Phương trình elliptic đa kích thước

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆●

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖

◆●➷ ❚❍❆◆❍ ❱Ơ

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❊▲▲■P❚■❈
✣❆ ❑➑❈❍ ❚❍×❰❈
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒

✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ◆➠♠ ✷✵✷✶


✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆●

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕

◆●➷ ❚❍❆◆❍ ❱Ơ

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❊▲▲■P❚■❈
✣❆ ❑➑❈❍ ❚❍×❰❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✽✳✹✻✳✵✶✳✵✷
▲❯❾◆

ữớ ữợ ồ ❚■➏P

✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ◆➠♠ ✷✵✷✶

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ổ tr ự ừ tổ ữợ
sỹ ữợ trỹ t✐➳♣ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ ❚❙✳ ❈❤û ❱➠♥ ❚✐➺♣✳ ◆❤ú♥❣ ❦❤→✐
♥✐➺♠ ✈➔ sè ❧✐➺✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❤đ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❦❤♦❛ ❤å❝
✤→♥❣ t✐♥ ❝➟②✱ ✈➔ ✤÷đ❝ ❝❤➾ ró ỗ ố tr õ õ ừ tổ
tờ ❤ñ♣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ❧➔♠ rã ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➔ ❝❤✐ t✐➳t ❤â❛ ❝→❝ ✈➼ ❞ư✳ ❚ỉ✐
①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❚→❝ ❣✐↔

◆❣ỉ ❚❤❛♥❤ ❱ơ

✐


INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS
Name of thesis: DIFFERENTIAL EQUATIONS IN MATHEMATICAL MODELLING
Major: Mathematical Analysis
Full name of Master student: NGO THANH VU
Supervisor: PhD. CHU VAN TIEP
Training institution: Faculty of Math, The University of Danang, University of Science and
Education.
Abstract
* The main results of the thesis:
After a while researching the topic: Multidimensional Elliptic Equations, we have
achieved the following results:
Many important problems in materials science are multi-dimensional problems.
Finding numerical solutions for these problems by traditional methods such as finite element
method, finite difference method, finite volume method, etc. often leads to discrete problems
with very large sizes and therefore very difficult to solve. An alternative approach is to study

their homogeneous equations and the relationship between the solution of a multidimensional problem and its homogeneity problem. From this, we solve the number of
homogeneous equations and get an approximate solution of the multidimensional equation.
* The scientific and practical significance of the topic:
The thesis studies multi-dimensional equations and their homogenous equations have
both theoretical and practical significance.
The topic is valuable in terms of theory and application. Thesis can be used as
reference for math students and other interested parties.
* The next research direction of the topic:
In the future, I will learn more about using the method of variation in finding solutions
of multi-dimensional elliptic equations.
* Keywords: method of variation, multi-dimensional elliptic
Supervisor’s confirmation

Student


TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ
Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC ĐA KÍCH THƯỚC.
Ngành: Tốn Giải tích
Họ và tên học viên: NGÔ THANH VŨ
Người hướng dẫn khoa học: TS. CHỬ VĂN TIỆP
Cơ sở đào tạo: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng.
Tóm tắt
* Những kết quả chính của luận văn:
Sau một thời gian nghiên cứu đề tài: Phương trình Elliptic đa kích thước, đã đạt được
những kết quả sau:
Nhiều bài toán quan trọng trong khoa học vật liệu là các bài tốn đa kích thước. Việc
tìm nghiệm số cho những bài tốn này theo các phương pháp truyền thống như phương pháp
phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp thể tích hữu hạn, … thường
dẫn đến các bài tốn rời rạc với kích thước rất lớn và vì thế rất khó để giải. Một cách tiếp cận

thay thể là nghiên cứu phương trình thuần nhất của chúng và mối quan hệ giữa nghiệm của
bài tốn đa kích thước và bài tốn thuần nhất của nó. Từ đó, chúng ta giải số phương trình
thuần nhất và nhận được nghiệm xấp xỉ của phương trình đa kích thước
* Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Luận văn nghiên cứu phương trình đa kích thước và phương trình thuần nhất của
chúng có ý nghĩa cả về lí thuyết và thực tiễn.
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng. Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu
tham khảo cho sinh viên ngành Toán và những đối tượng quan tâm.
* Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài:
Trong thời gian đến, tơi sẽ tìm hiểu sâu hơn về sử dụng phương pháp biến phân trong
việc tìm nghiệm của phương trình elliptic đa kích thước
* Từ khóa: phương pháp biến phân , elliptic đa kích thước
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

Người thực hiện đề tài


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲í✐ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❡♠ ①✐♥ ỷ ớ ỡ s s tợ t
ữợ ỷ t t ữợ tr♦♥❣ s✉èt q✉→
tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❊♠ ❝ơ♥❣
①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ♥❤➜t ✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t➟♥
t➻♥❤ ❞↕② ❜↔♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ồ t ừ õ ồ ỗ tớ
ụ ỷ ớ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❑✸✼ ✤➣
♥❤✐➺t t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❧ỵ♣✳
❚→❝ ❣✐↔

