Một số phương pháp lặp cho bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

ĐOÀN THỊ HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2021


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

ĐOÀN THỊ HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Thành Chung

ĐÀ NẴNG - NĂM 2021


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan các kết quả trình bày trong luận văn này là cơng
trình nghiên cứu của riêng tơi và được hồn thành dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Nguyễn Thành Chung. Các kết quả trong luận văn chưa từng
được cơng bố trong các cơng trình của người khác.
Tác giả

ĐOÀN THỊ HÀ


LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và cuối cùng là thực hiện,
hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân
tơi cịn có những nguồn động lực và sự giúp đỡ to lớn từ quý thầy cô, đồng
nghiệp, gia đình và bạn bè.
Lời đầu tiên, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Thành Chung đã nhiệt tình, tận tâm giúp đỡ, hướng
dẫn tơi hồn thành tốt luận văn này trong thời gian qua.
Tôi cũng xin gửi đến các quý Thầy, Cô giáo và Ban chủ nhiệm khoa
Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc nhất
vì đã truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi
nhất cho quá trình học tập và nghiên cứu của tôi.
Cảm ơn các anh, chị và các bạn trong lớp cao học Tốn giải tích khóa
K39 đã ln chia sẻ nhiều kiến thức và kinh nghiệm q giá cho tơi trong
suốt q trình học tập và nghiên cứu.
Và cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, lãnh đạo Trường

THPT Phan Châu Trinh, lãnh đạo tổ chun mơn Tốn Trường THPT
Phan Châu Trinh - Đà Nẵng đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận
lợi để quá trình học tập và nghiên cứu của tơi được hồn thành tốt đẹp.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Tác giả

Đoàn Thị Hà


TRAI\G THONG TrN LUAx vAx

rnec si

T6n d6 tdi: MQT SO pHrJoNG pHAp r-Ap CHO BAr TOAX

pOxc

Ngdnh: To6n Gi6i

Tich

OrpU BAT

Kh6a: 39

Hg vd t6n hoc vi6n: DOAN THI HA

Nguoi hu6ng d6n khoa hoc: PGS.TS. Nguy6n Thdnh Chung
Co so ddo tao: Trudng Eai hoc Su ph4m - Dai hoc Ed NEng
T6m

Nhfrng k6t

tit:

qui chfnh cria lu{n vin:

oA tai nglriCn ciiu 1u6n vdn thac si khoa hoc "MQt so phuong ph6p lflp cho
bdi to5n di6m b6t dQng" dd dpt duoc m6t sO k6t qu6 sau d6y:

+ Trinh bdy mQt

sO t itin thirc chuAn bf 1i6n quan d6n gi6i tich hdm, c6c
gian
kh6ng
Hilberl, kh6ng gian Banach, cdc lop 6nh xa co, 6nh xa kh6ng gidn, vd
circ dang irnhx4 khSc 1i6n quan.

+ Trinh bdy mQt sd phuong ph6p 15p thucnrg gip khi nghidn ciru di6m b6t
dOng crta cdc 16p 6nh x4 kh6c nhau, bao g6m phuong ph6p ldp Picard, phuong
ph6p lap Yffi, phucrng ph6p 14p Ishikawa. Ddy ld nhfrng phucrng ph6p ldp cho
clfng tak6tqu6 vO sp h6i tu y6y d6n di6m b6t dgng. Ngodi-ra, luQn vancfrng x6t
ddn cac phucrng ph6p lap cho ktit qri rd ,p h6i iui.a"i ia" aie* uaioO"g"J"
phuong phSp ldp Helpern, phuongih6p lap cQ vd phucrn gphdp l[p Browder.

Y nghia khoa hgc vh thr;c ti6n cfra lu$n vin:
C6c k6t qu6 trong luAn,vdn^giup. ngudi doc nim bit duqc nhirng phucrng
php l{p co b6n trong li thuy6t di6m bAt eEng. Tir d6 co nhfrng nghien cuu phat
tri6n cho c6c 16p kh6ng gian hdm kh6c nhau cfrng nhu c6c lcrp 6nh xa kh6c nhau.
.Lq0n vdn ld tdi liQu tham kh6o b6 fch cho c6c hoc vi6n, sinh vi6n nghiCn

ciru vd eo tai di6m b6t cgng.

Ttr kh6a: Bdi to6n di6m b6t dong, phucrng ph6p ldp picard, phucrng ph6p
lflp Mann, Phucrng phdp 16p Ishikawa, Phuong phdp l6p Helpern, phucrng ph6p
lap CQ, Phuong ph6p l{p Browder.

