Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phương pháp lặp giải phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • • Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học TS.
NGUYỄN VĂN HÙNG
HÀ NỘI – 2014
■
Để hoàn thành khóa luận này tôi đã nhận được rất nhiều sự hưóng dẫn, giúp
đỡ của các thầy, cô giáo, bạn bè và gia đình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp
đỡ quý báu đó.
Đẩu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sự dạy dỗ tận tình của các thầy, cô giáo của trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, những ngưòi đã trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản và vô
cùng quý báu.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng,
người thầy đã tân tình hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này, người đã cho tôi những lời
khuyên bổ ích trong lúc tôi gặp khổ khăn và truyền cho tôi lòng say mê, nhiệt tình.
Xin cảm ơn những người bạn thân thiết và gia đình thân yêu đã luôn ở bên, động viên
và tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian qua.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực hiện
Yũ Thị Thanh Hiếu
Khóa luận tốt nghiệp: “MỘ T S Ố PH Ư Ơ N G P H Á P LẶ P G I Ả I P H Ư Ơ N G T R Ì N H V Ỉ
P H Â N

” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo Tiến sĩ
Nguyễn Văn Hùng.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng với bất kì
kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.
LỜI CẢM ƠN
Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên thực hiện

Yũ Thị Thanh Hiếu
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền vói thực tiễn, sự phát triển
của toán học được đánh dấu bỏi những ứng dụng toán học vào việc giải
quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán ứng dụng thường gặp rất
nhiều bài toán có liên quan đến phương trình vi phân thường, vì vậy việc
nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng
trong lí thuyết toán học.
Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường
là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đó phần lớn các phương
trình vi phân thường nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm
được nghiệm chính xác. Do yậy vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định
nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường.
Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương
pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường, ữong số đó có
phương pháp lặp.
Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong
phạm vi một khóa luận tốt nghiệp, em xin manh dạn trình bày những hiểu
biết của mình về một số phương pháp lặp giải gần đúng phương trình vi
phân thường, cụ thể là hai phương pháp: phương pháp Runge - Kutta và
phương pháp Newton - Kantorovich với tên đề tài là: “M Ộ T S Ô ' P H Ư Ơ N G
P H Á P L Ặ P G I Ả I P H Ư Ơ N G T R Ì N H V Ỉ PH Â N ".
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày lý thuyết của hai phương pháp: phương pháp Runge -
Kutta và phương pháp Newton - Kantorovich, sau đó là ứng dụng để giải
phương trình vi phân thường của hai phương pháp này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

5
Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của khóa luận
là:
- Phương pháp Runge - Kutta và ứng dụng giải phương trình vi phân
thường.
- Phương pháp Newton - Kantorovich và ứng dụng giải phương trình
vi phân thường.
4. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Phương pháp Runge - Kutta và phương pháp Newton - Kantorovich
giải gần đúng phương trình vi phân thường.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận, tài liệu chuyên khảo.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức.
6. Bố cục của khóa luận
Khóa luận gồm 50 trang, được bố cục thành ba phần: mở đầu, nội
dung và kết luận. Phần nội dung của khóa luận được trình bày trong ba
chương:
Chương 1: Nêu lên các khái niệm, định lí có liên quan đến hai
phương pháp: phương pháp Runge - Kutta và phương
pháp Newton - Kantorovich.
Chương 2: Xây dựng và ứng dụng phương pháp Runge - Kutta vào
việc giải gần đúng phương trình vi phân thường, một số
bài tập áp dụng.
Chương 3: Xây dựng và ứng dụng phương pháp Newton -
Kantorovich vào việc giải gần đúng phương trình vi
phân thường, một số bài tập áp dụng.
CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUAN BỊ
6
1.1. Sai số
1.1.1. Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối

1.1.1.1. Số gần đúng, sai sô'tuyệt đối và sai số tương đối
Trong tính toán thông thường, người ta không biết số đúng A *

mà chỉ
biết các số đủ gần của nó là A .