◆❣ỉ ❚❤❛♥❤ ❱ơ

✐✐

ử ử
ử ử
tự


ỵ t❤ù❝ ♣❤ư trđ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶
✺
✺

✶✳✶✳✶

▼ët sè ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✷

❍ë✐ tö ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳





ỵ r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷

▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✸

P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t



t õ ữỡ tr t


ợ t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼
✶✼

✷✳✶✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t→❝❤ ❜✐➳♥ ❋♦✉r✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✷✳✶✳✷

◆❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tr➯♥ ❤➻♥❤ trá♥ ✤ì♥ ✈à ✷✸

✷✳✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✸

◆❣❤✐➺♠ ②➳✉ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✷✼

✷✳✹

✷✺

✷✳✸✳✶

✣➦t ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✸✳✷

❈→❝ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr ổ rt





ỵ r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✸✳✹

❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❙ì ❧÷đ❝ ✈➲ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ✳ ✳

✸✻

✷✳✹✳✶

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t✐➺♠ ❝➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✷✳✹✳✷

❍ë✐ tö ✧t✇♦✲s❝❛❧❡✧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✷✳✹✳✸

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❤❛✐ tữợ

t t tữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳







ở tử tữợ



✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳



ỵ ồ t

ớ ổ ❤â❛✱ ①➣ ❤ë✐ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ 4.0✱ ❝→❝ ❧♦↕✐
✈➟t ❧✐➺✉ tê♥❣ ❤đ♣ ♥❤÷ ✭❣é ❝ỉ♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ sđ✐ q✉❛♥❣ ❤å❝✱ sđ✐ ❝❛r❜♦♥✱ ①÷ð♥❣
♥❤➙♥ t↕♦✳✈✳✈✳✳✳✮ ✤â♥❣ ♠ët ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝
❦ÿ t❤✉➟t ♥❤÷ ❝ì ❤å❝✱ ✈➟t ỵ õ ồ s ồ r t tờ
ủ ỳ t t t ỵ ổ tử ✤ë♥❣ ❣✐ú❛ ❝→❝ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝➜✉ t↕♦ ♥➯♥ ✈➟t õ t ữủ
trở ợ ♥❤❛✉✱ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➔② ❞❛♦ ✤ë♥❣ r➜t ♥❤❛♥❤ ❞➝♥ tỵ✐ ❝→❝ ❝➜✉
tró❝ ✈✐ ♠ỉ ❝õ❛ ♥â trð ❧➯♥ r➜t ♣❤ù❝ t↕♣✳

❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ✈➟t ❧✐➺✉ tê♥❣ ❤đ♣ ♥➯✉ tr➯♥ ❞➝♥
✤➳♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ r ử tở
tữợ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣
❧♦↕✐ ♥➔② r➜t ♣❤ù❝ t↕♣ ✈➻ ❤➺ sè ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❞❛♦ ✤ë♥❣ r➜t ♥❤❛♥❤✳
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝→❝❤ ✤➸ ❦❤➢❝ ♣❤ö❝ ❦❤â õ ũ ỵ tt
t t õ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➽ ♠æ ❝õ❛ ✈➟t ❧✐➺✉ t❤æ♥❣
q✉❛ ❝→❝ ❝➜✉ tró❝ ✈✐ ♠ỉ ✤â✳ ❱➲ ♠➦t t♦→♥ ❤å❝✱ ỵ tt t t õ
ự ợ ừ ởt ❞➣② ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❦❤✐
♠ët t❤❛♠ sè ❞➝♥ tỵ✐ 0✳ ❚❤❛♠ sè ♥➔② ❧➔ t➾ sè ỳ tữợ ổ ừ
t t t tữợ ổ ừ t ❜ë
❦❤è✐ ✈➟t ❧✐➺✉✳
❚r♦♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ỉ t↔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✈➟t ❧✐➺✉ tê♥❣ ❤đ♣✱
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❧➔ ♠ët tr ỳ ữỡ tr ỡ q
trồ ừ ỵ tt ữỡ tr r t ỵ t♦→♥✳
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝â ù♥❣ ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❝õ❛ t♦→♥
❤å❝ tø ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✤➳♥ ồ ụ ữ rt ự ử tr
t ỵ
✈➻ ✈➟②✱ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t ự


Pữỡ tr t tữợ



→0

uε (x)

u0 (x)

−∇ · (aε (x)∇uε (x)) = f (x)

− ∇ · (a0 (x)∇u0 (x)) = f (x)

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❼ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♥❣❤✐➺♠ ❝ê ✤✐➸♥ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ②➳✉ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡
✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Pss
ở tử tữợ ở tử tữợ
sỹ t t õ ữỡ tr t tữợ

Pữỡ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❼ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t ỗ t
ợ
ờ ủ t tữớ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ✤➲
t➔✐✳
❼ ❚r❛♦ ✤ê✐✱ t❤↔♦ ợ ở ữợ t tt ❧➟♣ ❝→❝
❦➳t q✉↔ tèt ❤ì♥✳

✹✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥
▲✉➟♥ ✈➠♥ ỗ ữỡ

ữỡ tr tự ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳
❼ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝
✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t✳
✹