X6c nhQn

N)ffi,

gi6o vi6n

aL ,4,

hufng d6n

Ngudi thgc tri6n

aC

tiri


INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: Some Iterative Methods for Fixed Point Problems.
Maj or: Mathematical analysis.

Full name of Master student: DOAN THI HA.
Supervisors: Associate Prof. Dr. NGUYEN THANH CHLTNG.

Training institution: The University of Danang, University of Education.
Summ arY

* The main results of the thesis:
The research topic of the master of science thesis "some Iterative Methods
for Fixed Point Problems" has achieved the following results:

*

Introduce some preparatory knowledge related to functional analysis,

Hilbert
spaces, Banach spaces, contraction mapping classes, nonexpansive type
mappings, and other related types of mapping;

*

Introduce some iterative methods when studying fixed points of different
mapping classes, including Picard iteration method, Mann iteration method,
Ishikawa iterative method. These areiterative methods that give us results of weak
convergence to a fixed point. In addition, the thesis also considers the iterative
methods that give results of strong convergence to fixed points such as the
Helpern iterative method, thg CQ iterative method and the Browder iterative
method.

* The applicability in practice and subsequent research of the thesis:
The results in the thesis help readers grasp the basic iterative methods in
fixed point theory. Since then, there have been development studies for different
function space classes as well as different mapping classes.

The thesis is a useful reference for students and researchers on the topic
fixed points.

of

Keywords: Fixed point problem, Picard iterative method, Mann iterative
method, Ishikawa iterative method, Helpern iterative method, CQ iterative
method, Browder iterative method.
Su

s

confirmation

W* f,N"".* d^^'*y

Student


MỤC LỤC
DANH SÁCH KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm . . . . . 4
1.2. Tính chất LE và tính chất điểm AF đối với tốn tử phi tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Ánh xạ gần Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Ánh xạ k -giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng . . . . . . . . . . 24
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP THƯỜNG
DÙNG ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1. Phương pháp lặp Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Phương pháp lặp Mann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2.3. Phương pháp lặp Ishikawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Phương pháp lặp Helpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Phương pháp lặp CQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6. Phương pháp lặp Browder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


DANH SÁCH KÝ HIỆU

Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
R

T
., .

tập số thực
tốn tử phi tuyến
tích vơ hướng

xn → x

xn hội tụ mạnh đến x

xn

xn hội tụ yếu đến x

x

F ix(T )
||x||
I
PC (H)

tập các điểm bất động của ánh xạ T
chuẩn của x
ánh xạ đơn vị
phép chiếu từ H lên C

R(T )

tập giá trị của toán tử T

D(T )

tập xác định của toán tử T

inf

cận dưới lớn nhất

sup

cận trên nhỏ nhất

1

LỜI NĨI ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Xét phương trình phi tuyến

f (x) = 0 ↔ f (x) + x = x ↔ T (x) = x
(với T (x) = f (x) + x), trong đó T là một tốn tử xác định trong một tập

C của một không gian X thích hợp. Giá trị x ∈ C sao cho
x = T (x)
được gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Như vậy, việc tìm nghiệm của
một phương trình phi tuyến bất kì có thể đưa về việc tìm điểm bất động
cho một ánh xạ phi tuyến.
Vấn đề đặt ra là điều kiện nào của T thì tồn tại điểm bất động, điểm
bất động có là duy nhất và phương pháp tìm ra điểm bất động là gì?
Lí thuyết điểm bất động là một trong những công cụ hữu hiệu khi nghiên
cứu các phương trình phi tuyến, có nhiều ứng dụng trong các ngành kỹ
thuật nói chung và trong các lĩnh vực tốn học nói riêng, như giải bài tốn
tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân hay giải tích hàm phi
tuyến. . . Do đó có nhiều nhà tốn học trong nước và trên thế giới quan
tâm nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động. Năm 1922, Stefan Banach lần
đầu tiên phát biểu và chứng minh một kết quả về ánh xạ co trong không
gian mêtric đầy đủ. Cụ thể, nếu T là một ánh xạ co trong không gian
metric đầy đủ X , theo ngun lí ánh xạ co của Banach thì T có duy nhất
một điểm bất động. Các kết quả kinh điển sau đó có thể kể ra bao gồm
các kết quả của các nhà toán học Browder, Schauder, Leray, ... Ở đó, một
trong những điều kiện được nhắc đến là điều kiện compact của miền xác
định ánh xạ, điều này đảm bảo cho sự tồn tại của điểm bất động. Một vấn

đề được nhiều nhà toán học quan tâm là nếu ánh xạ T không phải là ánh
xạ co (ánh xạ khơng giãn chẳng hạn) thì bài tốn tìm điểm bất động được