Số A

được gọi là gần đúng Ầ ,

độ lệch H =
A * -A

được gọi là sai số thực sự của A .

Vì không biết A

nên không biết h.
Tuy nhiên có thể xác dinh được một số dương AA > \ H \

sao cho
A - AA < Â

< A + AA ,

số A A

bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là
sai SỐ tuyệt đối của A .
Tỷ số ỗ = ^ được gọi là sai số tương đối của A.

\a\
AA

có cùng thứ nguyên với A ,

còn ô là số không có thứ nguyên và được
biểu diễn bằng %,
1.1.12. Sự thu gọn các số, sai sô'thu gọn
Giả sử A

được biểu diễn dưới dạng thập phân:
a = ±{P
p
.W+J3
p
_
v
W-
l
+ + P
p
_
q
.W-«) trong đó Pị, (i = p, p-l,p-q)

là các
số nguyên dương từ 0 đến 9.
Thu gọn A

là vứt bỏ đi một hàng bên phải trong biểu diễn của A

để
được một số gần đúng Ã

gọn hơn nhưng vẫn bảo đảm độ chính xác cần
thiết. Quy ước nếu chữ số đẩu tiên bỏ đi tính từ bên trái qua có giá trị >5
thì khi thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối cùng giữ lại 1 đơn vị, nếu <5
thì giữ nguyên.
1.1.1.3. Cách viết số gần đúng
Ta thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối và tương đối).
7
Chẳng hạn:
a = 13,52 (±0,002); B

= 0,085 (±2%),
Trong các bảng số thường chỉ giữ lại các chữ số chắc, tức là các số
mà chữ số cuối cùng được giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo
quy tắc làm tròn số (ở đây không đưa ra đinh nghĩa chính xác của chữ số
chắc).
1.1.2. Sai số tính toán
kJ\/ llVMU
Giả sử cần tính giá trị một hàm Y * = F ( X *,

X*

,XJ

), trong đó chỉ biết
các giá tn gần đúng jCp X

2

,X

N

với các sai số tương ứng AX Ị

(hay Ổ X ).

Sai
số của G I Á T RỊ Y = F (X

V

X

2

,X

N

)

được gọi là sai số tính toán. Giả sử / là
một hàm khả vi, liên tục theo các biến XỊ

, khi đó:
y-y* = /Oi> Xỉ, •••> •*») -/(*г, X*,X*) = Х/'*,0)(Л -*;*) (

1Л
)
Ĩ=1
trong đó X

là điểm trung gian nằm giữa các điểm (jCp X

2

,X

N

)

và (Xj ,x
2
x
n
).
Như vậy ta có thế viết:
n

n

!, x
2
,*„)(*. -X*) < XI/';(*!’ =Ạy
ì— 1 Í=1
y - ỳ

8
Ta có công ứiức:
ky = Ỳ\f'
i
(.x
l
,x
2
, ,x
n
ỷậa
i
;=1
Ly lí
(1.2)
ẦXỊ (1.3)
(1.3’)
A*,=ì
i=l
^-ìnf(x
v
x
2
, ,x
n
)
ởx,
|y| i=i
Công thức trên đôi khi có thể viết: Эу = A ln I Y\
F'I(X

V
X
2
,
%
N)
/(*p *2’ .
1.1.2.1. Sai số của tổng: у - X
1
+ x
2
+ + x
n
; у ' = 1
Theo (1.2) ta có: AY = ^AX
T
i=1
Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số
hạng.
1.1.2.2. Sai số của tích: y - x
1
x
2
x
n
ln|y| = 5>|*,.| i=1
Theo (1.3’) ta có: 3Y

