFT um, n sm, n  DFT um, nDFT sm, n

-17-

Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

Liên hiệp đối xứng của 2D-DFT
-18-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

Tích chập vịng của 2D-DFT

-19-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

- Tương quan: DFT tương quan vịng 2 chiều của 2
ảnh là tích liên hiệp các DFT của chúng
DFT um,n  sm,n  DFT um,n DFT sm,n
*

- Tổng hợp tín hiệu từ pha và độ lớn:
vk ,l   vk ,l  e jk ,l 

Pha của tín hiệu:

k ,l 

Độ lớn của tín hiệu:

vk ,l 

-20-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

Tổng hợp tín hiệu từ pha và độ lớn

-21-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

2.4. Biến đổi Cosin rời rạc (biến đổi DCT)
- Cặp biến đổi DCT của chuỗi {u(n);0≤n≤ N-1}
  2n  1k 
vk    k  u n  cos 
;0  k  N  1


 2N

n 0
N 1
  2n  1k 
u n     k vk  cos 
;0  n  N  1

 2N

n 0
 k   2 N
 0  1 N
N 1

với:

Dạng ma trận:



ck , n   



1
N

V  CUC T

U  CT VC

k  0,0  n  N  1

;

2
 2n  1k
cos
;
N
2N
-22-

1  k  N  1,0  n  N  1


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

• Tính chất của DCT
- Phù hợp trong nén dữ liệu ảnh, video hay tín hiệu
có chu kỳ lớn. Khơng phù hợp cho lọc
- Thực và trực giao
C 1  CT

C  C*

- Không phải là phần thực của DFT đơn vị

-23-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

Biến đổi DCT

-24-


Fundamentals of Digital Image Processing

Image Transformation

2.5. Biến đổi Hadamard
-Ma trận biến đổi Hadamard HN dễ dàng thiết lập
được từ ma trận gốc H2 và đệ quy tích Kronecker
1 1

H2 
2 1

H 2N

1

 1

1 HN HN 


 H2  HN 
2 HN - HN 

-25-

1 1 1 1
1 - 1 1 - 1
1

H4 
2 1 1 - 1 - 1


1 - 1 - 1 1