Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hoà trong miền hình học phức tạp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (278.33 KB, 27 trang )
1
Bộ Giáo dục và đào tạo Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Viện Công nghệ Thông tin
Vũ Vinh Quang
Phơng pháp chia miền giải phơng trình
Elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà
trong miền hình học phức tạp
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 62.46.30.01
Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học
Hà Nội 6/2007
2
Công trình đợc hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin
Thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Ngời hớng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Đặng Quang á
2. PGS. TS. Hoàng Đình Dung
Phản biện 1: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh
Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Hữu Công
Đại học Quốc gia Hà Nội
Phản biện 3: TS. Nguyễn Đình Bình
Đại học Bách khoa Hà Nội
Luận án đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nớc
Họp tại: Viện Công nghệ Thông tin
Thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam
vào hồi 16 giờ 00 ngày 22 tháng 06 năm 2007
Có thể tìm hiểu luận án tại: Th viện Quốc gia
Khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Thái Nguyên
3
Phần mở đầu
1. Tính cấp thiết của đề tài
Phơng pháp chia miền đợc phát triển để giải quyết các bài toán biên
trong miền hình học phức tạp, t tởng chính của phơng pháp là đa bài
toán trong miền phức tạp về một dy các bài toán trong miền đơn giản từ
đó nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp. Các tác giả trên thế giới
đ đề xuất nhiều phơng pháp lặp xuất phát từ t tởng xác định giá trị
hàm trên biên phân chia để xây dựng các thuật toán chia miền khác nhau.
Đối với lớp phơng trình bậc cao, phơng pháp chia miền cha thật sự phát
triển. Một hớng cần nghiên cứu về phơng pháp chia miền là xây dựng
các sơ đồ lặp với t tởng xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia và
phơng pháp chia miền đối với các lớp phơng trình bậc cao.
Vì những lý do trên, luận án lựa chọn đề tài Phơng pháp chia miền
giải phơng trình elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà trong miền
hình học phức tạp.
2. Mục đích và phơng pháp nghiên cứu
Mục đích của luận án là đề xuất các phơng pháp chia miền dựa trên t
tởng xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia áp dụng đối các bài toán
elliptic cấp hai và bài toán song điều hoà, đồng thời mở rộng các phơng
pháp đề xuất khi miền hình học là phức tạp và điều kiện biên phức tạp.
Phơng pháp nghiên cứu trong luận án là đề xuất các sơ đồ lặp, sử dụng
lý thuyết toán tử chứng minh sự hội tụ của các sơ đồ ở mức vi phân và
kiểm tra tính đúng đắn của lý thuyết bằng các thực nghiệm tính toán.
3. Những đóng góp mới của luận án
+ Xây dựng hoàn chỉnh th viện chơng trình TK2004 giải số bài toán
elliptic cấp hai trong miền chữ nhật làm công cụ cài đặt tất cả các thuật
toán đề xuất trong luận án.
+ Đa ra một phơng pháp chia miền mới ngợc với sơ đồ Dirichlet-
Neumann, trong trờng hợp bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biên
Dirichlet đ chứng minh đợc sơ đồ lặp đa ra là hội tụ và thiết lập đợc
tham số tối u khi miền hình học là miền chữ nhật.
+ Đa ra một phơng pháp chia miền mới đối với bài toán biên hỗn hợp
mạnh, trong trờng hợp bài toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên
hỗn hợp mạnh đ chứng minh đợc sơ đồ lặp hội tụ và tham số lặp tối u
có thể xác định từ thực nghiệm tính toán.
+ Mở rộng phơng pháp chia miền đ đề xuất khi miền hình học là phức
tạp đồng thời khảo sát tính gián đoạn mạnh của đạo hàm tại điểm phân
chia giữa hai loại điều kiện biên.
+ Trên cơ sở các kết quả đạt đợc đối với phơng pháp chia miền, đ đề
xuất giải pháp thiết kế thuật toán song song dựa trên t tởng chia miền.
+ Mở rộng các kết quả đ nghiên cứu, đề xuất các phơng pháp chia
miền đối với bài toán song điều hòa và bài toán hỗn hợp giữa phơng trình
elliptic cấp hai và phơng trình song điều hoà trong miền hình học phức
tạp.
4
4. Bố cục của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, 3 chơng nội dung, phần kết luận, tài liệu
tham khảo và phần phụ lục đợc cấu trúc nh sau:
Chơng 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và đa ra các kết quả xây
dựng th viện chơng trình giải số bài toán elliptic cấp hai trong miền chữ
nhật, làm công cụ cài đặt các thuật toán đề xuất trong luận án.
Chơng 2 trình bày cơ sở toán học về phơng pháp chia miền, đề xuất
phơng pháp chia miền mới đối với bài toán elliptic cấp hai với điều kiện
biên Dirichlet và điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Nghiên cứu phơng pháp
chia miền đối với các bài toán biên hỗn hợp yếu, bài toán biên hỗn hợp
mạnh trong miền hình học phức tạp. Khảo sát tính gián đoạn mạnh của
đạo hàm và đồng thời đề xuất giải pháp song song đối với thuật toán chia
miền trong miền hình học phức tạp và điều kiện biên phức tạp.
Chơng 3 trình bày các kết quả nghiên cứu phơng pháp chia miền đối với
lớp bài toán song điều hòa và bài toán hỗn hợp giữa phơng trình elliptic
cấp hai và phơng trình song điều hoà.
Phần phụ lục của luận án là các chơng trình nguồn của th viện TK2004.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đợc kiểm tra bằng các chơng
trình thực nghiệm lập trình trong môi trờng Matlab trên máy tính PC.
Chơng 1
Một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Dựa trên các tài liệu của các tác giả D. Cioranescu và P. Donato, R.
Adams, G. I. Marchuk, trong chơng 1 đa ra một số các khái niệm cơ bản
cùng các kết quả lý thuyết quan trọng về không gian Sobolev và phơng
trình elliptic. Các kiến thức và kết quả này sẽ đợc sử dụng trong luận án.
Không gian Sobolev
+ Các định nghĩa về các không gian:
W
1,p
()
,
H
1
()
,
H
1/2
()
,
H
1
()
và
H
1/2
()
, khái niệm về biên Lipschitz.
+ Định lý vết, công thức Green, bất đẳng thức Poincare cùng các khái
niệm về hằng số vết
C
()
, hằng số Poincare
C
.
Phơng trình elliptic
+ Các định nghĩa về bài toán Dirichlet, bài toán Neumann và bài toán
Robin.
+ Khái niệm về nghiệm yếu.
+ Định lý Lax-Milgram và các định lý tồn tại duy nhất nghiệm.
1.2 Kết quả bổ trợ
Việc tìm nghiệm bằng số các bài toán biên là một trong những nhiệm
vụ quan trọng đối toán học tính toán. Trong phần này sẽ trình bày các kết
quả thiết kế th viện chơng trình giải số các bài toán biên cho phơng
5
trình vi phân dạng
u(x) + cu(x) = f(x), x , c 0,
u(x) = g(x), x
(1.1)
trong đó
là miền chữ nhật,
là toán tử điều kiện biên.
1.2.1 Phơng pháp thu gọn khối lợng tính toán
Xét bài toán biên
u(x) = f (x), x ,
u(x) = g(x), x
(1.2)
trong đó
là miền chữ nhật có kích thớc L
1
và L
2
,
là toán tử điều kiện
biên với giả thiết bài toán có nghiệm duy nhất. Đa vào không gian lới
h
1
h
2
= {x
ij
= (ih
1
, jh
2
), i = 0, 1, , M, j = 0, 1, , N}
với
h
1
=
L
1
M
, h
2
=
L
2
N
.