ữỡ
tự
ỵ tự ♣❤ư trđ

P❤➛♥ ♥➔② ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ♠ët sè ổ ỵ
ừ t ữủ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣
❝â ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤✐ t✐➳t ❝â t❤➸ ①❡♠ t❤➯♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ s❛✉ ❬✺✱ ✶✵❪✳

✶✳✶✳✶

▼ët sè ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② t❛ ①➨t ♠✐➲♥ D ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ổ
Rn õ t ỵ ❤✐➺✉ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿

❼ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝✿
✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

C(D) = {u : D → R, u ❧✐➯♥ tư❝}
∥u∥C(D) = sup |u(x)|.
x∈D

❼ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

L∞ (D) = {u | u : D → R ✤♦ ữủ s, uL (D) < }

ợ

uL (D) = ess sup |u(x)| :=
x∈D

inf

sup |u(x)|

m(D)=0 x∈D\D

tr♦♥❣ ✤â “m(D) = 0” ❝â D t ữủ s ợ ở
0✳
✺


❼ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ t❤û

D(D) := C0∞ (D) =
{u | u : D → R, suppu ❝♦♠♣❛❝t, u ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♠å✐ ❝➜♣ },

tr♦♥❣ ✤â

suppu := {x : x ∈ D, u(x) ̸= 0}.

❼ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝→❝ ❤➔♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤↔ t➼❝❤✿

L2 (D) = {u | u : D → R,

D

|u(x)|2 dx < ∞}

✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

1/2
2

∥u∥L2 (D) =

D

|u(x)| dx

.

❼ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝→❝ ❤➔♠ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤↔ t➼❝❤ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ✈❡❝
tì✳
n
L2 (D) = {u | u : D → Rn ,
|u(x)|2 dx < ∞}
D

✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

1/2
2

∥u∥(L2 (D))n =

D

|u(x)| dx

tr♦♥❣ ✤â |z| ❧➔ ❝❤✉➞♥ ❊✉❝❧✐❞✿

1/2

n

|(z1 , . . . , zd )| =

|zi |2

i=1

.

d

❼ H 1 (D) = {u | u ∈ L2 (D), ∇u ∈ L2 (D) } ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

∥u∥H 1 (D) = ∥u∥2L2 (D) + ∥∇u∥2(L2 (D))d

1/2

.

❼ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ H01 (D) ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ C0∞ (D) tr♦♥❣ H 1 (D)✿
∥·∥H 1 (D)

H01 (D) = C0∞ (D)

.

❑❤✐ ❜✐➯♥ ∂D ✤õ trì♥✱ ♠ët ❤➔♠ t❤✉ë❝ H01 (D) s➩ tr✐➺t t✐➯✉ tr➯♥ ❜✐➯♥
t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ✈➳t✿

H01 (D) = {u | u ∈ H 1 (D), ✈➳t u = 0}.
✻


❼ H −1 (D) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ H01 (D) tù❝ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛
❝→❝ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ H01 (D)✱ tr♦♥❣ ✤â ✤è✐ ♥❣➝✉
✤÷đ❝ ỵ Ã, ÃH 1 (D),H01 (D) ợ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿

∥f ∥H −1 (D) =

| ⟨f, uH 1 (D),H01 (D) |

sup

uH01 (D)

uH01 (D)\{0}

.

ỵ # sü t✉➛♥ ❤♦➔♥ ✈ỵ✐ ❝❤✉ ❦ý Y = (0, 1)d ✳

❼ C# (Y ) = {u | u : Y → R, u ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t✉➛♥ ❤♦➔♥ t❤❡♦ ❝❤✉ ❦ý Y }
✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

∥u∥C# (Y ) = sup |u(y)|.
y∈Y

❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tữớ ữủ ỗ t ợ ổ

❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Rd ✱ t✉➛♥ ❤♦➔♥ t❤❡♦ ❝❤✉ ❦ý Y ✳

❼ L∞
# (Y ) = {u | u : Y → R, u ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ t✉➛♥ ❤♦➔♥ ✈ỵ✐ ❝❤✉ ❦ý Y, ∥u∥L∞ (Y ) <
∞} ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥

∥u∥L∞ (Y ) = ess sup |u(y)|.
y∈Y

1
(Y ) = {u | u ∈ H 1 (Y ), u t✉➛♥ ❤♦➔♥ t❤❡♦ ❝❤✉ ❦ý Y } ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥
❼ H#

∥u∥H#1 (Y ) = ∥u∥2L2 (Y ) + ∥∇u∥2(L2 (Y ))d

1/2

.

1
(Y )/R ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ổ ợ
ổ tữỡ H#
1
tữỡ ữỡ tr H# (Y ) ợ q tữỡ ữỡ ữ s❛✉✿
1
u ∼ v ⇔ u − v ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè , ∀u, v ∈ H#
(Y ).

❼ L2 (D × Y ) = L2 (D; L2 (Y ))

= {u | u : D → L2 (Y ),

D

∥u(x, ·)∥2L2 (Y ) dx < } ợ
1/2

uL2 (DìY ) =

D

u(x, Ã)2L2 (Y ) dx

.

