Cực trị hàm trùng phương (Tải: https://link1s.com/yHqvN)

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831


Xét hàm số
( )
4 2 3 2
2
0
4 2 2 2 0
2
x
y ax bx c y ax bx x ax b
b
x
a
=


′
= + + ⇒ = + = + = ⇔

= −



DẠNG 1. BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hàm s
ố

có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
khi y
′
ch
ỉ

đổ
i d
ấ
u m
ộ
t l
ầ
n, t
ứ
c là
0
2
− ≤
b
a

 Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt
0
2

⇔ − >
b
a

Ví dụ 1: Cho hàm số
= − + −
4 2
2 3 1
y x mx m

Tìm m
để

a) hàm s
ố
có 1 c
ự
c tr
ị
.
b) hàm s
ố
có 3 c
ự
c tr
ị
.
Hướng dẫn giải :
Ta có
( )

3 2
2
0
4 4 4 0
=

′
= − = − ⇒ = ⇔

=

x
y x mx x x m y
x m

a)
Hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
khi m ≤ 0.
b)
Hàm s
ố
có ba c
ự

c tr
ị
khi m > 0.
Ví d
ụ
2: Cho hàm s
ố

(
)
= + − + −
4 2
1 3 3 5
y m x mx m

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
( )
3 2
2
0
4 1 6 2 ( 1) 3 0
( 1) 3 , 1
=

 
′
= + − = + − ⇒ = ⇔

 
+ −


x
y m x mx x m x m y
m x m

TH1 :
1 6 ; 0 0
′
= − ⇒ = = ⇔ =
m y x y x

Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
, và
đ
ó là
đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u.

TH2 :
( )
2
3
1, 1
1
≠ − ⇔ =
+
m
m x
m

+ Hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
khi
3
0 1 0
1
≤ ⇔ − < ≤
+
m
m
m

+ Hàm s
ố
có ba c
ự
c tr
ị
khi
0
3
0
1
1
>

> ⇔

< −
+

m
m
m
m

Kết luận :
 Hàm số có một cực trị khi
1 0
− ≤ ≤
m


Hàm s
ố
có ba c
ự
c tr
ị
khi
0
1
>


< −

m
m

BÀI T
Ậ
P LUY
Ệ
N T
Ậ
P:
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố

c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau :
a)
4 2
2 (2 1) 3.
= − − + + +
y x m x m

b)
4 2
(1 ) (3 1) 2 5.
= − − + + +
y m x m x m

c)
2 4 2 3
(3 2) 1.
= − − + −
y m x mx m

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TH1: Hàm s
ố

có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A, B, C.
+ Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
:
( )
0 *

2
− >
b
a

02. CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
+ Với điều kiện (*) ta có
2
3
0
0
2
2


= = →


−
′
= ⇔ = = →



−
= − = →



A A
B B
C C
x x y
b
y x x y
a
b
x x y
a
, t
ừ

đ
ó
( )
0; ; ; ; ;
2 2
   
− −
−
   
   
   
A B C
b b
A y B y C y
a a

Do hàm ch
ẵ
n v
ớ
i x nên các
đ
i
ể
m B, C có y
B
= y
C
.
Nh
ậ
n xét : A
∈
Oy, B ; C
đố
i x
ứ
ng nhau qua Oy nên
tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A
.
Ta xét m
ộ
t s
ố
tính ch
ấ

t c
ơ
b
ả
n th
ườ
ng g
ặ
p c
ủ
a hàm s
ố
:
Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Do tam giác ABC
đ
ã cân t
ạ
i A nên ch
ỉ
có th
ể
vuông cân t
ạ
i
đỉ
nh A.
Khi
đ
o ta có

đ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
. 0, 1
=
 
AB AC
v
ớ
i ; ; ;
2 2
   
− −
= − = − −
   
   
   
 
B A C A
b b
AB y y AC y y
a a

T
ừ

đ
ó
( ) ( )
2
1 . 0 0
2
⇔ = ⇔ + − =
 
B A
b
AB AC y y
a

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán.
Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân
ABC :
2 2 2 2 2
2+ = ⇔ =
AB AC BC AB BC

Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Tam giác ABC đều khi
(
)
2 2
, 2
= ⇔ =AB BC AB BC
với

; ; 2 ;0
2 2
   
− −
= − = −
   
   
   
 
B A
b b
AB y y BC
a a

Từ đó
( ) ( )
2
2
2
2
− −
⇔ + − =
B A
b b
y y
a a

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán.

Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120
0
Tam giác ABC cân tại A nên

0
120
=BAC . G
ọ
i H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
0;⇒
B
BC H y

Ta có

( )
0 2 2
cos cos60 2 4 , 3
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
AH AH

HAB AB AH AB AH
AB AB

v
ớ
i
( )
; ; 0;
2
 
−
= − = −
 
 
 
 
B A B A
b
AB y y AH y y
a
, t
ừ

đ
ó
( ) ( ) ( )
2 2
3 4
2
−

⇔ + − = −
B A B A
b
y y y y
a

Giá tr
ị
m tìm
đượ
c k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i
ở
(*) cho ta k
ế

t qu
ả
cu
ố
i cùng c
ủ
a bài toán.
Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = S
o
cho trước

G
ọ
i H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
0;⇒
B
BC H y
. Khi
đ
ó
( )
2 2 2

1
. 2 . 4 . , 4
2
∆
= ⇔ = ⇔ =
ABC o o
S AH BC S AH BC S AH BC
v
ớ
i
( )
2 ;0 ; 0;
2
 
−
= − = −
 
 
 
 
B A
b
BC AH y y
a
, t
ừ

đ
ó
( ) ( )

2
2
3 4 .4
2
−
 
⇔ = −
 
 
o B A
b
S y y
a

Giá tr
ị
m tìm
đượ
c k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ

n t
ồ
n t
ạ
i
ở
(*) cho ta k
ế
t qu
ả
cu
ố
i cùng c
ủ
a bài toán.
Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước

S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c di
ệ
n tích tam giác
2
. .
1
4 4 2

4. .
2
= ⇒ = ⇔ = ⇔ =
abc abc AB AC BC AB
S R R R
R S AH
AH BC

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình trên ta
đượ
c giá tr
ị
c
ủ
a m,
đố
i chi
ế
u v
ớ
i (*) cho ta k
ế
t lu
ậ
n cu
ố

i cùng.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước

Ta có điều kiện trong trường hợp này là
α 2 3α
3
+ +
= ⇔ + =
A B C
A B
y y y
y y
Ví dụ 1: (ĐH khối B - 2011)
Cho hàm số
= − + +
4 2
2( 1)
y x m x m
, v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để

đồ

th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A, B, C sao cho OA = BC, v
ớ
i O là g
ố
c t
ọ
a
độ
, A là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

thu
ộ
c tr
ụ
c tung, B và C là hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
còn l
ạ
i.
Hướng dẫn giải :
Ta có
3 2
2
0
4 4( 1) 4 ( 1) 0
1
=

′ ′
 
= − + = − + ⇒ = ⇔

 

= +

x
y x m x x x m y
x m

Hàm s
ố
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
khi ph
ươ
ng trình y
′
= 0 có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(
)
1 0 1, *
⇔ + > ⇔ > −m m
V

ớ
i m > −1 thì
1 1
2
2 2
2
3 3
0
0 1 ( 1)
1 ( 1)
= ⇒ =


′
= ⇔ = + ⇒ = − + +


= − + ⇒ = − + +

x y m
y x m y m m
x m y m m

Theo bài ta có t
ọ
a
độ
các
đ
i

ể
m c
ự
c tr
ị
là
( )
(
)
(
)
2 2
0; , 1; 1 , 1; 1
+ − − − − + − − −
A m B m m m C m m m
T
ừ

đ
ó
( )
2 2 2 2
2 2 2
4 1 4 4 0
2 2 2

= +
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − = ⇔

= −



m
OA BC OA BC m m m m
m

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
2 2 2
= ±m
là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví d
ụ

2: (D
ự
b
ị
kh
ố
i B - 2003)
Cho hàm s
ố

= − +
4 2 2
2 1
y x m x , v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để

đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho có ba
đ

i
ể
m c
ự
c tr
ị
là ba
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác vuông cân.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
3 2 2 2
2 2
0
4 4 4 0
=

′ ′
 
= − = −

⇒
= ⇔

 
=

x
y x m x x x m y
x m

Hàm s
ố
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(
)
2

0 0, *
⇔ > ⇔ ≠m m
V
ớ
i m ≠ 0 thì
( )
( ) ( )
1 1
4 4 4
2 2
4
3 3
0 1
0 1 0;1 , ;1 , ;1
1
=
⇒
=