2

giải quyết như thế nào? Từ đó lí thuyết điểm bất động được nghiên cứu
và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học.
Chúng ta biết rằng việc tìm được đúng điểm bất động của ánh xạ T là
một điều rất khó khăn. Do đó một trong những hướng nghiên cứu của bài
tốn tìm điểm bất động là tìm xấp xỉ (gần đúng) điểm bất động thơng qua
các phương pháp lặp. Phương pháp lặp để giải quyết bài toán điểm bất
động là việc xây dựng một dãy xn trong miền xác định C của ánh xạ T
sao cho nó hội tụ đến x∗ , với giá trị ban đầu là x0 . Dãy xn được xác định
bằng cách tính giá trị xn+1 thơng qua xn . Có nhiều phương pháp lặp được
các nhà toán học đề xuất để giải quyết bài toán điểm bất động, chẳng hạn
các phương pháp lặp Picard, Mann, Ishikawa,...
Tùy từng cấu trúc bài toán mà chúng ta cần đề xuất mỗi phương pháp
lặp tương ứng. Một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu phương
pháp lặp là nghiên cứu sự hội tụ của nó, phương pháp lặp tốt hay khơng
tốt sẽ cho tốc độ hội tụ nhanh hay chậm. Với mong muốn tìm hiểu sâu
hơn về các phương pháp lặp này, với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn
Thành Chung, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp lặp
cho bài toán điểm bất động”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Giới thiệu các phương pháp lặp và phân tích sự hội tụ của chúng cho
xấp xỉ điểm bất động trong không gian Banach, không gian Hilbert.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Một số phương pháp lặp được áp dụng cho bài tốn tìm điểm bất động

trong khơng gian Banach, không gian Hilbert.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, lí thuyết không gian Banach,
không gian Hilbert. Các phương pháp lặp và đánh giá sự hội tụ của chúng
trong việc tìm xấp xỉ điểm bất động.


3

4. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo các tài liệu về điểm bất động, toán tử phi tuyến, ánh xạ
liên quan đến điểm bất động trong không gian Banach, không gian Hilbert
và các phương pháp lặp tìm điểm bất động.
Xin ý kiến, trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài luận văn có giá trị về mặt lí thuyết và ứng dụng.
Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai nghiên cứu về
điểm bất động và phương pháp lặp cho bài tốn tìm điểm bất động.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc như sau
Lời nói đầu
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm.
1.2. Tính chất LE và tính chất điểm AF cho tốn tử phi tuyến tính.
1.3. Ánh xạ gần Lipschitz.
1.4. Ánh xạ k -giả co chặt tiệm cận theo nghĩa suy rộng.
Chương 2. Một số phương pháp lặp thường dùng trong lí
thuyết điểm bất động
2.1. Phương pháp lặp Picard.
2.2. Phương pháp lặp Mann.

2.3. Phương pháp lặp Ishikawa.
2.4. Phương pháp lặp Helpern.
2.5. Phương pháp lặp CQ.
2.6. Phương pháp lặp Browder.
Kết luận
Tài liệu tham khảo


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích hàm
Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất
cơ bản trong giải tích hàm có liên quan đến lí thuyết điểm bất động được
sử dụng trong chương sau. Các không gian được nhắc đến trong phần này
bao gồm: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach,
không gian Hilbert và các khái niệm liên quan như ánh xạ co, ánh xạ
không giãn, ánh xạ tựa không giãn. Các kiến thức trong chương này chủ
yếu tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3].
dn1.1

Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng, hàm d : X x

X → R+ := [0; +∞) thỏa mãn các điều kiện sau
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X,

d(x, y) = 0 ⇔ x = y,

(ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,
(iii) d(x, y) ≥ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X
được gọi là một metric trên X .
Tập X với metric d được gọi là khơng gian metric (X, d).
vd1.1

Ví dụ 1.1. (i) Không gian X = R là một không gian metric với metric
thông thường

d(x, y) = |x − y|,

x, y ∈ R.

Trường hợp tổng quát, không gian X = Rn là một không gian mêtric
với mêtric

1
2

n

|xi − yi |2

d(x, y) =
i=1

,


5

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn .
(ii) Xét X = C[a, b] là không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a, b],

d : X × X → R xác định bởi
d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
t∈[a,b]

Khi đó (X, d) là một không gian metric.
dn1.2

Định nghĩa 1.2. Trong không gian metric (X, d), dãy {xn } ⊂ X
được gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu d(xn , x) → 0 khi n → ∞ hay
lim d(xn , x) = 0. Khi đó, x được gọi là giới hạn của dãy {xn }.
n→∞

Như vậy, lim xn = x trong (X, d) có nghĩa là
n→∞

∀ > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0 ⇒ d(xn , x) < ε.
md1.1

Mệnh đề 1.1. Trong không gian metric (X, d) ta ln có các khẳng
định sau:
(i) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
(ii) Nếu một dãy {xn } hội tụ đến x thì mọi dãy con {xnk } của nó cũng
hội tụ đến x.
(iii) Nếu lim {xn } = x, lim {yn } = y thì lim d({xn }, {yn }) = d(x, y),
n→∞

n→∞

n→∞

nghĩa là khoảng cách d(x, y) là một hàm số liên tục đối với x, y .
vd1.2

Ví dụ 1.2. (i) Sự hội tụ trên đường thẳng X = R là sự hội tụ của một
dãy số theo metric thông thường

d(x, y) = |x − y|,

x, y ∈ X.