∞
❼ D(D; C#
(Y )) =
∞
④✉ ⑤ ✉✿ ❉ → C#
(Y ), supp u ❝♦♠♣❛❝t, u ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♠å✐ ❝➜♣}.

✼


❼ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈
1
1
L2 (D; H#
(Y )) = {u | u : D → H#

(Y ),

D

∥u(x, ·)∥2H 1 (Y ) dx < ∞}

✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥
1/2

∥u∥L2 (D;H#1 (Y )) =

✶✳✶✳✷

D

∥u(x, ·)∥2H 1 (Y ) dx

.

❍ë✐ tö ②➳✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤′ t❤ü❝✱ X ′ ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ X ✈➔ ⟨·, ·⟩ ❧➔ ❝➦♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ tr➯♥ X × X ✳ ❚❛ ♥â✐ ❞➣②
{xn } tr♦♥❣ X ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ x ∈ X ✈➔ t❛ ỵ

xn x tr X
x , xn ⟩ → ⟨x′ , x⟩ ✈ỵ✐ ♠å✐ x′ ∈ X .

ỵ X ởt ổ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ tù❝ ❧➔ (X ′)′ =

X ✈➔ {xn } ❧➔ ♠ët ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ X ✱ tù❝ tỗ t ởt số K > 0 s
xn X K õ tỗ t x X ✈➔ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ {xnk } ❝õ❛ {xn }
s❛♦ ❝❤♦ {xnk } ⇀ x tr♦♥❣ X ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
t❤ü❝✱ X ′ ❧➔ ❦❤æ♥❣
′
′
❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ X ✳ ❚❛ ♥â✐ ❞➣② {xn } tr♦♥❣ X ❤ë✐ tö ✯②➳✉ ✤➳♥ x ∈ X
✈➔ t ỵ
xn x tr X

⟨xn , y⟩ → ⟨x, y⟩ ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ X.

ỵ X ởt ổ t→❝❤ ✤÷đ❝✳ ◆➳✉ ❞➣②
{xn } ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ X t❤➻

✭❛✮ {xn } ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ✯②➳✉✳
✭❜✮ ◆➳✉ ♠å✐ ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ✯②➳✉ ❝õ❛ {xn } ✤➲✉ ❝â ❝ị♥❣ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✯②➳✉
t❤➻ xn ⇀ x ✯②➳✉✳

✽




ỵ r

V ởt ổ rt ợ ❝❤✉➞♥ ∥v∥V ✱ ✈➔ V ′ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ V ✈ỵ✐ ❝➦♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ⟨·, ·⟩✳ ▼ët →♥❤ a(u, v) : V ì V R

ữủ ồ ❧➔ ❞↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ♥â t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤❡♦ tø♥❣ ❜✐➳♥✳ ❉↕♥❣
s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ a(u, v) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tử tỗ t số
C > 0 s❛♦ ❝❤♦

|a(u, v)| ≤ C∥u∥V ∥v∥V , ∀u, v ∈ V.
❉↕♥❣ s♦♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ a(u, v) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ự r tỗ t
ởt số > 0 s

|a(u, u)| u2V , u V.

ỵ ỵ r a(u, v) ởt s♦♥❣
t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜ù❝ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ f ∈ V ✱ ❜➔✐ t♦→♥

a(u, v) = ⟨f, v⟩, ∀v ∈ V
❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳❡♠

ỵ 1
A ởt trữớ tr tr♦♥❣ 1M (α, β, Ω)✳ ❱ỵ✐ ❜➜t
❦ý f ∈ H

(Ω)✱ tỗ t ởt t u H0 () ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

❚➻♠ uε ∈ H01 (Ω) s❛♦ ❝❤♦


Ω

A∇u∇vdx = ⟨f, v⟩H −1 (Ω),H01 (Ω) , ∀v ∈ H01 (Ω)

❍ì♥ ♥ú❛✱ u t❤ä❛ ♠➣♥

||u||H01 (Ω) ≤

1
||f ||H −1 (Ω) ,
α

❦❤✐ ||u||H01 (Ω) ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

||u||H01 (Ω) = ||∇u||L2 (Ω)
◆➳✉ f ∈ L2 (Ω) t❤➻

||u||H01 (Ω) ≤

CΩ
||f ||L2 (Ω) ,
α

❦❤✐ CΩ ❧➔ ❤➡♥❣ sè P♦✐♥❝❛r➨✳
✾


ự

ỵ
1 p +∞✳ ❑❤✐ ✤â D(O) trị ♠➟t tr♦♥❣ Lp (O)
n
✈ỵ✐ O R

ự

ỵ t t❤ù❝ ❨♦✉♥❣✮ ❈❤♦ p, q t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
p > 1; q > 1,

1 1
+ =1
p q

❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♠å✐ a, b ❞÷ì♥❣✱ t❛ ✤➲✉ ❝â

1
1
ab ≤ ap + bq .
p
q
ự

ỵ ồ ởt t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ Rn ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ {λn}
❧➔ ❞➣② ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