Tuỳ theo dạng của toán tử điều kiện biên, bài toán vi phân (1.2) đợc đa
về các hệ phơng trình vectơ ba điểm dạng thứ nhất
Y
j1
+ CY
j
Y
j+1
= F
j
, 1 j N 1,
Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
(1.3)
và dạng thứ hai
CY
0
2Y
1
= F
0
, j = 0,
Y
j1
+ CY
j
Y
j+1
= F
j
, 1 j N 1,
2Y
N1
+ CY
N
= F
N
, j = N
(1.4)
trong đó
Y
j
là các vectơ giá trị của nghiệm trên một hàng,
F
j
là các vectơ vế
phải,
F
0
và
F
N
là các vectơ điều kiện biên,
C
là ma trận hệ số có tính chéo
trội. Giả thiết
N = 2
n
, n > 0
. Xuất phát từ phơng pháp khử chẵn lẻ, các tác
giả Samarskij-Nikolaev đ đa ra các thuật toán thu gọn khối lợng giải
các hệ phơng trình (1.3) và (1.4) với độ phức tạp tính toán
O(MNlogN)
.
1.2.2 Xây dựng th viện chơng trình.
Trên cơ sở mở rộng các thuật toán thu gọn khối lợng tính toán, chúng
tôi tiến hành xây dựng th viện chơng trình TK2004 giải số các bài toán
biên dạng (1.1). Đa vào không gian lới
h
1
h
2
, kí hiệu
b1, b2, b3, b4
lần lợt
là các vectơ giá trị điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các cạnh
trái, phải, dới và trên của miền chữ nhật,
r =
h
2
1
h
2
2
, d = 2(1 + r) + ch
2
2
. Lựa
chọn ngôn ngữ cài đặt các thuật toán là Matlab version 6.5.1.
Bài toán biên Dirichlet
u(x) + cu(x) = f(x), x ,
u(x) = g(x), x .
6
Từ phơng pháp sai phân với độ chính xác
O(h
2
1
+ h
2
2
)
, chuyển bài toán vi
phân về bài toán sai phân tơng ứng với hệ phơng trình vectơ ba điểm
Y
j1
+ CY
j
Y
j+1
= F
j
, 1 j N 1,
Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
trong đó
Y
j
là các vectơ nghiệm,
F
j
là các vectơ cấp
(M 1)
,
C
là ma trận
hệ số cấp
(M 1) ì (M 1).
Trên cơ sở của thuật toán thu gọn, thiết kế hàm
T K0000(, b1, b2, b3, b4, c, L
1
, L
2
, M, N, n)
thực hiện thuật toán thu gọn,
hàm
u0000(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n, p
1
, p
2
, q
1
, q
2
)
trả lại ma trận nghiệm
xấp xỉ của bài toán từ tọa độ
(p
1
, q
1
)
đến
(p
2
, q
2
)
.
Bài toán biên Neumann
u(x) + cu(x) = f(x), x ,
u(x) = g(x), x
trong đó tồn tại ít nhất điều kiện biên trên một cạnh hình chữ nhật có dạng
Neumann.
Trờng hợp 1: Điều kiện biên trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng
Neumann. Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp đ
biết vectơ
F
0
, thiết kế hàm
T K0001(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n)
thực hiện
thuật toán thu gọn, hàm
u0001(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n, p
1
, p
2
, q
1
, q
2
)
trả
lại ma trận nghiệm xấp xỉ từ tọa độ
(p
1
, q
1
)
đến
(p
2
, q
2
)
. Khi biên Neumann
là một trong các biên còn lại, các hàm
u0010( ), u0100( ), u1000( )
đợc
xây dựng tơng tự qua hàm
T K0001( )
và phơng pháp biến đổi toạ độ.
Trờng hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình chữ
nhật là dạng Neumann. Bài toán vi phân tơng ứng với hệ phơng trình
vectơ ba điểm
Y
j1
+ CY
j
Y
j+1
= F
j
, 1 j N,
Y
0
= F
0
, 2Y
N1
+ CY
N
= F
N
trong đó
Y
j
là các vectơ nghiệm,
F
j
là các vectơ cấp
M, C
là ma trận hệ số
cấp
(M ì M)
. Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp
khi đ biết
F
0
, thiết kế hàm
T K0002(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n)
thực hiện
thuật toán thu gọn, hàm
u0101(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n, p
1
, p
2
, q
1
, q
2
)
trả
lại ma trận nghiệm xấp xỉ từ tọa độ
(p
1
, q
1
)
đến
(p
2
, q
2
)
. Trong trờng hợp khi
biên Neumann là hai trong các biên còn lại, các hàm
u1010( ), u1001( )
,
u0110( ),
đợc xây dựng tơng tự qua hàm
T K0002( )
và phơng pháp
biến đổi toạ độ.
Trờng hợp 3: Điều kiện biên trên ba cạnh phải, dới và trên của hình chữ
nhật là dạng Neumann. Bài toán vi phân tơng ứng với hệ phơng trình
vectơ ba điểm
CY
0
2Y
1
= F
0
,
Y
j1
+ CY
j
Y
j+1
= F
j
, 1 j N,
2Y
N1
+ CY
N
= F
N
.
Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp cha biết
F
0
.
Thiết kế hàm
T K0003(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n)
thực hiện thuật toán
7
thu gọn, hàm
u0111(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n, p
1
, p
2
, q
1
, q
2
)
trả lại ma trận
nghiệm xấp xỉ của bài toán từ tọa độ
(p
1
, q
1
)
đến
(p
2
, q
2
)
. Trong trờng hợp
khi biên Neumann là ba trong các biên còn lại, các hàm
u1110( ), u1101( ),
đợc xây dựng tơng tự qua hàm
T K0003( )
và phép biến đổi toạ độ.
Trờng hợp 4: Trên các cạnh của hình chữ nhật đều cho điều kiện biên
Neumann. Bài toán vi phân tơng ứng với hệ phơng trình vectơ ba điểm
CY
0
2Y
1
= F
0
,
Y
j1
+ CY
j
Y
j+1
= F
j
, 1 j N,
2Y
N1
+ CY
N
= F
N
.
Trên cơ sở của thuật toán thu gọn áp dụng trong trờng hợp tổng quát.
Thiết kế hàm
T K0004(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n)
thực hiện thuật toán,
hàm
u1111(, b1, b2, b3, b4, L
1
, L
2
, c, M, N, n, p
1
, p
2
, q
1
, q
2
)
trả lại ma trận nghiệm
xấp xỉ của bài toán từ tọa độ
(p
1
, q
1
)
đến
(p
2
, q
2
)
.
Qua thực nghiệm tính toán, các hàm thiết kế đ đảm bảo độ chính xác
tính toán
O(h
2
1
+ h
2
2
)
và độ phức tạp tính toán là
O(MN log N)
. Trong luận
án, các chơng trình thiết kế giải số các bài toán biên bằng phơng pháp
chia miền đều sử dụng các hàm trong th viện chơng trình TK2004. Các
kết quả xây dựng th viện chơng trình đ đợc công bố trong công trình
[5].
Kết luận: Nội dung chơng 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản cần thiết
cho các chơng sau và đặc biệt đ thiết kế hoàn chỉnh th viện chơng
trình TK2004. Đây là công cụ rất quan trọng để cài đặt các thuật toán sẽ
đề xuất trong chơng 2 và chơng 3 của luận án.
Chơng 2
Phơng pháp chia miền
giải phơng trình elliptic cấp hai
2.1 Giới thiệu về phơng pháp chia miền
Hình 2.1
Xét bài toán Poisson trong đó
là miền với biên Lipschitz
, chia miền
bởi biên
, kí hiệu
u
i
là nghiệm trong miền
i
(i = 1, 2)
,
n
là vectơ pháp
tuyến ngoài của
1
trên
, (hình 2.1). Khi đó bài toán đợc viết dới dạng
8
đa miền nh sau:
u
1
= f, x
1
,
u
1
= 0, x
1
,
u
1
= u
2
, x ,
u
2
n
=
u
1
n
, x ,
u
2
= 0, x
2
,
u
2
= f, x
2
.