Trong không gian X = Rk , xét dãy {xn } với xn = (xn1 , xn2 , ..., xnk ),

n = 1, 2, .... Trên Rk xét metric
k

|xi − yi |2 ,

d(x, y) =

x = (x1 , x2 , ..., xn ),

y = (y1 , y2 , ..., yn ).

i=1

Khi đó, dãy {xn } hội tụ về x0 = (x01 , x02 , ..., x0k ) khi d(xn , x0 ) → 0 khi

n → ∞. Suy ra xin → xi0 với mọi i = 1, 2, ..., k . Như vậy sự hội tụ trong
Rk là sự hội tụ theo từng thành phần.


6

(ii) Giả sử {xn } là một dãy trong không gian X = C[a, b] hội tụ đến
điểm x ∈ C[a, b] theo metric

d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
t∈[a,b]

Khi đó d(xn , x0 ) = maxt∈[a,b] |xn (t) − x0 (t)| → 0 khi n → ∞. Suy ra sự
hội tụ trong X = C[a, b] theo metric trên là sự hội tụ đều.
dn1.3

Định nghĩa 1.3. Xét một tập A bất kì trong khơng gian metric (X, d)
và một điểm x ∈ X .
(i) x được gọi là một điểm trong của A nếu có một lân cận U (x) của x
sao cho U (x) ⊂ A. Một điểm trong của A luôn thuộc A.
(ii) x được gọi là một điểm ngồi của A nếu có một lân cận U (x) của

x sao cho U (x) ∩ A = ∅. Một điểm ngồi của A sẽ khơng thuộc A.
(iii) x được gọi là một điểm biên của A nếu mọi lân cận U (x) của x ta
đều có U (x) ∩ A = ∅ và U (x) ∩ (X\A) = ∅. Một điểm biên của A có thể
thuộc A hay không thuộc A.
(iv) Tập A được gọi là tập mở trong X nếu mọi điểm thuộc A đều là
điểm trong của A. Tập A được gọi là đóng nếu X\A là tập mở của X .
Trong nhiều trường hợp, để chứng minh một tập là tập đóng trong

khơng gian metric chúng ta thường dùng kết quả sau đây.
md1.2

Mệnh đề 1.2. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Tập A ⊂ X là
tập đóng trong X khi và chỉ khi với mọi dãy {xn } ⊂ A, nếu xn → x ∈ X
thì x ∈ A.

dn1.4

Định nghĩa 1.4. Giả sử (X, d) là một không gian metric, dãy {xn } ⊂

X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu
lim d(xn , xm ) = 0,

m,n→∞
∗

tức là ∀ > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có d(xn , xm ) < .
md1.3

Mệnh đề 1.3. Trong không gian metric (X, d) ta ln có các khẳng
định sau
(i) Mọi dãy Cauchy đều bị chặn.


7

(ii) Mọi dãy hội tụ là đều dãy Cauchy.
(iii) Nếu dãy {xn } là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x thì {xn } cũng
hội tụ về x.

dn1.5

Định nghĩa 1.5. Khơng gian metric (X, d) trong đó mọi dãy Cauchy
đều hội tụ (đến một phần tử thuộc X ) được gọi là một không gian metric
đầy đủ.
Như chúng ta sẽ thấy, tính chất đầy đủ của khơng gian metric đóng vai
trị rất quan trọng khi nghiên cứu phương trình tốn tử.

vd1.3

Ví dụ 1.3. (i) Khơng gian metric X = R với metric thông thường

d(x, y) = |x − y|,

x, y ∈ X

là một không gian metric đầy đủ. Tổng quát hơn, không gian X = Rk với
metric
k

|xi − yi |2 ,

d(x, y) =
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ X , là một không gian
metric đầy đủ.
Nếu ta thay tập số thực R bởi tập các số hữu tỉ Q thì với các metric
trên không gian metric X không đầy đủ.
(ii) Không gian metric X = C[a, b] là không gian đầy đủ với metric

d : X × X → R xác định bởi

d(x, y) = max |x(t) − y(t)|,

x, y ∈ X

t∈[a,b]

nhưng nó khơng phải là khơng gian metric đầy đủ với metric
b

|x(t) − y(t)|2 dt,

d(x, y) =

x, y ∈ X.

