Tài liệu BÀI GIẢNG XỬ LÝ SỐ TÍN - Chương 7 và 8 potx

Chương 7,8:
BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH
Giảng viên: Ths. Đào Thị Thu Thủy
Chương 7,8:
BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH
7.1 KHÁI NiỆM DFT
7.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
7.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)
(BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
RỜI RẠC)
CNDT_DTTT 3
7.1 KHÁI NiỆM DFT
X(ω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
► Tần số ω liên tục
► Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞
Biến đổi Fourier dãy x(n):
jn
n
X( ) x (n)e
ω
ω
+∞
−
=−∞
=
∑
Khi xử lý X(Ω) trên thiết bị, máy tính cần:
► Rời rạc tần số ω -> ω

K
► Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0 ÷ N -1
⇒ Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữuhạntheotần
số rờirạc, gọitắtlàbiến đổiFourierrờirạc–DFT
(Discrete Fourier Transform)
7.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC - DFT
► DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≤≤
=
∑
−
=
−
: 0
10:)(
)(
1
0
2
k
Nkenx
kX
N
n
kn

N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N
WeeW ===
−+−
+
ππ
2
)(
2
)(
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≤≤
=
∑
−

=
: 0
10:)(
)(
1
0
k
NkWnx
kX
N
n
kn
N
còn lại
N
j
N
eW
π
2
−
=
► W
N
tuần hòan với độ dài N:
► X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
)(
)()(
kj
ekXkX

ϕ
=
Trong đó:
)(kX
-phổ rời rạc biên độ
)](ar
g
[)(
k
X
k
=
ϕ
-phổ rời rạc pha
► IDFT:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≤≤
=
∑
−
=
: 0
10:)(
1
)(
1

0
2
n
NnekX
N
nx
N
k
kn
N
j
π
còn lại
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−≤≤=
−≤≤=
∑
∑
−
=
−
−
=
10:)(

1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkX
N
nx
NkWnxkX
N
k
kn
N
N
n
kn
N
► Cặp biến đổi Fourier rời rạc:
Ví dụ 7.1: Tìm DFT của dãy:
{
}
4,3,2,1 )(
↑
=nx
∑
=
=
3

0
4
)()(
n
kn
WnxkX
jWWjeW
j
=−=−==
−
3
4
2
4
4
2
1
4
;1;
π
10)3()2()1()0()()0(
3
0
0
4
=+++==
∑
=
xxxxWnxX
n

22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3
0
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
+−=+++==
∑
=
2)3()2()1()0()()2(
6
4
4
4
2
4
3
0
2
4
−=+++==
∑
=

WxWxWxxWnxX
n
n
22)3()2()1()0()()3(
9
4
6
4
3
4
3
0
3
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
−−=+++==
∑
=
7.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
a) Tuyến tính
N
DFT
N
kXnx )()(
11
⎯⎯→←
NN

DFT
NN
kXakXanxanxa )()()()(
22112211
+⎯⎯→←+
► Nếu:
► Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
⎯⎯→←
b) Dịch vòng:
)()(
N
DFT
N
kXnx ⎯⎯→←
► Nếu:
)()(
0
0 N
kn
N
DFT
N
kXWnnx ⎯⎯→←−
► Thì:
Với:

(n)rect)(
~
)(
N00 NN
nnxnnx
−
=
−
gọi là dịch vòng của
x(n)
N
đi n
0
đơn vị
21
21 xx
LNNL
=
≠
=
Nếu: Chọn:
},max{
21
NNN =
Ví dụ 7.2: Cho:
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)
4

, x(n-2)
4
{
}
4,3,2,1 )(
↑
=
nx
x(n)
n
0 1 2 3
4
3
2
1
a)
n
x(n-2)
0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
n
x(n+3)
-3 -2 -1 0
4
3
2
1

b)
x(n)
n
0 1 2 3
4
3
2
1
N
x(n-1)
4
n
0 1 2 3
4
3
2
1
x(n+1)
4
n
0 1 2 3
4
3
2
1
{
}
2,1,4,3 )2(
4
↑