= Aln|y| = ^ÀlnỊ^I = Y ' SX

I
i=\ i=1
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của
từng thành phần.
1.1.2.3. Sai số của thương: y = —
y*
=
ir
;
y*i
; ổy = ổx
l
+ ổx
2
+ |
jcJAx:
2
Từ đó: ẠY =
dx
.
3/
Ay=±
i=l
AXị = NC.
Ay
(ỉ
_TZ\
dx,
(ỉ' = l,n)
3/ a/

D
XỊ
DX
T
1.1.2.4. Sai số của y = ln X: Ay = ổx
1.1.3. Bài toán ngược của sai số
Giả sử đại lượng Y tính theo công thức Y=F {X

1

,X

n
). Hỏi phải lấy AXỊ

bằng
bao nhiêu để Ạy < consí cho trước ?
Nguyên lí ảnh hưởng đều:
3/
TRƯỜNG HỢP 1 : Ta coi
suy ra
Vậy AXị =
Trường hợp 2: Nếu coi AXị - consí íi = l,n) thì AXị= —
' ' n
7=1
__ Ar
TR Ư Ờ N G H Ợ P 3

: Nếu coi <5*! = £x
2

= = và đặt Ả: =
-j—[■ thì
1.2. Công thức nội suy bằng sai phân
1.2.1. Sai phân và các tính chất
Cho Y = F (X

) xác định trên một tập hợp X, H

là hằng
số lớn hơn 0. SỐ gia À/O) = F (X + H )-F ( X )

gọi là sai
phân cấp một của F (X )

tại X.

Biểu thức:
A 7 = A[A/(*)] = [/(* + 2 H ) -F (X + H )] ~ [F (X + H ) - F
00]
= AF (X + H )~ A F ( X )

được gọi là sai phân cấp
hai của / tại X.

Biểu thức: A
K

F

= A[A*V] được gọi là sai

phân cấp k của /.
Giả sử F ( X

) được cho bằng bảng tại các giá trị cách đều của
đối số, y
t
= f(
x
i)>
x
i =
* 0
+
ỉ7ỉ
’ 0’ =
0
, ±
1
, ±
2
, )
Khi đó có thể lập bảng các sai phân cấp 1,2, của / như sau:
Bảng 1.1:
XỊ Y

I

=F (X

I

) A
2
/(*,) A
3
/(*,) A
4
/(^)
X

-2 F- 2
X- L /-1 A/_
2
XQ /o A/_, A
2
/-2
X, /l 4/0 A
2
/-! A
3
/-2
*2 /2 4fi A
2
/o A
3
/-! A
4
/-2
4y_
dx.

Aj’ = *Ê
i=l
(ỉ'=l,n)
‘0X
X
;
a*
{
ĩ
j=i
X,
i=
1

Mỗi số ở cột sau từ cột thứ 3 trở đi là hiệu số của 2
dòng trên và dưói liền kề của cột liền trước. Ta có:
к
i=0
Các tửứi chất của sai phân:
A‘[/±*] = A‘[/]±A‘[*]
A

k

[Ẫf(x)] = ẢA

k

[f(x)]
A

" [Pn (■*)] =
C0nsí
ỉ
дт
[^nW] = °5
với m
>
n; p(n)

là đa thức cấp n

của X.
1.2.2. Một số công thức nội suy sử dụng sai phân
Giả sử hàm Y

= F (X)

dưới dạng bảng Y .

=

/(*,) tại các
mốc X

Í

cách đều, X

I + 1

- XỊ =H =

consí; 0' > 0).
Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự:
X

0

<X

1

< < X

N



Ta tìm đa thức nội
suy dưới dạng:
Р(л) = а
0
+ а
1
(л-л
0
) + а
2
(л-л
0

)(л-
л
1
) + + а
п
Cho X = x
0

ta được X = x
n

=>
a
0
= y
n
Đặt X = Xj => fl, =
‘ ' iltí
X__ỵ,
Đổi biến T =

——, X = X

0

+T H ,T Ã .

