Đề học sinh giỏi khối 11 2020 2021 Nghệ An

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
THPT KIM LIÊN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NĂM HỌC 2020-2021
Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm).
a. Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình:
2 cos 3 x  sin x  cos x .
b. Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy
ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu.
Bài 2 (6,0 điểm).
uuu
r 2 uuu
r 2 uur 2 uuu
r2
a.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Chứng minh rằng SA  SC  SB  SD .
b. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A1 B1C1 có cạnh đáy bằng 2 , độ dài đường chéo các mặt bên bằng
5 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  A1 BC  và  ABC 
Bài 3 (2,0 điểm).
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong
mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SB, CD. Chứng minh AM  BP.
Bài 4 (4,0 điểm).
2
3n
1 2

10
a. Tìm hệ số chứa x trong khai triển  x  x  1  x  2  với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
4


3
n2
An  Cn  14n .
( x 2  2021) 3 1  2 x  2021 4 x  1
x 0
x

b.. Tìm giới hạn: lim

Bài 5 (4,0 điểm).
u1  2021
a. Cho dãy số (un) được xác định bởi  2
.
2
 3n  9n  un 1   n  5n  4  un , n  1
 3n

lim
Tính giới hạn
 2 .un .
n

sin 4 x sin 4 y
 

b. Cho x, y   0;  thỏa cos 2 x  cos 2 y  2sin  x  y   2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
y
x
 2

……………. Hết …………….
Họ và tên thí sinh…………………………………………… Số báo danh……………………


Đáp án:
Bài 1. a. Tìm tất cả các nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình:
2 cos 3 x  sin x  cos x .
Hướng dẫn giải



x    k



8
2 cos 3x  sin x  cos x  cos 3x  cos  x    
4

x    k 

16
2

Ta có:

Vì x   0;   nên nhận x 

 k ¢ .

7

9
, x , x
.
8
16
16

b.Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy
ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu.
Lời giải
3
Số phần tử của khơng gian mẫu là: n     C12  220
Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu”.
2
- Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: C8  28 cách
2
- Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: C3  3 cách
1
2
- Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: C8 .C3  24 cách
1
2
- Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: C3 .C8  84 cách

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n  A  28  3  24  84  139 cách
Xác suất cần tìm là: P  A  

n  A  139


n    220

Bài 2. a.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Chứng minh rằng
uuu
r 2 uuu
r 2 uur 2 uuu
r2
SA  SC  SB  SD .
Lời giải:
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD
uuur uuur uuur uuur
Ta có OA  OB  OC  OD .
uuu
r 2 uuu
r uuur
SA  SO  OA



uuu
r 2 uuu
r uuur
SC  SO  OC







2

uuu
r 2 uuur 2 uuu
r uuur
 SO  OA  2SO.OA (1)

2

uuu
r 2 uuur 2 uuu
r uuur
 SO  OC  2SO.OC (2)

Từ  1 và  2 suy ra
uuu
r 2 uuu
r2
uuu
r 2 uuur 2 uuur 2 uuu
r uuur uuur
SA  SC  2SO  OA  OC  2SO OA  OC



uuur uuur r
uuu
r 2 uuur 2 uuur 2
(

vì
OA
 OC  0).
 2SO  OA  OC
uur 2 uuu
r2
uuu
r 2 uuur2 uuur 2
Tương tự SB  SD  2SO  OB  OD .
uuu
r 2 uuu
r 2 uur 2 uuu
r2
Từ đó suy ra SA  SC  SB  SD




b. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A1 B1C1 có cạnh đáy bằng 2 , độ dài đường chéo các mặt bên bằng
5 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  A1BC  và  ABC  .
Hướng dẫn giải
Chọn A

Gọi H là trung điểm của BC , do tam giác ABC đều nên AH  BC khi đó ta có
BC   AHA   ·A BC  ,  ABC   ·AH , A H  ·AHA .
1



1

 



1

1

2
2
2
Xét tam giác vng A1 AB có AA1  A1B  AB  5  4  1 .