′
= ⇔ =
⇒
= − → − − −


= −
⇒
= −


x y
y x m y m A B m m C m m
x m y m

Ta nh
ậ
n th
ấ
y tam giác ∆ABC luôn cân t
ạ
i A.
Để
∆ABC vuông cân thì ph
ả
i vuông cân t
ạ
i A.
T
ừ

đ
ó suy ra
( ) ( )
4 4 2 8 2 6
0
. 0 ; . ; 0 0 ( 1) 0
1
=

⊥ ⇔ = ⇔ − − − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔


= ±

 
m
AB AC AB AC m m m m m m m m
m

K
ết hợp với điều kiện (*) ta được
1
= ±
m
là các giá trị cần tìm.
Ví d
ụ
3: Cho hàm s
ố

= + − −
4 2
2 1
y x mx m
, v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để

hàm s
ố
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị
t
ạ

o thành m
ộ
t tam giác
a) có di
ệ
n tích b
ằ
ng
4 2
.
b)
đề
u.
c) có m
ộ
t góc b
ằ
ng 120
0

Hướng dẫn giải :
Ta có
( )
3 2
2
0
4 4 4 0
=

′ ′

= + = + ⇒ = ⇔

= −

x
y x mx x x m y
x m

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m < 0, (*)

Với m < 0 thì
( )
( ) ( )
2 2 2
2
0 1
0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1
1
= ⇒ = − −


′
= ⇔ = − ⇒ = − − − → − − − − − − − − − − −


= − − ⇒ = − − −

x y m
y x m y m m A m B m m m C m m m
x m y m m

Ta nh
ận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.
Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a) Gọi H là trung điểm của
(
)
2
0; 1
⇒ − − −
BC H m m
Khi đó,
( )
2 2
1
. 4 2 . 8 2 . 128, 1
2
∆
= = ⇔ = ⇔ =
ABC
S AH BC AH BC AH BC
Ta có
(
)
(
)
2
2 ;0 ; 0; ,

= − − = −
 
BC m AH m t
ừ

đ
ó
(
)
4 5
1 4 . 128 32 2
⇔ − = ⇔ = − ⇒ = −
m m m m
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta th
ấ
y m =
−
2 là giá tr
ị

c
ầ
n tìm.
b)
Tam giác ABC
đề
u khi
(
)
2 2
, 2
= ⇔ =
AB BC AB BC
Ta có
(
)
(
)
2
; , 2 ;0 ,
= − − = − −
 
AB m m BC m t
ừ

đ
ó
( )
4 4
3

0
2 4 3
3
=

⇔ − + = − ⇔ = − ⇔

= −

m
m m m m m
m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3
3
= −

m là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
c)
Tam giác ABC cân t
ạ
i A nên
để
có m
ộ
t góc b
ằ
ng 120
0
thì

0
120
=BAC
G
ọ
i H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a

(
)
2
0; 1
⇒
− − −
BC H m m
Trong tam giác vuông HAB có

( )
0 2 2
3
sin sin 60 3 2 3 , 3
2
= = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
BH BH
HAB AB BH BC AB BC
AB AB

Ta có
(
)
(
)
2
; , 2 ;0 ,
= − − = − −
 
AB m m BC m khi
đ

ó
( )
( )
4
3
0
3 3 4
1
3
=


⇔ − + = − ⇔

= −


m
m m m
m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề

u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3
1
3
= −m là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số
= − + −
4 2
2 1
y x mx m
, với m là tham số.
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính
đường tròn ngoại tiếp bằng 2.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )

3 2
2
0
4 4 4 0
=

′ ′
= − = − ⇒ = ⇔

=

x
y x mx x x m y
x m

Hàm s
ố
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
khi ph
ươ
ng trình y′ = 0 có ba nghi
ệ
m phân bi

ệ
t, t
ứ
c là m > 0, (*)

V
ớ
i m > 0 thì
( )
( ) ( )
2 2 2
2
0 1
0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1
1
= ⇒ = −


′
= ⇔ = ⇒ = − + − → − − + − − − + −


= − ⇒ = − + −

x y m
y x m y m m A m B m m m C m m m
x m y m m

Ta nh
ậ

n th
ấ
y A thu
ộ
c Oy, B ; C
đố
i x
ứ
ng qua Oy nên tam giác ABC cân t
ạ
i A.
G
ọ
i H là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
2
0; 1
⇒ − + −
BC H m m
Di
ệ
n tích tam giác ABC :
( )