a

dn1.6

Định nghĩa 1.6. Cho không gian metric (X, d). Một tập A ⊂ X được
gọi là compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ A đều có một dãy con {xnk } hội tụ
đến một điểm x ∈ A.

md1.4

Mệnh đề 1.4. Trong không gian metric (X, d) ta ln có các khẳng
định sau:

8

(i) Mọi tập compact đều là tập đóng.
(ii) Mọi tập compact đều bị chặn.
(iii) Tập con đóng của một tập compact là tập compact.
md1.5

Mệnh đề 1.5 (Hausdorff). Trong không gian metric, tập compact là
tập đóng và hồn tồn bị chặn. Ngược lại, một tập đóng và hồn tồn bị
chặn trong khơng gian metric đầy đủ thì nó là tập compact.

dn1.7

Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian metric (X, dX ) và (Y, dY ) và ánh
xạ T : X → Y . Ta có các khái niệm sau
(i) Ánh xạ T gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi

> 0, tồn tại
δ > 0 (phụ thuộc và x0 ) sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn dX (x, x0 ) < δ
ta có dY (T x, T x0 ) < .
Điều này tương đương với T xn → T x0 với mọi dãy {xn } ⊂ X thỏa
mãn xn → x0 . Ánh xạ T gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi
điểm x0 ∈ X .
(ii) Ánh xạ T gọi là liên tục đều trên X nếu với mọi > 0, tồn tại
δ > 0 (phụ thuộc ) sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn dX (x, y) < δ ta
có dY (T x, T y) < .
dn1.8

Định nghĩa 1.8. Giả sử (X, d) là một không gian metric, ánh xạ T :

X → X . Ta nói điểm x ∈ X là một điểm bất động của ánh xạ T nếu
T x = x. Tập các điểm bất động của ánh xạ T được kí hiệu là Fix(T ), tức
là
Fix(T ) = {x ∈ X : T x = x}.
Từ Định nghĩa 1.8, việc tìm điểm bất động của ánh xạ T : X → X
tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình tốn tử

T x − x = 0.
dn1.9

Định nghĩa 1.9. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Ánh xạ T :

X → X được gọi là ánh xạ Lipschitz, nếu tồn tại hằng số k ≥ 0 sao cho
với mọi x, y ∈ X ta có
d(T x, T y) ≤ kd(x, y).

(1.1)

pt1.1


9

Hằng số k trong (1.1) được gọi là hằng số Lipschitz. Nếu k ∈ [0, 1), thì
ta nói T : X → X là một ánh xạ co với hằng số co là k . Trong trường hợp

k = 1, tức là
d(T x, T y) ≤ d(x, y),

∀x, y ∈ X

(1.2)

pt1.2

ta nói T là ánh xạ khơng giãn trên X . Ánh xạ không giãn T với tập
Fix(T ) = ∅ gọi là ánh xạ tựa không giãn.
nx1.1

Nhận xét 1.1. Trong không gian metric X , một ánh xạ tựa không
giãn là một ánh xạ không giãn.
Một trong những kết quả quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong
lí thuyết điểm bất động là nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian
metric đầy đủ, được phát biểu như sau

md1.6

Mệnh đề 1.6 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Giả sử (X, d) là một không
gian metric đầy đủ, ánh xạ T : X → X là một ánh xạ co. Khi đó T có một
điểm bất động duy nhất, tức là tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho T x∗ = x∗ .
Đối với ánh xạ không giãn, kết quả của Mệnh đề 1.6 khơng cịn đúng,
chẳng hạn ánh xạ T : R → R cho bởi T x = x + 1 là ánh xạ không giãn
nhưng khơng có điểm bất động.

dn1.10

Định nghĩa 1.10. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính trên trường
K. Hàm || · || : X → R+ thỏa mãn các tiên đề
(i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X,

||x|| = 0 ⇔ x = 0,
(ii) ||λx|| = |λ|||x||, λ ∈ K, ∀x ∈ X,
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X,
được gọi là một chuẩn trên X .
Khơng gian tuyến tính X trên đó có thể xác định một chuẩn || · || được
gọi là không gian định chuẩn, kí hiệu (X, || · ||). Trong nhiều trường hợp,
để đơn giản người ta kí hiệu X thay vì (X, || · ||).


10
nx1.2

Nhận xét 1.2. Không gian định chuẩn (X, || · ||) là một không gian
metric với metric cho bởi

d(x, y) = ||x − y||,

x, y ∈ X.