Mặt khác AH là đường cao của tam giác đều ABC cạnh AB  2 nên AH  3 .
AA1
1

Xét tam giác vng AA1 H có tan ·AHA1 
 ·AHA1  30
AH
3
.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác
đều và ở trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SB, CD.
Chứng minh AM  BP
LỜI GIẢI:

Gọi N là trung điểm của BC
a 3

Hạ SH  AD tại H. Vì SAD là tam giác đều nên SH 
. Vì mặt phẳng (SAD) vng góc mặt phẳng

(ABCD) có AD là giao tuyến . Suy ra SH  mp  ABCD  .
Ta có

2

 AN PHC, MN PSC

 AM ,MN  (AMN) (AMN) P(SHC)
HC,SC (SHC)


ả P
à 900 C
ả P
à 900 CH PB
à C
ả m B
Trong hình vng ABCD có BCP  CDH  c.g.c nên B
1
1
1
1
1
1

.
 BP  CH

Ta có 

 BP  SH

 BP   SHC   BP   AMN   BP  AM .

2

ỉ1
ư
3n
n là số tự nhiên thỏa mãn
÷
Bài 4. a. Tìm hệ số chứa x10 trong khai trin f ( x) = ỗỗỗ x2 + x +1÷
÷( x + 2) với
è4

3
n

n- 2
n

hệ thức A +C

= 14n .

ø

® n = 5.
Lời giải. Từ phương trình An3 +Cnn- 2 = 14n ắắ
2

ổ1
ử
1
1
3n
4
15
19
ữ( x + 2) = ( x + 2) ( x + 2) = ( x + 2) .
Vi
ta cú f ( x) = ỗỗỗ x2 + x +1÷
÷
è4
ø
16
16
1
1 19 k k 19- k
19
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có f ( x) = ( x + 2) = å C19.2 .x .
16
16 k=0
Số hạng chứa x10 trong khai triển tương ứng với 19- k = 10 Û k = 9 .
1
Vậy hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển là C1910 29 = 25C1910.

16
n= 5,

b.Tìm giới hạn: lim

(x 2  2021)3 1  2x  2021 4x  1

x 0

x

3 1  2x  1
 3
4x  1  1 
 2021
Ta có L  Lim  x 1  2x  2021

.
x0
x
x



Lim x 3 1  2x  0 .
x 0

3

Lim

x 0

Lim
x 0

1  2x  1
2x
2
2`
 Lim
 Lim

x 0
x
3
x( 3 (1  2x) 2  3 1  2x  1) x 0 ( 3 (1  2x) 2  3 1  2x  1)

4x  1  1
4x
4
 Lim
 Lim
2
x 0 x( 4x  1  1)
x 0
x
4x  1  1
16168
 2 
Vậy L  0  2021

 2021.2 
3
 3 

u1  2021
Bài 5 a. Cho dãy số (un) được xác định bởi  2
.
2
 3n  9n  un 1   n  5n  4  un , n  1

 3n 
lim
Tính giới hạn
 2 .un .
n

un 1
1 ( n  1) 2  3(n  1)
1 un
un 

Ta có un 1 
2
2
3
n  3n
(n  1)  3( n  1) 3 n 2  3n
u
u 2021
1

1
Đặt vn  2 n  vn 1  vn  (vn) là cấp số nhân có cơng bội q  và số hạng đầu v1  1 
n  3n
3
3
4
4
n 1
n 1
2021  1 
2021  1 
 vn 
.    un 
.    n 2  3n 
4 3
4 3
n

1
 2021  1 
 3n

3n 
.    n 2  3n  . 2 
Khi đó lim  2 .un   lim 
n 
n

 4 3


2
 6063 n  3n  6063
 3  6063
 lim 
.
lim 1   
.

2
n
4
4
 n
 4

sin 4 x sin 4 y
 

b. Cho x, y   0;  thỏa cos 2 x  cos 2 y  2sin  x  y   2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
y
x
 2
Lờigiải
cos
2
x

cos
2
y


2sin
x

y

2

sin 2 x  sin 2 y  sin  x  y 


Tacó:


Suyra: x  y 


2

2
2
a  b
Ápdụngbđt: a  b  
m n
mn

 sin
Suyra: P 
Dođó: min P 

2

x  sin 2 y 
x y

2
.


2

2



2 .Đẳngthứcxảyra  x  y   .
4