2
. . .
, 1
2 4 2
∆
= =
⇒
=
ABC
AH BC AB BC AC AB
S R
R AH

Ta có
( )
( )
2 4
2 2
2
; ; 0;

= +

= − = − ⇒

=


 
AB m m

AB m m AH m
AH m

Khi
đ
ó,
( ) ( )
( )
4
3 2
2
1
1 2 2 1 0 1 1 0
1 5
2
=

+

⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔
− ±

=


m
m m
m m m m m
m
m

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
5 1
1;
2
−
= =m m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: (Khối A - 2012)
Cho hàm số
( ) ( )
= − + +
4 2 2
2 1 1
y x m x m
, với m là tham số.
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Hướng dẫn giải :
Ta có
3 2
2
0
4 4( 1) 4 ( 1) 0
1
=

′ ′
 
= − + = − + ⇒ = ⇔

 

= +

x
y x m x x x m y
x m

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt
(
)
1 0 1, *
⇔ + > ⇔ > −m m
V
ớ
i m ≠ 0 thì
( )
( ) ( )
2
1 1
2
2 2
3 3
0
0 1 2 1 0; , 1; 2 1 , 1; 2 1
1 2 1

= ⇒ =


′
= ⇔ = + ⇒ = − − → + − − − + − −


= − + ⇒ = − −


x y m
y x m y m A m B m m C m m
x m y m

Ta nh
ậ
n th
ấ
y tam giác ∆ABC luôn cân t
ạ
i A.
Để
∆ABC vuông cân thì ph
ả
i vuông cân t
ạ
i A.
Ta có
(
)
(
)
2 2

1; ( 1) ; 1; ( 1)
= + − + = − + − +
 
AB m m AC m m
T
ừ

đ
ó suy ra
4
1 0 1
. 0 ( 1) ( 1) 0
1 1 0
+ = = −
 
⊥ ⇔ = ⇔ − + + + = ⇔ ⇔
 
+ = =
 
 
m m
AB AC AB AC m m
m m

K
ết hợp với điều kiện (*) ta được m = 0 là các giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
4 2
4 2 1

= − + +
y x mx m
, với m là tham số.
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
a) có diện tích bằng
3 2.

b) có trọng tâm là
2
0; .
3
 
 
 
G
c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Bài 2: Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1
= − +
y x m x
có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
a) tam giác ABC đều.
b)
2 ,
=
OA BC
trong
đ
ó O là g

ố
c t
ọ
a
độ
, A là
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
thu
ộ
c Oy, B ; C là hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
còn l
ạ
i.
Bài 3:
Tìm m
để
hàm s

ố

(
)
4 2 2
2 2 5 5
= + − + − +
y x m x m m có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
và là ba
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác vuông
cân.
Đ/s : m = 1.
Bài 4:
Tìm m
để
hàm s
ố

4 2 2
2
= + + +
y x mx m m
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
đồ
th
ị

t
ạ
o thành m
ộ
t
tam giác có m
ộ
t góc b
ằ
ng 120
0
.
Đ/s :
.
= −
3
1
3
m

Bài 5:
Cho hàm s
ố

4 2 4
2 2= − + +
y x mx m m
có
đồ
th

ị
(C
m
) .
V
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì
đồ
th
ị
(C
m
) có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
,
đồ
ng th
ờ

i ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

đ
ó l
ậ
p thành m
ộ
t tam giác có
di
ệ
n tích b
ằ
ng 4.
Đ/s :
.
=
5
16
m

Bài 6:
Cho hàm s
ố

4 2 2
2 1
= − +
y x m x
(1)
Tìm m
để

đồ
th
ị
hàm s
ố
(1) có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
A, B, C và di
ệ
n tích c
ủ
a tam giác ABC b
ằ
ng 32.
Bài 7:

Cho hàm s
ố

4 2
2 1
= − + −
y x mx m
có
đồ
th
ị
(C
m
) .
V
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì
đồ
th
ị
(C
m
) có ba
đ

i
ể
m c
ự
c tr
ị
,
đồ
ng th
ờ
i ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

đ
ó l
ậ
p thành m
ộ
t tam giác có
bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti

ế
p b
ằ
ng
1
.
Đ/s :
; .
−
= =
5 1
1
2
m m