Các phơng trình ba và bốn trong bài toán đa miền chính là các điều
kiện liên hợp trên biên, về mặt ý nghĩa vật lý các phơng trình mô tả điều
kiện liên tục của hàm và đạo hàm khi biến thiên qua biên chung
giữa hai
miền.
Kí hiệu
là giá trị cha biết của hàm
u
trên biên phân chia
,
khi đó
bài toán đa miền sẽ đợc giải quyết nếu xác định đợc giá trị của
. Các
phơng pháp chia miền chủ yếu đều tìm cách xác định giá trị xấp xỉ của
trên biên phân chia.
2.2 Các sơ đồ lặp cơ bản
2.2.1 Sơ đồ Dirichlet-Neumann
Cho trớc
(0)
, với mỗi
k 0
giải liên tiếp hai bài toán
u
(k+1)
1
= f, x
1
,
u
(k+1)
1
= 0, x
1
,
u
(k+1)
1
=
(k)
, x .
u
(k+1)
2
= f, x
2
,
u
(k+1)
2
= 0, x
2
,
u
(k+1)
2
n
=
u
(k+1)
1
n
, x .
Tính lại giá trị
(k+1)
theo công thức
(k+1)
= u
(k+1)
2
+ (1 )
(k)
trong đó
là tham số lặp cần lựa chọn để sơ đồ lặp hội tụ.
2.2.2 Sơ đồ Neumann - Neumann.
Cho trớc
(0)
, với mỗi
k 0
giải liên tiếp các bài toán
u
(k+1)
i
= f, x
i
,
u
(k+1)
i
= 0, x
i
,
u
(k+1)
i
=
(k)
, x .
(k+1)
i
= f, x
i
,
(k+1)
i
= 0, x
i
,
(k+1)
i
n
=
u
(k+1)
1
n
u
(k+1)
2
n
, x .
Hiệu chỉnh
(k+1)
=
(k)
(
1
(k+1)
1
2
(k+1)
2
)
trong đó
> 0
là tham số lặp,
1
và
2
là hai hệ số ớc lợng trung bình
dơng.
9
2.2.3 Sơ đồ Robin
Xuất phát từ
u
(0)
2
với mỗi
k 0
, giải các bài toán
u
(k+1)
1
= f, x
1
,
u
(k+1)
1
= 0, x
1
,
u
(k+1)
1
n
+
1
u
(k+1)
1
=
u
(k)
2
n
+
1
u
(k)
2
, x .
u
(k+1)
2
= f, x
2
,
u
(k+1)
2
= 0, x
2
,
u
(k+1)
2
n
2
u
(k+1)
2
=
u
(k+1)
1
n
2
u
(k+1)
1
, x
trong đó
1
và
2
là các tham số gia tốc không âm thoả mn
1
+
2
> 0
.
2.3 Phơng pháp chia miền giải bài toán biên Dirichlet
Xuất phát từ cơ sở của phơng pháp chia miền, nhiều tác giả trên thế giới
đ đề xuất hàng loạt phơng pháp lặp. Một trong các phơng pháp phổ biến
đợc biết đến đó là phơng pháp Dirichlet-Neumann. Trong phơng pháp
này, mỗi lần lặp cần giải quyết bài toán Dirichlet trong
1
và sau đó giải
bài toán Neumann trong
2
. Một tiếp cận khác để giải bài toán là phơng
pháp Neumann-Neumann bằng cách giải song song hai bài toán Dirichlet
trong các miền con và sau đó giải song song hai bài toán Neumann. Trong
phần này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc đa
ra một phơng pháp chia miền giải bài toán biên Dirichlet. Sự khác biệt
so với tất cả các phơng pháp đ biết là tại mỗi bớc lặp, có hai bài toán
đợc giải quyết trớc hết là bài toán Neumann trong
1
và sau đó là bài
toán Dirichlet trong
2
. Do vậy phơng pháp chúng tôi đa ra có thể xem
là ngợc với sơ đồ Dirichlet-Neumann. Các kết quả này đ đợc công bố
trong công trình [1].
2.3.1 Mô tả phơng pháp
Cho
R
2
với biên Lipschitz
, xét bài toán
u = f, x ,
u = , x .
Giả thiết
f L
2
(), H
1
2
()
. Chia
=
1
2
,
1
2
=
với biên trơn
, kí hiệu
1
=
1
\ ,
2
=
2
\
,
u
i
là nghiệm trong miền
i
,
i
là vectơ
pháp tuyến ngoài của miền
i
(i = 1, 2)
. Đặt
g =
u
1
1
, khi đó giá trị của g
đợc xác định bởi sơ đồ lặp:
1. Cho
g
(0)
L
2
(), g
(0)
= 0, x .
2. Với
g
(k)
trên
, với mọi
k = 0, 1, 2,
tiến hành giải hai bài toán
u
(k)
1
= f, x
1
,
u
(k)
1
= , x
1
,
u
(k)
1
1
= g
(k)
, x .
u
(k)
2
= f, x
2
,
u
(k)
2
= , x
2
,
u
(k)
2
= u
(k)
1
, x .
(2.1)
10
3. Tính toán lại xấp xỉ mới
g
(k+1)
= (1 )g
(k)
u
(k)
2
2
, x (2.2)
trong đó
là tham số lặp cần lựa chọn.
2.3.2 Nghiên cứu sự hội tụ
Ta viết lại sơ đồ (2.2) dới dạng
g
(k+1)
g
(k)
+ g
(k)
+
u
(k)
2
2
= 0, (k = 0, 1, 2, ). (2.3)
Đặt
e
(k)
i
= u
(k)
i
u
i
(i = 1, 2),
(k)
= g
(k)
g.
Định nghĩa các toán tử Steklov-Poincare
S
1
, S
2
nh sau:
S
i
=
v
i
i
, x , (i = 1, 2)
trong đó
v
i
là nghiệm của bài toán
v
i
= 0, x
i
,
v
i
= 0, x
i
,
v
i
= , x .
(2.4)
Hàm
v
i
là sự mở rộng điều hoà của
trong
i
đợc kí hiệu là
H
i
. Khi đó
các toán tử nghịch đảo
S
1
i
= w
i
|
(i = 1, 2)
trong đó
w
i
là nghiệm của bài
toán
w
i
= 0, x
i
,
w
i
= 0, x
i
,
w
i
i
= , x .
(2.5)
Từ các công thức suy ra
e
(k)
1
= S
1
1
(k)
,
e
(k)
2
2
= S
2
e
(k)
1
.
Sử dụng các toán tử đ định nghĩa ở trên, (2.3) đợc viết dới dạng
(k+1)
(k)
+ (I + S
2
S
1
1
)
(k)
= 0, (k = 0, 1, ).
Tác động
S
1
1
lên cả hai vế của phơng trình trên ta nhận đợc
e
(k+1)
1
e
(k)
1
+ (I + S
1
1
S
2
)e
(k)
1
= 0, (k = 0, 1, ). (2.6)
Đặt
B = I + S
1
1
S
2
, khi đó
e
(k+1)
1
= (I B)e
(k)
1
. (2.7)
11
Để thiết lập sự hội tụ của sơ đồ lặp (2.7), xét toán tử
B
trong các không gian
hàm:
= H
1
2
00
() = {v
: v H
1
0
()}
và không gian đối ngẫu
= H
1
2
00
()
.
Sử dụng các công thức yếu và định nghĩa tơng đơng của toán tử Steklov-
Poincare, đ chứng minh đợc
S
i
là toán tử đối xứng và xác định dơng. Từ
các kết quả của công thức ớc lợng nghiệm suy ra rằng
S
i
,
,
là tích
vô hớng của
,
và chuẩn sinh bởi tích vô hớng này tơng đơng
với chuẩn thông thờng của
H
1/2
()
. Trong tích vô hớng này ta có:
B,
S
1
=
S
1
(I + S
1
1
S
2
),
,
=
S
1
,
,
+
S
2
,
,
.