có:
h
Đa thức nội suy Newton lùi tìm

dưới dạng:
r, 14 t К tit-1) Л2 t(t
f( x
o
+th) -y
0
+—Ay
0
+ — А Уо +••• +
—
» ( « -

1) . . ( « -

в +

1)

д
.
+
п\
Đây là công thức nội suy Newton tiến.
Mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự X

N

>

JC„_! > > Jt

0
P(x) = a

ũ

+ a

ì

{x-x

n

) + a

2

{x-x

n

){x- x

n

_

ỉ

)

+ + a
n
{x-
x
n
)(x-x
n
_
ỉ
) {x-x
l
) Cho x = x
n
^>a
0
= y
n
X = *„_! => a
0
+
a
i(~
h
) = y
n
-1 => «1 =
A
ị
=L

h
Tổng quát: đăt Jt = JC; => ữ; = ^ ^

N

7

L

, (ỉ = 0,n)
ỉ\h
Như vậy công thức nội suy Newton lùi có dạng:
,, t. t(t +1) .2t(t
+ ì) (t+
n-ì)
f (x„ + th) - y
n
+ 7-Ay ! + ^ Ay„_2+ +
A y
0
+ +
1! 2! n!
+ f^Ệh’M + ĩ)-(l + n)
(n + 1)!
1.3. Không gian Banach.
Định nghĩa 1.3.1: (không gian định chuẩn)
Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường p (p = R
hoặc p = c ) cùng với một ánh xạ X -» R được gọi là chuẩn và
kí hiệu là II. II thỏa mãn các tiên đề sau:

1)
V x
e X, 11*11 > 0, ||jc|| = 0 <=>
X = 6
;
2) Vxe X, Vas p, ||ûrjc|| = |ûr|||jc||;
3) Vjc, Y G

X, ||jt+ Y \ \ <

1*1 + 1 Y \ \-
Số IIjc|| gọi là chuẩn của vectơ X.

Ta cũng kí hiệu không gian
đinh chuẩn là X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.3.2: (sự hội tụ trong không gian định chuẩn)
Dãy điểm {X

N

}

trong không gian đinh chuẩn X được gọi
là hội tụ tới điểm X E

X nếu lim||jc
n
- jc|| = 0. Kí hiệu: \IM X

N

=
X

hay X

N

n -» oo.
ĩl—>°°
1
' n—>°°
Định nghĩa 1.3.3: (dãy cơ bản)
Dãy điểm {jc
n
} trong không gian định chuẩn X được gọi
là dãy cơ bản nếu lim ||jc„ - X

M

II = 0.
n m
n,w—>oo
Định nghĩa 1.3.4: (không gian Banach)
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.4. Toán tử tuyến tính.
Cho X, Y

là hai không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.4.1: (toán tử tuyến tính)
Một toán tử А: X

—> Y

gọi là một toán tử tuyến tính nếu
thỏa mãn các điều kiện sau:
1) У Х ,

Y E X,

А(дг + y) = A(;t) + A(y);
2) У Х Е

X, Va, А{A X ) =

flA(jc).
Ở đây để cho gọn ta viết A* thay cho A(*). Nếu X = Y

ta nói
A là toán tử trong X.
Kí hiệu Im A là miền giá tn của toán tử A, ta có:
Im A = {jg Y

/ У

=

A*,Vjte X}
Định nghĩa 1.42 : (toán tử liên tục)

Giả sử X, Y

là hai không gian đinh chuẩn. Toán tử А: X


—» Y

gọi là liên tục tại X

0

€ X nếu:
v{x
n
} <z X, X

N

—> X

0

(N —>

°o) thì A X

N

—>

Ax
0
(n —» °°)
Toán tử A gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc X.
Định nghĩa 1.4.3: ị toán tử bị chặn)
Toán tử A : X

—» Y

gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số
к > 0 sao
cho:
||Ajc||
^&||*||, Vjcs X Định nghĩa 1.4.4:
(toán tử ngược)
Toán tử A gọi là có toán tử ngược о ЛГег(А) = {0},

tức
là phương trình Ax = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất X -