∆w = λw tr♦♥❣ Ω,
w
= 0 tr➯♥ ∂Ω.
0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ ... → +∞,

tr♦♥❣ ✤â ♠é✐ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ✤÷đ❝ ❧➦♣ ❧↕✐ ♥❤✐➲✉ ❧➛♥ ♥❤÷ t❤ù ♥❣✉②➯♥ ❝õ❛
❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ◆➳✉ {wn } ❧➔ ♠ët ❞➣② ✈❡❝tì r✐➯♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣
t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ❤➺ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ tr♦♥❣ L2 (Ω)✱ t❤➻ {wn } ❧➔ ♠ët ❝ì
sð trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ H01 (Ω).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳❡♠ ❬✽❪

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✳ ✭✶✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ W, W1 ✈➔ W2 ❧➔ ❦❤æ♥❣
ợ ừ ỗ t ữủ tữỡ ù♥❣✱ ❜ð✐

||v||W = ||v||L2 (0,T ;H01 (Ω)) + ||v ′ ||L2 (0,T ;H −1 (Ω)) ,
||v||W1 = ||v||L2 (0,T ;H01 (Ω)) + ||v ′ ||L2 (0,T ;H −1 (Ω)) ,
||v||W2 = ||v||L2 (0,T ;H01 (Ω)) + ||v ′ ||L2 (0,T ;H −1 (Ω))

✭✷✮ ❈→❝ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ s❛✉ ❧✐➯♥ tö❝✿

W ⊂ C 0 ([0, T ], L2 (Ω)),
✶✵


W1 ⊂ C 0 ([0, T ], H −1 (Ω)).

✭✸✮ ❈→❝ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ s❛✉ ❝♦♠♣❛❝t✿

W ⊂ L2 (0, T ; L2 (Ω)),
W1 ⊂ L2 (0, T ; H −1 (Ω)).

✭✹✮ ❈❤♦ ✉ ✈➔ ✈ tr♦♥❣ W ✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ s❛✉ ❝è ✤à♥❤✿

d
dt

Ω

u(x, t)v(x, t)dx = ⟨u′ (·, t), v(·, t)⟩H −1 (Ω),H01 (Ω)

✭✶✳✶✮

+ ⟨v ′ (·, t), u(·, t)⟩H −1 (Ω),H01 (Ω)

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✳ ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤



W

=

2
−1
v|v ∈ L2 (a, b; H01 (Ω)), ∂v
∂t ∈ L (a, b; H (Ω)) ,



W1

=

2
−1
v|v ∈ L2 (a, b; L2 (Ω)), ∂v
∂t ∈ L (a, b; H (Ω)) ,

ũ ợ ừ ỗ t õ t ❝❤➜t s❛✉ ✤➙② ✤ó♥❣✿

✐✮ ❈→❝ ✤ì♥ →♥❤ W ⊂ L2 (a, b; L2 (Ω)), W1 ⊂ L2 (a, b; H −1 (Ω)) ❝♦♠✲
♣❛❝t✱
✐✐✮ ❚❛ ❝â ❝→❝ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝

W ⊂ C([a, b]; L2 (Ω)), W1 ⊂ C([a, b]; H −1 (Ω))
✈ỵ✐ X = L2 (Ω) ❤♦➦❝ X = H −1 (Ω)✱ ❦➼ ❤✐➺✉ C([a, b]; X) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ữủ tr ì [a, b] s u(Ã, t) ∈ X ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý t ∈ [a, b] ✈➔
s❛♦ ❝❤♦ →♥❤ ①↕ t ∈ [a, b] → u(·, t) ∈ X ❧✐➯♥ tư❝✱
✐✐✐✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ u, v ∈ W t❛ ❝â

d
dt

Ω

u(x, t)v(x, t)dx = ⟨u′ (·, t), v(·, t)⟩H −1 (Ω),H01 (Ω)
+ ⟨v ′ (·, t), u(·, t)⟩H −1 (Ω),H01 (Ω)

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳❡♠ ❬✽❪

✶✶


✶✳✷ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➯✉ ❧➯♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺
❣✐ú❛ ➞♥ ❤➔♠ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥✱ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈➔ ✭♠ët sè ❤ú✉
❤↕♥✮ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â✳ ❚❛ sû ❞ö♥❣ ♠ët sè ❦➼ ❤✐➺✉ s❛✉✿

❼ ❇✐➳♥ ✤ë❝ ❧➟♣✿ x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
❼ ❽♥ ❤➔♠✿ u(x) = u(x1 , . . . , xn )✳

❼ ✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✿ ❙û ❞ö♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✤❛ ❝❤➾ sè α = (α1 , . . . , αn ) tr♦♥❣
✤â αi ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠✱ ✈➔ |α| := α1 + . . . + n t ỵ

|| u(x)
D u(x) = α1
.
∂x1 · · · ∂xαnn
α

❱ỵ✐ k ❧➔ ♠ët số ổ t ỵ Dk u(x) ✤↕♦ ❤➔♠
r✐➯♥❣ ❝➜♣ k ❝õ❛ ❤➔♠ u(x)✳

Dk u = {∂ α u, |α| = k}
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ k = 1 t❛ õ

Du =

u
u
,...,
x1
xn

.