Do
S
1
, S
2
là các toán tử đối xứng nên toán tử
B
cũng là toán tử đối xứng.
Giả sử rằng phép chia miền
thành các miền con
i
có tồn tại các hằng
số
0 < m M
sao cho
m
S
2
,
,
S
1
,
,
M, . (2.8)
Khi đó ta có
(1 + m)I B (1 + M)I
.
Từ lý thuyết tổng quát của sơ đồ lặp hai lớp suy ra rằng nếu
0 < <
2/(1 + M)
thì sơ đồ lặp (2.7) hội tụ và giá trị tối u của
là
opt
=
2
2 + m + M
. (2.9)
Với giá trị này của
, ta thu đợc ớc lợng
||e
(k)
1
|
||
S
1
k
||e
(0)
1
|
||
S
1
với
= (M m)/(2 + m + M)
và ớc lợng cho sai số
||e
(k)
i
||
H
1
(
i
)
C
k
||e
(0)
1
|
||
H
1
2
()
. (2.10)
Định lý 2.1
Với giả thiết (2.8) về các miền con
1
,
2
, phơng pháp lặp (2.1)-(2.2)
hội tụ nếu tham số lặp
thoả mn
0 < < 2/(1 + M)
. Giá trị tối u đợc
cho bởi (2.9), khi đó ta có ớc lợng cho các sai số xác định bởi (2.10).
Trong trờng hợp miền
là hình chữ nhật
[0, 1] ì [0, b]
đợc chia thành
hai miền con bởi đoạn thẳng
= {x
1
= a, 0 x
2
b}, 0 < a < 1
, đ chứng
minh đợc giá trị tối u của tham số lặp là
opt
=
2
3 +
th
a
b
th
(1a)
b
. (2.11)
2.4 Phơng pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp yếu
2.4.1 Mô tả phơng pháp
Cho
R
2
là miền giới nội với biên Lipschitz đợc cấu thành từ các
phần biên trơn
=
k
i=1
S
i
, xét bài toán
u = f, x ,
u = , x
(2.12)
12
trong đó
f L
2
(), H
1
2
(),
là toán tử điều kiện biên. Bài toán đợc gọi
là bài toán biên hỗn hợp yếu nếu trên một đoạn biên
S
i
(i = 1, , k)
chỉ cho
một loại điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann. Giả sử
đợc chia thành
hai miền con
1
và
2
với biên trơn
. Kí hiệu
i
=
i
\, u
i
= u|
i
(i = 1, 2)
trong đó
i
là biên của
i
, đặt
g =
u
1
1
với
1
là vectơ pháp tuyến ngoài
của
1
.
Quá trình lặp ở mức vi phân đợc thực hiện nh sau:
Xuất phát từ
g
(0)
, với mọi
k = 0, 1, 2,
giải liên tiếp hai bài toán
u
(k)
1
= f, x
1
,
u
(k)
1
= , x
1
,
u
(k)
1
1
= g
(k)
, x .
u
(k)
2
= f, x
2
,
u
(k)
2
= , x
2
,
u
(k)
2
= u
(k)
1
, x .
(2.13)
Xấp xỉ mới của
g
(k+1)
đợc tính theo công thức
g
(k+1)
= (1 )g
(k)
u
(k)
2
2
, x (2.14)
trong đó
là tham số lặp cần lựa chọn.
Trong trờng hợp miền
đợc chia thành
n + 1
miền con, phơng pháp lặp
(2.13)-(2.14) sẽ đợc áp dụng để hiệu chỉnh đạo hàm trên các biên chung.
Tham số lặp trên mỗi biên chung có thể khác nhau. Việc khẳng định sự
hội tụ của phơng pháp về phơng diện lý thuyết là cha thực hiện đợc,
tuy nhiên thông qua thực nghiệm tính toán có thể khẳng định sự hội tụ của
sơ đồ lặp cũng nh việc lựa chọn giá trị tham số tối u phụ thuộc từng bài
toán trong các miền hình học phức tạp.
2.4.2 Các kết quả thực nghiệm trong miền hình học phức tạp
Sử dụng các kí hiệu 0 chỉ điều kiện biên dạng Dirichlet, 1 chỉ điều kiện
biên dạng Neumann,
là sai số lớn nhất giữa nghiệm đúng và nghiệm gần
đúng,
a
và
b
là kích thớc của hình chữ nhật cơ sở,
K
là số lần lặp. Xét
bài toán biên hỗn hợp yếu trong đó
cho bởi hình 2.2.
Hình 2.2
Chia
thành ba miền
i
bởi hai biên chung
1
và
2
, kí hiệu
u
i
là nghiệm
trong
i
(i = 1, 2, 3),
1
=
u
1
x
2
1
,
2
=
u
2
x
2
2
.Việc giải bài toán đợc thực
13
hiện bằng thuật toán sau đây:
Khởi động
(0)
1
=
(0)
2
= 0, k = 0.
Bớc 1: Giải bài toán trong miền
1
Tìm nghiệm
u
(k)
1
= u0001( )
trong đó
b4 =
(k)
1
, 0 x
1
a, x
2
= 0,
, a x
1
< 0, x
2
= 0.
Bớc 2: Giải bài toán trong miền
2
Tìm nghiệm
u
(k)
2
= u0010( )
trong đó
b3 =
(k)
2
, 0 x
1
a, x
2
= b,
, a x
1
< 0, x
2
= 0.
Bớc 3: Giải bài toán trong miền
3
Tìm nghiệm
u
(k)
3
= u1000( )
trong đó
b3 = u
(k)
1
, 0 x
1
a, x
2
= 0,
b4 = u
(k)
2
, 0 x
1
a, x
2
= b.
Bớc 4: Hiệu chỉnh các giá trị đạo hàm trên
1
,
2
:
(k+1)
1
=
1
(k)
1
+ (1
1
)
u
(k)
3
x
2
1
,
(k+1)
2
=
2
(k)
2
(1
2
)
u
(k)
3
x
2
2
.
k := k + 1.
Bảng 2.1:
a = 1, b = 1.
10x
1
(1 x
2
)x
2
(1 x
1
) 10x
1
(1 x
2
)x
2
2
(1 x
1
) sin x
1
sin x
2
1
=
2
K
1
=
2
K
1
=
2
K
0.4 2.10
5
30 0.4 7.10
4
19 0.4 8.10
6
30
0.5 2.10
6
15 0.5 8.10
4
8 0.5 8.10
6
13
0.6 2.10
6
13 0.6 8.10
4
8 0.6 8.10
6
14
0.7 2.10
6
20 0.7 8.10
4
13 0.7 8.10
6
20
Thực nghiệm tính toán cho thấy sơ đồ lặp trên hội tụ với
1
và
2
trong
khoảng
(0.1, 0.9)
, giá trị
opt
0.5
. Các kết quả với cấu hình phức tạp hơn
đ đợc đa ra trong công trình [2], các kết quả thu đợc đ khẳng định
tính hữu hiệu của phơng pháp đề xuất giải quyết các bài toán biên hỗn
hợp yếu trong các miền hình học phức tạp.
2.5 Phơng pháp chia miền giải bài toán biên hỗn hợp mạnh
Xét bài toán
u = f(x)
trong
, u = g(x)
trên
trong đó
R
2
. Ta
xét trờng hợp tổng quát khi điều kiện biên
u = g(x)
là điều kiện biên dạng
hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai loại điều kiện biên
Dirichlet và Neumann. Đây là bài toán đ đợc nhiều tác giả trên thế giới
quan tâm. Để giải quyết bài toán trên, trong các trờng hợp đặc biệt khi vế
14
phải đồng nhất bằng không và các điều kiện biên dạng đặc biệt, việc tìm
nghiệm xấp xỉ của bài toán có thể sử dụng phơng pháp khai triển qua các
hàm mẫu dới dạng toạ độ cực, hoặc xuất phát từ mục đích xác định giá trị
đạo hàm hớng trên phần biên Dirichlet để chuyển bài toán biên hỗn hợp
mạnh về bài toán hỗn hợp yếu để xây dựng phơng pháp lặp giải bài toán.