В

.
Kí hiệu: A“
1
.
Nhận xét: A“
1
là toán tử tuyến tính từ Im A lên X và:

1)


УХ Е

X, А
-1
Ал; = X
2)


VY E

Im A, AA
-1
y = У
Định nghĩa 1.4.5: ị chuẩn của toán tử)
Số к nhỏ nhất trong định nghĩa toán tử bị chặn gọi là
chuẩn của toán
tử A.
Kí hiệu: IA||. Như vậy:
1) Vjce X, ||Ax|| < ||A||.||JC||
2) У х

e X, IAjc|| < к

||jc|| thì IIA|| < к

.
Định lí 1.4.1:

Cho X,Y

là hai không gian đinh chuẩn. Toán tử tuyến tính
A:
X —» Y

.

Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại л
0
€ X ;
3) A bị chặn.
Chứng minh:
1) => 2): Giả sử toán tử A liên tục. Theo đinh nghĩa, toán
tử A liên tục tại mỗi điểm X

e X, do đó A liên tục tại
mỗi điểm л;
0
e X.
2) => 3): Giả sử toán tử A liên tục tại điểm Jt
0
e X,
nhưng toán tử A không bị chặn.
=> Y

N

+ X

0

-» X

0

( N

-> 00). Theo giả thiết ta có:
|
A
(y»+-*o)-
A
*o|-
>0
(»-»°°)
=>||Ạy
B
||—»0 (N

—> °o)
1
AX

N

I > 1. Điều này mâu ứiuẫn
với chứng

n\\x.
minh trên. Vì vậy toán tử A liên tục tại x
0
thì A bị chặn.
3) => 1): Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa tồn tại k
> 0 sao cho
|AJC|<|A||.|JC|<|A|.
Lấy một điểm bất kì X e X và dãy điểm tùy ý {X

n
} c X hội tụ
tới X. Ta có:
\\ AX

N

-

Ax|| = |A(jt
n

-JC)||
<Ả:||jc
n
— Jt|| —»0 (n —»00)
Do đó A liên tục tại X.

Do tính chất bất kì của xe X nên A
liên tục trên X. ĐỊN H L Í 1.4 .2:
Cho A: X

—» Y

là toán tử tuyến tính. Nếu toán
tử A bị chặn thì:
Định lí 1.4.3:
Toán tử tuyến tính A: X

—» Y

có toán tử ngược A“
1
liên
tục o tồn tại hằng số A

> 0 sao cho:
||Ajc||>ar|bc|L VxeX (1-7)
Khi đó:
Nhưng Ạyl =
n\\x.
|A| = sup||Ajc||
IX |<1
|A| = sup||Ajc||
II *
1-1
(1.5)
(1.6)
hay
sỉ
a

CH Ứ N G M I NH

: Trước hết ta chúng minh toán tử ngược A“
1
của
toán tử tuyến tính A là toán tử tuyến tính.
Thật vậy, lấy hai phần tử Y

V

Y

2

E

Y

và hai số tùy ý a, b.
Khi đó 3X

1

,X

2

e X sao cho = Ajtp Y

2

= AX

2

.

Do đó:
A{ax
l
+ bx
2
) = aAx
1
+ bAx
2
=
ay
1
+ by
2
=> A
_1
(ajj + by
2
) = aXj
+ bx
2
= aA~
l

y
1
+ bẢ~
l
y
2
Điều kiện cẩn:
Giả sử toán tử tuyến tính A có toán tử ngược A“
1
liên
tục.
Theo
chứng minh trên, A“
1
là toán tử tuyến lính. Do đó theo đinh lí
1.4.1: A“
1
bị chặn.
Suy ra tồn tại hằng số с > 0 sao cho: A
_1
;y < c||y||, Vy e Y