=
−nx
{
}
3,2,1,4 )3(
4
↑
=
+nx
c) Chập vòng:
N
DFT
N
kXnx )()(
11
⎯⎯→←
NN
DFT
NN
kXkXnxnx )()()()(
2121
⎯⎯→←⊗
► Nếu:
► Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
⎯⎯→←

∑
−
=
−=⊗
1
0
2121
)()()()(
N
m
NNNN
mnxmxnxnx
Với:
Chập vòng 2 dãy
x
1
(n) & x
2
(n)
21
21 xx
LNNL
=
≠=
Nếu: Chọn:
},max{
21
NNN
=
Chập vòng có tính giao hóan:

NNNN
nxnxnxnx )()()()(
1221
⊗
=
⊗
)()(
~
)(
22
nrectmnxmnx
NNN
−
=
−
Và:
Dịch vòng dãy
x
2
(-m) đi n đ/vị
Ví dụ 7.3: Tìm chập vòng 2 dãy
{
}
4,3,2,1 )(
2
↑
=
nx
{
}

4,3,2 )(
1
↑
=
nx
30:)()()()()(
3
0
4241424143
≤≤−=⊗=
∑
=
nmnxmxnxnxnx
m
4},max{4,3
2121
=
=⇒
=
=
NNNNN
 Đổi biến n->m:
{
}
4,3,2,1 )(
2
↑
=
mx
{

}
0,4,3,2 )(
1
↑
=
mx
 Xác định x
2
(-m)
4
:
{
}
2,3,4,1 )()(
~
)(
44242
↑
=
−
=
−
nrectmxmx
 Chọn độ dài N:
m
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
3
2
1

)(
~
2
mx −
x
2
(m)
m
0 1 2 3
4
3
2
1
x
2
(-m)
m
-3 -2 -1 0
4
3
2
1
m
0 1 2 3
4
3
2
1
)()(
~

)(
4242
nrectmxmx
−
=
−
m
0 1 2 3
4
3
2
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx
−
=
−
 Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x
2
(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
x
2
(1-m)
4

m
0 1 2 3
4
3
2
1
x
2
(2-m)
4
m
0 1 2 3
4
3
2
1
m
0 1 2 3
4
3
2
1
x
2
(3-m)
4
m
0 1 2 3
4
3

2
1
x
2
(-m)
4
► Tìm biến đổi nghịch IDFT 10 điểm của
X(k) = 1 + 2δ(k) với 0 ≤ k ≤ 9
30:)()()(
3
0
424143
≤≤−=
∑
=
nmnxmxnx
m
 n=0:
 Nhân các mẫu
x
1
(m) & x
2
(n-m)
và cộng lại:
26)0()()0(
3
0
424143
=−=

∑
=m
mxmxx
 n=1:
23)1()()1(
3
0
424143
=−=
∑
=m
mxmxx
 n=2:
16)2()()2(
3
0
424143
=−=
∑
=m
mxmxx
 n=3:
25)3()()3(
3
0
424143
=−=
∑
=m
mxmxx

Vậy:
{
}
25,16,23,26 )()()(
424143
↑
=
⊗
=
nxnxnx
7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
7.4.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
 Vào những nămthậpkỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát
triểnchưamạnh thì thờigianxử lý phép tóan DFT trên
máy tương đốichậm, do số phép nhân phứctương đối
lớn.
 DFT của x(n) có độ dài N:
10 :)()(
1
0
−≤≤=
∑
−
=
NkWnxkX
N
n
kn
N
 Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-