(1.3)

Các khái niệm và tính chất về sự hội tụ, tập mở, tập đóng, tập compact,
ánh xạ liên tục, ... trong không gian định chuẩn (X, ||.||) được hiểu tương
tự như trường hợp không gian metric, với metric d cho bởi (1.3).
Từ khái niệm và tính chất về sự hội tụ trong khơng gian định chuẩn
chúng ta có kết quả quan trọng sau đây
md1.7

Mệnh đề 1.7 (xem [9]). Giả sử {an } và {bn } là hai dãy trong không

gian định chuẩn X , {tn } là dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện
∞

(i) 0 ≤ tn ≤ t < 1 và

tn = ∞,
n=1

(ii) an+1 = (1 − tn )an + tn bn , ∀n ∈ N,
(iii) lim ||an || = d,
n→∞

n
i=1 ti bi }

(iv) lim sup ||bn || ≤ d và {
n→∞

bị chặn.

Khi đó d = 0.
n+m−1

Chứng minh. Giả sử d > 0, từ giả thiết (iv) ta có dãy

ti bi bị chặn
i=n

trong X với mọi n và m. Đặt
n+m−1

ti bi : n, m = 1, 2, 3, ... .

M = sup
i=n

Lấy N sao cho

N > max
Ta có thể chọn

2M
,1 .
d

> 0 sao cho
1 − 2 exp

N +1
1−t

1
> .
2

pt1.3


11

Kết hợp với giả thiết (i) ta có tồn tại k ∈ N sao cho
k

ti ≤ N + 1.

N<
i=1

Vì lim ||an || = d, lim sup ||bn || ≤ d và khơng phụ thuộc vào n, khơng
n→∞

n→∞

mất tính tổng qt ta giả sử rằng mọi n ≥ 1,

d(1 − ) < ||an || < d(1 + )
và

||bn || < d(1 + ).
k

k

Đặt T =

si và sn = 1 − tn với mọi n ≥ 1. Từ giả thiết (ii)

ti ,
i=n

i=1

ta có

ak+1 = s1 s2 ...sk a1 + t1 s2 s3 ...sk b1 + tk−1 sk bk−1 + tk bk ,
ak+1 ∈ B := co{a1 , b1 , b2 , ..., bk }.
k

Cho x = T

−1

ti bi và
i=1

−1
−1
−1
y = S(1 − S)−1 {a1 + t1 (s−1
)b1 + t2 (s−1
)b2 +
1 −T
1 s2 − T

+ ... + tk (S −1 − T −1 )bk )}.
rõ ràng ta thấy x, y ∈ B và ak+1 = Sx + (1 − S)y . Do đó

d(1 − ) < ||ak+1 || ≤ S||x|| + (1 − S)||y||
≤ S||x|| + (1 − S)d(1 + ).
Khi đó, ta có

||x|| > d(1 − S −1 (2 − S) )
> d(1 − 2 S −1 )
k

(1 − ti )−1

=d 1−2
i=1


12
k

= d 1 − 2 exp

log 1 +
i=1
k

≥ d 1 − 2 exp
i=1

ti
1 − ti

ti
1 − ti

T

1−t
d
N +1
≥ d 1 − 2 exp
> ,
1−t
2
bởi vì log(1 + u) ≤ u với mọi −1 < u < ∞. Hơn nữa, ta cũng có
≥ d 1 − 2 exp

k

||x|| = T

−1

ti bi || ≤ T −1 M ≤

||
i=1

d
d
M= ,
2M
2

mâu thuẫn. Từ đó suy ra d = 0.
dn1.11

Định nghĩa 1.11. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Dãy {xn } ⊂
X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho với
mọi n, m ∈ N∗ , n, m ≥ n0 ta có ||xm − xn || < .
Trong không gian định chuẩn X , nếu với mọi dãy Cauchy đều hội tụ
thì X được gọi là không gian định chuẩn đầy đủ hay không gian Banach.

md1.8

Mệnh đề 1.8. Không gian định chuẩn X là một không gian Banach
khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ và ta có ước lượng
∞

∞

||xn ||.

xn ≤
n=1

dn1.12

n=1

Định nghĩa 1.12. (i) Giả sử X là một không gian Banach, X ∗ là
không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X (khơng gian liên
hợp đại số thứ nhất của X ), X ∗∗ là khơng gian các phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên X ∗ (không gian liên hợp đại số thứ hai của X ). Ta nói X là
khơng gian Banach phản xạ nếu với mọi x∗∗ ∈ X ∗∗ tồn tại x ∈ X sao cho
với mọi x∗ ∈ X ∗ ta có

x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ).
(ii) Trong khơng gian Banach X , sự hội tụ theo chuẩn || · || được gọi
là sự hội tụ mạnh, kí hiệu xn → x. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu


13

đến x ∈ X , kí hiệu xn

x nếu với mọi x∗ ta có
lim x∗ (xn ) = x∗ (x).

n→∞

md1.9

Mệnh đề 1.9. Không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi mọi
dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu về một phần tử của
X.
Từ khái niệm hội tụ yếu trong Định nghĩa 1.12, nếu thay sự hội tụ
mạnh bằng sự hội tụ yếu chúng ta có các khái niệm tương ứng như tập
đóng yếu, tập compact yếu, ...

md1.10

Mệnh đề 1.10. Trong không gian Banach X , mọi tập con C đóng yếu
là đóng (mạnh). Ngược lại, nếu C là một tập con lồi đóng (mạnh) khác
rỗng trong X thì X là một tập đóng yếu.

dn1.13

Định nghĩa 1.13. Giả sử (X, || · ||) là một khơng gian Banach.
(i) Ta nói X là một không gian Banach lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ X ,
x = y thỏa mãn ||x|| = 1, ||y|| = 1 ta đều có || x+y
2 || < 1.
(ii) Ta nói X là một khơng gian Banach lồi đều nếu với mọi

> 0, tồn
tại δ( ) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1 và
||x − y|| ≥ , ta có || x+y
2 || ≤ 1 − δ .
nx1.3

Nhận xét 1.3. Từ Định nghĩa 1.12, mọi không gian Banach lồi đều là
lồi chặt. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng.

dn1.14

Định nghĩa 1.14 (xem [4]). Một không gian Banach X được gọi là
thỏa mãn điều kiện Opial nếu với mỗi dãy thực {xn } ⊂ X hội tụ yếu đến
một điểm x ∈ X , ta có

lim inf ||xn − x|| < lim inf ||xn − y||, ∀y = x ∈ X.
n→∞

n→∞

(1.4)

Có thể thấy các khơng gian Banach hữu hạn chiều và không gian lp ,

1 < p < ∞ thỏa mãn điều kiện Opial.
nx1.4

Nhận xét 1.4. (i) Từ Định nghĩa 1.14, ta có nếu X là một khơng gian
Banach thỏa mãn điều kiện Opial, {xn } ⊂ X là một dãy hội tụ yếu đến

pt1.4


14

một điểm x ∈ X và

lim inf ||xn − y|| ≤ lim inf ||xn − x||,
n→∞

n→∞

khi đó ta có y = x.
(ii) Biểu thức (1.4) trong Định nghĩa 1.14 có thể thay thế bởi đẳng thức
sau

lim sup ||xn − x|| < lim sup ||xn − y||, ∀y = x ∈ X.
n→∞

(1.5)

n→∞

Thật vậy, nếu đẳng thức (1.4) thỏa mãn, tồn tại dãy con {xnj } của dãy

{xn } sao cho

lim sup ||xn − x|| = lim ||xnj − x||
n→∞

j→∞

< lim inf ||xnj − y||
j→∞

≤ lim sup ||xn − y||,
n→∞

tức là ta có (1.5). Ngược lại, nếu đẳng thức (1.5) thỏa mãn, tồn tại dãy
con {xnk } của dãy {xn } sao cho

lim inf ||xn − y|| = lim ||xnk − y||
n→∞

k→∞

> lim sup ||xnk − x||
n→∞

≥ lim inf ||xn − x||,
n→∞

suy ra (1.4) thỏa mãn.
dn1.15

Định nghĩa 1.15. Giả sử H là khơng gian tuyến tính trên R. Một ánh
xạ ., . : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau
(i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H,

x, x = 0 ⇔ x = 0,
(ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H,
(iii) x + x , y = x, y + x , y , ∀x, x , y ∈ H,
(iv) λx, y = λ x, y , ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ R

pt1.5


15

được gọi là một tích vơ hướng trên H .
Cặp (H, ., . ) được gọi là một không gian tích vơ hướng hay khơng gian
Unita.
dn1.16

Định nghĩa 1.16. Giả sử (H, ., . ) là một không gian Unita. Khi đó,
ánh xạ || · || : H → R, xác định bởi

||x|| =

x, x ,

x∈H

(1.6)

là một chuẩn trên H , gọi là chuẩn sinh bởi tích vơ hướng ., . .
Không gian Unita (H, ., . ) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong H
đều hội tụ (theo chuẩn (1.6)) về một điểm của H . Không gian Unita đầy
đủ được gọi là không gian Hilbert.
Từ Định nghĩa 1.16, mỗi không gian Hilbert cũng là một không gian
Banach, nhưng điều ngược lại không đúng.
dn1.17