Một hớng tiếp cận khác để giải bài toán biên hỗn hợp mạnh là sử dụng
phơng pháp chia miền. Trên cơ sở của các kết quả đ đạt đợc khi nghiên
cứu phơng pháp chia miền đối với bài toán biên Dirichlet, trong phần này
chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu đối với việc giải các bài
toán biên elliptic cấp hai khi điều kiện biên là hỗn hợp mạnh trong miền
hình học phức tạp bằng phơng pháp chia miền.
2.5.1 Cơ sở phơng pháp
Xét bài toán
u = f, x ,
u = , x \
n
,
u
= , x
n
.
(2.15)
Hình 2.3
Chia
thành hai miền
1
và
2
với biên trơn
, kí hiệu
1
=
1
\ (
d
),
2
=
2
\ (
n
)
,
u
i
là nghiệm trong miền
i
,
i
là vectơ pháp tuyến
ngoài của miền
i
(i = 1, 2)
, đặt
g =
u
1
1
|
, (hình 2.3). Việc giải bài toán
đợc thực hiện bởi thuật toán chia miền nh sau:
Bớc 1. Khởi động:
g
(0)
L
2
(), g
(0)
= 0, x .
Bớc 2. Với
g
(k)
trên
, với mọi
k = 0, 1, 2,
tiến hành giải hai bài toán
u
(k)
1
= f, x
1
,
u
(k)
1
= , x
1
d
,
u
(k)
1
1
= g
(k)
, x .
u
(k)
2
= f, x
2
,
u
(k)
2
= , x
2
,
u
(k)
2
= u
(k)
1
, x ,
u
(k)
2
2
= , x
n
.
(2.16)
Bớc 3. Hiệu chỉnh giá trị
g
(k+1)
g
(k+1)
= (1 )g
(k)
u
(k)
2
2
, x . (2.17)
15
2.5.2 Sự hội tụ của phơng pháp
Sơ đồ lặp (2.17) đợc viết lại dới dạng
g
(k+1)
g
(k)
+ g
(k)
+
u
(k)
2
2
= 0, (k = 0, 1, 2, ). (2.18)
Kí hiệu
e
(k)
i
= u
(k)
i
u
i
(i = 1, 2),
(k)
= g
(k)
g.
Định nghĩa các toán tử Steklov-Poincare nh sau:
S
1
=
v
1
1
, x
trong đó
v
1
là nghiệm của bài toán
v
1
= 0, x
1
,
v
1
= 0, x
1
d
,
v
1
= , x .
(2.19)
S
2
=
v
2
2
, x
trong đó
v
2
là nghiệm của bài toán
v
2
= 0, x
2
,
v
2
= 0, x
2
,
v
2
= , x ,
v
2
2
= 0, x
n
.
(2.20)
Khi đó toán tử nghịch đảo
S
1
1
= w
1
|
trong đó
w
1
là nghiệm của bài toán
w
1
= 0, x
1
,
w
1
= 0, x
1
,
w
1
1
= , x .
(2.21)
Với
S
1
và
S
2
đ định nghĩa, hoàn toàn tơng tự nh 2.3.2 ta nhận đợc sơ
đồ lặp cho sai số
e
(k+1)
1
= (I B)e
(k)
1
. (2.22)
trong đó
B = I + S
1
1
S
2
. Trong 2.3.2 đ chứng minh rằng
S
1
là toán tử đối
xứng xác định dơng.
Ta xét tính chất của toán tử
S
2
. Giả sử
H
1
2
00
()
, kí hiệu
w =
H
2
là
thác triển điều hoà của
lên
2
tức là
w
là nghiệm của bài toán
w = 0, x
2
,
w = 0, x
2
,
w = , x ,
w
2
= 0, x
n
.
Kí hiệu
v =
H
2
là thác triển điều hoà của
lên
2
, khi đó
0 =
2
vwdx =
2
v
2
wds +
2
vwdx=
S
2
ds +
2
H
2
.
H
2
dx.
16
Từ đó
S
2
ds =
2
H
2
.
H
2
dx. (2.23)
Từ các kết quả trên ta có
B,
S
1
=
S
1
(I + S
1
1
S
2
),
,
=
S
1
,
,
+
S
2
,
,
. (2.24)
Do
S
1
và
S
2
là các toán tử đối xứng nên toán tử
B
cũng là toán tử đối xứng.
Với giả thiết (2.8) về miền
tơng ứng với các toán tử
S
1
và
S
2
mới định
nghĩa, tơng tự ta cũng nhận đợc giá trị tối u xác định bởi (2.9) và ớc
lợng cho sai số bởi (2.10). Kết quả thu đợc ở trên về sự hội của phơng
pháp đợc phát biểu bởi định lý sau đây:
Định lý 2.2
Với giả thiết (2.8) phơng pháp lặp (2.16)-(2.17) hội tụ nếu tham số lặp
thoả mn điều kiện
0 < < 2/(1 + M)
. Giá trị tối u đợc cho bởi (2.9)
và khi đó ớc lợng cho các sai số đợc xác định bởi (2.10).
2.5.3 Các kết quả thực nghiệm trong miền hình học phức tạp
Xét bài toán biên hỗn hợp mạnh trong đó
cho bởi hình 2.4.
Hình 2.4
Chia miền
1
2
3
4
5
bằng các biên
1
,
2
,
3
và
4
. Kí hiệu
u
i
là
nghiệm trong miền
i
(i = 1, , 5)
,
1
=
u
1
1
1
,
2
=
u
2
2
2
,
1
=
u
3
3
3
,
2
=
u
4
4
4
. Việc tìm nghiệm bằng số đợc thực hiện bởi thuật toán:
Xuất phát từ
(0)
1
=
(0)
2
= 0,
(0)
1
=
(0)
2
= 0
, với mọi
k = 0, 1, 2,
thực hiện
Bớc 1: Tìm nghiệm
u
(k)
1
= u0100( )
với giá trị xấp xỉ
(k)
1
.
Bớc 2: Tìm nghiệm
u
(k)
2
= u0100( )
với giá trị xấp xỉ
(k)
2
.
Bớc 3: Tìm nghiệm
u
(k)
3
= u0001( )
với giá trị xấp xỉ
(k)
1
.
Bớc 4: Tìm nghiệm
u
(k)
4
= u0010( )
với giá trị xấp xỉ
(k)
2
.
Bớc 5: Tìm nghiệm
u
(k)
5
= u0000( )
với các kết quả từ bớc 3,4.
17
Bớc 6: Hiệu chỉnh các giá trị đạo hàm
(k+1)
1
=
1
(k)
1
(1
1
)
u
(k)
3
3
1
,
(k+1)
2
=
2
(k)
2
(1
2
)
u
(k)
4
4
2
,
(k+1)
1
=
1
(k)
1
(1
1
)
u
(k)
5
5
3
,
(k+1)
2
=
2
(k)
2
(1
2
)
u
(k)
5
5
4
.
Giá trị các tham số
i
và
i
(i = 1, 2)
sẽ đợc chọn để các dy lặp hội tụ.
Qua thực nghiệm tính toán (bảng 2.2), sơ đồ lặp trên hội tụ với
i
(0.1, 0.9)
và
i
(0.6, 0.9)
. Giá trị tối u
i
0.5,
i
0.7 (i = 1, 2)
. Các kết
quả thực nghiệm tính toán với nhiều cấu hình khác đ đợc đa ra trong
các công trình [6, 7]. Các kết quả khẳng định tính khả thi của phơng pháp
chia miền đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh trong miền hình học phức
tạp và điều kiện biên phức tạp.