1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N
2
phép nhân
và N(N-1) phép cộng.
 Để khắcphụcvề mặttốc độ xử lý củaphéptínhDFT,
nhiềutácgiảđã đưaracácthuậttóanriêngdựatrên
DFT gọilàFFT (Fast Fourier Transform).
7.4.2 THUẬT TOÁN FFT CƠ SỐ 2
a. THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN
► Thuật tóan dựatrênsự phân chia dãy vào x(n) thành các
dãy nhỏ,dobiến n biểuthị cho trụcthời gian nên gọilà
phân chia theo thời gian.
∑
−
=
=
1
0
)()(
N
n
kn
N
WnxkX
∑∑
−
=
−
=
+=

1
3,5 ,1n
1
2,4 ,0n
)()(
N
kn
N
N
kn
N
WnxWnx
∑∑
−
=
+
−
=
++=
1)2/(
0r
)12(
1)2/(
0r
2
)12()2()(
N
rk
N
N

kr
N
WrxWrxkX
► Thay n=2r vớinchẵnvàn=2r+1 vớinlẽ:
► Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2
M
,nếu không có dạng lũy
thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n).
► X
0
(k) –DFTcủaN/2điểm ứng vớichỉ số nchẵn
► X
1
(k) –DFTcủaN/2điểm ứng vớichỉ số nlẽ
∑
−
=
=
1)2/(
0r
2/0
)2()(
N
kr
N
WrxkX
∑
−
=
+=

1)2/(
0r
2/1
)12()(
N
kr
N
WrxkX
Đặt:
)(.)()(
10
kXWkXkX
k
N
+=
► Lấyvídụ minh họa cho x(n) vớiN=8
∑∑
−
=
−
=
++=
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/
)12(.)2()(
N

kr
N
k
N
N
kr
N
WrxWWrxkX
kr
N
kr
N
j
rk
N
j
rk
N
WeeW
2/
2/
2
2
2
2
===
π
π
Do:
DFT

N/2
điểm
x(0)
x(2)
x(4)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
DFT
N/2
điểm
x(1)
x(3)
x(5)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W
0
W
1
W
2
W
3
W

4
W
5
W
6
W
7
X
0
(0)
X
0
(1)
X
0
(2)
X
0
(3)
X
1
(0)
X
1
(1)
X
1
(2)
X
1

(3)
n chẵn
n lẽ
 Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm;
► Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ:
- Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó
-Giátrị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số
► Sau đó đánh lạichỉ số theo thứ tự các mẫux(n),tiếptục
phân chia DFT củaN/2điểm thành 2 DFT củaN/4điểm
theo chỉ số nchẵnvàlẽ và cứ thế tiếptục phân chia cho
đến khi nào còn DFT 2 điểmthìdừng lại.
► Ví dụ X
0
(k) được phân chia:
∑∑
−
=
−
=
==
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/0
)()2()(
N
kr
N

N
kr
N
WrgWrxkX
∑∑
−
=
−
=
+=
1)2/(
5,3,1r
2/
1)2/(
4,2,0r
2/
)()(
N
kr
N
N
kr
N
WrgWrg
∑∑
−
=
−
=
++=

1)4/(
0l
4/2/
1)4/(
0l
4/
)12()2(
N
kl
N
k
N
N
kl
N
WlgWWlg
)(.)(
012/00
kXWkX
k
N
+=
 Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểmcủaX
0
(k)
DFT
N/4
x(0)
x(4)
W

0
N/2
W
1
N/2
X
00
(0)
X
00
(1)
X
0
(0)
X
0
(1)
DFT
N/4
x(2)
x(6)
X
0
(2)
X
0
(3)
X
01
(0)

X
01
(1)
W
2
N/2
W
3
N/2
 Phân chia X
1
(k) tương tự:
)(.)()(
112/101
kXWkXkX
k
N
+=
DFT
N/4
x(1)
x(5)
W
0
N/2
W
1
N/2
X
10

(0)
X
10
(1)
X
1
(0)
X
1
(1)
DFT
N/4
x(3)
x(7)
X
1
(2)
X
1
(3)
X
11
(0)
X
11
(1)
W
2
N/2
W

3
N/2