.
Nên: c||Ajc||> A.
-1
(Ajc)|| = ||jc||
=> ||Ajc|| > — ||jc||, v*€ X. С
Đặt A

= -

ta nhận được (1.7).
с
Điều kiện đủ:
Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn điều kiện (1.7). Khi đó
УХ ^, Х

2

e X; XỊ

Ф

X

2

ta có:
йгЦх, —x
2
II < ||а(л^
_
*
2
)|
=
1^*1 “-^2II ^ ^ AXỉ
Do đó A có toán tử ngược A“
1
. Theo chứng minh trên, toán tử

A“
1
tuyến tính nên Vy € Y

ta có:
a(a
l

y}ị >

a A

l

y => A

l

y
Suy ra A
1
là toán tử tuyến tính bị chặn.
a
Vậy A liên tục và
<— => Đpcm.
a
1.5. Đạo hàm Fre'chet.
Cho X, Y là hai không gian định chuẩn; F \X X

0

E X;

H E
X . ĐỊ NH N G H Ĩ A 1.5.1:
Toán tử / khả vi theo nghĩa Fre’chet tại X

Q

nếu tồn tại một
ánh xạ
tuyến tính liên tục A ( X

0

) : X

—» y sao cho
/(х

0

+к)-/(х

0

) = А(х

0

)[к] + Ф(х

0

,к),

trong đó lim =
A(jc
0
) [ H ]

gọi là vi phân Fre’chet của toán tử / tại Jt
0
, kí hiệu
là
df{x

0

,h) = A(x

0

)[h].
Toán tử А(*
0
) : X

—Ỳ

Y

xác định bỏi H

А(*
0
)[/г] gọi là
đạo hàm Fre’chet của toán tử / tại X

0

,

kí hiệu / '(jt
0
) = A(jc
0
) .
Vậy df(x

0

,h) = f'(x

0

)[h].
Định lí 1.5.1:
Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở rộng
của một không gian Banach là khả vi Fre’chet tại một điểm thì

nó liên tục tại điểm đó.
CH Ứ N G M I N H :

Cho A là một tập mở trong không gian Banach
X. Toán tử / : X — >Y.

Lấy X E

A

và £

>0 thỏa mãn X + H E A,
||/i|| < £

thì:
|/(jc + â)-/(x
0
)| = ||А/1 + Ф(д:,Л)|| —>0 khi ||/ỉ||—>0
Suy ra / liên tục tại X

.
=> Đpcm.
Định lí 1.5.2: (tính duy nhất của đạo hàm Fre'chet):
Đạo hàm của một toán tử nếu có là duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử А, В là hai toán tử tuyến tính liên tục, cùng là đạo
hàm của toán tử / : X

-» Y

tại X, nghĩa là:
VheX:f(x + h)-f{x) =
A(x)[h]

+ <í>
A
{x,h) f(x +
h)-f(x) = B(x)[h] +
®

B

(x,h)
_ A(/i)-B(/i) _ {

X



0 ’h)-®

B

(x

0

,h)

)0 ldìi
0
ịhị ịhị
11 11
Nhưng V£ e X,

Vf > 0 ta có: — II II = —-—Ị

—7-^ —- —>

0
\\k\\ ||£fc||
Khi £— >0

thì E K — >

0 nên vế phải dần tói 0. Suy ra A(K ) =
B(K),

v&e X
hay A = B => Đpcm.
Định lí 1.5.3:
Cho X, Y là những không gian Banach thực. Nếu G :
X

-> Y

là khả vi Fre’chet tại Jtex và /:y—»z khả vi Fre’chet
tại y = g(jt) ứù í> = /

0
g khả vi Fre’chet tại X

và <ĩ>'(A:)
= /
l
[g(A:)].g'(^)
Chứng minh: \/x, h e X ta có:
<D (X + H ) -

<D (*) = / [G ( X +

/ĩ)] - / [g (*)]
= F [ G { X + H )- G { X ) + G ( X Ỹ \- F[G(X )] =
F ( D + Y ) -F (Y )

Trong đó D = G (X + H )~ G ( X ).