Bảng 2.2:
a = b = 1, M ì N = 64 ì 64,
i
= 0.5.
sin x
1
sin x
2
10x
1
(1 x
1
)x
2
(1 x
2
) u = e
x
1
+x
2
i
K t K t K t
0.5 Không hội tụ Không hội tụ Không hội tụ
0.6 19 84.5 7.10
5
26 117.0 7.10
5
26 117 6.10
5
0.65 10 44.9 7.10
5
15 67.4 9.10
5
14 63.7 5.10
5
0.7 9 40.4 9.10
5
15 68.6 9.10
5
12 55 8.10
5
0.75 12 52.6 6.10
5
15 68.3 9.10
5
16 72.9 6.10
5
0.8 16 71.0 6.10
5
20 91.3 6.10
5
21 96 7.10
5
2.5.4 Sự gián đoạn của đạo hàm với bài toán biên hỗn hợp mạnh
Trong phần này sẽ trình bày một số kết quả thực nghiệm sử dụng phơng
pháp chia miền để chỉ ra tính gián đoạn mạnh của đạo hàm.
Xét bài toán
u = x
1
+ x
2
, 0 x
1
3a, 0 x
2
b,
u = 3, (0 x
1
a, x
2
= b) (2a x
1
3a, x
2
= b),
u
x
2
= 2, a < x
1
< 2a, x
2
= b,
u = 3, (0 x
1
3a, x
2
= 0) (x
1
= 0, 0 x
2
b)
(x
1
= 3a, 0 x
2
b).
Kí hiệu
I
1
= {0 x
1
a, x
2
= b}, I
2
= {a x
1
2a, x
2
= b}, I
3
= {2a x
1
3a, x
2
= b}, S
1
=
1
\(
1
I
1
), S
2
=
2
\(
1
2
I
2
), S
3
=
3
\(
2
I
3
),
1
=
u
1
x
1
1
,
2
=
u
3
x
1
2
, (hình 2.5).
Sử dụng phơng pháp chia miền đối với bài toán biên hỗn hợp mạnh,
nghiệm xấp xỉ của bài toán đợc tìm bằng thuật toán:
18
Hình 2.5
Xuất phát từ
(0)
1
= 0,
(0)
2
= 0
, với
k = 0, 1,
giải liên tiếp ba bài toán
u
(k)
1
= x
1
+ x
2
, (x
1
, x
2
)
1
,
u
(k)
1
= 3, (x
1
, x
2
) S
1
I
1
,
u
(k)
1
x
1
=
(k)
1
, (x
1
, x
2
)
1
.
u
(k)
3
= x
1
+ x
2
, (x
1
, x
2
)
3
,
u
(k)
3
= 3, (x
1
, x
2
) S
3
I
3
,
u
(k)
3
x
1
=
(k)
2
, (x
1
, x
2
)
2
.
u
(k)
2
= x
1
+ x
2
, (x
1
, x
2
)
2
,
u
(k)
2
= 3, (x
1
, x
2
) S
2
,
u
(k)
2
x
2
= 2, (x
1
, x
2
) I
2
,
u
(k)
2
= u
(k)
1
, (x
1
, x
2
)
1
,
u
(k)
2
= u
(k)
3
, (x
1
, x
2
)
2
.
Hiệu chỉnh các giá trị
(k+1)
1
,
(k+1)
2
(k+1)
1
=
1
(k)
1
+ (1
1
)
u
(k)
2
x
1
1
,
(k+1)
2
=
2
(k)
2
(1
2
)
u
(k)
2
x
1
2
.
Quá trình lặp sẽ dừng khi
max
(k+1)
i
(k)
i
i
< .
Kết quả thực nghiệm với
a = b = 1, = 10
14
,
1
=
2
= 0.5
, dáng điệu đạo
hàm trên phần biên gián đoạn mạnh
I
1
I
2
I
3
cho bởi hình 2.6.
Hình 2.6
Từ thực nghiệm tính toán cho thấy rằng khi tiến đến các điểm phân chia
giữa điều kiện biên Dirichlet và Neumann, giá trị đạo hàm sẽ tiến đến vô
cực. Điều này hoàn toàn phù hợp với các bài toán cơ học trong thực tế tức
là tại các điểm đó thờng xẩy ra hiện tợng gy nứt các vật liệu.
19
2.6 Giải pháp song song đối với phơng pháp chia miền
2.6.1 Thuật toán tổng quát
Xét bài toán biên
Lu = f(x), x ,
u = g(x), x .
(2.25)
Chia miền
thành nhiều miền con
i
(i = 1 N)
, kí hiệu
ij
=
i
j
,
i
j
=
. Tô các miền bởi các mầu đen và trắng xen kẽ nhau (hình 2.7).
Hình 2.7
Đặt
I = {1 i N}
,
I
B
= {1 i M}
với
i
là các miền tô màu đen,
I
W
= I \ I
B
. Xuất phát từ các giá trị lặp trên các biên chung, thực hiện giải
song song các bài toán trong các miền
i
(i I
B
)
và các bài toán trong các
miền
j
(j I
W
)
. Sơ đồ lặp đ tạo ra một dy gồm
I
B
bài toán con trong
các miền tô mầu đen độc lập và
I
W
bài toán con trong các miền tô mầu
trắng độc lập theo nguyên tắc nếu các bài toán trong các miền đen giải
xong thì có thể tiến hành giải các bài toán trong các miền trắng. Nh vậy
ta đ tạo ra một sơ đồ lặp song song cho phép giải các bài toán con trên
máy tính đa nhiệm với nhiều bộ vi xử lý.
Trên cơ sở các thuật toán đ đề xuất, chúng tôi đề xuất sơ đồ lặp song
song ở mức vi phân nh sau: Kí hiệu
S
i
=
i
\
ij
,
ij
là giá trị đạo hàm
cha biết trên biên
ij
. Xuất phát từ các giá trị
(0)
ij
= 0
, với mọi
k 0
giải
song song
I
B
bài toán
Lu
(k)
i
= f, x
i
,
u
(k)
i
= g, x S
i
,
u
(k)
i
n
i
=
(k)
ij
, x
ij
, j I
W
,
ij
= .
(2.26)
Xuất phát từ kết quả của các bài toán (2.26), giải song song
I
W
bài toán
Lu
(k)
j
= f, x
j
u
(k)
j
= g, x S
j
,
u
(k)
j
= u
(k)
i
, x
ij
, i I
B
,
ij
= .
(2.27)
Hiệu chỉnh các giá trị
(k+1)
ij
theo công thức
(k+1)
ij
=
ij
(k)
ij
(1
ij
)
u
(k)
j
n
j
, x
ij
(2.28)
20
trong đó các tham số
ij
là các tham số cần đợc chọn để dy lặp hội tụ.
Việc chứng minh sự hội tụ của các sơ đồ lặp cũng nh việc lựa chọn
tham số tối u cha thực hiện đợc, tuy nhiên sự khẳng định tính đúng đắn
của phơng pháp có thể thông qua thực nghiệm tính toán.
2.6.2 Các mô hình thực nghiệm
Xét bài toán trong đó miền
cho bởi hình 2.8.
Hình 2.8
Chia miền
thành 6 miền
i
bằng các biên phân chia
i
, kí hiệu
u
i
là
nghiệm trong miền
i
,
i
là vectơ pháp tuyến ngoài của miền
i
(i = 1, , 6)
,
1
=
u
1
1
1
,
2
=
u
1
1
2
,
3
=
u
4
4
3
,
4
=
u
5
5
4
,
1
=
u
4
4
5
,
2
=
u
5
5
6
.