ổ t ụ sỷ ử ỵ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣

∂u
∂ 2u
∂u

, uy =
, uxy =
,....
ux =
∂x
∂y
∂x∂y
❈❤♦ k ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ✈➔ Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ Rn ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ✭❣å✐ t➢t ❧➔
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣✮ ❝➜♣ k ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣

F (x, u(x), Du(x), D2 u(x), . . . , Dk u(x)) = 0, x ∈ Ω.

✭✶✳✷✮

Ð ✤➙② F ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ t❤➸ ❤✐➺♥ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ➞♥ ❤➔♠✱ ❝→❝
❜✐➳♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈➔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ➞♥ ❤➔♠✱ ❝â ❝➜♣ ❝❛♦ ♥❤➜t ❧➔ k ✳

❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉✿

✶✷


❼ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡✿

∆u = uxx + uyy = 0.
❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐✳

❼ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t ✭❤♦➦❝ ❦❤✉②➳❝❤ t→♥✮ ✿

ut − ∆u = 0.
❼ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ sâ♥❣ ✤÷đ❝ ❉✬❆❧❡♠❜❡rt ✤÷❛ r❛ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✼✺✷✿

utt − ∆u = 0.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷ ✭◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ P❚✣❍❘✮✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ v : Ω → Rn ❝â

✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ✤➳♥ ❝➜♣ k ✳ ❍➔♠ v(x) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ (1.2) ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥

F (x, v(x), Dv(x), . . . , Dk v(x)) = 0. x ∈ Ω.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸ ✭P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘✮✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ ❧♦↕✐
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘ ♥❤÷ s❛✉✳

✐✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘ (1.2) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ♥â ❝â ❞↕♥❣

aα (x)Dα u = f (x),
|α|≤k

tr♦♥❣ ✤â aα (x), f (x) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè ✤➣ ❝❤♦✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤
♥➔② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ♥➳✉ f ≡ 0✳

✐✐✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘ (1.2) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ♥â ❝â ❞↕♥❣

aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, . . . , Dk−1 u) = 0.
|α|=k

✐✐✐✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘ (1.2) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tü❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ♥â ❝â ❞↕♥❣

aα (x, u, Du, . . . , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, . . . , Dk−1 u) = 0.
|α|=k

✐✈✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘ (1.2) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❤♦➔♥
t♦➔♥ ♥➳✉ ♥â ♣❤ư t❤✉ë❝ ❦❤ỉ♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔♦ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ ❝❛♦
♥❤➜t✳
✶✸


✶✳✸ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥
t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐
❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❧✐➺t ❦➯ ❜❛ ❧ỵ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ữỡ tr t r
r ợ ❞✐➺♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡✱ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ tr✉②➲♥ sâ♥❣ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥ ♥❤✐➺t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘ ❝➜♣ ❤❛✐ ❞↕♥❣
n
i=1

n

∂ 2u
aij (x)
= f (x, u, ux1 , . . . , uxn )
∂x
∂x
i
j

j=1

✭✶✳✸✮

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ♥û❛ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐✳
✣➦❝ ❜✐➺t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.3) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ♥â ✈✐➳t ữủ ữợ

n

n

n

i=1

u
2u
bk (x)
+
+ c(x)u = g(x).
aij (x)
x
x
x
i
j
k
j=1
k=1

r trữớ ủ n = 2 ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.3) trð t❤➔♥❤

∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
a11 2 + 2a12
+ a22 2 = f x, y, u, ,
.
∂x
∂x∂y
∂y
∂x ∂y

✭✶✳✹✮

❙û ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ s❛✉

ξ = ξ(x, y),
η = η(x, y),
tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ ❤➔♠ ξ, η ∈ C 2 (Ω) t❤ä❛ ♠➣♥✿

∂(ξ, η)
ξ ξ
= x y
ηx ηy
∂(x, y)

̸= 0 tr➯♥ Ω.

▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ tr ữ ữỡ tr (1.4) ợ
tr õ ➼t ♥❤➜t ♠ët ❤➺ sè ❜➡♥❣ ❦❤æ♥❣✳
❚➼♥❤ t♦→♥ trü❝ t✐➳♣ t❛ ❝â

∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η
=
+
,
∂x
∂ξ ∂x ∂η ∂x

∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η
=
+
∂y
∂ξ ∂y ∂η ∂y
✶✹


✈➔

∂ 2u ∂ 2u
= 2
∂x2
∂ξ

2

∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η
+2

+
∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x
∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η
+
,
+
∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2
∂ 2u
∂ 2 u ∂ξ ∂ξ
∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
= 2
+
+
∂x∂y
∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x
∂u ∂ 2 η
∂ 2 u ∂η ∂η ∂u ∂ 2 ξ
+
+
,
+ 2
∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2
∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η
=
+
2
+
∂y 2
∂ξ 2 ∂y

∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y
∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η
+
+
.
∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2
∂ξ
∂x

2

+

2

+

❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.4) trð t❤➔♥❤

a11

∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
+
2a
+
a
=

F
ξ,
η,
u,
,
12
22
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2
∂ξ ∂η

✈ỵ✐

a11
a12
a22

∂ξ 2
∂ξ ∂ξ
∂ξ 2
=a11
+ 2a12
,
+ a22
∂x
∂x ∂y
∂y
∂ξ ∂η
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η