Định nghĩa 1.17. Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi
là hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H , ký hiệu x → x, nếu ||xn − x|| → 0 khi
n → ∞.

dn1.18

Định nghĩa 1.18. Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi
là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H , ký hiệu xn
khi n → ∞ với mọi y ∈ H .

x, nếu xn , y → x, y.

nx1.5

Nhận xét 1.5. Trong không gian Hilbert, hội tụ mạnh kéo theo hội
tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng.

md1.11

Mệnh đề 1.11. Nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert thỏa mãn các
điều kiện ||xn || → ||x|| và xn
x, thì xn → x khi n → ∞.

dn1.19

Định nghĩa 1.19. Cho C là tập con của khơng gian Hilbert H . Khi
đó C được gọi là
(i) tập lồi nếu λx + (1 − λ)y ∈ C với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1].
(ii) tập đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x khi n → ∞, ta
đều có x ∈ C .
(iii) tập đóng yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn

x khi n → ∞,

pt1.6


16

ta đều có x ∈ C .
(iv) tập compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có dãy con hội tụ về một
phần tử thuộc C .
(v) tập compact yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có dãy con hội tụ yếu
về một phần tử thuộc C .
md1.12

Mệnh đề 1.12 (xem [2]). Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó,
với mọi x, y ∈ H và mọi λ ∈ [0, 1] ta đều có
(i) ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ),
(ii) ||x − y||2 = ||x||2 − ||y||2 − 2 x − y, y ,
(iii) ||λx + (1 − λ)y||2 = λ||x||2 + (1 − λ)||y||2 − λ(1 − λ)||x − y||2 .

md1.13

Mệnh đề 1.13 (xem [2]). Cho H là không gian Hilbert thực và C là
một tập con của H . Khi đó nếu C là tập lồi, đóng thì C là tập đóng yếu.

md1.14

Mệnh đề 1.14. Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một
tập lồi đóng của H . Khi đó, ∀x, y, z ∈ H và a ∈ R ta có

{v ∈ C : ||y − v||2 ≤ ||x − v||2 + 2 < z, v > +a}
là tập lồi (và đóng).
dn1.20

Định nghĩa 1.20. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của
không gian Hilbert thực H . Ta biết rằng với mỗi x ∈ H , đều tồn tại duy
nhất một phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn

||x − PC (x)|| = inf ||x − y||.
y∈C

Phần tử PC (x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của x lên C
và ánh xạ PC : H → C biến mỗi phần tử của x ∈ H thành PC (x) được
gọi là phép chiếu metric từ H lên C .
Đặc trưng của phép chiếu metric được cho bởi mệnh đề sau
md1.15

Mệnh đề 1.15. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert thực H . Khi đó, ánh xạ PC : H → C là phép chiếu metric từ H

17

lên C khi và chỉ khi

x − PC (x), PC (x) − y ≥ 0, ∀x ∈ H và y ∈ C.

(1.7)

Chứng minh. Giả sử PC là phép chiếu metric từ H lên C . Khi đó với mọi
x ∈ H, y ∈ C từ Định nghĩa 1.20, với mọi t ∈ (0, 1) ta có

||x − PC (x)||2 ≤ ||x − ty − (1 − t)PC (x)||2 ,
Từ đó ta có

t
x − PC (x), PC (x) − y ≥ − ||y − PC (x)||2 ,
2
với mọi t ∈ (0, 1). Cho t ∈→ 0+ , ta nhận được
x − PC (x), PC (x) − y ≥ 0.
Ngược lại giả sử rằng

x − PC (x), PC (x) − y ≥ 0 với mọi x ∈ H, y ∈ C .
Khi đó, với mỗi x ∈ H và y ∈ C , ta có

||x − PC (x)||2 = x − PC (x), x − y + y − PC (x)
= x − PC (x), y − PC (x) + x − PC x, x − y
≤ ||x − y||2 + y − PC (x), x − PC (x) + PC (x) − y
= ||x − y||2 + y − PC (x), x − PC (x)
≤ ||x − y||2 .

Suy ra PC (x) là phép chiếu từ H lên C .

1.2. Tính chất LE và tính chất điểm AF đối với tốn tử phi
tuyến tính
Trong mục này, chúng tơi trình bày một số khái niệm quan trọng liên
quan đến lí thuyết điểm bất động của ánh xạ phi tuyến tính, xem [18].
dn1.21

Định nghĩa 1.21. Cho X là một không gian định chuẩn, C là một
tập con lồi khác rỗng của X , T : C → C là một ánh xạ với F ix(T ) = ∅
và dãy {xn } ⊂ C . Ta có các khái niệm sau
(D1) Ta nói dãy {xn } có tính chất tồn tại giới hạn (gọi tắt là tính chất

pt1.7