Xuất phát từ
(0)
1
=
(0)
2
=
(0)
3
=
(0)
4
= 0
,
(0)
1
=
(0)
2
= 0
, với mọi
k = 1, 2,
thực hiện thuật toán
Bớc 1: Giải song song các bài toán trong các miền
1
,
4
,
5
u
(k)
1
= u0100( )
trong miền
1
với giá trị đạo hàm xấp xỉ
(k)
1
,
(k)
2
,
u
(k)
4
= u1001( )
trong miền
4
với giá trị đạo hàm xấp xỉ
(k)
3
,
(k)
1
,
u
(k)
5
= u1010( )
trong miền
5
với các giá trị đạo hàm xấp xỉ
(k)
4
,
(k)
2
.
Bớc 2: Giải song song các bài toán trong các miền
2
,
3
,
6
để xác định
các nghiệm
u
(k)
2
= u0000( ), u
(k)
3
= u0000( ), u
(k)
6
= u0000( )
.
Bớc 3: Hiệu chỉnh các giá trị đạo hàm
(k+1)
1
=
1
(k)
1
(1
1
)
u
(k)
2
2
1
,
(k+1)
2
=
2
(k)
2
(1
2
)
u
(k)
3
3
2
,
(k+1)
3
=
3
(k)
3
(1
3
)
u
(k)
2
2
3
,
(k+1)
4
=
4
(k)
4
(1
4
)
u
(k)
3
3
4
,
(k+1)
1
=
1
(k)
1
(1
1
)
u
(k)
6
6
5
,
(k+1)
2
=
2
(k)
2
(1
2
)
u
(k)
6
6
6
.
Giá trị các tham số
i
(i = 1, , 4),
j
(j = 1, 2)
sẽ đợc chọn để các dy lặp
hội tụ.
Các thuật toán đợc kiểm tra tính đúng đắn bằng thực nghiệm tính toán
trên máy tính với một bộ vi xử lý, sơ đồ lặp sẽ hội tụ với việc lựa chọn các
tham số tuỳ thuộc vào tính phức tạp của miền hình học. Các kết quả với
nhiều cấu hình khác đ đợc công bố trong công trình [4].
21
Kết luận:
Chơng 2 trình bày các kết quả nghiên cứu mới về phơng
pháp chia miền đối với bài toán biên elliptic cấp hai trong miền hình học
phức tạp trong trờng hợp điều kiện biên là Dirichlet, điều kiện biên hỗn
hợp yếu và hỗn hợp mạnh. Đây là những đóng góp quan trọng đối với
phơng pháp chia miền, mở ra hớng nghiên cứu về phơng pháp chia
miền giải các lớp bài toán biên bậc cao trong miền hình học phức tạp.
Chơng 3
Phơng pháp chia miền giải bài toán song điều hoà
Bài toán song điều hoà đ đợc một số tác giả trên thế giới quan tâm,
việc tìm nghiệm xấp xỉ trong một số dạng bài toán đặc biệt có thể xác định
bằng phơng pháp khai triển qua các hàm mẫu dới dạng toạ độ cực hoặc
sử dụng phơng pháp chia miền bằng cách xây dựng dy lặp xác định giá
trị hàm trên biên chung theo sơ đồ Dirichlet-Neumann. Trên cơ sở các kết
quả đ đạt trong chơng 2, trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày các kết
quả nghiên cứu mới về phơng pháp chia miền đối với lớp phơng trình
song điều hoà trong miền hình học phức tạp dựa trên t tởng xác định giá
trị xấp xỉ của đạo hàm trên biên phân chia. Bài toán tổng quát đợc xét có
dạng:
2
u cu + du = f, c 0, x ,
0
u = g
0
, x ,
1
(u) = g
1
, x
(3.1)
trong đó
R
m
với biên Lipschitz
,
f L
2
(),
0
và
1
là các toán tử
điều kiện biên,
g
0
và
g
1
là các hàm số cho trớc. Tuỳ thuộc vào các hệ số
c
và
d
, chúng ta xét hai dạng bài toán cơ bản
Bài toán biên thứ nhất
2
u cu = f, c 0, x ,
u = g
0
, x ,
u = g
1
, x .
(3.2)
Bài toán biên thứ hai
2
u cu + du = f, c 0, d = 0, x ,
u = g
0
, x ,
u = g
1
, x .
(3.3)
3.1 Phơng pháp chia miền và sự hội tụ
3.1.1 Bài toán biên thứ nhất
Xét bài toán (3.2). Chia
=
1
2
,
1
2
=
, kí hiệu
=
1
2
,
1
=
1
\ ,
2
=
2
\ , u
i
là nghiệm trong
i
, v
i
= u
i
, (i = 1, 2),
=
v
1
1
, =
u
1
1
. Việc tìm nghiệm của bài toán ở mức vi phân đợc
thực hiện bởi thuật toán chia miền nh sau:
Bớc 1: Xuất phát từ
(0)
= 0, k = 0, 1, 2
thực hiện giải các bài toán:
22
1.1 Xác định
v
(k)
1
1.2 Xác định
v
(k)
2
v
(k)
1
cv
(k)
1
= f, x
1
,
v
(k)
1
= g
1
, x
1
,
v
(k)
1
1
=
(k)
, x .
v
(k)
2
cv
(k)
2
= f, x
2
,
v
(k)
2
= g
1
, x
2
,
v
(k)
2
= v
(k)
1
, x .
1.3 Hiệu chỉnh:
(k+1)
=
1
(k)
(1
1
)
v
(k)
2
2
, x .
Kí hiệu nghiệm sau bớc lặp 1 là
v
1
và
v
2
.
Bớc 2: Xuất phát từ
(0)
= 0, = 0, 1, 2,
thực hiện giải các bài toán
2.1 Xác định
u
(l)
1
2.2 Xác định
u
(l)
2
u
()
1
= v
1
, x
1
,
u
()
1
= g
0
, x
1
,
u
()
1
1
=
()
, x .
u
()
2
= v
2
, x
2
,
u
()
2
= g
0
, x
2
,
u
()
2
= u
()
1
, x .
2.3 Hiệu chỉnh
(+1)
=
2
()
(1
2
)
u
()
2
2
, x .
Các sơ đồ lặp trên là các sơ đồ lặp đối với phơng pháp chia miền giải
bài toán elliptic cấp hai với điều kiện biên Dirichlet, sự hội tụ đ đợc
khẳng định từ định lý 2.1. Các kết quả thực nghiệm cho bởi bảng 3.1.
Bảng 3.1:
M ì N = 64 ì 64, a = b = 1,
1
=
2
= 0.5.
Hàm nghiệm đúng
t (giây)
x
4
1
+ x
4
2
1.10
4
13.9
sin x
1
sin x
2
2.10
6
3.2
(x
1
1)
2
e
x
2
+ (x
2
1)
2
e
x
1
3.10
5
3.2
sin x
1
e
x
2
+ sin x
2
e
x
1
1.10
5
1.64
3.1.2 Bài toán biên thứ hai
Xét bài toán (3.3). Chia
=
1
2
,
1
2
=
, kí hiệu
=
1
2
,
1
=
1
\ ,
2
=
2
\ , u
i
là nghiệm trong
i
,
i
= du
i
, v
i
=
u
i
, (i = 1, 2), =
v
1
1
, =
u
1
1
. Việc giải bài toán đợc thực hiện bởi
thuật toán:
Bớc 1: Xuất phát từ
(0)
1
=
(0)
2
= 0, k = 0, 1, 2
thực hiện giải các bài toán
Bớc 1.1. Đặt
(0)
= 0, = 0, 1, 2,
1.1.1 Xác định
v
(l)
1
1.1.2 Xác định
v
(l)
2
v
()
1
cv
()
1
= f +
(k)
1
, x
1
,
v
()
1
= g
1
, x
1
,
v
()
1
1
=
()
, x .
v
()
2
cv
()
2
= f +
(k)
2
, x
2
,
v
()
2
= g
1
, x
2
,
v
()
2
= v
()
1
, x .