∂η ∂ξ
=a11
+ a12
+
+ a22
,
∂x ∂x
∂x ∂y ∂y ∂x
∂y ∂y
∂η 2
∂η ∂η
∂η 2
=a11
+ 2a12
+ a22
.
∂x
∂x ∂y
∂y

●å✐ z = φ(x, y) ❧➔ ♠ët ♥❣✐➺♠ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✣❍❘ ❝➜♣ ♠ët s❛✉

a11

∂z
∂x

2

∂z ∂z

+ 2a12
+ a22
∂x ∂y

❑❤✐ ✤â ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥✿

ξ =φ(x, y)
η =η(x, y),

✶✺

∂z
∂y

2

= 0.

✭✶✳✺✮


❧➔♠ ❝❤♦ a11 = 0✳ ❚÷ì♥❣ tü ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥✿

ξ =ξ(x, y)
η =φ(x, y),
❧➔♠ ❝❤♦ a22 = 0. ▼➦t ❦❤→❝✱ ữỡ tr (1.5) tữỡ ữỡ ợ
ữỡ tr ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣ s❛✉✿

a11 (dy)2 − 2a12 dy dx + a22 (dx)2 = 0..

Pữỡ tr tr õ t t ữợ

a11

dy
dx

2

2a12

dy
+ a22 = 0.
dx

●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.6) s➩ ❝❤♦ t❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tê♥❣ q✉→t

φ(x, y) = C,
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✭❤❛② ✤➦❝ tr÷♥❣✮ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.5)✳
❑❤✐ ✤â ❤➔♠ z = φ(x, y) ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.5)✳ ❉♦ ✤â
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.6) ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝ tr÷♥❣✳ ✣➸ t➻♠ ❝→❝
✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣✱ t❛ ①➨t ❜✐➺t t❤ù❝ ∆ = a212 − a11 a22 ✳ ❈â ❜❛ tr÷í♥❣
❤đ♣ s❛✉ ①↔② r❛✿

❼ ◆➳✉ ∆ > 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.6) ❝â ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ t❤ü❝
♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ❑❤✐ ✤â (1.4) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✳
❼ ◆➳✉ ∆ = 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.6) ❝❤➾ ❝â ♠ët ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣
t❤ü❝✳ ❑❤✐ ✤â (1.4) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝✳

❼ ◆➳✉ ∆ < 0 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.6) ❝â ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ♣❤ù❝
❧✐➯♥ ❤đ♣✳ ❑❤✐ ✤â (1.4) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧✐♣t✐❝✳
❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ ♥➳✉ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❞÷ì♥❣ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ t❤➻
♥â ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❞÷ì♥❣ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤✐➸♠ ✤â✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â t❤➸
❝❤✐❛ t♦➔♥ ❜ë ♠➦t ♣❤➥♥❣ t❤➔♥❤ ❜❛ t➟♣ rí✐ ♥❤❛✉✳ ❚❛ ❣å✐ ♠✐➲♥ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝
❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.4) ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ R2 ♠➔ t↕✐ ✤â
(1.4) ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✳ ❚❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ♠✐➲♥
♣❛r❛❜♦❧✐❝ ✈➔ ❡❧❧✐♣t✐❝✳

✶✻


❈❤÷ì♥❣ ✷
❚❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr t t t
t tữợ sỷ ử ở tử tữợ ①➙②
❞ü♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❤â❛ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝
tữợ ở ữỡ ữủ t tứ t

ợ t ữỡ tr t
rữợ t ú t t ởt trữớ ủ ử t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝ ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ Rn , (n ≥ 2)✳ ✣â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡

∂ 2u
∂ 2u ∂ 2u
∆u = 2 + 2 + . . . + 2
∂x1 ∂x2
∂xn

✭✷✳✶✮

▼ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✱ ♠ët ❤➔♠ u ∈ C 2 (D)
tr♦♥❣ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ♠ð ❝â ợ D Rn ữủ ồ ởt
ỏ tr D ỵ ỗ t ❜➜t ❦ý tê ❤ñ♣ t✉②➳♥
t➼♥❤ ♥➔♦ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ỏ ởt ỏ ỵ r ❧➔
❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tr♦♥❣ R3 ❣✐ú❛ ❜➜t ❦ý ✤✐➸♠ ♥➔♦ x = (x1 , x2 , x3 ) ̸= 0 ❣è❝ tå❛
✤ë ✭r2 = x21 + x22 + x23 ✮✳ ❇➡♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ trü❝ t✐➳♣ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤➾ r➡♥❣

1
u= ,
r
✤✐➲✉ ❤♦➔ tr♦♥❣ R3 \ {0}✳
✶✼


❚♦→♥ tû ▲❛♣❧❛❝❡ tr♦♥❣ R2 tr♦♥❣ tå❛ ✤ë ❝ü❝

x1 = r cos θ,

x2 = r sin θ

✈ỵ✐ r ∈ (0, +∞), θ ∈ [0, 2π)