Do đó ||
<I>(;t + /ỉ)-<ĩ>(;t)-/'(;y)<i|| = 0(||đ||), trong biểu diễn của IID
- G

= 0(||/i||) suy ra
\\<Ị>{x + h) - <ĩ>(*) -/■'()>).§ '{x).h\\ = 0(M) + 0(14)
Khi đó g liên tục tại X

, theo định lí 1.5.1 ta có
=> Đpcm.
1.6.Một số khái niệm về phương trình vỉ phân thường.
* Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo

hàm của nó.
Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến số độc lập
ta có phương trình vi phân thường.
* Phương trình vi phân thường cấp n là một hệ thức có dạng:
F[ X ,

yCO, Y ' (X ),

/
n)
(;t;)) = 0
trong đó X là biến số độc lập, y là hàm cần tìm.
* Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cấp cao nhất
có mặt trong phương trình. Xét phương trình vi phân
cấp n khi đạo hàm cấp cao nhất /
n)
biểu diễn dưới dạng:
y
M
=f(x,y,y \ y-
1
»)
* Bài toán Cauchy đối vói phương trình (1.9) là tìm hàm
Y

= Y (X )

thỏa mãn phương trình (1.9) và điều kiện ban
đẩu
y(*o) = y

0
> y'(xo) = y'o> ■■■’ y
(n
~
1}
(xo) = y
0
{n
~
l)
trong đó JC
0
, y
0
, Y

0
là những số cho trước.
* Hàm Y = <P ( X )

được gọi là nghiệm của phương trình
(1.9) nếu thay Y = Ẹ {X ) , Y ' = Ẹ \X),

J
(n)
= ộ?
(n)
(x) vào
(1.9) ta được đồng nhất thức.
* Hàm Y = Ọ (X ,C ),

(ce R) có đạo hàm riêng ứieo biến X
đến cấp n gọi là nghiệm tổng quát của phương trình
(1.9) nếu: V(jc,y)eD (D

là miền xác đinh của phương
trình) ta có thể giải ra đối với C , C = Ự ( X ,Y).

Hàm )>
= <P (X ,C )

thỏa mãn (1.9) khi (jc, j) chạy khắp D

,Vce
R.
* Xét bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp
một:
y' = f{x,y),y(x

0

) = y

ữ

Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm:
Nếu hàm F ( X,

_y) thỏa mãn điều kiện Lípschitz theo biến
y:

\f(x, y

1

)-f(x,y

2

)\<N\y

ỉ

-y

2

\,N =

consí
trong hình chữ nhật D, D

={(;c,;y)e M
2
: |jc-jc
0
| < A,

|y-y
0
| thì

dãy hàm (y„(*)) hội tụ tới nghiệm y(jt) của phương trình (1.11)
trên đoạn [X ;X + H ], H >0

là một số dương nào đó và hàm y
0
(jt) tùy ý cho trước.
Sai số giữa Y

N

(X )

và y(jt) được đánh giá bỏi công thức sau:
( — ì"
+1
e.=\y.(*>-yU)\<MN"
(x x

°

,
n +1
ừong đó M

= M A X

IF ( X ,Y )\ ,H =

min(A

,—).
(x,y)zD M
Kết luận:
Trong chương này đã trình bày một số định nghĩa, định lí,
tính chất cơ bản của sai số, công thức nội suy bằng sai phân,
không gian Banach, toán tử tuyến tính, đạo hàm Fre’chet và
một số khái niệm về phương trình vi phân thường. Đây là
chương rất cần thiết nhằm hỗ trợ, bổ sung những kiến thức cơ
bản phục vụ cho nội dung hai chương sau. Nội dung chương
hai sẽ trình bày về phương pháp Runge - Kutta giải gẩn đúng
phương trình vi phân thường và một số bài tập áp dụng của
phương pháp này.