23
1.1.3 Hiệu chỉnh
(+1)
=
1
()
(1
1
)
v
()
2
2
, x .
Kí hiệu
v
(k)
1
,
v
(k)
1
là nghiệm sau bớc lặp 1.1.
Bớc 1.2. Đặt
(0)
= 0, m = 0, 1, 2,
1.2.1 Xác định
u
(m)
1
1.2.2 Xác định
u
(m)
2
u
(m)
1
= v
(k)
1
, x
1
,
u
(m)
1
= g
0
, x
1
,
u
(m)
1
1
=
(m)
, x .
u
(m)
2
= v
(k)
2
, x
2
,
u
(m)
2
= g
0
, x
2
,
u
(m)
2
= u
(m)
1
, x .
1.2.3 Hiệu chỉnh
(m+1)
=
2
(m)
(1
2
)
u
(m)
2
2
, x .
Kí hiệu
u
(k)
1
, u
(k)
2
là nghiệm sau bớc lặp 1.2.
Bớc 2: Hiệu chỉnh
(k+1)
1
=
(k)
1
1
(
(k)
1
+ du
(k)
1
), x
1
,
(k+1)
2
=
(k)
2
2
(
(k)
2
+ du
(k)
2
), x
2
.
Sử dụng định lý 2.1 và các kết quả nghiên cứu về sự hội tụ của các phơng
pháp lặp giải bài toán song điều hoà, khẳng định rằng các sơ đồ lặp đ đa
ra là hội tụ.
3.2 Các kết quả áp dụng trong miền hình học phức tạp
Khi miền hình học là miền phức tạp, việc giải các bài toán đợc thực
hiện tơng tự nh các sơ đồ lặp đ đề xuất. Xét bài toán (3.3) với miền
cho bởi hình 3.1, kết quả thực hiện thuật toán đợc cho trong bảng 3.2.
Hình 3.1
Bảng 3.2:
M ì N = 64 ì 64, a = b = 1, d = 5, c = 0,
1
=
2
= 0.95.
sin x
1
sin x
2
10x
1
(1 x
1
)x
2
(1 x
2
) e
x
1
+x
2
Tham số
i
t t t
0.3 7.10
5
12 8.10
5
33 3.10
5
7
0.35 3.10
5
7 7.10
5
19 3.10
5
6
0.4 7.10
5
8 1.10
5
15 3.10
5
5
0.45 4.10
5
12 3.10
5
12 3.10
5
4
0.5 1.10
5
18 2.10
5
10 3.10
5
4
0.6 5.10
5
12 6.10
5
14 3.10
5
6
24
Các kết quả lý thuyết và thực nghiệm đ đợc công bố trong công trình
[3]. Qua thực nghiệm tính toán đ khẳng định các sơ đồ lặp hội tụ với các
tham số
trong khoảng (0.1, 0.9) và tham số tối u trong khoảng (0.4, 0.5).
3.3 Phơng pháp chia miền giải bài toán hỗn hợp giữa phơng trình
elliptic và song điều hoà
3.3.1 Đặt bài toán: Giả sử
=
1
2
,
1
2
=
, kí hiệu
1
=
1
\,
2
=
2
\ .
Xét bài toán biên hỗn hợp
u
1
c
1
u
1
= f
1
, x
1
, c
1
0,
u
1
= g
0
, x
1
.
(3.4)
2
u
2
c
2
u
2
+ du
2
= f
2
, x
2
, c
2
0,
u
2
= g
1
, x
2
,
u
2
= g
2
, x
2
.
(3.5)
Chúng tôi đề xuất phơng pháp xác định giá trị xấp xỉ của đạo hàm trên
biên phân chia để thiết kế phơng pháp lặp giải bài toán.
3.3.2 Phơng pháp lặp giải bài toán hỗn hợp
Đặt
u
i
= u
i
(i = 1, 2), v
2
= u
2
,
= du
2
, = u
2
, =
u
1
1
. Việc tìm
nghiệm của bài toán biên hỗn hợp (3.4)-(3.5) đợc thực hiện bởi sơ đồ lặp:
Bớc 1: Xuất phát từ
(0)
= 0,
(0)
= 0, k = 0, 1, 2,
tiến hành
Bớc 1.1: Xác định
v
(k)
2
v
(k)
2
c
2
v
(k)
2
= f
2
+
(k)
, x
2
,
v
(k)
2
= g
2
, x
2
,
v
(k)
2
=
(k)
, x .
(3.6)
Bớc 1.2. Xuất phát từ
(0)
= 0, = 0, 1, 2,
1.2.1. Xác định
u
(l)
1
1.2.2. Xác định
u
(l)
2
u
()
1
c
1
u
()
1
= f
1
, x
1
,
u
()
1
= g
0
, x
1
,
u
()
1
1
=
()
, x .
u
()
2
= v
(k)
2
, x
2
,
u
()
2
= g
1
, x
2
,
u
()
2
= u
()
1
, x .
(3.7)
1.2.3. Hiệu chỉnh
(+1)
=
3
()
(1
3
)
u
()
2
2
. (3.8)
Kí hiệu
u
(k)
1
, u
(k)
2
là giá trị nghiệm xấp xỉ nhận đợc sau bớc lặp 1.2.
Bớc 2: Hiệu chỉnh
(k+1)
=
(k)
1
(
(k)
+ du
(k)
2
), x
2
. (3.9)
25
(k+1)
=
(k)
2
(
(k)
c
1
u
(k)
1
f
1
), x . (3.10)
3.3.3 Sự hội tụ của phơng pháp
Với mỗi giá trị
k
xác định, sơ đồ lặp (3.7)-(3.8) sẽ hội tụ theo định lý
2.1, sơ đồ lặp (3.9) là sơ đồ lặp đ đợc đề xuất giải bài toán song điều
hoà bằng phơng pháp chia miền, sự hội tụ đ đợc khẳng định.
Xét sơ đồ lặp (3.10), sơ đồ tơng đơng với
(k+1)
(k)
2
+
(k)
c
1
u
(k)
1
f
1
= 0.
Đây là sơ đồ lặp dạng hai lớp, bằng thực nghiệm có thể chứng tỏ rằng sơ
đồ hội tụ và tham số tối u
2opt
0.95
.
3.3.4 Các kết quả thực nghiệm trong miền phức tạp
Giả sử
=
1
2
3
, kí hiệu
12
=
1
2
,
23
=
2
3
,
1
=
1
\
12
,
2
=
2
\ (
12
23
),
3
=
3
\
23
,
u
i
là nghiệm trong miền
i
(i = 1, 2, 3)
, (hình 3.2).
Hình 3.2
Xét bài toán biên hỗn hợp
2
u
2
c
2
u
2
+ du
2
= f
2
, x
2
, c
2
0,
u
2
= g
1
, x
2
,
u
2
= g
2
, x
2
.
u
1
c
11
u
1
= f
1
, x
1
, c
11
0,
u
1
= g
01
, x
1
.
u
3
c
12
u
3
= f
3
, x
3
, c
12
0,
u
3
= g
02
, x
3
.
Mở rộng phơng pháp chia miền giải bài toán hỗn hợp, đặt
= du
2
,
x
2
,
1
= u
2
12
,
2
= u
2
23
,
1
=
u
1
1
12
,
2
=
u
3
3
23
. Việc tìm
nghiệm của bài toán đợc thực hiện tơng tự nh sơ đồ lặp (3.6)-(3.10).
Kết quả thực nghiệm đợc cho trong bảng 3.3.
Kết luận:
Chơng 3 trình bày các kết quả nghiên cứu mới về phơng
pháp chia miền đối với lớp phơng trình song điều hoà, các kết quả mở ra
hớng nghiên cứu về phơng pháp chia miền cho các lớp phơng trình bậc
cao trong miền hình học phức tạp.