❝â ❞↕♥❣

1 ∂
∂
∆=
r

r ∂r
∂r

1 ∂2
∂2
1 ∂2
1 ∂
+ 2 2= 2+ 2 2+
.
r ∂θ
∂r
r ∂θ
r ∂r

✭✷✳✷✮

✣➸ ❝❤♦ t t t s ồ ữợ t t ổ tự

ữợ ồ f (x1 , x2 ) ❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✤➳♥ ❝➜♣ ✷ ✈➔ ✤➦t

F = F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)

✭✷✳✸✮

❚❛ ❝â

∂f
∂f
∂F
(r cos θ, r sin θ) + sin θ

(r cos θ, r sin θ)
(r, θ) = cos θ
∂r
∂x1
∂x2
∂F
∂f
∂f
(r, θ) = −r sin θ
(r cos θ, r sin θ) + (r cos θ)
(r cos θ, r sin θ).
∂θ
∂x1
∂x2
✣➙② ❧➔ ♠ët ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤❛✐ ➞♥ sè✳ ❱➻ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♥â
❜➡♥❣ r2 ̸= 0✱ t❛ ❝â

∂f
∂F
1
∂F
(r cos θ, r sin θ) = cos θ
(r, θ) − sin θ
(r, θ) = F1 (r, θ),
∂x1
∂r
r
∂θ
∂F
∂f

1
∂F
(r cos θ, r sin θ) = sin θ
(r, θ) + cos θ
(r, θ) = F2 (r, )
x2
r
r


ữợ t tr tồ ✤ë ❝ü❝✱ t❛ t➼♥❤ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ ❤❛✐
❝õ❛ f t ừ F ỵ f1 ✈➔ f2 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔
f1 (x1 , x2 ) =

∂f
∂f
(x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 ) =
(x1 , x2 ),
∂x1
∂x2

t❛ ❝â

∂f
((r cos θ, r sin θ)) = F1 (r, θ)
∂x1
∂f
((r cos θ, r sin θ)) = F2 (r, θ)
f2 (r cos θ, r sin θ) =
∂x2

f1 (r cos θ, r sin θ) =

✶✽

✭✷✳✺✮


❚❛ ❝â

∂ ∂f
∂F1
1
∂F1
(
)(r cos θ, r sin θ) = cos θ
(r, θ) − sin θ
(r, θ),
∂x1 ∂x1
∂r
r
∂θ
∂ ∂f
∂F2
1
∂F2
(
)(r cos θ, r sin θ) = sin θ
(r, θ) + cos θ
(r, θ).

∂x2 ∂x2
∂r
r
∂θ

✭✷✳✻✮

❚ø ✤â

∂F1
∂ 2F
1
∂F
1
∂ 2F
= cos θ 2 + 2 sin θ
− sin θ
,
∂r
∂r
r
∂θ
r
∂r∂θ
∂F1
∂F
∂ 2F
1
∂F
1

∂ 2F
= − sin θ
+ cos θ
− cos θ
− sin θ 2
∂r
∂r
∂r∂θ r
∂θ
r
∂θ

✭✷✳✼✮

∂F2
∂ 2F
1
∂F
1
∂ 2F
= sin θ 2 − 2 cos θ
+ cos θ
,
∂r
∂r
r
∂θ
r
∂r∂θ
∂F2

∂F
∂ 2F
1
∂F
1
∂ 2F
= cos
+ sin
sin
+ cos 2
r
r
r r

r






ữợ ✸✿ ❚❤➳ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✈➔♦ ✭✷✳✻✮ tø tr➯♥ t❛ ✤÷đ❝
2
2 sin θ cos θ ∂ 2 F
∂ 2f
2 ∂ F
(r
cos
θ,
r

sin
θ)
=
cos
θ
(r,
θ)
−
(r, θ)
∂x21
∂r2
r
∂r∂θ
sin2 θ ∂ 2 F
sin2 θ ∂F
2 sin2 θ cos θ ∂F
+ 2
(r, θ) +
(r, θ) +
(r, θ)
r ∂θ2
r ∂r
r2
∂θ

✈➔
2
2 sin θ cos θ ∂ 2 F
∂ 2f
2 ∂ F

(r cos θ, r sin θ) = sin θ 2 (r, θ) +
(r, θ)
∂x22
∂r
r
∂r∂θ
cos2 θ ∂ 2 F
cos2 θ ∂F
2 sin2 θ cos θ ∂F
+ 2
(r,
θ)
+
(r,
θ)
−
(r, θ).
r ∂θ2
r ∂r
r2
∂θ

❈ë♥❣ ợ ữỡ tr tr t ữủ

f (r cos θ, r sin θ) =

∂ 2F
1 ∂ 2F
1 ∂F
(r,

θ)
+
(r,
θ)
+
(r, ).
r2
r2 y 2
r r

ợ t tữỡ tỹ tr tồ ✤ë ❤➻♥❤ ❝➛✉ tr♦♥❣ R3 ✱

x1 = r sin ϕ cos θ,

x2 = r sin ϕ sin θ,
✶✾

x3 = cos ϕ

✭✷✳✾✮